đề HSG toán 12 quảng ninh bảng B

sở giáo dục và đào tạo
quảng ninh

kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh
lớp 12 thpt năm học 2011-2012


Đề thi chính thức

môn : Toán
( bảng B )
H v tờn, ch ký
ca giỏm th s 1


Ngày thi : 26/10/2011




Thời gian làm bài : 180 phút
(không kể thời gian giao đề)




(Đề thi này có 01 trang)


Bài 1 (4 điểm):
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng y = x + m ct th ca hm

s y =
21
1
x
x


ti hai im A v B sao cho AB =
22


Bài 2 (3 điểm):
Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. Cỏc im M v N ln lt thuc cỏc
cnh AD v CD ca hỡnh vuụng sao cho
MBN
= 45
0
. t AM = x; CN = y v
din tớch tam giỏc MBN l S. Chng minh rng: S =
1
2
a(x+y)

Bài 3 (4 điểm):
Tìm nghiệm thực của h phng trỡnh:
3 2 3 2
2 2 2
( 1) 3( 1) 3
1 3 2 2 0
x x y y

x x y y








Bài 4 (6 điểm):
Cho hỡnh t din ABCD cú AB = AC, hai mt phng (ABC) v (BCD)
vuụng gúc vi nhau,
BDC
=90
0
. Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
1. Chng minh rng: OA = OB = OC = OD
2. t AB = a; BC = b, tớnh OA theo a v b.

Bài 5 (3 điểm):
Chng minh:
6 2 3
4
4(1 ) 4
9
xx
vi

1;1x
.

Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
www.VNMATH.com
sở giáo dục và đào tạo quảng ninh


h-ớng dẫn chấm thi chọn hsg lớp 12 năm học 2011-2012
môn toán bảng B. đề chính thức
(Hng dn chm ny cú 03 trang)

Bài
Sơ l-ợc lời giải
Cho
điểm
Bài 1
4 điểm
Do A, B l giao im ca ng thng y = x + m vi th y =
21
1
x
x


nờn
honh cỏc giao im x
A;
x
B

l nghim ca phng trỡnh: x + m =
21
1
x
x






0,5
hay phng trỡnh : f(x) = x
2
+ (m-1)x + m+1 = 0 (1) vi x

-1.
0,5

Phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit x

-1 <=>
()
0
( 1) 0
fx
f

0,5
<=> <=> m
2
6m 3 > 0 (*)
0,5
Khi ú cú: x
A
+ x
B
= 1-m ; x
A.
x
B
= m+1 (Viột); y
A
= x
A
+ m; y
B
= x
B
+ m ;
0,5
nờn: AB =
22
<=> AB
2

= 8 <=> (x
A
- x
B
)
2
+ (y
A
- y
B
)
2
= 8 <=> (x
A
- x
B
)
2
= 4
0,5
<=> (x
A
+ x
B
)
2
4x
A
x
B

= 4 <=> m
2
6m 7 = 0 <=> m = -1 hoc m = 7
0,75
D thy m = -1 v m = 7 u tha món iu kin (*). Vy cú 2 giỏ tr ca m
tha món yờu cu bi toỏn l m = -1 v m = 7.

0,25

Bài 2
3 điểm

Cú: S
MBN
= S = (1/2).BM.BN.sin45
0

Đặt
ABM
;
CBN
. Từ giả thiết suy ra:
0
45
.
Khi ú S = (1/2).BM.BN.sin(

)
= (1/2).BM.BN.(
sin os sin oscc

)
=(/12)(a/
osc

)(a/
osc

).(
sin os sin oscc


)
= (a
2
/2)(tan + tan) =
= (1/2).a.(x+y)
Vậy: S = (1/2).a.(x+y) (pcm !)

A
D
B
C
M
N



0,5

1,0

0,75


0,75

Bài 3
4 điểm

iu kin:
1 1;0 2xy
.
Vi
11x
thỡ
0 1 2x
Xột hm s g(t) = t
3
3t
2
vi
02t
.
0,25
0,5
Cú g(t) = 3t

2
6t. T ú chng minh c g(t) nghch bin trờn on

0;2

1,0
Bin i phng trỡnh u ca h thnh: g(x+1) = g(y) <=> x+1 = y
0,5
Thay y=x+1 vo phng trỡnh sau ca h, c: x
2
+ 2
2
1 x
- 3 = 0 (*)
Gii phng trỡnh (*) c nghim duy nht x = 0 ri suy ra y =1.
0,5
1,0
T ú tỡm c nghim duy nht ca h l (x; y) = (0; 1)
0.25

www.VNMATH.com

Bµi
S¬ l-îc lêi gi¶i
Cho
®iÓm
Bµi 4.1
3 ®iÓm
C
B

A
D
E
O
Hình vẽ

Gọi E là trung điểm cạnh BC; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
từ giả thiết AB = AC => AE  BC và O

AE.

1,0
Kết hợp với giả thiết: mặt phẳng (ABC)  mặt phẳng (BCD) => AE  mặt
phẳng (BCD)

1,0
Mặt khác, từ giả thiết
BDC
=90
0
=> EB = EC = ED
Từ đó chứng minh được : OB = OC = OD = OA (đpcm !)

0,5
0,5

Bµi 4.2
3 ®iÓm

Đặt S


ABC
= S, ta có: S

=
AB.AC.BC
4OA
=> OA =
2
ab
4S


1,0

Tính được: AE = … =
22
4ab
/2
0,5
và S = … = b.
22
4ab
/4.
0,75
Từ dó có: OA = a
2
/
22
4ab

.
0,75

Bµi 5
3 ®iÓm
Đặt x
2
= t ;
 
1;1x  
<=>
 
0;1t

Khi đó : x
6
+ 4(1-x
2
)
3
= t
3
+4(1-t)
3
= … = -3t
3
+ 12t
2
– 12t +4
0,25

0,75
XÐt hàm sè f(t) = -3t
3
+ 12t
2
– 12t +4
trªn đoạn
 
0;1

Lập được b¶ng biÕn thiªn víi
 
0;1t
,
rồi suy ra:
2
( ) minf( ) ( ) max ( ) (0)
3
f t f t f t f   

;
42
f( ); (0) 4
93
f
; và
4
( ) 4
9

ft

ta cã : f
’
(t) = -9t
2
+ 24t - 12
f’(t)=0<=>t =2/3 hoặc t=2; với
 
0;1t
ta có bảng biến thiên:
t
0 2/3 1
f
’
(t)
– 0 +
f(t)
4=f(0) f(1)=1

4
9



0,75

1,0
Từ đó có :
6 2 3
4
4(1 ) 4
9
xx   
với
 
1;1x  
(đpcm !)

0,25
www.VNMATH.com

Các chú ý khi chấm:


1. H-ớng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ l-ợc một cách giải. Bài làm của học
sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới đ-ợc điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất
điểm chi tiết nh-ng không đ-ợc v-ợt quá số điểm dành cho câu, phần đó.
3. Có thể chia điểm từng phần nh-ng không d-ới 0,25 đ và phải thống nhất
trong cả tổ chấm.
4. Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đã chấm. Không làm tròn điểm.
5. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải đ-ợc trao đổi trong tổ chấm
và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.

S GIO DC V O TO QUNG NINH



www.VNMATH.com