Thiết kế bộ lọc FIR thông dải bằng phương pháp cửa sổ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.29 MB, 55 trang )
LỜI MỞ ĐẦU
Xử lý tín hiệu số !"#$% !& là một lĩnh vực mới, đã phát
triển mạnh mẽ về mặt lý thuyết và công nghệ. Ngày nay, nó đã trở thành môn học
không thể thiếu cho nhiều ngành học về khoa học và kỹ thuật. Các thuật toán của nó
đã mang lại những thuận tiện cho công nghệ và ứng dụng mới, nhất là các lĩnh vực về
kỹ thuật điện tử và điều khiển tự động.
Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất
trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số ($").
Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp
ứng xung hữu hạn FIR $'($$#$& còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ
lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR ()$'($$#$) còn gọi là lọc đệ quy.
Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc, FIR hay IIR, thành 4 loại cơ bản:
thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng
những phương pháp sau đây: Phương pháp cửa sổ (*#+$$,($),
Phương pháp lấy mẫu tần số ("$,($- '$$,($) và Phương
pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng (.'/,("$$$,($). Mỗi
phương pháp đều có những đặc điểm và ưu khuyết điểm riêng.
Với tiểu luận này,nhóm 1 xin phép được trình bày bài toán “ Thiết kế bộ lọc cấu trúc
FIR bằng phương pháp cửa sổ ‘’
Nội dung tiểu luận được chia thành 3 phần:
Phần 1. Cơ sở lý thuyết chung.
Phần 2. Thiết kế bộ lọc theo cấu trúc FIR bằng phương pháp cửa sổ.
Nhóm 1 xin trân trọng cảm ơn Thầy giáo TS. Ngô Văn Sỹ đã tận giảng dạy và hướng
dẫn để chúng tôi có thể hoành thành tốt tiểu luận này. Phần lớn nội dung trình bày ở
báo cáo này được lấy từ bài giảng, tài liệu tham khảo do thầy cung cấp.
Trong quá trình thực hiện tiểu luận, tuy đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi
những sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy, các bạn học viên cùng lớp để
nội dung của tiểu luận được hoàn chỉnh hơn
Đà Nẵng, ngày 27 tháng 4 năm 2011
"01
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG
1.1 Cấu trúc của bộ lọc FIR
Một bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng:
∑
−
=
−−
−
−
=+++=
1M
0n
n
n
M1
1M
1
10
zbzbzbb)z(H
(1.1)
Như vậy đáp ứng xung h(n) là:
c
−≤≤
=
$$
2
0
10
)(
(1.2)
Và phương trình sai phân là:
)1Mn(xb)1n(xb)n(xb)n(y
1M10
+−++−+=
−
(1.3)
Đây chính là tích chập tuyến tính của các dãy hữu hạn.
Bậc của bộ lọc là M-1, trong khi chiều dài của bộ lọc là M (bằng với số lượng các
hệ số). Các cấu trúc bộ lọc FIR luôn luôn ổn định, và tương đối đơn giản hơn so với
các cấu trúc bộ lọc IIR. Hơn thế nữa, các bộ lọc FIR có thể được thiết kế để có một
đáp ứng pha tuyến tính và đó là điều cần thiết trong một số ứng dụng.
Chúng ta sẽ xem xét lần lượt các cấu trúc của bộ lọc FIR sau đây:
a. Cấu trúc dạng trực tiếp
Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy liên tiếp các bộ trễ do không có
đường phản hồi:
)1Mn(xb)1n(xb)n(xb)n(y
1M10
+−++−+=
−
(1.4)
Do mẫu thức bằng đơn vị nên ta chỉ có một cấu trúc dạng trực tiếp duy nhất. Cấu
trúc dạng trực tiếp được cho trong hình 1.1 với M = 5
b. Cấu trúc dạng ghép tầng:
Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với các hệ số
thực. Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghép
"31
b
0
z
-
1
b
1
z
-
1
b
2
z
-
1
b
3
z
-
1
b
4
y(n)
x(n)
Hình 1.1 Cấu trúc lọc FIR dạng trực tiếp
tầng của các khâu bậc 2.
+++=+++=
−
−
−−
−
− M1
0
1M
1
0
1
0
M1
1M
1
10
z
b
b
z
b
b
1bzbzbb)z(H
∏
=
−−
++=
K
1k
2
2,k
1
1,k0
)zBzB1(b
(1.5)
trong đó
=
2
M
K
, B
k,1
và B
k,2
là các số thực đại diện cho các hệ số của các
khâu bậc 2. Cấu trúc dạng ghép tầng cho trong hình 1.2 với M=7
c. Cấu trúc dạng pha tuyến tính:
Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến tính
theo tần số, nghĩa là:
αω−β=∠
ω
)e(H
j
π≤ω≤π−
(1.6)
trong đó
0=β
hoặc
2
π
±
và
α
là một hằng số.
Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điều
kiện tuyến tính là:
1Mn0,0);n1M(h)n(h −≤≤=β−−=
(1.7)
1Mn0,2/);n1M(h)n(h −≤≤π±=β−−−=
(1.8)
Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (1.5) với đáp ứng xung đối
xứng trong phương trình (1.9), ta có:
)1Mn(xb)2Mn(xb)1n(xb)n(xb)n(y
0110
+−++−++−+=
++−+−++−+= )]2Mn(x)1n(x[b)]1Mn(x)n(x[b
10
Sơ đồ khối thực hiện phương trình sai phân trên được mô tả trong hình 1.3 dưới đây
đối với cả M lẻ và M chẵn:
Đối với M lẻ: M = 7, còn đối với M chẵn: M = 6
"41
B
1,1
z
-
1
z
-
1
z
-
1
y(n)
x(n)
B
2,1
B
3,1
b
0
B
1,2
z
-
1
z
-
1
z
-
1
B
2,2
B
3,2
Hình 1.2 Cấu trúc lọc FIR dạng ghép tầng
Rõ ràng, với cùng một bậc của bộ lọc (cùng M) cấu trúc pha tuyến tính sẽ tiết kiệm
được 50% các bộ nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp.
1.2. Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính:
Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về hình dạng của đáp ứng xung, đáp ứng tần
số trong hàm hệ thống của các bộ lọc FIR pha tuyến tính.
Cho h(n), trong đó 0 ≤ n ≤ M – 1, là đáp ứng xung có chiều dài M thì hàm truyền hệ
thống là:
∑∑
−
=
−−−−
−
=
−
==
1M
0n
n1M)1M(
1M
0n
n
z)n(hzz)n(h)z(H
(1.9)
có (M-1) điểm cực ở gốc (trivial poles) và M-1 điểm không nằm ở vị trí bất kỳ trên
mặt phẳng z. Đáp ứng tần số là:
π≤ω<π−=
∑
−
=
ω−ω
,e)n(h)e(H
1M
0n
njj
(1.10)
a. Đáp ứng xung h(n):
Chúng ta có thể đưa ra ràng buộc pha tuyến tính:
π≤ω<π−αω−=∠
ω
,)e(H
j
(1.11)
trong đó: α là một hằng số trễ pha. Ta đã biết rằng h(n) phải đối xứng, nghĩa là:
2
1M
,1Mn0),n1M(h)n(h
−
=α−≤≤−−=
(1.12)
Do đó h(n) là đối xứng theo α, là chỉ số đối xứng. Có hai kiểu đối xứng:
"51
b
0
z
-
1
b
1
b
2
x(n)
z
-
1
z
-
1
z
-
1
y(n)
b
0
z
-
1
b
1
z
-
1
b
2
b
3
y(n)
x(n)
z
-
1
z
-
1
z
-
1
z
-
1
M=7
M=6
Hình 1.3 Cấu trúc lọc FIR pha tuyến tính với các hệ số M chẵn và lẻ
• 26: Trong trường hợp này,
2
1M −
=α
là một số nguyên.
Đáp ứng xung được mô tả trong hình 1.4
• 27: Trong trường hợp này,
2
1M −
=α
không phải là một số nguyên. Đáp
ứng xung được mô tả bằng hình 1.5 dưới đây:
Ta cũng có bộ lọc FIR pha tuyến tính loại hai nếu ta yêu cầu đáp ứng pha
( )
ω
∠
j
eH
thoả mãn điều kiện:
αω−β=∠
ω
)e(H
j
với
π≤ω<π−
(1.13)
Đáp ứng pha là đường thẳng nhưng không đi qua gốc. Trong trường hợp này α
không phải là hằng số trễ pha, nhưng:
α−=
ω
∠
ω
d
)e(Hd
j
(1.14)
"81
Hình 1.4 Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ
Hình 1.5 Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn
là hằng số, chính là trễ nhóm (α là một hằng số trễ nhóm). Trong trường hợp này, các
tần số được làm trễ với một tốc độ không đổi. Nhưng một số tần số có thể được làm trễ
với tốc độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn.
Đối với kiểu pha tuyến tính này, có thể thấy rằng:
1Mn0),n1M(h)n(h −≤≤−−−=
và
2
,
2
1M π
±=β
−
=α
(1.15)
Điều này có nghĩa rằng đáp ứng xung h(n) là phản đối xứng -''$"&. Chỉ số
đối xứng vẫn là
2
1M −
=α
. Một lần nữa chúng ta lại có 2 kiểu, cho M lẻ và M chẵn.
• 26: Trong trường hợp này,
2
1M −
=α
là một số nguyên. Đáp ứng xung
được mô tả bằng hình 1.6 dưới đây:
Lưu ý rằng mẫu h(α) tại
2
1M −
=α
phải bằng 0, nghĩa là,
0
2
1M
h =
−
.
• 27: "# trường hợp này,
2
1M −
=α
không phải là một số nguyên. Đáp
ứng xung được mô tả trong hình 1.7.
"91
Hình 1.6 Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ
Hình 1.7 Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn
b. Đáp ứng tần số H(e
j
ω
):
Khi tổ hợp hai loại đối xứng và phản đối xứng với M chẵn và M lẻ, ta có bốn kiểu
lọc FIR pha tuyến tính. Đáp ứng tần số của mỗi kiểu có biểu thức và hình dạng riêng.
Để nghiên cứu các đáp ứng pha của các kiểu này, ta viết biểu thức của H(e
j
ω
) như sau:
2
1M
,
2
;e)e(H)e(H
)(jj
r
j
−
=α
π
±=β=
αω−βωω
(1.16)
trong đó H
r
(e
j
ω
) là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải là hàm đáp ứng biên độ. Đáp
ứng độ lớn là một hàm thực, có thể vừa dương vừa âm, không giống đáp ứng biên độ
luôn luôn dương. Đáp ứng pha kết hợp với đáp ứng biên độ là một hàm không liên tục,
trong khi kết hợp với đáp ứng độ lớn là một hàm tuyến tính liên tục.
• :;<(=><;?26
Trong trường hợp này
0=β
,
2
1M −
=α
là một biến nguyên, và
( ) ( )
n1Mhnh −−=
,
1Mn0 −≤≤
, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
( )
( )
( )
2/1Mj
2/1M
0n
j
encosna)e(H
−ω−
−
=
ω
ω=
∑
(1.17)
( )
−
=
2
1M
h0a
với mẫu ở chính giữa (1.18)
( )
−
−
= n
2
1M
h2na
với
2
3M
n1
−
≤≤
• @:;<(=><;?27
Trong trường hợp này
0=β
,
( ) ( )
n1Mhnh −−=
,
1Mn0 −≤≤
, nhưng
2
1M −
=α
không phải là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
( )
( )
2/1Mj
2/M
1n
j
e
2
1
ncosnb)e(H
−ω−
=
ω
−ω=
∑
(1.19)
trong đó
( )
−= n
2
M
h2nb
với
2
M
, ,2,1n =
(1.20)
So sánh (1.19) và (1.16), ta có:
( )
∑
=
−ω=ω
2/M
1n
r
2
1
ncosnb)(H
(1.21)
"A1
: Tại
π=ω
, ta có
( )
0
2
1
ncosnb)(H
2/M
1n
r
=
−π=π
∑
=
mà không cần quan tâm
đến b(n) hoặc h(n). Do đó chúng ta không thể sử dụng loại này (h(n) đối xứng, M
chẵn) đối với bộ lọc thông cao hoặc bộ lọc chắn dải.
• ! !:;<(=><;?
26
Trong trường hợp này ta có
2
π
=β
,
2
1M −
=α
là một biến nguyên,
( ) ( )
n1Mhnh −−−=
,
1Mn0
−≤≤
, và
0
2
1M
h =
−
thì ta có thể chứng tỏ:
( )
( )
ω
−
−
π
−
=
ω
ω=
∑
2
1M
2
j
2/1M
0n
j
ensinnc)e(H
(1.22)
trong đó
( )
−
−
= n
2
1M
h2nc
với
2
M
, ,2,1n =
(1.23)
So sánh (1.22) và (1.16), ta có:
( ) ( )
( )
∑
−
=
ω=ω
2/1M
0n
r
nsinncH
(1.24)
: Tại
0=ω
và
π=ω
, ta có
( )
0H
r
=ω
mà không cần quan tâm c(n) hoặc h(n).
Hơn thế nữa,
je
2
j
=
π
, điều đó có nghĩa là
( )
ω
r
jH
là thuần ảo. Do đó, loại bộ lọc này
không thích hợp đối với việc thiết kế bộ lọc thông thấp hoặc thông cao. Tuy nhiên,
điều này thích hợp đối với việc xấp xỉ các bộ vi phân và bộ biến đổi Hilbert số lý
tưởng.
• ""@:;<(=><;?2
7
Trong trường hợp này
2
π
=β
,
( ) ( )
n1Mhnh −−−=
,
1Mn0
−≤≤
, nhưng
2
1M −
=α
không phải là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:
( )
ω
−
−
π
=
ω
−ω=
∑
2
1M
2
j
2/M
1n
j
e
2
1
nsinnd)e(H
(1.25)
"B1
trong đó:
( )
−= n
2
M
h2nd
với
2
M
, ,2,1n =
(1.26)
So sánh (1.27) và (1.18), ta có:
( )
∑
=
−ω=ω
2/M
1n
r
2
1
nsinnd)(H
(1.27)
: Tại
π=ω
,
0)0(H
r
=
và
je
2
j
=
π
. Do vậy, loại này cũng thích hợp cho việc
thiết kế các bộ vi phân số và bộ biến đổi Hilbert số.
Bảng sau đây mô tả khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc và các bộ biến
đổi Hilbert số, bộ vi phân số của 4 loại lọc FIR pha tuyến tính đã nêu:
Type LPF HPF BPF SBF Hilbert Differentiator
FIR Type 1
FIR Type 2
FIR Type 3
FIR Type 4
1.3. Các kỹ thuật thiết kế cửa sổ
Ý tưởng cơ bản của việc thiết kế là: chọn một bộ lọc chọn tần lý tưởng (mà đáp ứng
xung luôn luôn phi nhân quả, dài vô hạn) và cắt (lấy cửa sổ - +#+) đáp ứng xung
của nó để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả ($"$(
)$"). Bởi vậy, điểm quan trọng trong phương pháp này là việc chọn một hàm
cửa sổ thích hợp và một bộ lọc lý tưởng tương ứng.
Bộ lọc thông thấp lý tưởng ($C!) có tần số cắt w
c
< π được cho bởi:
<<
=
≤
−
π|w|
c
wif 0,
1.e
)
(
c
w|w| if ,
jw
D+
$E
(1.28)
Đáp ứng xung
&
của bộ lọc lý tưởng này được cho bởi:
Chú ý rằng
& là đối xứng theo α, sự kiện này tiện dụng cho bộ lọc FIR có pha
tuyến tính. Ngoài ra
& có độ dài vô hạn và phi nhân quả.
"F1
[ ]
)(
)](sin[
)(
2
1
)()(
1
απ
α
π
π
π
−
−
===
∫
+
−
−
+
+$$E$E
D+D+
D+
(1.29)
Để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả & có độ dài M, ta cần có:
Thao tác này được gọi là lấy cửa sổ (window). Tổng quát, đáp ứng xung & có thể
có được bằng cách lấy đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng
& nhân với hàm cửa sổ
+& như sau:
&G
&H+& (1.31)
Tuỳ thuộc vào cách định nghĩa hàm cửa sổ w(n) (+#+)(#) chúng ta có
những cửa sổ thiết kế khác nhau. Chẳng hạn nếu dùng cửa sổ chữ nhật (Rectangular),
thì hàm cửa sổ được định nghĩa:
=
,0
,1
)(+
Trong miền tần số, đáp ứng của lọc FIR nhân quả E$
D+
& chính là tích chập vòng của
đáp ứng tần số bộ lọc lý tưởng E
$
D+
& và đáp ứng tần số của hàm cửa sổ *$
D+
& :
E$
D+
&GE
$
D+
&
⊗
*$
D+
& (1.33)
Hình dạng của E$
D+
& có thể được mô tả trực quan trên hình 1.8. Từ hình vẽ này
chúng ta có một số nhận xét quan trọng sau đây:
"0I1
2
1
,
0
10)(
)(
−
=
−≤≤
=
2
$$+$"$
2
α
(1.30)
(I
≤
≤
210
(1.32)
H(e
jw
)
H
d
(e
jw
)
W(e
jw
)
Max side-lobe height
Transition bandwidth
Hình 1.8 Kết quả của việc lấy cửa sổ trong miền tần số
Main-lobe
width
• Do cửa sổ w(n) có chiều dài M hữu hạn, đáp ứng của nó có một búp chính
('1#$) có độ rộng tỷ lệ với 1/M, và các búp bên ($1#$) của nó có
chiều cao thấp hơn.
• Tích chập tuần hoàn sinh ra một phiên bản méo của đáp ứng xung lý tưởng
E
$
D+
&.
• Búp chính ('1#$) sinh ra một dải chuyển tiếp trong E$
D+
& mà độ rộng là
nguyên nhân tạo nên độ rộng dải chuyển tiếp ("#+). Độ rộng
này tỷ lệ với 1/M. Độ rộng búp chính càng lớn thì độ rộng dải chuyển tiếp
càng lớn.
• Các búp bên ($1#$) sinh ra các gợn sóng có hình dạng như nhau trong
cả dải thông và dải chắn.
Với các chỉ tiêu bộ lọc đã cho, chọn chiều dài bộ lọc và một hàm cửa sổ w(n) với độ
rộng main-lobe hẹp nhất và hệ số suy giảm side-lobe bé nhất có thể được. Từ nhận xét
4 nêu trên ta chú ý rằng dung sai dải thông δ
1
và dung sai dải chắn δ
2
không thể ấn
định một cách độc lập. Ta lấy chung δ
1
= δ
2
.
Tiếp theo chúng ta xem xét các hàm cửa sổ thường được dùng, bao gồm: cửa sổ chữ
nhật (Rectangular), cửa sổ tam giác (Bartlett), cửa sổ Hanning, cửa sổ Hamming, cửa
sổ Blackman và cửa sổ Kaiser.
a. Cửa sổ chữ nhật (Rectangular Window)
Trong miền n cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau:
b. Cửa sổ tam giác (Bartlett Window)
Với mục đích giảm biên độ của các đỉnh thứ cấp của cửa sổ chữ nhật, chúng ta chọn
một cửa sổ khác có dạng tam giác cân, gọi là cửa sổ tam giác hay cửa sổ Bartlett
Trong miền n cửa sổ tam giác được định nghĩa như sau:
"001
w(n) =
1 0≤ n ≤ M-1
0 Các trường hợp khác
(1.34)
0 Các trường hợp khác
w(n) =
0≤ n ≤
2 -
≤ n ≤ M - 1
2n
M-1
M-1
2
2n
M-1
M-1
2
(1.35)
c. Cửa sổ Hanning (Hanning Window)
d.Cửa sổ Hamming (Hamming Window)
e. Cửa sổ Blackman (Blackman Window)
Trên hình 1.10 cho chúng ta một sự so sánh giữa các hàm cửa sổ thường dùng về các
đặc tính: độ rộng dải chuyển tiếp ∆w, độ suy giảm ở dải chắn J
.
f. Cửa sổ Kaiser (Kaiser Window)
"031
Hình 1.9 Hình dạng một số cửa sổ thường dùng
w(n) =
0 Các trường hợp khác
Π
+
Π
−
2
2
4
cos08.0
2
cos5.042.0
0≤ n ≤ M
(1.36)
w(n) =
0 Các trường hợp khác
Π
−
2
2
cos46.054.0
0≤ n ≤ M
(1.37)
w(n) =
0 Các trường hợp khác
Π
+
Π
−
2
2
4
cos08.0
2
cos5.042.0
0≤ n ≤ M-1
(1.38)
Hình 1.10 Tóm tắt đặc tính của một số loại cửa sổ thường dùng
Để đạt được độ suy giảm của dải chặn như mong muốn, các nhà thiết kế tìm một
hàm cửa sổ đáp ứng được các yêu cầu của thiết kế. Nhưng các hàm cửa sổ có mức búp
bên càng thấp thì độ rộng của búp chính lại càng lớn dẫn đến độ rộng dải chuyển tiếp
cũng tăng. Do đó phải tăng bậc của bộ lọc để đạt được dải thông mong muốn.
Cửa sổ Kaiser có thông số β có thể điều chỉnh được, do vậy có thể điều chỉnh được
độ rộng búp bên so với đỉnh của búp chính. Cũng giống các hàm cửa sổ khác, độ rộng
búp chính có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh chiều dài cửa sổ, do vậy điều
chỉnh được độ rộng của dải chuyển tiếp. Với mục tiêu này, các bộ lọc số được thiết kế
rất có hiệu quả khi dùng hàm cửa sổ Kaiser.
Cửa sổ Kaiser được định nghĩa như sau:
][
1
2
11
)(
0
2
0
β
β
2
+
−
−−
=
, với I
≤
≤
210 (1.39)
Trong đó I
0
[.] là hàm Bessel bậc không được hiệu chỉnh ('#)$K$"#1#"$"
L$$)(#), còn β là tham số phụ thuộc vào bậc bộ lọc M và có thể chọn để có
được những độ rộng dải chuyển tiếp khác nhau cũng như có được độ suy giảm ở dải
chặn là gần tối ưu. Cửa sổ này có thể cung cấp những độ rộng dải chuyển tiếp khác
nhau với cùng một hệ số M, đây là điều mà các hàm cửa sổ khác không làm được.
Tuy nhiên, do tính phức tạp của hàm Bessel nên việc thiết kế bộ lọc với cửa sổ
Kaiser không phải dễ dàng. Thật may mắn là Kaiser đã phát triển những phương trình
thiết kế theo kinh nghiệm ($'"$$,(#) và chúng ta có thể sử dụng mà
không cần phải chứng minh.
PHẦN 2: THIẾT KẾ BỘ LỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ
"041
BẢN PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ:
STT HỌ VÀ TÊN NHIỆM VỤ
1 NGUYỄN THỊ LAN ANH THÔNG THẤP
2 HUỲNH ĐỨC HÒA THÔNG CAO
3 PHAN VIỆT HÙNG THÔNG DÃI
4 NGUYỄN HỮU KHÁNH DÃI CHẮN
5 HUỲNH VĂN MINH BẬC THANG
6 DƯƠNG TẤN QUỐC VI PHÂN
HỌC VIÊN: NGUYỄN THỊ LAN ANH
Thiết kế lọc FIR thông thấp bˆng phương pháp cửa sổ
Phương pháp cửa sổ đối với bộ lọc thông thấp
Ý tưởng cơ bản của việc thiết kế là: chọn một bộ lọc chọn tần lý tưởng (mà đáp ứng
xung luôn luôn phi nhân quả, dài vô hạn) và cắt (lấy cửa sổ - +#+) đáp ứng xung
"051
của nó để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả ($"$(
)$"). Bởi vậy, điểm quan trọng trong phương pháp này là việc chọn một hàm
cửa sổ thích hợp và một bộ lọc lý tưởng tương ứng.
Bộ lọc thông thấp lý tưởng (#$) có tần số cắt
ω
c
< π được cho bởi:
<<
<
=
−
πωω
ωω
ω
ω
M
M
D
D
N(
N($
$E
,0
,.1
)(
Đáp ứng xung
&
của bộ lọc lý tưởng này được cho bởi:
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
απ
αω
ω
π
π
π
ωωω
−
−
===
∫
−
−
$$E$E
M
DD
D
sin
2
1
)(
1
Chú ý rằng
& là đối xứng theo α, sự kiện này tiện dụng cho bộ lọc FIR có pha
tuyến tính. Ngoài ra
& có độ dài vô hạn và phi nhân quả.
Để thu được bộ lọc FIR có pha tuyến tính và nhân quả & có độ dài M, ta cần có:
Thao tác này được gọi là lấy cửa sổ (window). Tổng quát, đáp ứng xung & có thể có
được bằng cách lấy đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng
& nhân với hàm cửa sổ +&
như sau:
&G
&H
ω
&
Tuỳ thuộc vào cách định nghĩa hàm cửa sổ
ω
(n) (+#+)(#) chúng ta có những
cửa sổ thiết kế khác nhau. Chẳng hạn nếu dùng cửa sổ chữ nhật (Rectangular), thì hàm
cửa sổ được định nghĩa:
=
,0
,1
)(+
Trong miền tần số, đáp ứng của lọc FIR nhân quả %
ω
D
chính là tích chập vòng của
đáp ứng tần số bộ lọc lý tưởng %
#
ω
D
và đáp ứng tần số của hàm cửa sổ &
ω
D
:
E$
ω
D
&GE
$
ω
D
&
⊗
*$
ω
D
&
Hình dạng của %
ω
D
có thể được mô tả trực quan trên hình 2.Từ hình vẽ này chúng
ta có một số nhận xét quan trọng sau đây:
-Do cửa sổ w(n) có chiều dài M hữu hạn, đáp ứng của nó có một búp chính ('1
#$) có độ rộng tỷ lệ với 1/M, và các búp bên ($1#$) của nó có chiều cao thấp
hơn.
-Tích chập tuần hoàn sinh ra một phiên bản méo của đáp ứng xung lý tưởng E
$
ω
D
&.
"081
2
1
,
0
10)(
)(
−
=
−≤≤
=
2
2
α
(I
≤
≤
210
(1.34)
-Búp chính ('1#$) sinh ra một dải chuyển tiếp trong E$
ω
D
& mà độ rộng là
nguyên nhân tạo nên độ rộng dải chuyển tiếp ("#+). Độ rộng này tỷ lệ
với 1/M. Độ rộng búp chính càng lớn thì độ rộng dải chuyển tiếp càng lớn.
-Các búp bên ($1#$) sinh ra các gợn sóng có hình dạng như nhau trong cả dải
thông và dải chắn.
-Với các chỉ tiêu bộ lọc đã cho, chọn chiều dài bộ lọc và một hàm cửa sổ w(n) với độ
rộng main-lobe hẹp nhất và hệ số suy giảm side-lobe bé nhất có thể được. Từ 4 nhận
xét nêu trên ta chú ý rằng dung sai dải thông δ
1
và dung sai dải chắn δ
2
không thể ấn
định một cách độc lập. Ta lấy chung δ
1
= δ
2
.
Các bước thiết kế
- Dựa vào A
s
chọn cửa sổ thiết kế
- Từ F
p
, F
S
→tính TW →Tính M
"091
H(e)
H
d
(e)
W(e)
Max side-lobe height
Transition bandwidth
EO3@P,(QRST-"#'UV>
Main-lobe
width
- Tính hàm cửa sổ w(n)
M
- Tính tần số cắt
2
2
22
1
1
11
22
22
M
MM
M
MM
)
)
)
)
ππω
ππω
==
==
;
+=
+=
2/)(
2/)(
222
111
! M
! M
)))
)))
- Tính h(n) lý tưởng
- Dịch chuyển h(n) sang phải
2
1−2
mẫu, sau đó nhân với w(n)
N
)()
2
1
()( +
2
−
−=
h
d
(n): là đáp ứng xung của bộ lọc thiết kế.
- Từ h
d
(n) tính h
d
(Z) → Xây dựng sơ đồ cấu trúc.
- Lượng tử hóa và mã hóa các hệ số của bộ lọc
- Kiểm tra lại: Nếu không thỏa mãn yêu cầu thì tăng độ dài từ mã biểu diễn hệ
số bộ lọc.
Chương trình thiết kế:
Thiết kế một bộ lọc thông thấp LPF(Low Pass Filte) với các thông số sau :
0,25 ; 0,25
0,3 ; 50
L
J L
ω π
ω π
= =
= =
Tính toán, thiết kế bˆng phương pháp cửa sổ:
- WXJ
G8ILE''RXY'(@
2
0.54 0.46cos 0
( )
0 0,
2
+
2
2
π
− ≤ ≤
÷
=
< >
- Z2RX@
0,3 0,2 0,1
!
ω ω ω π π π
∆ = − = − =
6,6 6,6
1 1 67
0,1
!
2
π π
ω ω π
⇒ = + = + =
−
- O'V>[@
( )
/ 2 (0,2 0,3 ) / 2 0,25
M !
ω ω ω π π π
= + = + =
- O'=;<(&\]T^@
( )
1
2
M
M
D
M M
M
$
ω
ω
ω
ω ω
ω
π π ω
−
⇒ = =
∫
(tâm đối xứng tại n = 0)
- O'=;<(
&Q_V&@
"0A1
Ta có pha tuyến tính là
1
( )
2
2
θ ω ω
−
= −
,nên ta dịch chuyển h(n) sang phải
1
2
2 −
mẫu
( )
1
2
1
2
M
M
M
2
2
ω
ω
π
ω
−
−
÷
⇒ =
−
−
÷
(tâm đối xứng tại n =
1
2
2 −
)
Thay M = 67,
0,25
M
ω π
=
vào ta có
( )
( )
( )
67 1
1
0.25
33
0.25 1
2
4
1
67 1
4
33
0.25
4
2
π
π
π
π
−
−
−
÷
= =
−
−
−
÷
Ta nhân h(n) với cửa sổ Hamming (với M = 67) để tìm h
d
(n) :
&G
&H+&
Đến đây chúng ta đã có được bộ lọc cần thiết kế.
'()*+,-(
Trong phần này sẽ thực hiện chương trình thiết kế bộ lọc thông thấp bằng cách sử
dụng cửa sổ Hamming Chương trình sẽ nhận các chỉ tiêu yêu cầu của bộ lọc cần thiết
kế, sau đó thực hiện các bước thiết kế để tìm được đáp ứng xung h(n).
Để khảo sát bộ lọc vừa thiết kế, chương trình cũng sẽ thực hiện tính toán và vẽ đáp
ứng biên độ - tần số của bộ lọc theo dB, cũng như vẽ các đáp ứng xung lý tưởng h
d
(n),
hàm cửa sổ w(n) và đáp ứng xung bộ lọc thực tế h(n).
Chương trình được viết và chạy trên nền Matlab , với việc sử dụng một số hàm hỗ trợ
có sẵn của Matlab cho xử lý tín hiệu số, và một số hàm viết thêm được tham khảo từ
tài liệu (các hàm dưới dạng các file .m).
Chương trình Matlab
Các hàm sử dŠng
EY'$`
M
ω
?2&@ Tính đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp bậc M
function hd = ideal_lp(wc,M);
% Ided LouPass filter computation
% [hd] = ideal_lp(wc,M)
% kd = ideal impulse response betveen 0 to M-1
% wc = cutoff frequency in radians
% M = length of the ideal filter
alpha =(M-1)/2;
n = [0:1:(M-1)];
m = n - alpha + eps;
hd = sin(wc*m)./(pi*m);
EY' )"$,K`'?&@ Tính đáp ứng tần số của bộ lọc FIR có đáp ứng xung h.
function [db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);
% Modified version of freqz subroutine
%
% [db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(b,a);
% db=Relative magnitude in dB computed over 0 to pi
radians
"0B1
% mag=absolute magnitude computed over 0 to pi radians
% grd= Group delay over 0 to pi radians
% w=501 frequency samples between 0 to pi radians
% b=numerator polynomial of H(z) (for FIR: a=h)
% a=demonitor polynomial of H(z) (for FIR: a=[1])
[H,w]=freqz(b,a,1000,'whole');
H=(H(1:1:501))';w=(w(1:1:501))';
mag=abs(H);
db=20*log10((mag+eps)/max(mag));
pha=angle(H);
grd=grpdelay(b,a,w);
Chương trình thực hiện
%==========KHAI BAO THONG SO BO LOC==========
wp=0.2*pi;
ws=0.3*pi;
Tw=ws-wp;
M=ceil(6.6*pi/Tw)+1;
n=[0:1:M-1]
wc=(ws+wp)/2;
hd=ideal_lp(wc,M);
% ==========TINH CUA SO Hamming==========
w_ham=(hamming(M))';
%==========TINH DAP UNG XUNG THUC TE==========
h=hd.*w_ham;
% ==========TIM DAP UNG XUNG TAN SO BO LOC FIR==========
[db,mag,pha,grd,w] = freqz_m(h,[1]);
delta_w = 2*pi/1000;
% ==========DO GON SONG DAI THONG==========
Rp = -(min(db(1:1:wp/delta_w+1))) ;
As = -(round(max(db(ws/delta_w+1:1:501)))) ;
% ==========VE DAP UNG TAN SO==========
Subplot(1,1,1)
Subplot(2,2,1); stem (n,hd); title('Ideal Impulse Response');grid
Axis([0 M-1 -0.1 0.3]);
xlabel ('n'); ylabel('hd(n)');
Subplot (2,2,2); stem(n,w_ham); title('Hamming Window');grid
Axis([0 M-1 0 1.1]);
xlabel('n'); ylabel('w(n)');
Subplot(2,2,3); stem(n,h);title('Actual Impulse Response');grid
Axis([0 M-1 -0.1 0.3]);
xlabel('n');ylabel('h(n)');
Subplot(2,2,4);plot(w/pi,db); grid
Title('Magnitude Response in dB');
xlabel('Frequency in pi units');
ylabel('dB');
axis([0 1 -100 10]);
Kết quả chạy chương trình
Các chỉ tiêu thiết kế:
0,25 ; 0,25
0,3 ; 50
L
J L
ω π
ω π
= =
= =
Kết quả chạy chương trình thiết kế:
M=67
R
p
=0.0394
"0F1
A
S
=52
Như vậy bộ lọc vừa thiết kế thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Hình dạng của đáp ứng xung lý tưởng, đáp ứng xung thực tế bộ lọc, hàm cửa sổ
Hamming và đáp ứng biên độ tần số (theo dB) của bộ lọc được cho như trên
"3I1
"301
HỌC VIÊN: PHAN VIỆT HÙNG
Thiết Kế Bộ Lọc FIR Thông Dải Bˆng Phương Pháp Cửa Sổ
Bài toán thiết kế
Hãy thiết kế bộ lọc FIR thông dải pha tuyến tính theo phương pháp cửa sổ, với các chỉ
tiêu bộ lọc cần thiết kế được cho như sau:
•
Cạnh thấp của dải chắn: w
s1
•
Cạnh thấp của dải thông: w
p1
•
Cạnh cao của dải thông: w
p2
•
Cạnh cao của dải chắn: w
s2
•
Độ gợn sóng trong dải thông: R
p
•
Suy hao trong dải chắn: A
s
Các đại lượng này có thể được mô tả trên hình 2.1 như sau:
"331
A
s
R
p
w
s1
w
p1
w
p2
w
s2
π
0
Các chỉ tiêu của bộ lọc thông dải BPF (bandpass filter)
Điều kiện: w
s1
< w
p1
< w
p2
< w
s2
Hoặc bài toán cho các chỉ tiêu δ
1
và δ
2
ta cũng có thể tính được A
s
và R
p
dựa vào quan hệ giữa chúng theo công thức
0
1
1
1
1
10
log20 >
+
−
−=
δ
δ
(≈0)
0
1
1
2
10
log20 >
+
−=
δ
δ
J
(>>1)
Phương pháp thiết kế
Bước 1. ./010/#2)
Việc chọn loại cửa sổ sử dụng nhằm đảm bảo suy hao trong dải chắn thoả mãn
chỉ tiêu thiết kế A
s
yêu cầu của bài toán đặt ra.
Có đến 6 loại cửa sổ khác nhau, trong đó ngoại trừ cửa sổ Kaiser có suy hao
trong dải chắn có thể đạt được bằng cách thay đổi hệ số β, còn các cửa sổ khác có suy
hao trong dải chắn là cố định.
Ngoài ra, bậc M của bộ lọc phụ thuộc vào độ rộng của dải chuyển tiếp ∆w và phụ
thuộc vào loại cửa sổ được chọn. Với cùng 1 chỉ tiêu thiết kế, tức là cùng 1 giá trị độ
rộng dải chuyển tiếp ∆w, bậc của bộ lọc sẽ khác nhau nếu chọn các cửa sổ khác nhau.
Bởi vậy, việc chọn loại cửa sổ nào còn phụ thuộc vào quan điểm của người thiết
kế trên cơ sở dung hoà giữa việc đảm bảo được suy hao trong dải chắn theo đúng yêu
cầu bài toán và đảm bảo bậc bộ lọc đủ nhỏ.
Tuy nhiên, thông số được ưu tiên ở đây là suy hao A
s
, bởi sự thay đổi của bậc bộ
lọc M khi sử dụng các loại cửa sổ khác nhau là không nhiều lắm.
Bước 2. 3(45,'67,
• a(bP$": M được tính theo nhóm công thức (1.40), cũng từ
công thức này ta tính được hệ số β.
• a(b: M được xác định nhờ vào quan hệ giữa M với độ
rộng dải chuyển tiếp ∆w và có thể tính được dựa vào bảng tóm tắt được cho
trong hình 1.10.
Bước 3. 89-9/01:
Sử dụng các hàm có sẵn của Matlab với bậc bộ lọc M đã tìm được ở bước 2.
Bước 4. 894(;)<)7,=)#* >)
#
"341
Đáp ứng xung của bộ lọc thông dải lý tưởng có thể tìm được trên cơ sở kết hợp
đáp ứng xung của 2 bộ lọc thông thấp lý tưởng theo như hình 2.2 sau đây:Trong đó w
c1
và w
c2
lần lượt là tần số cắt của 2 bộ lọc thông thấp lý tưởng tương ứng, có thể được
tính từ các chỉ tiêu đã cho của bộ lọc thông dải thực tế:
w
c1
= (w
s1
+ w
p1
) / 2
w
c2
= (w
p2
+ w
s2
) / 2
"351
Đáp ứng xung của lọc thông thấp lý tưởng có thể tìm được từ công thức (1.29).
Bước 5. 894(;)<)7,?,@A
Đáp ứng xung của bộ lọc thông dải thực tế được tính bằng cách lấy đáp ứng xung
lý tưởng nhân với hàm cửa sổ (công thức 1.31), đây chính là thao tác lấy cửa sổ.
&G
&H+& (1.31)
Đến đây chúng ta đã có được bộ lọc cần thiết kế.
Chương trình Matlab
Trong phần này sẽ thực hiện chương trình thiết kế bộ lọc thông dải bằng cách sử dụng
cửa sổ Kaiser, cửa số blackman. Sau đó so sánh hai kết quả để tìm ra phương án thích
hợp nhất. Chương trình sẽ nhận các chỉ tiêu yêu cầu của bộ lọc cần thiết kế, sau đó
thực hiện các bước thiết kế để tìm được đáp ứng xung h(n).
Để khảo sát bộ lọc vừa thiết kế, chương trình cũng sẽ thực hiện tính toán và vẽ đáp
ứng biên độ - tần số của bộ lọc theo dB, cũng như vẽ các đáp ứng xung lý tưởng h
d
(n),
hàm cửa sổ w(n) và đáp ứng xung bộ lọc thực tế h(n).
1 Dùng cửa sổ kaiser
"381
[ ]
)(
)](sin[
)(
2
1
)()(
1
απ
α
π
π
π
−
−
===
∫
+
−
−
+
+$$E$E
D+D+
D+
(1.29)
