Đề thi CH Toán trường ĐH Vinh (năm 2006)

Đề thi tuyển sinh sau đại học Đại học Vinh năm 2006
Môn: Giải tích
Thời gian: 180 phút
Câu 1. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm
∞

n=1
(−1)
n
n

x − 1
x + 1

n
Câu 2. Xét tính liên tục và khả vi của hàm
f(x, y) =



(x
2
+ y
2
) sin
1
y
nếu y = 0
0 nếu y = 0
Câu 3. Giả sử f : R → R là hàm đo được và tồn tại tích phân Lơbe If.
Với mỗi n = 1, 2, . . . cho hàm

f
n
(x) =

f(x) nếu |f(x)| < n
n + 1 nếu |f(x)| ≥ n
1) Chứng minh rằng lim
n→∞
f
n
(x) = f(x), với mọi x ∈ R.
2) Có kết luận được lim
n→∞
If
n
= If hay không?
Câu 4. Giả sử C
[−1,1]
là không gian các hàm số liên tục trên [−1, 1] với
chuẩn
f = sup
x∈[−1,1]
|f(x)|, với mọi f ∈ C
[−1,1]
.
và X = {f ∈ C
[−1,1]
: f(1) = 0}, còn Y là không gian các dãy số hội tụ với
chuẩn
x = sup

n∈N
|x
n
|, với mọi x = {x
n
} ∈ Y.
Cho ánh xạ T : X → Y được xác định bởi công thức
T (f) =

f

n
n + 1

, với mọi f ∈ X.
1) Chứng minh rằng Y là không gian Banach
2) Xét tính compact của tập K = {f ∈ X : f ≤ 1} trong X
3) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính chuẩn của
T .
4) Xét tính trù mật của Y \ T (X) trong Y .
1
Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại họ c Vinh.
1
Đề thi tuyển sinh sau đại học năm 2006
Môn: Đại số
Thời gian: 180 phút
Câu 1. Cho V là không gian vectơ tất cả các ma trận vuông cấp 2 phần
tử thực. Xét ánh xạ
f : V → V


a b
c d

→

−a −b
−c −d

1) Chứng minh rằng f là phép biến đổi tuyến tính của V .
2) Tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc của V .
3) Tìm Kerf, Imf.
Câu 2. Giả sử f là phép biến đổi tuyến tính và có ma trận đối với cơ sở
đã cho là
A =


1 1 0
0 1 0
5 3 −2


1) Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của f.
2) Vectơ riêng của f tìm được ở câu 1) có tọa độ đối với cơ sở nào?
3) f có phải đẳng cấu không? Tại sao?
Câu 3. 1) Cho G là tập tất cả các giá trị căn phức bậc n của 1, với n
là số nguyên dương. Chứng minh rằng đối với phép nhân các số phức thông
thường, G là nhóm Cyclic.
2) Cho A là một vành và I là một tập con của A. Chứng minh rằng I là
Ideal của A khi và chỉ khi I là hạt nhân của một đồng cấu nào đó từ A.
Câu 4. Cho A[x] là vành đa thức một ẩn trên vành A giao hoán có đơn

vị.
1) Chứng minh rằng nếu A là trường thì A[x] là vành chính.
2) Gọi R là trường các số thực và I là Ideal của vành R[x] sinh bởi x
2
+1.
Chứng minh vành thương R[x]/I là một trường.
3) Nếu A là một trường thì A[x] có phải là một trường không ? Tại s ao?
Câu 5. Cho A là một ma trận vuông cấp 2 phần tử thực và n ∈ N, n ≥ 2.
Chứng minh rằng A
n
= 0 khi và chỉ khi A
2
= 0.
1
Typeset by Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại họ c Vinh.
2