Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương Artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM






















N
N
G

G
U
U
Y
Y
Ễ
Ễ
N
N


T
T
H
H
Ị
Ị


T
T
H
H
U
U

TÍNH BÃO HÒA NGUYÊN T
Ố CỦA MỘT SỐ
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN






LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014





ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM











N
N
G
G
U
U
Y
Y
Ễ
Ễ
N
N


T
T
H
H
Ị
Ị


T
T
H
H
U

U






TÍNH BÃO HÒA NGUYÊN T
Ố CỦA MỘT SỐ
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số : 60.46.01.04



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC




N
N
G
G
Ư
Ư
Ờ
Ờ
I

I


H
H
Ư
Ư
Ớ
Ớ
N
N
G
G


D
D
Ẫ
Ẫ
N
N


K
K
H
H
O
O
A

A


H
H
Ọ
Ọ
C
C


P
P
G
G
S
S
.
.


T
T
S
S
.
.


L

L
Ê
Ê


T
T
H
H
Ị
Ị


T
T
H
H
A
A
N
N
H
H


N
N
H
H
À

À
N
N


















Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis . . . . . . . 3
1.2 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin . . . . . . . . . . 6
1.3 Tính chất cở sở của môđun đối đồng điều địa phương . . 12

1.4 Tính catenary của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa
phương Artin 18
2.1 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin . . . . . . . . 18
2.2 Tính bão hòa nguyên tố của H
d
m
(M) . . . . . . . . . . . 26
2.3 Tính bão hòa nguyên tố của H
i
m
(M) . . . . . . . . . . . 35
2.4 Tính bão hòa nguyên tố của H
d
I
(M) . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
i
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình
của PGS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều thời gian hướng
dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô.
Tôi xin gửi tới các thầy cô ở Viện Toán học Hà Nội, Khoa Toán,
Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên đã tận
tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã quan tâm, tạo
điều kiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
ii

Lời nói đầu
Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương với iđêan tối
đại duy nhất m. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull
dim M = d. Giả sử p ∈ Spec(R) sao cho p chứa Ann
R
M. Khi đó
p ∈ Supp
R
M, vì thế M
p
= 0. Theo Bổ đề Nakayama ta có M
p
/pM
p
= 0.
Suy ra p ∈ Supp
R
(M/pM) và do đó p ⊇ Ann
R
(M/pM). Hiển nhiên
p ⊆ Ann
R
(M/pM). Vì thế ta luôn có
Ann
R
(M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann
R
M.
Theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cường và L. T. Nhàn [CN] đã xét tính
chất sau đối với các R-môđun Artin A

Ann
R
(0 :
A
p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann
R
A. (∗)
Khi R là vành đầy đủ theo tôpô m-adic, sử dụng đối ngẫu Matlis và áp
dụng tính chất trên của các môđun hữu hạn sinh, ta thấy rằng tính chất
(*) luôn đúng cho mọi R-môđun Artin A. Tuy nhiên, Nguyễn Tự Cường
và Lê Thanh Nhàn [CN] đã xây dựng ví dụ chỉ ra rằng tính chất (*)
nhìn chung không còn đúng khi vành R không đầy đủ.
Định nghĩa. Ta nói R-môđun Artin A là bão hòa nguyên tố nếu A thỏa
mãn tính chất (*).
Tính bão hòa nguyên tố được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T.
Nhàn [CN] nhằm nghiên cứu chiều của môđun Artin. Chú ý rằng môđun
đối đồng điều địa phương H
i
m
(M) luôn là R-môđun Artin với mọi cấp i.
Năm 2007, N. T. Cường, N. T. Dung, L. T. Nhàn [CDN] đã đặc trưng
tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao
nhất với giá cực đại như sau.
Định lí 1. H
d
m
(M) là bão hòa nguyên tố khi và chỉ khi R/ Ann
R
H
d

m
(M)
là vành catenary.
1
Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố
của R chứa I. Năm 2009, L. T. Nhàn và T. N. An [NA] đã đặc trưng
tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều cấp i tùy ý với giá cực
đại thông qua tập giả giá. Theo Brodmann và Sharp [BS1], giả giá thứ
i của M, kí hiệu là Psupp
i
R
(M), được định nghĩa bởi như sau:
Psupp
i
R
(M) = {p ∈ Spec(R) : H
i−dim(R/p)
pR
p
(M
p
) = 0}.
Định lí 2. Psupp
i
R
(M) ⊆ Var(Ann
R
H
i
m

(M)). Dấu đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi H
i
m
(M) là bão hòa nguyên tố.
Chúng ta biết rằng môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất
với giá I tùy ý luôn là môđun Artin. Năm 2012, L. T. Nhàn và T. Đ. M.
Châu [NC] đã đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của H
d
I
(M). Theo I. G.
Macdonald [Mac], với mỗi R-môđun Artin A, kí hiệu Att
R
A là tập các
iđêan nguyên tố gắn kết của A.
Định lí 3. H
d
I
(M) là bão hòa nguyên tố nếu và chỉ nếu R/ Ann
R
H
d
I
(M)
là vành catenary và
Att
R
H
d
I

(M) = {p ∈ Ass
R
M : dim(R/p) = d,

p + I = m}.
Mục đích của luận văn là chứng minh lại chi tiết 3 định lí đã nêu
ở trên về tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa
phương Artin trong các bài báo [CDN], [NA], [NC].
Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức
chuẩn bị về vành đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis, lí thuyết
biểu diễn thứ cấp cho môđun Artin, khái niệm và tính chất cơ sở của
môđun đối đồng điều địa phương, tính catenary của vành. Chương 2
đưa ra chứng minh chi tiết cho các đặc trưng tính bão hòa nguyên tố
của một số môđun đối đồng điều địa phương Artin H
d
m
(M), H
i
m
(M) và
H
d
I
(M).
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong suốt luận văn này, luôn giả thiết (R, m) là một vành giao
hoán Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m. Cho A là
R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Mục

đích của Chương 1 là trình bày lại một số kiến thức chuẩn bị về vành
đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis, lý thuyết biểu diễn thứ cấp
cho môđun Artin, tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương
và tính catenary của vành.
1.1 Đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis
Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m, L là
một R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh, cũng không nhất thiết
Artin). Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm vành đầy đủ

R
của R theo tôpô m-adic và một số kết quả về hàm tử đối ngẫu Matlis
D(−) := Hom
R
(−, E(R/m)). Các thuật ngữ ở đây được tham khảo trong
chương 10 của cuốn sách [BS] của M. Brodmann và R. Y. Sharp.
Định nghĩa 1.1.1. Một dãy (x
n
) ⊂ R được gọi là một dãy Cauchy
theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n
0
∈ N sao cho
3
x
n
− x
m
∈ m
k
, với mọi m, n ≥ n
0

. Dãy (x
n
) ⊂ R được gọi là dãy không
nếu với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n
0
∈ N sao cho x
n
∈ m
k
,với mọi
n ≥ n
0
. Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như
sau : Hai dãy Cauchy (x
n
), (y
n
) được gọi là tương đương nếu dãy (x
n
−y
n
)
là dãy không. Kí hiệu

R là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy.
Chú ý rằng tổng và tích của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc
cộng (x
n
) + (y
n

) = (x
n
+ y
n
) và quy tắc nhân (x
n
)(y
n
) = (x
n
y
n
) không
phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là
các phép toán trên

R và cùng với phép toán này

R làm thành một vành
Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m

R. Vành

R vừa xây
dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R.
Một dãy (z
n
) ⊂ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m-adic nếu với
mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n
0

∈ N sao cho z
n
− z
m
∈ m
k
M, với mọi
m, n ≥ n
0
. Dãy (z
n
) ⊂ M gọi là dãy không nếu với mỗi k ∈ N cho
trước tồn tại n
0
∈ N sao cho z
n
∈ m
k
, với mọi n ≥ n
0
. Ta trang bị
quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy
(z
n
), (t
n
) được gọi là tương đương nếu dãy (z
n
− t
n

) là dãy không. Kí
hiệu

M là tập các lớp tương đương của các dãy Cauchy. Chú ý rằng
tổng của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy và tích vô hướng của một
phần tử thuộc

R với một dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc cộng
(z
n
)+(t
n
) = (z
n
+t
n
) và quy tắc nhân vô hướng a(z
n
) = (az
n
) với a ∈

R,
không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương. Vì
thế nó là các phép toán trên

M và cùng với phép toán này

M làm thành
một


R-môđun và được gọi là môđun đầy đủ theo tôpô m-adic trên vành

R
Ví dụ 1.1.2. Cho k là một trường, k[x] là vành đa thức 1 biến trên k.
Vành S = k[x] không là vành địa phương. Chọn P = (x)S là iđêan cực
4
đại của S. Do đó vành địa phương hóa R = S
P
là vành địa phương với
iđêan tối đại là m = (x)R. Ta có thể kiểm tra được vành đầy đủ m-adic
của R là k[[x]].
Định nghĩa 1.1.3. Cho L = 0 là một R-môđun, một R-môđun E được
gọi là mở rộng cốt yếu của một môđun L nếu L ⊆ E và với mỗi môđun
con khác không N của E luôn có N ∩L = 0. Một R-môđun E được gọi
là bao nội xạ của L nếu E là R-môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu
của L. Mỗi R-môđun L luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa, nếu E
và E

là những bao nội xạ của L, thì tồn tại một đẳng cấu f : E → E

sao cho f(x) = x, với mọi x ∈ L. Ta kí hiệu bao nội xạ của môđun L là
E(L).
Một giải nội xạ của L là một dãy khớp
0 −→ L −→ E
0
−→ E
1
−→ E
2

−→
trong đó mỗi E
i
là R-môđun nội xạ. Chú ý rằng mỗi môđun đều có giải
nội xạ.
Dãy 0 = L
0
 L
1
 L
2
 L
t
= L (*) trong đó mỗi L
i
là môđun
con của của L được gọi là dãy môđun con độ dài t. Ta nói L có dãy
hợp thành nếu tồn tại dãy (*) mà giữa L
i
và L
i+1
không thể thêm một
môđun con nào khác, với mọi i = 0, , t − 1. Nếu L có dãy hợp thành
thì mọi dãy môđun con không có mắt lặp lại của L đều có thể mở rộng
được thành một dãy hợp thành và các dãy hợp thành của L có chung
độ dài. Trong trường hợp này ta nói L có độ dài hữu hạn và độ dài của
L, kí hiệu là 
R
(L), là độ dài của một dãy hợp thành. Nếu L không có
dãy hợp thành thì ta nói L có độ dài vô hạn, ta kí hiệu 

R
(L) = ∞.
Định nghĩa 1.1.4. Đặt E := E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng
dư R/m của R. Xét hàm tử D(−) = Hom(−, E) từ phạm trù các R-
5
môđun đến chính nó. Ta thấy D(−) là hàm tử phản biến, tuyến tính
và khớp trái. Vì E là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp. Với mỗi
R-môđun L, ta gọi D(L) là đối ngẫu Matlis của L.
Xét µ
L
: L → DD(L) = Hom
R
(Hom
R
(L, E), E) là R-đồng cấu
cho bởi (µ
L
(x))(f) = f(x), với mọi x ∈ L, với mọi f ∈ Hom
R
(L, E).
Ta có µ
L
là đơn cấu. Thật vậy, với mọi x ∈ L, f ∈ Hom
R
(L, E) mà
(µ
L
(x))(f) = f(x) = 0, suy ra f = 0.
Đặt Ann
R

L = {a ∈ R | aL = 0}. Chú ý rằng Ann
R
L là một iđêan
của R.
Bổ đề 1.1.5. Giả sử (R, m) là vành địa phương. Với các kí hiệu như
trên, các phát biểu sau là đúng.
(i) Ann
R
L = Ann
R
D(L).
(ii) Nếu 
R
(L) < ∞ thì D(L)
∼
=
L.
(iii) Nếu L là môđun Noether thì D(L) là môđun Artin.
(iv) (R, m) là vành đầy đủ và L là môđun Artin thì D(L) là môđun
Noether.
1.2 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin
Mục tiêu của tiết này là trình bày các khái niệm và tính chất về
biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin, đặc biệt về tập iđêan nguyên
tố gắn kết nhằm phục vụ chứng minh các kết quả ở Chương 2. Các
kiến thức trong tiết này được tham khảo trong bài báo [Mac] của I. G.
Macdonald. Trong suốt tiết này luôn giả thiết A là R-môđun Artin.
Định nghĩa 1.2.1. (i) Cho x ∈ R. Nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho
6
x
n

A = 0 thì ta nói phép nhân bởi x trên A là lũy linh. Nếu xA = A thì
ta nói phép nhân bởi x trên A là toàn cấu.
(ii) Ta nói A là môđun thứ cấp nếu A = 0 và phép nhân bởi x trên
A là toàn cấu hoặc lũy linh với mọi x ∈ R. Trong trường hợp này, tập
Rad(Ann
R
A) là iđêan nguyên tố p và ta nói A là p-thứ cấp.
(iii) Một biểu diễn A = A
1
+ + A
n
, trong đó mỗi A
i
là p
i
-thứ cấp
được gọi là một biểu diễn thứ cấp của A. Biểu diễn thứ cấp này gọi là
tối thiểu nếu các p
i
là đôi một khác nhau và mỗi A
i
là không thừa (tức
là A = A
1
+ + A
i−1
+ A
i+1
+ + A
n

) với mọi i.
(iv) A = 0 hoặc A có biểu diễn thứ cấp thì A là biểu diễn được.
Dưới đây ta nhắc lại một số tính chất về biểu diễn thứ cấp cho
môđun Artin.
Bổ đề 1.2.2. Các phát biểu sau là đúng:
(i) Môđun thương khác 0 của môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp.
(ii) Tổng trực tiếp của hữu hạn môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp.
(iii) Tổng của hữu hạn môđun con p-thứ cấp của A là p-thứ cấp.
Nhận xét 1.2.3. Giả sử A = A
1
+ + A
n
là một biểu diễn thứ cấp
của A. Nếu tồn tại i = j sao cho A
i
và A
j
đề là p-thứ cấp thì theo bổ đề
trên ta có A
i
+ A
j
cũng là p-thứ cấp. Vì thế, bằng cách loại đi các thành
phần thứ cấp thừa và ghép lại những thành phần thứ cấp ứng với cùng
một iđêan nguyên tố, ta có thể rút gọn biểu diễn thứ cấp này thành một
biểu diễn thứ cấp tối thiểu.
Bổ đề 1.2.4. Giả sử A = A
1
+ +A
n

là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu
của A, trong đó A
i
là p
i
-thứ cấp. Cho p là iđêan nguyên tố. Khi đó các
điều sau là tương đương:
7
(i) p ∈ {p
1
, , p
n
}.
(ii) A có môđun thương là p-thứ cấp.
(iii) A có môđun thương Q sao cho Ann
R
(Q) = p.
Từ bổ đề trên ta có định lý sau.
Định lý 1.2.5. (Định lý duy nhất thứ nhất). Giả sử
A = A
1
+ + A
r
= B
1
+ + B
s
là hai biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A, trong đó A
i
là p

i
-thứ cấp với i =
1, , r và B
i
là q
i
-thứ cấp với i = 1, , s. Khi đó r = s và {p
1
, , p
r
} =
{q
1
, , q
r
}.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử A là biểu diễn được. Theo định lý duy nhất
thứ nhất, tập {p
1
, , p
n
} chỉ phụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào
biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A. Ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố
gắn kết của A và kí hiệu là Att
R
A. Nếu p là tối thiểu trong tập Att
R
A
thì thành phần thứ cấp tương ứng được gọi là thành phần thứ cấp cô lập
của A. Chú ý rằng tồn tại hai biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A mà các

thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố gắn kết là khác
nhau. Tuy nhiên, nếu iđêan nguyên tố gắn kết ấy là tối thiểu trong tập
Att
R
A thì thành phần thứ cấp tương ứng là xác định duy nhất. Đó là
nội dung của định lý sau đây.
Định lý 1.2.7. (Định lý duy nhất thứ hai). Giả sử A là biểu diễn được
và p ∈ min Att
R
A. Khi đó thành phần thứ cấp ứng với p không phụ thuộc
vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A.
Bổ đề 1.2.8. Giả sử A = 0 là Artin. Nếu A không là tổng của hai
môđun con thực sự của A thì A là thứ cấp.
8
Chứng minh. Giả sử A không thứ cấp. Khi đó tồn tại x ∈ R sao cho
xA = A và x
n
A = 0 với mọi n. Do xA ⊇ x
2
A ⊇ là dãy giảm các
môđun con của A nên nó phải dừng. Vì thế tồn tại k sao cho x
n
A = x
k
A
với mọi n ≥ k. Đặt A
1
= {a ∈ A : x
k
a = 0} và A

2
= x
k
A. Cho a ∈ A. Vì
x
k
A = x
2k
A nên x
k
a = x
2k
b. Do đó x
k
(a−x
k
b) = 0 hay a−x
k
b = c ∈ A
1
.
Do đó a = c + x
k
b ∈ A
1
+ A
2
. Suy ra A = A
1
+ A

2
. Theo định nghĩa
của A
1
ta có x
k
A
1
= 0. Vì x
k
A = 0 nên A = A
1
. Do xA = A nên
A
2
= x
k
A = A. Điều này là vô lí.
Định lý 1.2.9. Mọi môđun Artin đều biểu diễn được.
Chứng minh. Cho A là môđun Artin. Giả sử A không biểu diễn được.
Gọi Γ là tập các môđun con không biểu diễn được của A. Khi đó A ∈ Γ,
do đó Γ = ∅. Do A là Artin nên Γ có phần tử cực tiểu L. Vì L ∈ Γ
nên L = 0 và L không là môđun thứ cấp. Theo bổ đề trên thì L viết
được thành tổng của hai môđun thực sự L
1
, L
2
. Vì L là tối thiểu nên
L
1

, L
2
/∈ Γ, tức là L
1
, L
2
là biểu diễn được. Vì thế L = L
1
+ L
2
cũng là
biểu diễn được. Điều này là vô lý.
Phần tiếp theo chỉ ra một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn
kết cho môđun Artin. Giả thiết A là R-môđun Artin, I là iđêan của R,
kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I.
Bổ đề 1.2.10. Các phát biểu sau là đúng
(i) min Att
R
A = min Var(Ann
R
A).
(ii) A = 0 nếu và chỉ nếu Att
R
A = ∅.
Chứng minh. (i). Cho Att
R
A = {p
1
, , p
n

}, p ∈ min Var(Ann
R
A). Dễ
thấy
√
Ann
R
A =

n
i=1
p
i
. Vì p ⊇ Ann
R
A nên p ⊇ p
i
với i nào đó. Có
thể chọn p
i
∈ min Att
R
A sao cho p ⊇ p
i
. Do p
i
⊇ Ann
R
A và p tối
9

thiểu nên p = p
i
∈ min Att
R
A. Ngược lại, giả sử p ∈ min Att
R
A. Theo
Bổ đề 1.2.4 tồn tại môđun thương Q của A sao cho p = Ann
R
Q. Vì
Ann
R
A ⊆ Ann
R
Q nên p ∈ Var(Ann
R
A). Nếu p /∈ min Var(Ann
R
A) thì
tồn tại q ∈ min Var(Ann
R
A) sao cho q ⊂ p và q = p. Theo chứng minh
trên, q ∈ min Att
R
A. Điều này là mâu thuẫn. Vậy p ∈ min Var(Ann
R
A).
(ii). Giả sử Att
R
A = ∅. Lấy p ∈ Att

R
A. Khi đó có môđun thương
Q = 0 của A sao cho p = Ann
R
Q. Suy ra A = 0. Giả sử A = 0. Khi đó
Ann
R
A = R. Do đó tồn tại iđêan nguyên tố cực tiểu p chứa Ann
R
A.
Theo (i), p ∈ Att
R
A. Vì thế Att
R
A = ∅.
Bổ đề 1.2.11. Giả sử 0 → A

→ A → A

→ 0 là dãy khớp các R-môđun
Artin. Khi đó Att
R
A

⊆ Att
R
A ⊆ Att
R
A


∪ Att
R
A

.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết A

là môđun
con của A và A

= A/A

. Cho p ∈ Att
R
A

. Khi đó tồn tại môđun
thương Q của A

sao cho Ann
R
Q = p. Vì Q cũng là thương của A nên
p ∈ Att
R
A. Vậy Att
R
A

⊆ Att
R

A. Cho p ∈ Att
R
A. Khi đó có môđun
thương A/P của A là p-thứ cấp. Xét Q = P + A

. Nếu Q = A thì
A/P = (P + A

)/P
∼
=
A

/(P ∩A

).
Vì A/P là p-thứ cấp nên p ∈ Att
R
(A/P ). Theo đẳng cấu trên, A/P là
thương của A

. Vì thế ta có p ∈ Att
R
A

. Giả sử A = Q. Khi đó A/Q là
môđun thương khác không của A/P. Vì A/P là p-thứ cấp nên A/Q là
p-thứ cấp. Vì thế p ∈ Att
R
(A/Q). Lại do A/Q là thương của A


= A/A

nên p ∈ Att
R
A

.
Cho u ∈ A và cho x = (x
n
) ∈

R, trong đó x
n
∈ R. Khi đó
Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, do đó nó là môđun Artin.
Chú ý rằng Ru là hữu hạn sinh (sinh bởi phần tử u). Vì thế Ru vừa là
10
môđun Artin, vừa là môđun Noether. Do đó Ru là môđun có độ dài hữu
hạn. Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao cho m
k
u = 0. Vì x = (x
n
) ∈

R nên
tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho x
n

−x
m
∈ m
k
với mọi m, n ≥ n
0
. Do đó ta
có (x
n
−x
m
)u = 0 với mọi m, n ≥ n
0
. Suy ra x
n
u không đổi khi n ≥ n
0
.
Do đó ta có thể định nghĩa xu = x
n
u với n ≥ n
0
. Dễ kiểm tra được đây
là một tích vô hướng trên A. Do đó A có cấu trúc

R-môđun. Với cấu
trúc này, một tập con của A là một R-môđun con của A nếu và chỉ nếu
nó là một

R-môđun con của A. Vì thế dãy môđun con của A xét như


R-môđun chính là dãy môđun con của A xét như R- môđun. Do đó A
là một

R-môđun Artin.
Ta có quan hệ sau về tập iđêan nguyên tố gắn kết trên R và trên

R.
Bổ đề 1.2.12. Att
R
A = {P ∩R : P ∈ Att

R
A}.
Chứng minh. Giả sử A = (A
11
+ + A
it
1
) + + (A
n1
+ + A
nt
n
) là
một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A xét như

R-môđun, trong đó A
ij
là P

ij
-thứ cấp và P
i1
∩ R = = P
it
i
∩ R = p
i
với mọi i = 1, , n và các
p
i
là đôi một phân biệt. Khi đó
Att

R
A = {P
ij
: i = 1, , n, j = 1, , t
i
}.
Đặt A
i
= A
i1
+ + A
it
i
với i = 1, , n. Khi đó A = A
1
+ + A

n
.
Cho i ∈ {1, , n}. Với x ∈ p
i
ta có x ∈ P
ij
với mọi j = 1, , t
i
. Vì thế
phép nhân bởi x trên A
i
là lũy linh. Cho x /∈ p
i
. Khi đó x /∈ P
ij
với mọi
j = 1, , t
i
. Do đó phép nhân bởi x trên A
i
là toàn cấu. Suy ra A
i
là
p
i
-thứ cấp. Vì mỗi A
ij
đều không thừa nên A
i
là không thừa với mọi i.

Vậy Att
R
A = {p
1
, , p
n
} = {P ∩R : P ∈ Att

R
A}.
11
1.3 Tính chất cở sở của môđun đối đồng điều địa
phương
Trong suốt tiết này, giả thiết L là một R-môđun (không nhất thiết
hữu hạn sinh, cũng không nhất thiết Artin). Chúng ta sẽ dùng kí hiệu
M khi làm việc với môđun hữu hạn sinh. Cho I là một iđêan của R.
Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa
phương và một số kết quả về tính triệt tiêu, tính Artin của các môđun
này. Các thuật ngữ ở đây được tham khảo trong cuốn sách [BS] của M.
Brodman và R.Y. Sharp.
Định nghĩa 1.3.1. Cho I là iđêan của R và L, N là các R-môđun. Đặt
Γ
I
(L) =

n≥0
(0 :
L
I
n

). Vì (0 :
L
I) ⊆ (0 :
L
I
2
) ⊆ là dãy tăng các môđun
con của M nên Γ
I
(L) là môđun con của L. Cho f : L −→ N là một
đồng cấu giữa các R-môđun. Lấy x ∈ Γ
I
(L), khi đó tồn tại t ∈ N sao
cho x ∈ (0 :
L
I
t
), tức là I
t
x = 0. Vì vậy 0 = f(I
t
x) = I
t
f(x). Suy
ra f(x) ∈ Γ
I
(N). Vậy ta có đồng cấu f
∗
: Γ
I

(L) −→ Γ
I
(N) cho bởi
f
∗
(x) = f(x). Đặt Γ
I
(f) = f
∗
. Khi đó Γ
I
(−) là một hàm tử hiệp biến,
khớp trái từ phạm trù các R-môđun đến chính nó. Γ
I
(−) được gọi là
hàm tử I-xoắn.
Môđun dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn Γ
I
(−) ứng với L
được gọi là môđun đối đồng điều thứ i của L với giá I, kí hiệu là H
i
I
(L).
Cụ thể, nếu
0 → L
α
−→ E
0
d
0

−→ E
1
d
1
−→ E
2
→
là giải nội xạ của L, tác động hàm tử Γ
I
(−) ta có đối phức
0 → Γ
I
(E
0
)
d
∗
0
−→ Γ
I
(E
1
)
d
∗
1
−→ Γ
I
(E
2

) →
12
Khi đó H
i
I
(L) = Ker d
∗
i
/ Im d
∗
i−1
với i ≥ 0, môđun này không phụ thuộc
vào việc chọn giải nội xạ của L.
Sau đây là một số tính chất cở sở của môđun đối đồng điều địa
phương.
Mệnh đề 1.3.2. Cho L là R-môđun. Các phát biểu sau là đúng.
(i) H
0
I
(L)
∼
=
Γ
I
(L).
(ii) Nếu L là nội xạ thì H
i
I
(L) = 0 với mọi i ≥ 1.
(iii) H

i
I
(L) là môđun I-xoắn với mọi i.
(iv) L là I-xoắn thì H
i
I
(L) = 0 với mọi i > 0. Đặc biệt với mỗi R-môđun
M, ta có H
j
I
(H
i
I
(L)) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j ≥ 1.
(v) 0 → L

→ L → L

→ 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó với
mỗi i ∈ N, tồn tại một đồng cấu δ
i
: H
i
I
(L

) → H
i+1
I
(L


) sao cho ta có
dãy khớp dài
0 → Γ
I
(L

) → Γ
I
(L) → Γ
I
(L

)
δ
0
−→ H
1
I
(L

)
→ H
1
I
(L) → H
1
I
(L


)
δ
1
−→ H
2
I
(L

) →
Đồng cấu δ
i
ở trên gọi là đồng cấu nối thứ i.
Một dãy giảm các iđêan nguyên tố p
0
 p
1
  p
n
gọi là một
xích nguyên tố trong R và n gọi là độ dài của xích. Cận trên đúng của
các độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều của vành
R và được kí hiệu là dim R. Cho M là R-môđun, chiều của M, kí hiệu
là dim M được xác định bởi công thức dim M = dim(R/ Ann
R
M).
Bổ đề 1.3.3. Cho R là vành giao hoán Noether (không nhất thiết địa
phương), M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
13
(i) 

R
(M) < ∞.
(ii) Ass
R
M ⊆ Max R.
(iii) dim M = 0.
Bổ đề 1.3.4. Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương, I là iđêan của
R. Khi đó dim R/I = 0 khi và chỉ khi I là m-nguyên sơ.
Một dãy các phần tử x
1
, , x
t
của R được gọi là một M-dãy chính
quy nếu (x
1
, , x
t
)M = M và x
i
không là ước của không đối với môđun
thương M/(x
1
, , x
t
)M với mọi i. Một dãy M-chính quy x
1
, , x
t
∈ I
được gọi là cực đại trong I nếu không tồn tại y ∈ I sao cho x

1
, , x
n
, y
là M-dãy chính quy. Khi đó mỗi dãy chính quy trong I luôn mở rộng
được thành M-dãy chính quy tối đại trong I và các M-dãy chính quy
cực đại trong I có độ dài bằng nhau. Độ dài chung này được gọi là độ
sâu của M đối với iđêan I và được kí hiệu là depth(I, M). Khi I = m
thì ta viết depth(M) thay cho depth(m, M). Ta gọi depth(m, M) là độ
sâu của M.
Độ sâu của M đối với iđêan I có thể đặc trưng thông qua tính
không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau.
Định lý 1.3.5. Với mỗi iđêan I của R ta có
depth(I, M) = inf{i : H
i
I
(M) = 0}.
Chiều của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương có thể đặc
trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương
như sau.
Định lý 1.3.6. Ta có
dim M = max{i : H
i
m
(M) = 0}.
14
Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày một số tính chất
Artin của môđun đối đồng điều địa phương. Kết quả đầu tiên khẳng
định môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là Artin.
Định lý 1.3.7. Các phát biểu sau là đúng.

(i) H
i
m
(M) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0.
(ii) H
d
I
(M) là Artin với mọi iđêan I của R.
1.4 Tính catenary của vành
Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm và một số kết quả về
tính catenary của R. Các thuật ngữ ở đây được tham khảo trong cuốn
sách [Mat] của H. Matsumura.
Định nghĩa 1.4.1. R được gọi là vành catenary nếu với mội cặp iđêan
nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q
và p và mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài.
Chú ý rằng vì (R, m) là vành địa phương Noether nên dim R < ∞.
Vì thế luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q ⊂ p của R. Do
đó R là vành catenary nếu và chỉ nếu mọi dãy bão hòa giữa hai iđêan
nguyên tố q ⊂ p đều có cùng độ dài.
Bổ đề 1.4.2. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary.
(ii) Nếu dim R ≤ 2 thì R là vành catenary.
Chứng minh. (i) Giả sử R là vành catenary và I là iđêan của R. Khi
đó mỗi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan nguyên tố
¯
q ⊂
¯
p
15
của R/I tương ứng với một dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan

nguyên tố q ⊂ p của R chứa I, trong đó
¯
q và
¯
p là ảnh của q và p trong
R/I. Vì thế R/I là catenary.
(ii) Giả sử dim R ≤ 2. Cho q ⊂ p là hai iđêan nguyên tố của R. Khi đó
chỉ có một trong hai khả năng xảy ra: hoặc chèn được thêm một iđêan
nguyên tố giữa q và p để được dãy bão hòa, hoặc q ⊂ p đã bão hòa. Vì
thế R là catenary.
Định nghĩa 1.4.3. Ta nói rằng M là đẳng chiều nếu dim(R/p) = dim M
với mọi iđêan nguyên tố liên kết p ∈ min Ass
R
M. Ta nói M là tựa không
trộn lẫn nếu môđun đầy đủ theo tôpô m-adic

M của M là đẳng chiều,
tức là dim(

R/

p) = dim

M với mọi

p ∈ min Ass

R

M.

Mệnh đề 1.4.4. Nếu (R, m) là miền nguyên địa phương Noether tựa
không trộn lẫn thì R là catenary.
Cho p là iđêan nguyên tố của R. Cận trên đúng của độ dài các xích
nguyên tố bắt đầu từ p được gọi là độ cao của iđêan p, kí hiệu là ht p.
Từ định nghĩa vành catenary, ta dễ thấy rằng nếu R là miền nguyên địa
phương catenary thì nó thỏa mãn công thức chiều
ht p + dim R/p = dim R.
với mọi iđêan nguyên tố p của R. Vì thế I. S. Cohen 1954 đã hỏi rằng
liệu một miền nguyên địa phương R thỏa mãn công thức chiều ht p +
dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R có là miền catenary
hay không? Câu trả lời được khẳng định bởi R.J. Ratliff đưa ra vào năm
1972.
Mệnh đề 1.4.5. Một miền nguyên Noether địa phương R là catenary
nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có
ht p + dim R/p = dim R.
16
Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều. Từ định nghĩa
vành catenary, dễ thấy rằng nếu R là catenary thì ht p+dim R/p = dim R
với mọi iđêan nguyên tố p của R. McAdam và R. J. Ratliff năm 1974 đã
chứng minh điều ngược lại, kết quả này mở rộng mệnh đề trên cho tất
cả các vành địa phương đẳng chiều. Chú ý rằng kết quả này sẽ được sử
dụng để chứng minh một trong ba kết quả chính của luận văn (Định lý
1).
Mệnh đề 1.4.6. Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều. Khi
đó R là catenary nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có
ht p + dim R/p = dim R.
17
Chương 2
Tính bão hòa nguyên tố của môđun
đối đồng điều địa phương Artin

Trong chương này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether
địa phương, I là một iđêan của R và i là một số nguyên không âm. Cho
A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.
Mục đích của chương này là đặc trưng tính bão hòa nguyên tố của một
số môđun đối đồng điều địa phương Artin H
d
m
(M), H
i
m
(M), H
d
I
(M).
2.1 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin
Trước hết ta xét một tính chất cở sở của các R-môđun hữu
hạn sinh M như sau: Giả sử p ∈ Spec(R) và p chứa Ann
R
M. Khi đó
M
p
= 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra (M/pM)
p
∼
=
M
p
/pM
p
= 0. Vì

thế p ∈ Supp
R
(M/pM), tức là p ⊇ Ann
R
(M/pM). Vì vậy ta có
Ann
R
(M/pM) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann
R
M.
18
Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N. T. Cường và L. T. Nhàn [CN]
đã xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:
Ann
R
(0 :
A
p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann
R
A.
Nhìn chung tính chất (*) không đúng cho các môđun Artin. Vì thế ta
có khái niệm sau.
Định nghĩa 2.1.1. Ta nói A là bão hòa nguyên tố nếu
Ann
R
(0 :
A
p) = p với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann
R
A.

Nhận xét 2.1.2. Giả sử R là đầy đủ theo tôpô m-adic. Khi đó D(A)
là R-môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng Ann
R
A = Ann
R
D(A). Vì thế áp
dụng tính chất linh hoán tử cho môđun D(A) ta có
Ann
R
(0 :
A
p) = Ann
R
(D(0 :
A
p)) = Ann
R
(D(A)/pD(A)) = p
với mọi iđêan nguyên tố p ⊇ Ann
R
A = Ann
R
D(A). Do vậy tính bão
hòa nguyên tố luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phương
đầy đủ. Tuy nhiên, tính bão hòa nguyên tố không còn đúng khi vành R
không đầy đủ.
Ví dụ 2.1.3. (xem [CN, Ví dụ 4.4]). Tồn tại một môđun Artin trên
vành Noether địa phương không bão hòa nguyên tố.
Chứng minh. Gọi (R, m) là miền Noether địa phương chiều 2 được xây
dựng bởi D. Ferrand và M. Raynaud [FR] thỏa mãn tính chất tồn tại

một iđêan nguyên tố nhúng Q ∈ Ass

R với dim

R/Q = 1. Khi đó H
1
m
(R)
là môđun Artin và ta có đẳng cấu các

R-môđun H
1
m
(R)
∼
=
H
1

m
(

R). Theo
[BS, 11.3.3]) ta suy ra Q ∈ Att

R

H
1


m
(

R)

. Suy ra Q∩R ∈ Att
R

H
1
m
(R)

.
Chú ý rằng Ass R = {P ∩R : P ∈ Ass

R} (xem [Mat, Định lí 23.2]). Vì
19
thế ta có Q ∩R ∈ Ass R. Do R là miền nguyên nên Ass R = {0}. Do đó
0 = Q ∩ R ∈ Att
R
(H
1
m
(R)). Vì thế
Ann
R

H
1

m
(R)

=

p∈Att
R
(H
1
m
(R))
p ⊆ Q ∩ R = 0.
Chọn A = H
1
m
(R). Khi đó A là R-môđun Artin. Lấy tùy ý một iđêan
nguyên tố p của R sao cho p = 0 và p = m. Ta đã chứng minh ở trên
rằng Ann
R
A = 0. Do đó p ⊃ Ann
R
A. Lấy 0 = x ∈ p. Xét dãy khớp
0 → R
x
→ R → R/xR → 0.
Dãy này cảm sinh dãy khớp các môđun đối đồng điều địa phương
0 → H
0
m
(R/xR) → H

1
m
(R)
x
→ H
1
m
(R).
Suy ra H
0
m
(R/xR)
∼
=
(0 :
H
1
m
(R)
x) = (0 :
A
x). Vì H
0
m
(R/xR) là R-
môđun có độ dài hữu hạn nên (0 :
A
x) có độ dài hữu hạn. Do x ∈ p
nên (0 :
A

p) ⊆ (0 :
A
x) và do đó (0 :
A
p) có độ dài hữu hạn. Vì thế
Ann
R

0 :
A
p

là iđêan m-nguyên sơ, điều này chứng tỏ Ann(0 :
A
p) = p.
Vậy A không bão hòa nguyên tố.
Giả sử f : R −→ S là một đồng cấu vành. Khi đó mỗi S-môđun L
đều có cấu trúc là R-môđun, trong đó phép cộng đã sẵn có trong L và
tích vô hướng của phần tử r ∈ R với phần tử m ∈ L được cho bởi tích
f(r)m. Cấu trúc R-môđun như thế được gọi là cấu trúc R-môđun xác
định bởi f. Một đồng cấu f : R −→ S được gọi là đồng cấu phẳng nếu
S, xét như R-môđun xác định bởi f, là R-môđun phẳng, tức là với mỗi
dãy khớp
0 −→ L

−→ L −→ L

−→ 0
các R-môđun, dãy cảm sinh
0 −→ L


⊗ S −→ L ⊗S −→ L

⊗ S −→ 0
20
là khớp. Một đồng cấu f : R −→ S được gọi là đồng cấu hoàn toàn
phẳng nếu S, xét như R-môđun xác định bởi f, là R-môđun hoàn toàn
phẳng, tức là với mỗi dãy
0 −→ L

−→ L −→ L

−→ 0
các R-môđun là khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh
0 −→ L

⊗ S −→ L ⊗S −→ L

⊗ S −→ 0
là khớp.
Bổ đề 2.1.4. (xem [Mat]). Các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếu f : R −→ S là một đồng cấu phẳng thì ánh xạ cảm sinh f
∗
:
Spec S −→ Spec R cho bởi f
∗
(p) = p ∩ R := f
−1
(p) là toàn ánh.
(ii) Nếu f : R −→ S là đồng cấu hoàn toàn phẳng và L là R-môđun

khác 0 thì L ⊗
R
S là S-môđun khác 0.
Kết quả chính của tiết này là đặc trưng tính bão hòa nguyên tố
của môđun Artin A thông qua mối quan hệ giữa các tập Var(Ann
R
A)
và tập Var(Ann

R
A). Trước hết chúng ta nhắc lại mối quan hệ sau đây
giữa tập Supp
R
M và Supp

R

M của môđun hữu hạn sinh M.
Bổ đề 2.1.5. Supp
R
M = {P ∩ R : P ∈ Supp

R

M}.
Chứng minh. Cho P ∈ Supp

R

M. Khi đó

P ∩R ⊇ Ann

R

M ∩ R ⊇ Ann
R
M.
Suy ra P ∩R ∈ Supp
R
M. Vì thế
Supp
R
M ⊇ {P ∩R : P ∈ Supp

R

M}.
Ngược lại, cho p ∈ Supp
R
M. Khi đó M
p
= 0. Vì đồng cấu tự nhiên
R −→

R là hoàn toàn phẳng nên ánh xạ cảm sinh Spec

R −→ Spec R
21