Chuyên đề số phức ôn tốt nghiệp 12

Chuyên đề số phức
A. Tóm tắt lý thuyết
biaz +=
2
1i = −
1.Định nghĩa số phức
Số phức z là một biểu thức có dạng
.
a là phần thực.
b là phần ảo.
i là đơn vị ảo.
trong đó a và b là các số thực, i là một số thỏa mãn
C
•
Tập hợp các số phức kí hiệu là
2. Số phức bằng nhau.
biaz +=
ibaz
'''
+=





=
=
↔+=+
'
'

''
bb
aa
ibabia
Hai số phức
và
bằng nhau nếu phần thực và
phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau

biaz +=
O
M(a;b)
y
x
a
b
.
3. Biểu diễn hình học của số phức.
được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong
Số phức
mặt phẳng Oxy.

biaz +=
22
baz +=
4. Mô đun số phức
là số thực không âm kí hiệu
•
Môđun số phức
biaz +=

biaz −=
5. Số phức liên hợp.
là số phức
Liên hợp của số phức
biaz +=
ibaz
'''
+=
6.Cộng, trừ, nhân và chia số phức.
và Cho hai số phức
+ Cộng hai số phức:
( ) ( ) ( ) ( )
a+bi a'+b'i ' 'a a b b i+ = + + +
+Trừ hai số phức:
( ) ( ) ( ) ( )
a+bi a'+b'i ' 'a a b b i− = − + −
+Nhân hai số phức:
( ) ( ) ( ) ( )
a+bi a'+b'i aa'-bb' ' 'ab a b i= + +
+ Chia hai số phức:
2 2 2 2
a+bi aa'-bb' ' '
a'+b'i ' ' ' '
ab a b
i
a b a b
+
= +
− −

Căn bậc hai của số thực a âm là
.
i a±
0
2
=++ cbxax
0,,, ≠ℜ∈ acba
1,2
2
b i
x
a
− ± ∆
=
8. Phương trình bậc hai với hệ số thực.
với
Khi
phương trình có hai nghiệm phức:
.
Cho phương trình bậc hai
0<∆
7. Căn bậc hai của số thực âm.


B. Bài tập
Bài 1.
Xác định phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a)
)23()42( iii +−−+

b)
)3)(2( iii +−

c)
22
)1()1( ii −−+

d)
)
1
(
2
1
7
7
i
i
i
−

e)
12
1
1
−+
−
−
i
i
i

g)
i
i
ii
+
−
++
3
3
)2(

h)
i
i
21
23
+
−
=+−−+ )23()42( iii
1−
Giải
Phần thực là , phần ảo là -5
Ta có

a)
iii 2432 −−+−
i51−−=
iiii 71236
2

+=+++=
)3)(2( iii +−
1
b)
Phần thực là , phần ảo là 7
)3)(12( ii ++=
Ta có

c)
22
)1()1( ii −−+
i40 +=
22
2121 iiii −+−++=
Phần thực là 0 , phần ảo là 4
d)
)
1
(
2
1
7
7
i
i
i
−

1)
1

(
2
1
8
6
−=−=
i
i
Phần thực là -1 , phần ảo là 0
Bài 2.
iyxz +=
Tìm phần thực,phần ảo của các số phức sau:
Cho số phức
a)
zz 2
2
+
b)
1−
+
iz
iz
Giải
a)
zz 2
2
+
112
2
−++= zz

1)()1(2)1(
22
−++++= iyxiyx
ixyxyx )1(22
22
+++−=
xyx 2
22
+−
)1(2 +xy
Phần thực là
Phần ảo là
Ta có
Ta có

b)
yix
yix
−−
−+
=
1
)1(
1−
+
iz
iz
1
)1(
2

−+
−+
=
yiix
yix
))1()(1(
)1))(1((
yixyix
yixyix
+−++
++−+
=
22
22
22
)1(
1
)1(
2
++
−+
+
++ yx
yx
i
yx
xy
22
)1(
2

++ yx
xy
22
22
)1(
1
++
−+
yx
yx
Phần thực là
, phần ảo là

Bài 3.
iyixi 31)75()23( −=−+−
iyixi 2)54()21(
22
=−−+
a)
b)
Tìm các số thực x, y thỏa mãn
Giải



=+
=+
↔
372
153

yx
yx
iyixi 31)75()23( −=−+−
a)







=
−=
↔
11
7
11
8
y
x

iiyxyx 20)404(93( +=+++−↔
iyixi 2)409()43( =−−−+−↔
iyixi 2)54()21(
22
=−−+
b)








=
=
↔
26
1
26
3
y
x



=+
=+−
2404
093
yx
yx



=+
=+−
↔
1202
03

yx
yx
x, y thỏa mãn hệ phương trình
)(z
)( z
Bài 4
và tính modun
của số phức
sau:
Tìm số phức liên hợp
a)
iz 32 +=

b)
3
)32( iz +=
c)
i
i
z
21
32
−
+
=

d)
iz
3
4

2 −=
Giải
a)
,
Với
iz 32 +=
,
ta có
iiz 3232 −=+=

z
1332
22
=+=
i32 +=

b)
Ta có
3
)32( iz +=
3223
)3()3.(2.33.2.32 iii +++=
i946 +−=
iiz 2754368 −−+=
Suy ra
z
i946 −−=
3
)32( i+=
z

22
9)46( +−=
2197=
i946 +−=
Ta có:
c)
z
)21)(21(
)21)(32(
ii
ii
+−
++
=
i
i
21
32
−
+
=
22
21
6342
+
−++
=
ii
i
5

7
5
4
+
−
=
5
74 i+−
=
Suy ra
z

i
5
7
5
4
−
−
=

22
5
7
5
4







−+






=
z
5
65
25
65
==


i
3
4
2 −=

d)
z

z

Suy ra
i

3
4
2 +=

3
34
=
z
( )
2
2
3
4
2






+=
Thực hiện phép tính
Bài 5.
* Phép cộng ( Bài 1 sgk tr 135)
a)
)42()53( ii ++−

b)
)71()32( ii −−+−−

c)
)75()34( ii −−+
d)
)45()32( ii −−−
* Phép nhân ( Bài 3 tr 136 sgk)
Nhân như nhân hai đa thức. Với qui ước
1
2
−=i
a)
)32).(23( ii −−

b)
)73).(1( ii ++−

)34(5 i+
ii 4).52( −−
c)
d)
i
i
23
2
−
+
32
21
i
i
+

+
i
i
32
5
−
i
i25 −
* Phép chia: ( Bài 1 tr 138 sgk)

b)
c)
d)
a)

Bài 2 (tr 138 sgk)
z
1
iz 21 +=
iz 32 −=
iz =
35 iz +=
Tìm nghịch đảo của số phức ,biết:
b)
c)
d)
a)
Bài tập luyện tập
Bài 3 tr 138 sgk
)42)(3(2 iii ++

a)

b)
i
ii
+−
+
2
)2()1(
32

c)
)5)(6(23 iii ++++

d)
i
i
i
63
45
34
+
+
+−
Giải các phương trình sau:
Bài 4 tr 138 sgk:
a)
iizi 37)54()23( +=++−

b)
ziizi )2()52()31( +=+−+

c)
ii
i
z
25)32(
34
−=−+
−

Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
a)
18−
i815 +−
Bài 6.
b)
Giải các phương trình sau trên tập số phứcBài 7.
a)
033
2
=++ xx

b)
0204
2
=+− xx

c)

0232
2
=+− xx

d)
044
2
=+− zz
Giải
a) Xét phương trình
033
2
=++ xx
∆
129 −=
3−=
2
)3( i=
2
33
2
i
x
+−
=
2
33
1
i
x

−−
=
Phương trình có hai nghiệm phức là
,
204 −=
b)

0204
2
=+− xx
'
∆
Xét phương trình

16−=
2
)4( i=

ix 42
1
−=
ix 42
2
+=
Phương trình có hai nghiệm phức là
,
Xét phương trình
044
2
=+− zz

d)

0232
2
=+− xx
∆
4
73
1
i
x
−
=
c)

Phương trình có hai nghiệm phức là
,
169 −=
2
)7( i=
7−=
Phương trình có hai nghiệm phức là
4
73
,
2
i
x
+

=
Xét phương trình
'
∆
4.44 −=
12−=
2
)32( i=
i
i
z 31
2
322
1
+−=
+−
=
i
i
z 31
2
322
2
−−=
−−
=

Tính modun các nghiệm của phương trình
Bài 8.
0134

2
=+− zz
Có
13.416 −=
Giải
∆
2
)6( i=
36−=
Phương trình có hai nghiệm phức là
i
i
z 31
2
322
1
+−=
+−
=
i
i
z 31
2
322
,
2
−−=
−−
=
Vậy

1332
22
21
=+== zz

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô
đã quan tâm theo dõi!