Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỷ pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (183.34 KB, 10 trang )
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
189
BÀI 6.
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ THÔNG DỤNG
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số
(
)
2 2
f x, a x dx
−
∫
x a sin t
=
t ,
2 2
π π
∈ −
(
)
2 2
f x, x a dx
−
∫
a
x
cos t
=
)
)
3
t 0, ,
2 2
π π
∈ ∪ π
(
)
2 2
f x, x a dx
+
∫
x a tg t
=
)
t 0,
2
π
∈
a x
f x, dx
a x
+
−
∫
x a cos 2t
=
(
)
t 0,
2
π
∈
( ) ( )
(
)
f x, x a b x dx
− −
∫
( )
2
x a b a sin t
= + −
t 0,
2
π
∈
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
1. Dạng 1:
(
)
−
∫
2 2
f x, a x dx
. Đặt
x a sin t
=
;
2 2
t ,
π π
∈ −
x
1/2 1
t
π
/6
π
/2 •
( )
−
∫
3
1
2
1
3
1 2
1 x
I = dx
x
. Đặt
2 2
x sin t ;t ,
π π
= ∈ −
⇒
dx costdt
( )
( )
3
2 2 2 2
2 4 4 4
1
3 3 3 4
6 6 6 6
1 sin t cos t dt cos t dt cos t dt cos td cos t
I
sin t sin t sin t sin t
π π π π
π π π π
−
⇒ = = = = −
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
(
)
( ) ( )
6 3 2 3 2 3 2 3 2
4
4 4 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 0 0 0 0
cos td cos t
u du 1 1 u du 1 u
du du
1 u
1 cos t 1 u 1 u 1 u
π
π
− − +
= = = = −
−
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
2
3 2 3 2 3 2 3 2
2
2 2
2 2
0 0 0 0
1 1 u 1 u 1 u 1 1 1 1 u
du du du du
4 1 u 1 u 4 1 u 1 u
1 u 1 u
+ + − + +
= − = + −
+ − − +
− −
∫ ∫ ∫ ∫
( )
3 2
0
1 1 1 1 u 3 2 3 3 3
3ln 4u 3 ln 3 ln 2 3
4 1 u 1 u 1 u 4 2 2
2 3
+ +
= − − + = − + = − +
− + −
−
•
(
)
− −
∫
3 2
2 2
2
I = 3 x 3 x dx
.
Đ
ặ
t
3
2 2
u sin t ;t ,
π π
= ∈ −
⇒
u
0
3 2
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
190
t
0
π
/6
du
3
cos t dt
Khi đó:
( )
( ) ( )
6 6
2 2 2 2
2
0 0
I 3 3sin t 3 3sin t 3 cos t dt 3cos t 3cos t 3 cos t dt
π π
= − − =
∫ ∫
( ) ( )
( )
6 6 6
2
2
2 2
0 0 0
6 6
0 0
6
0
1 cos 2t 9
9 cos t dt 9 dt 1 2 cos 2t cos t dt
2 4
9 1 cos 4t 9
1 2 cos 2t dt 3 4cos 2t cos 4t dt
4 2 8
9 1 9 3 9 81 3
3t 2sin 2t sin 4t 3
8 4 8 2 8 16 64
π π π
π π
π
+
= = = + +
+
= + + = + +
π π
= + + = + + = +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
u
0 1
t
0
π
/6
•
( )
− −
∫
1
3
2 2
0
dx
I =
4 x 4 x
. Đặt
2
2 2
u sin t ;t ,
π π
= ∈ −
⇒
du 2costdt
Khi đó:
( )
6 6
3
2 2 2 2
0 0
2 cos t dt 2 cos t dt
I
4 4sin t 4 4sin t 4 cos t 4 cos t
π π
= =
− −
∫ ∫
( )
6
6 6
2
0
0 0
dt 1 1 1 1
d tg t tg t tg
4 4 4 6
4 3
4 cos t
π
π π
π
= = = = =
∫ ∫
u
0 a
t
0
π
/2
•
( )
0
; a
− >
∫
a
2 2 2
4
0
I = x a x dx
. Đặt
2 2
u a sint ;t ,
π π
= ∈ −
⇒
du acostdt
Khi đó:
( )
2
a
2 2 2 2 2 2 2 2
4
0 0
I x a x dx a sin t a a sin t a cos t dt
π
= − = −
∫ ∫
( ) ( )
( )
2 2 2
4
2 2 4 2 2 2
0 0 0
2
2
4
4 4 4
0
0
a
a sin t a cos t a cos t dt a sin t cos t dt sin 2t dt
4
a
a a 1 a
1 cos 4t dt t sin 4t
8 8 4 8 2 16
π π π
π
π
= = =
π
π
= − = − = ⋅ =
∫ ∫ ∫
∫
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
191
•
( )
(
)
1 2
0
2
2
1 2 0
1
1
1
1
1
2 4
4
dx du
u
x
−
=
−
+ −
+ − +
∫ ∫ ∫
0
5
-1 2
dx
I = =
1 + x 1 + x
u
0 1/2
t
0
π
/2
Đặt
1
2 2
2
u sin t ;t ,
π π
= ∈ −
⇒
du (costdt)/
2
Khi đó ta có:
2 2 2 2
5
2
0 0 0 0
cos t dt cos t dt 2 dt
I 1 dt 2 2J
2 cos t 2 cos t 2 2 cos t 2
2 1 sin t
π π π π
π π
= = = − = − = −
+ + +
+ −
∫ ∫ ∫ ∫
(
)
(
)
( )
2 2 2 2
2 2
2 2
0 0 0 0
2
13
0
t
2 d tg
dt dt dt
2
J
t t
t t
2 cos t
1 2 cos 3 tg
cos 1 tg 2
2 2
2 2
t
tg
2 2 1 9 4 3
2
arctg arctg I 2
2 18
3 3 3 3 3 3 3 3
π π π π
π
= = = =
+
+ +
+ +
π π π − π
= = = ⇒ = − ⋅ =
∫ ∫ ∫ ∫
•
( )
( ) ( )
( )
1 2 2
2 2 2 2
1 3 3
1
4
1 4 1
xdx u du
u u
x x
− − −
− − −
+
= =
− − −
− − −
∫ ∫ ∫
1 2
6
2
2
1 3
xdx
I =
x 1 3 + 2x x
u
3
−
2
−
t
−π
/3
−π
/4
Đặt
2
2 2
u sin t ;t ,
π π
= ∈ −
⇒
du 2costdt
Khi đó ta có:
( ) ( )
( )
4
4 4 4
6
2
2 2
3
3 3 3
4
4 4
2 2
3
3 3
1 2 sin t 2 cos t dt 1 2sin t dt 1 1 dt
I cotg t
4 2 sin t
4sin t
4sin t 4 cos t
3 3 1 sin t dt 3 3 1 d cos t 3 3 1 1 cos t
ln
12 2 12 2 12 4 1 cos t
1 cos t 1 cos t
3 3 1 2 2
ln l
12 4
2 2
−π
−π −π −π
−π
−π −π −π
−π
−π −π
−π
−π −π
+ +
= = = +
− − − +
= + = − = −
−
− −
− +
= − −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
3 3 1 3 2 2
n 3 ln
12 4 3
− +
= −
u
0 1/2
t
0
π
/6
•
( )
−
∫
1 2
2
7
5
2
0
x dx
I =
1 x
. Đặt
2 2
u sin t ;t ,
π π
= ∈ −
⇒
du costdt
⇒
( )
( )
6 6 6
6
2 2
2 3
7
4
5
2
0
0 0 0
sin t cos t dt sin t dt 1 1
I tg t d tg t tg t
3
9 3
cos t
1 sin t
π π π
π
= = = = =
−
∫ ∫ ∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
192
2. Dạng 2:
(
)
−
∫
2 2
f x, x a dx
. Đặt
a
x
cos t
=
;
)
)
3
0
2 2
t , ,
π π
∈ ∪ π
x
2
2
t
π
/4
π
/3
•
−
∫
2
1
2
2
dx
I =
x x 1
. Đặt
)
)
3
1
0
2 2
x ; t , ,
cos t
π π
= ∈ ∪ π
⇒
dx sintdt/cos
2
t
3 3 3 3
2
1
2
4 4 4 4
2
sin t dt cos t
sin t dt sin t dt
I dt
cos t.tg t 3 4 12
1 1
cos t tg t
1
cos t
cos t
π π π π
π π π π
π π π
⇒ = = = = = − =
−
∫ ∫ ∫ ∫
x
2
2
t
π
/4
π
/3
•
−
∫
2
2
2
2
2
x dx
I =
x 1
. Đặt
)
)
3
1
0
2 2
x ; t , ,
cos t
π π
= ∈ ∪ π
⇒
dx sintdt/cos
2
t
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 3 3
2
2
2 2 4
2
4
2 2
4 4 4
2
2
2
2
3 3 3
4 2
2
4 4 4
sin t sin t
1
dt dt
x dx cos t dt
cos t cos t cos t
I
1
cos t
x 1 sin t
1
cos t
cos t
cos t dt d sin t 1 1 sin t 1 sin t
d sin t
4 1 sin t 1 sin t
cos t
1 sin t
π π π
π π π
π π π
π π π
⋅
⇒ = = = =
−
−
+ + −
= = =
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
3 3
2
2 2 2
4 4
1 1 1 1 1 1 2
d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4
1 sin t
1 sin t 1 sin t
π π
π π
= + = + +
− +
−
− +
∫ ∫
3
4
1 1 1 1 sin t 1 2 2 2 3
ln ln
4 1 sin t 1 sin t 1 sin t 4
2 3 2 3 2 3
1 2 2 2 2 2 3 2 1 7 4 3
ln ln
4 2 4
2 2 2 2 2 2 3 2 2
π
π
+ +
= − + = − + −
− + −
− + −
+ − −
− − + = +
− + − −
x
4 8
t
0
π
/3
•
−
∫
8
2
3
4
x 16
I = dx
x
. Đặt
)
)
3
4
0
2 2
x ; t , ,
cost
π π
= ∈ ∪ π
⇒
dx 4sintdt/cos
2
t
3 3 3
2
2 2
2
3
0 0 0
4sin t dt
1
16 1
16 tg t sin t dt
cos t cos t
I 4 tg t dt
4
cos t
cos t
π π π
− ⋅
⋅
⇒ = = =
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
3 3 3
3
2
0
0 0 0
4 1 tg t 1 dt 4 d tg t dt 4 tg t t 4 3
3
π π π
π
π
= + − = − = − = −
∫ ∫ ∫
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
193
•
( )
− −
∫
4
2 2 2 2
dx
I =
x a x a
(
a > 0
)
.
Đặt
(
)
(
)
0
2 2
a
x ;t , ,
cos t
π π
= ∈ ∪ π
( )
4
2 3 3
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
a tg t dt1 asintdt
I
cos t a cos t tg t
1 1
a 1 a 1
cos t cos t
dt 1 cos t dt 1 d sin t 1
c
.a cos t tg t .a sin t .a sin t .a sin t
⇒ = ⋅ =
ε ⋅
− −
−
= = = = +
ε ε ε ε
∫ ∫
∫ ∫ ∫
trong đó
ε
=
1 nếu tgt > 0 và
ε
=
−
1 nếu tgt < 0
x
a 2
2a
t
π
/4
π
/3
•
−
∫
2a
2 2
5
a 2
x a
I = dx
x
. Đặt
)
)
3
0
2 2
a
x ; t , ,
cos t
π π
= ∈ ∪ π
⇒
dx asintdt/cos
2
t
2
3 3 3
2 2
2 2
2
5
4 4 4
a sin t dt
1
a 1
a tg t sin t dt
cos t cos t
I a tg t dt
a
cos t
cos t
π π π
π π π
− ⋅
⋅
⇒ = = =
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
3 3 3
3
2
4
4 4 4
a 1 tg t 1 dt a d tg t dt a tg t t a 3 1
12
π π π
π
π
π π π
π
= + − = − = − = − −
∫ ∫ ∫
x
a 2
2a
t
π
/4
π
/3
•
−
∫
2a
2 2
6
2
a 2
x a
I = dx
x
. Đặt
)
)
3
0
2 2
a
x ; t , ,
cos t
π π
= ∈ ∪ π
⇒
dx asintdt/cos
2
t
(
)
2
3 3 3
2 2
2
2 2
5
2 2 3
4 4 4
a sin t dt
1
a 1
a tg t sin t dt
sin t
cos t cos t
I dt
a cos t cos t
a
cos t
π π π
π π π
− ⋅
⋅
⇒ = = =
∫ ∫ ∫
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
3 3 3
2 2
4 2
2
4 4 4
sin t cos t sin t 1 1 sin t 1 sin t
dt d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t
cos t
1 sin t
π π π
π π π
+ − −
= = =
+ −
−
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
3 3
2
2 2 2
4 4
1 1 1 1 1 1 2
d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4
1 sin t
1 sin t 1 sin t
π π
π π
= − = + −
− +
−
− +
∫ ∫
(
)
3
4
1 1 1 1 sint 1 2 2 2 3 2 3 ln 2 3
ln ln
4 1 sint 1 sint 1 sint 4 2
2 3 2 3 2 3
π
π
+ + − +
= − − = − − =
− + −
− + −
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
194
3. Dạng 3:
(
)
∫
2 2
f x, x + a dx
. Đặt
x a tg t
=
;
)
0
2
t ,
π
∈
x
1 3
1
t
π
/6
π
/4
•
( )
∫
5
1
2
1
8
1 3
1 + x
I = dx
x
. Đặt
)
0
2
x tg t ;t ,
π
= ∈ ⇒
dx
2
dt cos t
( )
( )
( ) ( )
( )
5
5
2
4 4 4 4
2 2
1
8 8 8 8
6 6 6 6
4
4
8
7
6
6
dt 1 dt
1 tg t
cos t dt d sin t
cos t
cos t cos t
I
tg t tg t sin t sin t
1 1 128 8 2
sin t d sin t 8 2 128
7 7
7 sin t
π π π π
π π π π
π
π
−
π
π
+
⇒ = = = =
− −
= = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
•
( ) ( )
0 1
2
2
1 0
1 1 1 1
x d x u du
−
= + + + = +
∫ ∫ ∫
0
2
2
-1
I = x + 2x + 2dx
u
0 1
t
0
π
/4
Đặt
)
0
2
u tg t ;t ,
π
= ∈ ⇒
du
2
dt cos t
Khi đó ta có:
( )
( )
4 4 4 4
1
2 2
2
2 3 4 2
2
0 0 0 0 0
dt dt cos t dt d sin t
I u 1 du tg t 1
cos t cos t cos t
1 sin t
π π π π
= + = + = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4 4
2
0 0
1 1 sin t 1 sin t 1 1 1
d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t
π π
+ + −
= = +
+ − − +
∫ ∫
( ) ( )
( )
4
4
2 2 2
0
0
1 1 1 2 1 1 1 1 sint
d sint ln
4 4 1 sin t 1 sin t 1 sint
1 sin t
1 sin t 1 sin t
π
π
+
= + + = − +
− + −
−
− +
∫
1 2 2 2 2 2 1
ln ln 3 2 2
4 2 4
2 2 2 2 2 2
+
= − + = + +
− + −
•
−
∫
1 2
3
0
1 + x
I = dx
1 x
. Đặt
( )
2
2 2
2
1 1 4
1
1
1
x u udu
u x ;dx
x
u
u
+ −
= ⇒ = =
−
+
+
u
1
3
t
π
/4
π
/3
⇒
( )
3
2
3
2
2
1
4u du
I
u 1
=
+
∫
. Đặt
(
)
0
2
u tg t;t ,
π
= ∈
⇒
du dt/cos
2
t
⇒
( )
3
3 3
2
3
4
4 4
1 3
I 4sin u du 2 1 cos 2u du 2 u sin 2u 1
2 6 2
π
π π
π
π π
π
= = − = − = + −
∫ ∫
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
195
•
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1
2 2 1
−
− −
= =
+
+ + +
∫ ∫ ∫
3 -2
4
3
2
2
1
dx
I =
x + 2 x + 4x + 5
dx d u
u u
x x
u
1
3
t
π
/4
π
/3
Đặt
)
0
2
u tg t ;t ,
π
= ∈ ⇒
du
2
dt cos t
Khi đó ta có:
( )
3
3 3 3
3 3 2
4
2 2 2 2
4
4 4 4
cos t dt cos t 1 sin t 1
I dt d sin t sin t
sin t
tg t cos t sin t sin t
2 3 2 2 7 6 9 2 7 3
2 2 6
3 2 2 3 2 2
π
π π π
π
π π π
− −
⇒ = ⋅ = = = −
− − − −
= − − − = + =
∫ ∫ ∫
•
− −
⋅
−
−
∫
2
2
5
2
2
1
x x 2x + 2 dx
I =
x 2x + 2
x + x 2x + 2
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
x x 1 1 dx
x 1 1
x x 1 1
− − +
= ⋅
− +
+ − +
∫
u
0 1
t
0
π
/4
1
2
2
2
0
u 1 u 1 du
u 1
u 1 u 1
+ − +
= ⋅
+
+ + +
∫
. Đặt
)
0
2
u tg t ;t ,
π
= ∈ ⇒
du
2
dt cos t
( )
4 4
2
5
2 2
2
0 0
4 4
0 0
tg t 1 tg t 1
dt sin t cos t 1
I dt
sin t cos t 1
cos t tg t 1
tg t 1 tg t 1
2 dt
1 dt 2 2J
sin t cos t 1 4 sin t cos t 1 4
π π
π π
+ − +
+ −
⇒ = ⋅ =
+ +
+
+ + +
π π
= − = − = −
+ + + +
∫ ∫
∫ ∫
(
)
(
)
(
)
4 4 4
2
2
0 0 0
4
4
12
0
0
dt dt dt
J
t t t
t t
sin t cos t 1
2sin cos 2 cos
2 cos 1 tg
2 2 2
2 2
t
d tg
2
t
ln 1 tg ln 1 tg ln 2 I 2 ln 2 ln 2
t 2 8
4 4
1 tg
2
π π π
π
π
= = =
+ +
+
+
π π
π
= = + = + = ⇒ = − = −
+
∫ ∫ ∫
∫
•
( ) ( )
1 0
2
2
0 1
1 1 1 1
x x dx u u du
−
− = − + = + +
∫ ∫ ∫
1
2
6
0
I = x x 2x + 2 dx
u
−
1
0
t
−π
/4
0
Đặt
)
0
2
u tg t ;t ,
π
= ∈
⇒
du dt/cos
2
t
Khi đó ta có:
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
196
( )
0 0 0
2
6
2 3 4
4 4 4
1 tg t
dt sin t cos t
I 1 tg t 1 tg t dt dt
cos t cos t cos t
−π −π − π
+ +
= + + = =
∫ ∫ ∫
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
2
0 0 0 0
4 2 4
2
4 4 4 4
sin t dt d sin t d cos t 1 sin t 1 sin t
d sin t
1 sin t 1 sin t
cos t cos t
1 sin t
−π −π −π −π
+ + −
= + = − +
+ −
−
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
( )
0 20
3
4
4
0
2 2 2
4
0
4
1 1 1
d sin t
1 sin t 1 sin t
3cos t
1 2 2 1 1 2
d sin t
3
1 sin t
1 sin t 1 sin t
1 2 2 1 1 1 sin t
ln
3 1 sin t 1 sin t 1 sin t
1 2 2 2 2 2 1 1 4 2
ln 2 ln 1 2
3 3
2 2 2 2 2 1
−π
−π
−π
−π
= + +
− +
−
= + + +
−
− +
− +
= + − +
− + −
− − +
= − − + = + +
+ − +
∫
∫
•
( )
2
3 2
2
2
3 2
3 2
2
x
dx
x
+
=
∫ ∫
3 2
2
7
2
3 2
9 + 2x
I = dx
x
x
3 2
3 2
t
π
/6
π
/4
Đặt
)
3
0
2
2
x tg t ;t ,
π
= ∈ ⇒
dx
(
)
2
3 2
dt cos t
Khi đó ta có:
( ) ( )
( )
2 2
2 2
3 2 4
7
2 2 2
6
3 2
x 3 2 3 2 tg t 1
3dt
I 2 dx 2
x 2 cos t
3
tg t
2
π
π
+ +
= = ⋅
∫ ∫
( )
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2
6 6 1 2 1 2
dt d sin t du u 1 u
2 2 2 2 du
cos t sin t cos t sin t
u 1 u u 1 u
π π
π π
+ −
= = = =
− −
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 2 2 2
2 2
1 2
1 2 1 2
du du 1 1 u 1 2 3 2 2
2 2 ln ln 2 2 2
2 1 u u 2 3
1 u u
+ +
= + = − = − +
−
−
∫ ∫
•
∫
1
3 2
I = x 1 + x dx
.
Đ
ặ
t
)
0
x tg t ;t ,
π
= ∈ ⇒
x
0 1
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ
197
t
0
π
/4
dx
2
dt cos t
⇒
( )
4 4 4 4
3 3 2
3 2
8
2 3 6 6
0 0 0 0
tg tdt sin t 1 cos t
I tg t 1 tg t dt dt d cos t
cos t cos t cos t cos t
π π π π
−
= + = = = −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
4
4 4
6 4 5 3
0
0 0
d cos t d cos t 1 1 2
1 2
15
cos t cos t 5 cos t 3cos t
π
π π
= − + = − = +
∫ ∫
x
0 1
t
0
π
/4
•
( )
∫
1
2
9
2 2
0
x dx
I =
x + 1 x + 1
. Đặt
)
0
2
x tg t ;t ,
π
= ∈ ⇒
dx
2
dt cos t
( )
( )
4 4 4 4
2
2 2 2
9
2 2 2
2 2
0 0 0 0
tg t
dt sin t sin t cos t sin t
I dt dt d sin t
cos t
cos t cos t 1 sin t
1 tg t 1 tg t
π π π π
= ⋅ = = =
−
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
4
4
2
0
0
1 1 1 sin t 2
1 d sin t ln sin t ln 1 2
2 1 sin t 2
1 sin t
π
π
+
= − = − = + −
−
−
∫
x
1 3
1
t
π
/6
π
/4
•
(
)
∫
1
2 2
10
3
1 3
x + 1 x + 1
I = dx
x
. Đặt
)
0
2
x tg t ;t ,
π
= ∈ ⇒
dx
2
dt cos t
(
)
4 4 4
2 2
10
3 2 3 2 4 2
6 6 6
1 tg t 1 tg t
dt dt sin t
I dt
tg t cos t sin t cos t sin t cos t
π π π
π π π
+ +
= ⋅ = =
∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
4 4 4
2 2
2 2
2
2 2 2 2
6 6 6
4 4 4 4
2 2
2 2 2 2
6 6 6 6
d cost d cos t cos t 1 cos t
d cost
1 cos t cos t
1 cos t cos t 1 cos t cos t
cos t 1 d cos t d cos t cos t
d cos t 2 d cost
cos t
1 cos t 1 cos t cos t 1 cos t
π π π
π π π
π π π π
π π π π
+ −
= − = − =
−
− −
= + = + +
− − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( )
4
4
2
6
0
4
6
1 cos t 1 1 1 1
2 ln d cos t
1 cos t cos t 4 1 cos t 1 cos t
9 1 cos t 1 1 1 1 9 1 2 2
ln ln 1 2
4 1 cos t cos t 4 1 cos t 1 cos t 2
2 3 3
π
π
π
π
π
+
= − + −
− − +
+ +
= − + − = + − −
− − +
+
∫
Chương II: Nguyên hàm và tích phân
−
−−
−
Trần Phương
198
4. Dạng 4:
−
∫
a + x
f x, dx
a x
. Đặt
2
x a cos t
=
;
(
)
0
2
t ,
π
∈
x
0 5/2
t
π
/4
π
/6
•
−
∫
5 2
1
0
5 + x
I = dx
5 x
. Đặt
5 2 0
2
x cos t ; t ,
π
= ∈
⇒
dx
−
10
sin
2
tdt
⇒
( )
( )
( ) ( )
6 4
2
1
2
4 6
5 1 cos 2t cos t
I 10sin 2t dt 10 2 sin t cos t dt
5 1 cos 2t
sin t
π π
π π
+
= − =
−
∫ ∫
( )
(
)
4
4 4
2
6
6 6
1 5 5 2 3
10 2 cos t dt 10 1 cos 2t dt 10 t sin 2t
2 6 2
π
π π
π
π π
π −
= = + = + = +
∫ ∫
x
0 3/2
t
π
/4
π
/6
•
−
∫
3/2
2
2
0
3 + x
I = x dx
3 x
. Đặt
3 2 0
2
x cos t ; t ,
π
= ∈
⇒
dx
−
6sin2tdt
⇒
( )
( )
( )
( ) ( )
6 4
2
2 2
2
2
4 6
3 1 cos 2t cos t
I 9 cos 2t 6sin 2t dt 54 cos 2t 2sin t cos t dt
3 1 cos 2t
sin t
π π
π π
+
= − =
−
∫ ∫
( )
( )
( )
4 4 4
2 2 2 2 3
6 6 6
4
4
6
6
54 cos 2t 2cos t dt 54 cos 2t 1 cos 2t dt 54 cos 2t cos 2
t dt
1 cos 4t cos 6t 3cos 2t 27 1 1 3
54 dt 2t sin 4t sin 6t sin 2t
2 4 2 2 6 2
27 1 3 3 3 3 27 4
3
2 2 6 2 3 4 4 2 6 3
π π π
π π π
π
π
π
π
= = + = +
+ +
= + = + + +
π π π
= − + − + + = + −
∫ ∫ ∫
∫
5. Dạng 5:
( ) ( )
(
)
− −
∫
f x, x a b x dx
. Đặt
( )
2
x a b a sin t
= + −
;
t 0,
2
π
∈
x
3a b
4
+
a b
2
+
t
π
/6
π
/4
•
( )( )
− −
∫
a+b
2
1
3a+b
4
dx
I =
x a b x
(a < b)
. Đặt
( )
2
0
2
x a b a sin t
t ,
= + −
π
∈
⇒
dx
(b
−
a)sin2tdt
⇒
( )
( )
( )
4 4 4
1
2 2 2
2 2
6 6 6
b a sin 2t dt 2sin t cos t dt
I 2dt 2
4 6 6
sin t cos t
b a sin t 1 sin t
π π π
π π π
− π π π
= = = = − =
− −
∫ ∫ ∫
III. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
( ) ( )
2 2 2 1
3 2 3
1 2 3 4
3 2 3 2
3 2 3 2
1 o
3 2 3
dx dx 2 x
I x 4 x dx ; I ; I ;I x dx
2 x
x x 1 x x 4
−
+
= − = = =
−
− +
∫ ∫ ∫ ∫
