TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

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Tích phân hàm vô tỉ: 2
1/ 3
2/ 6
7
3/ 7
4/ 8
5/ 9
6/ 11
7/ 11
8/ 11
9/ 12
* 12
10/ 14
11/ 16
6/ 18
7/ 19
19
8/ 19
21
* 21
* 22
* 23
* 23
24
* 25
* 26
26
27
28

29
30
30
31
32
32
33
34
34
34
34
35
35
35
35
36
36
36
37
37
* 37
38
38
39
39
39
40
40
41
41

41
43
43
44
44
45
45
1
Tích phân hàm vô tỉ:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
n n n
n n
n
n n
n
' '
n n n n n 1 n n n 1
2 2
n n
n 1 n
ax b ax b ax b
a / R x, dx doi bien : t t ax b t .cx t .d
cx d cx d cx d
t .d b
x a c.t t .d b x

a c.t
t .d b a c.t t .d b a c.t n.d.t a c.t t .d b n.c.t
dx dt dt
a c.t a c.t
a.n.d.t b.n.c.t
− −
−
 
+ + +
= ⇒ = ⇔ + = +
∫
 ÷
+ + +
 
−
⇔ − = − ⇔ =
−
− − − − − − − − −
⇒ = =
− −
−
=
( )
( )
( )
n 1
1
2 2
n n
n.t ad bc dt

dt
a c.t a c.t
−
−
−
=
− −
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
3 3
3 2
2
3
3
2 3 3 3 3 3
2 3 2 3 2 3 3
3 3 3
3 2
2
dx x 1 dx x 1 t 1 6t .dt
VD1: I . Dat t x , dx
x 1 x 1 x 1
t 1
x 1 x 1
t 1

6t .dt t 1 6t .dt 2t 6t .dt t 1 3dt
I t 1 .
t 1 t 1 2t t 1
t 1 t 1 t 1
1 1 A B.t C
t 1
t 1 t
t 1 t t 1
+ + + −
= = = ⇒ = =
∫ ∫
− + −
−
− +
−
     
− + − − − −
⇒ = ÷ + = ÷ = =
∫ ∫ ∫ ∫
 ÷  ÷  ÷
− − −
     
− − −
+
= = +
−
−
− + +
( )
( ) ( )

( ) ( )
2
A t t 1 B.t C t 1 1
t 1
1
Cho t 1 3A 1 A cho t 0 A 1 B.t C 1
3
1 2 7 2 1
C 1 C cho t 2 7A 2B C 1 2B 1 B
3 3 3 3 3
⇒ + + + + − =
+ +
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ + − + =
⇔ − = ⇒ = − = ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ = −
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3 3
2 2
2
2 2 2

2
2
2
2
2
d t 1 t 2 dt
1 1 t 2 3dt
3 t 1 t 1
t 1 t 1
3 t t 1 t t 1
d t t 1
1 2t 4 1 3 dt
ln t 1 dt ln t 1
2 2 2
t t 1 t t 1 t t 1
1 3 dt
ln t 1 ln t t 1
2 2
t t 1
1
d t
3 dt 3
2
2 2
t t 1
1 3
t
2 2
− − +
+ −

⇒ = − ⇒ = +
∫ ∫
− −
− −
+ + + +
+ +
+
= − − + = − − + +
∫ ∫ ∫
+ + + + + +
= − − + + + +
∫
+ +
 
+
 ÷
 
= =
∫ ∫
 
+ +
 
 
 ÷
+ +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 

 
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
3 2 2t 1 dx 1 x
. arctg arctg
2 a a
3 3
x a
t t 1
1 1 2t 1 2t 1
I ln t 1 ln t t 1 3.arctg ln 3.arctg
2 2
3 3
t 1
+
 
 
=
∫
 ÷
 ÷
+ 
 

+ +
+ +
   
⇒ = − − + + + + = +
 ÷  ÷
   
−
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
n n n
n n
n
n n
n
' '
n n n n n 1 n n n 1
2 2
n n
n 1 n
ax b ax b ax b
a / R x, dx doi bien : t t ax b t .cx t .d
cx d cx d cx d
t .d b
x a c.t t .d b x
a c.t
t .d b a c.t t .d b a c.t n.d.t a c.t t .d b n.c.t

dx dt dt
a c.t a c.t
a.n.d.t b.n.c.t
− −
−
 
+ + +
= ⇒ = ⇔ + = +
∫
 ÷
+ + +
 
−
⇔ − = − ⇔ =
−
− − − − − − − − −
⇒ = =
− −
−
=
( )
( )
( )
n 1
1
2 2
n n
n.t ad bc dt
dt
a c.t a c.t

−
−
−
=
− −
2
1/
1 ax b
I dx
x cx d
+
=
∫
+

( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
n n n
n n
n
n n
n
' '
n n n n n 1 n n n 1
2 2

n n
n 1 n 1
n
1 ax b ax b ax b
a / I . dx doi bien : t t ax b t .cx t .d
x cx d cx d cx d
t .d b
x a c.t t .d b x
a c.t
t .d b a c.t t .d b a c.t n.d.t a c.t t .d b n.c.t
dx dt dt
a c.t a c.t
and.t bnc.t
a c.t
− −
− −
+ + +
= = ⇒ = ⇔ + = +
∫
+ + +
−
⇔ − = − ⇔ =
−
− − − − − − − − −
⇒ = =
− −
−
=
−
( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
n 1
2 2
n
n
n 1 n
2
n n n
n
n.t ad bc dt
dt
a c.t
a c.t .t
n.t ad bc dt n.t ad bc dt
I
t .d b a c.t t .d b
a c.t
−
−
−
=
−
−
− −

⇒ = =
∫ ∫
− − −
−
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
t dt M N
Cho n 2 I 2 ad bc 2 ad bc dt
a c.t t .d b a c.t t .d b
t M N
M t .d b N a c.t t
a c.t t .d b a c.t t .d b
Mb
Na Mb 0 N M 0, P 0
a
a b
M N
bc ad bc
ad bc ad bc
Md Nc 1 M d 1 M 1

a a
a
I 2
 
 ÷
= ⇒ = − = − +
∫ ∫
 ÷
− − − −
 
= + ⇒ − + − =
− − − −

− = ⇒ = = =

⇒ = =

−
− −
   

− = ⇒ − = ⇒ =
 ÷  ÷

   

⇒ =
( ) ( )
2 2
b

dt
a c.t t .d b
 
 ÷
+
∫
 ÷
− −
 
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
a a
t t
adt adt a 1 1 a dx 1 a x
c c
. .ln . ln ln
c 2 c 2a a x
a a a a x
a c.t

a
2 t t
c t
c c c
c
b b
t t
bdt bdt b 1 1 b
d d
. .ln . ln
d 2 d
b b b
t .d b
b
2 t t
d t
d d d
d
t dt a
I 2 ad bc 2
a c.t t .d b
+ +
+
 
= = = =
∫ ∫ ∫
 ÷
−
 
−

 
−
 
− −
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
 
+ +
−
= = − = −
∫ ∫
 
−
 
− −
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
 
⇒ = − =
∫
− −
( ) ( )
2 2
b

dt
a c.t t .d b
a b
t t
1 a 1 b
c d
2 . ln . ln
2 c 2 d
a b
t t
c d
 
 ÷
+
∫
 ÷
− −
 
 
+ +
 ÷
 ÷
= −
 ÷
− −
 ÷
 
1 a a c.t 1 b b d.t
2 . ln . ln
2 c 2 d

a c.t b d.t
a ax b b ax b
1 ax b a b
c cx d d cx d
I dx ln ln
x cx d c d
a ax b b ax b
c cx d d cx d
 
+ +
= −
 ÷
− −
 
 
+ +
+ +
 ÷
+
+ +
 ÷
= = −
∫
+
+ +
 ÷
− −
 ÷
+ +
 

3
'
' '
a ax b b ax b
a b
c cx d d cx d
Kiem tra ket qua : ln ln
c d
a ax b b ax b
c cx d d cx d
a ax b b ax b
a b
c cx d d cx d
ln ln
c d
a ax b b ax b
c cx d d cx d
a a ax b a ax b
ln ln
c c cx d c cx d
 
+ +
+ +
 
+ +
 
−
+ +
 
− −

 
+ +
 
   
+ +
+ +
 ÷  ÷
+ +
 ÷  ÷
= −
+ +
 ÷  ÷
− −
 ÷  ÷
+ +
   
   
+ +
= + − −
 ÷ 
+ +
  
( ) ( )
( )
'
'
2
'
'
b b ax b b ax b

ln ln
d d cx d d cx d
a cx d c ax b
ax b
cx d
cx d
a ax b
ax b ax b
2 2
c cx d
a ax b
cx d cx d
ln
c cx d
a ax b a ax b
a ax b
c cx d c cx d
c cx d
   
   
+ +
− + − −
 ÷  ÷
÷  ÷  ÷
+ +
    
   
+ − +
+
 

 ÷
+
+
 
 
+
+ +
+
 ÷
 
+
 
+
 
+ +
+ = = =
 
 ÷
+
 
+ +
+
 
 
+ +
+
 ÷
+ +
+
 

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
'
2
'
'
ad bc cx d
.
2 ax b
cx d ad bc cx d
a ax b
a ax b
2 cx d ax b
c cx d
c cx d
a cx d c ax b
ax b
cx d
cx d
a ax b
ax b ax b
2 2
c cx d
a ax b
cx d cx d
ln

c cx d
a ax b a ax
a ax b
c cx d c
c cx d
− +
+
+ − +
= =
 
+
+
+
+ + +
 ÷
+
+
 
+ − +
+
 
 ÷
+
+
 
− −
 
+
+ +
−

 ÷
 
+
 
+
 
+ +
− = = =
 
 ÷
+
 
+
+
 
 
− −
−
 ÷
+
+
 
( ) ( )
( )
2
2
b
cx d
ad bc cx d
.

2 ax b
cx d ad bc cx d
a ax b
a ax b
2 cx d ax b
c cx d
c cx d
+
+
− +
−
+
+ − − +
= =
 
+
+
−
+ + −
 ÷
+
+
 
( )
( )
( )
( )
' '
2
2

a ax b a ax b
ln ln
c cx d c cx d
ad bc cx d
1 1
a ax b a ax b
2 cx d ax b
c cx d c cx d
a ax b a ax b
c cx d c cx d
ad bc cx d
a ax b
2 cx d ax b
c cx d
   
   
+ +
+ − −
   
 ÷  ÷
+ +
   
   
 
 ÷
− +
 ÷
= +
 ÷
   

+ +
+ +
+ −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
+ +
   
 

   
+ +
− + +

 ÷  ÷
+ +
− +
   

=
+
 
+ +
−
 ÷
+
 

( )
( )

( ) ( )
( )
2
ad bc cx d
a 1
.2
a cx d c ax b
c
2 cx d ax b
c cx d

÷
÷
 ÷
 ÷
 ÷

 
 ÷
− +
 ÷
=
+ − +
 ÷
+ +
 ÷
+
 
4
( )

( )
( )
( )
( )
( )
2 2
'
ad bc cx d ad bc cx d c cx d
a 1 a ac
. . .
c c ad bc
cx d. ax b
ad bc
cx d ax b cx d ax b
c cx d
a ax b
a a
c cx d
ln
c
a ax b cx d. ax b
c cx d
 
 ÷
− + − + +
 ÷
= = =
 ÷
−
 

+ +
−
+ + + +
 ÷
 ÷
+
 
 
 
+
+
 ÷
+
 ÷
⇒ =
+ + +
 ÷
−
 ÷
+
 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
'
2
'
'
2

2
a cx d c ax b
ax b
cx d
cx d
b ax b
ax b ax b
2 2
d cx d
b ax b
cx d cx d
ln
d cx d
b ax b b ax b
b ax b
d cx d d cx d
d cx d
ad bc cx d
.
2 ax b
cx d ad bc cx d
b ax b
b ax b
2 cx d ax b
d cx d
d cx d
+ − +
+
 
 ÷

+
+
 
 
+
+ +
+
 ÷
 
+
 
+
 
+ +
+ = = =
 
 ÷
+
 
+ +
+
 
 
+ +
+
 ÷
+ +
+
 
− +

+
+ − +
= =

+
+
+
+ + +
+
+

( )
( )
'
2
ad bc cx d
b ax b
ln
d cx d
b ax b
2 cx d ax b
d cx d

 ÷

 
 
− − +
+
− =

 
 ÷
+
 
+
 
 
+ + −
 ÷
+
 
( )
( )
( )
( )
' '
2
2
b ax b b ax b
ln ln
d cx d d cx d
ad bc cx d
1 1
b ax b b ax b
2 cx d ax b
d cx d d cx d
b ax b b ax b
d cx d d cx d
ad bc cx d
b ax b

2 cx d ax b
d cx d
   
   
+ +
+ − −
   
 ÷  ÷
+ +
   
   
 
 ÷
− +
 ÷
= +
 ÷
   
+ +
+ +
+ −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
+ +
   
 

   
+ +

− + +

 ÷  ÷
+ +
− +
   

=
+
 
+ +
−
 ÷
+
 

( )
( )
( ) ( )
( )
2
ad bc cx d
b 1
.2
b cx d d ax b
d
2 cx d ax b
d cx d

÷

÷
 ÷
 ÷
 ÷

 
 ÷
− +
 ÷
=
+ − +
 ÷
+ +
 ÷
+
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
'
2
' '
b ax b
ad bc cx d
b 1 bd cx d b
d cx d
ln

x bc ad
d d
cx d .x ax b b ax b
cx d ax b
d cx d
d cx d
b
cx d.x ax b
a ax b b ax b
a b a
c cx d d cx d
ln ln
c d
a ax b b ax b cx d a
c cx d d cx d
 
 
+
+
 ÷
 ÷
− +
+
+
 ÷
 ÷
= = ⇒
−
 ÷
+ + +

 ÷
+ +
−
 ÷
 ÷
+
+
 
 
=
+ +
   
+ +
+ +
 ÷  ÷
+ +
 ÷  ÷
− =
+ + +
 ÷  ÷
− −
 ÷  ÷
+ +
   
( )
b
x b cx d .x ax b
ax b ax b
x cx d ax b x cx d
−

+ + +
− +
= =
+ + +
5
2/
2
1 ax b
I dx
cx d
x
+
=
∫
+

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )

2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
1 ax b ax b ax b
a / I . dx doi bien : t t
cx d cx d cx d
x
2.t ad bc dt
t .d b
x dx
a c.t
a c.t
a c.t .t
2.t ad bc dt
t dt
I 2 ad bc
t .d b a c.t t .d b

t M.t N P.t Q
M.t N t .d b P.t Q t
t .d b
t .d b t .d b
Md.
+ + +
= = ⇒ =
∫
+ + +
−
−
⇔ = ⇒ =
−
−
−
−
⇒ = = −
∫ ∫
− − −
+ +
= + ⇒ + − + + =
−
− −
⇔
3 2 2
t Nd.t Mb.t Nb P.t Q t+ − − + + =
( )
( )
( )
( )

( )
( )
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
Md 0, Nd 1
M 0, P 0
P Mb 0
1 b
N , Q Nb
Q Nb 0
d d
t dt dt b.dt
I 2 ad bc 2 ad bc
d t .d b
t .d b d t .d b
b
t
dt 1 dt 1 1 1 d b d.t
d
. ln ln
b b 2 b b d.t
d d d
d t .d b
b

2 t
t
d d
d
= =

= =

 
⇒ − = ⇒
 
= = =
 
− =


 
 ÷
⇒ = − = − +
∫ ∫ ∫
 ÷
−
 ÷
− −
 
+
− − −
= = =
∫ ∫
 

+
−
 
−
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
 
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
2
2
2 2 2 3
2 2 2
2 2
2
2
2 3 2 3
2
2
b.dt b dt b
Dat a
d
d

d t .d b
b
t
d
b dt b t 1 a x
M ln
a x
d d 4a
2a x a
t a
b
t
b t 1 b d .t b 1 1 b
d
.ln . . .ln
b b
d d
b
d d
2b t b
b b
2 t
t
4 4
d d
d
d d
= =
∫ ∫
 

−
 
 ÷
−
 ÷
 ÷
 
 
 
−
 ÷
⇒ = = − +
∫
+
 ÷
−
−
 
 
 ÷
−
 
 ÷
−
= − + = − −
 ÷
 ÷
 
−
   

 
−
 ÷
+
 ÷
 ÷  ÷
 
 ÷
   
 
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2 2 3
2 2 2 2 2 2
2 2
d.t
b d.t
t d b d.t
ln
4d b b d.t
2 t b
2 1
dx x x 1 a x
I ln
a x

2a 4a
2a x a 2a x a
x a
+
 
−
 ÷
= − +
 ÷
+
−
 
   
−
−
 ÷  ÷
= − + = − +
∫
+
 ÷  ÷
− −
−
   
6
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
2
2
2
2
2
2
3
2
dt b.dt
I 2 ad bc
d t .d b
d t .d b
1 d b d.t t d b d.t
2 ad bc ln ln
2 b b d.t 4d b b d.td
2 t b
b d.t 1 1 t
2 ad bc ln
b d.t 4 bd
2 t b
2 bd
ax b
b d.
1 ax b
cx d
I . dx 2 ad bc ln
cx d
x

b d
 
 ÷
⇒ = − +
∫ ∫
 ÷
−
 ÷
−
 
 
 
− −
 ÷
 ÷
= − − +
 ÷
 ÷
+ +
−
 
 
 
 
−
 ÷
= − − −
 ÷
 ÷
+

−
 
 
+
−
+
+
⇒ = = −
∫
+
+
3
ax b
1 1
cx d
ax b
ax b 4 bd
2 bd
2 b
.
cx d
cx d
 
+
 ÷
 
+
 ÷
− −
 ÷

+
 
+
 ÷
 
−
 ÷
 ÷
+
 
+
 

1 x 1
* I .dx
x x 1
−
=
∫
+

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
' '

2 2 2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
1 t 1 t 1 t 1 t
1 x 1 x 1 1 t
* I .dx dat t x , dx dt
x x 1 x 1
1 t
1 t
2t 1 t 2t 1 t
4t.dt 4t .dt
dt I
1 t 1 t
1 t 1 t
4t a b
dat a 1 t b 1 t 4t
1 t 1 t 1 t 1 t
a b 0, b a 4 b 2, a 2

4t .dt
I
1 t 1 t
+ − − − +
− − +
= = ⇒ = =
∫
+ +
−
−
− + +
= = ⇒ =
∫
+ −
− −
= + ⇒ − + + =
+ − + −
⇔ + = − = ⇔ = = −
⇒ = =
∫
+ −
( ) ( )
2 2
2 2 t 1
ln 2arctan t C
t 1
1 t 1 t
x 1
1
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

x 1
I .dx ln 2arctan ln 2arctan C
x x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
1
x 1
− +
+ = − +
∫ ∫
−
+ −
−
+
   
− − − + + −
+
⇒ = = − = − +
∫
 ÷  ÷
+ + +
− − − +
   
−
+
3/
3 3
dx
I
x a
=

∫
−

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
dx dx 1 m px q
1/ I
x a
x a
x a x ax a x a x ax a x ax a
m x ax a px q x a 1 x m p am.x ma ap.x q.x aq 1 1
1 a 2
Sai : Cho x a 3a m 1 m Cho x 0 m a q a 1 q 1

3
3a 3a
7 2a
Cho x 2a 7a m 2ap q a 1 2a p 1 7 6
3 3
+
= = = +
∫ ∫
−
−
− + + − + + + +
⇒ + + + + − = ⇔ + + + − + − =
= ⇒ = ⇒ = = ⇒ + − = ⇒ = − = −
= ⇒ + + = ⇒ + − = ⇒ +
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2
a p 2a 3 6a p 2a 4
1 x m p x am ap q ma aq 1
m p 0 m p
2
am ap q 0 2am q 0 q 2am
3a
1 1
ma aq 1 ma 2ma 1 m , p m
3a 3a
− = ⇒ = −
⇔ + + − + + − =



+ = ⇒ = −


⇒ − + = ⇒ + = ⇒ = − = −



− = ⇒ + = ⇒ = = − = −


7
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x 2
d x a
dx 1
3a

3a
I dx
x a
3a
x a x ax a x ax a
x 2a 2x a 3a dx
ln x a ln x a
1 1
dx
3a 3a 3a 6a
x ax a x ax a
− −
−
⇒ = = +
∫ ∫ ∫
−
− + + + +
+ + +
− −
= − = −
∫ ∫
+ + + +
( )
( )
( )
( ) ( )
'
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

2 2
2 2
2
2
2 2
2
x ax a dx
x 2a
ln x a ln x a
1 1 dx
dx 3a
3a 3a 3a 6a
x ax a x ax a x ax a
a
d x
ln x a
1 1
2
ln x ax a
2a
3a 6a
a a 3
x
2 2
2ln x a ln x ax a
1 2 a
. .arctg x
2a 2
a 3
6a

 
+ +
+
− −
 ÷
= − = − +
∫ ∫ ∫
 ÷
+ + + + + +
 ÷
 
 
+
 ÷
−
 
= − + + −
∫
 
 
 
 ÷
+ +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
− − + +

 
= − +


( )
2
2 2
2 2
2
3 3 2 2 2 2
2
.
a 3
ln x a ln x ax a
1 2x a
.arctg
a 36a a 3
x a
dx 1 1 2x a
I ln .arctg
a 3x a 6a x ax a a 3
 
÷
 ÷

 
− − + +
+
 
= −

 ÷
 
−
+
 
⇒ = = −
∫
 ÷
− + +
 
4/
3 3
dx
I
x a
=
∫
+

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
2 2 2 2 2 2

2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
dx dx 1 m px q
1/ I
x a
x a
x a x ax a x a x ax a x ax a
m x ax a px q x a 1 x m p am.x ma ap.x q.x aq 1 1
1 x m p x am ap q ma aq 1
m p 0 m p
2
am ap q 0 2am q 0 q 2am
3a
1
ma aq 1 ma 2ma 1 m ,
3a
+
= = = +
∫ ∫
+
+
+ − + + − + − +
⇒ − + + + + = ⇔ + − + + + + =
⇔ + + − + + + + =
+ = ⇒ = −
⇒ − + + = ⇒ − + = ⇒ = =
+ = ⇒ + = ⇒ =
2

1
p m
3a







= − = −


( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
'
2 2

2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
x 2
d x a
dx 1
3a
3a
I dx
x a
3a
x a x ax a x ax a
x 2a 2x a 3a dx
ln x a ln x a
1 1
dx
3a 3a 3a 6a
x ax a x ax a
x ax a dx
ln x a
1 dx
3a
3a 6a
x ax a x ax a
d x
ln x a
1 1
ln x ax a
2a

3a 6a
− +
+
⇒ = = +
∫ ∫ ∫
+
+ − + − +
− − −
+ +
= − = −
∫ ∫
− + − +
 
− +
+
 ÷
= − −
∫ ∫
 ÷
− + − +
 ÷
 
−
= − − + +
2
2
a
2
a a 3
x

2 2
 
−
 ÷
 
∫
 
 
 
 ÷
− +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
8
( )
( )
2 2
2
2
2 2
2 2
2
3 3 2 2 2 2
2
3 3 2 2 2 2
2ln x a ln x ax a

1 2 a 2
. .arctg x .
2a 2
a 3 a 36a
ln x a ln x ax a
1 2x a
.arctg
a 36a a 3
x a
dx 1 1 2x a
ln .arctg
a 3x a 6a x ax a a 3
x a
dx 1 1 2x a
* ln .arctg
a 3x a 6a x ax a a 3
+ − − +
 
 
= + −
 ÷
 ÷
 
 
+ − − +
−
 
= +
 ÷
 

+
−
 
⇒ = +
∫
 ÷
+ − +
 
−
+
 
= −
∫

− + +
 
÷
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3 3 2 2 2 2
2

3 3 2 2 2 2
3 3
2
2 2 2 2
x a
dx 1 1 2x a
* ln .arctg
a 3
x a 6a x ax a a 3
x a
2x a
dx dx 1 1
* ln .arctg
a 3
x a x a x a
x a
6 a a 3
x a
1 1 2x a
ln . arctg
a 3
6a x ax a a 3
+
−
 
= +
∫
 ÷
+ − +
 

 
− −
+ −
= = −
∫ ∫
 ÷
 ÷
−
+ + − +
− −
− −
 
+
−
 
 
= − −
 ÷
 ÷
− +
 
 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )

( )
( )
( )
(
)
3
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
dx dx d x 1
* I
x -1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3
3 t 2 2 3 t 2 2
t 3t 3 t 3t 3 t 3t 3
3
t
2

4
−
= = =
∫ ∫ ∫
− + +
− − + − +
+ + − + +
 
= = = −
∫ ∫ ∫ ∫
 ÷
 
+ +
+ + + +
 
+ + +
 
= − − = − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 ÷
 ÷
 
+ + + + + +
 ÷
+ +
 
2 2
2 2
1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1
ln 3arctg c ln arctg c

3 2 6
3 3 3t 3t 3 x x 1
 
+ − + +
= − + = − +
 ÷
+ + + +
 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
(
)
3
3
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2

dx dx d x 1
* I =
x +1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3
3 t 2 2 3 t 2 2
t 3t 3 t 3t 3 t 3t 3
3
t
2
4
+
= =
∫ ∫ ∫
+ − +
+ + − + +
− + − − −
 
= = = −
∫ ∫ ∫ ∫
 ÷
 
− +

− + − +
 
− − +
 
= − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 ÷
 ÷
 
− + − + − +

− +
 
2 2
2 2
1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1
ln 3arctg c ln arctg c
3 2 6
3 3 3t 3t 3 x x 1
÷
 
− + + −
= + + = + +
 ÷
− + − +
 
5/
4 4
dx
I

x a
=
∫
−

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
4 4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
3 3
4 4
4 4
2 2

dx dx 1 Ax B C D
2 / I
x a x a
x a
x a x a x a x a x a x a x a
Dk : x a Ax B x a C x a x a D x a x a 1 1
1 1
ko the cho x a D.2a.2a 1 D , cho x a C 2a .2a 1 C sai vi x a
4a 4a
1 Ax B C D Ax B
1 x a
x a x a
x a
x a
+
= = = + +
∫ ∫
+ −
−
+ + − + + − +
≠ ⇒ + − + − + + + + =
= ⇒ = ⇒ = = − ⇒ − = ⇒ = − ≠
+ +
= + + ⇒ = −
+ −
−
+
( )
( ) ( )
( )

2 2
C D
f x
x a x a
x a
 
 ÷
+ + =
+ −
 ÷
+
 
9
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4 4
3 3
3
x a x a x a

4 4
3 3
3
x a x a x a
4 4
3
2
2 2
x i.a x i.a x i.a x i.a
2
D x a
1
lim f x lim lim 4x .D qui tac L'Hopital 4a .D 1 D
x a
4a
C x a
1
lim f x lim lim 4x .C 4a .C 1 C
x a
4a
Ax B x a
Ax B .4x
lim f x lim lim lim Ax B .2x
2x
x a
2a Ai.
→ → →
→− →− →−
→ → → →
−

⇒ = = = = ⇒ =
−
−
= = = − = ⇒ = −
+
+ −
+
= = = +
+
= −
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
4 4
3
2 2
x i.a x i.a x i.a
2 2
2
x i.a
Ax B x a
Ax B .4x
a B 1 lim f x lim lim
2x
x a
1
lim Ax B .2x 2a Ai.a B 1 A 0, B

2a
→− →− →−
→−
+ −
+
+ = = =
+
= + = − − + = ⇒ = = −
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3
3 2 2 2 2 2 3 3
2
2
2
1 Ax Bx a Ax a B C x ax a x a D x ax a x a 1
x A C D x B aC aD x a A a C a D a B a C a D 1
a C D A 0 A C D
A C D 0
A C D 0 2 C D 0 C D, A 0
B aC aD 0
B aC aD 0 B
a C D A 0
a B aC aD 1

a 0
⇔ + − − + − + − + + + + =
⇔ + + + − + + − + + − − + =

+ − = ⇒ = +



+ + =
+ + = ⇒ + = ⇒ = − =



− + =


− + = ⇒
⇔ + − =


− − + =


≠

( )
( ) ( )
2 2
3
3

a C D , C D B 2aC
a B aC aD 1 a 2aC aC aC 1
1
4a C 1 C
4a
 
 ÷
 ÷
 ÷

 ÷
= − = − ⇒ =

 ÷

 ÷
− − + = ⇒ − − − =

 ÷

 ÷

⇒ − = ⇒ = −
 ÷

 
( )
( ) ( )
( )
( )

( )
( )
( )
3 3 2
4 4 2 3 3
2 2 2 2
2 3 3 3
1 1 1
A 0, C , D , B
4a 4a 2a
d x a d x a
dx dx 1 dx 1 1
I
x a x a
x a 2a 4a 4a
x a x a x a x a
ln x a ln x a
1 1 x 1 x a 1 x
. .arctg ln .arctg C
a a x a a
2a 4a 4a 2a
⇒ = = − = = −
+ −
⇒ = = = − − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
+ −
−
+ + − +
+ + −
−

= − − = − +
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 1 2 2
4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
3 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2
2 2
1
2 2 2
a x b a x b
dx dx 1
I
x a
x a x a x a x a x a x a
a x b x a a x b x a 1
x a a x b b x a a a a b a b a 1

1 1
a a 0, b b 0 b b , b a b a 1 2b a 1 b , b
2a 2a
dx 1 a
I
x a a
+ +
= = = +
∫ ∫
−
− + − + − +
⇒ + + + + − =
⇔ + + + + − + − =
⇒ = = + = ⇒ = − − = ⇒ = ⇒ = = −
= =
∫
+
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3
.du arctgu 1 x dx 1 a x
C arctg C I ln
a a a 2a a x
u 1 x a
1 dx 1 dx 1 a x 1 x
I ln arctg C
a x a
2a x a 2a x a 4a 2a
−
= + = + = =

∫ ∫
+
+ −
−
⇒ = − = − +
∫ ∫
+
− +
( )
2 2
Ax B dx
dx
,
ax bx c ax bx c
+
∫ ∫
+ + + +
đưa tam thức bậc 2 về dạng tổng hoặc hiệu bình phương
10
6/
4 4
dx
I
x a
=
∫
+

( ) ( )
( )

( )
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 2 4 2 4 4
2
2
2
2
2 2
2 4 4 2 2 2
2
2
2
2
22
2
2
2 2
2
dx 1 x a x a 1 x a x a
I dx dx dx
x a 2a x 1 2a x 1 x 1
a
a
a
a
1 1
d x
d x

1 1
x
x
x x
dx dx
2a a a 2a
a
a
x
x
x 2
x 2
x
x
x
x
1 1 x a
arctg
2 x 22a
 
+ − − + −
= = = −
∫ ∫ ∫ ∫
 ÷
 
+ + + +
 
 
 
+ −

+
 ÷
−
 ÷
 
 
 ÷
 = − = −
∫ ∫ ∫ ∫
 ÷
 
 
+
+
− +
 ÷
+ −
 ÷
 
 
 
 
−
=
2 2
2 2
1 x x 2 a
ln C
2 2 x x 2 a
 

− +
− +
 ÷
+ +
 
7/
6 6
dx
I
x a
=
∫
−

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
6 6
3 3 3 3
2 2
1 1 1 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2 3 3 2 3 3
1 1 1 2 2 2
5 4 3 2 3 3 3 3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 3
1 2 1 2 1 2 1 2

dx dx
I
x a
x a x a
a x b x c a x b x c
1
x a x a x a x a
a x b x c x a a x b x c x a 1
x a a x b b x c c x a a a a x b a b a c a c a 1
a a b b 0, c c , c a c a 1 2c
= =
∫ ∫
−
− +
+ + + +
= +
− + − +
⇒ + + + + + + − =
⇔ + + + + + + − + − + − =
⇒ = = = = = − − = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 1 2
3 3
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1
a 1 c , c
2a 2a
dx 1 dx 1 dx

I
2a 2a
x a x a x a x a
= ⇒ = = −
⇒ = = −
∫ ∫ ∫
− + − +
( )
( )
( ) ( )
2
3 3 2 2 2 2
2
3 3 2 2 2 2
2 2
6 6 5 2 2 5 5 2 2
5
x a
dx 1 1 2x a
ln .arctg
a 3x a 6a x ax a a 3
x a
dx 1 1 2x a
ln .arctg
a 3x a 6a x ax a a 3
x a x a
dx 1 1 2x a 1
I ln .arctg ln
a 3x a 12a x ax a 2a 3 12a x ax a
1 2x a

.arctg
a 32a 3
+
−
 
= +
∫
 ÷
+ − +
 
−
+
 
= −
∫
 ÷
− + +
 
− +
+
 
⇒ = = − −
∫
 ÷
− + + − +
 
−
 
− =
 ÷

 
( )
( )
( )
( )
2
2 2
5 2 5
2 2
x a x ax a
1 1 2x a 2x a
ln arctg arctg
a 3 a 312a 2a 3
x a x ax a
 
− − +
+ −
 
   
 ÷
− +
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
   
 
+ + +
 
8/
6 6

dx
I
x a
=
∫
+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
4 4 4 4 4 2 4 2 2 2 2 2
6
6 6 6 6
2 2 4 2 4
2
2 2 2 3
2
2 2 6 6 4 2 4 2 2 2 2
2
3 3
2
2
I
dx 1 x a x a 1 x x a x x a x a dx
= dx
2 2
x + a x a
x a x x a

a
1 dx
1 dx x dx x a dx 1 dx 1 d x
x
2 2 3
x a x a x x a x a
a
x a
x 1
x
1 1 x
arctg
2 a a
+ − − − + + − + −
= =
∫ ∫ ∫
+
+ − +
 
 
−
 ÷
 
 
−
 
= + − = + −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 

 
 
+ + − + +
 
+
+ −
 ÷
 
 
 
= +
(
)
(
)
( )
3
2
3
3 2 3
2
3
2
2
3 2
x x
3a .arctg arctg
a
a
d x

x 3
a a
1 x 1
x
x
arctan ln
a
a
2 33a 6a
a
x 3
x 3
x
x
x x
3a .arctg arctg
a a
1 x x 3 a
ln C
2 3
6a x x 3 a
 
 
+
 
 ÷
 
+
+ −
 

 
 
 
 
 
− = −
∫ 
 ÷
 
 
 
+ +
 
+ −
 
 
 
 
+
 
 ÷
 
− + 
 
= − +
+ +
11
9/
8 8
dx

I
x a
=
∫
−

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
8 8
4 4 4 4
3 2 3 2
1 1 1 1 2 2 2 2
4 4 4 4 4 4 4 4
3 2 4 4 3 2 4 4
1 1 1 1 2 2 2 2
7 6 5 4 3 4 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 4 4 4 4 4
1 2 1 2 1 2
dx dx
I
x a
x a x a
a x b x c x d a x b x c x d
1
x a x a x a x a

a x b x c x d x a a x b x c x d x a 1
x a a x b b x c c x d d x a a a a
x b a b a x c a c a d a d
= =
∫ ∫
−
− +
+ + + + + +
= +
− + − +
⇒ + + + + + + + + − =
⇔ + + + + + + + + −
+ − + − + −
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4 4
1 2 1 1 2
4 4
8 8 4 4
4 4 4 4 4 4 4 4
a 1
a a b b c c 0, d d 0 d d
1 1
d a d a 1 2d a 1 d , d
a a
dx dx 1 dx 1 dx

I
x a a a
x a x a x a x a
=
⇒ = = = = = = + = ⇒ = −
− = ⇒ = ⇒ = = −
⇒ = = = −
∫ ∫ ∫ ∫
−
− + − +
( ) ( )
1
4 4 3 3
2 2 2 2
2
4 4 2 2 2
8 8 4 4
4 4 4 4
2 2 2 2
7 7 6 6 2
dx 1 x a 1 x
I ln .arctg C
x a a
x a 4a 2a
dx 1 1 x a 1 x x 2 a
I arctg ln C
2 x 2 2 2x a 2a x x 2 a
dx 1 dx 1 dx
I
x a a a

x a x a
1 x a 1 x 1 x a 1 x x 2 a
ln .arctg .arctg .ln
x a a
x 24a 2a 2 2a 4 2a x x
−
= = − +
∫
+
−
 
− − +
= = − +
∫
 ÷
+ + +
 
⇒ = = −
∫ ∫ ∫
−
− +
− − − +
= − − +
+
+
2
C
2 a
+
+

*
8
dx
I
1 x
=
∫
+

( )
2 4 2 4
8
2 2 4 2 4
2 4 2 4
2 2 4 2 4 2 2 4 2 4
2 2 4 2 2
1 2.x x 1 2.x x
dx
I dx
1 x
2 2.x . 1 2.x x 1 2.x x
1 2.x x 1 2.x x
dx dx
2 2.x . 1 2.x x 1 2.x x 2 2.x . 1 2.x x 1 2.x x
dx dx

2 2.x . 1 2.x x 2 2.x . 1 2.x
+ + − − +
= = =
∫ ∫

   
+
+ + − +
   
+ + − +
= − =
∫ ∫
       
+ + − + + + − +
       
= −
∫
 
− + +
 
a b
4
2 4 2 4
a
2 2 4 2 2 4
2
2
2 4 2 4
2
a
3 2 4 3
J J
x
1 2.x x 2.x x
dx

J dx
2 2.x . 1 2.x x 2 2.x . 1 2.x x
dx dx x
dx
2 2.x
2. 1 2.x x 2 2. 1 2.x x
1 1 x 2 1 1
. dx .K
2 2 2 22.x 1 2.x x 2.x
= −
∫
 
+
 
 
− + + −
 
= = =
∫ ∫
   
− + − +
   
= + − =
∫ ∫ ∫
   
− + − +
   
−
= − − = − −
∫

− +
12
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
a
2 4 2 4 2 4
2 2 2 2 2
2 4 2 4
2
2
1 2
x 1 . x 1 x 1
2
x 2 x 1 1 2
K dx dx dx
1 2.x x 1 2.x x 1 2.x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x 1 . x 1 . x 1 x 1 . x 1
2 2 2 2
dx dx
1 2.x x 1 2.x x
1 2 x 1
.
2
1 2.x
 
−

− + + − −
 ÷
− − + −
 
= = = =
∫ ∫ ∫
− + − + − +
       
− − + −
− − − + + − + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= = =
∫ ∫
− + − +
 
+ −
=
 ÷
−
 
( ) ( )
2
4 2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 x 1
dx . dx

2
x 1 2.x x
1 1
1 1
1 2 1 2
x x
. dx . dx
1 1
2 2
x 2 x 2
x x
1 1
d x d x
1 2 1 2
x x
= . dx . dx
2 2
1 1
x 2 2 x 2 2
x x
 
− +
+ =
∫ ∫
 ÷
+ − +
 
− +
   
+ −

= + =
∫ ∫
 ÷  ÷
   
+ − + −
   
+ −
 ÷  ÷
   
+ −
   
+
∫ ∫
 ÷  ÷
   
   
+ − + − + −
 ÷  ÷
   
2 4 2 4
b
2 2 4 2 2 4
2
2
2 4 2 4
2
b
3 2 4 3
1 2.x x 2.x x
dx

J dx
2 2.x . 1 2.x x 2 2.x . 1 2.x x
dx dx x
dx
2 2.x
2. 1 2.x x 2 2. 1 2.x x
1 1 x 2 1 1
. dx .K
2 2 2 22.x 1 2.x x 2.x
 
+ + − −
 
= = =
∫ ∫
   
+ + + +
   
= + − =
∫ ∫ ∫
   
+ + + +
   
−
= − − = − −
∫
+ +
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2

2 2
b
2 4 2 4 2 4
2 2 2 2 2
2 4 2 4
2
2 4
1 2
x 1 . x 1 x 1
2
x 2 x 1 1 2
K dx dx dx
1 2.x x 1 2.x x 1 2.x x
1 2 1 2 1 2 1 2
x 1 . x 1 . x 1 x 1 . x 1
2 2 2 2
dx dx
1 2.x x 1 2.x x
1 2 x 1
. dx
2
1 2.x x
 
−
− + + − −
 ÷
− − + −
 
= = = =
∫ ∫ ∫

+ + + + + +
       
− − + −
− − − + + − + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= = =
∫ ∫
+ + + +
 
+ −
=
∫
 ÷
+ +
 
( ) ( )
2
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2 x 1
. dx
2
1 2.x x
1 1
1 1
1 2 1 2

x x
. dx . dx
1 1
2 2
x 2 x 2
x x
1 1
d x d x
1 2 1 2
x x
= . dx . dx
2 2
1 1
x 2 2 x 2 2
x x
 
− +
+
∫
 ÷
+ +
 
− +
   
+ −
= +
∫ ∫
 ÷  ÷
   
+ + + +

   
+ −
 ÷  ÷
   
+ −
   
+
∫ ∫
 ÷  ÷
   
   
+ − − − + +
 ÷  ÷
   
13
10/
*
2n
dx
I n
1 x
= ∀ ∈
∫
+
¥

( )
( ) ( )
n i i n in i n
2k

i
n
n
k
n
2k 1 2k 1
2k
i i
i
2n 2n
2n
2n
2n i
2n
w z z r.e w p.e p .e r.e p r va n k2 k Z
Vay can bac n cua z là n so phuc : w r.e , k 0, 1, 2, 3 n 1
With r là can thuc duong duy nhat
1 x 0 x 1 e e e e
θ ϕ ϕ θ
θ+ π
 
 ÷
 
+ π − π
  
π+ π
 
 ÷
 ÷
   

π
= = = ⇒ = ⇒ = ϕ = θ+ π ∈
= = −
+ = ⇒ = − = = = =
( ) ( )
( )
k k
n
2n
k k
k 1
2k 2k 2k 2k
x cos i.sin x cos i.sin
2n 2n 2n 2n
With k :1 n thay k tu 1den n 1 x x x x x

 ÷
 
=
π − π π − π π− π π − π
= + = −
⇒ + = − −
∏
n
k k
2n
k 1
k k
2n 2n
n

k k
k 1
k k
k k k k
2n
2n 1 '
k
x x
k
k
A B
1
Ta tim bieu thuc phan tich duoi dang sau :
x x x x
1 x
x 1 x 1
1 A . B .
x x x x
De tinh A và B voi k :1 n, ta cho x x và x x , khi do:
x 1 0
lim 2n.x dang , dùng LHospital
x x 0
=
=
−
→
 
= +
∑
 

− −
+
 
 
+ +
⇒ = +
∑
 
− −
 
→ →
+
 
=
 ÷
−
 
( )
( )
2n
2n
k
x x
k
k
k k
2n 1 2n 1
k
k
x 1

lim 0 do x là ngiem cua x 1
x x
1 1
A , B voi k :1 n
2n.x
2n x
→
− −
+
= +
−
⇒ = =
Thế các hệ số vừa tìm được vào dạng phân tích, ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n n
k k k k
k k
2n
k 1 k 1
k k
k k
n
k k k k k k
2
k 1

k k
2
k k
A x x B x x
A B
1
x x x x
x x x x
1 x
x A B A .x B .x
2k
x 2x.cos 1
2n
2k 2k 2k 2k
x cos i.sin x cos i.sin
2n 2n 2n 2n
x .x cos
= =
=
 
− + −
 
= + =
∑ ∑
 
 
− −
− −
+
  

 
+ − +
=
∑
π − π
− +
π − π π − π π − π π − π
 
       
= + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
       
 
=
2 2 2 2
2k 2k 2k 2k
i .sin cos sin 1
2n 2n 2n 2n
π − π π − π π − π π − π
 
       
− = + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
       
 
( ) ( )
( ) ( )
( )

[ ]
( )
k k
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
n
k k
k k
2n
2
k 1
n n
2
2
k 1 k 1
x x
1 1
x
2n.x 2n.x
2n x 2n x
1
2k
1 x
x 2x.cos 1
2n
2k 1 2n 1 2k 1
x 1
.cos .cos 2k 1 x.cos 1
n 2n n 2n
2k
2k

x 2x.cos 1
n. x 2x.cos 1
2n
2n
− − − −
=
= =
   
 ÷  ÷
+ − +
 ÷  ÷
   
⇒ =
∑
π − π
+
− +
− − π − π
− − π − +
= =
∑ ∑
π − π
π − π
 
− +
− +
 ÷
 
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
( )
i i
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
i i
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
i i i i
1 2 1 2
i
1 i
1 1 1 1
1 2
i i i0
2 2
2 1 1 1
e .e cos isin cos isin
cos cos sin sin i sin cos cos sin
cos isin e z .z r .r .e
z r r r
e .e e .e 1 1
. . .e z e
z r r r z r
e
e .e
θ θ
θ +θ θ +θ

θ − θ θ − θ
θ −θ
− −
θ − θ
= θ + θ θ + θ
= θ θ − θ θ + θ θ + θ θ
= θ + θ + θ + θ = ⇒ =
= = = = =
( )
( )
n
n
n n in i in
z r .e Neu r 1 e e cos isin cosn isin n
θ
θ θ θ
= = ⇒ = ⇔ θ + θ = θ + θ
14
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2n 1
k
1 2n
k
2n 1
k
2n 1
k

2n 1 2k 2n 1 2k
x cos i.sin
2n 2n
1 2n 2k 1 2n 2k
1
x cos i.sin
2n 2n
x
2n 1 2k 2n 1 2k
cos i.sin
2n 2n
2n 1 2k 2n 1 2k
x cos i.sin
2n 2n
−
−
−
−
− π− π − π − π
   
= +
 ÷  ÷
   
− π− π − π − π
   
⇒ = = +
 ÷  ÷
   
− π− π − π− π
   

= −
 ÷  ÷
   
− π− π − π− π
  
= −
 ÷ 
  
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2n
k
2n 1
k
1 2n 2k 1 2n 2k
1
x cos i.sin
2n 2n
x
2n 1 2k 2n 1 2k
cos i.sin
2n 2n
−
−

÷

− π− π − π− π
   
⇒ = = −

 ÷  ÷
   
− π− π − π − π
   
= +
 ÷  ÷
   
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2n 1 2n 1
k
k
2n 1 2n 1
k
k
2n 1 2k
1 1
2cos
2n
x
x
2n 1 2k 2n 2k 2k
1 1 1
cos cos
2 2n 2n 2n
x
x
2k 2k 2k

cos 2k .cos sin 2k .sin cos
2n 2n 2n
cos 2k 1, sin 2k
− −
− −
− π− π
 
⇒ + =
 ÷
 
 
− π− π π − π π − π
   
⇒ + = = −
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
π − π π − π π − π
     
= π − π + π− π = −
 ÷  ÷  ÷
     
π − π = − π
( )
( )
0− π =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
2k
i.
2n
k
2n 1
2n 1 2k
i.
k
2n
2k
2k
i.
i.
2n
2n
2n 1 2k 2
2k
i. i
i.
2n
2n
2k 2k
cos i.sin
x
e
2n 2n
2n 1 2k 2n 1 2k
x
cos i.sin

2n 2n
e
e .e 1
e .e e
π−π
 
 ÷
 
−
− π−π
 
 ÷
 
π−π
 
π−π
 
 ÷
 ÷
 
 
− π−π
 
π−π
 
 ÷
 ÷
   
π − π π − π
   

−
 ÷  ÷
   
= =
− π− π − π − π
   
+
 ÷  ÷
   
= =
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
i 2k
i 2k
n 1 2k 2n 2k
2k
i
2n 2n 2n
i.
i. 2 2 2 2 2
1 1
e
e

e
cos 1 2k i.sin 1 2k cos 2k i.sin 2k 1 0
e .e cos i.sin cos i.sin cos i .sin cos sin 1
− π−π
π−π
− π−π π−π
   
π−π
+
 ÷  ÷
   
θ
θ
= = =
= − π − π + − π − π = π − π − π− π = − −
= θ − θ θ+ θ = θ − θ = θ+ θ =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2k
i.
2n
k
2n 1
2n 1 2k
i.
k

2n
2n 1 2k
2k
i.
i.
2n
2n
2n 1 2k
2n 1 2k
i.
i.
2n
2n
2k 2k
cos i.sin
x
e
2n 2n
2n 1 2k 2n 1 2k
x
cos i.sin
2n 2n
e
e .e
e .e
π−π
 
 ÷
 
−

− π−π
 
 ÷
 
− π−π
 
π−π
 
 ÷
 ÷
   
− π−π
 
− π−π

 ÷

 

π − π π − π
   
+
 ÷  ÷
   
= =
− π− π − π− π
   
−
 ÷  ÷
   

=
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2n 1 2k 2n 2k
2k
i i
i 2k
2n 2n 2n
2n 1 2k
2n 1 2k
i.
i.
2n
2n
k k k k
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
k k
k k
e e e
cos 2k i.sin 2k 1 e .e 1
x x x x
1
1 1 2 1
2
x x
x x

− π−π π−π
   
π−π
+
 ÷  ÷
π−π
   

÷

− π−π
 
− π−π
 
 ÷
 ÷
 
 
− − − −
= = =
= π − π + π − π = − =
 
 ÷
⇒ + = − − = − ⇒ − + =
 ÷
 
Do tổng xích ma
( )
n
k 1

f x;k
=
 
∑
 ÷
 
này hữu hạn nên ta có thể đem dấu nguyên hàm
( )
dx
∫
vào trong dấu
xích ma và được:
15
( ) ( )
n n
2n
k 1 k 1
2 2
2 2
2k 1 2k 1
x.cos 1 x.cos 1
dx
2n 2n
I dx dx
2k 2k
1 x
n. x 2x.cos 1 n. x 2x.cos 1
2n 2n
2k 2k 2k
x.cos cos cos

2n 2n 2n
= =
   
− π − π
− + − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
= = = =
∑ ∑
∫ ∫ ∫
π − π π − π
   
   
+
 ÷  ÷
− + − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
   
π − π π − π π − π
    
− + −
 ÷  ÷ 
    
=
n
k 1

2
1
dx
2k
n. x 2x.cos 1
2n
=
 

+
÷
 ÷

 ÷
∑
∫
π − π
 
 
 ÷
− +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
n
2
k 1

2
2
2
2
1
2
2k 2k
cos 2x 2cos
2n 2n
. dx
2k
2n
x 2x.cos 1
2n
2k
sin
dx
2n
.
n
2k 2k
x cos sin
2n 2n
2k
x 2
2x 2cos
2n
I dx
2k
x 2x.cos 1

2n
=
π − π π − π

   
−
 ÷  ÷

   
= − +
∑

∫
π − π
 

− +
 ÷

 


π − π
 
÷
 ÷
 
÷
∫
÷

π − π π − π
   
− +
÷
 ÷  ÷
   

π − π
 
−
−
 ÷
 
= =
∫
π − π
 
− +
 ÷
 
'
2
2
2k
x.cos 1 dx
2k
2n
ln x 2x.cos 1
2k
2n

x 2x.cos 1
2n
π − π
 
 
+
 ÷
 ÷
π − π
 
 
 
= − +
∫
 ÷
π − π
 
 
− +
 ÷
 
2
2
2
n
2
2n
k 1
2
2k

x cos
dx 1
2n
I .arctg
2k 2k
2k 2k
sin sin
x cos sin
2n 2n
2n 2n
2k
cos
dx 2k
2n
I .ln x 2x.cos 1
2n 2n
1 x
2k
sin
1
2n
.
2k
n
sin
2
=
π − π
 
−

 ÷
 
= =
∫
π − π π− π
   
π − π π − π
   
 ÷  ÷
− +
 ÷  ÷
   
   
π − π

 
 ÷

π − π
 
 
⇒ = = − − + +
∑

∫
 ÷
+  




π − π
 
 ÷
 
π − π
2k
x cos
2n
.arctg
2k
sin
n 2n
π − π

 
−
 ÷
÷
 
÷
π − π
   
÷
 ÷  ÷
÷
   

11/
n n
dx

I
x a
=
∫
−

( ) ( )
( )
2 2k
i
n
n n
n n n 2 i
n n
2k
i
n
k
n
n
k
k 1
n i i n in i n
dx
I x a 0 x a .1 a. e a.e
x a
2k 2k
a.e x a cos i.sin
n n
With k :1 n thay k tu 1den n 1 x x x

w z z r.e w p.e p .e r.e p r va n k2 k Z
Vay can bac n cua z là n so
π+ π
 
 ÷
 
π
π
 
 ÷
 
=
θ ϕ ϕ θ
= − = ⇒ = = =
∫
−
π π
 
= ⇒ = +
 ÷
 
⇒ + = −
∏
= = = ⇒ = ⇒ = ϕ = θ+ π ∈
2k
i
n
n
k
n

phuc : w r.e , k 0, 1, 2, 3 n 1
With r là can thuc duong duy nhat
θ+ π
 
 ÷
 
= = −
16
n n
n n
k
k
n n
k 1 k 1
k k
k k k
n n
n 1 '
k k
n 1
x x
k
k
k
A
1 x a
Ta tim bieu thuc phan tich duoi dang sau : 1 A .
x x x x
x a
De tinh A và B voi k :1 n, ta cho x x khi do:

x a 0 1
lim n.x dang , dùng LHospital A voi k :1 n
x x 0
n.x
The cac he
= =
−
−
→
 
 
+
= ⇒ =
∑ ∑
 
 ÷
− −
+
 
 
→
−
 
= ⇒ =
 ÷
−
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )

n n
k
k
n n n 1
k 1 k 1
k
k k
1 n 1 n
k
n 1
k
1 n
so vua tim dc vào dang phan tích, ta có:
A
1 1 2k 2k
x a cos i.sin
x x n n
x a n.x x x
1 n 2k 1 n 2k
1
x a cos i.sin
n n
x
n 1 2k
a cos
n
−
= =
− −
−

−
 
 
π π
 
   
= = = +
∑ ∑
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
 
 ÷
−
+ −    
 
 
 
− π − π 
   
⇒ = = +
 
 ÷  ÷
   
 
− π
 
=
 ÷
 

( ) ( )
n 1 2k
i.sin
n
− π
 
 
−
 
 ÷
 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2k n 1
n2k 2k
cos cos
n n n
2k 2k 2k
cos 2k .cos sin 2k .sin cos cos 2k 1, sin 2k 0
n n n
2k n 1
n2k 2k 2k 2k 2k
sin sin sin 2k .cos cos 2k .sin sin
n n n n n n
π −
 

π π
 
= −
 ÷
 ÷
 
 
π π π
     
= π + π = π = π =
 ÷  ÷  ÷
     
π −
 
π π π π π
       
= − = π − π = −
 ÷  ÷  ÷ 
 ÷
      
 
÷

( )
1 n
n 1
k
1 n
n n
n n n 1

k 1 k 1
k k
1 n
n
1 2k 2k
a cos i.sin
n n
x
2k 2k
a cos i.sin
1 1
n n
2k 2k
x a n.x x x
n x a cos i.sin
n n
2
cos
dx a
n
x a
−
−
−
−
= =
−
π π
 
   

⇒ = +
 ÷  ÷
 
   
 
 
π π
 
   
+
 ÷  ÷
 ÷
 
 
   
 
 ÷
⇒ = =
∑ ∑
 ÷
 ÷
π π
 
 
− −
 ÷
   
 
− +
 ÷  ÷

 ÷
 ÷
 
   
 
 
 
⇒ =
∫
−
n
k 1
1 n
n
k 1
k 2k
i.sin
n n
dx
2k 2k
x a cos i.sin
n n
a 2k 2k 2k 2k
cos i.sin .ln x a cos i.sin
n n n n n
=
−
=
 
π π

 
   
+
 ÷  ÷
 ÷
 
   
 
 ÷
∑
∫
π π
 
 
 ÷
   
− +
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
 
   
 
 
 
π π π π
   
       
= + − +
∑

 ÷  ÷  ÷  ÷
   
       
   
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
i i
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
i i
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
i i i i
1 2 1 2
i
1 i
1 1 1 1
1 2
i i i0
2 2
2 1 1 1
e .e cos isin cos isin
cos cos sin sin i sin cos cos sin
cos isin e z .z r .r .e
z r r r
e .e e .e 1 1

. . .e z e
z r r r z r
e
e .e
θ θ
θ +θ θ +θ
θ − θ θ − θ
θ −θ
− −
θ − θ
= θ + θ θ + θ
= θ θ − θ θ + θ θ + θ θ
= θ + θ + θ + θ = ⇒ =
= = = = =
( )
( )
n
n
n n in i in
z r .e Neu r 1 e e cos isin cosn isin n
θ
θ θ θ
= = ⇒ = ⇔ θ + θ = θ + θ
17
6/
2
dx
I
ax bx c
=

∫
+ +

( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
dx dx dx
I
bx c
ax bx c
b c b
a x
a x
a a
2a a
4a

dx b 4ac b
dat x y dy dx, M
2a
4a
b 4ac b
a x
2a
4a
dx
If a 0 a a , M 0 M M
a y M
dx 1 y
I .arctg
a . M M
a y M
dx
I
= = =
∫ ∫ ∫
   
+ +
 
+ +
 ÷
+ + −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 

 
−
 
= + = ⇒ = =
∫
 ÷
 
 
−
 
+ +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
= > ⇒ = > ⇒ =
∫
+
⇒ = =
∫
 
+
 ÷
 
⇒ =
2
2
2
b

x
1 4ac b
2a
.arctg M
4a
a . M M
ax bx c
 
+
 ÷
−
= =
∫
 ÷
+ +
 ÷
 
( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
ln y y M

dx
If a 0 a a , M 0 M M I
a
a y M
b ax bx c
ln x
2a a
dx
I
a
ax bx c
dx 1 a x
ln tg .arcsin ln x x a C i.arcsin
2 x a
x a
+ −
> ⇒ = < ⇒ = − ⇒ = =
∫
 
−
 ÷
 
+ +
 
+ +
 ÷
 
⇒ = =
∫
+ +

 
= − = + − + = −
∫
 ÷
 
−
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
If a 0 a a , M 0 M M
i.ln y y M
dx dx
I
a
i. a y M
a y M
dx dx i.dx
I i.ln x x a
x a i x a x a
1 i.a i.x 1 x
ln tg .arcsin arcsin i.ln tg .arctg
2 x a 2 a 4

< ⇒ = − > ⇒ =
− + +
⇒ = = =
∫ ∫
 
+
− +
 ÷
 
−
= = = = − + +
∫ ∫ ∫
− − + +
π
   
= = − = − +
 ÷  ÷
   
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
If a 0 a a , M 0 M M
dx dx 1 y

I arcsin
a M
a M y
a y M
dx x 1 a
arcsin i.ln tg .arcsin ln i.x a x
a 2 x
a x
< ⇒ = − < ⇒ = −
⇒ = = =
∫ ∫
 
−
− −
 ÷
 
 
= = = + −
∫
 ÷
 
−
18
7/
( )
2
mx n dx
I
ax bx c
+

=
∫
+ +

( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
'
2
2 2 2
1
2 2
2
2
mb
n
mx n dx m 2ax b
mx n m mb
2a
I Ta có : mx n n
2ax b 2a 2ax b 2a 2a
ax bx c
m 2ax b
mb
n dx
ax bx c dx
2a 2a
m mb dx

I n
2a 2a
ax bx c ax bx c ax bx c
m mb dx
ax bx c .d ax bx c n
2a 2a
ax bx c
−
−
+ +
+
= = + ⇒ + = + −
∫
+ +
+ +
+
 
+ −
 ÷
+ +
 
 
⇒ = = + −
∫ ∫ ∫
 ÷
 
+ + + + + +
 
= + + + + + −
∫

 ÷
 
+ +
( )
1
2
2
2
m ax bx c
mb dx
n
1
2a
ax bx c
2a.
2
∫
+ +
 
= + −
∫
 ÷
 
+ +

2
x 1
* I dx
1 4x x
−

=
∫
− −

( )
( )
( )
( )
2
2 2 2 2
2
1
2x 4 3
d 1 4x x
d x 2
x 1 1
2
* I dx dx 3
2
1 4x x 1 4x x 1 4x x
x 2 5
3 x 2
1 4x x arcsin C
5 5
− − − −
− −
+
−
= = = − −
∫ ∫ ∫ ∫

− − − − − −
− + +
+
= − − − − +
8/
( )
2
dx
I
x q ax bx c
=
∫
− + +

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2
2
2 2 2
2 2
2

2
2 2
2
dx 1 dt 1
dat x q dx , t
t x q
t
x q ax bx c
1 1 1 2q 1
ax bx c a q b q c a q b q c
t t t t
t
a b 2aq 1
aq bq c a t b 2aq t aq bq c
t
t t
dt
dx
t
1 1
x q ax bx c
a t b 2aq t aq bq c
t
t
dt
t
− = ⇒ = − =
∫
−
− + +

       
+ + = + + + + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
+
= + + + + = + + + + +
−
⇒ =
∫ ∫
− + +
+ + + + +
−
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2
dt
1
t aq bq c t b 2aq a
a t b 2aq t aq bq c
t
= −
∫ ∫

+ + + + +
+ + + + +
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2
2 2
2
dt
Dat aq bq c A, b 2q B
b 2q
1 a
t t
aq bq c aq bq c aq bq c
dt
1 B a B
t
A 2A A
4A
B a B 4Aa B
dat t y dy dt, N
2A A

4A
4 aq bq c
= − + + = + =
∫
 
+
 ÷
+ +
 ÷
+ + + + + +
 
= −
∫
 
 
+ + −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
−
 
+ = ⇒ = = − =
 ÷
 
+ +
19
( )
( ) ( )

( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2
1 dy
M I If N 0 N n , M 0 M m
A
M y N
ln y y n
dy 1 dy
I
m m
m y n y n
B 1 b 2q
y t
2A x q
2 aq bq c
= ⇒ = − > ⇒ = > ⇒ =
∫
+
+ +
⇒ = − = − = −
∫ ∫
+ +
+
 

= + = +
 ÷
−
 
+ +
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2

b 2aq
B a B a
y n t t t
2A A
4A
aq bq c aq bq c
t aq bq c t b 2aq a t aq bq c t b 2aq a
t
t
aq bq c aq bq c
t aq bq c t b 2aq a
1 2q 1 1
a q b q c a q b
t t t
t t
 
+
 
 ÷
+ = + + − = + +
 ÷
 ÷
 
+ + + +
 
 
+ + + + + + + + + +
 ÷
= =
 ÷

+ + + +
 
+ + + + +
     
= = + + + + + = + +
 ÷  ÷  ÷
     
( )
( )
2
2 2 2
2
2
1
q c
t
ax bx c
ax bx c y n
x q aq bq c
 
+ +
 ÷
 
+ +
= + + ⇒ + =
− + +
( )
( )
( )
( )

( )
( )
2 2
2
2
2
2
2 2
ln y y n
dx
I
1
x q ax bx c
aq bq c
1 b 2q 1 ax bx c
ln aq bq c
x q x q
2 aq bq c aq bq c
+ +
⇒ = = −
∫
− + +
+ +
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
= − + + + +
− −

 ÷
 ÷
+ + + +
 
 
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
If N 0 N n , M 0 M m
1 n 1 n
ln tg .arcsin ln tg .arcsin
2 y 2 y
dy 1 dy
I
m m m
m y n y n
ln y y n
y
i.arcsin
m n
dx 1 a x
ln tg .arcsin ln x x a C i.arcsin
2 x a
x a
< ⇒ = − > ⇒ =
   
−

 ÷  ÷
   
⇒ = − = − = − =
∫ ∫
− −
+ −
= = −
 
= − = + − + = −
∫
 ÷
 
−
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
If N 0 N n , M 0 M m
dy 1 dy 1 y i 1 y
I .arcsin .ln tg .arcsin
m m n m 2 n
m y n n y
ln i.y n y
dx x 1 a
arcsin i.ln tg .arcsin ln i.x a x
a 2 x
a x
< ⇒ = − < ⇒ = −

 
= − = − = − = −
∫ ∫
 ÷
 
− − −
= + −
 
= = = + −
∫
 ÷
 
−
20

( )
2
dx
* I
x 1 1 x
=
∫
− −

( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2

2
2
2
1
1
2
dx 1 dt 1 1 2t
* I doi bien : x 1 dx 1 x 1 1
t t
t t
x 1 1 x
dt
dt
t
I because1 x 0 x 1 x 1 0 t 0 t t
1 2t 1 2t
t. t
d 2t 1 1 2t
1 1 2 1 x
I 1 2t 1 C
1
2 2 x 1 1 x
1 2t
1
2
− +
− +
 
= − = ⇒ = − = − + = −
∫

 ÷
 
− −
⇒ = − = − > ⇔ < ⇒ − < ⇒ < ⇔ = −
∫ ∫
− − − −
− − − −
−
= − = − = − − − = − − − = − +
∫
− +
− −
− +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2
3x 4
VD : dx x 6x 8 1 x 3 dat x 3 t x t 3 dx dt
x 6x 8
d 1 t
3 3 t 4

3x 4 3t.dt dt 3
dx dx 13 13arcsin t
2
x 6x 8 1 t 1 t 1 t 1 t
d 1 t 2t.dt 3 1 t 13arcsin t 3 x 6x 8 13arcsin x 3 C
+
− + − = − − − = ⇒ = + ⇒ =
∫
− + −
−
+ +
+
= = + = − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
− + − − − − −
− = − = − − + = − − + − + − +
Để tính tích phân
(
)
2
R x, ax bx c+ +
∫
ta có thể dùng phép đổi biến lượng giác:
( )
( )
( )
2
2
2
2

2
2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
b c b
ax bx c a x
2a a
4a
b b 4ac
a x a u d Neu b 4ac 0, a 0
2a
4a
b 4ac b
a x a u d Neu b 4ac 0, a 0
2a
4a
b 4ac b
a x a d u Neu b 4ac 0,
2a
4a
 
 

+ + = + + −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
−
 
= + − = − − > >
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
−
 
= + + = + − < >
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
−
 
= − − + = − − − >
 ÷
 ÷

 ÷
 
 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a 0
d
R x, ax bx c R u, u d Dat u
sin t
R x, ax bx c R u, d u Dat u d.sin t
R x, ax bx c R u, u d Dat u d.tgt
<
+ + = − =
∫ ∫
+ + = − =
∫ ∫
+ + = + =

∫ ∫
*
( )
3
2
dx
I
x 4x 7
=
∫
+ +

( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
3
3
2
2
2 2
2
3
2 3
dx du
VD : I x 4x 7 x 2 3 dat u x 2 I
x 4x 7

u 3
3 3
dat u 3.tgt du , u 3 3 tg t 1
cost
cos t
x 2 3
3.cos t.dt sin t u 3
I sin arctg sin arctg
3 3 3
cos t. 3
= + + = + + = + ⇒ =
∫ ∫
+ +
+
= ⇒ = + = + =
 
 
+
⇒ = = = =
∫  ÷
 ÷
 ÷
 
 
( )
p
m n
x a bx dx+
∫
với m, n, p là các số hữu tỉ. Nhà toán học Nga Trebushep cm rằng tích phân trên

chỉ lấy được (tức là có thể biểu diễn ở dạng hàm sơ cấp) trong 3 trường hợp sau:
21
( )
s
s s
n s
10
1 1
2 4
10
4
1/ p là so nguyen khi ay dat x t voi s là boi chung nho nhat cua m, n
m 1
2 / là so nguyen dat a bx t voi s là mau so cua p
n
m 1
3 / p là so nguyen dat ax b t voi s là mau so cua p
n
dx
VD : I x x 1 vay p 10 là so nguyen, ta có t
x x 1
−
−
−
=
+
+ =
+
+ + =
 

 ÷
= = + = −
∫ ∫
 ÷
+
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
4 3
10 10 9 10
2
8 9 8 9
4 4
ruong hop1/
t 1 1 d t 1 d t 1
4t .dt
dat x t dx 4t .dt I 4 dt 4
t t 1 t 1 t 1 t 1
4 4 1 4
8 t 1 9 t 1
2 x 1 9 x 1
 

+ − + +
= ⇒ = ⇒ = = = −
 ÷
∫ ∫ ∫ ∫
 ÷
+ + + +
 
− −
= + = +
+ +
+ +

(cm công thức của nhà toán học Trebushep làm sao vậy?)
Người ta cm được công thức sau:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
n
n 1
2 2
n n 1
P x dx
dx
Q x ax bx c p. 1
ax bx c ax bx c
P x là da thuc bac n Q x là da thuc bac n 1 voi cac he so chua xác dinh
−
−
= + + +

∫ ∫
+ + + +
−
Để xác định p và các hệ số của
( )
n 1
Q x
−
, ta đạo hàm (1) và cân bằng hệ số 2 vế để được hệ pt
(Cm công thức này làm sao vậy?)
*
3
2
x x 1
I dx
x 2x 2
− +
=
∫
+ +

( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3
2 2
2 2

3
2 2
2 2 2
3 2 2
3 2 2 3 2 2
x x 1 dx
VD : I dx ax bx c x 2x 2 d.
x 2x 2 x 2x 2
Lay dao ham 2 ve, ta dc :
x x 1 2x 2 d
2ax b x 2x 2 ax bx c
x 2x 2 2 x 2x 2 x 2x 2
x x 1 2ax b x 2x 2 ax bx c x 1 d
2ax 4ax 4ax bx 2bx 2b ax bx cx ax b
− +
= = + + + + +
∫ ∫
+ + + +
− + +
= + + + + + + +
+ + + + + +
⇔ − + = + + + + + + + +
= + + + + + + + + + +
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
(
)
(

)
3 2
3
2
2 2
2
2 2
2 2 2
,
x c d
3ax x 5a 2b x 4a 3b c 2b c d
3a 1, 5a 2b 0 4a 3b c 1, 2b c d 1
1 5 1 5 x x 1
a , b , c , d I I dx
3 6 6 2
x 2x 2
1 5 dx
2x 5x 1 x 2x 2 .
6 2
x 2x 2
d x 1
dx dx
ln x 1 x 2x 2 ln x x a
x 2x 2 x a
x 1 1
+ +
= + + + + + + + +
⇒ = + = + + = − + + =
− +
⇒ = = − = = ⇒ = =

∫
+ +
= − + + + +
∫
+ +
+
= = + + + + = + +
∫ ∫ ∫
+ + +
+ +
22
*
( )
1
n
n n
0
dx
I
1 x 1 x
=
∫
+ +

( )
( )
( )
( )
1 n
1 1

n
n
n
n n
0 0
n
n n n
1 n n
n
n
n 1
n 1 n 1 n 1 n 1
n 1
n
n
n
1
n
n
x 0
dx
I 1 x dx
1 x 1 x
1 1 z
Dat: x 1 z x 1 x 1
z 1 z 1
z 1
z dz
n.x dx n.z dz dx x .z dz
z 1

x 1 z 2
doi can :
1
x 0 z lim 1 a
x
+
−
−
−
− − − + −
+
+
→
= = +
∫ ∫
+ +
+ = ⇔ = ⇔ + = + =
− −
−
⇒ − = ⇔ = − = −
−

= ⇒ =


 

= ⇒ = + = = +∞
 ÷
 


( ) ( ) ( )
1 n
n
n n n
n n 1 1 n n 1
2
2 2 2
n
2
n n 1 1 n n 1
a a a
n n n
a
n n n
1
n
n
n n
x 0
z z dz z .z dz 1
Vay I . z dz
z
z 1
z 1 z 1 . z 1
1 1 1 1 1
Vi a lim 1 0
a a
2 2 x
+

−
− − − −
−
+ + +
−
+
→
 
= − = − = − = =
∫ ∫ ∫
 ÷
−
 
− − −
 
= − = = + = +∞ ⇒ =
 ÷
 
*
dx
I
x 1 x 1 2
=
∫
+ + − +

( )
( )
2
2 3

4
2 2
4 3
4
2 2
1
4 3 2
dx x 1 x 1 2
15/ I Dat u x 1 x 1 0
x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1
2 2 4 8
x 1 x 1 2 x 1 u 4 x 1 u 4 4dx 2u du
u u
u u
8 4
2u u
1 1 u 4
u u
I du du du
4 u 2 2 u 2 2
u 2u
4 4
1 u
u u
du du I
2
u 2u u 2u u
+ − +
= = + + − = = >
∫

+ + − + + − − + − −
 
⇔ + − − = ⇒ + = + ⇔ + = + + ⇒ = −
 ÷
 
− −
−
= = = =
∫ ∫ ∫
+ +
+
 
 
= − = −
∫ ∫
 
+ +
 
 
2 2
2 2.dk 2
du dat u du , k
k u
2u k
= ⇒ = − =
∫
+
( )
( )
( )

( )
2 2 2 2
1 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
k 2.dk 1 k u u 2u 2u 2 2
I dk I
4 4
2 1 k
k u 2u u 2u
k
k
2u 2
2
1
u 2u u 2u
1 u 1 k
I du dk
2 2 1 k
u 2u
d 1 k
1 2u 2 2 1 k 1
du du du dk
2 4 1 k 1 k

u 2u u 2u
1 1
u ln u 2u 2.
2
2
1
+ − + −
 
⇒ = − − = = =
∫ ∫
 ÷
+
+ + 
+
− +
= + +
+ +
 
⇒ = +
∫ ∫
 
+
+
 
 
+
+ −
 
= − + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

 
 
+ +
+ + 
 
= − + +
+
( )
[ ]
2
1
du k 1 dk ln 1 k
4
.u
u
 
 
+ − + +
 
∫ ∫
 
 
 ÷
 
 
 
23
3
2
2

2
2
2
d 1
2 1 2du 2
u
I du ln 1
2 2 2
u
u
1 .u 1 1
u u u
1 2 1 k
I u ln u 2u ln 1 k ln 1 k C
2 u 4 2
2
Voi 0 u x 1 x 1
k
 
+
 ÷
−
 
= = − = − = − +
∫ ∫ ∫
     
+ + +
 ÷  ÷  ÷
     
 

 
⇒ = − + − + + − + + +
 
 
 
 
< = = + + −
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
1 1 1

1
2
2
2
2
1
2
arctan 2 arctan 2
2
2
2
4 4
d x 1
2x 1 dx 1 3
* I dx J J
10
x 1
x 1 x 1 x 1
x 1 t
dx
J Dat x = tan t dx 1 tan t dt Doi can
4
x 1
x 2 t arctan 2
1 tan t dt
Khi do: J cos t dt
tan t 1
1 cos 2t
d 2
4

π π
+
+
= = + = − + = +
∫ ∫ ∫
+
+ + +
π

= ⇒ =

= ⇒ = +
∫


+
= ⇒ =

+
= =
∫ ∫
+
+
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
arctan 2
arctan 2
4
4
sin 2.arctan 2
sin 2t arctan 2
t 1
t
2 4 2 4 8 4
sin 2.arctan 2
arctan 2
1
Vay I=
20 2 4 8
π
π
 
π
= + = + − −
∫
 
 
π
+ + −

4

1
dx
* I
x x
=
∫
+

( )
( )
4
1
4 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
2
2 2
2
2
1
2 2
1
1 1
2 2 2
2
2
2
1 1 1
x 1 u 1
dx dx

* I dat x u du doi can
x 4 u 2
x x 2 x
x 2u 2u 1 1
I 2. dx du du du
u u u u u u
x x .2 x
d u u
2u 1
I du ln u u
u u u u
1
du
d 1
1
u
u
I du Ln 1
1 1
u u
1 1
u u
= ⇒ =

= = ⇒ =
∫

= ⇒ =
+


+
⇒ = = = −
∫ ∫ ∫ ∫
+ + +
+
+
+
= = = +
∫ ∫
+ +
 
+
−
 ÷
 
= − = = = +
∫ ∫ ∫
+
+ +
2
1
2
2
2
1
1
1
u
1 3 3 9
I Ln u u Ln 1 du Ln6 ln 2 Ln ln 2 ln3 ln Ln

u 2 4 4
⇒ = + + + = − + − = + =
24
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
4 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 3
2 x 1 x x dx
2 2
x 1 1
I
2
x x 1
x 1 3.x x 1 3.x
x 1 3x dx x 1 3x dx
1 1
2 2
x 1 3.x x 1 3.x x 1 3.x x 1 3.x

1 dx 1 dx
2 2
x 1 3.x x 1 3.x
1 dx 1 dx 1
.2
2 2 2
3 1 3 1
x x
2 2 2 2
 
+ − +
 ÷
+
 
= =
∫ ∫
− +
+ − + +
+ − + +
= +
∫ ∫
+ − + + + − + +
= +
∫ ∫
+ + + −
= + =
∫ ∫
   
   
+ + − +

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
( ) ( )
3 3
x x
2 2
arctg arctg C
1 1
2 2
arctg 2x 3 arctg 2x 3 C
 
   
+ −
 ÷
 ÷  ÷
+ +
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
= + + − +
*
x
2 2

0
I 1 u du 1 x dx= − = −
∫ ∫

Ta có: I = Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2
y 1 x= −
và trục Ox.
Mà
( )
2 2 2
y 1 x y x 1 lay phan y 0= − ⇔ + = >
là một nửa hình tròn bán kính R = 1.
Ta có hình vẽ như sau:
2 2
2
x
2 2
0
Ta có: x cos sin arcsin x
2
I dien tich phan màu vàng dien tich hinh quat AOB dien tich tam giac BOC
x. 1 x arcsin x x. 1 x
2 2 2 2
arcsin x x. 1 x
I 1 u du 1 x dx C
2 2
π
 

= − α = α ⇒ α =
 ÷
 
= = +
α − −
= + = +
−
⇒ = − = − = + +
∫ ∫
25