Các kiến thức cơ bản được sử dụng-Bất đẳng thức Cô si pdf

Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1


2. Các kiến thức cơ bản được sử dụng
a, Bất đẳng thức Cô si
Cho n số thực không âm
1 2
; ;
n
a a a
ta có
1 2
1 2


n
n
n
a a a
a a a
n
  

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 2

n
a a a

  

b, Bất đẳng thức Bunhia – copxki
Cho hai bộ số
1 2
; ;
n
a a a
và
1 2
; ;
n
b b b
ta có






2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a b a b a b a a a b b b
         

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 2

1 2

n
n
a a a
b b b
  

c. Bất đẳng thức Trê bư sep
Cho hai bộ số sắp thứ tự giống nhau
1 2

n
a a a
  
và
1 2

n
b b b
  
ta có
1 2 1 2 1 1 2 2

.
n n n n
a a a b b b ab a b a b
n n n
        


Nếu hai dãy sắp thứ tự ngược chiều thì ta được bất đẳng thức với chiều ngược lại.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và chỉ khi
1 2

n
a a a
  
hoặc
1 2

n
b b b
  
.









Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 2

II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chúng ta xuất phát từ bài toán gốc như sau
Bài toán 1 ( Bất đẳng thức Nestbit):
Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
(1)

Có nhiều cách chứng minh ở đây tôi trình bày một số cách chứng minh như sau
Lời giải
Cách 1:



Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 3

Ta có
3 ( 1) 1 ( 1)
1 1 1 1 1 1 1 9
( )( ) ( )( )
2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
a b c b c c a a b
b c c a a b b c c a a b
 
      
 
     
 
             
     
Vậy
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Cách 2:
Đặt x=b+c; y=c+a; z=a+b suy ra ; ;
2 2 2
y z x x z y x y z
a b c
     

  
với x,y,z>0
ta có

1
( )
2
1 3 1 3
( ) ( )
2 2 2 2
a b c y z x x z y x y z
b c c a a b x y z
y z x z x y y x y z x z
x y z x y z y z x
     
    
  
  
          

mặt khác
2; 2; 2
y x y z x z
x y z y z x
     
(theo bđt cô si)
suy ra
6
y x y z x z
x y z y z x

     
vậy
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

Cách 3
Không mất tổng quát ta cho
1 1 1
0 0
a b c
b c c a a b
      
  

Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có
1 1 1
( )( ) 3( )
a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
      
     

mặt khác
 
1 1 1

( )( )
1 1 1 1 9
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
a b c
b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
   
  
        
  

Vậy
3
2
a b c
b c c a a b
  
  




Bây giờ ta mở rộng vấn đề
Nhân hai vế của (1) với a+b+c ta có


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 4

 
2 2 2
2 2 2
3
( )
2
3
( )
2
2
a b c
a b c a b c
b c c a a b
a b c
a b c a b c
b c c a a b
a b c a b c
b c c a a b
 
      
 
  
 
        
  
 
   
  

Từ đó ta có bài toán 2
Bài toán 2.
Cho a,b,c là các số dương ta luôn có
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  
(2)
( Đề thi thử đại học lần 1 THPT Đô Lương 2)
Lời giải:
Nhận xét vừa rồi chính là lời giải 1
Cách 2 Theo bđt cô si ta có

2
2
2
4
4
4
a b c
a
b c
b c a
b
c a
c a b
c

a b

 


 


 


Cộng tương ứng các bất đẳng thức đó ta có

2 2 2
2
a b c a b c
a b c
b c c a a b
 
     
  


2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
   
  

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cách 3: Theo bât đẳng thức Bunhia-Copxki ta có
2 2
( ) ( )
a b c
a b c b c c a a b
b c c a a b
       
  

2 2 2
2 2 2
( )( )
2( )( )
a b c
b c c a a b
b c c a a b
a b c
a b c
b c c a a b
       
  
    
  

2 2 2
2
a b c a b c

b c c a a b
 
   
  


Cách 4 Không mất tổng quát ta cho
0 0
a b c
a b c
b c c a a b
      
  

Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 5

2 2 2
( )( ) 3( )
a b c a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
      
     

mặt khác
3

2
a b c
b c c a a b
  
  

Vậy
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  


Bây giờ ta thêm giả thiết là a,b,c>0 và a.b.c=1 khi đó theo bđt cô si ta có

3
3 3
a b c abc
   
dấu bằng khi a=b=c=1
Từ đó ta suy ra bài toán sau
Bài toán 3
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1
ta luôn có
2 2 2
3
2

a b c
b c c a a b
  
  



Bây giờ quay lại bài toán 1 ta thử đặt
1 1 1
; ;a b c
x y z
  
thì x,y, z >0 thi ta có bất đẳng thức luôn đúng là
3
( ) ( ) ( ) 2
yz xz xy
x y z y z x z x y
  
  
(*)
Để có bài toán mới hơn ta thêm giả thiết là x.y.z=1
Thay vào (*) ta có
(*)
2 2 2
3
( ) ( ) ( ) 2
xyz xyz xyz
x y z y z x z x y
   
  

2 2 2
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
x y z y z x z x y
   
  

Khai thác kĩ hơn suy nghĩ đó vào bài toán 3 ta đặt
1 1 1
; ;a b c
x y z
  
thì x,y, z >0 và x.y.z=1
Thay vào (2) ta có
2 2 2
3
( ) ( ) ( ) 2
yz xz xy
x y z y z x z x y
  
  

biến đổi thêm một chút ta có
3 3 3
3 3 3
3
( ) ( ) ( ) 2
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
xyz xyz xyz

x y z y z x z x y
x y z y z x z x y
  
  
   
  


Như vậy ta có thêm các bài toán mới


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 6

Bài toán 4
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1
ta luôn có
2 2 2
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
  
  

Bài toán 5 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1
ta luôn có
2 2 2
3
( ) ( ) ( ) 2
bc ca ab

a b c b c a c a b
  
  

( Đây là đề thi vào ĐH Ngoại ngữ -1998)
Bài toán 6 ( Để ra kì này tháng 5-2010 Toán học tuổi trẻ)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1
ta luôn có
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
  
  

Cách giải cho học sinh khi gặp hai bài toán này là
Đặt
1 1 1
; ;x y z
a b c
  


Một phát hiện thú vị là mối quan hệ gần giống nhau giữa bài toán 3 và bài toán 4
với cùng giả thiết đó là giữa hai bđt

2 2 2
3
2
a b c

b c c a a b
  
  

và
2 2 2
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
  
  

Đặt câu hỏi tương tự cho bài toán 6 đã có bđt
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
  
  

Như vậy liệu có bất đẳng thức
3 3 3
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

Ta có bài toán

Bài toán 7( Đề thi học kì 2 toán 10 THPT Đô lương 2 -2010)

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1
ta luôn có
3 3 3
3
2
a b c
b c c a a b
  
  


Lời giải
Cách 1
Áp dụng bđt Cô si cho 3 số dương ta có


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 7

3
3
3
1 3
4 2 2
1 3
4 2 2
1 3
4 2 2

a b c
a
b c
b c a
b
c a
c a b
c
a b

  


  


  


Cộng tương ứng các bđt ta có
 
3 3 3
3 3
2 2 2
a b c a b c
a b c
b c c a a b
 
      
  

 
3 3 3
3
2
a b c
a b c
b c c a a b
      
  

Mà ta có
3
3 3
a b c abc
   
dấu bằng khi a=b=c=1
Vậy
3 3 3
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Cách 2
Không mất tổng quát ta cho

2 2 2

0 0
a b c a b c
      


2 2 2
0
a b c
b c c a a b
   
  

Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có
2 2 2 3 3 3
( )( ) 3( )
a b c a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
      
     

mặt khác
2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
và

3
3 3
a b c abc
   

Vậy
3 3 3
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

Cách 3 Nhân hai vế của bất đẳng thức
2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
với a+b+c



Như vậy qua cách giải thứ 2 ta suy nghĩ đến bđt tổng quát hơn như sau
Ta đã có
2 2 2 3 3 3
( )( ) 3( )

a b c a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
      
     

mặt khác
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  
thế vào trên ta có
3 3 3 2
( )
6
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  

Bài toán 8


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 8

Cho a,b,c là các số dương
ta luôn có
3 3 3 2
( )
6
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  


Đến đây các bạn thấy rằng từ những bài toán trên chỉ cần đặt thêm điều kiện cho
a,b c là xuất hiện thêm rất nhiều bài toán khó tương đối đẹp dành cho các kì thi hay
kiểm tra hoc sinh khá giỏi.

Chẳng hạn ta thêm điều kiện ta có bài toán
Bài toán 9 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
2 2 2
1
a b c
  

ta luôn có
3 3 3
1
2
a b c
b c c a a b
  

  

Lời giải :

Không mất tổng quát ta cho

2 2 2
0 0
a b c a b c
      


0
a b c
b c c a a b
   
  

Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có
3 3 3
2 2 2
( )( ) 3( )
a b c a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
      
     

mặt khác
3

2
a b c
b c c a a b
  
  
và
2 2 2
1
a b c
  

Vậy
3 3 3
1
2
a b c
b c c a a b
  
  


Tiếp tục mạch suy nghĩ trên ta hoàn toàn có thể giải một bài toán tương đối hay mà
một đồng nghiệp của tôi đã đề cập.
Bài toán 10
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
2 2 2
1
a b c
  

ta luôn có
2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

Đây là một bài toán làm tôi mất rất nhiều thời gian mà nhờ nó trong quá trình giải
tôi đã xây dựng được những vấn đề cốt lõi trong hệ thống trên.
Ở đây rõ ràng ta thấy vấn đề rất rõ ràng có liên quan hệ thống bài toán trên nhưng
vận dụng thế nào cho hợp lí vấn đề là tồn tại số
3
là vì sao và ta cũng thấy dấu
bằng xảy ra khi a=b=c=
1
3
như vậy một điều có thể nghĩ đến là phải sử dụng bình
phương của vế trái như thế nào đó
Lời giải


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 9

Ta đã có
2 2 2
2
a b c a b c

b c c a a b
 
  
  
(2)

Không mất tổng quát ta cho

2 2 2
0 0
a b c a b c
      


1 1 1
0
b c c a a b
  
  

Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 1
( )( ) 3( )
a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
      
     

mặt khác
2 2 2
1
a b c
  
nên ta suy ra
2 2 2
1 1 1 1
3
a b c
b c c a a b b c c a a b
 
    
 
     
 
(4)
Nhân hai vế của (2) và (4) ta có

 
 
2
2 2 2
1 1 1 1
6
1 1 1 1 9 3
( ) ( )
12 12 4
a b c

a b c
b c c a a b b c c a a b
b c c a a b
b c c a a b
 
 
      
 
 
     
 
 
 
         
 
 
 
  
 

Vậy ta đã chứng minh được
2 2 2
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=
1

3

Ở bài toán này nếu đặt nó độc lập không theo hệ thống trên thì đây là một bài toán
thật sự không đơn giản
Các thầy cô và các em còn có thể phát triển thêm các bài toán riêng và tổng quát
như sau
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a.b.c=1 ta có

4 4 4
3
2
a b c
b c c a a b
  
  

4 4 4
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c b c a c a b
  
  

Tổng quát
3
2
n n n
a b c
b c c a a b
  

  
với n

1
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2
n n n
a b c b c a c a b
  
  
với n

2

Từ bài toán 9 và 10 tổng quát lên ta có bài toán
Bài toán 11


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 10

Cho n (n

3) số dương
1 2
; ;
n
a a a
thỏa mãn
2 2 2

1 2
1
n
a a a
   
với
S=
1 2

n
a a a
  
ta có

3 3 3
1 2
1 2
1

1
n
n
a a a
S a S a S a n
   
   


Bây giờ ta lại chuyển hướng suy nghĩ về ứng dụng cho các bài toán trong các tam
giác từ các bài toán trên.

Với tam giác ABC bất kì ta luôn có sinA, sinB, sinC là các số dương nên hoàn toàn
tương tự ta có các bất đẳng thức về góc khá đẹp.

a.
sin sin sin 3
sin sin sin sin sin sin 2
A B C
B C C A A B
  
  
(5)
Ta lại có
B-C B-C
sin sin 2sin cos 2cos cos
2 2 2 2
B C A
B C

  
và
A
2sin os
2 2
A
SinA c suy ra
sin
sin
2
B-C
sin sin

os
2
A
A
B C
c



tương tự
sin
sin
2
C-A
sin sin
os
2
B
B
C A
c


;
sin
sin
2
A-B
sin sin
os

2
C
C
A B
c


thay vào (5)
ta có
sin sin sin
3
2 2 2
B-C C-A A-B
2
os os os
2 2 2
A B C
c c c
  
(5')
b.
2 2 2
sin sin sin sin sin sin
sin sin sin sin sin sin 2
A B C A B C
B C C A A C
 
  
  
(6)

c.
3 3 3 2
sin sin sin (sin sin sin )
sin sin sin sin sin sin 6
A B C A B C
B C C A A B
 
  
  
(7)
Nhưng với tam giác bất kì ta lại có
B C
sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A
A B C   lồng ghép với (6) ta có bài toán
Bài toán 12
Với tam giác ABC bất kì ta luôn có các bất đẳng thức sau

2 2 2
sin sin sin B C
2cos cos cos
sin sin sin sin sin sin 2 2 2
A B C A
B C C A A C
  
  


3 3 3

2 2 2
sin sin sin 8 B C
cos cos cos
sin sin sin sin sin sin 3 2 2 2
A B C A
B C C A A B
  
  





Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 11

Các bài toán trên ta đã đặc biệt hóa cho trường hợp là a.b.c=1
bây giờ ta xét trường hợp khi a+b+c=1 ta có các bất đẳng thức
Bài toán 13 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1
ta luôn có
2 2 2
1
2
a b c
b c c a a b
  
  

3 3 3
1

6
a b c
b c c a a b
  
  


Nếu thay a+b=1-c; b+c=1-a; c+a= 1-b ta có các bất đẳng thức rất đẹp là

Bài toán 14:
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh ta luôn có
2 2 2
1
1 1 1 2
a b c
a b c
  
  

3 3 3
1
1 1 1 6
a b c
a b c
  
  

Đây là những bất đẳng thức hay và nếu như thông qua hệ thống phát triển như trên
việc phát hiện và chứng minh không khó và hoàn toàn tự nhiên dễ đem lại hứng
thú cho học sinh.

Tuy vậy trong các kì thi người ta có thể ẩn bài toán đó dưới giả thiết là tam giác có
chu vi bằng 1.
Ví dụ 1.Cho ABC có các cạnh BC=a; CA=b; AB=c với chu vi bằng 1 hãy chứng
minh rằng

2 2 2
1
2
a b c
b c c a a b
  
  

và
3 3 3
1
6
a b c
b c c a a b
  
  

Tiếp tục vận dụng định lí sin
a= 2R. sinA; b= 2R. sinB ; c=2R.sin C ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp)
thay vào bài toán này ta có các bất đẳng thức tương đối lạ
2 2 2
sin sin sin 1
sin sin sin sin sin sin 4
A B C
B C C A A C R

  
  


3 3 3
2
sin sin sin 1
sin sin sin sin sin sin 24
A B C
B C C A A B R
  
  


Như vậy đứng trước bài toán nào đó nếu ta chịu khó biến đổi bài toán sẽ cho ta
nhiều kết quả thật thuyết phục
Bài toán 15 Trong tam giác ABC bất kì với các cạnh a,b,c với nửa chu vi là
2
a b c
p
 



Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 12

ta luôn có
3
2 2 2 2

a b c
p a p b p c
  
  

2 2 2
2 2 2
a b c
p
p a p b p c
  
  

3 3 3 2
2
2 2 2 3
a b c p
p a p b p c
  
  


Cách chứng minh sử dụng bđt Trê bư sep là được

Một số bài toán tương tự
1. Cho các số thực x,y,z
Chứng mịnh
a.
1 1 1
4 4 4

2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y z
x y z
y z z x x y
  
    
  


b.


2
2 2 2
8 8 8
2 2 2 2 2 2 6
x y z
x y z
y z z x x y
 
  
  


2. Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x+y+z=0
Chứng minh

a.
4 4 4 3

2 2 2 2 2 2 2
x y z
y z z x x y
  
  


b.
8 8 8 3
2 2 2 2 2 2 2
x y z
y z z x x y
  
  



c.
4 4 4 3
2 2 2 2 2 2 2
x y z
y z z x x y
  
  
  


d
8 8 8 3
2 2 2 2 2 2 2

x y z
y z z x x y
  
  
  

HD. Bằng cách đặt a=2
x
; b = 2
y
; c = 2
z
ta có a, b ,c >0 và a.b.c=1
ta đưa về các bất đẳng thức vừa chứng minh.


Tổng quát hóa bài toán 1

Đến đây ta lại chuyển suy nghĩ sang hướng khác


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 13

Cho a,b,c >0 ta có
3
2
a b c
b c c a a b
  

  
nếu sửa thành biểu thức
2 2 2
a b c
b c c a a b
 
  
thì giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?
Ta thấy nếu a=b=c thì
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  
  
vậy phải chăng ta có
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  
  

Bài toán 16: Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có

1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  

  

Giải: Đặt A=b+2c ; B=c+2a ; C= a+2b ta suy ra A,B,C>0 và
2 4
9
A B C
a
  
 ;
2 4
9
B C A
b
  
 ;
2 4
9
C A B
c
  

Thay vào vế trái ta có
1 4 4 4
( 2 2 2 )
2 2 2 9
a b c B C C A A B
b c c a a b A A B B C C
           
  

2 1 4
( ) ( )
3 9 9
C A B B A C
A B C A C B
       
Mặt khác do A,B,C >0 theo bất đẳng thức cô si ta có

3
3
3 3
3 3
C A B C A B
A B C A B C
B A C B A C
A C B A C B
     
     

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A=B=C

Vậy
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  
  
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Tiếp tục mạch suy nghĩ đó từ bất đẳng thức

2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  
ta suy
ra bất đẳng thức sau
Bài toán 17 .
Cho a,b,c là các số dương ta luôn có
2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  


Lời giải:
Theo bđt cô si ta có


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 14


2
2

2
2 2
2 9 3
2 2
2 9 3
2 2
2 9 3
a b c a
b c
b c a b
c a
c a b c
a b

 


 


 


Cộng tương ứng các bất đẳng thức đó ta có



2 2 2
2
2 2 2 3 3

a b c
a b c a b c
b c c a a b
 
 
   
  


2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
b c c a a b
 
   
  

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Lưu ý với học sinh rằng bất đẳng thức kiểu như trên khi vận dụng cô si phải lưu ý
dấu bằng xảy ra để chọn hệ số cho đúng chẳng hạn trong bài toán này ta muốn có
dấu bằng xảy ra a=b=c thì
2
2 3
a a
b c


nên ta phải ghép cùng với biểu thức
2 2

9 9 3
b c a a a
 
 
đó là một kinh nghiệm tuyệt vời khi sử dụng cho các bài toán
liên quan đến bđt cô si mà ta cần triệt tiêu mẫu


Một câu hỏi đặt ra là nếu thay bởi các số tự nhiên m và n bất kì ( không đồng thời
bằng 0 ) vào vế trái thì biểu thức
a b c
mb nc mc na ma nb
 
  
có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Dự đoán khi a=b=c thì biểu thức nhận giá trị
3
m n

nên phải chăng ta có
3
a b c
mb nc mc na ma nb m n
  
   
.
Bài toán 18:
Cho a,b,c >0 chứng minh với hai số tự nhiên m, n tùy ý (không đồng thời bằng 0 )
ta luôn có
3

a b c
mb nc mc na ma nb m n
  
   

Lời giải :
Đặt A=mb+nc ; B=mc+na ; C= ma+nb ta suy ra A,B,C>0 và
2 2
3 3
mnA n B m C
a
m n
  


;
2 2
3 3
mnB n C m A
b
m n
  


;
2 2
3 3
mnC n A m B
c
m n

  




Thay vào vế trái ta có


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 15

2 2
3 3
1
[ 3 ( ) ( )]
a b c B C A C A B
mn n m
mb nc mc na ma nb m n A B C A B C
         
   

Mặt khác do A,B,C >0 theo bất đẳng thức cô si ta có

3
3
3 3
3 3
C A B C A B
A B C A B C
B A C B A C

A C B A C B
     
     

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A=B=C

Vậy
3
a b c
mb nc mc na ma nb m n
  
   
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Hoàn toàn tương tự ta có bất đẳng thức

2 2 2
a b c a b c
mb nc mc na ma nb m n
 
  
   

Đến đây ta thấy rằng hóa ra bất đẳng thức Trê bư sép là một trường hợp riêng của
bài toán 18 đó cũng là một bất đẳng thức đẹp.
Nếu ta đặc biệt hóa cho các trường hợp a.b.c=1 hay a+b+c=1 thì ta hoàn toàn có
thể sáng tạo ra các bài toán mới dành cho các đề thi hay và khó.
Chẳng hạn ta cho một số ví dụ
1. Cho a,b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 chứng minh rằng
a,

2 2 2
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
  
  

b,
2 2 2
1
2009 2009 2009 670
a b c
b c c a a b
  
  

2. Cho a,b, c là các số dương thỏa mãn a.b.c=1 tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2 2
2008 2009 2008 2009 2008 2009
a b c
P
b c c a a b
  
  

Hướng dẫn:
Đây là trường hợp riêng của bài toán 18 khi m=2008 , n= 2009

Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 16

áp dụng thêm bđt cô si
3
3 3
a b c abc
   
dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
kết quả giá trị nhỏ nhất là
1
1339

Ta lại đặt vấn đề cho trường hợp 4 số dương thay vì 3 số trong bài toán 1
a b c d
b c c d d a a b
  
   
sẽ đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?
Ta đặc biệt hóa khi a=b=c=d là dự đoán được kết quả như sau
Bài toán 19 :
Cho a,b,c >0 chứng minh ta luôn có

2
a b c d
b c c d d a a b
   
   

Lời giải
Áp dụng bđt Bunhia –coxki ta có
2 2
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]
a b c d
a b c d a b c b c d c d a d a b
b c c d d a a b
          
   
( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]
a b c d
a b c b c d c d a d a b
b c c d d a a b
          
   

2
( )a b c d a b c d
b c c d d a a b ab bc cd da ac bd ca db
  
    
          

Mặt khác ta lại có
2
2 2 2 2 2 2
( )
2
2 2 0 ( ) ( ) 0
a b c d

ab bc cd da ac bd ca db
a b c d ac bd a c b d
  

      
           

bất đẳng thức này luôn đúng
Vậy ta có
2
a b c d
b c c d d a a b
   
   

và dấu = xảy ra khi a=b=c=d (điều phải chứng minh.)
Tiếp tục thay các biểu thức với hệ số khác ta xuất hiện bất đẳng thức theo dự đoán
là
Bài toán 20 :
Cho a,b,c,d >0 , chứng minh ta luôn có


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 17

P=
2
2 3 2 3 2 3 2 3 3
a b c d
b c d c d a d a b a b c

   
       

Lời giải
Ta áp dụng bđt Bunhiacoxki
2
2
[ ]
[ ( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 2 3) ( 2 3)]
2 3 2 3 2 3 2 3
a b c d
a b c d
ab c d bc d a cd a b d a b c
b c d c d a d a b a b c
   
          
       
.[a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2
b+3c)]
P


Suy ra
2
[ ]
a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2b+
3c)
a b c d
P
  


Ta chứng minh
2
[ ] 2
a(b+2c+3d)+b(c+2d+3a)+c(d+2a+3b)+d(a+2b+
3c) 3
a b c d  


2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
a b c d ab ac ad bc bd cd
a b a c a d b c b d c d
          
            

Điều này luôn đúng với mọi a, b,c,d. dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a=b=c=d
Từ đây ta đưa ra bất đẳng thức tổng quát
Bài toán 21
Cho n số dương
1 2
,
n
a a a
với n-1 số tự nhiên không đồng thời bằng 0 là
1 2 1
, , ,

n
m m m

ta luôn có
1 2
1 2 2 3 1 1 3 2 4 2 1 1 1 1 2 2 1 1
1 2 1

.

n
n n n n n n n
n
aa a
m a m a m a m a m a m a m a m a m a m a
n
m m m
    

   
         
  

Lời giải bài toán này ta có thể áp dụng cách phân tích theo bất đẳng thức Bunhia-
Copski như trên việc trình bày tương đối dài xin được dành cho bạn đọc tiếp tục
chứng minh và phát triển thêm.


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 18

Phần 3. KẾT LUẬN

Như vậy điều cốt lõi trong đề tài trên là thông qua bài toán bât đẳng thức đẹp và
quen thuộc tôi đã phát triển thành hệ thống suy luận tương đối logic . Điều này
tạo nên tính mới mẻ trong cái nhìn về những ý tiềm tàng trong các bài toán đó. Bài
toán 1 ứng dụng khá rộng rãi vơi việc nhìn bài toán dưới góc độ khác bằng cách
biến đổi các điều kiện của các biến số mở ra một lớp các bài toán về bất đẳng thức
khá hay và đẹp cũng được ứng dụng trong rất nhiều kì thi chọn học sinh giỏi và các


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 19

kì bồi dưỡng học sinh khá giỏi , mỗi bài toán liên quan ngay cả những bài toán mở
rộng trong tam giác và có thể cho đa giác, cũng có thể tổng quát hóa để có thêm
nhiều bất đẳng thức đẹp tôi nghĩ sẽ còn khai thác rộng hơn ứng dụng cho các bài
toán khác.Trong quá trình dạy học thói quen tổng quát hóa , đặc biệt hóa để đào
sâu nghiên cứu các góc cạnh trong toán học kiểu như trên là một điều rât cần thiết
cho phát triển tư duy và kích thích tính tích cực khám phá của các em học
sinh.Việc sử dụng hệ thống bài toán trên đã cho ta cách giải các bài tập liên quan
một cách khá đơn giản nếu tiếp tục sáng tạo và khai thác sâu hơn chắc chắn ta sẽ
tìm được nhiều vấn đề thú vị mà bản thân tôi chưa làm được trong phạm vi đề tài
này.
Với hi vọng viết ra cho bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đánh giá và nội dung nào
đó có thể ứng dụng giới thiệu thêm cho học sinh trong quá trình bồi dưỡng. Vì thời
gian ngắn cũng như bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết
,kính mong được quí thầy cô nghiên cứu , đóng góp ý kiến để đề tài được hoàn
thiện hơn.












SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 20



ĐỀ TÀI
KHAI THÁC TỪ MỘT B
ẤT ĐẲNG
THỨC QUEN THUỘC

Cao Tiến Trung
Tổ Toán
Trường THPT Đô Lương 2

















SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM


ĐỀ TÀI

KHAI THÁC T
Ừ MỘT
B
ẤT ĐẲNG


Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung
Www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 21