THIẾT KẾ BỘ LỌC THÔNG CAO THEO CẤU TRÚC FIR BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
TIỂU LUẬN MÔN HỌC
XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
ĐỀ TÀI: THIẾT KẾ BỘ LỌC THÔNG CAO THEO CẤU TRÚC
FIR BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ.
Giáo viên hướng dẫn : TS.Ngô Văn Sỹ
Học viên thực hiện : Huỳnh Đức Hòa
Lớp : Tự động hóa K-24
Đà Nẵng, tháng 4 năm 2012



LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay, xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã trở thành
một môn học cơ sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin
học, Viễn thông, Tự động hoá
Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị
như: CD, VCD, DVD, camera, y học , trong các hệ thống truyền hình số, thông
tin địa lý, bản đồ số, viễn thông v.v
Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến
nhiều nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số. Nếu xét về đáp ứng xung có
thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR
(Finite Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng
xung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy.
Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc thành 4 loại cơ bản:
thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải.
Các bộ lọc có thể được thiết kế bằng những phương pháp như: Phương
pháp cửa sổ, phương pháp lấy mẫu tần số và phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng
gợn sóng. Mỗi phương pháp đều có những đặc điểm và ưu khuyết điểm riêng.
Trong phạm vi đề tài tiểu luận này chỉ tập trung nghiên cứu một phần

nhỏ của xử lý tín hiệu số, đó là : Thiết kế bộ lọc thông cao theo cấu trúc
FIR bằng phương pháp cửa sổ.
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 1
PHẦN 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I.Xử lý tín hiệu số
Xử lý tín hiệu liên quan với sự biểu diễn, vận hành tín hiệu và các thông tin mà
chúng chứa đựng. Xử lý tín hiệu được sử dụng trong nhiều lĩnh vực. Chẳng hạn khi ta
muốn tách hai hay nhiều tín hiệu mà do một lý do nào đấy chúng bị kết hợp với nhau,
hoặc muốn tăng cường chất lượng một số thành phần hoặc một số thông số của một
mô hình tín hiệu nào đấy.
I.1.Tín hiệu số
Tín hiệu số là tín hiệu rời rạc (theo biến độc lập theo thời gian) đồng thời có
biên độ cũng rời rạc hoá. Tín hiệu số cung cấp đầu vào cần thiết cho tất cả các hoạt
động xử lý tín hiệu số. Tín hiệu số trong hầu hết các trường hợp được tạo ra từ bộ
A/D bằng cách lấy mẫu tín hiệu liên tục với chu kỳ lấy mẫu T
s
. Giá trị của tín hiệu số
ở thời điểm lấy mẫu là giá trị lượng tử hoá chọn gần giá trị tương tự nhất.
Có thể xem tín hiệu số như là hàm theo biến nguyên n, với n chỉ số mẫu. Vậy
có thể ký hiệu tín hiệu số là x(n)
I.2.Hệ thống xử lý tín hiệu số (hệ thống số)
Hệ thống xử lý tín hiệu số là hệ thống thực hiện biến đổi tín hiệu vào x(n) thành
tín hiệu ra y(n) nhằm một mục đích nào đó. Tín hiệu vào và ra đều là tín hiệu số. Tín
hiệu vào x(n) được gọi là tác động và tín hiệu ra y(n) được gọi là đáp ứng.
Vào
Ra
Tín hiệu số
x(n)
Tín hiệu số
y(n)

Hệ thống số
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 2
Xử lý tín hiệu sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như khi muốn tách
hai hay nhiều tín hiệu mà do một lý do nào đấy chúng bị kết hợp với nhau, hoặc muốn
tăng cường chất lượng một số thành phần, phục hồi các tín hiệu đã bị bóp méo
- Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu nó thoả mãn nguyên lý xếp chồng
T[a.x
1
(n) + b.x
2
(n)] = a.T[x
1
(n)] + b.T[x
2
(n)] = a.y
1
(n) + b.y
2
(n)
Trong đó: a,b là các hệ số
x
1
(n) , x
2
(n) : các tác động
y
1
(n) , y
2
(n) : các đáp ứng

- Một hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian nếu đáp ứng của hệ đối với tác
động x(n) là y(n) thì đáp ứng của hệ đối với tác động x(n - k) sẽ là y(n – k)
- Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là ổn định nếu và chỉ nếu đáp ứng xung
thỏa mãn điều kiện sau:
I.3.Bộ lọc số
Một hệ thống dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành phần của
một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho được gọi là bộ lọc số.
Các thao tác của xử lý dùng để làm biến dạng sự phân bố tần số của các thành
phần của một tín hiệu theo các chỉ tiêu đã cho nhờ một hệ thống số được gọi là sự lọc
số.
Một bộ lọc số là một hệ thống tuyến tính bất biến trong miền biến số n, sơ đồ
khối như sau:
ở đây:
Trong đó:
H(n)
y(n)x(n)
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−==−
mm
mnhmxnhnxmnxmh )()()(*)()()(
y(n) = h(n)*x(n)=
∑
∞
−∞=
∞<=
n

nhS |)(|
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 3
h(n):đáp ứng xung của hệ thống. Đáp ứng xung là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống
trong miền n.
Ngoài ra hệ thống còn được biểu diễn bởi phương trình sai phân tuyến tính sau đây:
Tổng hợp tất cả các hệ số a
k
và b
r
sẽ biểu diễn một hệ thống tuyến tính bất biến. Tức là
các hệ số a
k
và b
r
là đặc trưng hoàn toàn cho hệ thống
Trong miền Z hệ thống được đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(Z)
Nếu hàm truyền đặt H(Z) được đánh giá trên vòng tròn đơn vị đối với |Z|=1, thì chúng
ta có đáp ứng tần số H(e
j
ω
):
Y(e
j
ω
)=H(e
j
ω
).X(e
j
ω

)
Quan hệ cho thấy việc phân bố tần số của biên độ và pha của tín hiệu vào x(n) được
biến dạng bởi hệ thống tuỳ thuộc vào dạng của H(e
j
ω
).Chính dạng của H(e
j
ω
) đã xác
định việc suy giảm hoặc khuyếch đại các thành phần tần số khác nhau. Hệ thống
tương ứng với H(e
j
ω
) này được gọi là bộ lọc.
I.4.Các loại bộ lọc
Các bộ lọc có thể được mô tả đặc tính theo các tính chất của hệ thống, chẳng
hạn như tuyến tính, bất biến, nhân quả, ổn định Các bộ lọc còn được phân loại dựa
vào các dạng của đáp ứng tần số. Một số loại bộ lọc được mô tả dưới đây
I.4.1.Pha tuyến tính
∑∑
==
−=−
M
r
r
N
k
k
rnxbknya
00

)()(
∑
∑
=
−
=
−
=
N
k
k
k
M
r
r
r
Za
Zb
ZX
ZY
0
0
)(
)(
H(Z)=ZT[h(n)]=
∑
∑
=
−
=

−
=
N
k
kj
k
M
r
rj
r
j
j
ea
eb
eX
eY
0
0
)(
)(
ω
ω
ω
ω
H(e
jω
)=
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 4
Một hệ thống tuyến tính và bất biến được gọi là có pha tuyến tính (linear phase) nếu
đáp ứng tần số của hệ thống có dạng

H(e
j
ω
) =A(e
j
ω
) e
-j
αω
trong đó α là một số thực và A(e
j
ω
) là một hàm có giá trị thực của ω. Lưu ý rằng pha
của H(e
j
ω
) là
Tương tự, một bộ lọc được gọi là có pha tuyến tính được tổng quát hoà
(generalized linear phase) hay suy rộng nếu đáp ứng tấn số của bộ lọc có dạng
H(e
j
ω
) =A(e
j
ω
) e
-j(
αω
-
β

)
Như vậy, các bộ lọc có pha tuyến tính hoặc pha tuyến tính được tổng quát hoá
sẽ có trì hoãn nhóm là hằng số.
I.4.2.Cho mọi tần số
Một hệ thống được gọi là bộ lọc cho qua mọi tần số (allpass) nếu biên độ của
đáp ứng tần số là hằng số
|H(e
j
ω
) |=c
Một ví dụ cho bộ lọc cho qua mọi tần số là hệ thống có đáp ứng tần số
trong đó α là một số thực và |α|<1
Đáp ứng xung đơn vị của bộ lọc cho qua mọi tần số này là
h(n) = -αδ(n) + (1 - α
2
) α
n-1
u(n-1)
I.4.3.Các bộ lọc chọn lọc tần số
Nhiều bộ lọc trong các ứng dụng quan trọng cần có các biên độ của đáp ứng tần số là
hằng số trong từng khoảng tần số. Các bộ lọc này bao gồm bộ lọc thông thấp (low-
φ
h
(ω) =
-αω khi A(e
jω
) ≥ 0
-αω + π khi A(e
jω
) < 0

H(e
jω
) =
ω
ω
α
α
j
j
e
e
−
−
−
−
1
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 5
pass filter), bộ lọc thông cao (high-pass filter), bộ lọc thông dải (band-pass filter), bộ
lọc chắn dải (band-stop filter).
Các khoảng tần số mà ứng với khoảng này đáp ứng tần số có biên độ bằng 1 được gọi
là các dải thông (passband), còn các khoảng tần số có biên độ của đáp ứng tần số bằng
0 được gọi là các dải chắn (stopband). Các tần số đánh dấu các cạnh của các dải thông
và dải chắn được gọi là các tần số cắt (cutoff frequency).
II.Bộ lọc số có đáp ứng chiều dài hữu hạn Fir
II.1.Bộ lọc số Fir
II.1.1.Đáp ứng xung vô hạn và hữu hạn
Người ta phân biệt hai tổng hợp của đáp ứng xung: hệ có đáp ứng xung hữu hạn (Fir)
và hệ có đáp ứng xung vô hạn (IIR) . Chúng ta hãy xem xét đáp ứng xung của hệ
tuyến tính bất biên có phương trình sai phân hệ số hằng:
- Nếu N=0: phương trình thành

-π
-ω
c
ω
c
π
|H(e
jω
)|
1
0
Bộ lọc thông thấp lý tưởng
-π
-ω
c
ω
c
π
|H(e
jω
)|
1
0
Bộ lọc thông cao lý tưởng
ω
ω
-π
-ω
1
π

|H(e
jω
)|
1
0
Bộ lọc dải thông lý tưởng
ω
-ω
2
ω
1
ω
2
-π
-ω
1
π
|H(e
jω
)|
1
0
Bộ lọc dải chặn lý tưởng
ω
-ω
2
ω
1
ω
2

∑∑
==
−=−
M
r
r
N
k
k
rnxbknya
00
)()(
∑
=
−=
M
r
r
rnx
a
b
ny
0
0
)()(
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 6
Đáp ứng xung trong trường hợp này là:
Nói cách khác: hệ có đáp ứng xung hữu hạn (FIR). Do tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào
tín hiệu vào nên các hệ này còn được gọi là mạch không truy hồi hay mạch không đệ
quy.

- Nếu N>0: phương trình sai phân có đầy đủ thành phần. Hệ xử lý sẽ có đáp ứng xung
có độ dài vô hạn hay đáp ứng xung vô hạn (IIR). Tín hiệu ra không chỉ phụ thuộc vào
tín hiệu vào mà còn phụ thuộc và quá khứ của chính tín hiệu ra, vì vậy còn được gọi
là các mạch có truy hồi hay đệ quy.
II.1.2.Bộ lọc Fir
Khái niệm: Bộ lọc Fir là một hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung có chiều dài
hữu hạn.
- Phương trình biểu diễn quan hệ vào ra của bộ lọc số Fir
- Đáp ứng xung của bộ lọc số Fir
- Đáp ứng tần số của bộ lọc số Fir
- Bộ lọc số FIR có hàm tổng truyền tổng quát dạng
∑
=
−=−++−+=
M
r
rM
rnxbMnxbnxbnxbny
0
10
)()( )1()()(
∑
=
−=
M
r
r
rnbnh
0
)()(

δ
∑
=
−
=
M
r
rj
r
ebH
0
)(
ω
ω
∑
=
M
r
r
a
b
0
0
h(n) =
với n=0,1,2, M
0 với n<0
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 7
Trong đó hệ số của hàm truyền b
r
chính là các giá trị đáp ứng xung của bộ lọc

Tức là: L[b(n)] = [0, M-1] = M
Như vậy điều kiện ổn định luôn luôn thỏa mãn:
∑∑
−
=
∞
−∞=
∞<=
1
0
|)(||)(|
M
nn
nbnb
II.2.Đáp ứng xung của bộ lọc Fir pha tuyến tính
Giả sử h(n) là đáp ứng xung của bộ lọc FIR xác định với các mẫu:
n = 0, 1, , M-1, tức là:
L[ h(n) ] = [0, M-1] = M
Hàm truyền của nó như sau:
H(z) =
∑
−
=
−
1N
0n
n
Z)n(h
= h(0) + h(1)z
-1

+ . . . + h(N-1)z
-(N-1)
Đáp ứng xung: h(n)
= IFT
[H(e
j
ω
)] =
ω
π
ω
−
ω
∫
de)e(H
2
1
nj
x
x
j

Đáp ứng tần số: H(e
j
ω
) =
FT
[h(n)] =
nj
1N

0n
e)n(h
ω−
−
=
∑

Hoặc là: H(e
j
ω
) = | H(e
j
ω
) | .e
j
ϕ
(
ω
)
Để đảm bảo thuận lợi cho việc thiết kế bộ lọc FIR pha tuyến tính ta sẽ biểu diễn
dưới dạng đáp ứng biên độ A(e
j
ω
) và pha θ(ω).
Lúc này đáp ứng tần số H(e
j
ω
) = A(e
j
ω

) . e
j
θ
(
ω
)
Và pha: θ(ω) = β - αω với -π ≤ ω ≤ π
Thời gian lan truyền tín hiệu τ được tính như sau:
∑
=
−−−
=+++=
M
r
r
r
M
M
zbzbzbbzH
0
1
10
)(
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 8
τ =
ω
ωθ
d
)(d
= - α

Vậy hằng số α sẽ biểu diễn thời gian truyền tín hiệu.
Chúng ta sẽ nghiên cứu hai trường hợp sau:
II.2.1. Trường hợp 1
β = 0 ==> θ(ω) = - αω với -π ≤ ω ≤ π
Ta có: H(e
j
ω
) = A(e
j
ω
) . e
j
θ
(
ω
)
= A(e
j
ω
) . e
-j
αω
= A(e
j
ω
) .[cos αω - jsin αω]
Mặt khác: H(e
j
ω
) =

∑
−
=
ω−
1n
0n
nj
e)n(h
=
∑
−
=
ω−ω
1n
0n
]nsinjn)[cosn(h
Đồng nhất hai vế ta có:
A(e
j
ω
)sin αω =
∑
−
=
ω
1n
0n
nsin)n(h
A(e
j

ω
)cos αω =
∑
−
=
ω
1n
0n
ncos)n(h
Chia vế theo vế ta có:
αωtg
tg
+Nếu
α
=0: tg0 = 0
⇒
h(0)
≠
0 và h(n)=0 với n
≠
0
Đây là trường hợp h(n) tầm thường, ta không xét.
- Nếu
≠
α
0:
Ta có:

=
∑

−
=
noscnh
N
n
ωαω
1
0
)(sin
nnh
N
n
ωαω
∑
−
=
1
0
sin)(cos

αωω−αωω⇒
∑
−
=
cos.nsinsin.n[cos)n(h
1N
0n

∑
=ω−α⇒ 0])nsin[()n(h

Giải phương trình trên ta được nghiệm:
α = (M-1)/2
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 9
h(n) = h(M-1-n) ( 0 ≤ n ≤ M-1 )
Từ đây ta có bộ lọc FIR tuyến tính với đáp ứng xung h(n) đối xứng.
II.2.2. Trường hợp 2
β
≠
0 ==> θ(ω) = β - αω với -π ≤ ω ≤ π
H(e
j
ω
) = A(e
j
ω
) . e
j
θ
(
ω
)
= A(e
j
ω
) . e
j(
β
-
αω
)

Tương tự chứng minh trên ta có:

∑

−

=

=

−

+

1

0

0

]

)

(

sin[

)

(

M
n

n

n

h

ω

α

β

Giải phương trình trên ta được nghiệm:
α = (M-1)/2 ; β = ± π/2
h(n) = -h(M-1-n) ( 0 ≤ n ≤ M-1 )
Từ đây ta có bộ lọc FIR tuyến tính với đáp ứng xung h(n) phản đối xứng.
II.2.2. Các loại bộ lọc Fir
II.2.2.1.Bộ lọc Fir loại 1
Bộ lọc pha tuyến tính loại 1 có đáp ứng xung đơn vị đối xứng:
h(n)=h(M-n) 0≤n≤M
+ M: số chẵn
+ Tâm đối xứng: ở khoảng điểm α=M/2
+ Đáp ứng tần số: có thể biễn diễn dưới dạng
với a(0)=h(M/2)
a(k)=2h(M/2-k) k=1,2, M/2

H(e
j
ω
) =
FT
[h(n)] =

∑

−

=

−

1

0

)

(

M
n

n

j

e

n

h

ω

∑
=
−
2/
0
2/
)cos()(.
M
k
jM
kkae
ω
ω
H(e
jω
)=
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 10
II.2.2.2.Bộ lọc Fir loại 2
Bộ lọc pha tuyến tính loại 2 có đáp ứng xung đơn vị đối xứng:
h(n)=h(M-n) 0≤n≤M
+ M: là số lẻ
+ Tâm đối xứng: tại giá trị nửa số nguyên M/2

+ Đáp ứng tần số:

với b(k)=2h((M+1)/2 - k) k=1,2, M/2
II.2.2.3.Bộ lọc Fir loại 3
Bộ lọc có pha tuyến tính loại 3 có đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng
h(n)=-h(M-n)
với
+ M: số chẵn
+ Tâm đối xứng: ở khoảng α=M/2 α là một số nguyên
+ Đáp ứng tần số:
∑
+
=
−












−
2/)1(
1
2/

2
1
cos)(.
M
k
jM
kkbe
ω
ω
H(e
jω
)=
∑
=
−
2/
1
2/
)sin()(.
M
k
jM
kkcje
ω
ω
H(e
j
ω
)=
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 11

với c(k)=2h(M/2 - k) k=1,2 M/2
II.2.2.4.Bộ lọc Fir loại 4
Bộ lọc có pha tuyến tính loại 4 có đáp ứng xung đơn vị phản đối xứng
h(n)=-h(M-n)
với
+ M: số lẻ
+ Tâm đối xứng: ở khoảng giá trị nửa nguyên α=M/2
+ Đáp ứng tần số:
với d(k)=2h((M+1)/2 - k) k=1,2 M/2
II.3.Cấu trúc bộ lọc số Fir
∑
+
=
−












−
2/)1(
1
2/

2
1
sin)(.
M
k
jM
kkdje
ω
ω
H(e
j
ω
)=
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 12
Phương pháp thông dụng nhất để thực hiện một bộ lọc Fir là phương pháp dạng
trực tiếp (direct form), phương pháp này sử dụng đường trì hoãn rẽ nhánh (tapped
delay line)
H(z)=b
0
+ b
1
z
-1

+ + b
M-1
z
-M+1

Ví dụ với M=5 thì y(n)=b

0
x(n) + b
1
x(n-1) + b
2
x(n-2) + b
3
x(n-3) + b
4
x(n-4)
Ngoài ra còn có các dạng khác như dạng nối tầng, bộ lọc có pha tuyến tính, và lấy
mẫu tần số
II.4.Những ưu điểm của bộ lọc số FIR
Thiết kế bộ lọc số FIR tức là tìm cách thu được hàm truyền của bộ lọc số đó hoặc
phương trình sai phân của nó với dải thông ω
p
, sai số trong dải thông (hay còn gọi là
độ mấp mô) δ
1
, tần số cắt ω
s
và độ mấp mô δ
2
(hay còn gọi là độ suy giảm A
s
) của dải
chắn cho trước.
Đặc điểm chính của bộ loc FIR là:
- Các bộ lọc FIR được thực hiện một cách không đệ quy là ổn định cố hữu, vì
đáp ứng xung của nó có độ dài hữu hạn và do đó luôn luôn bị giới nội.

- Có thể thực hiện các bộ lọc số FIR và đáp ứng pha của nó tuyến tính một cách
tuyệt đối. Vì vậy không có sự bóp méo dạng do trễ và chỉ có số lượng độ cố
định các bộ trễ. Đặc điểm này đóng vai trò quan trọng trong xử lý tiếng nói,
1
0
1
−
z
b
b
= b
0
(1+


+ +


1
0
1
+−
−
M
M
z
b
b
)

= b
0




(1 + B
K,1
z
-1
+ B
K,2
z
-2
)


∏
=
K
k 1
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 13
trong dẫn truyền số liệu và trong xử lý tương quan. Ở đây sự phi tuyến của pha
là tác nhân gây nên sự bóp méo tín hiệu.
- Các bộ lọc FIR được thực hiện rất có hiệu quả trong các DSP đa tốc độ, vì có
thể sử dụng DFT để thực hiện chúng

- Các bộ lọc FIR có thể được thiết kế chỉ sử dụng các phép tính số thực học,
không chứa các phép tính số học trên số phức.
- Các vấn đề về độ chính xác hệ số vốn là nhữung yêu cầu rất nghiêm ngặt đối
với các bộ lọc IIR, thì đối với các bộ lọc FIR nó ít nghiêm ngặt hơn, nếu cả hai
có cùng tính chất như nhau.
- Nhược điểm chính của mạch lọc FIR so với IIR là bậc cao hơn nếu cả hai có
cùng quy định, do vậy trong mạch lọc FIR đòi hỏi nhiều bộ nhớ hơn.
PHẦN2
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 14
THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ
III.1.Các bước thiết kế bộ lọc
Bước 1 : Quá trình thiết kế được bắt đầu bằng việc xác định các đặc tính (thông số)
của bộ lọc.
Bước 2 : Khi các đặc tính của bộ lọc đã được xác định thì bước kế tiếp là tìm tập các
hệ số của bộ lọc, các hệ số này phải tạo ra một bộ lọc chấp nhận được.Sản phẩm của
bước 2 là phương trình sai phân (diference equation) hoặc hàm hệ thống H(z) hoặc
đáp ứng xung H(n).Ở đây chỉ nghiên cứu việc thiết kế bằng phương pháp cửa sổ.
Bước 3 :
Sau khi bộ lọc đã được thiết kế, bước sau cùng là thực hiện hệ thống này bằng phần
cứng hoặc phần mềm, lượng tử hoá các hệ số của bộ lọc nếu cần và chọn cấu trúc bộ
lọc thích hợp
III.2.Thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ
Có ba phương pháp chính để tổng hợp bộ lọc số Fir:
- Phương pháp cửa sổ
- Phương pháp lấy mẫu tần số
- Phương pháp lặp
Phương pháp dễ thực hiện nhất để thiết kế bộ lọc FIR là dùng các hàm cửa số.
Phương pháp này được xây dựng bằng cách cắt gọt 1 đáp ứng xung lý tưởng có độ dài
vô hạn h
d

[n] tương ứng với đáp ứng tần số H
d
(e
j
ω
) bằng một hàm cửa sổ w[n] có độ
dài hữu hạn thích hợp. Các hệ số đáp ứng xung được cho bởi công thức:
h[n] = h
d
[n] w[n]
Nhờ việc chọn hàm cửa sổ w[n] mà có các thiết kế tối ưu.
III.2.1.Cửa sổ chữ nhật
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 15
-Trong miền n cửa sổ chữ nhật được định nghĩa như sau:
-Đồ thị có dạng
III.2.2. Cửa sổ Barlett
Với mục đích giảm biên độ của các đỉnh thứ cấp của cửa sổ chữ nhật, chúng ta chọn
một cửa sổ khác có dạng tam giác cân, gọi là cửa sổ tam giác hay cửa sổ Barlett
-Trong miền n cửa sổ tam giác được định nghĩa như sau:
-Đồ thị có dạng: Với M=9 thì
III.2.3. Cửa sổ Hanning
w(n) =
1 0≤ n ≤ M-1
0 Các trường hợp khác
0 Các trường hợp khác
ω(n) =
0≤ n ≤
2 -
≤ n ≤ M - 1
2n

M-1
M-1
2
2n
M-1
M-1
2
n
ω(n)
0 4
8
1/2
1
0 Các trường hợp khác
ω(n) =
0≤ n ≤ 4
2 -
4 ≤ n ≤ 8
n
4
n
4
n
ω(n)
0 M-1
1
-1

.
1 M

w(n) =
0 Các trường hợp khác






Π
+






Π
−
M
n
M
n 4
cos08.0
2
cos5.042.0
0≤ n ≤ M
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 16
III.2.4. Cửa sổ Hamming
III.2.5. Cửa sổ Blackman
III.2.6. Cửa sổ Kaiser

Để đạt được độ suy giảm của dải chắn như mong muốn, các nhà thiết kế tìm một hàm
cửa sổ đáp ứng được các yêu cầu của thiết kế. Nhưng các hàm cửa sổ có mức cánh
bên càng thấp thì độ rộng của cánh chính lại càng lớn. Do đó phải tăng bậc của bộ lọc
để đạt được dải thông mong muốn.
Cửa sổ Kaiser có thông số α có thể điều chỉnh được, do vậy có thể điều chỉnh được
độ rộng cánh bên so với đỉnh của cánh chính. Cũng giống các hàm cửa sổ khác, độ
rộng cánh chính có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh chiều dài cửa sổ, do vậy
điều chỉnh được độ rộng của dải chuyển tiếp. Với mục tiêu này, các bộ lọc số được
thiết kế rất có hiệu quả khi dùng hàm cửa sổ Kaiser
Định nghĩa: Trong miền n dạng tổng quát của cửa sổ Kaiser được định nghĩa như
sau:
Ở đây:
+ I
0
(x) là hàm Bessel biến dạng loại 1
w(n) =
0 Các trường hợp khác






Π
+







Π
−
M
n
M
n 4
cos08.0
2
cos5.042.0
0≤ n ≤ M
w(n) =
0 Các trường hợp khác






Π
−
M
n2
cos46.054.0
0≤ n ≤ M
w(n) =
0≤n≤M















−
−−
2
0
1
2
11
M
n
I
β
||
0
β
I
0 Các trường hợp khác
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 17
+ β: là tham số đặc trưng cho việc trao đổi năng lượng giữa đỉnh trung tâm và đỉnh
thứ cấp.

III.2.7. Thiết kế bộ lọc Fir có pha tuyến tính sử dụng cửa sổ
Đáp ứng tần số của bộ lọc được thiết kế bằng phương pháp thiết kế cửa sổ xấp xỉ ra
sao đối với đáp ứng được yêu cầu, H
d
(e
j
ω
), được xác định bởi hai thừa số :
- Độ rộng của thuỳ chính (main lobe) của W(e
j
ω
)
- Biên độ đỉnh của thuỳ bên cạnh (side-lobe) của W(e
j
ω
)
Một cách lý tưởng, độ rộng của thuỳ chính cần hẹp và biên độ của thuỳ bên cần nhỏ.
Tuy nhiên, với một cửa sổ có chiều dài cố định, hai yêu cầu trên không thể tối thiểu
hoá độc lập được. Một vài tính chất tổng quát của các cửa sổ là :
- Khi chiều dài N của cửa sổ tăng, độ rộng của thuỳ chính giảm, điều này dẫn
đến sự suy giảm trong độ rộng chuyển tiếp giữa các dải thông và dải chận.Quan
hệ này được cho một cách xấp xỉ bởi N∆f=c
với ∆f là độ rộng chuyển tiếp và c là một thông số phụ thuộc vào cửa sổ
- Biên độ đỉnh của thuỳ bên của cửa sổ được xác định bởi dạng của cửa sổ và
nhất thiết độc lập với chiều dài của cửa sổ
- Nếu dạng của cửa sổ được thay đổi để giảm biên độ của biên độ của thuỳ bên,
độ rộng của thuỳ chính, một cách tổng quát sẽ tăng
Mặc dù việc việc sử dụng phương pháp thiết kế dùng cửa sổ sẽ đơn giản hoá việc thiết
kế bộ lọc, nhưng có một số giới hạn của phương pháp này :
β =

0.1102(A
s
– 8.7) A
s
>50
0.5842(A
s
– 21)
0.4
+ 0.07886(ω
s
- 21) 20≤ As ≤ 50
0 As ≤ 21
I
0
(x) =
( )
2
1
!
2
1
∑
∞
=







+
k
k
k
x
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 18
- Trước tiên, cần phải tìm hiểu dạng thức đóng cho h
d
(n)
- Giới hạn thứ hai, đối với việc chọn lọc tần số, các độ rộng chuyển tiếp giữa các
dải tần số, và các độ gợn trong dải này, một cách gần đúng sẽ bằng nhau. Kết
quả là phương pháp thiết kế sử dụng cửa sổ đòi hỏi bộ lọc cần được thiết kế với
các dung sai khít khao nhất trong mọi dải bằng cách lựa chọn độ rộng chuyển
tiếp nhỏ nhất và độ gợn nhỏ nhất.
Một giới hạn nữa, các bộ lọc được thiết kế theo phương pháp sử dụng cửa sổ, một
cách tổng quát, không tối ưu theo nghĩa các bộ lọc này không có độ gợn nhỏ nhất có
thể có đối với bậc cho trước của bộ lọc và tập các tần số cắt cho trước.
Các giá trị khi sử dụng hàm cửa sổ:
Cửa sổ Độ rộng chuyển
tiếp ∆ω
∆f = ∆ω/2π
Độ suy giảm dải
chắn (dB)
Chữ nhật
1.8π/M
0.9/M 21dB
Barllet
6.1π/M
3.05/M 25dB

Hanning
6.2π/M
3.1/M 44dB
Hamming
6.6π/M
3.3/M 53dB
Blackman
11π/M
5.5/M 74dB
Với cửa sổ Kaiser:
Thông số β
Độ rộng chuyển tiếp
(M∆f)
Suy giảm giản chắn (dB)
2.0 1.5 29
3.0 2.0 37
4.0 2.6 45
5.0 3.2 54
6.0 3.8 63
7.0 4.5 72
8.0 5.1 81
9.0 5.7 90
10.0 6.4 99
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 19
PHẦN 3. ỨNG DỤNG
THIẾT KẾ BỘ LỌC THÔNG CAO CẤU TRÚC FIR BẰNG
PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ.
Bài toán: Thiết kế bộ lọc thông cao FIR dùng phương pháp cửa sổ,Với:
- Tần số lấy mẫu f
s

= 20KHz
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 20
- Tần số dải thông cut-off f
c
= 5KHz
- Chiều dài của cửa sổ N = 7
Bài giải: Ta chọn phương pháp cửa sổ tam giác(Bartlett Windown)
Ta có:
2
2 5000
20000 2
c
c
s
f
f
π
π π
ω
∗
∗
= = =
- Theo định nghĩa cửa sổ tam giác trong miền n:


- Với: N = 7 Ta có cửa sổ tam giác:

( )
( )
( )

( )
0 3
3
2 3 6
3
0
T
N
n
n n
n
π
π
ω
 
≤ ≤
 
 
 
= − ≤ ≤
 
 
≠
 
 
 
Cửa sổ tam giác(H-a) trên có tâm đối xứng tại n =
1
2
N −

= 3.
Ta xét bộ lọc thông caopha: 0
( )
θ ω
= 0 (pha 0, tâm đối xứng nằm tại 0)

( ) ( )
sin
c c
HP
c
n
h n n
n
ω ω
δ
π ω
= −
0 Các trường hợp khác
ω(n) =
0≤ n ≤
2 -
≤ n ≤ N - 1
2n
N-1
N-1
2
2n
N-1
N-1

2
-1
1 2
5
4 7
-1
1/3
n
ω(n)
0 3 6
1/2
1
-1
1 2
5
4 7
-1
1/3
n
ω(n)
0 3 6
1/2
1
-1
1 2
5
4 7
-1
1/3
n

ω(n)
0 3 6
1/2
1
-1
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 21
Bộ lọc cần thiết kế phải có pha:
( )
θ ω
= -
1
2
N −
ω
vậy ta dịch chuyển h
HP
(n) như sau:
( )
1
sin
1
2
1
2
2
c
c
HP
c
N

n
N
h n n
N
n
ω
ω
δ
π
ω
−
 
−
 
−
 
 
= − −
 ÷
−
 
 
−
 
 
(*)
Thay N = 7 và
2
c
π

ω
=
vào (*) ta có:
( ) ( )
[ ]
[ ]
sin 3
1
2
3
2
3
2
HP
n
h n n
n
π
δ
π
−
= − −
−
Ta nhân h
HP
(n) với cửa sổ tam giác hình (H-a) ta sẽ có được h
d
(n) cần tìm n:
h
HP

(n)
n
1
2
4 5 6
7
8
9
0
1 2
3
-1
1
3
π
h
HP
(n)
1
3
π
Tiểu luận: Xử lý tín hiệu số Trang 22
Xác định
( ) ( ) ( )
T d
N
n h n h n
ω
∗ =
với N = 7. Ta có dạng sóng:

h
d
(n) đối xứng tại n= 3 nên ta có:
( ) ( )
2
2 4
3
d d
h h
π
= − =
( ) ( ) ( ) ( )
1 0 0 5 6
d d d d
h h h h
= = = =
( )
1
3
2
d
h
=
Hàm truyền đạt của bộ lọc:
H
d
(z) =
( )
6
2 3 4

0
2 1 2
3 2 3
n
d
n
h n
π π
− − − −
=
Ζ = − Ζ + Ζ − Ζ
∑
-1
h
d
(n)
7
4 5 60
1
2
3
-1
1
2
2
3
π
−
n