Một số phương pháp tính giới hạn và ước lượng trong các dãy số tuần hoàn và phản tuần hoàn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN XUÂN THỦY
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN
VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ
TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN XUÂN THỦY
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN
VÀ ƯỚC LƯỢNG TRONG CÁC DÃY SỐ
TUẦN HOÀN VÀ PHẢN TUẦN HOÀN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số 60.46.01.13
Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
i
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Chương 1. Một số tính chất cơ bản của dãy số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Các tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hòa . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Một số định lý về giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Dãy số chuyển tiếp các đại lượng trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1. Phép chuyển các đại lượng trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2. Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình nhân . . . . . . . 6
1.3.3. Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình điều hoà. . . . . . 8
1.3.4. Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình bậc hai . . . . . 9
Chương 2. Các bài toán về xác định dãy số tuần hoàn và phản tuần
hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1. Xác định dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . 11
2.2. Xác định dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . 14
2.3. Một số bài toán khác liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 3. Giới hạn của dãy số sinh bởi các trung bình cơ bản và các
dạng toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1. Giới hạn dãy số sinh bởi các trung bình cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Về các dãy số xác định bởi dãy các phương trình . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Định lý về giới hạn tương đương và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4. Sử dụng tích phân để tính giới hạn của dãy . . . . . . . . . . . . . . . 50
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
ii
MỞ ĐẦU
Chuyên đề dãy số và các vấn đề liên quan đến dãy số là một phần quan
trọng của đại số và giải tích toán học. Đối với học sinh phổ thông, những khái
niệm dãy số thường khó hình dung về cấu trúc đại số trên tập các dãy số,
đặc biệt là các phép tính đối với các dãy có chứa tham số, các phép biến đổi
dãy và đại số các dãy, Có nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đề
này liên quan đến các kỳ thi học sinh giỏi bậc THPT và các kỳ thi olympic
sinh viên.
Dãy số có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng
để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của giải tích
toán học.
Các bài toán về tính giá trị các tổng, tích cũng như các bài toán cực trị
và xác định giới hạn của một biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít

nhiều đến các đặc trưng của dãy tương ứng.
Các bài toán về dãy số đã được đề cập ở các giáo trình cơ bản về giải tích
toán học và một số tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh chuyên toán bậc
trung học phổ thông.
Luận văn Một số phương pháp tính giới hạn và ước lượng trong các dãy
số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhằm cung cấp một số kiến thức cơ bản về
dãy số và một số vấn đề liên quan đến dãy số tuần hoàn, phản tuần hoàn
cộng tính và nhân tính. Đồng thời cũng cho phân loại một số dạng toán về
dãy số theo dạng cũng như phương pháp giải.
Nội dung của Luận văn gồm phần mở đầu và ba chương.
Chương 1. Một số tính chất cơ bản của dãy số.
Nội dung của chương này nhằm trình bày định nghĩa các dãy số đặc biệt và
các tính chất liên quan. Đồng thời trình bày một số bài toán áp dụng liên
quan đến cấp số cộng, cấp số nhân và các tính chất đặc biệt của chúng. Trình
bày tính chất của các dãy số chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản.
Chương 2. Các bài toán về xác định dãy số tuần hoàn và phản tuần hoàn.
Chương này nhằm giới thiệu một số bài toán về xác định dãy tuần hoàn và
phản tuần hoàn cộng tính. Nêu một số tính chất cơ bản của dãy số và các
bài toán xác định các dãy số liên quan đến các hàm sơ cấp ở phổ thông.
Chương 3. Các bài toán về xác định giới hạn của dãy số.
iii
Chương này nhằm khảo sát về giới hạn dãy số sinh bởi các trung bình cơ
bản, về giới hạn của các dãy số xác định bởi dãy các phương trình và trình
bày định lý về giới hạn tương đương và áp dụng và sử dụng tích phân để
tính giới hạn.
Em xin được gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến GS TSKH NGND Nguyễn
Văn Mậu – người thầy đã luôn đồng hành cùng em trong suốt quá trình
nghiên cứu. Tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc để em có
thể hoàn thành được bài luận văn này.
Em cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô, đặc biệt là các thầy cô trong

khoa Toán – Tin - Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy,
hướng dẫn, động viên em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin được cám ơn gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều
kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành mọi công việc, nhiệm vụ của mình.
Trong quá trình làm việc do thời gian và năng lực cá nhân còn hạn chế
nên luận văn không tránh khỏi những khiếm khuyết. Em xin được lắng nghe
những ý kiến đóng góp của quý thầy cô để em có thể hoàn thiện hơn bản
luận văn của mình.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 5 năm 2014
Tác giả: Nguyễn Xuân Thủy
1
CHƯƠNG 1
Một số tính chất cơ bản của dãy số
1.1. Các tính chất của dãy số
1.1.1. Cấp số cộng, cấp số nhân và cấp số điều hòa
Định nghĩa 1.1 (Cấp số cộng). Dãy số {u
n
} thỏa mãn điều kiện: u
n+1
=
u
n
+ d với mọi số tự nhiên n và d là một hằng số cho trước được gọi là một
cấp số cộng, d được gọi là công sai.
* u
n
được gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng {u
n
}. Nếu cho trước
n ta có cấp số cộng hữu hạn

* Nếu d = 0 thì ta có dãy số mà u
0
= u
1
= . . . . Khi đó dãy {u
n
} được
gọi là dãy hằng.
* Ký hiệu: S
n
= u
0
+ u
1
+ ··· + u
n
được gọi là tổng của n số hạng đầu
tiên của cấp số cộng.
Nhận xét 1.1. Nếu {u
n
} là một cấp số cộng công sai d, thì ta có:
* u
n
= u
1
+ (n −1)d,
* 2u
k
= u
k−1

+ u
k+1,
∀k ≥ 2,
* S
n
= nu
1
+
n(n −1)d
2
=
(u
1
+ u
n
)n
2
.
Bài toán 1.1. Cho {u
n
} là một cấp số cộng mà các số hạng đều là số nguyên
dương. Giả sử trong dãy có một số chính phương. Chứng minh rằng trong
dãy đó có vô hạn các số chính phương.
Giải. Giả sử dãy {u
n
} có công sai d > 0 và x là một số chính phương trong
dãy và x = m
2
. Khi đó: (m + kd)
2

= m
2
+2mkd+k
2
d
2
= x+d

2mk + k
2
d

.
Điều này chứng tỏ trong dãy có vô hạn số chính phương.
Bài toán 1.2. Cho các số dương u
1
, u
2
, . . . u
n
. (2 ≤ n ∈ N) lập thành cấp
số cộng với công sai d > 0. Chứng minh rằng:
1
√
u
1
+
√
u
2

+
1
√
u
2
+
√
u
3
+
··· +
1
√
u
n−1
+
√
u
n
=
n −1
√
u
1
+
√
u
n
.
2

Giải. Nhận xét rằng
1
√
u
k
+
√
u
k+1
=
√
u
k+1
−
√
u
k
d
, Cho k = 1, 2, . . . (n−
1). và cộng theo vế ta được:
V T =
1
d
[(
√
u
2
−
√
u

1
) + (
√
u
3
−
√
u
2
) + ··· + (
√
u
n
−
√
u
n−1
)]
=
1
d
(
√
u
n
−
√
u
1
) =

1
d
u
n
− u
1
√
u
n
+
√
u
1
=
n −1
√
u
1
+
√
u
n
= V P
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài toán 1.3. Cho các số dương u
1
, u
2
, u
n

lập thành cấp số cộng. Tính
tổng: S =
1
u
1
u
2
+
1
u
2
u
3
+ ··· +
1
u
n−1
u
n
.
Giải. Nhận xét rằng
1
u
k
u
k+1
=
1
d


1
u
k
−
1
u
k+1

, lần lượt cho k = 1, 2, . . . , (n−
1) vào đẳng thức trên và cộng vế với vế ta được:
S =
1
d

1
u
1
−
1
u
2

+

1
u
2
−
1
u

3

+ ··· +

1
u
n−1
−
1
u
n

=
1
d

1
u
1
−
1
u
n

=
n −1
u
1
u
n

Vậy S =
n −1
u
1
u
n
.
Định nghĩa 1.2 (Cấp số nhân). Dãy số {u
n
} thỏa mãn điều kiện u
n
= u
n−1
q
với qlà hằng số cho trước và 1 ≤ n ∈ N, được gọi là cấp số nhân, q được gọi
là công bội.
* u
n
được gọi là số hạng tổng quát của cấp số nhân. Nếu cho trước n ta
có cấp số nhân hữu hạn.
* Nếu cấp số nhân có q = 0 thì có dạng: u
0
; 0; 0; . . . ; 0; . . .
* Nếu cấp số nhân có q = 1 thì có dạng: u
0
; u
0
; . . . ; u
0
; . . .

* Ta luôn có: u
n
= u
1
q
n−1
(2 ≤ n ∈ N).
* Ta luôn có: u
2
k
= u
k−1
.u
k+1
∀k ≥ 2
* Ta luôn có: S
n
= u
1
+ u
2
+ ··· + u
n
= u
1
1 −q
n
1 −q
3
Định nghĩa 1.3 (Cấp số điều hòa). Dãy số {u

n
}, (u
n
= 0, ∀n ∈ N) thỏa
mãn điều kiện u
n
=
2u
n−1
.u
n+1
u
n−1
+ u
n+1
được gọi là cấp số điều hòa.
Bài toán 1.4. Chứng minh rằng dãy số {u
n
} lập thành một dãy số điều hòa
khi và chỉ khi dãy đã cho thỏa mãn điều kiện u
n+1
=
1
2
u
n
−
1
u
n−1

.
Giải. Ta có: u
n+1
=
1
2
u
n
−
1
u
n−1
⇔ u
n+1
=
u
n
u
n−1
2u
n−1
− u
n
⇔ u
n
(u
n−1
+ u
n+1
) =

2u
n−1
u
n+1
⇔ u
n
=
2u
n−1
u
n+1
u
n−1
+ u
n+1
.
Vậy dãy số {u
n
} lập thành một cấp số điều hòa.
1.1.2. Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính
Định nghĩa 1.4. Dãy số {u
n
} được gọi là dãy tuần hoàn (cộng tính) nếu
tồn tại số nguyên dương l sao cho: u
n+l
= u
n
, ∀n ∈ N.
Số nguyên dương l bé nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ cơ
sở của dãy.

Định nghĩa 1.5. Dãy số {u
n
} được gọi là phản tuần hoàn (cộng tính) nếu
tồn tại số nguyên dương l sao cho u
n+l
= −u
n
, ∀n ∈ N.
Nhận xét 1.2.
- Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi dãy đã cho là dãy hằng.
- Dãy tuần hoàn chu kỳ 2 khi và chỉ khi dãy có dạng:
u
n
=
1
2

α + β + (α − β) (−1)
n+1

, α, β ∈ R
1.1.3. Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính
Định nghĩa 1.6. Dãy số {u
n
} được gọi là dãy số tuần hoàn nhân tính nếu
tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho u
sn
= u
n,
∀n ∈ N.

Số nguyên dương s bé nhất để dãy {u
n
} thỏa mãn điều kiện trên được
gọi là chu kỳ cơ sở của dãy
4
Nhận xét 1.3. Một dãy phản tuần hoàn cộng tính chu kỳ r thì sẽ tuần hoàn
cộng tính chu kỳ 2r.
Định nghĩa 1.7. Dãy số {u
n
} được gọi là dãy số phản tuần hoàn nhân tính
nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho: u
sn
= −u
n
, ∀n ∈ N
Nhận xét 1.4. Mọi dãy {u
n
} phản tuần hoàn chu kỳ r đều có dạng u
n
=
1
2
(v
n
− v
n+r
), với v
n+2r
= v
n

.
1.2. Một số định lý về giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.8. Dãy {u
n
} được gọi là hội tụ về a, ký hiệu lim
n→∞
u
n
= a,
nếu với mọi ε > 0 cho trước tùy ý, tìm được số n
0
sao cho với mọi n ≥ n
0
đều có |u
n
− a| < ε, tức là:
lim
n→∞
u
n
= a ⇔ ∀M > 0, ∃n
0
∈ N : ∀n > n
0
, |u
n
− a| < ε.
Định lý 1.1 (Tính duy nhất của giới hạn). Giới hạn của một dãy hội tụ là
duy nhất.
Định lý 1.2 (Tính thứ tự của dãy hội tụ). Cho lim

n→∞
x
n
= l và a ∈ R. Khi
đó
- Nếu a > l thì ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
⇒ a > x
n
- Nếu a < n thì ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
⇒ a < x
n
Định lý 1.3 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). Cho lim
n→∞
x
n
= l
và a ∈ R.
- Nếu ∃n
0
∈ N : ∀n > n
0
⇒ x
n
≥ a thì l ≥ a

- Nếu ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
⇒ x
n
≤ a thì l ≤ a
Định lý 1.4 (Định lý giới hạn kẹp giữa). Cho ba dãy số {x
n
}, {y
n
}, {z
n
}
thỏa mãn:
• ∃n
0
∈ N : ∀n ≥ n
0
⇒ z
n
≤ x
n
≤ y
n
• Các dãy {y
n
}, {z
n
} cùng hội tụ đến l.

Khi đó dãy {x
n
} hội tụ và lim
n→∞
x
n
= l.
Định lý 1.5 (Tính chất đại số của dãy hội tụ). Cho hai dãy hội tụ {x
n
}, {y
n
}
và lim
n→∞
x
n
= a; lim
n→∞
y
n
= b. Khi đó:
5
* Dãy {−x
n
} hội tụ và lim
n→∞
(−x
n
) = −a
* Dãy {|x

n
|} hội tụ và lim
n→∞
|x
n
| = |a|.
* Dãy {x
n
+ y
n
} hội tụ và lim
n→∞
(x
n
+ y
n
) = a + b.
* Dãy {x
n
− y
n
} hội tụ và lim
n→∞
(x
n
− y
n
) = a − b.
* Dãy {kx
n

} hội tụ và lim
n→∞
(kx
n
) = ka.
* Dãy {x
n
.y
n
} hội tụ và lim
n→∞
(x
n
.y
n
) = a.b.
* Với b = 0 thì dãy

1
y
n

được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ
và: lim
n→∞

1
y
n


=
1
b
* Với b = 0 thì dãy

x
n
y
n

được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ
và:
lim
n→∞

x
n
y
n

=
a
b
.
Định lý 1.6. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lý 1.7. Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ.
Định lý 1.8 (Định lý Bolzano – Veierstrass). Từ một dãy bị chặn luôn rút
ra được một dãy con hội tụ.
Định lý 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy {x
n

} hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0
cho trước tùy ý, tìm được chỉ số n
0
sao cho với mọi m, n ≥ n
0
đều có
|x
n
− x
m
| < ε.
1.3. Dãy số chuyển tiếp các đại lượng trung bình
Dưới đây ta xét một số bài toán chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ
bản trong chương trình phổ thông.
1.3.1. Phép chuyển các đại lượng trung bình cộng
Bài toán 1.5. Xác định dãy số {u
n
}, sao cho
u

m + n
2

=
u(m) + u(n)
2
, ∀m, n,
m + n
2
∈ N

∗
. (1.1)
6
Giải. Đặt u(1) = α, u(2) = β. Ta có
u(2) = u

3 + 1
2

=
u(3) + u(1)
2
.
Suy ra
u(3) = 2u(2) − u(1) = 2β − α.
Tiếp tục quá trình như vậy, ta có
u(3) = u

4 + 2
2

=
u(4) + u(2)
2
.
Suy ra
u(4) = 2u(3) − u(2) = 2(2β − α) − β = 3β − 2α.
Bằng phương pháp quy nạp, ta có kết quả sau
u(n) = (n − 1)β − (n −2)α, ∀n ∈ N
∗

.
Vậy

u(n) = (β − α)n + 2α − β, ∀n ∈ N
∗
.
u(1) = α, u(2) = β.
Đặt α = a + b, β = 2a + b thì a = β −α và b = 2α −β. Do đó, nghiệm của
phương trình (1.1) là u
n
= an + b với a, b tuỳ ý.
1.3.2. Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình nhân
Bài toán 1.6. Xác định dãy số {u
n
}, sao cho
u

m + n
2

=

u(m)u(n), ∀m, n,
m + n
2
∈ N
∗
. (1.2)
Giải. Ta có
u(n) = u


n + n
2

=

u(n)u(n) =

[u(n)]
2
=| u(n) | .
Đặt u(1) = α, u(2) = β(α  0, β  0).
a) Nếu α = 0 thì
u(n) = u

1 + 2n −1
2

=

u(1)u(2n −1) = 0, ∀n ∈ N
∗
.
7
Vậy u(n) ≡ 0 là nghiệm duy nhất của phương trình (1.2).
b) Nếu α > 0 và β = 0 thì
u(n) = u

2 + 2n −2
2


=

u(2)u(2n −2) = 0, ∀n  2.
Suy ra
u(n) =

α nếu n = 1
0 nếu n  2
là nghiệm của phương trình (1.2).
c) Xét trường hợp α > 0 và β > 0. Giả sử tồn tại n
0
 3 sao cho
u(n
0
) = 0.
Thế thì
u(n
0
− 1) = u

n
0
+ n
0
− 2
2

=


u(n
0
)u(n
0
− 2) = 0.
Chọn n
0
= 3 thì u(n
0
− 1) = u(2) = 0, hay β = 0, mâu thuẫn .
Do đó, ta có thể giả thiết rằng u(n) > 0, với mọi n ∈ N
∗
.
Khi đó
u(2) = u

3 + 1
2

=

u(3)u(1) = 0.
Suy ra
u(3) =
u
2
(2)
u(1)
=
β

2
α
.
Mặt khác
u(3) = u

4 + 2
2

=

u(4)u(2).
Suy ra
u(4) =
u
2
(3)
u(2)
=

β
2
α

2
β
=
β
3
α

2
.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng
u(n) =
β
n−1
α
n−2
, ∀n  3.
8
Ta có
β
n−1
α
n−2
=

α
2
β

.

β
α

n
.
Đặt


α = ab,
β = ab
2
(a > 0, b > 0).
Suy ra
α
2
β
= a,
β
α
= b.
Vậy nghiệm của phương trình (1.2) là
u(n) =

α nếu n = 1
0 nếu n  2 (∀α  0)
hoặc u(n) = ab
n
(a > 0, b > 0).
1.3.3. Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình điều hoà
Bài toán 1.7. Xác định dãy số {u
n
}, sao cho
u

m + n
2

=

2u(m)u(n)
u(m) + u(n)
, ∀m, n,
m + n
2
∈ N
∗
. (1.3)
Giải. Ta có
u

m + n
2

=
2u(m)u(n)
u(m) + u(n)
,
hay
u

m + n
2

=
2
1
u(m)
+
1

u(n)
.
Đặt
1
u(n)
= v
n
, thì phương trình đã cho tương đương với
v

m + n
2

=
v(m) + v(n)
2
.
Theo Bài toán 1.5, ta có v(n) = an + b với a, b ≥ 0, a + b > 0. Vậy nghiệm
của phương trình (1.3) là
u(n) =
1
an + b
, a, b  0, a + b > 0.
9
1.3.4. Phép chuyển trung bình cộng sang trung bình bậc hai
Bài toán 1.8. Xác định dãy số {u
n
}, sao cho
u


m + n
2

=

u
2
(m) + u
2
(n), ∀m, n,
m + n
2
∈ N
∗
. (1.4)
Giải. Ta có
u(n) = u

n + n
2

=

u
2
(n) + u
2
(n)
2
=


u
2
(n) = |u(n)|  0, ∀n ∈ N
∗
.
Đặt u(1) = α  0, u(2) = β  0.
Ta có
u(2) = u

3 + 1
2

=

u
2
(3) + u
2
(1)
2
.
Suy ra
u
2
(3) = 2u
2
(2) −u
2
(1) = 2β

2
− α
2
,
nên ta có
u(3) =

2β
2
− α
2
, (α  β
√
2).
Tương tự
u(3) = u

4 + 2
2

=

u
2
(4) + u
2
(2)
2
.
Suy ra

u
2
(4) = 2u
2
(3) −u
2
(2) = 2(2β
2
− α
2
) −β
2
= 3β
2
− 2α
2
,
từ đó ta có
u(4) =

3β
2
− 2α
2
(α  β

3
2
).
Bằng quy nạp toán học, ta chứng minh được hệ thức

u(n) =

(n −1)β
2
− (n −2)α
2
, ∀n  3.
Ta viết lại như sau
u(n) =

(β
2
− α
2
)n + 2α
2
− β
2
, ∀n  3.
10
Đặt

α
2
= a + b
β
2
= 2a + b
.
Suy ra


a = β
2
− α
2
b = 2α
2
− β
2
.
Vậy nghiệm của phương trình (1.4) là u(n) =
√
an + b, ∀a  0, a + b  0.
11
CHƯƠNG 2
Các bài toán về xác định dãy số tuần hoàn và phản
tuần hoàn
2.1. Xác định dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính
Trong phần này ta xét một số dạng toán về dãy hàm tuần hoàn và phản
tuần hoàn cộng tính.
Bài toán 2.1. Chứng minh rằng dãy {u
n
} tuần hoàn cộng tính chu kỳ 2 khi
và chỉ khi dãy có dạng
u
n
=
1
2
[α + β + (α − β)(−1)

n+1
], ∀α, β ∈ R
Giải.
* Đặt u
0
= α, u
1
= β và u
n+2
= u
n
, ∀n ∈ N.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được
u
n
=
1
2
[α + β + (α − β)(−1)
n+1
], ∀α, β ∈ R
.
* Ngược lại, dãy {u
n
} tuần hoàn cộng tính với chu kỳ 2.
Bài toán 2.2. Chứng minh rằng dãy {u
n
} tuần hoàn cộng tính chu kỳ 3 khi
và chỉ khi dãy có dạng
u

n
=
1
3
[α + β + γ + (−α − β + 2γ)] cos
2nπ
3
+
√
3
2
(α −β) sin
2nπ
3
,
∀α, β, γ ∈ R.
Giải.
* Đặt u
0
= α, u
1
= β, u
2
= γ và u
n+3
= u
n
, ∀n ∈ N.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được
u

n
=
1
3
[α + β + γ + (−α − β + 2γ)]cos
2nπ
3
+
√
3
2
(α −β) sin
2nπ
3
,
∀α, β, γ ∈ R.
12
* Ngược lại, dãy {u
n
} tuần hoàn cộng tính với chu kỳ 3.
Bài toán 2.3. Cho k ∈ Q \C. Chứng minh rằng dãy số {u
n
} xác định theo
công thức
u
0
= 1, u
1
= −1, u
n+1

= ku
n
− u
n−1
, n ∈ N
∗
không là một dãy tuần hoàn.
Giải.
+) Khi |k| > 2 thì
|u
n+1
| ≥ |k||u
n
| −|u
n−1
| > 2|u
n
| −|u
n−1
|.
Nếu luôn xảy ra |u
n
| < |u
n−1
|, ∀n ∈ N
∗
thì ta có ngay điều phải chứng minh.
Nếu xảy ra |u
m
| ≥ |u

m−1
| > 0, ∀m ∈ N
∗
u
m
< u
m−1
< . . . , ∀m ∈ N
∗
và do đó dãy {u
n
} không là một dãy tuần hoàn.
+) Khi |k| ≤ 2 với k =
p
q
, (p, q) = 1, 2 ≤ q ∈ C
∗
, p ∈ C.
Bằng quy nạp theo n ta thu được
u
j
=
p
j
q
j−1
, p
j
∈ C, (p
j

, q) = 1, ∀j ∈ {1, . . . , n}.
Từ đó ta suy ra
u
n+1
=
p
q
u
n
− u
n−1
=
p
n+1
q
n
,
trong đó
p
n+1
= pp
n
− q
2
p
n−1
∈ C
và (p
n+1
, q) = 1. Do q ≥ 2 nên u

n
= u
m
khi n = m và dãy {u
n
} không là
dãy số tuần hoàn.
Bài toán 2.4. Xác định các giá trị của k ∈ Q để dãy số {u
n
} xác định theo
công thức
u
0
= 1, u
1
= −1, u
n+1
= ku
n
− u
n−1
, n ∈ N
∗
là một dãy số tuần hoàn.
Giải. Theo kết quả Bài toán 2.3, khi |k| > 2 và |k| ≤ 2, k =
p
q
với
(p, q) = 1, 2 ≤ q ∈ C
∗

thì dãy {u
n
} không là dãy tuần hoàn.
13
Xét |k| ≤ 2 và k ∈ C.
+) Với k = 2 thì {u
n
} là một cấp số cộng với công sai bằng -2 nên {u
n
}
không là dãy tuần hoàn.
+) Với k = 1 thì {u
n
} là dãy tuần hoàn chu kỳ 6:
u
2
= −2, u
3
= −1, u
4
= 1, u
5
= 2, u
6
= 1, u
7
= −1, . . .
+) Với k = 0 thì {u
n
} là dãy tuần hoàn chu kỳ 4:

u
0
= 1, u
1
= −1, u
2
= −1, u
3
= 1, u
4
= 1, u
5
= −1, . . .
+) Với k = −1 thì {u
n
} là dãy tuần hoàn chu kỳ 3:
u
0
= 1, u
1
= −1, u
2
= 0, u
3
= 1, u
4
= −1, . . .
+) Với k = −2 thì {u
n
} là dãy tuần hoàn chu kỳ 2:

u
0
= 1, u
1
= −1, u
2
= 1, u
3
= −1, u
4
= 1, . . .
Bài toán 2.5. Chứng minh rằng mọi dãy {u
n
} phản tuần hoàn chu kỳ r
đều có dạng
u
n
=
1
2
(v
n
− v
n+r
) với v
n+2r
= v
n
.
Giải. Giả sử u

n+r
= −u
n
, ∀n ∈ N. Khi đó, ta thấy ngay rằng dãy {u
n
}
tuần hoàn chu kỳ 2r và
u
n
=
1
2
(u
n
− u
n+r
),
Ngược lại, ta thấy mọi dãy u
n
=
1
2
(v
n
− v
n+r
) đều là dãy phản tuần hoàn
chu kỳ r.
Bài toán 2.6. Cho f(x) là một đa thức với degf = k ≥ 1, f(x) ∈ C ứng
với mọi x ∈ C. Ký hiệu r(k) = min{2

s
|s ∈ N
∗
, 2
s
> k}. Chứng minh rằng
dãy số {(−1)
f(k)
} (k = 1, 2, . . . ) là dãy tuần hoàn với chu kỳ r(k).
Giải. Ta có k!f(x) ∈ C[x]. Biểu diễn f(x) dưới dạng
f(x) = a
0
+ a
1

x
1

+ ··· + a
k

x
k

,
14
trong đó

x
k


=
x(x −1) ···(x − k + 1)
k!
.
Ta cần chứng minh f(x + r(k)) −f(x) chia hết cho 2 với mọi x ∈ C.
Nhận xét rằng
M
i
=

x + 2
s
i

−

x
i

chia hết cho 2 với mọi i ∈ N
∗
, 2
s
≥ i, x ∈ C. Thật vậy, ta có
M
i
=
1
i!

[(2
s
+ x)(2
s
+ x − 1) . . . (2
s
+ x − i + 1) − x(x − 1) . . . (x −i + 1)].
Tử số hiển nhiên chia hết cho 2
s
. Mặt khác, số mũ của 2 trong khai triển của
i! là
∞

j=1

i
2
j

<
∞

j=1
i
2
j
= i ≤ 2
s
,
nên M

i
chia hết cho 2 với mọi i ∈ N
∗
, i ≤ 2
s
, x ∈ C. Từ đó suy ra
T
i
=

x + r(k)
i

−

x
i

chia hết cho 2 với mọi i ∈ C, i ≤ k, ∀x ∈ C. Do a
j
∈ C nên
f(x + r(k)) −f(x) =
k

j=0
a
j
T
j
chia hết cho 2, điều phải chứng minh.

2.2. Xác định dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính
Định nghĩa 2.1. Dãy số {v
n
} được gọi là dãy hàm tuần hoàn nhân tính nếu
tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho
v
sn
= v
n
, ∀n ∈ N
Số nguyên dương s(s > 1) nhỏ nhất để dãy {v
n
} tuần hoàn nhân tính được
gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
15
Định nghĩa 2.2. Dãy số {v
n
} được gọi là dãy hàm phản tuần hoàn nhân
tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho
v
sn
= −v
n
, ∀n ∈ N
Số nguyên dương s(s > 1) nhỏ nhất để dãy {v
n
} là phản tuần hoàn nhân
tính được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy.
Nhận xét 2.1. Dãy tuần hoàn cộng tính chu kì 1 khi và khi dãy đó là một
dãy hằng.

Nhận xét 2.2. +) Dãy phản tuần cộng tính chu kỳ l là một dãy tuần hoàn
cọng tính chu kỳ 2l.
+) Dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s là một dãy tuần hoàn nhân tính
chu kỳ 2s.
Bài toán 2.7. Chứng minh rằng dãy {u
n
} tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2
khi và chỉ khi dãy có dạng
u
n
=

tùy ý với n lẻ,
u
2k+1
với n = 2
m
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N.
(3.2.1)
Giải. Giả sử dãy {u
n
} tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2.
+) Với n lẻ u
n
nhận giá trị tùy ý.
+) Với n chẵn, n = 2
m
(2k + 1), m ∈ N

∗
, k ∈ N, ta có
u
n
= u
2
m−1
(2k+1)
= ··· = u
2k+1
.
Ngược lại, nếu {u
n
} có dạng (3.2.1) thì ta chứng minh được {u
n
} tuần hoàn
nhân tính chu kỳ 2.
Bài toán 2.8. Xác định dãy số {u
n
} thỏa mãn điều kiện
u
2n+1
= 3u
n
, ∀n ∈ N. (3.2.2)
Giải. Đặt n +1 = m, m = 1, 2, . . . . Khi đó ta có thể viết (3.2.2) dưới dạng
u
2m−1
= 3u
m−1

, ∀m ∈ N
∗
Đặt v
m
= u
m−1
ta được
v
2m
= 3v
m
, ∀m ∈ N
∗
. (i)
16
Từ trên ta có v
0
= 0. Đặt v
m
= m
log
2
3
y
m
, m ∈ N
∗
.
Khi đó, (i) có dạng
y

2m
= y
m
, ∈ N
∗
.
Vậy {y
m
} là một dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2. Khi đó, theo Bài toán
3.7, ta có
y
n
=

tùy ý với n lẻ,
y
2k+1
với n = 2
m
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N.
Từ đó suy ra
u
m
= v
m+1
= m
log
2

3
y
m+1
,
với
y
n
=

tùy ý với n lẻ,
y
2k+1
với n = 2
m
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N.
Bài toán 2.9. Xác định dãy số {u
n
} thỏa mãn điều kiện
u
2n+1
= −3u
n
+ 4, ∀n ∈ N. (3.2.3)
Giải. Đặt n +1 = m, m = 1, 2, . . . . Khi đó ta có thể viết (3.2.3) dưới dạng
u
2m−1
= −3u
m−1

+ 4, ∀m ∈ N
∗
hay
v
2m
= −3v
m
+ 4, ∀m ∈ N
∗
(i)
với v
m
= u
m−1
.
Đặt v
m
= 1 + x
m
. Khi đó (i) có dạng
x
2m
= −3x
m
, ∀m ∈ N
∗
. (ii)
Đặt x
m
= m

log
2
3
y
m
, ∀m ∈ N
∗
. Khi đó (ii) có dạng
y
2m
= −y
m
, ∀m ∈ N
∗
.
Vậy {y
m
} là một dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2. Theo Bài toán
3.7, ta có
y
n
=



tùy ý với n lẻ,
−y
2k+1
với n = 2
2m+1

(2k + 1), m, k ∈ N,
y
2k+1
với n = 2
2m
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N.
17
Bài toán 2.10. Xác định dãy số {u
n
} thỏa mãn điều kiện
u
an
= cu
n
+ d, ∀n, a ∈ N, a ∈ {0, 1, −1}, c, d ∈ R, c = 0. (3.2.4)
Giải. Nếu c = 1, ta có u
an
= u
n
+ d. Khi n = 0 thì u
0
= u
0
+ d. Suy ra
d = 0 và khi đó u
an
= u
n

, nên dãy {u
n
} là dãy tuần hoàn nhân tính chu kỳ
a.
Nếu c = 1, khi đó ta đặt
u
n
= v
n
+
d
1 −c
ta có
v
an
+
d
1 −c
= c(v
n
+
d
1 −c
) + d
hay
v
an
+
d
1 −c

= cv
n
+
d
1 −c
.
Suy ra
v
an
= cv
n
.
Do đó v
0
= 0.
Đặt
v
n
=

0 với n = 0,
n
log
a
|c|
s
n
n = 0
thì
s

an
=

s
n
∀n = 0, với c > 0,
−s
n
∀n = 0, với c < 0.
Vậy nên:
Với c > 0 thì
u
n
=





d
1 −c
khi n = 0,
d
1 −c
+ n
log
a
c
s
n

khi n = 0
trong đó s
n
là dãy tuần hoàn nhân tính tùy ý sao cho s
an
= s
n
.
Với c < 0 thì
u
n
=





d
1 −c
khi n = 0,
d
1 −c
+ n
log
a
|c|
s
n
khi n = 0
18

trong đó s
n
là dãy phản tuần hoàn nhân tính tùy ý sao cho s
an
= −s
n
.
Bài toán 2.11. Xác định dãy số {u
n
} thỏa mãn điều kiện
u
2n+1
= −3u
n−1
+ 2, ∀n ∈ N
∗
, (3.2.5)
Giải. Đặt u
n
=
1
2
+ v
n
, từ (3.2.5) ta được
1
2
+ v
2n+1
= −3(

1
2
+ v
n−1
) + 2, ∀n ∈ N
∗
⇔ v
2n+1
= −3v
n−1
(i)
Đặt n = m −2 thay vào (i), ta được
v
2m−3
= −3v
m−3
(ii)
Đặt x
m
= v
m−3
thay vào (ii) ta được
x
2m
= −3x
m
(iii)
Đặt x
m
= m

log
2
3
y
m
, ∀m ∈ N
∗
. Khi đó (ii) có dạng
y
2m
= −y
m
, ∀m ∈ N
∗
.
Vậy {y
m
} là một dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ 2. Theo Bài toán
3.7, ta có
y
n
=



tùy ý với n lẻ,
−y
2k+1
với n = 2
2m+1

(2k + 1), m, k ∈ N,
y
2k+1
với n = 2
2m
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N.
Từ đó suy ra
u
m
=
1
2
+ v
m
=
1
2
+ (m −3)
log
2
3
y
m−3
với
y
n
=




tùy ý với n lẻ,
−y
2k+1
với n = 2
2m+1
(2k + 1), m, k ∈ N,
y
2k+1
với n = 2
2m
(2k + 1), m ∈ N
∗
, k ∈ N.
19
2.3. Một số bài toán khác liên quan
Bài toán 2.12. Dãy số x
n
xác định bởi x
0
= 2, x
1
= 1 và x
n+1
= x
n
−x
n−1
a) Chứng minh rằng dãy số tuần hoàn.

b) Tìm công thức tổng quát cho x
n
.
Giải.
a)Ta tính các số hạng đầu tiên của dãy số thì được dãy
2,1,-1,-2,-1,1,2,1-1,-2,. . .
Từ đó ta nhận thấy x
n+6
= x
n
, ∀n ∈ N.
Thật vậy,
+) Với n = 1, ta có x
7
= 1 và x
1
= 1. Đúng.
+) Giả sử đẳng thức đúng với n = k. Tức là:
x
k+6
= x
k
trong đó x
k+1
= x
k
− x
k−1
. Ta cần chứng minh:x
k+7

= x
k+1
.
Từ điều kiện, ta được:
x
k+7
= x
k+6
− x
k+5
= x
k
− [(x
k+3
− x
k+2
) −x
k+3
]
= x
k
+ x
k+2
= x
k
+ (x
k+1
− x
k
) = x

k+1
.
Vậy dãy tuần hoàn với chu kỳ 6.
b) Tính chất tuần hoàn của dãy số gợi cho chúng ta đến các dãy số cos(nξ)
và sin(nξ).
Nếu ξ =
2π
k
thì các dãy tuần hoàn với chu kỳ k. Để ý rằng phương trình
x
n+1
= x
n
− x
n−1
có thể viết dưới dạng
x
n+1
+ x
n−1
= 2 cos(
π
3
)x
n
(∗)
Áp dụng các công thức
cos x + cos y = 2 cos
x −y
2

cos
x + y
2
, sin x + sin y = 2 cos
x −y
2
sin
x + y
2
ta thấy các dãy số cos
nπ
3
, sin
nπ
3
đều thỏa mãn (*), từ đó dãy số x
n
=
c
1
cos
nπ
3
+ c
2
sin
nπ
3
với c
1

, c
2
là hằng số cũng thỏa mãn (*).
20
Ta chỉ cần chọn c
1
, c
2
thích hợp để x
0
= 2, x
1
= 1.
Giải hệ

c
1
cos 0 + c
2
sin 0 = 2
c
1
cos
π
3
+ c
2
sin
π
3

= 1
ta được c
1
= 2, c
2
= 0.
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là x
n
= 2 cos
nπ
3
.
Bài toán 2.13. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, số (7 + 4
√
3)
n
+
(7 −4
√
3)
n
là một số nguyên không chia hết cho 13.
Giải. (7+4
√
3), (7−4
√
3) là hai nghiệm của phương trình x
2
−14x+1 = 0,
từ đó x

n
= (7 + 4
√
3)
n
+ (7 −4
√
3)
n
thỏa mãn hệ thức x
n+1
= 14x
n
−x
n−1
.
Do x
0
= 2, x
1
= 14 nên x
n
là nguyên với mọi n dương. Mặt khác, nếu gọi r
n
là số dư trong phép chia x
n
cho13 thì ta có r
n+1
= r
n

− r
n−1
(mod 13). Áp
dụng Bài toán trên ta thấy dãy số dư là 2,1,-1(tức là 12),-2,1,2, tuần hoàn
và không có số dư nào bằng 0.