CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TRONG TS 10 2011-2012

CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CÓ TRONG
TUYỂN SINH LỚP 10 2011-2012
CAO HOÀNG LỢI sưu tầm
Bài 1: HẢI DƯƠNG 11-12
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
1
3 3 3
+ + ≤
+ + + + + +
x y z
x x yz y y zx z z xy
Hướng dẫn:
Từ
( )
2
2
x yz 0 x yz 2x yz− ≥ ⇔ + ≥
(*) Dấu “=” khi x
2
= yz
Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x
2
+ yz + x(y + z)
x(y z) 2x yz≥ + +
Suy ra
3x yz x(y z) 2x yz x( y z)+ ≥ + + = +
(Áp dụng (*))
x x
x 3x yz x ( x y z)
x 3x yz x y z
+ + ≥ + + ⇒ ≤

+ + + +
(1)
Tương tự ta có:
y
y
y 3y zx x y z
≤
+ + + +
(2),
z z
z 3z xy x y z
≤
+ + + +
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có
x y z
1
x 3x yz y 3y zx z 3z xy
+ + ≤
+ + + + + +
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 2: ĐăkLăk 11-12
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
, , 4 3 7.

1 1 3 3
4 3 4 4 2. . 2. . 3 3 4 3
4 2 4 2
1 3
2 3 7 7, , ,
2 2
x y z x y z yz x y
x y z yz x y x x y y z z y y
x y z y x y z
+ + − − − ≥ −
 
 
+ + − − − = − + + − + + − + − −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
 
= − + − + − − ≥ − ∀ ∈
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
¡
Cho lµ ba sè thùc tuú ý. Chøng minh:
Ta cã:
Bài 3: Ninh Bình 11-12

Cho ba số x, y, z thỏa mãn
[ ]
x, y, z 1:3
x + y + z 3

∈ −


=


. Chứng minh rằng:
2 2 2
x + y + z 11≤
Hướng dẫn:
Vì
[ ]
3;1,, −∈zyx

11
23
2)(
2)(2
2)(2
0)(3)(927
01
0)3)(3)(3(
0)1)(1)(1(
31
31

31
222
2222
2222
222222
≤++⇒
++≥+⇒
−++≥++⇒
−++≥+++++⇒
−≥++⇒



≥−+++++−
≥+++++++
⇒



≥−−−
≥+++
⇒





≤≤−
≤≤−
≤≤−

⇒
zyx
zyx
zyxzyx
zyxxzyzxyzyx
xzyzxy
xyzxzyzxyzyx
zyxxzyzxyxyz
zyx
zyx
z
y
x
Cách2:.Không giảm tính tổng quát, đặt x = max
}{
zyx ,,

⇒
3 = x + y + z
≤
3x nên 1
≤
x
≤
3

⇒
2 ( x -1 ) . (x - 3)
≤
0 (1)

Lại có: x
2
+ y
2
+ z
2

≤
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(y +1) (z+1) = x
2
+ ( y + z )
2
+ 2 ( y + z )
+ 2

= x
2
+ ( 3 - x )
2
+ 2 ( 3- x) + 2 = 2 x
2
- 8x + 17
= 2 ( x -1 ) . (x - 3) + 11 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x

2
+ y
2
+ z
2

≤
11
Dấu đẳng thức xảy ra x = max
}{
zyx ,,

( x -1 ) . (x - 3) = 0
(y +1) (z+1) = 0
x + y + z = 3

⇒
Không xảy ra dấu đẳng thức
Bài 4: Hà Tỉnh 11-12
Cho các số a, b, c đều lớn hơn
25
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 5 2 5 2 5
a b c
Q
b c a
= + +
− − −
.

Hướng dẫn:
Do a, b, c >
25
4
(*) nên suy ra:
2 5 0a
− >
,
2 5 0b − >
,
2 5 0c
− >
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho 2 số dương, ta có:
2 5 2
2 5
a
b a
b
+ − ≥
−
(1)
2 5 2
2 5
b
c b
c
+ − ≥
−
(2)
2 5 2

2 5
c
a c
a
+ − ≥
−
(3)
Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta có:
5.3 15Q
≥ =
.
Dấu “=” xẩy ra
25a b c
⇔ = = =
(thỏa mãn điều kiện (*))
Vậy Min Q = 15
25a b c⇔ = = =
Bài 5: Bình Định 11-12
2
2
x 2x 2011
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A =
x
− +
Hướng dẫn:
* Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)
( )
− +
≠
 

− × + × − ≠
 ÷
 
 
− × × + + −
 ÷
 
 
− + ≥ ⇔ ⇔ =
 ÷
 
2
2
2
2
2
2
2
x 2x 2011
A = với x 0
x
1 1 1
= 1 2 2011 = 2011.t 2t + 1 (với t = 0)
x x x
1 1 1
= 2011 t 2 t 1
2011 2011
2011
1 2010 2010 1
= 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; tho

2011 2011 2011 2011
 
≠
 ÷
 
õa x 0
*
2010
Vậy MinA = x = 2011.
2011
⇔
* Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9)
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
x 2x 2011
A = với x 0
x
A.x x 2x 2011
A 1 x 2x 2011 0 * coi đây là phương trình ẩn x
− +
≠
⇒ = − +
⇔ − + − =
2011
Từ (*): A 1 = 0 A = 1 x = (1)

2
− ⇔ ⇔
Nếu A 1 0 thì (*) luôn là phương trình bậc hai đối với ẩn x.− ≠
x tồn tại khi phương trình (*) có nghiệm.
( )
/
/
2
0
1 2011 A 1 0
2010 b 1 1
A dấu "=" (*) có nghiệm kép x = 2011 ; thõa x 0 (2)
2010
2011 a A 1
1
2011
⇔ ∆ ≥
⇔ + − ≥
 
 ÷
− − −
⇔ ≥ ⇔ = = = ≠
 ÷
−
 ÷
−
 
So sánh (1) và (2) thì 1 không phải là giá trò nhỏ nhất của A mà:
*
2010

MinA = x = 2011.
2011
⇔
Bài 6: Thanh Hóa 11-12
Cho c¸c sè d¬ng x, y , z . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc

2>
+
+
+
+
+ yx
z
zx
y
zy
x
Hướng dẫn:
Cho c¸c sè d¬ng x, y , z . Chøng minh bÊt ®¼ng thøc :
2>
+
+
+
+
+ yx
z
zx
y
zy
x

Áp dơng B§T Cosi ta cã :
zyx
x
zy
x
x
zyx
x
zy
x
zy
++
≥
+
=>
++
=
+
+
≤
+ 2
22
1
1.

zyx
y
zx
y
y

zyx
y
zx
y
zx
++
≥
+
=>
++
=
+
+
≤
+ 2
22
1
1.

zyx
z
xy
z
z
zyx
z
xy
z
xy
++

≥
+
=>
++
=
+
+
≤
+ 2
22
1
1.

Céng vÕ víi vÕ ta cã :
2
)(2
=
++
++
≥
+
+
+
+
+ zyx
zyx
xy
z
zx
y

zy
x
dÊu b»ng x¶y ra
y+ z = x
x+ z = y  x + y + z = 0
y+ x = z
V× x, y ,z > 0 nªn x + y + z > 0 vËy dÊu b»ng kh«ng thĨ x¶y ra .
=>
2>
+
+
+
+
+ xy
z
zx
y
zy
x
víi mäi x, y , z > 0 ( §pcm )
Bài 7: Bắc Giang 11-12
Cho hai số thực dơng x, y thoả mãn:
( )
( )
3 3 2 2 2 2 3 3
3 4 4 0x y xy x y x y x y x y
+ + + + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y.
Hng dn:

Đặt a = x+y = M; b = xy;
2
4a b

Từ giả thiết có:
3 2 2 2 3
3 3 6 4 4a ab a b b ab b
+ +
=
2 2
2 2
( 2 )( 2 3 ) 0
2
2 3 0
a b a ab b b
a b
a ab b b
+ =
=



+ =

+) Nếu a =2b
Thì: x+y = 2xy. Mà (x+y)
2

4xy

nên (x+y)
2

2( )x y
+

2;
" " : 1.
M x y
khi x y
= +
= = =
(*)
+) Nếu
2 2
2 3 0a ab b b + =

2 2
2 2
2 3 0
2 ( 3) 0
a ab b b
b a b a
+ =
+ + =
(1)
Giả sử
=
(1) có nghiệm b thoả mãn b
2

4
a

thì b=
2
3
2 4
a a+

2
2 6 0 1 7;( : 0)a a a Do a
+ >
và
2 2
3
( 3) 8 0 ( 3 2 2)( 3 2 2) 0
2 2 1
a a a a a a a+ + + +

Vậy a
1 7 +
(**)
Từ (*) và (**) suy ra a = M có giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi x = y =1.
Bi 8: H Ni 11-12

Vi x > 0, tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc:
2
1
M 4x 3x 2011
4x

= + +
.
Hng dn:
2 2
2
1 1
4 3 2011 4 4 1 2010
4 4
1
(2 1) ( ) 2010
4
M x x x x x
x x
x x
x
= + + = + + + +
= + + +
Vỡ
2
(2 1) 0x

và x > 0
1
0
4x
⇒ >
, Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x +
1
4x
1 1

2 . 2. 1
4 2
x
x
≥ = =
 M =
2
1
(2 1) ( ) 2010
4
x x
x
− + + +
≥ 0 + 1 + 2010 = 2011
 M ≥ 2011 ; Dấu “=” xảy ra 
2
1
2
1
2 1 0
2
1 1
1
4 4
2
0
0
1
2
0

x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x

=



=

− =





  

= ⇔ = ⇔
=
  

  


>
>
  


= −
 




>


⇔ x =
1
2
Vậy M
min
= 2011 đạt được khi x =
1
2
Cách 2
2010
4
1
8
1
8

1
2
1
3
4
1
2010
8
1
8
1
4
1
3
2011
4
1
34
2
2
22
2
+++++






−=

+++++






+−=
++−=
xx
xxM
xx
xxxM
x
xxM
Áp dụng cô si cho ba số
xx
x
8
1
,
8
1
,
2
ta có
4
3
8
1

.
8
1
.3
8
1
8
1
3
22
=≥++
xx
x
xx
x
Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2
mà
0
2
1
≥






−
x
Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2

Vậy
20112010
4
1
4
3
0 =+++≥M
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi M =
1
2
Bài 8 : Nam Định chuyên 11-12
Chứng minh rằng : Với mọi
2 3
2 3
1 1
x 1, ta luôn có 3 x 2 x
x x
   
> − < −
 ÷  ÷
   
.
Hướng dẫn:
2 3 2
2 3 2
2
2
1 1 1 1 1 1
3 x 2 x 3 x x 2 x x 1
x x x x x x

1 1 1
3 x 2 x 1 (vì x 1 nên x 0) (2)
x x x
         
− < − ⇔ − + < − + +
 ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ ÷
         
   
⇔ + < + + > − >
 ÷  ÷
   

Đặt
2 2
2
1 1
x t thì x t 2
x x
+ = + = −
, ta có (2)
( ) ( )
2
2t 3t 2 0 t 2 2t 1 0
⇔ − − > ⇔ − + >
(3)
Vì
( )
2
2
1

x 1 nên x 1 0 x 1 2x x 2 hayt 2
x
> − > ⇔ + > ⇔ + > >
=> (3) đúng . Vậy ta có đpcm
Bài 9: Vĩnh Phúc 11-12
) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P =
ab bc ca
c ab a bc b ca
+ +
+ + +
.
Hướng dẫn:
Có:
( )
2
1 .a b c c a b c c ac bc c+ + = ⇒ = + + = + +
⇒
2
( ) ( )c ab ac bc c ab a c b c b c+ = + + + = + + +
=
( )( )c a c b+ +
⇒
( )( ) 2
a b
ab ab
c a c b
c ab c a c b
+
+ +

= ≤
+ + +
Tương tự:
( )( )
( )( )
a bc a b a c
b ca b c b a
+ = + +
+ = + +
( )( ) 2
( )( ) 2
b c
bc bc
a b a c
a bc a b a c
c a
ca ca
b c b a
b ca b c b a
+
+ +
⇒ = ≤
+ + +
+
+ +
= ≤
+ + +

⇒
P ≤

2
a b b c c a
c a c b a b a c b c b a
+ + + + +
+ + + + + +
=
2
a c c b b a
a c c b b a
+ + +
+ +
+ + +
=
3
2
Dấu “=” xảy ra khi
1
3
a b c= = =
Từ đó giá trị lớn nhất của P là
3
2
đạt được khi và chỉ khi
1
3
a b c= = =