skkn sáng tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có

Phần I- Đặt vấn đề
Trong chơng trình các môn học ở tiểu học, môn Toán chiếm số giờ
rất lớn. Việc nâng cao hiệu quả dạy và học môn Toán là một yêu cầu
bức xúc hiện nay.
Các bài toán trong sách giáo khoa Toán và vở bài tập Toán in sẵn ở
tiểu học nói chung đã đợc chọn lọc, sắp xếp một cách có hệ thống, phù
hợp với trình độ kiến thức và năng lực của học sinh, đã phản ánh đợc
thực tiễn đời sống, lao động, sinh hoạt và học tập của các em, phù hợp
với tâm lí của học sinh. Tuy vậy, khi dạy Toán, giáo viên vẫn cần phải
nghiên cứu rõ vị trí, tác dụng của từng bài toán trong mỗi bài học, trong
mỗi phần của chơng trình để vận dụng vào giảng dạy cho hợp lí. Mặt
khác, mỗi trờng, mỗi lớp lại có những đặc điểm riêng, có hoàn cảnh
riêng cho nên nhiều giáo viên lại phải soạn thêm các bài toán mới để
nâng cao chất lợng giáo dục và giáo dỡng của của bài dạy, làm cho nội
dung các bài toán phong phú hơn, phù hợp hơn với thực tiễn giảng dạy
của mình.
Thực tế giảng dạy đã chứng tỏ rằng: Nếu chỉ sử dụng các bài toán
đã nêu trong sách giáo khoa và vở bài tập thì cha thể dạy Toán tốt đợc.
Các giáo viên giỏi đều là những ngời có khả năng sáng tác nhanh những
đề toán mới phù hợp với yêu cầu của chơng trình, vừa kích thích đợc
tinh thần chủ động học tập của học sinh.
Hơn thế nữa, vấn đề biết tự đặt ra các đề toán mới theo những yêu
cầu nào đó lại còn là một trong những nội dung mà mỗi học sinh tiểu
học đều phải rèn luyện. Việc này giúp các em nắm vững đợc ba yếu tố
cơ bản của bài toán (cái đã cho, cái phải tìm và các mối quan hệ), nhờ
1
đó mà nhận thức đợc cấu trúc toán học của bài toán. Chẳng những thế,
nó còn chứa đựng một ý nghĩa sâu xa hơn: Giúp học sinh phát triển t
duy độc lập, sáng tạo, tập dợt để sử dụng Toán học vào việc giải quyết
các vấn đề thờng gặp trong thực tiễn cuộc sống, tạo điều kiện gắn Toán
học với đời sống thực tiễn theo khả năng của mình.

Vì thế, để có thể dạy tốt môn Toán cho các em học sinh, mỗi giáo
viên tiểu học đều phải có ý thức tự rèn luyện khả năng sáng tác đề toán.
Việc tự rèn luyện này sẽ giúp nâng cao tiềm lực của mỗi giáo viên, giúp
chúng ta cảm thấy vững vàng và tự tin hơn trong lúc đứng trên bục
giảng.
Đối với các giáo viên làm công tác quản lí, năng lực sáng tác đề
toán sẽ giúp chúng ta giữ kín đợc bí mật của các đề thi, đề kiểm tra. Bởi
vì các đề thi, đề kiểm tra tự sáng tác không nằm trong bất cứ một cuốn
sách nào.
Thực tế giảng dạy nhiều năm qua của tôi cho thấy, khi có một bài
toán nào đó mà tôi lại sáng tác thêm nhiều bài toán khác có liên quan thì
học sinh sẽ nắm đợc bản chất của bài toán gốc một cách rõ ràng hơn,
các em có hứng thú và say mê học toán hơn. Kết quả dạy và học môn
Toán đợc nâng lên rõ rệt khi cả cô và trò đều rèn luyện cách đặt những
đề toán mới.
Chính vì vậy, tôi mạnh dạn chọn đề tài: " Sáng tác các bài toán
mới trên cơ sở bài toán đã có", với mong muốn góp chút kinh nghiệm
nhỏ bé của mình vào việc giảng dạy, bồi dỡng, kiểm tra môn Toán cho
học sinh tiểu học đạt đợc hiệu quả cao hơn.
2
Phần II- Giải quyết vấn đề
A- Những vấn đề cần giải quyết.
Kinh nghiệm " Sáng tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có"
tập trung vào giải quyết các vấn đề sau:
1. Tìm hiểu những yêu cầu của một bài toán.
2. Một số cách sáng tác những bài toán mới trên cơ sở bài toán đã
có.
Vấn đề cần giải quyết ở đây là ngời giáo viên phải nắm chắc những
yêu cầu tối thiểu của một bài toán và căn cứ vào bài toán đã có để sáng
tác những bài toán mới phù hợp với trình độ của học sinh lớp mình, từ

đó giúp các em học môn Toán tốt hơn.
B- Biện pháp giải quyết.
I- Tìm hiểu những yêu cầu của một bài toán.
Khi sáng tác một đề toán, chúng ta cần phải lu ý đến những yêu
cầu sau:
1. Nội dung của bài toán phải đáp ứng đợc mục đích, yêu cầu của
bài dạy.
Các bài toán có tác dụng củng cố những kiến thức học sinh đã học,
hoặc rèn luyện kĩ năng, áp dụng một quy tắc, một kiến thức mới học,
hoặc để xây dựng một khái niệm mới. Các bài toán đó phải phục vụ cho
mục đích, yêu cầu của bài dạy. Do đó khi sáng tác đề toán, giáo viên
phải lựa chọn những vấn đề phục vụ thiết thực cho yêu cầu giảng dạy
môn Toán nói chung, yêu cầu của từng chơng, từng bài nói riêng.
Ví dụ: Khi dạy bài " 9 cộng với một số: 9+5" (Toán 2), chúng ta cần
nắm vững yêu cầu của bài là: học sinh phải nắm đợc biện pháp cộng 9
với các số 2, 3, 4, , 9 và thuộc đ ợc bảng "9 cộng với một số" (qua 10).
3
Do đó nếu muốn sáng tác thêm các đề toán thì chúng ta đi sâu vào
yêu cầu này: phải làm sao để có nhiều phép tính dạng "9 cộng với một
số" (qua 10) trong các bài toán. Chẳng hạn:
a) Nếu muốn sáng tác các bài toán thuộc loại "số học"thì ta hãy
chọn các phép tính hoặc dãy tính kiểu nh sau:
* 9 +7 , 6 + 9 , 9 + 2 , 4 + 9 , .
* 7 + 2 + 4 , 10 - 1 + 8 , 3 + 6 + 6 ,
hoặc yêu cầu học sinh điền số vào bảng sau:
Số bị trừ 15 Số hạng 9 7 8
Số trừ 9 6 7 9 Số hạng 3 4 9
Hiệu 4 9 2 Tổng 13 17
Rõ ràng việc giải các bài toán nêu trên sẽ giúp học sinh rèn kĩ
năng "9 cộng với một số" (qua 10) và vận dụng bảng " 9 cộng với một

số" (qua 10).
b) Tuy nhiên nếu muốn sáng tác các bài toán thuộc loại "các yếu
tố đại số" thì cần đa các phơng trình và bất đẳng thức, đẳng thức vào,
nhng đừng quên phải có nhiều phép cộng 9 với một số (qua 10) ở trong
đó. Chẳng hạn:
* Tìm x: x - 9 = 6
9 + x = 12
x - 7 = 9
* Điền dấu ( > , < , = ) thích hợp vào ô trống:
9 + 5 17 - 3
7 + 9 20 - 4
10 + 5 9 + 6
c) Ngoài ra nếu muốn sáng tác cácbài toán thuộc loại "đo lờng" thì
cần phải nghĩ cách để có thể cộng các đơn vị đo lờng trong các phép
cộng 9 với một số. Chẳng hạn:

4
* Điền số vào dấu chấm:
6 dm + 9 dm = m dm
1 m 3 dm = 4 dm + dm
* Điền dấu ( > , < , = ) thích hợp vào ô trống:
9 dm + 9 dm 2 m
d) Trong trờng hợp muốn có một đề toán về hình học, chúng ta
hãy tìm cách để lồng các hình hình học nh điểm, đoạn thẳng, hình
vuông, hình tròn, hình tam giác, hình chữ nhật, hình tứ giác vào trong
bảng 9 cộng với một số. Chẳng hạn:
* Vẽ đoạn thẳng dài hơn đoạn thẳng sau 4cm rồi tính độ dài
đoạn thẳng vừa vẽ:
9cm

* Có đoạn thẳng.
Thêm đoạn thẳng
đợc đoạn thẳng
e) Cuối cùng nếu muốn sáng tác một bài toán có lời văn thì cần
tìm cách "toán học hoá" một tình huống thực tế nào đó chứa phép
cộng 9 với một số (qua 10). Chẳng hạn:
* Lan có 5 cái kẹo, Minh có 9 cái kẹo. Hỏi cả hai bạn có bao
nhiêu cái kẹo?
2. Bài toán phải phù hợp với trình độ kiến thức của học sinh.
Khi sáng tác đề toán, giáo viên cần lu ý là: những khái niệm,
những phép tính, những quy tắc đợc đề cập đến trong nội dung hoặc
cách giải bài toán phải là những điều mà các em đã học. Yêu cầu này
5
đòi hỏi giáo viên phải nắm vững chơng trình giảng dạy, tránh tình
trạng cho học sinh làm những bài toán quá sức của các em.
Ví dụ: Nếu trong những tháng 9,10, ta ra cho học sinh lớp Một bài
toán sau thì sẽ vợt quá chơng trình, quá sức của các em:
Có bao nhiêu đoạn thẳng trong hình sau:
Bởi vì hình vẽ trên có đến 11 đoạn thẳng mà trong thời gian này
các em mới chỉ học các số trong phạm vi 10.
Có thể sửa lại đề toán bằng cách thay hình vẽ trên bằng một trong
các hình vẽ sau:
3. Bài toán phải đầy đủ dữ kiện.
Nghĩa là những cái đã cho phải đủ để tìm ra đợc đáp số của bài
toán và nếu bỏ bớt đi một trong những cái đã cho thì sẽ không tìm đợc
đáp số xác định của bài toán.
Ví dụ 1: Bài toán sau là thiếu dữ kiện: " Biết cả trâu và bò có 4
con. Tìm số trâu và số bò?
Bởi vì có thể xảy ra các trờng hợp:
a. Có 3 con trâu và 1 con bò.

b. Có 2 con trâu và 2 con bò.
c. Có 1 con trâu và 3 con bò.
Biết lấy trờng hợp nào là đáp số?
6
Có thể thêm vào dữ kiện sau: " Số trâu nhiều hơn số bò" để có bài
toán: " Cả trâu lẫn bò có 4 con. Biết rằng số trâu nhiều hơn số bò, tính
số con mỗi loại?"
Lúc này các trờng hợp (b) và (c) đều bị loại và ta chọn (a) là đáp
số.
Ví dụ 2: Bài toán sau là thừa dữ kiện: " Nếu Lan cho Minh 5 cái
kẹo, Minh cho Phơng 3 cái kẹo và Phơng lại cho Lan 8 cái kẹo thì mỗi
bạn đều có 9 cái kẹo. Hỏi lúc đầu cả ba bạn có tất cả bao nhiêu cái
kẹo?"
Bởi vì ta có thể tính ngay đợc: "Lúc đầu cả ba bạn có: 9 x 3 = 27
(cái kẹo)" mà không cần đến các dữ kiện về số kẹo các bạn đã cho lẫn
nhau.
Ta có thể bỏ bớt các dữ kiện thừa ấy để có một đề toán gọn hơn
nh sau:
"Cô giáo thởng cho ba bạn Lan, Minh, Phơng mỗi bạn 9 cái kẹo.
Hỏi cô đã thởng cho ba bạn tất cả bao nhiêu cái kẹo?"
4. Câu hỏi của bài toán phải rõ ràng và đầy đủ ý nghĩa.
Với cùng một dữ kiện nh nhau có thể đặt ra những câu hỏi khác
nhau, do đó việc lựa chọn các phép tính để giải bài toán cũng khác
nhau. Vì thế việc hiểu thấu câu hỏi của bài toán là điều kiện căn bản
để giải bài toán.
Do vậy,lúc sáng tác bài toán, ta cần chú ý nêu rõ câu hỏi để cho
học sinh có thể hiểu chính xác ý nghĩa của nó. Nếu không các em sẽ
không thể giải đợc.
Ví dụ: Bài toán sau có câu hỏi không rõ ràng: " Nếu Lan cho Minh
5 cái kẹo, Minh cho Phơng 3 cái kẹo và Phơng lại cho Lan 8 cái kẹo thì

mỗi bạn đều có 9 cái kẹo. Hỏi lúc đầu ba bạn có bao nhiêu cái kẹo?"
7
Bởi vì câu hỏi của bài toán có thể hiểu theo hai nghĩa:
- Hỏi số kẹo của mỗi bạn có lúc đầu?
- Hỏi tổng số kẹo của ba bạn có lúc đầu?
ở mỗi cách hiểu sẽ dẫn đến một cách giải và đáp số khác nhau. Do
đó học sinh sẽ không biết đằng nào mà giải.
ở đây ta có thể sửa câu hỏi cho rõ ràng là: " Hỏi tổng số kẹo có lúc
đầu của mỗi bạn?"
5. Bài toán phải không có mâu thuẫn.
Nghĩa là từ các dữ liệu của bài toán, bằng các cách suy luận khác
nhau không đợc dẫn đến hai kết quả trái ngợc nhau, hoặc trái với ý
nghĩa thực tế của chúng.
Yêu cầu này đòi hỏi ngời giáo viên phải tự giải các bài toán do
mình ra đề một cách cẩn thận, không nên chỉ ớc lợng một cách đại khái
đáp số và cách giải, sẽ dẫn đế sai lầm.
Sau đây là ví dụ về một đề toán chứa mâu thuẫn:
"Cho tam giác vuông ABC có cạnh AB = 3cm, AC = 4cm, BC =
6cm. Tính chiều cao AH".
B
H
A C
ở đây nếu giải bài toán nh sau thì thấy mọi việc đều ổn thoả cả:
Diện tích tam giác ABC là:

2
1
x 3 x 4 = 6 (cm
2
)

8
Chiều cao AH là:
2 x 6 : 6 = 2 (cm)
Tuy nhiên nếu lu ý một chút thì giáo viên thấy ngay là theo định lí
Pitago thì:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
= 3
2
+ 4
2
= 9 + 16 = 25.
Do đó BC phải bằng 5cm chứ không thể tuỳ tiện cho BC là 6cm đ-
ợc.
6. Số liệu của bài toán phải phù hợp với thực tế.
Một trong những tác dụng giáo dục của bài toán là ở chỗ nó phản
ánh đợc thực tế xung quanh, nó làm cho học sinh thấy rõ nguồn gốc và
mục đích thực tế của Toán học. Cho nên khi sáng tác một đề toán cần
phải lấy số liệu cho phù hợp với thực tế để các em thấy đợc lợi ích khi
giải bài toán.
Sau đây là một bài toán không phù hợp với thực tế:
" Trong buổi lao động xây dựng nhà tình nghĩa của lớp 3A, bạn
Mai đợc chọn là ngời lao động xuất sắc nhất. Bạn đã gánh đợc 9 gánh
gạch, mỗi gánh 30 viên. Hỏi Mai đã gánh đợc tất cả bao nhiêu viên
gạch?"
Đề toán trên có mấy điểm không phù hợp với thực tế:

- Học sinh lớp 3 quá nhỏ, không thể tham gia lao động xây nhà đ-
ợc.
- Em Mai là một học sinh nữ lớp 3, không thể gánh đợc 30 viên
gạch.
Vì thế, ta có thể sửa đề toán trên nh sau:
" Tổ em có 9 bạn. Trong phong trào quyên góp để xây dựng nhà
tình nghĩa, mỗi bạn đã ủng hộ đợc 30 nghìn đồng. Hỏi tổ em đã quyên
góp đợc bao nhiêu tiền?"
9
7. Ngôn ngữ của bài toán phải ngắn gọn, mạch lạc.
Ngôn ngữ của bài toán có ảnh hởng không ít đến việc hiểu nội
dung, ý nghĩa của bài toán, đối với quá trình suy nghĩ chọn phép tính để
giải của học sinh. Nhiều trờng hợp chỉ vì không phân biệt đợc ý nghĩa
của một số từ nh "lớn hơn", "tăng lên", "giảm đi", mà học sinh đã
mắc phải những sai lầm đáng tiếc trong suy luận. Cũng nên tránh việc
kể lể dài dòng nhiều sự việc trong đề toán, không cần thiết vì dễ làm cho
học sinh khó tập trung suy nghĩ vào đợc trọng tâm của bài toán.
Sau đây là một đề toán dài dòng, văn chơng lủng củng:
"Để giúp đỡ các bạn học sinh nhiều tỉnh ở miền Nam cũng nh
miền Trung bị thiên tai, bão, áp thấp nhiệt đới, lụt, lũ quét, trong mùa
hè vừa qua, hầu hết các bạn học sinh trờng em đã nhiệt tình thi đua ủng
hộ. Với tinh thần "Lá lành đùm lá rách", lớp 5A đã quyên góp đợc
96.000 đồng, nh thế là lớp này đã quyên góp đợc nhiều hơn lớp 5B là
14.000 đồng và gấp rỡi lớp 5C.
Khối 5 của trờng em chỉ có 3 lớp. Vậy hãy tính xem khối 5 trờng
em đã ủng hộ cho các bạn bị thiên tai tất cả bao nhiêu tiền?"
Một đề toán dài dòng và lủng củng nh vậy là không đạt yêu cầu. ở
đây những nội dung "phi toán" quá nhiều, quá dài dòng đã gây nhiễu
lớn trong đầu óc học sinh, ảnh hởng xấu đến khả năng suy nghĩ của các
em.

Có thể rút gọn đề toán trên nh sau: " Để giúp đỡ các bạn ở những
vùng bị bão lụt, lớp 5A đã quyên góp đợc 96.000 đồng, nhiều hơn lớp
5B 14.000 đồng và gấp rỡi lớp 5C. Hỏi cả ba lớp đã quyên góp đợc bao
nhiêu tiền?"
10
II. Một số cách sáng tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có.
Dựa trên những bài toán có sẵn mà sáng tác các bài toán mới là
một trong những sáng tác đề toán đơn giản nhất, dễ thực hiện nhất.
Sau đây là một số cách mà tôi đã áp dụng trong thực tế giảng dạy.
Đó là:
- Đặt các bài toán mới tơng tự với bài toán đã có.
- Đặt các bài toán mới ngợc lại với bài toán đã có.
- Giải bằng dãy tính bài toán đã cho, rồi dựa vào dãy tính để đặt
các bài toán mới.
- Tóm tắt bài toán bằng bảng kẻ ô rồi dựa vào đó mà đặt ra các bài
toán mới.
1. Đặt các bài toán mới tơng tự với bài toán đã giải.
Sau khi giải xong mỗi bài toán, có thể dựa vào bài toán đó mà nghĩ
ra các bài toán mới tơng tự với bài toán vừa giải. Biết lập đề toán theo
kiểu này là một biện pháp rất tốt để nắm vững cách giải các bài toán
cùng loại, giúp ta nắm vững hơn mối quan hệ giữa các đại lợng và
những quan hệ bản chất trong mỗi loại toán. Nhờ thế mà hiểu bài toán
sâu sắc hơn rất nhiều.
Sau đây là một số cách tự lập đề toán mới tơng tự đề toán đã cho:
1.1. Thay đổi các số liệu đã cho.
Ví dụ 1: Với bài toán lớp Ba: "3 thùng mật ong đựng đợc 27 lít
mật. Hỏi 5 thùng nh thế đựng đợc bao nhiêu lít mật?"; ta có thể sửa số
liệu để có các đề toán mới nh sau:
- 8 thùng mật ong đựng đợc 96 lít mật. Hỏi 15 thùng nh thế thì
đựng đợc bao nhiêu lít mật?

11
- 11 thùng mật ong đựng đợc 99 lít mật. Hỏi 15 thùng nh thế thì
đựng đợc bao nhiêu lít mật?
v.v
Khi thay đổi các số liệu nh trên ta cần lu ý:
- Số lít mật phải chia hết cho số thùng.
- Số lít mật trong mỗi thùng không quá lớn mà cũng đừng quá nhỏ.
- Các phép tính dùng để giải bài toán phải nằm trong chơng trình
lớp 3. Chẳng hạn không nên ra đề toán là: " 25 thùng mật ong thì đựng
đợc 265 lít mật. Hỏi 37 thùng nh thế thì đựng đợc bao nhiêu lít mật?",
bởi vì phép chia 265 : 25 = 11 không thuộc chơng trình lớp 3.
Ví dụ 2: "Cho tam giác ABC. Gọi M và Q là các điểm trên các
cạnh BC và AB sao cho BM =
4
1
BC và AQ =
3
1
AB. Đoạn thẳng AM
cắt CQ ở H. Tính tỉ số
AH
AM
."
Trong bài toán này có hai số liệu quan trọng là
4
1
và
3
1
. Bây giờ

nếu ta thay hai số
4
1
và
3
1
bằng các số
5
1
và
6
1
thì ta có đề toán:
" Cho tam giác ABC. Gọi M và Q là các điểm trên các cạnh BC và
AB sao cho BM =
5
1
BC và AQ =
6
1
AB. Đoạn thẳng AM cắt CQ ở H.
Tính tỉ số
AH
AM
."
Cũng có thể thay đổi tử số 1 của các phân số thành số khác, chẳng
hạn 3 và 5, khi đó bài toán trên trở thành:
12
"Cho tam giác ABC. Gọi M và Q là các điểm trên các cạnh BC và
AB sao cho BM =

5
3
BC và AQ =
6
5
AB. Đoạn thẳng AM cắt CQ ở H.
Tính tỉ số
AH
AM
."
Khi thay đổi các số liệu trong đề toán cần lu ý đến tính hợp lí của
chúng, không phải muốn thay thế nào cũng đợc. Chẳng hạn chỉ có thể
thay các phân số
4
1
và
3
1
trong đề toán ban đầu bằng các phân số bé hơn
1 để đảm bảo điểm M nằm trên cạnh BC và điểm Q nằm trên đoạn AB.
1.2. Thay đổi các đối t ợng trong đề toán.
Ví dụ: Xét bài toán sau: " Lớp 5A có 45 học sinh, lớp 5B có 40 học
sinh. Cả hai lớp đợc nhà trờng phân phối cho 255 quyển vở. Hỏi mỗi lớp
đợc chia bao nhiêu quyển vở?"
Trong bài toán này nếu ta thay đổi các đối tợng lớp 5A và lớp 5B
thành ông Minh và ông Khánh, số học sinh mỗi lớp bằng số tiền vốn
góp, số quyển vở đợc chia thành số tiền lãi thì ta sẽ đợc đề toán sau:
" Ông Minh và ông Khánh hùn vốn làm ăn chung với nhau. Ông
Minh góp 45 triệu đồng,ông Khánh góp 40 triệu đồng. Sau một quý cả
hai ngời thu đợc 25,5 triệu đồng tiền lãi. Hỏi số tiền lãi mà mỗi ngời đợc

hởng là bao nhiêu? ( biết rằng số tiền lãi đợc chia đều trên số vốn góp ).
1.3. Thay đổi các quan hệ trong bài toán.
Ví dụ: Xét bài toán:
"Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mơi sáu con
13
Một trăm chân chẵn
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?"
Trong bài toán trên có một số quan hệ toán học chính nh sau:
-Tổng số gà và chó là 36 con.
- Tổng số chân gà và chân chó là 100.
- Số chân gà gấp đôi số gà.
- Số chân chó gấp 4 số chó.
Thay đổi các quan hệ trong bài toán trên ta có rất nhiều bài toán
mới. Chẳng hạn: Nếu ta thay quan hệ tổng bằng quan hệ hiệu và tổng số
chân bằng một số khác để bài toán giải đợc, ta có bài toán sau:
"Số gà nhiều hơn số chó là 36 con.
Cả gà và chó có tất cả 102 chân
Tính số gà và số chó".
Nếu thay quan hệ gấp đôi bằng quan hệ gấp ba thì đối tợng là gà
không hợp lý vì gà không có ba chân. Ta thay bằng đối tợng khác cho
phù hợp. Chẳng hạn thay gà bằng xe lam, thay chó bằng ô tô. Ta có đề
toán:
"Tổng số xe lam và xe ô tô là 30 chiếc.
Tổng số bánh xe là 100 cái.
Tính số xe lam và xe ô tô".
(Sở dĩ ta thay 36 thành 30 vì nh vậy mới giải ra số xe là nguyên
chiếc)
1.4. Tăng (giảm) số đối t ợng trong đề toán.

14
Ví dụ: Ta có đề toán: "Một đàn trâu và bò có tất cả 36 con. Mỗi
con bò ăn hết
4
1
gánh cỏ. Mỗi con trâu ăn hết
2
1
gánh cỏ. Biết rằng cả
đần trâu, bò ăn hết tất cả 13 gánh cỏ. Tính số trâu và số bò trong đàn".
Trong bài toán trên, nếu ta đa vào thêm một đối tợng nữa là ngựa
thì ta sẽ có một bài toán tơng đối khó nh sau:
"Một đàn trâu, bò và ngựa có tất cả 36 con. Mỗi con bò ăn hết
4
1

gánh cỏ, mỗi con trâu ăn hết
2
1
gánh cỏ, mỗi con ngựa ăn hết
3
1
gánh
cỏ. Tính số trâu, bò, ngựa trong đàn".
1.5. Thay một trong những số liệu đã cho bằng một điều kiện gián
tiếp.
Ví dụ: Trong bài toán "Trâu, bò, ngựa" ở trên, ta có thể thay số 36
bằng điều kiện "cả đàn trâu, bò và ngựa có tất cả 144 chân". Ta gọi đây
là một điều kiện gián tiếp vì phải thông qua phép tính phụ 144 : 4, ta
mới có thể tìm đợc cả đàn có 36 con. Nh vậy ta có một đề toán mới khó

hơn một chút nh sau: "Ngời ta đếm đợc 144 cái chân trong một đàn trâu,
bò, ngựa. Biết rằng mỗi con bò ăn hết
4
1
gánh cỏ, mỗi con trâu ăn hết
2
1
gánh cỏ, mỗi con ngựa ăn hết
3
1
gánh cỏ. Tính số trâu, bò, ngựa
trong đàn".
1.6. Thay đổi câu hỏi của bài toán bằng một câu hỏi khác.
Ví dụ: Ta có bài toán: "Tuổi con hiện nay bằng
5
3
tuổi mẹ. Cách
đây 12 năm thì tuổi mẹ gấp đôi tuổi con. Tính tuổi mẹ và tuổi con hiện
nay".
15
ở đây nếu ta thay câu hỏi của bài toán bằng câu hỏi: "Biết năm
nay là năm 2007, hãy tính năm sinh của mẹ và của con", thì sẽ đợc bài
toán: "Vào năm 2007, tuổi con bằng
5
3
tuổi mẹ. Trớc đó 12 năm thì tuổi
mẹ gấp đôi tuổi con. Hãy tính năm sinh của mẹ và năm sinh của con".
Bài toán này khó hơn bài toán lúc đầu một chút vì muốn giải đợc
nó, trớc hết phải tính đợc tuổi mẹ và tuổi con hiện nay (mẹ: 60 tuổi, con:
36 tuổi), sau đó lấy 2007 trừ đi 60 và 36 thì mới ra đợc đáp số.

Tuy nhiên nếu thay câu hỏi của bài toán đầu bằng câu hỏi: "Tính
xem sau đây bao nhiêu năm thì tuổi mẹ gấp rỡi tuổi con", thì ta sẽ đợc
một bài toán khó hơn lúc đầu khá nhiều: "Tuổi con hiện nay bằng
5
3

tuổi mẹ. Trớc đây 12 năm thì tuổi mẹ cấp đôi tuổi con. Hỏi bao nhiêu
năm nữa thì tuổi mẹ sẽ gấp rỡi tuổi con?"
Muốn giải đợc bài toán này, trớc hết ta cần tính đợc hiệu số tuổi
của mẹ và con (là 24). Tiếp theo giải bài toán "Tìm hai số biết hiệu (24)
và tỉ số (
2
3
)" để thấy đợc lúc mẹ 72 tuổi thì tuổi mẹ gấp rỡi tuổi con. Từ
đó tìm ra đáp số của bài toán mới là 12 năm sau.
2. Sáng tác các bài toán ngợc với bài toán đã giải.
Trong một bài toán, nếu ta thay một trong những điều kiện đã cho
bằng đáp số của bài toán và đặt câu hỏi vào điều đã cho ấy thì ta đợc
một bài toán ngợc.
Ví dụ 1: Bài toán: "Lan có 5 cái kẹo. Minh có nhiều hơn Lan 3 cái
kẹo. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu cái kẹo?"
Ta dễ dàng tìm thấy đáp số là 13 cái kẹo.
Nh vậy những điều đã cho là:
16
- Lan có 5 cái kẹo. (1)
- Minh có nhiều hơn Lan 3 cái kẹo. (2)
Câu hỏi của bài toán là: Cả hai bạn có bao nhiêu cái kẹo? (3)
Nếu đổi chỗ (3) cho (1) ta có bài toán ngợc 1: "Cả hai bạn Lan và
Minh có 13 cái kẹo. Minh có nhiều hơn Lan 3 cái. Hãy tính số kẹo của
Lan".

Nếu đổi chỗ (3) cho (2) ta có bài toán ngợc 2: "Lan có 5 cái kẹo.
Cả Lan và Minh có 13 cái kẹo. Hỏi Minh có nhiều hơn Lan mấy cái
kẹo?"
Ví dụ 2: "Ngày thứ nhất Lan đọc đợc 24 trang sách. Ngày thứ hai
Lan đọc đợc 18 trang sách. Hỏi trung bình mỗi ngày Lan đọc đợc bao
nhiêu trang sách?"
Bài toán ngợc: "Ngày thứ nhất Lan đọc đợc 24 trang sách. Hỏi
ngày thứ hai Lan đọc đợc bao nhiêu trang sách biết rằng trung bình mỗi
ngày Lan đọc đợc 21 trang".
3. Sáng tác bài toán mới dựa trên cách giải bằng dãy tính của một
bài toán cũ.
Thông thờng ta vẫn hay giải các bài toán bằng những phép tính
(hoặc dãy tính ngắn) riêng rẽ với nhau. Mỗi phép tính lại có câu lời giải
hoặc lập luận tơng ứng. Tuy nhiên có thể viết gộp các phép tính này lại
với nhau để bài giải đợc ngắn gọn và dễ nhìn thấy đợc cấu trúc của bài
toán.
Ví dụ: Bài toán : "Ba máy cày cùng cày trên một cánh đồng. Nếu
chỉ làm một mình thì máy thứ nhất sẽ cày xong cả cánh đồng trong 4
giờ. Máy thứ hai sẽ cày xong trong 5 giờ, máy thứ ba sẽ cày xong trong
8 giờ. Song trên thực tế thì 2 giờ đầu chỉ có máy thứ nhất và máy thứ hai
17
làm việc, sau đó hai máy này nghỉ và máy thứ ba đến làm tiếp. Hãy tính
xem máy thứ ba phải cày trong bao lâu nữa mới xong cánh đồng."
Theo cách thông thờng ta giải nh sau:
Mỗi giờ máy thứ nhất cày đợc: 1 : 4 =
4
1
(cánh đồng)
Mỗi giờ máy thứu hai cày đợc: 1 : 5 =
5

1
(cánh đồng)
Mỗi giờ cả hai máy cày đợc:
4
1
+
5
1
=
20
9
(cánh đồng)
Trong 2 giờ cả hai máy cày đợc:
20
9
x 2 =
10
9
(cánh đồng)
Máy thứ ba còn phải cày: 1 -
10
9
=
10
1
(cánh đồng)
Mỗi giờ máy thứu ba cày đợc: 1 : 8 =
8
1
(cánh đồng)

Thời gian máy thứ ba còn phải cày là:
10
1
:
8
1
=
10
8
(giờ)

10
8
giờ = 48 phút.
Đáp số 48 phút
Sau khi giải theo cách trên ta có thể viết gộp cả 7 phép tính lại
thành một biểu thức số nh sau:

8
1
2)
5
1
4
1
(1 x+
Việc viết gộp các phép tính riêng rẽ thành một dãy tính nh trên có
một số u điểm sau:
18
- Bài giải gọn hơn vì nó gồm ít câu trả lời và ít phép tính nhỏ giải

thích cho từng câu trả lời đó.
-Dãy tính trên có thể giúp ta nhìn thấy nhiều cách tính khác nhau,
từ đó tìm ra nhiều cách giải khác nhau và chọn lấy cách giải hay nhất.
-Dãy tính trên giúp ta nhanh chóng thấy đợc cấu trúc của bài toán.
Ta sẽ khai thác u điểm này để sáng tác đề toán. Chẳng hạn với bài toán
trên, nếu ta thay các số 4, 5, 8 trong đề toán bằng các chữ a, b, c thì ta
có bài toán tổng quát: " Ba máy cày cùng cày trên một cánh đồng. Nếu
chỉ làm một mình thì máy thứ nhất sẽ cày xong cả cánh đồng trong a
giờ. Máy thứ hai sẽ cày xong trong b giờ, máy thứ ba sẽ cày xong trong
c giờ. Song trên thực tế thì 2 giờ đầu chỉ có máy thứ nhất và máy thứ hai
làm việc, sau đó hai máy này nghỉ và máy thứ ba đến làm tiếp. Hãy tính
xem máy thứ ba phải cày trong bao lâu nữa mới xong cánh đồng."
Lúc này đáp số của bài toán sẽ là kết quả một dãy tính chứa ba chữ
nh sau:
c
x
ba
1
2)
11
(1 +
Dựa vào cấu trúc trên của bài toán ta có thể sáng tác các bài toán
mới nh sau:
Bài toán 1: Có 3 vòi nớc chảy vào bể cùng một lúc. Nếu chỉ chảy
một mình thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể trong 3 giờ, vòi thứ hai sẽ chảy
đầy bể trong 2 giờ 30 phút, còn vòi thứ ba sẽ chảy đầy bể trong 3 giờ 20
phút. Song trên thực tế thì trong hai giờ đầu ngời ta chỉ mở vòi thứ nhất
và vòi thứ hai, sau đó khoá hai vòi đó lại và mở vòi thứ ba. Hỏi vòi thứ
ba phải chảy bao nhiêu lâu nữa mới đầy bể?"
19

Bài toán này có cấu trúc y hệt bài toán trên nhng khác ở một số chi
tiết:
- Đã thay đổi văn cảnh: Máy cày vòi nớc, cánh đồng bể nớc,
v.v
- Đã thay đổi các số liệu a, b, c từ danh số đơn thành danh số phức.
Bài toán 2: " Ba máy cày cùng cày trên một cánh đồng. Nếu chỉ
làm một mình thì máy thứ nhất sẽ cày xong cả cánh đồng trong 4 giờ.
Máy thứ hai sẽ cày xong trong 5 giờ, máy thứ ba sẽ cày xong trong 8
giờ. Song trên thực tế thì 2 giờ 30 phút đầu chỉ có máy thứ nhất và máy
thứ hai làm việc, sau đó hai máy này nghỉ và máy thứ ba đến làm tiếp.
Hãy tính xem máy thứ ba phải cày trong bao lâu nữa mới xong cánh
đồng."
ở bài toán trên ta đã giữ nguyên các số liệu a, b, c và văn cảnh nh-
ng thay đổi thừa số 2 thành 2,5 giờ.
Thay đổi văn cảnh của bài toán trên thành "vòi nớc chảy vào bể"
và đổi dấu (+) ở dãy tính gộp thành dấu (-) . Lúc này ta có dãy tính:

c
x
ba
1
2)
11
(1
Nó tơng ứng với bài toán sau:
Bài toán 3: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể. Nếu chảy một
mình thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể trong 4 giờ, vòi thứ hai sẽ chảy đầy
bể trong 5 giờ. Lại biết rằng ở đáy bể có một lỗ thủng, nó có thể làm cho
bể đầy nớc bị cạn sạch sau 8 giờ. Trong 2 giờ đầu ngời ta mở vòi thứ
nhất và khoá vòi thứ hai. Sau đó thì khoá vòi thứ nhất và mở vòi thứ hai.

Hỏi vòi thứ hai chảy bao nhiêu lâu thì đầy bể?
v.v
20
4. Tóm tắt bài toán đã cho bằng bảng kẻ ô rồi dựa vào bảng đó để
đặt đề toán mới.
Trong phơng pháp này ta đa các số liệu trong bài toán vào một
bảng kẻ ô rồi di chuyển các số liệu ấy từ ô này sang ô khác để có đề
toán mới.
Ví dụ: "Lớp em có 35 học sinh, trong đó có 20 bạn trai. Chủ nhật
vừa qua có 8 bạn gái đi xem phim và có 11 bạn trai không đi xem phim.
Hỏi có bao nhiêu bạn không đi xem phim?"
Ta tóm tắt bài toán bằng bảng kẻ ô nh sau:
Trai Gái Tất cả
Có xem phim 8
Không xem phim 11 ?
Tất cả 20 35
Để thấy đợc cách sáng tác đề toán mới ta cần giải bài toán trên.
Số bạn trai có đi xem phim là: 20 - 11 = 9 (bạn)
Số học sinh có đi xem phim là: 9 + 8 = 17 (bạn)
Số học sinh không đi xem phim là: 35 - 17 = 18 (bạn)
Trình tự giải đợc nêu trong cách ghi nh sau:
Trai Gái Tất cả
Có xem
phim
9
8 17
9 + 8 = 17
Không xem
phim 11 18
Tất cả 20 35

20 - 11 = 9 35 - 17 = 18
21
Nhận xét: Trong các bảng trên có tới 9 ô hay 9 số. Nếu cứ biết 4 số
nào đó thì sẽ tìm đợc 5 số còn lại, với điều kiện là 4 số cho trớc phải độc
lập với nhau nghĩa là trong 4 đó không có 3 số nào cùng thuộc 1 hàng
hoặc 1 cột. Hay nói cách khác: Trong 4 số đã biết không có một số nào
có thể dựa vào ba số kia để tìm đợc nó. Ta có thể dựa vào bảng này để
đặt ra rất nhiều bài toán bằng cách cho trớc bốn só bất kỳ trong bảng
(độc lập với nhau) rồi đặt câu hỏi vào bất cứ ô nào còn trống trong bảng.
Chẳng hạn nếu ta đặt các số và dấu hỏi vào bảng nh sau:
Trai Gái Tất cả
Có xem phim 9 8
Không xem phim 18
Tất cả ? 15
Ta đợc bài toán: "Chủ nhật vừa qua lớp em có 9 bạn trai và 8 bạn
gái đi xem phim. Cả lớp có 18 bạn không đi xem phim. Hãy tính số bạn
trai trong lớp biết rằng lớp có 15 bạn gái".
Với mỗi cách đặt các số và dấu hỏi nh trên ta lại có một bài toán.
Trong bảng trên có rất nhiều cách đặt vào đó bốn số đã biết, nghĩa là có
rất nhiều cách ra điều kiện. Mỗi cách ra điều kiện lại có tới 9 - 4 = 5
(cách đặt câu hỏi).
Vì thế từ bảng trên ta có rất nhiều bài toán khác nhau.
C.Kết quả.
Với mỗi bài toán trong sách giáo khoa hay vở bài tập hoặc Toán
nâng cao, bồi dỡng, tôi đều sáng tác thêm nhiều bài toán mới. Sau khi
cho học sinh tiếp xúc với các bài toán đợc sáng tác mới trên cơ sở bài
toán đã có một cách thờng xuyên, theo một hệ thống từ dễ đến khó, từ
đơn giản đến phức tạp, tôi đã giúp các em có khả năng tự khai thác,
22
phân tích bài toán, nắm chắc đợc bản chất của bài toán. Các em đã học

tập rất say mê, hào hứng môn toán, một môn học mà mọi ngời đều cho
rằng khô khan và cứng nhắc. Học sinh của tôi có khả năng giải các bài
toán một cách chủ động, linh hoạt và sáng tạo. Các em không bị ngỡ
ngàng trớc những bài toán mới bởi đó chỉ là những bài toán đợc sáng tác
từ các bài toán cơ bản mà thôi.
Tôi đã áp dụng chuyên đề này trong giảng dạy và thu đợc kết quả
nh sau:
Tôi tiến hành khảo sát ở 2 lớp 4A (năm học 2005-2006) và lớp 4A
(năm học 2006-2007), kết quả khảo sát đầu năm học của 2 lớp là tơng đ-
ơng.
Năm học 2005-2006 tôi cha áp dụng chuyên đề này. Năm học
2006-2007 tôi đã thực hiện chuyên đề này. Kết quả khảo sát cho thấy:
Giỏi Khá TB Yếu
Năm học
2005-2006 25% 34% 36% 5%
Năm học
2006-2007 55% 32% 13% 0%
Nhìn vào bảng thống kê trên ta thấy rằng kết quả học tập môn toán
sau khi áp dụng chuyên đề có sự tiến bộ hẳn. Năm học 2007-2008 tôi
tiếp tục thực hiện chuyên đề này vào giảng dạy và thấy kết quả qua các
đợt khảo sát định kỳ cũng khá cao.
Tuy kết quả trên còn có phần khiêm tốn song có thể nói việc sáng
tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có đợc tiến hành thờng xuyên
trong giảng dạy sẽ góp phần không nhỏ trong việc nâng cao chất lợng
học toán của học sinh.
23
Phần III- Kết luận
1. Những bài học kinh nghiệm
Qua việc thực hiện sáng tác các bài toán mới trên cơ sở bài toán đã
có trong giảng dạy, tôi đã rút ra đợc nhiều bài học kinh nghiệm quý giá:

Thứ nhất, ngời thầy phải tránh suy nghĩ quá rụt rè cho rằng đây là
công việc khó khăn phức tạp, chỉ dành cho các nhà toán học, các nhà s
phạm có uy tín lớn, các chuyên gia viết sách. Còn mình chỉ là 1 giáo
viên bình thờng, không thể làm nổi. Do đó cứ sử dụng các bài toán trong
sách là đủ.
Thứ hai, ngời thầy cũng phải khắc phục suy nghĩ quá tự tin cho
rằng toán ở tiểu học có gì là khó đâu. Cứ nghĩ đại đi là đợc các đề toán
mới ngay. Cần gì phải nghiên cứu, học tập và rèn luyện cho mệt.
Thứ ba, để có thể sáng tác đợc các đề toán tốt, ngoài việc phải th-
ờng xuyên tự học nâng cao trình độ Toán học, trình độ sử dụng Tiếng
Việt, ngời thầy cần phải nghiên cứu để nắm vững chơng trình môn Toán
ở toàn bậc tiểu học, ở từng lớp, từng chơng, từng phần, ở từng bài, từng
mạch kiến thức.
Thứ t, ngời thầy phải sử dụng phơng pháp giảng dạy hợp lý giúp
học sinh học tập một cách chủ động, sáng tạo, tự mình tìm tòi phát hiện
ra kiến thức để hiểu rõ bản chất của vấn đề, giúp các em nắm chắc kiến
thức, nhớ lâu và vận dụng trong giải toán một cách linh hoạt.
Thứ năm và là quan trọng nhất, là sự say mê tìm tòi nghiên cứu,
sáng tác các bài toán của ngời thầy, đổi mới phơng pháp giảng dạy giúp
học sinh ngày càng yêu thích và học giỏi môn toán hơn.
2. Điều kiện áp dụng
24
Điều kiện áp dụng kinh nghiệm không khó, chỉ cần giáo viên có
trình độ vững vàng, có khả năng hiểu bản chất của bài toán và khả năng
sử dụng ngôn ngữ Toán học một cách chuẩn xác.
3. Hạn chế và hớng tiếp tục nghiên cứu.
Với học sinh yếu và học sinh trung bình thì việc sáng tác các bài
toán mới cho các em chỉ dừng lại ở mức đơn giản nhất vì t duy của các
em cha linh hoạt, sáng tạo. Trong thời gian tới tôi tiếp tục tìm cách
nghiên cứu tổ chức các hoạt động học tập phù hợp với trình độ nhận

thức của học sinh thuộc các đối tợng này. Việc giải các bài toán mới
trên cơ sở bài toán cũ sẽ đợc tổ chức dới hình thức trò chơi học tập hoặc
bài tập trắc nghiệm để gây hứng thú học tập cho các em. Chắc chắn với
các hình thức nh vậy, khả năng giải toán của các em sẽ đợc nâng lên.
Trên đây là một số kinh nghiệm sáng tác bài toán mới trên cơ sở
bài toán đã có của bản thân tôi khi dạy toán cho học sinh tiểu học. Trên
thực tế còn rất nhiều cách sáng tác các bài toán mới mà tôi cha biết, cha
phát hiện ra. Song với việc luôn đa ra các bài toán mới cho học sinh, tôi
đã gieo vào lòng các em một tinh thần ham mê học toán, một khả năng
t duy lôgíc, sáng tạo
Vấn đề nâng cao chất lợng dạy học toán bằng việc tự sáng tác các
bài toán mới chỉ là một giọt nớc nhỏ trong đại dơng mênh mông về cách
dạy Toán của ngời giáo viên tiểu học. Tuy tôi đã có nhiều cố gắng song
không sao tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận đợc sự đóng
góp ý kiến của các cấp lãnh đạo và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Phụng Công, ngày 15 tháng 4 năm 2009.
Ngời viết:
Hoàng Thị Quyên
Mục lục
Trang
25