BD HSG: Bài toán chia hết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (740.51 KB, 34 trang )
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
S
SS
Số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 10/11/11
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 13/11/11
Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 11
1111
11
một số dạng toán về số học
Buổi 1
một số phơng pháp giải bài toán chia hết
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc ôn tập và hệ thống hóa một số phơng pháp cơ bản để
giải bài toán chia hết
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán chia hết
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn
B/Chuẩn bị của thầy và trò
- GV:
-
HS:
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức-
-
sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
-
HS1:
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b
0. Khi nào ta nói a chia
hết cho b ?
- HS2:
Nêu các dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9 ?
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
I
I I
I
Lí thuyết chung
Lí thuyết chungLí thuyết chung
Lí thuyết chung
1. Định nghĩa:
Trong tập N:
a) Phép chia hết: Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b 0. Nếu có số tự
nhiên k sao cho a = b.k thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết
a : b = k.
b) Phép chia có d: Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b 0, ta luôn tìm
đợc hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho:
a b.q r
= +
trong đó
0 r b
< <
Trong tập Z:
Cho 2 số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm đợc hai số nguyên q và r
duy nhất sao cho: a = bq + r Với 0 r | b|
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thơng, r là số d.
Khi a chia cho b có thể xẩy ra | b| số d: r {0; 1; 2; ; | b|}
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Đặ
c bi
ệ
t: r = 0 th
ì
a = bq, khi
đó
ta n
ó
i a chia h
ế
t cho b hay b
là ớc của a
.
Ký hiệu: ab hay b\ a
V
ậ
y:
a
b Có số nguyên q sao cho a = bq
2. Kí hiệu:
Nếu a chia hết cho b đợc kí hiệu là :
a b
và nếu a không chia hết cho
b đợc kí hiệu là
a b
3. Các dấu hiệu chia hết:
a) Dấu hiệu chia hết cho 2:
Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ
những số đó mới chia hết cho 2
Chú ý: Nếu a chẵn thì a = 2k ; còn a lẻ thì a = 2k + 1 (k
)Z
b) Dấu hiệu chia hết cho 5
Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số
đó mới chia hết cho 5
c) Dấu hiệu chia hết cho 9
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 9
d) Dấu hiệu chia hết cho 3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những
số đó mới chia hết cho 3
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó
chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại.
e) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25):
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số
đó hợp thành số chia hết cho 4 (hoặc 25).
f) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125):
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số
đó hợp thành số chia hết cho 8 (hoặc 125).
g) Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và
tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
4. Tính chất của quan hệ chia hết:
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0.
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho (b.c).
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c thì a chia hết cho BCNN(a ; b)
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b, c) = 1 thì a chia hết cho c.
+ Nếu a và b đều chia hết cho m thì a.b cũng chia hết cho m
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
S
SS
Số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
, .
a m b m a b m
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
. ( )
a m k a m k N
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a
b) chia hết cho m.
, ; ( )
a m b m a b m a b m a b
+
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a
b) không chia hết cho m.
(
)
, ;
a m b m a b m a b m a b
+
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n).
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì BCNN(a, b) chia hết cho
BCNN (m, n)
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b
chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì
n
a
chia hết cho m với n là số tự nhiên.
+ Nếu a
n
chia hết cho m trong đó m là số nguyên tố thì a chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho b thì
n
a
chia hết cho
n
b
với n là số tự nhiên.
( )
n n
a b a b n N
+ Nếu a chẵn thì a = 2k ; còn a lẻ thì a = 2k + 1 (k
)Z
*) Nõng cao:
1 2
, . .
a m b m k a k b m
+
, , + +
a m b m a b c m c m
, , + +
a m b m a b c m c m
(
)
a m,a n,a p và m,n,p 1 a (mnp )
=
( )
1;, =
=
d
b
d
a
dba
[
]
(
)
a.b a,b . a,b
=
trong đó:
[
]
a,b
là BCNN (a,b) và (a,b) là ƯCLN (a,b)
5. Một số kết quả cần ghi nhớ
- Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
- Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
- Tổng của k số nguyên liên tiếp chia hết cho k khi và chỉ khi k lẻ
- Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
- Tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n !.
6. Đồng d thức
a. Định nghĩa: Cho m là số nguyên dơng. Nếu hai số nguyên a và b có
cùng số d khi chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo modun m.
Ký hiệu: a
b (modun m)
Vậy: a
b (modun m)
a - b
m
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
b. C
á
c t
í
nh ch
ấ
t
1. Với
a
a
a (modun m)
2. Nếu a
b (modun m)
b
a (modun m)
3. Nếu a
b (modun m), b
c (modun m)
a
c (modun m)
4. Nếu a
b (modun m) và c
d (modun m)
a+c
b+d (modun m)
5. Nếu a
b (modun m) và c
d (modun m)
ac
bd (modun m)
6. Nếu a
b (modun m), d
ƯC (a, b) và (d, m) = 1
d
b
d
a
(modun m)
7. Nếu a
b (modun m), d > 0 và d
ƯC (a, b, m)
d
b
d
a
(modun
d
m
)
II
II II
II
các phơng pháp và bài tập vận dụng
các phơng pháp và bài tập vận dụngcác phơng pháp và bài tập vận dụng
các phơng pháp và bài tập vận dụng
Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
Để chứng minh a chia hết cho b (b
0) ta biểu diễn số a dới dạng một
tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b).
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (3n)
1000
chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n.
Giải: Ta có (3n)
1000
= 3
1000
. n
1000
= 3
4
.3
996
.n
1000
= 81.3
996
.n
1000
.
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3
996
.n
1000
chia hết cho 81.
(3n)
1000
chia hết cho 81.
Vớ d 2: Chng minh rng : 16
5
+ 2
15
chia ht cho 33
Gii :
Ta cú : 16
5
+ 2
15
= (2
4
)
5
+ 2
15
= 2
20
+ 2
15
= 2
15
(2
5
+ 1) = 2
15
. 33
Vỡ 33 chia ht cho 33 2
15
. 33 chia ht cho 33
Vy 16
5
+ 2
15
chia ht cho 33.
Phơng pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết
1. Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
Để chứng minh a chia hết cho b (b
0) ta biểu diễn số a dới dạng
một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều
chia hết cho b.
Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng
của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn
tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b.
Các cách trên còn đúng với một hiệu
Ví dụ 1: Khi chia một số cho 255 ta đợc số d là 170. Hỏi số đó có chia hết
cho 85 không? Vì sao ?
Giải: Gọi số đó là a (a là số tự nhiên).
Vì a chia cho 255 có số d là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên).
Ta có: 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85.
170 chia hết cho 85.
(255.k + 170) chia hết cho 85 (tính chất chia hết của một tổng).
Do vậy a chia hết cho 85.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
S
SS
Số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
V
í
d
ụ
2
: Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng t
ổ
ng c
ủ
a ba s
ố
t
ự
nhi
ê
n li
ê
n ti
ế
p lu
ô
n chia h
ế
t cho 3.
Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2)
= (3a + 3) chia hết cho 3 (tính chất chia hết của một tổng).
Ví dụ 3: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6).
Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4
nên (4a + 6) không chia hết cho 4.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Kết luận: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia hết cho n.
2. Dùng tính chất chia hết của một tích:
Để chứng minh a chia hết cho b (b
0) ta có thể chứng minh bằng một
trong các cách sau:
Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho
m, a chia hết cho n.
Biểu diễn a = a
1
.a
2
; b = b
1
.b
2
=> Rồi chứng minh a
1
chia hết cho b
1
;
a
2
chia hết cho b
2
.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải:
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2.
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2)
4n.(n + 1) chia hết cho 8.
2n.(2n + 2) chia hết cho 8.
Phơng pháp 3: Dùng định lí về phép chia có d
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng:
a) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
b) Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Giải:
a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2.
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2).
Một số tự nhiên n khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0; 1; 2.
- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3
n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
- Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).
n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3.
n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3.
- Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên).
n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3.
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
n.(n +1).(n +2) chia h
ế
t cho 3
.
Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b) Chứng minh tơng tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n
là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng
tổng quát
=> Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn
chia hết cho n.
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
- Xem lại các phơng pháp và các bài tập đã chữa
- Giải tiếp các bài tập sau:
Bài 1: Tìm tất cả các số x, y để có số
yx534
chia hết cho 36.
Giải: Vì (4, 9) = 1 nên
yx534
chia hết cho 36
yx534
chia hết cho 9 và
yx534
chia
hết cho 4.
Ta có:
yx534
chia hết cho 4
5y chia hết cho 4
y
{
}
6;2
.
yx534
chia hết cho 9
(3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9.
(3 + 9 + x + y) chia hết cho 9 (3 + x + y) chia hết cho 9
Vì x, y N và 0 x; y 9 nên x + y
{
}
15;6
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 (loại, vì lớn hơn 9 ).
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9.
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956.
Bài 2: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số
trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211.
Giải:
Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là:
abbaabba 0;0;0;0
.
Tổng của các số đó là:
abbaabba 0000 +++
= 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a
= 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211.
D/Bổ sung
*******************************
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
S
SS
Số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 11/11/11
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 18/11/11
Chủ đ
Chủ đChủ đ
Chủ đề
ề ề
ề 11
1111
11
một số dạng toán về số học
Buổi 2
bài toán chia hết
ớc và bội
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Học sinh đợc ôn tập và hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về ớc và
bội của một số tự nhiên.
- Học sinh hiểu và giải đợc các bài toán tìm hai số nguyên dơng khi
biết một số yếu tố trong đó có các dữ kiện về ƯCLN, BCNN
Kĩ năng
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài toán chia hết
- Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức để giải bài tập
- Tăng cờng khả năng t duy, sáng tạo, logic
Thái độ
- Học sinh có thái độ học tập nghiêm túc, đúng đắn
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-
GV:
- HS:
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức
-
-
sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
- HS1:
Giải bài tập 1 đã cho ở buổi học trớc
-
HS2:
Giả
i bài tập 2 đã cho ở buổi học trớc
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
A - ớc và bội
I
I I
I
Lí thuyết
Lí thuyết Lí thuyết
Lí thuyết
1) nh ngha:
a b
a l bi ca b
b l c ca a
2) Cỏch tỡm c v bi :
+) Mun tỡm bi ca mt s ta nhõn s ú ln lt vi 0; 1; 2; 3; Bi ca b
cú dng tng quỏt l b.k vi k
N
+) Mun tỡm c ca mt s a ta ln lt chia s a cho 1; 2; 3; . ; a xột
xem a chia ht cho nhng s no, khi ú cỏc s y l c ca a
3) Cỏch vit:
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
+ Tp hp cỏc c ca a l: (a)=
{
}
*
|
x N a x
+ Tp hp cỏc bi ca b l: B(b)=
{
}
|
x N x b
Ho
c B(b) =
{
}
.
b n n N
hoc B (b)=
{
}
0; ;2 ;3 ;
b b b
4) Nõng cao:
Xỏc nh s lng cỏc c ca mt s m ( m > 1) ta phõn tớch s m ra tha s
nguyờn t
Nu m =
. .
x y z
a b c
thớ m cú ( x+1).(y+1).(z+1) c
I
II
II
II
I
Luyện tập
Luyện tập Luyện tập
Luyện tập
Bài 1: Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
Giải:
Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2).
Do đó (5n + 14) chia hết cho (n + 2)
4 chia hết cho (n + 2)
(n + 2) là ớc của 4
(n + 2)
{
}
4;2;1
n
{
}
2;0
.
Vậy với n {0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để
3
15
+
+
n
n
là số tự nhiên .
Giải: Để
3
15
+
+
n
n
là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n + 3).
[(n + 15) - (n + 3)] chia hết cho (n + 3).
12 chia hết cho (n + 3) .
(n + 3)
Ư(12)
(n + 3)
{1; 2; 3; 4; 6; 12}.
n {0; 1; 3; 9}.
Vậy với n {0; 1; 3; 9} thì
3
15
+
+
n
n
là số tự nhiên.
Bài 3: Phải viết thêm vào bên phải số 579 ba chữ số nào để đợc số chia hết
cho 5; 7; 9.
Giải:
Giả sử ba số viết thêm là
abc
.
Ta có:
abcabc 5799;7;5579
chia hết cho 5.7.9 = 315 vì (5, 7, 9) = 1
Mặt khác:
abc579
= 579000 +
abc
= (315.1838 + 30 +
abc
) chia hết cho 315.
Mà 315.1838 chia hết cho 315
(30 +
abc
) chia hết cho 315 30 +
abc
B(315).
Do 100
abc
999 130 30 +
abc
1029
30 +
abc
{315; 630; 945}.
{
}
915;600;285abc
.
Vậy ba số có thể viết thêm vào là 285; 600; 915.
Bi 4:Tỡm s t nhiờn n, : a) n + 4
n + 1 ; b) n
2
+ n
n
2
+ 1
Hng dn gii:
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
N¨m häc
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o
¸
¸¸
¸n
nn
n
B
BB
Bå
åå
åi
ii
i
d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n
S
SS
Sè
èè
è
h
hh
hä
ää
äc
cc
c
a) n + 4
n + 1
⇒
( n + 1) + 3
(n + 1)
⇒
3
(n + 1)
Vì n
∈
N , nên n + 1
≥
1,do đó:
+ Nếu n + 1 = 1 thì n = 0
+ Nếu n + 1 = 3 thì n = 2
Vậy
{
}
n 0;2
∈
b) n
2
+ n
n
2
+ 1
⇒
n
2
+ 1 + n - 1
n
2
+1
⇒
n - 1
n
2
+ 1
⇒
(n - 1)(n + 1)
n
2
+1
⇒
n
2
- 1
n
2
+ 1
⇒
n
2
+ 1 - 2
n
2
+ 1
⇒
2
n
2
+1
Vì n
2
+ 1
≥
1, do đó:
+ Nếu n
2
+ 1 = 1 thì n
2
= 0
⇒
n = 0
+ Nếu n
2
+ 1 = 2 thì n
2
= 1
⇒
n = 1
Vậy
{
}
n 0;1
∈
Bài 5:Chứng tỏ rằng:
a) (5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ … + 5
29
+ 5
30
)
6
b) (5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ … + 5
8
)
30
c) ( 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
403
+ 5
404
)
31
d) (a + a
2
+ a
3
+ a
4
+ … + a
29
+ a
30
)
(a + 1) (với a
∈
N)
e) (3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ … + 3
2n-1
+ 3
2n
)
4
Hướng dẫn:
a) 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ … + 5
29
+ 5
30
= (5 + 5
2
) + (5
3
+ 5
4
) + … + (5
29
+ 5
30
) = [5(1+5)+5
3
(1+5)+…+5
29
(1+5)]
6
b) 5 + 5
2
+ 5
3
+ 5
4
+ … + 5
8
= (5 + 5
2
)+5
2
(5+5
2
)+5
4
(5+5
2
)+5
6
(5+5
2
) = 30 + 5
2
.30 + 5
4
.30 + 5
6
.30
=30(1 + 5
2
+ 5
4
+ 5
6
)
30
c) 1 + 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
403
+ 5
404
= (1+5+5
2
)+(5
3
+5
4
+5
5
) +… + (5
402
+ 5
403
+ 5
404
)
= 31 + 5
3
(1+5+5
2
) + …+ 5
402
(1 + 5 + 5
2
)
= 31 + 5
3
.31 + …. + 5
402
.31 = 31(1 + 5
3
+ … + 5
402
)
31
d) a + a
2
+ a
3
+ a
4
+ … + a
29
+ a
30
= [a(a+1) + a
3
(1+a) + … + a
29
(1+ a) ]
(a +1)
e) 3 + 3
2
+ 3
3
+ 3
4
+ … + 3
2n-1
+ 3
2n
= 3(1+3) + 3
3
(1+3) + … + 3
2n-1
(1 + 3)
4
Bài 6: Chứng minh rằng nếu số
abcd
99
thì
99
ab cd+
và ngược lại
Hướng dẫn:
100 99 99 ( )
abcd ab cd ab ab cd ab ab cd
= + = + + = + +
Suy ra: + Nếu
abcd
99
thì
99
ab cd+
+ Ngược lại, nếu
99
ab cd+
thì
abcd
99
Bài 7
:
Cho bi
ểu thức A
=
1494.1495.1496
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Khụng thc hin phộp tớnh, hóy gii thớch vỡ sao ?
a) A
180 ; b) A
495
Hng dn:
a) Cú 1494
9 ;1495
5 ; 1496
4 => A
9.5.4 hay A
180
b) Cú 1494
9 ;1495
5 ; 1496
11 => A
9.5.11 hay A
495
Bi 8: Tỡm n
N sao cho (27 - 5n)
n
Hng dn:
Vỡ 5n < 27 =>n < 6 (1)
Cú 5n
n nờn (27 - 5n)
n khi 27
n
Ta li cú 27 chia ht cho cỏc s 1, 3, 9, 27 (2)
T (1) v (2) => n
{
}
1;3
B - ƯCLN và BCNN
I
I I
I
Lí thuyết
Lí thuyết Lí thuyết
Lí thuyết
Trong chng trỡnh s hc lp 6, sau khi hc cỏc khỏi nim c chung
ln nht (CLN) v bi chung nh nht (BCNN), chúng ta s gp dng toỏn
tỡm hai s nguyờn dng khi bit mt s yu t trong ú cú cỏc d kin v
CLN v BCNN.
Phng phỏp chung gii :
1/ Da vo nh ngha CLN biu din hai s phi tỡm, liờn h vi cỏc yu
t ó cho tỡm hai s.
2/ Trong mt s trng hp, cú th s dng mi quan h c bit gia
CLN, BCNN v tớch ca hai s nguyờn dng a, b. ú l :
ab = (a, b).[a, b]
Trong ú (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN ca a v b.
*) Chng minh: Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b)
=> a = md ; b = nd vi m, n
Z
+
; (m, n) = 1 (*)
T (*) => ab = mnd
2
; [a, b] = mnd
Vy (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd
2
= ab => ab = (a, b).[a, b] (**)
(pcm)
I
II
II
II
I
Bài tập vận dụng
Bài tập vận dụngBài tập vận dụng
Bài tập vận dụng
Bi toỏn 1 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit [a, b] = 240 v (a, b) = 16.
Li gii :
Do vai trũ ca a, b l nh nhau, khụng mt tớnh tng quỏt, gi s a b.
Do (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m n) vi m, n thuc Z
+
; (m, n) = 1.
Theo nh ngha BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15
=> m = 1 , n = 15 hoc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoc a = 48, b = 80.
Chỳ ý : Ta cú th ỏp dng cụng thc (**) gii bi toỏn ny : ab = (a, b).[a,
b] => mn.16
2
= 240.16 suy ra mn = 15. T ú tỡm c a, b ?
Bi toỏn 2 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6.
Li gii : Lp lun nh bi 1, do vai trũ ca a, b l nh nhau, khụng mt tớnh
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
N¨m häc
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o
¸
¸¸
¸n
nn
n
B
BB
Bå
åå
åi
ii
i
d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n
S
SS
Sè
èè
è
h
hh
hä
ää
äc
cc
c
t
ổ
ng q
u
á
t, gi
ả
s
ử
a
≤
b.
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 mn = 6 m = 1, n = 6 hoặc m =
2, n = 3 a = 6, b = 36 hoặc a = 12, b = 18.
Bài toán 3 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60.
Lời giải :
Từ (**) => (a, b) = ab:[a, b] = 180:60 = 3.
Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2.
Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15.
Chú ý : Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN :
Theo (*) ta có ab = mnd
2
= 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3.
Bài toán 4 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5.
Lời giải :
Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1.
Vì vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 m = 13 và n = 5
hay a = 65 và b = 25.
Chú ý : Phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản do (m, n) = 1.
Bài toán 5 : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140.
Lời giải : Đặt (a, b) = d. Vì a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d.
Ta có [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35.
Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16.
Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b.
Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì vậy : a + b = 128 16(m + n) = 128 m + n = 8
m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80
Bài toán 7 : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1.
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n.
Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d là ước chung của 42 và 72 => d
∈
{1 ; 2 ; 3 ; 6}.
Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có
trường hợp d = 6 => m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (thỏa
mãn các điều kiện của m, n). Vậy d = 6 => a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24
Bài toán 8 : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140.
Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z
+
; (m, n) = 1.
Do đó : a - b = d(m - n) = 7 (1)
[a, b] = mnd = 140 (2)
=> d là ước chung của 7 và 140 => d
∈
{1 ; 7}.
Thay lần lượt các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy
nhất : d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
Vậy a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 .
Bài toán 9 :
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Chứng minh rằng phân số sau tối giản
12n 13
(n là số nguyên)
30n 32
+
+
Li gii :
a) Cách 1: Kí hiệu (a , b) là ƯCLN của a và b, ta chứng minh
(a , b) = (b, a - b); áp dụng ta có:
(30n 32,12n 13) (18n 19,12n 13) (6n 6,12n 13)
(6n 6,6n 7) (6n 6,1) 1
+ + = + + = + +
= + + = + =
Vậy phân số đã cho tối giản
Cách 2: Gọi d = ƯCLN (12n + 13 ; 30n + 32) với
d N, d 1
=> 12n + 13
d
và 30n + 32
d
hay 5(12n +13)
d
và 2(30n + 32)
d
Hay 60n + 65
d
và 60n + 64
d
. Do đó (60n + 65) - (60n + 64)
d
Hay 1
d
d = 1. Vậy phân số đã cho tối giản
IV.
Hớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà
Hớng dẫn về nhà
Bi tp v nh:
Bi 1:Chng minh rng tớch cỏc c ca 50 l 50
3
Hng dn:
50 = 2.5
2
=> 50 cú 6 c l:1, 2, 5, 10, 25, 50
Tớch cỏc c ca 50 l:1.2.5.10.25.50 = (1.50).(2.25).(5.10) = 50
3
Bi 2: Cho a l mt hp s, khi phõn tớch ra tha s nguyờn t ch cha hai
tha s nguyờn t khỏc nhau l
1
p
v
2
p
. Bit a
3
cú tt c 40 c, hi a
2
cú
bao nhiờu c ?
Hng dn: a =
3 3 3
1 2 1 2
. .
m n m n
p p a p p
=
S c ca a l: (3m + 1) (3n + 1) = 40
=> m =1 ; n = 3 (hoc m = 3 ; n = 1)
S
2 2 2
1 2
.
m n
a p p
=
cú s c l (2m + 1) (2n + 1) = 3.7 = 21 (c)
Bi 3: Mt trng cú 1015 hc sinh, cn phi xp vo mi hng bao nhiờu hc
sinh s hc sinh mi hng l nh nhau v khụng quỏ 40 hng nhng cng
khụng ớt hn 10 hng
Hng dn:
Gi x l s hng xp c.Theo bi 1025
x v 10
40
x
hay x
(1015) v
10
40
x
(1015)=
{
}
1;5;7;29;35;145;203;1015
, m 10
40
x
=> x
{
}
29;35
Vy:
+ Nu xp 29 hng thỡ mi hng cú 1025 : 29 = 35 (hs)
+ Nu xp 35 hng thỡ mi hng cú 1015 : 35 = 29 (hs)
Bi 4: Tỡm s t nhiờn x, bit rng trong ba s 36; 45 v x thỡ bt c s no
cng l c ca tớch hai s kia
Hng dn:
Ta cú 36x
45 => 4x
5 => x
5
vỡ (4,5) = 1
45x
36 => 5x
4 => => x
4
vỡ (4,5) = 1
Do ú x
20. t x = 20 a (a = 1;2;3;.)
Ta cú 36.45
x hay 36.45
(20a)
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
N¨m häc
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o
¸
¸¸
¸n
nn
n
B
BB
Bå
åå
åi
ii
i
d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n
S
SS
Sè
èè
è
h
hh
hä
ää
äc
cc
c
Do đó 81
a
a
⇔ ∈
Ư (81)
Vậy a
{
}
1;3;9;27;81
∈
=> x
{
}
20;60;180;540;1620
∈
Bài 5: Cho a và b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau :
a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n
∈
N). Tìm (a , b) = ? (ước chung lớn nhất của a và b)
Hướng dẫn :
Theo bài, ta có (4n+3, 5n+1) = d với d
≠
1
Suy ra (4n+3)
d =>5(4n+3)
d
(5n+1)
d =>4(5n+1)
d
Vậy
(
)
(
)
5 4 3 4 5 1
n n d
+ − +
hay 11
d , mà d
≠
1 nên d = 11. Do đó (a,b) = 11
Bài 6: Tìm hai số a và b, biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27
Hướng dẫn:
Giả sử a
≤
b. Vì ƯCLN(a,b)=27 nên a = 27m; b=27n
Trong đó (m, n) = 1 và m
≤
n
Ta có a.b = 27m.27n = 8748 => m.n =12. Chọn cặp số m, n nguyên tố cùng
nhau có tích là 12 và m
≤
n, ta được
m n a b
1
12
27
324
3 4 81 108
Bài 7: Tìm số tự nhiên a, biết a chia cho 12; 18; 21 đều dư 5 và a xấp xỉ 1000
Hướng dẫn:
a - 5
∈
BC(12,18,21)
BCNN(12,18,21) = 252.Vậy a – 5 = 252.k (k
∈
N
*
) => a = 252k + 5
Với k = 4 thì a =1023 thỏa mãn đề bài
Bài 8:Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a, sao cho khi chia số đó cho 2;3;4; 5;7đều dư 1
Hướng dẫn:
a -1 là BCNN(2;3;4;5;7) = 420 => a = 421
Bài 9: Biết ƯCLN của hai số là 45. Số lớn là 270. Tìm số nhỏ ?
Hướng dẫn:
Gọi số lớn là a, số nhỏ là b
Vì (a, b) = 45 => a = 45m ;b = 45n, với (m, n) = 1 và m > n
Ta có 45m = 270 => m = 6
Vậy n
{
}
1;5
∈
. Do đó b
{
}
45;225
∈
Bài 10: Tìm ƯCLN của 5n+6 và 8n+7 (với n
)
N
∈
Hướng dẫn:
Gọi x là ƯCLN của 5n+6 và 8n+7 (với n
)
N
∈
Ta có (5n +6)
x và (8n+7)
x
=> 8(5n +6)
x và 5 (8n+7)
x
=> (40n+48)
x và (40n+35)
x
=> [(40 n+48) -(40 n+35) ]
x
=> 13
x => x
∈
Ư( 13 ) => x =1 hoặc x = 13
Bài 11: Cho biết a + 4b là bội của 13 (a, b
N
∈
).
Chứng minh rằng:10a + b là bội của 13
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
Hướng dẫn:
Đặt a + 4b = x ; 10a + b = y
Xét 4y – x = 4(10a+b) - (a+4b) = 40a + 4b – a - 4b = 39a => 4y - x là bội của
13. Do x là bội của 13 và (4;13) = 1 => y là bội của 13
Bài 12:
Cho C = 1 + 3 + 3
2
+ 3
3
+ … + 3
11
. Chứng minh rằng :
a) C
13 b) C
40
Hướng dẫn:
a) C =(1+3+3
2
)+(3
3
+3
4
+3
5
)+….+(3
9
+3
10
+3
11
)
= (1+3+3
2
)+3
3
(1+3+3
2
)+…+3
9
(1+3+3
2
)=13.(1+3
3
+…+3
9
)
13
b) C = (1+3+3
2
+3
3
)+( 3
4
+3
5
+3
6
+3
7
)+(3
8
+3
9
+3
10
+3
11
)
= ( 1+3+3
2
+3
3
) +3
4
(1+3+3
2
+3
3
) +3
8
(1+3+3
2
+3
3
) = 40( 1+3+3
2
+3
3
)
40
Bµi 13: Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45.
*******************************
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Năm học
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
iá
áá
áo
oo
o
á
áá
án
nn
n
B
BB
Bồ
ồồ
ồi
ii
i
d
dd
d
ỡ
ỡỡ
ỡn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hầ
ầầ
ần
nn
n
S
SS
Số
ốố
ố
h
hh
họ
ọọ
ọc
cc
c
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 11/12/10
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 15/12/10
Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 7
77
7
Tìm chữ số tận cùng
Buổi 1
các phơng pháp tìm chữ số tận cùng
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Giỳp hc sinh ụn tp li nhng kin thc v ly tha vi s m t nhiờn.
Nõng cao cỏc tớnh cht ca ly tha. Qua ú bit cỏch tỡm ra c ch s tn
cựng ca mt ly tha vi nhng s t nhiờn cú ch s tn cựng t 0 n 9; tỡm
hai ch s tn cựng; tỡm ba ch s tn cựng tr lờn
Kĩ năng
-
Rốn k nng ỏp dng cỏc tớnh cht ca ly tha tỡm ch s tn cựng
Thái độ
- Giỳp hc sinh rốn luyn t duy, thao tỏc chớnh xỏc, tớnh cn thn trong
lm toỏn v lu tha.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-
GV:
-
HS:
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
-
HS1:
Nhắc lại định nghĩa về lũy thừa với số mũ tự nhiên ?
- HS2:
Viết các công thức về lũy thừa ?
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
1. ễn tp v b tỳc v ly tha vi s m t nhiờn:
nh ngha:
=
n
n thừa số a
a a.a a
( n
N*)
Quy c : a
o
= 1 (a
0) ; a
1
= a
Nhõn hai ly tha cựng c s:
+
=
m n m n
a .a a
Chia hai ly tha cựng c s:
m n m n
a : a a (a 0;m n)
=
Ly tha mt tớch : (a.b)
n
= a
n
. b
n
Ly tha ca mt ly tha: (a
m
)
n
= a
m.n
Ly tha tng :
n
m
a
=
n
(m )
a
2. Tỡm mt ch s tn cựng ca mt ly tha:
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
a) Tính chất 1:
- Các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0;1;5;6 khi nâng lên lũy thừa bất kì (
≠
0)
thì giữ nguyên chữ số tận cùng của nó. GV cho HS tính các lũy thừa sau (sử
dụng máy tính để kiểm nghiệm)
2 3 4
2 2 3
2 2 4
2 3 4
10 0;10 0;10 0;
11 1;11 1;11 1;
15 5;15 5;15 5;
16 6;16 6;16 6;
= = =
= = =
= = =
= = =
- Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận
cùng vẫn không thay đổi.
- Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn thì chữ số tận
cùng là 1 hoặc 6
- Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n
∈
N
*
) thì
chữ số tận cùng là 1. (Cho học sinh tính để kiểm nghiệm)
3
4
=…1 ; 3
8
= …1; 3
12
= …1
7
4
= …1; 7
8
= …1 ; 7
12
= …1
9
4
= …1 ; 9
8
= …1 ; 9
12
= …1
- Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n
∈
N
*
) thì
chữ số tận cùng là 6. (Cho học sinh tính để kiểm nghiệm)
2
4
= …6 ; 2
8
= …6 ; 2
12
= …6
4
4
=…6 ; 4
8
= …6 ; 4
12
= …6
8
4
= …6; 8
8
= …6; 8
12
= …6
- Một số chính phương thì không có chữ số tận cùng là 2; 3; 7; 8
=> Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x = a
m
, trước hết ta xác định chữ
số tận cùng của a.
+) Nếu chữ số tận cùng của a là 0; 1; 5; 6 thì x = a
m
cũng có chữ số tận cùng
là 0; 1; 5; 6.
+) Nếu chữ số tận cùng của a là 3; 7; 9 vì a
m
= a
4n + r
= a
4n
.a
r
với r = 0, 1, 2; 3
nên từ tính chất trên => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của
a
r
.
+) Nếu chữ số tận cùng của a là 2; 4; 8 , cũng như trường hợp trên, cũng từ
tính chất trên => chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6.a
r
.
*) Bài 1:
Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
a) 156
7
b) 1061
9
c) 156
7
+ 1061
9
d) 156
7
.1061
9
Hướng dẫn:
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
N¨m häc
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o
¸
¸¸
¸n
nn
n
B
BB
Bå
åå
åi
ii
i
d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n
S
SS
Sè
èè
è
h
hh
hä
ää
äc
cc
c
a) 156
7
có chữ số tận cùng là 6
b) 1061
9
có chữ số tận cùng là 1
c) Theo câu a) và b)
⇒
Chữ số tận cùng của :156
7
+ 1061
9
là 7
d) Theo kết quả câu a) và b)
⇒
Chữ số tận cùng của :156
7
.1061
9
là 6.
*) Bài 2: Tìm các chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
a)
7
6
5
345
b)
41
789
c) 87
32
d) 87
32
+ 789
41
Hướng dẫn:
a) Số 345 có tận cùng là 5, nâng lên lũy thừa bất kì( khác 0) có chữ số tận cùng
là 5.
b) Có: 789
41
= 789
4.10
.789 = (…1).789 = …9
c) Có: 87
32
= 87
4.8
=…1
d) Từ kết quả câu b) và c) có chữ số tận cùng của tổng
87
32
+ 789
41
= (…1) +(…9) = …0
*) Bài 3: Chứng tỏ rằng tổng sau không chia hết cho 10
A = 405
n
+ 2
405
+ m
2
( n, m
∈
N , n khác 0)
405 = … 5
2
405
= 2
404
. 2 = 2
4.101
. 2 = (…6).2 = … 2
m
2
(số chính phương ) có chữ số tận cùng khác 3
Vậy A có chữ số tận cùng khác 0 nên A không chia hết cho 10
*) Bài 4: Tính :
P = 2.2
2
. 2
3
. 2
10
.5
2
. 5
4
. 5
6
… 5
14
có bao nhiêu chữ số 0 ?
2.2
2
.2
3
…2
10
= 2
1 + 2 + 3 + … + 10
= 2
55
5
2
.5
4
.5
6
…5
14
= 5
2 + 4 + 6+ … + 14
= 5
56
A = 2
55
.5
56
= 2
55
.5
55
. 5 = 10
55
. 5
Vậy A có chữ số tận cùng bằng 55 chữ số 0
*) Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số :
a)
9
9
7
b)
14
14
14
c)
67
5
4
Lời giải :
a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 9
9
cho 4 :
9
9
– 1
9
= (9 - 1)(9
8
+ 9
7
+ … + 9 + 1) chia hết cho 4
=> 9
9
= 4k + 1 (k thuộc N) =>
9
9
7
= 7
4k + 1
= 7
4k
.7
Do 7
4k
có chữ số tận cùng là 1
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
=>
9
9
7
có chữ số tận cùng là 7.
b) Dễ thấy 14
14
= 196. 14
2
= 4k (k thuộc N)
=>
14
14
14
= 14
4k
có chữ số tận cùng là 6.
c) Ta có 5
67
– 1
67
chia hết cho 4 => 5
67
= 4k + 1 (k thuộc N)
=>
67
5
4
= 4
4k + 1
= 4
4k
.4
4
4k
có chữ số tận cùng là 6 nên
67
5
4
có chữ số tận cùng là 4.
b) Tính chất 2:
- Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thì chữ số
tận cùng vẫn không thay đổi.
- Chú ý: Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách
tính tổng các chữ số tận cùng của từng lũy thừa trong tổng.
*) Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của tổng S = 2
1
+ 3
5
+ 4
9
+ … + 2004
8009
.
Lời giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong S đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 1 (các lũy
thừa đều có dạng n
4(n - 2) + 1
, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong S và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận
cùng giống nhau. Như vậy, tổng S có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của
tổng : (2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4
= 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009.
Vậy chữ số tận cùng của tổng S là 9.
c) Tính chất 3:
a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 7 ; số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có
chữ số tận cùng là 3.
b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có chữ số tận
cùng là 8 ; số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ có
chữ số tận cùng là 2.
c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n + 3
sẽ không thay đổi chữ số tận cùng.
*) Bài 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng T = 2
3
+ 3
7
+ 4
11
+ … + 2004
8011
.
Lời giải :
Nhận xét : Mọi lũy thừa trong T đều có số mũ khi chia cho 4 thì dư 3 (các lũy
thừa đều có dạng n
4(n - 2) + 3
, n thuộc {2, 3, …, 2004}).
Theo tính chất 3 thì 2
3
có chữ số tận cùng là 8 ; 3
7
có chữ số tận cùng là 7 ; 4
11
có chữ số tận cùng là 4 ; …
Như vậy, tổng T có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng :
(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8
+ 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019.
Vậy chữ số tận cùng của tổng T là 9.
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
N¨m häc
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o
¸
¸¸
¸n
nn
n
B
BB
Bå
åå
åi
ii
i
d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n
S
SS
Sè
èè
è
h
hh
hä
ää
äc
cc
c
3. Tìm hai chữ số tận cùng
- Để tìm hai chữ số tận cùng ta cần chú ý đến những số đặc biệt
+) Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0)
cũng có tận cùng bằng 01; 25; 76
+) Các số
20 5 4 2 2
3 ;81 ;7 ;51 ;99
có tận cùng bằng 01
+) Các số
20 5 4 2 4 2
2 ;6 ;18 ;24 ;68 ;74
có tận cùng bằng 76
+) Số
n
26 (n 1)
>
có tận cùng bằng 76
*) Bài 8: Tìm hai chữ số tận cùng của
1991
7
Hướng dẫn:
(
)
( ) ( )
497
497
1991 1988 3 4
7 7 .7 7 .343 01 .343 01 .343 43
= = = = =
Vậy hai chữ số tận cùng của
1991
7
là 43
4. Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
- Để tìm ba chữ số tận cùng ta cũng cần chú ý đến những số đặc biệt
+) Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0)
cũng có tận cùng bằng 001; 376; 625
+) Các số có tận cùng bằng 0625 khi nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng có
tận cùng bằng 0625
*) Bài 9: Tìm bốn chữ số tận cùng của
1992
5
Hướng dẫn:
(
)
( )
498
498
1992 4
5 5 0625 0625
= = =
V
ậy bốn chữ số tận c
ùng c
ủa
1992
5
là 0625
IV.
H−íng dÉn vÒ nhµ
H−íng dÉn vÒ nhµH−íng dÉn vÒ nhµ
H−íng dÉn vÒ nhµ
*) Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của:
a) 71
30
; b) 26
35
; c) 86
33
d) 71
30
+ 26
35
;
7
6
5
e)2 31
; f)
5
7
6
4 25
g) 71
30
+ 26
35
; h ) 86
33
.71
30
; i)
7
6
5
23 1
+
5
7
6
425
*) Bài 2:
Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa tầng sau:
7
6
5
234
;
5
7
6
579
*) Bài 3:
Cho S = 1 + 3
1
+ 3
2
+ 3
3
+ …+ 3
30
.
Tìm chữ số tận cùng của S.
*) Bài 4:
Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:
74
30
; 49
31
;87
31
; 58
33
; 23
35
*) Bài 5:
Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10
a) 51
n
+ 47
102
(n
∈
N) b) 405
n
+ 2
405
+ 17
37
(n
∈
N)
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 12/12/10
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 17/12/10
Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 7
77
7
Tìm chữ số tận cùng
Buổi 2
Luyện tập
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Giỳp hc sinh ụn tp li nhng kin thc v ly tha vi s m t nhiờn.
Nõng cao cỏc tớnh cht ca ly tha. Qua ú bit cỏch tỡm ra c ch s tn
cựng ca mt ly tha vi nhng s t nhiờn cú ch s tn cựng t 0 n 9; tỡm
hai ch s tn cựng; tỡm ba ch s tn cựng tr lờn
Kĩ năng
-
Rốn k nng ỏp dng cỏc tớnh cht ca ly tha tỡm ch s tn cựng
Thái độ
- Giỳp hc sinh rốn luyn t duy, thao tỏc chớnh xỏc, tớnh cn thn trong
lm toỏn v lu tha.
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-
GV:
-
HS:
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chức Tổ chức
Tổ chức
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
-
HS1:
Giải bài tập 1a đã cho ở buổi học trớc
-
HS2:
Giải bài tập 1d đã cho ở buổi học trớc
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
*) Bi 1: Chng minh rng
102 102
8 2
chia ht cho 10
Hng dn: S dng tớnh cht, mt s cú tn cựng bng 6 khi nõng lờn ly tha
no (khỏc 0) cng cú tn cựng bng 6
Ta cú:
(
)
( ) ( )
25
25
102 4 2
8 8 .8 6 .64 6 .64 4
= = = =
(
)
( ) ( )
25
25
102 4 2
2 2 .2 16 .4 6 .4 4
= = = =
Vy
102 102
8 2
cú tn cựng bng 0 nờn chia ht cho 10
*) Bi 2: Chng t rng
5 4 21
17 24 13
+
chia ht cho 10
Hng dn:
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
N¨m häc
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o
¸
¸¸
¸n
nn
n
B
BB
Bå
åå
åi
ii
i
d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n
S
SS
Sè
èè
è
h
hh
hä
ää
äc
cc
c
IV.
H−íng dÉn vÒ nhµ
H−íng dÉn vÒ nhµH−íng dÉn vÒ nhµ
H−íng dÉn vÒ nhµ
*******************************
Trờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng
Trờng THCS Hồng Hng
Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
Ngày soạn
Ngày soạn Ngày soạn
Ngày soạn
: 17/11/11
Ngày dạy
Ngày dạy Ngày dạy
Ngày dạy
: 22/11/11
Chủ đề
Chủ đề Chủ đề
Chủ đề 5
55
5
số chính phơng
Buổi 1
chứng minh một số là số
chính phơng
A/Mục tiêu
Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc :
Kiến thức
- Hệ thống cho học sinh định nghĩa và tính chất về số chính phơng
- Học sinh biết cách chứng minh một số là số chính phơng hoặc một số
không là số chính phơng
Kĩ năng
- Rèn kĩ năng áp dụng kiến thức giải bài tập;khả năng t duy, sáng tạo
- Kĩ năng nhận dạng một số là số chính phơng
Thái độ
- Học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức
B/Chuẩn bị của thầy và trò
-
GV:
-
HS:
C/Tiến trình bài dạy
I.
Tổ chức
Tổ chứcTổ chức
Tổ chức
-
-
sĩ số
sĩ sốsĩ số
sĩ số
II.
Kiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ
Kiểm tra bài cũ
III.
Bài mới
Bài mớiBài mới
Bài mới
Phng phỏp 1: Da vo nh ngha
- S chớnh phng l s bng bỡnh phng ca mt s t nhiờn (hoc s
nguyờn)
- VD: Mi s chớnh phng u tiờn l: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81
Bi toỏn 1 : Chng minh vi mi s t nhiờn n thỡ a
n
= n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +
1 l s chớnh phng.
Li gii : Ta cú :
a
n
= n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1
= (n
2
+ 3n) (n
2
+ 3n + 2) + 1
= (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n
2
+ 3n) + 1
= (n
2
+ 3n + 1)
2
Vi n l s t nhiờn thỡ n
2
+ 3n + 1 cng l s t nhiờn, theo nh ngha, a
n
l s
chớnh phng.
Bi toỏn 2 : Chng minh s : l s chớnh phng.
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
N¨m häc
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o
¸
¸¸
¸n
nn
n
B
BB
Bå
åå
åi
ii
i
d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n
S
SS
Sè
èè
è
h
hh
hä
ää
äc
cc
c
Chú ý: Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một
chính phương ta nên đặt
n
11 1 a
=
và như vậy
n
n
99 9 1 10 9a 1
+ = = +
Lời giải :
Ta có :
Vậy : là số chính phương.
Bài toán 3 : Cho A =
2n
n
11 1 88 8 1
− +
. Chứng minh A là một số chính phương
Hướng dẫn:
n n n
n
A 11 100 0 11 1 8.11 1 1
= + − +
Đặt
n
11 1
= a thì
n
99 9 9a
=
do đó
n
n
99 9 1 10 9a 1
+ = = +
Ta có: A =
( )
2
n 2
a.10 a 8a 1 a(9a 1) a 8a 1 9a 6a 1 3a 1
+ − + = + + − + = − + = −
Vậy A =
2
n 1
33 32
−
là một số chính phương
Bài toán 4 : Cho M =
n
n
11 155 5 1
+
. Chứng minh M là một số chính phương
Hướng dẫn: Đặt
n
11 1
= a =>
n
10 9a 1
= +
M =
n 2 2
n 1
a.10 5a 1 a(9a 1) 5a 1 (3a 1) 33 34
−
+ + = + + + = + =
Bài toán 5 : Chứng minh các số sau là số chính phương
a) M =
2n
n
11 1 44 4 1 (n N)
+ + ∈
b) N =
2n n 1
n
11 1 11 1 66 6 8 (n N)
+
+ + + ∈
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiÖu
Hướng dẫn: Đặt
n
11 1
= a =>
n
10 9a 1
= +
a) M =
n 2 2
n 1
a.10 a 4a 1 a(9a 1) 5a 1 (3a 1) 33 34
−
+ + + = + + + = + =
b) N =
( )
2
n 2
n 1
a.10 a 10a 1 6a 8 a(9a 1) 17a 9 3a 3 33 36
−
+ + + + + = + + + = + =
Phương pháp 2: Dựa vào tính chất
a) Tính chất:
- Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể tận cùng
bằng 2, 3, 7, 8
- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số
nguyên tố với số mũ chẵn
Giả sử N = k
2
và k = a
x
b
y
c
z
(a, b, c là số nguyên tố) thì
N = (a
x
b
y
c
z
)
2
= a
2x
b
2y
c
2z
, suy ra:
+ Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4
+ Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9
+ Số chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25
+ Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16
+ Tổng quát: Số chính phương N chia hết cho
2k 1
p
+
thì N phải chia hết cho
2k 2
p
+
(p là số nguyên tố, k
N
∈
)
- Số lượng các ước của một số chính phương là số lẻ. Đảo lại, một số có số
lượng các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương. Thật vậy:
N = a
x
b
y
c
z
thì số ước số của nó bằng (x+1)(y+1)(z+1)
+ Nếu N là số chính phương thì x, y, z chẵn nên x+1, y+1, z+1 lẻ, do đó
số ước số của N là số lẻ.
+ Nếu số ước số của N là số lẻ thì (x+1) (y+1) (z+1) lẻ nên các thừa số
x+1, y+1, z+1 đều lẻ, suy ra x, y, z, chẵn.
Đặt x = 2m, y = 2n, z = 2p (m, n, p
∈
N) thì N = a
2m
b
2n
c
2p
= (a
m
b
n
c
p
)
2
nên
N là số chính phương.
- Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Thật vậy:
2 2
(3k) 9k
=
chia hết cho 3
2 2
(3k 1) 9k 6k 1
+ = + +
chia cho 3 dư 1
2 2
(3k 2) 9k 12k 4
+ = + +
chia cho 3 dư 1
- Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1
- Số chính phương chia cho 5 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 hoặc 4
- Số chính phương lẻ chia cho 4 hoặc chia cho 8 đều dư 1
- Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào
2 2 2
n x (n 1)
< < +
=> x
2
không là số chính phương
2 2 2 2 2
n x (n 2) x (n 1)
< < + => = +
là số chính phương
Tr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ngTr−êng THCS Hång H−ng
Tr−êng THCS Hång H−ng
N¨m häc
2011
-
2012
G
GG
Gi
ii
i¸
¸¸
¸o
oo
o
¸
¸¸
¸n
nn
n
B
BB
Bå
åå
åi
ii
i
d
dd
d−
−−
−ì
ìì
ìn
nn
ng
gg
g
H
HH
HS
SS
SG
GG
G
P
PP
Ph
hh
hÇ
ÇÇ
Çn
nn
n
S
SS
Sè
èè
è
h
hh
hä
ää
äc
cc
c
- Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính
phương thì mỗi số a và b là một số chính phương.
*) Chú ý: Để chứng minh N không là số chính phương ta có thể:
- Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8 hoặc có một số lẻ chữ số 0 tận
cùng
- Chứng minh N chứa số nguyên tố với số mũ lẻ
- Xét số dư khi N chia cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5, cho 8 , …
- Chứng minh N nằm giữa hai số chính phương liên tiếp.
b) Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m
2
+ m = 4n
2
+ n
thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.
Lời giải :
Ta có : 3m
2
+ m = 4n
2
+ n 4(m
2
- n
2
) + (m - n) = m
2
(m - n)(4m + 4n + 1) = m
2
(*)
Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì
[(4m + 4n + 1) + 4(m - n)]
d => 8m + 1
d.
Mặt khác, từ (*) ta có : m
2
chia hết cho d
2
=> m chia hết cho d.
Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1
d => d = 1.
Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*)
nên chúng đều là các số chính phương.
Bài 2: Tìm số nguyên tố
ab
(a > b > 0) sao cho
ab ba
−
là số chính phương
Hướng dẫn:
2
ab ba 9(a b) 3 (a b)
− = − = −
Do
ab ba
−
là số chính phương nên a – b là số chính phương
Ta thấy
1 a b 8
≤ − ≤
nên a – b
{
}
1;4
∈
Với a – b = 1 thì
{
}
ab 21;32;43;54;65;76;87;98
∈
nhưng
ab
là số nguyên tố nên
ab 43
=
Tương tự a – b = 4 ta được
ab 73
=
Vậy
ab
bằng 43 hoặc 73. Khi đó: 43 – 34 = 3
2
; 73 – 37 = 6
2
Bài 3: Các tổng sau có là số chính phương hay không ?
a) A =
2 3 20
3 3 3 3
+ + + +
b) B =
2 3
11 11 11
+ +
c) C =
10
10 8
+
d) D =
100! 7
+
e) E =
10
10 5
+
f) F =
100 50
10 10 1
+ +
Hướng dẫn:
a) Tính được A =
21
3 3
5230176600
2
−
=
chia hết cho 3 nhưng chia cho 9 dư 3
nên không là số chính phương
