Tính Taut yếu và Taut yếu địa phương của một miền trong không gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THỊ KIM DUNG
TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG
CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THỊ KIM DUNG
TÍNH TAUT YẾU VÀ TAUT YẾU ĐỊA PHƯƠNG
CỦA MỘT MIỀN TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC
Thái Nguyên - Năm 2014
i
Mục lục
Mục lục i
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức . . . . . . 3
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi . . 4
1.2 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi . . . . . 7
1.3.1 Metric vi phân Royden-Kobayashi . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Không gian phức taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Định lý Kiernan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.4 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.5 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Các hàm peak và antipeak đa điều hòa dưới . . . . . . . . . 12
1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
i
1.5.3 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.4 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.5 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong
không gian Banach 17
2.1 Một số kiến thức ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.4 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.5 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.6 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.7 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.8 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach 20
2.2.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Kết luận 34
Tài liệu tham khảo 35
1
Mở đầu
Một trong những bài toán quan trọng của Giải tích phức hyperbolic
là tìm các đặc trưng khác nhau cho tính hyperbolic của một không gian
phức. Như ta đã biết mỗi không gian phức taut là hyperbolic. Do đó ta có
thể nghiên cứu tính hyperbolic của không gian phức thông qua việc tìm
hiểu tính taut của không gian đó. Điều đó cho thấy tính taut là một công
cụ hữu hiệu để nghiên cứu lớp các không gian phức hyperbolic hữu hạn
chiều.
Tuy nhiên khái niệm taut không tồn tại trong hoàn cảnh các miền trong
không gian Banach. Bằng cách đưa ra khái niệm taut yếu và taut yếu địa
phương của một miền trong không gian Banach, Lê Mậu Hải và Phạm
Khắc Ban [4] đã thiết lập được mối liên hệ giữa tính taut yếu với tính
hyperbolic của một đa tạp giải tích Banach, đồng thời chứng minh được
mối liên hệ giữa tính taut yếu địa phương với tính taut yếu của một miền
không bị chặn trong không gian Banach.
Mục đích của luận văn này là trình bày tường minh kết quả nói trên.
Nội dung của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình
bày các kiến thức chuẩn bị về không gian phức hyperbolic, không gian
phức taut và một số kết quả liên quan đến chương sau trong trường hợp
hữu hạn chiều.
Chương 2: Tính taut yếu và taut yếu địa phương của một miền trong
không gian Banach. Nội dung của chương này bao gồm một số khái niệm
ban đầu về giải tích hyperbolic trong không gian Banach; mối liên hệ giữa

tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp giải tích Banach. Cuối chương
2
là một số tiêu chuẩn cho tính taut yếu của một miền không bị chặn trong
không gian Banach.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới dự hướng dẫn khoa học của PGS. TS. Phạm
Việt Đức. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,
người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đưa ra đề tài và tận tình
hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả
cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, Phòng Sau Đại học
- Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện
cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản
luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong
lớp Cao học Toán K20a, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và làm luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Kim Dung
3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về
tính hyperbolic và tính taut trong trường hợp hữu hạn chiều.
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian
phức
Với 0 < r < ∞ ta đặt ∆
r
= {z ∈ C, |z| < r}, ∆
1

= ∆, và gọi ∆
r
là
đĩa bán kính r, ∆ là đĩa đơn vị trong C.
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X.
Hol(∆, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ ∆ vào X, được trang
bị tôpô compact mở. Xét dãy các điểm p
0
= x, p
1
, , p
k
= y của X, dãy
các điểm a
1
, a
2
, , a
k
của ∆ và dãy các ánh xạ f
1
, , f
k
trong Hol(∆, X)
thỏa mãn
f
i
(0) = p
i - 1

, f
i
(a
i
) = p
i
, ∀i = 1, , k.
Tập hợp α = {p
0
, , p
k
, a
1
, , a
k
, f
1
, , f
k
} thỏa mãn các điều kiện
trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình (hay các đĩa chỉnh hình) nối
4
x và y trong X.
Ta định nghĩa
d
X
(x, y) = inf
α
{
k


i=1
ρ
D
(0, a
i
), α ∈ Ω
x, y
},
trong đó Ω
x, y
là tập hợp các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Khi đó d
X
: X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
1.1.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi
1.1.2.1 Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức
thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là
d
X
(x, y) ≥ d
Y
(f(x), f(y)), ∀x, y ∈ X.
Hơn nữa, d
X
là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ
chỉnh hình f : ∆ → X là giảm khoảng cách.
1.1.2.2 d
∆

= ρ
∆
là metric Bergman - Poincaré trên đĩa đơn vị ∆.
1.1.2.3 d
C
n
≡ 0.
1.1.2.4 Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi
d
X
: X × X → R là hàm liên tục.
Trong trường hợp X là đa tạp phức ta có phép chứng minh đơn giản
đối với tính liên tục của d
X
như sau:
1.1.2.5 Định lý Giả sử X là đa tạp phức. Khi đó, giả khoảng cách
kobayashi là hàm liên tục.
Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có
|d
X
(x
n
, y
n
) − d
X
(x, y)| ≤ d
X
(x
n

, x) + d
X
(y
n
, y),
với mọi x
n
, y
n
, x, y ∈ X. Do đó để chứng minh tính liên tục của d
X
ta chỉ
cần chứng minh d
X
(y
n
, y) → 0 khi y
n
→ y.
5
Gọi U là một lân cận tọa độ quanh y mà song chỉnh hình với ∆
n
,
n = dimX. Ta có
d
∆
n
((x
1
, , x

n
), (y
1
, , y
n
)) = max{d
∆
(x
i
, y
i
), i = 1, , n}.
Vì U song chỉnh hình với ∆
n
nên theo tính chất của giả khoảng cách
Kobayashi ta có d
U
= d
∆
n
liên tục.
Do đó, d
X
(y
n
, y) ≤ d
U
(y
n
, y) → 0 khi y

n
→ y. Vậy d
X
liên tục.
1.2 Không gian phức hyperbolic
1.2.1 Định nghĩa
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa
Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi d
X
là khoảng cách trên X, tức
là
d
X
(p, q) = 0 ⇔ p = q ∀p,q ∈ X
Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic
và đầy đối với khoảng cách Kobayashi d
X
, tức là mọi dãy cơ bản đối với
khoảng cách d
X
đều hội tụ.
Nhận xét. Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh xạ
chỉnh hình ta có tính hyperbolic của không gian phức là một bất biến song
chỉnh hình.
1.2.2 Một số tính chất
1.2.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức, thì X × Y là không gian
hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic.
1.2.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Nếu
Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian
con của một không gian hyperbolic là hyperbolic.

1.2.2.3 Định lý (Barth) Giả sử X là không gian phức liên thông.
Nếu X là hyperbolic thì d
X
sinh ra tô pô tự nhiên của X.
6
Chứng minh. Ta có không gian phức X là compact địa phương với tô pô
đếm được, do đó nó metric hóa được bởi định lý metric hóa Urưxơn. Vì
vậy có hàm khoảng cách ρ xác định tô pô tự nhiên của X. Ta phải chứng
minh d
X
và ρ là so sánh được, tức là với {x
n
} ⊂ X ta có
ρ(x
n
, x) → 0 ⇔ d
X
(x
n
, x) → 0 khi n → ∞.
Do d
X
liên tục nên từ ρ(x
n
, x) → 0 suy ra d
X
(x
n
, x) → 0 khi n → ∞.
Ngược lại, giả sử d

X
(x
n
, x) → 0 mà ρ(x
n
, x) → 0 khi n → ∞. Khi đó
tồn tại s > 0 sao cho có dãy con (vẫn ký hiệu là {x
n
}) mà các x
n
nằm
ngoài ρ−cầu tâm x, bán kính s.
Nối x
n
với x bởi một dây chuyền chỉnh hình. Gọi γ là ảnh của các trắc
địa trong đĩa qua dây chuyền trên, γ : [a, b] → X.
Xét hàm t → ρ(γ(t), x), đây là một hàm liên tục do đó tồn tại t
0
∈ [a, b]
sao cho ρ(γ(t
0
), x) = s. Vậy điểm y
n
= γ(t
0
) nằm trên mặt cầu tâm x
bán kính s (đối với metric ρ). Từ đó theo định nghĩa giả khoảng cách
Kobayashi ta có
d
X

(y
n
, x) ≤ d
X
(x
n
, x) → 0 khi n → ∞.
Do tính compact địa phương, dãy {y
n
} có dãy con {y
n
k
} hội tụ tới y
thuộc mặt cầu tâm x, bán kính s (đối với metric ρ).
Khi đó,
d
X
(y, x) = lim
n→∞
d
X
(y
n
k
, x) = 0,
mà y = x. Điều này mâu thuẫn với giả thiết X là không gian hyperbolic.
Định lý được chứng minh.
1.2.3.4 Ví dụ
+) Đĩa ∆
r

và đa đĩa ∆
m
r
là hyperbolic.
+) Một miền bị chặn trong C
m
là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích
các đa đĩa.
+) C
m
không là hyperbolic, vì d
C
m
≡ 0.
7
1.3 Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi
1.3.1 Metric vi phân Royden-Kobayashi
1.3.1.1 Định nghĩa
Giả sử M là một đa tạp phức và T M là phân thớ tiếp xúc của M. Một
ánh xạ F : T M → R
+
được gọi là metric vi phân trên M nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau:
(i) F (0
x
) = 0, trong đó 0
x
là véctơ không của T
x
M;

(ii) Với mọi ξ
x
∈ T
x
M và a ∈ C thì F (aξ
x
) = |a|F (ξ
x
).
Hơn nữa, nếu F liên tục và F (ξ
x
) = 0, ∀ξ
x
∈ T
x
M\{0} thì F được gọi
là metric Finsler.
1.3.1.2 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức. Giả sử x là một điểm trong X.
Nón tiếp xúc
˜
T
x
X gồm các véctơ có dạng f
∗
(u), trong đó u ∈ T∆ và
f ∈ Hol(∆, X).
Khi đó F
x
:

˜
T
x
X → R được định nghĩa bởi:
F
X
(v) = inf{||u||, u ∈ T ∆ và f
∗
(u) = v}, v ∈
˜
T
x
X,
trong đó ||u|| là độ dài của véctơ tiếp xúc u được đo bởi metric Poincaré
ds
2
của đĩa đơn vị ∆ và infimum lấy với mọi f ∈ Hol(∆, X) và u ∈ T ∆
sao cho f
∗
(u) = v.
Nếu x là điểm chính quy, thì với mỗi v ∈ T
x
X luôn tồn tại véctơ u ∈ T∆
sao cho f
∗
(u) = v, do đó F
X
(v) < ∞.
Nếu x là điểm kỳ dị và nếu không tồn tại u như trên thì ta đặt
F

X
(v) = ∞.
8
Khi đó F
X
là metric vi phân và gọi là metric vi phân Royden-Kobayashi
trên không gian phức X.
1.3.1.3 Tính chất
a) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì
F
Y
(f
∗
(v)) ≤ F
X
(v) với f ∈ Hol(X, Y ), v ∈
˜
T X.
Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song chỉnh hình.
b) + Trong đĩa đơn vị ∆, F
∆
đồng nhất với metric Bergman - Poincaré,
tức là F
2
∆
= ds
2
=
4dzdz
(1 − |z|

2
)
2
, ∀z ∈ ∆.
+ F
C
m
= 0.
c) Trong không gian phức X ta có
F
X
(f
∗
u) ≤ ||u||, ∀f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆.
Hơn nữa, nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên
˜
T X thỏa mãn
E(f
∗
u) ≤ ||u|| với f ∈ Hol(∆, X), u ∈ T ∆,
thì
E(v) ≤ F
X
(v), ∀v ∈
˜
T X.
d) Giả sử X, Y là các không gian phức, ta có
F
X×Y
(u, v) = max{F

X
(u), F
Y
(v)} với u ∈
˜
T X, v ∈
˜
T Y.
e) Giả sử X, Y là các không gian phức và π :
˜
X → X là không gian
phủ chỉnh hình của X. Khi đó F
˜
X
= π
∗
F
X
.
f) Nếu X là đa tạp phức, thì F
X
là hàm nửa liên tục trên TX. Nếu X
là không gian phức hyperbolic đầy thì F
X
liên tục.
Kết quả sau được chứng minh bởi Royden, đây là một biểu diễn tích
phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức.
9
1.3.2 Định lý
Cho X là đa tạp phức, x, y ∈ X. Khi đó

d
X
(x, y) = inf
γ
{
1

0
F
X
(γ

(t))dt},
trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc γ :
[0, 1] → X nối x với y.
1.3.3 Hệ quả
Giả sử X là không gian phức và H là hàm độ dài trên X. Khi đó X là
hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi p ∈ X, có các lân cận U của p và hằng
số C > 0 sao cho F
X
(ξ
x
) ≥ CH(ξ
x
) với mọi ξ
x
∈ T
x
X với x ∈ U.
1.4 Không gian phức taut

1.4.1 Định nghĩa
Giả sử X, Y là các không gian phức.
Kí hiệu Hol(Y, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình f : Y → X và
trên Hol(Y, X) ta trang bị tô pô compact mở.
i) Dãy {f
i
}
∞
i=1
⊂ Hol(Y, X) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi
tập con compact K của Y , mỗi tập con compact K

của X, tồn tại j
0
∈ N
sao cho f
j
(K) ∩ K

= ∅, ∀j ≥ j
0
.
ii) Họ Hol(Y, X) được gọi là chuẩn tắc nếu mỗi dãy {f
i
}
∞
i=1
trong
Hol(Y, X) chứa một dãy con hoặc là hội tụ đều trên mỗi tập con compact
hoặc là phân kỳ compact.

iii) Không gian phức X được gọi là taut nếu họ Hol(Y, X) là họ chuẩn
tắc với mỗi không gian phức Y .
10
1.4.2 Định lý Kiernan
i) Mỗi miền taut trong không gian phức X là miền hyperbolic.
ii) Mỗi miền hyperbolic đầy trong không gian phức X cũng là miền taut.
iii) Các khẳng định ngược lại đều không đúng.
Để chứng minh Định lý Kiernan, ta đưa vào một số khái niệm sau:
Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của miền M trong không gian phức
X. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử p = 0 và
B = {(ω
1
, , ω
n
); |ω
1
|
2
+ + |ω
n
|
2
< 1}
là một lân cận của p trong M sao cho q /∈ B.
B
s
= {(ω
1
, , ω
n

); |ω
1
|
2
+ + |ω
n
|
2
< s
2
}.
V
S
= {p

∈ M; ρ(p, p

) < s}.
∆
δ
= {z ∈ ∆; |z|
2
< δ < 1}.
1.4.3 Định nghĩa
Một cặp có thứ tự (r, δ) các số dương được gọi là có tính chất A nếu
với mỗi ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → M với f(0) ∈ B
r
, ta có f(∆
δ
) ⊂ B.

1.4.4 Bổ đề
Nếu tồn tại cặp (r, δ) có tính chất A thì d
M
(p, q) > 0.
Chứng minh. Chọn hằng số c > 0 sao cho d
∆
(0, a) ≥ c.d
∆
δ
(0, a), ∀a ∈ ∆
δ
2
.
Giả sử L = {p = p
0
, p
1
, , p
m
= q; a
1
, , a
m
; f
1
, , f
m
} là một dây chuyền
Kobayashi nối p với q. Theo giả thiết, không mất tính tổng quát, ta có thể
giả sử a

1
, , a
k
∈ ∆
δ
2
, p
0
, p
1
, , p
k−1
∈ B
r
và p
k
∈ ∂B
r
. Khi đó:
|L| ≥
k

i=1
d
∆
(0, a
i
) ≥ c
k


i=1
d
∆
δ
(0, a
i
) ≥ c
k

i=1
d
B
(p
i−1
, p
i
) ≥ cd
B
(0, p
k
) = c

,
trong đó c

là hằng số dương. Do đó d
M
(p, q) ≥ c

> 0.

11
Chứng minh. (Định lý Kiernan).
i) Giả sử M không hyperbolic. Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt p, q
sao cho d
M
(p, q) = 0. Theo Bổ đề 1.4.4, cặp (
1
2
,
1
n
) không thỏa mãn tính
chất A với bất kỳ n > 0.
Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình f
n
: ∆ → M mà f
n
(0) ∈ B
1
2
và
f
n
(∆
1
2
) ⊂ B. Dãy {f
i
} không có dãy con hoặc hội tụ đều trên các tập
compact hoặc phân kỳ compact. Do đó M không là taut.

ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên
Hol(∆, M) là đồng liên tục. Mặt khác, M là hyperbolic đầy nên mỗi tập
con bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy, Hol(∆, M) là chuẩn
tắc. Do đó, M là taut.
Chú ý Điều ngược lại không đúng.
1.4.5 Ví dụ
Có những không gian phức taut mà không là hyperbolic đầy. Ví dụ sau
là của Barth. Ta xây dựng một không gian phức taut Y bằng cách "buộc"
một số đếm được các đĩa đơn vị ∆
1
, ∆
2
, theo cùng cách sau: Trong đĩa
thứ n: ∆
n
, chọn điểm a
n
sao cho khoảng cách Poincaré ρ
∆
n
(0, a
n
) =
1
2
n
.
Ta "buộc" đĩa thứ 2 ∆
2
vào đĩa thứ nhất ∆

1
bằng cách đồng nhất a
1
∈ ∆
1
vào gốc O của ∆
2
. Ta "buộc" đĩa thứ 3 ∆
3
vào đĩa ∆
2
bằng cách đồng
nhất a
2
∈ ∆
2
vào gốc O của ∆
3
. Bằng cách lập luận tương tự, ta đồng
nhất a
n
∈ ∆
n
vào gốc O của ∆
n+1
.
Cuối cùng ta được một không gian phức ký hiệu là Y . Các đĩa ∆
n
, với
n = 1, 2, là thành phần bất khả quy của Y . Từ đó ∀f ∈ Hol(∆, Y )

biến ∆ vào một trong những thành phần bất khả quy ∆
n
, họ Hol(∆, Y )
là hợp của những họ con Hol(∆, ∆
n
). Cho {f
j
} ⊂ Hol(∆, Y ). Giả sử {f
j
}
không có dãy con hội tụ. Lấy {f
n
j
} là dãy con bao gồm những ánh xạ f
j
biến ∆ thành ∆
n
. Do Hol(∆, ∆
n
) là chuẩn tắc, dãy {f
n
j
} phải là phân
kỳ compact. Mỗi tập con compact L ⊂ Y được phủ bởi ∆
1
∪ ∪ ∆
k
,
với k nào đó. Khi đó, với mỗi tập compact K ⊂ ∆ và với mỗi n cố định
12

n ≤ k, ta có f
n
j
(K) ∩ L = ∅ trừ một số hữu hạn f
n
j
. Đối với n > k,
f
n
j
(K) ∩L = ∅, do ∆
n
∩ L = ∅. Như vậy, {f
j
} là phân kỳ compact, chứng
tỏ rằng Hol(∆, Y ) là chuẩn tắc. Vậy Y là taut.
Lấy p
n
là một điểm thuộc Y ứng với a
n
∈ ∆
n
, tức là p
n
∈ ∆
n
và
d
Y
(p

n−1
, p
n
) = d
Y
(0, a
n
), trong đó 0 là gốc của ∆
n
(ta có thể chọn p
n
=
a
n
).
Khi đó dãy {p
n
} phân kỳ trong Y nhưng lại là dãy Cauchy vì
d
Y
(p
n−1
, p
n
) ≤ d
∆
n
(0, a
n
) =

1
2
n
.
Vậy Y không là hyperbolic đầy.
Đồng thời Rosay đã xây dựng một miền trong C
3
là taut mà không là
hyperbolic đầy.
Còn không gian X = B
2
(0, 1)\{(
1
4
; 0)} là hyperbolic nhưng không là
taut (trong đó B
2
(0, 1) = {(z, ω) ∈ C
2
: ||z||
2
+ ||ω||
2
< 1}).
Thật vậy, do X bị chặn nên nó là hyperbolic. Với mỗi n = 2, 3, ta đặt
f
n
: ∆ → X, f
n
(λ) = (

λ
2
,
1
2n
), rõ ràng ||
λ
2
||
2
+ ||
1
2n
||
2
<
1
4
+
1
4n
<
1
2
< 1,
và
λ
2
=
1

4
,
1
2n
= 0, ∀λ ∈ ∆, với mọi n.
Vậy f
n
∈ Hol(∆, X). Ta có lim
n→∞
f
n
(λ) = f(λ) = (
λ
2
, 0). Vậy f
n
hội tụ
đều tới hàm f.
Ta có f(0) = (0, 0) ∈ X nhưng f(
1
2
) = (
1
4
, 0) ∈ ∂X. Điều này nói rằng
{f
n
} không là dãy hàm chuẩn tắc. Vậy X không là taut.
1.5 Các hàm peak và antipeak đa điều hòa dưới
1.5.1 Định nghĩa

Giả sử M là một miền trong không gian phức X, tức là M là một tập
con khác rỗng, mở và liên thông của X.
i) Một hàm ϕ được gọi là đa điều hòa dưới peak địa phương tại một
điểm p trong ∂M nếu tồn tại một lân cận U của p sao cho ϕ là đa điều
13
hòa dưới trên U ∩ M, tức là liên tục trên U ∩ M và thỏa mãn

ϕ(p) = 0
ϕ(z) < 0 với mọi z ∈ (U ∩ M)\{p}.
ii) Một hàm ψ được gọi là đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại
một điểm p trong ∂M nếu có một lân cận U của p sao cho ψ là đa điều
hòa dưới trên U ∩ M, tức là liên tục trên U ∩ M và thỏa mãn

ψ(p) = −∞
ψ(z) > −∞ với mọi z ∈ (U ∩ M)\{p}
Các kết quả sau được chứng minh bởi Gaussier[6] trong trường hợp D là
miền không bị chặn trong C
n
.
1.5.2 Mệnh đề
Cho a ∈ ∂D là điểm biên của miền D trong C
n
. Giả sử tồn tại các hàm
peak và antipeak đa điều hòa dưới địa phương ϕ và ψ tại a trên một lân
cận U
a
của a. Thế thì với mỗi lân cận U của a, tồn tại lân cận
˜
U của a
sao cho mọi ánh xạ chỉnh hình f ∈ Hol(∆, D) mà f(0) ∈

˜
U thì suy ra
f(∆
1
2
) ⊂ U,
trong đó ∆
1
2
= {z ∈ C : |z| <
1
2
}.
1.5.3 Bổ đề
Với bất kỳ tập K compact tương đối trong ∆, có hằng số thực dương r
K
sao cho với mỗi tự đẳng cấu g của ∆ thỏa mãn
g(0) ∈ K ⇒ ∆(g(0), r
K
) ⊂ g(∆
1
2
),
trong đó ∆(g(0), r
K
) = {λ ∈ ∆ : |λ − g(0)| < r
K
}.
14
Chứng minh. Giả sử ξ là một điểm trong K, θ là số thực trong [0, 2π) và

g
ξ,θ
là tự đẳng cấu của ∆. Ta chỉ cần chứng minh
inf
|λ|=
1
2
|g
ξ,θ
(λ) − g
ξ,θ
(0)|
là bị chặn đều trên K. Vì
|g
ξ,θ
(λ) − g
ξ,θ
(0)| ≥
1
2
|λ|(1 − |ξ|
2
)
nên ta có thể lấy r
K
=
1
4
min
ξ∈K

(1 − |ξ|
2
). Vậy Bổ đề được chứng minh
1.5.4 Định lý
Cho Ω là một miền trong C
n
. Giả sử có các hàm đa điều hòa dưới peak
và antipeak địa phương tại vô cùng. Khi đó Ω là miền hyperbolic.
Chứng minh. Giả sử ngược lại Ω không là hyperbolic. Khi đó tồn tại điểm
z
0
trong Ω và dãy {y
γ
}
γ
các điểm trong Ω hội tụ tới z
0
và dãy {V
γ
}
γ
các
véctơ đơn vị trong C
n
sao cho F
Ω
(y
γ
, V
γ

) ≤
1
γ
. Từ đó tồn tại dãy {f
γ
}
γ
các đĩa giải tích tâm tại y
γ
sao cho |f

γ
(0)| ≥ γ. Theo Định lý Montel, có
dãy {p
γ
}
γ
các điểm của ∆ hội tụ tới 0 sao cho lim
γ→∞
|f
γ
(p
γ
)| = ∞.
Hợp thành f
γ
với phép biến đổi Moebius, ta có họ {
˜
f
γ

}
γ
các đĩa giải tích
sao cho
˜
f
γ
(0) = f
γ
(p
γ
) và
˜
f
γ
(p
γ
) = y
γ
.
Điều này mâu thuẫn với Mệnh đề 1.5.2. Vậy Định lý được chứng minh.
1.5.5 Định lý
Cho D là một miền trong C
n
. Giả sử D là taut địa phương tại mỗi điểm
biên ∂D của D và tồn tại các hàm đa điều hòa dưới peak và antipeak địa
phương tại vô cùng. Khi đó, D là taut.
Chứng minh. Lấy một dãy bất kì các hàm chỉnh hình {f
j
}

∞
j=1
⊂ Hol(∆, D).
Ta chứng minh {f
j
}
∞
j=1
là dãy hàm chuẩn tắc.
15
Trường hợp 1: Giả sử rằng tồn tại một điểm ξ ∈ ∆ và dãy {f
j
k
}
∞
k=1
⊂
{f
j
}
∞
j=1
sao cho
lim
k→∞
f
j
k
(ξ) = ∞.
Đặt

E = {λ ∈ ∆ : lim
k→∞
|f
j
k
(λ)|} = ∅.
Với mỗi ξ ∈ E, ta có lim
k→∞
|f
j
k
◦ g
ξ,θ
| = ∞ hội tụ đều trên ∆
1
2
. (theo
Mệnh đề 1.5.2).
Theo Mệnh đề 1.5.3, do tập {ξ} là compact, nên tồn tại r
ξ
sao cho
lim
k→∞
|f
j
k
(B(ξ, r
g
))| = ∞ (∗).
Bởi vì g

ξ,θ
(0) = ξ ∈ {ξ}, nên cũng theo Mệnh đề 1.5.3, ta có:
B(ξ, r
g
) ⊂ g
ξ,θ
(∆
1
2
) ⇒ f
j
k
(ξ, r
ξ
) ⊆ f
j
k
◦ g
ξ,θ
(∆
1
2
) → ∞.
Vậy ta phải có
lim
k→∞
|f
j
k
(B(ξ, r

g
))| = ∞.
Do đó B(ξ, r
k
) ⊂ E. Nên E là tập mở.
Hơn nữa, ta lấy {ξ
n
} ⊂ E hội tụ tới ξ ∈ ∆. Do {ξ
n
, ξ} là compact nên
theo Mệnh đề 1.5.3 ta suy ra tồn tại r > 0 sao cho với mỗi số nguyên n ta
có:
B(g
ξ
n
,θ
(0), r) = B(ξ
n
, r) ⊂ g
ξ
n
,θ
(∆
1
2
)
⇒ f
j
k
(B(ξ

n
, r)) ⊂ f
j
k
◦ g
ξ
n
,θ
(∆
1
2
) → ∞, do (*).
Vậy lim
k→∞
|f
v
k
| = ∞ đều trên mỗi B(ξ
n
, r).
Theo Định lý Montel, ta có lim
k→∞
f
j
k
(ξ) = ∞. Vậy tập E là đóng.
Do ∆ là liên thông, E vừa là tập đóng và vừa mở nên E = ∆.
Do đó, lim
k→∞
f

j
k
(λ) = ∞, ∀λ ∈ ∆ ⇒ {f
j
}
∞
j=1
là phân kỳ compact.
Trường hợp 2: Giả sử rằng với mọi điểm ξ ∈ ∆ và dãy {f
j
(ξ)} là tập
compact tương đối trong C
n
. Vậy nó bị chặn địa phương. Theo Định lý
Arzela - Ascoli ta suy ra {f
j
(ξ)} có một dãy con hội tụ đều trên các tập
con compact tới hàm chỉnh hình f ∈ Hol(∆, D), tức là {f
j
k
} hội tụ đều
16
trên tập compact K tới hàm chỉnh hình f ∈ Hol(∆, D). Ta chứng minh
{f
j
}
∞
j=1
hoặc phân kỳ compact hoặc hội tụ đều trên các tập con compact.
Thật vậy, gọi E = {λ ∈ ∆|f(λ) ∈ ∂∆\{∞}}. Rõ ràng E là tập đóng,

do ∂D là đóng.
Giả sử E = ∅. Lấy λ ∈ E ⇒ f(λ) ∈ ∂∆. Do D là taut địa phương tại
f(λ), suy ra tồn tại lân cận V của f(λ) sao cho V ∩ D là taut.
Do f
j
k
hội tụ đều trên tập compact K tới hàm chỉnh hình f, suy ra tồn
tại lân cận U -mở của λ và V

của f(λ), V

⊂ V sao cho f
j
k
(U) ⊂ D ∩ V

với k đủ lớn, suy ra f
j
k
|V
: U → D ∩ V là taut.
Vậy f(U) ⊂ ∂D (do f(λ) ⊂ ∂D).
Vậy U -mở trong E. Suy ra E là tập mở. Do ∆ liên thông nên ta có
E = ∆. Do đó f(∆) ⊂ ∂D ⇒ {f
j
}
∞
j=1
là phân kỳ compact. Do vậy D là
taut. Vậy Định lý đã được chứng minh.

17
Chương 2
Tính taut yếu và taut yếu địa
phương của một miền trong không
gian Banach
2.1 Một số kiến thức ban đầu
2.1.1 Định nghĩa
Giả sử X là không gian giải tích Banach. Ta nói rằng X là hyperbolic
nếu d
X
là một khoảng cách xác định tô pô của X, trong đó d
X
là giả
khoảng cách Kobayashi trên X.
Chú ý : Theo Định lý 1.2.2.3, khi dimX < ∞, nếu d
X
là khoảng cách
thì nó xác định tôpô tự nhiên của X. Tuy nhiên trong không gian Banach
vô hạn chiều thì điều này không còn đúng nữa [10].
2.1.2 Định nghĩa
Tương tự như trong Định nghĩa 1.3.1.2, cho X là không gian Banach,
với x ∈ X và v ∈ T
x
X, ta định nghĩa
F
X
(x, v) = inf{r > 0; ∃f ∈ Hol(∆, X), f(0) = x, f

(0) =
v

r
}.
18
Khi đó hàm F
X
: TX → [0, ∞) được gọi là giả metric vi phân
Kobayashi - Vesentini của X.
Trong trường hợp X là một miền trong không gian Banach, Vesentini
[11] đã chứng minh được F
X
(x, v) là nửa liên tục trên trên T (X). Hơn nữa
tương tự như trong Định lý 1.3.2 ông đã chứng minh được:
2.1.3 Định lý
Cho X là một miền trong không gian Banach. Khi đó với hai điểm
p, q ∈ X, ta có
d
X
(p, q) = inf{
1

0
F
X
(γ(t), γ

(t))dt; γ ∈ Ω
p, q
},
trong đó Ω
p, q

là tập các đường cong C
1
-từng khúc nối p và q.
Trong trường hợp khi X là một đa tạp giải tích Banach, ta không biết
rằng liệu F
X
(x, v) có là nửa liên tục trên trên T (X) hay không. Tuy nhiên
dễ dàng thấy rằng F
X
(x, v) có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình.
Hơn nữa, với x ∈ X ta có thể chọn một lân cận U
x
của x mà đẳng cấu
với một hình cầu trong không gian Banach E. Với mọi x

∈ U
x
ta có thể
xem T
x

X = E. Khi đó với x

∈ U
x
và v

∈ T
x


X ta có
F
X
(x

, v

) ≤ F
U
x
(x

, v

).
Sử dụng kết quả nói trên của Vesentini ta suy ra F
X
(x, v) là bị chặn
trên địa phương trên T (X). Do đó ta có thể định nghĩa
F
∗
X
(x, v) = lim
x

→x
v

→v
sup F

X
(x

, v

).
Khi đó F
∗
X
(x, v) là nửa liên tục trên trên T(X) và giảm qua các ánh xạ
chỉnh hình. Do vậy ta có
19
2.1.4 Định nghĩa
Với hai điểm p, q ∈ X ta định nghĩa
d
∗
X
(p, q) = inf{
1

0
F
∗
X
(γ(t), γ

(t))dt; γ ∈ Ω
p, q
}
trong đó Ω

p, q
là tập các đường cong C
1
-từng khúc nối p và q trong X.
Ta có d
∗
X
(p, q) là giả khoảng cách trên X và d
∗
X
(p, q) là giảm qua các ánh
xạ chỉnh hình nên theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi ta có:
d
∗
X
(p, q) ≤ d
X
(p, q), với mọi p, q ∈ X.
Không gian phức taut đã được trình bày ở Chương 1 (mục 1.4) nhưng
do mọi không gian Banach vô hạn chiều đều không là compact địa phương,
nên ta cần một sự điều chỉnh thích hợp với khái niệm taut như sau:
2.1.5 Định nghĩa
Cho X là không gian giải tích Banach. Ta nói rằng X là taut yếu nếu
với mỗi dãy {f
n
} ⊂ Hol(∆, X), không gian các ánh xạ chỉnh hình đi từ
đĩa đơn vị ∆ trong C đến X, được trang bị tô pô compact mở, thỏa mãn
một trong hai điều kiện sau:
i) tồn tại một dãy con {f
n

k
} hội tụ trong Hol(∆, X).
ii) tồn tại một tập con rời rạc S của ∆ và dãy con {f
n
k
} sao cho
{f
n
k
|
∆\S
} là phân kỳ compact, nghĩa là với mỗi tập con compact K ⊂ ∆\S
và L ⊂ X tồn tại k
0
sao cho
f
n
k
(K) ∩ L = ∅ với k ≥ k
0
.
2.1.6 Định nghĩa
Cho Ω là một miền không bị chặn trong không gian Banach E. Một lân
cận của ∞ trong Ω là tập chứa phần bù của một hình cầu đóng trong Ω.
Nếu ϕ là một hàm xác định trên Ω và c là một số phức, ta đặt ϕ(∞) = c
nếu lim{ϕ(z); z ∈ Ω, ||z|| → +∞} = c.
20
2.1.7 Định nghĩa
Cho Ω là một miền trong không gian Banach E. Ta nói rằng Ω là taut
yếu địa phương nếu với mỗi p ∈ ∂Ω, tồn tại lân cận U của p sao cho U ∩Ω

là taut yếu.
Định nghĩa sau là tương tự Định nghĩa 1.5.1 trong trường hợp Ω là một
miền trong không gian Banach.
2.1.8 Định nghĩa
Một hàm ϕ được gọi là hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại điểm
p ∈ ∂Ω ∪ {∞} nếu tồn tại một lân cận V của p sao cho ϕ là đa điều hòa
dưới trên Ω ∩ V , liên tục trên Ω ∩ V và thỏa mãn

ϕ(p) = 0
sup{ϕ(z) : z ∈ Ω ∩ (V \U)} < 0.
với lân cận U tùy ý của p trong V .
Một hàm ψ được gọi là hàm đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại
một điểm p ∈ ∂Ω ∪ {∞} nếu tồn tại một lân cận V của p sao cho ψ là đa
điều hòa dưới trên Ω ∩ V , liên tục trên Ω ∩ V và thỏa mãn

ψ(p) = −∞
inf{ψ(z) : z ∈ Ω ∩ (V \U)} > −∞,
với bất kỳ lân cận U của p trong V .
2.2 Tính taut yếu và tính hyperbolic của đa tạp
giải tích Banach
Trong phần này ta trình bày kết quả về mối liên hệ giữa tính taut yếu
và tính hyperbolic của một đa tạp giải tích Banach.
21
2.2.1 Định lý
Cho X là một đa tạp giải tích Banach. Nếu X là taut yếu thì X là
hyperbolic.
Chứng minh. i) Đầu tiên ta chỉ ra rằng với mỗi x
0
∈ X, tồn tại một lân
cận U của x

0
và c > 0 sao cho F
X
(x, v) ≥ c||v|| với mọi x ∈ U và v ∈ T
x
X.
Thật vậy, trong trường hợp ngược lại, tồn tại x
0
∈ X và dãy {x
n
} ⊂ X,
x
n
→ x
0
khi n → ∞ sao cho với mỗi n ≥ 1, ∃f
n
∈ Hol(∆, X), f
n
(0) = x
n
và ||f

n
(0)|| ≥ n.
Lấy {λ
j
}, 0 < |λ
j
| < 1 và λ

j
→ 0. Với mỗi n ≥ 1, đặt
θ
n
(λ) =
n

j=1
λ − λ
j
1 − λ
j
λ
với λ ∈ ∆.
Khi đó θ
n
∈ Hol(∆, ∆) với n ≥ 1 và
θ
n
(λ
j
) = 0 với 1 ≤ j ≤ n,
θ

n
(λ
1
) = 0 với n ≥ 1.
Do đó với mỗi k ≥ 1, ta có thể tìm được n
k

sao cho
||f

n
k
(θ
k
(λ
1
))θ

k
(λ
1
)|| = ||f

n
k
(0)|| |θ

k
(λ
1
)| ≥ k
với k ≥ 1.
Với g
k
= f
n
k

.θ
k
∈ Hol(∆, X), ta có
lim
k
g
k
(λ
j
) = lim
k
f
n
k
(θ
k
(λ
j
)) = lim
k
f
n
k
(0) = lim
k
x
n
k
= x
0

với mọi j ≥ 1. Theo giả thiết, tồn tại một dãy {g
k
p
} = {f
n
k
p
.θ
k
p
} của {g
k
}
hội tụ trong Hol(∆, X). Do đó
sup
p≥1
||g

k
p
(λ
1
)|| < ∞.