Đề thi GVG môn Toán-Bình Định 2004

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2004 – 2005
ĐỀ THI KIẾN THỨC BỘ MÔN
Đề chính thức Môn : TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 06 – 11 – 2004


Bài 1 : (2,0 điểm).
Chứng minh rằng, với mọi số tự nhiên N

1 , ta có:




N
n
n
nn
1
2).1(
1
< 1 – ln2
Bài 2 : (2,0 điểm).
Các hàm số tuần hoàn f(x): R

R và g(x): R

R thỏa mãn
x

lim
(f(x) – g(x) ) = 0 .
Chứng minh rằng f(x) = g(x) với mọi số thực x.

Bài 3: (3,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao là AD, BE, CF . Gọi R là bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF . Chứng minh
rằng:
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2 +
R
r

Bài 4: ( 3,0 điểm).
Trong tiết luyện tập toán, giáo viên ra đề :
Gọi (x, y) là nghiệm của hệ phương trình:
x + y = 2a – 1
x + y
2
= a
2
+ 2a - 3
Xác đònh a để tích xy nhỏ nhất?
- Một học sinh giải như sau:
Từ hệ phương trình đã cho ta có:

(x + y)
2
– 2xy = a
2
+ 2a – 3

(
2a – 1)
2
– 2xy = a
2
+ 2a – 3


xy =
2
3
(a – 1)
2
+
2
1



2
1
.
Do đó xy đạt giá trò nhỏ nhất khi a = 1.
- Anh (chò) hãy cho biết lời giải trên đúng hay sai? Vì sao? Nếu sai, anh (chò) hãy giải lại cho

đúng.

Hết