Chương IV Tích phân phụ thuộc tham số

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
46
Ch-ơng IV:
tích phân phụ thuộc tham số

tích phân phụ thuộc tham số với cận hằng


Tiết: 46 - 50 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Định nghĩa



- Cho hàm số hai biến số

,f x u
xác định trên hình chữ nhật

;R a x b u


. Giả sử với mỗi giá trị

;u


thì hàm số

,f x u
khả tích theo biến số
x
Tức là

;
b
a
f x u dx

có một giá trị xác
định.
Vậy tích phân đó là một hàm số của
u
Ký hiệu là

;
b
a

F u f x u dx

(1) (1)
- Tích phân trong (1) đ-ợc gọi là tích phân phụ thuộc tham số với cận là
hằng số;
u
đ-ợc gọi là tham số.
- Hàm

Fu
trong (1) là hàm số xác định trên

;


- Ví dụ:
1
1
0
22
0
sin sin
1
udx
arc ux arc u
ux



là một hàm số xác định trên

1;1
vì

sin 1;1arc u u


2
Tính liên tục, tính khả vi








- Định lý 1:
Nếu hàm số

,f x u
liên tục trên hình chữ nhật

;R a x b u


thì
hàm số

;

b
a
F u f x u dx

liên tục trên

;


- Định lý 2:
Nếu với mỗi

;u


hàm số

,f x u
liên tục trên

;ab
theo biến số
x

và nếu

'
,
u
f x u

là hàm liên tục trên hình chữ nhật

;R a x b u



Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
47





- Dùng
N_Lepnit thì
công việc khá
khó khăn
thì hàm

;
b
a
F u f x u dx

khả vi trên

;

và

''
;
b
u
a
F u f x u dx

(3)
- Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số

1
0
0
x
F u arctg dx u
u



Ta có



2
11
'
2
22
00

2
2
2 2 1 2 2
0
2
1
1 1 1
ln ln 1 ln ln
2 2 2 1
x
xdx
u
F u dx
x
ux
u
u
u x u u
u










* Chú ý: Nếu tại điểm

a
( hay
b
) hàm số

,f x u
không xác định nh-ng

lim ,
xa
f x u

hoặc

lim ,
xb
f x u

là một số xác định với mỗi

;u


thì
điểm
a
( hay
b
) đ-ợc gọi là điểm kỳ dị bỏ đ-ợc của tích phân (1)
- Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số

1
0
sin
0
xu
F u dx u
x



+/. Điểm
0x
là điểm kỳ dị bỏ đ-ợc vì
0
sin
lim
x
xu
u
x



+/. Ta có

11
'1
0
00

1 sin
. cos sin
cosxu u
F u xdx xudx xu
x u u




3
Tính khả tích


- Định lý 3:
Nếu hàm

,f x u
liên tục trên hình chữ nhật

;R a x b u


thì
hàm số

;
b
a
F u f x u dx

khả tích trên

;

và ta có

,,
bb
aa
f x u dx du f x u du dx











( Ta có thể viết

,,
bb
aa
du f x u dx dx f x u du

)
- Ví dụ:
Tính

1
0
I x dx



biết rằng

0
b
y
a
x x dx a b




1
11
1
00
0
11
ln 1 ln
1 1 1

b b b b
y
b
yy
a
a a a a
xb
I dx x dy dy x dx dy dy y
y y a









* Chú ý: Theo định nghĩa

1 2 1 2
, , , , , , ,
b
nn
a
F u u u f x u u u dx



4

Bài tập
Sv tự làm

- Bài 1: Tìm miền xác định của hàm số

1
22
0
dz
Fx
xz



KQ
0x



- Bài 2: Tìm giới hạn
2
0
0
limI cos xdx





( Hoặc

2
2
0
0
limI x cos x dx





)
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
48


Giải
22
2
0
0 0 0
00
11
lim lim lim sinI cos xdx cos xd x x

00
1 sin2
lim sin2 sin0 2lim 2
2







* Làm bài tập ở nhà Tính giới hạn
1
22
0
1
limI x dx







Giải:
- Tính
1

22
1
J x dx




Đặt
22
22
x
du dx
ux
x
dv dx
vx

1 1 1
22
1
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
1 1 1
21
x
J x x dx x dx dx
xx









Do đó
2
1
2 2 2 2 2 2
2
1
11

2 2 1 ln 2 1 ln
11
J x x








Vậy
2 2 2 2
22
22
11
1 ln 1 ln
22
1 1 1 1
J







0
lim 1IJ

Sv tự làm
b/.

- Bài 3: Tính đạo hàm hàm số
a/.

1
0
0
x
F u dx u
u



Giải: Theo công thức

1
'
1
2
1
'

2 2 2
0
0
0
1 1 1
22
u
xx
F u dx xdx
u u u u






b/.

2
2
1
F u u xdx



4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
49

tích phân phụ thuộc tham số với
cận là hàm số của tham số

Tiết: 51 - 54 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung


Tích phân



;
bu
au
u f x u dx



trong đó

;a u b u
là những hàm số của
tham số
u
Gọi là tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham
số. Trong bài ta hạn chế là chỉ xét tính liên tục và tính khả vi của hàm

u



1
Tính liên tục


* Định lý 1: Nếu hàm số

;f x u
liên tục trên hình chữ nhật

;R a x b u


; các hàm số

;a u b u
liên tục trên

;

và nếu

;a a u b b u


với mọi

;u


thì



;
bu
au
u f x u dx



là
hàm số liên tục trên

;


* Chứng minh:
+/. Hàm

;f x u
liên tục trên
R
suy ra tồn tại



;
bu
au
u f x u dx




+/. Với


, , u u u u u u

, , , ,
b u b u u a u
a u b u b u u
f x u u f x u dx f x u u dx f x u u dx





(1)
Do

;f x u
liên tục trên
R
nên với mọi

0: , ,f x u u f x u



trong đó
u
là đủ bé.
+/.

, , , ,
b u b u
a u a u
f x u u f x u dx f x u u f x u dx




Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
50

b u a u b a



+/. Mặt khác

;f x u
liên tục trên
R
suy ra

0: ,M x u
Ta có:

;,
b u u
bu
f x u M f x u u dx M b u u b u



(2)





,
au
a u u
f x u u dx M a u a u u



(3)
+/. Do

;a u b u
liên tục trên

;

nên vế phải (2), (3) nhỏ tuỳ ý miễn

chọn
u
đủ bé. Suy ra
0
0
u




Tức là

u

là hàm số liên tục trên

;



2
Tính khả vi


* Định lý 2: Nếu các hàm số

;f x u
;

'

;
u
f x u
liên tục trên hình chữ nhật

;R a x b u


; các hàm số

;a u b u
khả vi trên

;

và nếu

;a a u b b u


với mọi

;u


thì



;

bu
au
u f x u dx



khả
vi trên

;

và ta có




' ' ' '
; ; ;
bu
u
au
u f x u dx f b u u b u f a u u a u





* Chứng minh:
Hàm số

,f x u
liên tục trên
R
nên tồn tại



;
bu
au
u f x u dx




Nếu

,,u u u


thì do (1) ta có:
()
()
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , )
11
( , ) ( , )
bu
au

b u u a u u
b u a u
f u u u f x u
dx
uu
f x u u dx f x u u dx
uu









(4)
Với mỗi
u
xác định thì
( ), ( )a u b u
là các hằng số nên suy ra
( ) ( )
'
00
( ) ( )
( , ) ( , )
lim lim ( , )
b u b u
u

uu
a u a u
f x u u f x u
dx f x u u dx
u









()
'
()
( , ) 0 1
bu
u
au
f x u dx



(5)
Mặt khác ( Định lý giá trị trung bình trong tích phân xác định )

()
1

()
11
( , ) ( , ) ( ) ( )
b u u
bu
f x u u dx f c u u b u u b u
uu




trong đó

1
( ), ( )c b u b u u
. Do
()bu
là hàm khả vi trên

,

và
( , )f x u
liên tục
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
51
trên
R
nên

()
0
()
1
lim ( , )
b u u
u
bu
f x u u dx
u







'
1
0
( ) ( )
lim ( , ). ( ), ( )
u
b u u b u
f c u u f b u u b u
u

(6)
T-ơng tự

()
'
0
()
1
lim ( , ) ( ), ( )
uu
u
au
f x u u dx f a u u a u
u





(7)
Tóm lại, từ (4), (5), (6) và (7) suy ra




' ' ' '
; ; ;

bu
u
au
u f x u dx f b u u b u f a u u a u




(8)
Tức là hàm số
'
()u

khả vi trên

,



4
Bài tập & Ví dụ:


- Ví dụ: Tính

'
u

nếu

0
ln 1
0
u
ux
u dx u
x





+/. Điểm
0x
là điểm kỳ dị bỏ đ-ợc
+/. Ta có





22
'2
0
0
ln 1 ln 1
ln 1
12

ln 1
1
u
u
uu
ux
u dx u
ux u u u u









Hd chậm

- Bài 1: Tính

'
u
F
với

2
2
u
ux

u
F u e dx




Giải:

2 3 5
2
, ; ; ; , ; ,
ux u u
f x u e a u u b u u f a u u e f b u u e











2
2 5 3
2
2 5 3
'
'

'
'2
'
2
xu
u
x
xu
x
F e dx e u e u
e dx ue e














Gọi t.hành

- Bài 2: Tính
'
()F

biết

sin
b
a
x
F dx
x









( Dùng




' ' ' '
; ; ;
bu
u
au
u f x u dx f b u u b u f a u u a u

)
Giải:















'
''
'
sin sin
sin
sin sin
s
sin sin
sin
b

a
b
a
b
a
ba
x
F dx b a
x b a
ba
co xdx
ba
ba
x
ba

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
52

sin sin
1
sin sin
22
sin sin
ba
ba
ba
ba
ba
ba

Tự làm

* Sinh viên tự tính
'
()F

biết

2
1
sin
cos
x
F e dx










- Bài 3: Tính
''
()Fx
nếu

0
( ) ( )
x
F x x y f y dy

trong đó
()fy
là hàm số
khả vi
H-ớng dẫn giải:
* Dùng công thức tính đạo hàm cấp 1
* Tính đạo hàm của đạo hàm cấp 1 theo công thức.


- Bài 4: Tìm
()
()
n
x
F
nếu

1
0
( ) ( )
x
n
F x f t x t dt

với
()ft
là hàm số liên tục
H-ớng dẫn gải:
+/.

'
1 1 '
'
0
( ) ( ) ( ) (0) 0 .0
x
nn
x
x
F x f t x t dt f x x x x f x








2
0
1 ( )
x

n
n f t x t dt




+/.

'
22
''
00
1 ( ) 1 2 ( )
xx
nn
x
F x n f t x t dt n n f t x t dt






+/.



( 1)
( 1)
0

( ) 1 2 ( 1) ( )
x
nn
n
F x n n n n f t x t dt








0
1 2 ( 1) ( )
x
n n n n f t x t dt



4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
53
tích phân phụ thuộc tham số
với cận vô hạn

Tiết: 55 - 57 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:

- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Các định nghĩa


- Cho hàm số

,f x u
xác định trong miền

;R a x u


.
Giả sử với mỗi giá trị

;u


thì tích phân

;
a
f x u dx


hội tụ.
Vậy tích phân đó là một hàm số của
u
xác định trên

;


Ký hiệu:

;
a
I u f x u dx



(1)
Nói cách khác: Hàm số

Iu
là

lim ;
A

a
A
I u f x u dx



nếu giới hạn đó
tồn tại với mỗi giá trị

;u


Khi đó ta nói: Tích phân

;
a
f x u dx


hội
tụ về hàm số

Iu
trên

;


- T-ơng tự định nghĩa

1
2
; lim ; ;
; lim ; ;
bb
B
B
A
B
A
B
I u f x u dx f x u dx u
I u f x u dx f x u dx u

* Ví dụ 1: Tìm miền xác định của hàm số

22
1
1
u
I u dx
ux





Ta có
1
22
1
1
A
A
u
dx arctgux arctgAu arctgu
ux




Thấy

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
54




22
1
0
2
lim lim 0 0
1
0
2
A
AA
arctgu u
u
dx arctgAu arctgu u
ux
arctgu u

Vậy hàm số đã cho xác định trên toàn trục số.
* Ví dụ 2: Tìm miền xác định của hàm số

0
ux
I u ue dx





Ta có
0
0
1
A
ux ux A Au
ue dx e e

Mặt khác



1
10
lim lim 1 0 0
0
A
ux Au
AA
u
ue dx e u
u














Vậy miền xác định của hàm số đã cho là
0u

2
Sự hội tụ đều


- Định nghĩa: Tích phân

;
a
f x u dx


gọi là hội tụ đều về hàm số

Iu

trên

;

( Hay

;

hữu hạn hoặc vô hạn ) nếu với
0


cho tr-ớc nhỏ

bao nhiêu tuỳ ý, tồn tại
0
Aa
sao cho với

;u


và với
0
AA
ta
đều có

;
A
f x u dx





- Ví dụ 1:
Xét sự hội tụ đều của tích phân

0
sin
0
ux
x

e dx u
x




(2)
Ta thấy

2
sin
sin
1
ux ux
u
u x cosx
e xdx e C x C
u







Mặt khác với
0; 0xu
thì

2 2 2 2
1 1 1 3
sin 1
1 1 1 1 2 2
ux
u
e u u
x u x cosx
u u u u






Ta -ớc l-ợng

sin
0
ux
A
x
e dx A
x




bằng Ph-ơng pháp tích phân từng
phần:

22
sin
u
u u u
ux
A A A
A
x
x x A
x
e dx dx dx
x x x A x








2
3 3 3 3 3
2 2 2 2
A
dx
A x A A A

Vì vậy nếu chọn
0
3
A


thì với mọi
0
AA
ta có:
0
sin 3 3
ux
A
x
e dx
x A A





Trong đó

là số d-ơng cho
tr-ớc nhỏ bao nhiêu tuỳ ý, chứng tỏ tích phân (2) hội tụ đều trên tập
0u

* Dấu hiệu hội tụ đều:

Nếu có một hàm số liên tục

Fx
trên tập
xa
sao cho với mọi
u
thuộc
đoạn

;

và với mọi
x
đủ lớn, ta có:

,f x u F x
và nếu tích phân
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
55

a
F x dx


hội tụ thì tích phân

,
a

f x u dx


hội tụ đều trên đoạn

;


- Ví dụ 2: Xét sự hội tụ đều trong nửa đoạn


00
,0uu
của tích
phân
0
sin
ux
e xdx



(3)
Với mọi
0x
và
0
0uu
, ta có
0

sin
ux
ux ux
e x e e




Mặt khác có:
0
0
00
0
1
sin
ux
ux
e
e xdx
uu







, Tức là
0
0

ux
e dx



hội tụ.
Vậy tích phân
0
sin
ux
e xdx



hội tụ đều trong nửa đoạn


0
,u


3
Tính liên tục - Tính khả tích


- Định lý 1:
Nếu hàm số

,f x u
liên tục trong miền

;R a x u


và tích
phân

,
a
f x u dx


hội tụ đều trên đoạn

;

thì hàm số

,
a
I u f x u dx



liên tục trên

;


- Định lý 2:

Nếu hàm số

,f x u
liên tục trong miền

;R a x u


và tích
phân

,
a
f x u dx


hội tụ đều trên đoạn

;

thì hàm số

,
a
I u f x u dx



khả tích trên

;

và

,
a
I u du f x u du dx









Hoặc có thể viết

,,
aa
du f x u dx dx f x u du





, tức là có thể lấy
tích phân d-ới dấu tích phân hay hoán vị thứ tự lấy tích phân ( Trong tr-ờng
hợp chỉ có một tích phân có cận vô hạn )

4
Tính khả vi


- Định lý 3:
Nếu các hàm số

'
, , ,
u
f x u f x u
liên tục trên

;R a x u


,
nếu tích phân

,
a
f x u dx


hội tụ và tích phân

'
,
u
a

f x u dx


hội tụ đều trên
đoạn

;

thì hàm số

,
a
I u f x u dx



khả vi trên đoạn

;

và ta có

''
,
u
a
I u f x u dx

hoặc có thể viết

'
'
,,
u
aa
u
f x u dx f x u dx









Tức là cũng có thể lấy đạo hàm d-ới dấu tích phân ( cận vô tận ) hay hoán vị
thứ tự lấy đạo hàm và lấy tích phân.
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
56
- Ví dụ: Tính tích phân
sin
a
x
I dx
x

(1)
+/. Tích phân trong (1) hội tụ.
+/. Xét hàm số

sin
ux
a
x
I u e dx
x




có hàm số

sin
,
ux
x
f x u e
x


liên
tục trong

'

0 ,0R x u


và
sin
ux
a
x
e dx
x



hội tụ đều trên

0,


với

là số d-ơng tuỳ ý. Do vậy hàm số

sin
ux
a
x
I u e dx
x

liên tục trên


0,

suy ra nó liên tục trên


0,
và đặc biệt có

0
0 lim
u
I I I u


(*)
Do

,f x u
liên tục trong

'
0 ,0R x u


và vì

'
00
, sin
ux
u
f x u dx e xdx




hội tụ đều trên

0
,u

, trong đó
0
u
là số
d-ơng bất kỳ và

là số tuỳ ý lớn hơn
0
u
Vậy

sin
ux
a

x
I u e dx
x




khả vi
trên đoạn

0
,u

suy ra nó khả vi trong khoảng

0,

Vì vậy với
0u
có

'
22
0
sin 1
sin .
11
ux ux
a
u x cosx

I u e xdx e
uu








Lấy tích phân hai vế đ-ợc

'
2
1
uu
du
I u du
u






arctgu arctgu-
2
u
u
Iu

Nh-ng vì:
sin
1
x
x

nên

0
1
ux
I u e dx
u




Suy ra:

lim 0
u
Iu


Do đó

ta có:

0
2
I I u I u arctgu


và (*) cho ta đ-ợc

00
lim lim
22
uu
I I u arctgu






Vậy:
0
sin
2
x
dx
x

* Chú ý: Ta cũng có thể dùng cách khác để tính

0
sinux
I u dx
x



nh- sau
a/. Nếu
0u
thì
00
sin sin
2
ux z
z ux dx dz
xz





b/. Nếu
0u
thì

00
sin
sin
2
ux
ux
dx dx
xx






c/. Nếu
0u
thì
0
sin
0
ux
dx
x




Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
57

Tóm tắt:



0
0
2
sin
00
0
2
u
ux
dx u
x
u

5
Bài tập


- Bài 1: Tìm miền hội tụ của tích phân sau:
2
0
cos
1
ax
dx
x




Giải:


- Bài 2:


- Bài 3:


- Bài 4:

4. Bài tập về nhà

5. Rút kinh nghiệm