Đề thi OLIMPIC 30/4/2011 Môn Toán 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. CẦN THƠ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

www.VNMATH.com
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4
LẦN THỨ XVII NĂM 2011
Khóa ngày 09 tháng 4 năm 2011
Môn thi: TOÁN; lớp 11
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề


Chú ý:
 Đề thi này có 1 trang,
 Học sinh làm bài mỗi câu trên tờ giấy làm bài riêng,
 Không được sử dụng máy tính cầm tay để làm bài.

Câu 1 (3 điểm)
Giải phương trình sau trên tập số thực:

23 3 2
11 (1) (1) 21
x
xx x

    

.
Câu 2 (4 điểm)
Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn hệ thức:



(1)!
p
pp
xy pp  .
Câu 3 (3 điểm)
Qua điểm S bất kì thuộc mặt cầu bán kính R ta dựng các đường thẳng đôi một hợp với nhau một
góc
a , cắt mặt cầu tại các điểm A, B, C ( khác S) sao cho SA = SB = SC. Xác định a để thể tích khối
chóp S.ABC lớn nhất.

Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC không tù nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Gọi G là trọng tâm của
tam giác ABC và
000
,, CBA lần lượt là hình chiếu của G lên BC, CA, AB. Các đường thẳng qua A, B, C
lần lượt vuông góc với GA, GB, GC và đôi một cắt nhau tại
111
,, CBA (
111111
,, BACCABCBA

 ).
Gọi
10
, SS lần lượt là diện tích các tam giác
111000
, CBACBA .

Chứng minh
01
32 27
.
27 16
SS.

Câu 5 (3 điểm)
Cho dãy số

n
x
xác định bởi

1
2
123 1
2
1
4
4 9 1
(1)
n
n
x
x
xx n x
x
nn














với mọi số nguyên dương
n lớn hơn 1. Tìm


2
lim 30 4 2011
n
n
nn x

 .
Câu 6 (4 điểm)
Tìm tất cả các hàm số






 ;1;1:f thỏa mãn điều kiện








;1,)()( yxxyfyxff

Hết
Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………………………………….……… Số báo danh:…………………………
www.VNMATH.com