Slide Vi tích phân a2 chương 3 Tích phân đường

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
CBGD. Lê Hoài Nhân
Ngày 12 thá ng 4 năm 2013
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 1 / 33
1
Tích phân đường loại 1
Định nghĩa - Cách tính
Ứng dụng
2
Trường vector
3
Tích phân đường loại 2
Định nghĩa - Cách tính
Tích phân trên đường cong kín
Tích phân của trường bảo toàn
Ứng dụng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 2 / 33
Định nghĩa
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y, z) xác định trên cung L từ A đến B.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A
0
, A
1
, , A

n
≡ B.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A
0
, A
1
, , A
n
≡ B. Ký hiệu độ dài cung A
i−1
A
i
là
∆s
i
.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A
0
, A
1
, , A
n

≡ B. Ký hiệu độ dài cung A
i−1
A
i
là
∆s
i
.
Trên mỗi cung A
i−1
A
i
chọn điểm M
i
tùy ý và lậ p tổng tích phân
I
n
=
n

i=1
f (M
i
).∆s
i
.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm

chia liên tiếp: A ≡ A
0
, A
1
, , A
n
≡ B. Ký hiệu độ dài cung A
i−1
A
i
là
∆s
i
.
Trên mỗi cung A
i−1
A
i
chọn điểm M
i
tùy ý và lậ p tổng tích phân
I
n
=
n

i=1
f (M
i
).∆s

i
.
Cho n → ∞ sao cho max ∆s
i
→ 0.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A
0
, A
1
, , A
n
≡ B. Ký hiệu độ dài cung A
i−1
A
i
là
∆s
i
.
Trên mỗi cung A
i−1
A
i
chọn điểm M
i
tùy ý và lậ p tổng tích phân

I
n
=
n

i=1
f (M
i
).∆s
i
.
Cho n → ∞ sao cho max ∆s
i
→ 0. Nếu I
n
có giới hạn hữu hạn I
không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn M
i
thì I đượ c
gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Định nghĩa
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.
Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A
0
, A
1
, , A
n

≡ B. Ký hiệu độ dài cung A
i−1
A
i
là
∆s
i
.
Trên mỗi cung A
i−1
A
i
chọn điểm M
i
tùy ý và lậ p tổng tích phân
I
n
=
n

i=1
f (M
i
).∆s
i
.
Cho n → ∞ sao cho max ∆s
i
→ 0. Nếu I
n

có giới hạn hữu hạn I
không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn M
i
thì I đượ c
gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB.
Ký hiệu I =

L
f (x, y, z ).ds.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 3 / 33
Cách tính
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 4 / 33
Cách tính
Tùy thuộc và o phương trì nh của đường cong L mà ta chuyển tích
phân đường loại 1 về t ích phân xác định.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 4 / 33
Cách tính
Tùy thuộc và o phương trì nh của đường cong L mà ta chuyển tích
phân đường loại 1 về t ích phân xác định.
Ta xét hai trường hợp lớn: L là đường cong phẳng và L là đường
cong trong không gian.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 4 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :

x = x(t)
y = y (t)
với t ∈ [a, b] thì

ds =

x
2
(t) + y
2
(t)dt
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :

x = x(t)
y = y (t)
với t ∈ [a, b] thì
ds =

x
2
(t) + y
2
(t)dt
Công thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L :

x = x(t)
y = y (t)
với t ∈ [a, b] thì
ds =


x
2
(t) + y
2
(t)dt
Công thức

L
f (x, y).ds =
b

a
f (x(t), y (t))

x
2
(t) + y
2
(t)dt
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 5 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 6 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Ví dụ 1. Tính tí ch phân I =

L
x
2
ds với L là phần tư thứ nhất của

đường tròn x
2
+ y
2
= 4.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 6 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Ví dụ 1. Tính tí ch phân I =

L
x
2
ds với L là phần tư thứ nhất của
đường tròn x
2
+ y
2
= 4.
Ví dụ 2. Tính tí ch phân I =

L
(x
4
3
+ y
4
3
)ds với L là x
2
3

+ y
2
3
= a
2
3
.
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 6 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y (x) với x ∈ [a, b] t hì
ds =

1 + y
2
(x)dx
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y (x) với x ∈ [a, b] t hì
ds =

1 + y
2
(x)dx
Công thức
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
Phương trình của L : y = y (x) với x ∈ [a, b] t hì
ds =


1 + y
2
(x)dx
Công thức

L
f (x, y).ds =
b

a
f (x, y(x))

1 + y
2
(x)dx
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 7 / 33
Cách tính - L là đường cong phẳng
CBGD. Lê Hoài Nhân () TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Ngày 12 tháng 4 năm 2013 8 / 33