Nghiên cứu một số hàm cơ sở bán kính và ứng dụng để tính đạo hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ NHÂM
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM CƠ
SỞ BÁN KÍNH VÀ ỨNG DỤNG
ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ HÀM CƠ
SỞ BÁN KÍNH VÀ ỨNG DỤNG
ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS ĐẶNG THỊ OANH
THÁI NGUYÊN - 2014
1
Mục lục
Bảng ký hiệu 6
Danh mục bảng và hình vẽ 7
1 Hàm cơ sở bán kính 9
1.1 Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . 9
1.1.1 Bài toán nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Một số phương pháp nội suy đa thức . . . . . . . . . 9
1.1.3 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Hàm xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.3 Hàm bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Hàm cơ sở bán kính( Radial Basis Function-RBF ) . 13
1.2.5 Hàm bán kính xác định dương . . . . . . . . . . . . 13
1.2.6 Hàm bán kính xác định dương có điều kiện . . . . . 13
1.3 Một số hàm cơ sở bán kính và vấn đề tham số hình dạng . 14
1.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Nội suy hàm cơ sở bán kính và ứng dụng tính đạo hàm 16
2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Nội suy với độ chính xác đa thức . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Sai số, ổn định và hội tụ của nội suy hàm cơ sở theo
bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Xây dựng công thức tính gần đúng đạo hàm dựa vào nội
suy hàm cơ sở theo bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính không thành phần đa
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính với độ chính xác đa thức 22
2.3 Phương pháp tính đạo hàm nhờ nội suy RBF . . . . . . . . 24
2.3.1 Đạo hàm của hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Tính đạo hàm nhờ nội suy RBF . . . . . . . . . . . 25
2
2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Thử nghiệm số 26
3.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Một số kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ nhất . . . . . . . . . . 27
3.2.2 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ hai . . . . . . . . . . . 30
3.2.3 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ ba . . . . . . . . . . . 33
3.2.4 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ tư . . . . . . . . . . . 36
3.2.5 Thử nghiệm trên bộ tâm thứ năm . . . . . . . . . . 39
3.3 Tổng hợp kết quả thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm Gaus . . . . . 42
3.3.2 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm MQ . . . . . 42
3.3.3 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm IMQ . . . . . 43
3.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kết luận 44
Tài liệu tham khảo 45
3
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành luận văn "Nghiên cứu một số hàm cơ sở
bán kính và ứng dụng để tính đạo hàm" tôi đã nhận được sự hướng dẫn,
giúp đỡ, động viên của những cá nhân và tập thể. Tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện và giúp đỡ
tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Trước hết tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, các thầy cô Trường
Đại học Khoa Học – Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo Viện toán học
Việt Nam đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình học
tập và nghiên cứu.
Có được kết quả này tôi vô cùng biết ơn và tỏ lòng kính trọng sâu
sắc đối với TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học Công Nghệ
Thông Tin và Truyền Thông – Đại học Thái Nguyên người đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân trong
gia đình đã động viên, chia sẻ, giúp tôi vượt qua những khó khăn trong
quá trình học tập và nghiên cứu.
Thái Nguyên, ngày 05 tháng 05 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Thị Nhâm
4
Mở đầu
Bài toán nội suy hàm số đã được rất nhiều các nhà toán học quan tâm

nghiên cứu và đưa ra nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Trong đó phải kể
đến một số phương pháp nội suy truyền thống như: Phương pháp nội suy
Lagrange; Phương pháp nội suy Newton; Phương pháp bình phương bé
nhất.
Những phương pháp này giải quyết khá đầy đủ bài toán nội suy hàm một
biến với công thức đơn giản, dễ tính. Tuy nhiên đối với bài toán nội suy
hàm nhiều biến, đặc biệt là trên tập điểm phân bố không đều thì những
phương pháp trên gặp khó khăn trong tính toán vì công thức tính toán
phức tạp.
Hàm cơ sở bán kính là một công cụ hữu hiệu để nội suy hàm số trên tập
điểm phân tán trong không gian nhiều chiều. Phương pháp nội suy hàm
cơ sở bán kính đã được đề xuất bởi Powell vào năm 1987. Các vấn đề cơ
bản về lí thuyết của hàm cơ sở bán kính và ứng dụng của nó đã được
nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều tác giả như: Buhman,Wendland, Gregory E.
Fasshauer,
Một trong các ứng dụng quan trọng của phương pháp nội suy hàm cơ sở
bán kính là tính gần đúng đạo hàm của hàm số dựa trên tập điểm lân cận,
mà tại đó cần tính đạo hàm. Ưu thế lớn nhất của phương pháp là để giải
bài toán nhiều chiều thì thay vì phải làm việc với hàm nhiều biến, ta chỉ
cần làm việc với hàm một biến. Phương pháp cho thấy sự độc lập của nó
đối với sự phân bố của các nút nội suy. Vì vậy, đây là một phương pháp
nội suy phù hợp với các nút nội suy phân tán và phù hợp cho nhiều bài
toán trong thực tiễn.
Luận văn được trình bày trong 3 chương với những nội dung chính như
sau:
• Chương 1: Trình bày cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu
phân tán; Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán; Một số hàm cơ sở
bán kính và vấn đề tham số hình dạng; Kết luận.
• Chương 2: Nội suy hàm cơ sở bán kính; Xây dựng công thức tính gần
đúng đạo hàm dựa vào nội suy hàm cơ sở bán kính và phương pháp

5
tính đạo hàm nhờ nội suy hàm cơ sở bán kính; Kết luận.
• Chương 3: Thử nghiệm số.
6
Bảng ký hiệu
const Hằng số
RBF Radial Basis Function
Gaus Hàm Gaussian
MQ Hàm Multiquadric
IMQ Hàm Inverse Multiquadric
||A|| Chuẩn của A
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x
∈ thuộc
L
n
(x) Đa thức nội suy bậc không quá n
P f Nội suy với độ chính xác đa thức
R
d
Không gian thực d chiều
max Giá trị lớn nhất
min Giá trị nhỏ nhất
Ξ Bộ tâm phân tán
Σ Tổng

Tích
Ω Bao đóng tập Ω
N
Φ

(Ω) Không gian được sinh bởi Φ
Cond(A) Số điều kiện của ma trận A
φ

Đạo hàm của hàm φ
φ

Đạo hàm cấp hai của hàm φ
7
Danh mục bảng và hình vẽ
Bảng 1.1 Bảng một số hàm cơ sở bán kính.
Bảng 1.2 Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng
ε > 0.
Bảng 3.1 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ nhất.
Bảng 3.2 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ nhất.
Bảng 3.3 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.2.
Bảng 3.4 Bảng giá trị hàm số e
−x
2
−y
2
với bộ tâm thứ nhất.
Bảng 3.5 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.4.
Bảng 3.6 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ nhất.
Bảng 3.7 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.6.
Bảng 3.8 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ nhất.
Bảng 3.9 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.8.
Bảng 3.10 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ hai.
Bảng 3.11 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ hai.
Bảng 3.12 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.11.

Bảng 3.13 Bảng giá trị hàm số e
−x
2
−y
2
với bộ tâm thứ hai.
Bảng 3.14 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.13.
Bảng 3.15 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ hai.
Bảng 3.16 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.15.
Bảng 3.17 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ hai.
Bảng 3.18 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.17.
Bảng 3.19 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.20 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.21 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.20.
Bảng 3.22 Bảng giá trị hàm số e
−x
2
−y
2
với bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.23 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.22.
Bảng 3.24 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.25 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.24.
Bảng 3.26 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.27 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.26.
Bảng 3.28 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ tư.
Bảng 3.29 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ tư.
Bảng 3.30 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.29.
Bảng 3.31 Bảng giá trị hàm số e
−x

2
−y
2
với bộ tâm thứ ba.
Bảng 3.32 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.31.
8
Bảng 3.33 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ tư.
Bảng 3.34 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.33.
Bảng 3.35 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ tư.
Bảng 3.36 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.35.
Bảng 3.37 Bảng giá trị (x; y) trong bộ tâm thứ năm.
Bảng 3.38 Bảng giá trị hàm số sin(2xy) với bộ tâm thứ năm.
Bảng 3.39 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.38.
Bảng 3.40 Bảng giá trị hàm số e
−x
2
−y
2
với bộ tâm thứ năm.
Bảng 3.41 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.40.
Bảng 3.42 Bảng giá trị hàm số sin(πx) sin(πy) với bộ tâm thứ năm.
Bảng 3.43 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.42.
Bảng 3.44 Bảng giá trị hàm số sin(3πx) sin(3πy) với bộ tâm thứ năm.
Bảng 3.45 Kết quả thử nghiệm với dữ liệu cho trong Bảng 3.44.
Bảng 3.46 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm Gaus.
Bảng 3.47 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm MQ.
Bảng 3.48 Tổng hợp kết quả thử nghiệm với hàm IMQ.
Hình 3.1 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.1
Hình 3.2 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.10
Hình 3.3 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.19

Hình 3.4 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.28
Hình 3.5 Mô phỏng vị trí các điểm trong Bảng 3.37
9
Chương 1
Hàm cơ sở bán kính
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm
cơ sở bán kính; hàm xác định dương; hàm bán kính xác định dương, hàm
bán kính xác định dương có điều kiện; cơ sở của bài toán nội suy hàm số
với dữ liệu phân tán.
1.1 Cơ sở của bài toán nội suy hàm số với dữ liệu
phân tán
1.1.1 Bài toán nội suy
Trong thực tế nhiều khi phải phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị
của x trên đoạn [a; b] mà chỉ biết một số hữu hạn giá trị của hàm số tại
một số hữu hạn các điểm rời rạc của đoạn đó. Các giá trị đó được cung
cấp qua thực nghiệm hay tính toán. Vậy nảy sinh một vấn đề toán học
như sau:
Trên đoạn [a; b] cho một lưới các điểm chia (điểm nút) x
i
, i = 0, 1, 2, ··· , n
và tại các nút x
i
cho giá trị của hàm số y = f(x) là y
i
= f(x
i
), i =
0, 1, 2, ··· , n. Cần xây dựng đa thức nội suy P
n
(x) sao cho P

n
(x) trùng
với f(x) tại các nút x
i
, nghĩa là:
P
n
(x
i
) = y
i
; i = 0, 1, 2, ··· , n.
1.1.2 Một số phương pháp nội suy đa thức
Một số phương pháp nội suy đa thức được đưa ra và giải quyết rất tốt
bài toán trên, điển hình là phương pháp nội suy Lagrange và phương pháp
nội suy Newton.
Đa thức nội suy Lagrange:
L
n
(x) =
n

i=0
(x − x
0
)(x − x
1
) (x − x
i−1
)(x − x

i+1
) (x − x
n
)
(x
i
− x
0
)(x
i
− x
1
) (x
i
− x
i−1
)(x
i
− x
i+1
) (x
i
− x
n
)
.y
i
.
10
Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút nội suy x

0
:
P
n
(x) = y
0
+ (x −x
0
)f(x
0
; x
1
) + + (x −x
0
) (x −x
n−1
)f(x
0
; x
1
; ; x
n
).
Đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút nội suy x
n
:
P
n
(x) = y
n

+ (x − x
n
)f(x
n
; x
n−1
) + (x − x
n
)(x − x
n−1
)f(x
n
; x
n−1
; x
n−2
)
+ + (x − x
n
)(x − x
n−1
) (x − x
1
)f(x
n
; x
n−1
; ; x
0
).

1.1.3 Nhận xét
Đa thức nội suy Lagrange, như ta đã thấy rất đơn giản và dễ tính nếu
các nút nội suy đã được cố định. Nhưng nếu như ta bổ sung thêm nút nội
suy thì bậc của đa thức nội suy tăng theo, tất cả các đa thức nội suy cơ
bản thay đổi, như vậy muốn tìm đa thức nội suy ta phải tính lại tất cả
các đa thức nội suy cơ bản, hay nói cách khác phương pháp này không có
tính kế thừa.
Phương pháp nội suy Newton khắc phục được nhược điểm của nội suy
Lagrange ở chỗ khi thêm vào lưới nội suy một nút nội suy mới x
n+1
, ta chỉ
cần thêm vào đa thức nội suy P
n
(x) một số hạng.
Tuy nhiên, khi số mốc nội suy lớn thì nội suy bằng đa thức thường xảy ra
hiện tượng phù hợp trội (overfitting) do bậc của đa thức thường tăng theo
số mốc nội suy. Hơn nữa, đa số các bài toán nội suy trong các ứng dụng
thực tiễn lại là bài toán nội suy nhiều biến.
Một phương pháp nội suy được đề xuất bởi Powell vào năm 1987 là phương
pháp nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function-RBF) có thể
chuyển từ bài toán nội suy hàm nhiều biến về nội suy hàm một biến. Hơn
nữa còn cho kết quả rất tốt, đặc biệt với bài toán nội suy hàm nhiều biến
trên tập dữ liệu phân tán.
1.2 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán
Bài toán 1.1. [8]
Cho bộ dữ liệu (x
i
; y
i
), i = 1, 2, , n, x

i
∈ R
d
; y
i
∈ R, trong đó x
i
là các vị
trí đo; y
i
là kết quả đo được tại vị trí x
i
. B
1
, B
2
, , B
n
là các hàm cơ sở
của không gian tuyến tính của các hàm liên tục d biến. Ký hiệu:
F = span{B
1
, B
2
, , B
n
} =

n


k=1
c
k
B
k
; c
k
∈ R

. (1.1)
11
Tìm hàm P
f
∈ F sao cho
P
f
(x
i
) = y
i
; i = 1, 2, , n, (1.2)
vì P
f
∈ F nên ta có
P
f
(x) =
n

k=1

c
k
B
k
(x), x ∈ R
d
. (1.3)
Từ (1.2) và (1.3) ta có
Ac = y, (1.4)
trong đó
A =



B
1
(x
1
) B
2
(x
1
) B
n
(x
1
)
B
2
(x

1
) B
2
(x
2
) B
n
(x
2
)

B
n
(x
1
) B
n
(x
2
) B
n
(x
n
)



, (1.5)
c = [c
1

, c
2
, , c
n
]
T
; y = [y
1
, , y
n
]
T
.
Bài toán 1.1 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi ma trận A không suy biến,
tức là detA = 0.
Trường hợp d = 1 (trong không gian một chiều) ta có thể chọn cơ sở như
sau:
{B
1
, B
2
, , B
n
} = {1, x, x
2
, , x
n−1
}.
Tuy nhiên khi d ≥ 2 ta có kết quả sau:
Định lý 1.2.1. (Mairhuber - Curtis) Nếu Ω ⊂ R

d
, d ≥ 2 và chứa một
điểm trong thì không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục trên Ω.
Trong đó, không gian Haar được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2.2.
Cho Ω ⊂ R
d
, và F ⊂ C(Ω) là không gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ
sở là {B
1
, B
2
, , B
n
}. Ta nói F là không gian Haar trên Ω nếu detA = 0
với mọi bộ tâm phân biệt {x
1
, x
2
, , x
n
} trong Ω. Trong đó ma trận
A = (A
jk
)
n×n
; A
jk
= B
k

(x
j
); j, k = 1, 2, , n.
Bộ tâm phân biệt được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2.3. (Bộ tâm phân biệt)
Bộ tâm phân biệt X là tập các điểm phân biệt của không gian R
d
trong
lân cận của điểm x
0
.
12
Sự tồn tại của không gian Haar đảm bảo tính khả nghịch của ma trận
nội suy, nghĩa là tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán nội suy 1.1. Không
gian các đa thức một biến bậc n −1 chính là không gian Haar n chiều với
tập dữ liệu (x
j
; y
j
), j = 1, n; x
j
∈ R; y
j
∈ R. Định lí Mairhuber-Curtis
cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán nội suy dữ liệu phân tán trong
không gian nhiều chiều thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu. Để
thu được các không gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét đến
các hàm xác định dương và các ma trận dương.
1.2.1 Ma trận xác định dương
Định nghĩa 1.2.4. Ma trận A giá trị thực đối xứng được gọi là xác định

dương nếu dạng toàn phương tương ứng không âm:
n

j=1
n

k=1
c
j
c
k
A
jk
≥ 0 với c = (c
1
, c
2
, , c
n
)
T
∈ R
n
.
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0)
T
.
Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả các
giá trị riêng đều dương và không suy biến.
Nếu hệ cơ sở {B

k
}
n
k=1
, trong bài toán 1.1 làm cho ma trận nội suy A xác
định dương thì hệ (1.4) có nghiệm duy nhất.
1.2.2 Hàm xác định dương
Định nghĩa 1.2.5. Hàm liên tục Φ : R
d
−→ R là xác định dương trên R
d
khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một
X = {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ R
d
; n ∈ N, và mọi vectơ c = (c
1
, c
2
, c
n
) ∈ R
n
thì
dạng toàn phương

n

j=1
n

k=1
c
j
c
k
Φ(x
j
− x
k
) ≥ 0. (1.6)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0).
Định nghĩa 1.2.6. Hàm một biến φ : [0, ∞) −→ R được gọi là xác định
dương trên R
d
nếu hàm nhiều biến tương ứng Φ(x) = φ(||x||) với ∀x ∈ R
d
là xác định dương, (với ||x|| là một chuẩn nào đó trong R
d
, ta thường dùng
chuẩn Ơcơlit).
Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy
có thể sử dụng các hàm xác định dương B
k
= Φ(x − x
k

) là hệ hàm cơ sở
13
và khi đó ta có
P
f
(x) =
n

k=1
c
k
Φ(x − x
k
). (1.7)
Ma trận nội suy A = [A
jk
]
n×n
, với A
jk
= B
k
(x
j
) = Φ(x
j
− x
k
); j, k =
1, , n.

Tuy nhiên việc giải bài toán nội suy trong không gian nhiều chiều là khó
khăn, do đó thay vì sử dụng hàm nhiều biến Φ(x) bởi hàm một biến φ cho
tất cả số chiều d.
1.2.3 Hàm bán kính
Định nghĩa 1.2.7. [7] Hàm Φ : R
d
→ R được gọi là hàm bán kính
nếu tồn tại hàm một biến φ : [0, ∞) → R sao cho Φ(x) = φ(||x||) với
∀x ∈ R
d
.(Trong đó ||x|| là một chuẩn nào đó trong R
d
, ta thường dùng
chuẩn Ơcơlit).
1.2.4 Hàm cơ sở bán kính( Radial Basis Function-RBF )
Định nghĩa 1.2.8. [7] Cho hàm bán kính Φ : R
d
→ R. Hàm số một biến
φ : [0; ∞) → R thỏa mãn: Φ(x) = φ(r), được gọi là hàm cơ sở bán kính
(với r = ||x||, ||.|| là một chuẩn nào đó trong R
d
ta thường dùng chuẩn
Ơcơlit).
1.2.5 Hàm bán kính xác định dương
Định nghĩa 1.2.9. [7] Cho hàm Φ : R
d
→ R với hàm cơ sở tương ứng là
φ. Ta nói φ xác định dương trên R
d
khi và chỉ khi Φ xác định dương trên

R
d
.
1.2.6 Hàm bán kính xác định dương có điều kiện
Định nghĩa 1.2.10. [7] Hàm chẵn, liên tục Φ : R
d
→ R được gọi là xác
định dương có điều kiện bậc l nếu với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một
{x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ R
d
, n ∈ N, với mọi vectơ (c
1
, c
2
, , c
n
) ∈ R
n
và mọi đa
thức p giá trị thực bậc nhỏ hơn l, thỏa mãn
n

j=1
c

j
p(x
j
) = 0,
thì
n

j=1
n

k=1
c
j
c
k
Φ(x
j
− x
k
) ≥ 0,
14
và công thức trên là đẳng thức khi và chỉ khi c là vectơ 0.
Nhận xét
i) Nếu một hàm là xác định dương có điều kiện bậc l trong không gian R
d
thì nó sẽ là xác định dương có điều kiện với mọi bậc lớn hơn l. Cụ thể là
nếu một hàm là xác định dương (l = 0) thì sẽ là xác định dương với mọi
bậc l ∈ N.
ii) Ma trận A với các phần tử A
jk

= Φ(x
j
−x
k
) tương ứng với hàm chẵn,
liên tục và xác định dương có điều kiện bậc l, có thể được xem như là hàm
xác định dương trên không gian vectơ c sao cho
n

j=1
c
j
p(x
j
) = 0,
trong đó p là đa thức bậc nhỏ hơn l.
1.3 Một số hàm cơ sở bán kính và vấn đề tham số
hình dạng
Trong khuôn khổ luận văn này tôi trình bày một số hàm cơ sở bán kính
thông dụng, với r = x − x
k
.
Tên hàm Tên viết tắt Định nghĩa
Multiquadric MQ φ
mq
(r) =
√
1 + r
2
Inverse multiquadric IMQ φ

imq
(r) =
1
√
1 + r
2
Gaussian Gaus φ(r) = e
−r
2
Bảng 1.1: Bảng một số hàm cơ sở bán kính dùng trong luận văn.[5]
Hàm cơ sở bán kính φ(x) là xác định dương nếu ta nhân r với một số
dương ε thì φ(rε) vẫn là xác định dương.
Khi các mốc nội suy xác định thì giải pháp tối ưu là đưa vào hàm Φ
k
một
tham số hình dạng ε
k
. Như vậy ta cần tìm ε
k
để bài toán thỏa mãn điều
kiện nội suy, đồng thời chất lượng nội suy là tốt nhất. Khi đó ε
k
còn gọi
là tham số tỉ lệ (scaling) của hàm cơ sở bán kính vì nó dùng để điều chỉnh
độ rộng của miền ảnh hưởng của hàm cơ sở φ. Khi ||x −x
k
|| > ε − ε
k
thì
giá trị hàm Φ

k
(x) là rất nhỏ không có ý nghĩa vì nó gần triệt tiêu. Vì vậy
ta nói hàm bán kính này chỉ có ảnh hưởng địa phương.
* Tham số hình dạng cho một số hàm cơ sở bán kính. [5]
15
Tên hàm Tên viết tắt Biểu thức tham số hóa hình dạng
Multiquadric MQ φ
mq
(εr) =
√
ε
2
+ r
2
Inverse multiquadric IMQ φ
imq
(εr) =
1
√
ε
2
+ r
2
Gaussian Gaus φ(r) = e
−
r
2

2
Bảng 1.2: Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng ε > 0.

1.4 Kết luận
Trong chương này chúng tôi đã trình bày một số vấn đề cơ bản nhất về
lí thuyết của hàm bán kính, hàm cơ sở bán kính, hàm bán kính xác định
dương và ma trận xác định dương. Đó là những kiến thức cơ bản nhất để
phục vụ cho chương 2.
Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán nội suy hàm số trên
tập dữ liệu phân tán. Đồng thời giới thiệu một số hàm cơ sở bán kính cùng
với vấn đề cần thiết phải đưa vào một tham số hình dạng  > 0, sao cho
số điều kiện của ma trận nội suy chấp nhận được.
16
Chương 2
Nội suy hàm cơ sở bán kính và ứng
dụng tính đạo hàm
2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính
Cho bài toán 1.1 và bộ Φ
k
, k = 1, 2, ··· , n sao cho
Φ
k
(x) = Φ(x − x
k
) = φ (x − x
k
) với k = 1, 2, , n và x ∈ R
d
. (2.1)
Khi đó nội suy hàm số dựa trên các hàm bán kính có nghĩa là tìm
P f(x) =
n


k=1
c
k
Φ
k
(x) =
n

k=1
c
k
φ(||x − x
k
||), (2.2)
thỏa mãn điều kiện (1.2), trong đó x
k
gọi là tâm của hàm bán kính Φ
k
.
Nếu Φ
k
(x) là hàm xác định dương thì theo điều kiện nội suy ta có
P f(x
i
) = y
i
, i = 1, 2, , n. (2.3)
Nghĩa là cần tìm các tham số c
k
thỏa mãn

n

i=1
c
k
φ (x
i
− x
k
) = y
i
, i = 1, 2, , n. (2.4)
Suy ra
Ac = y, (2.5)
trong đó Φ(x) là hàm xác định dương và được xác định theo (2.1).
Khi đó ma trận nội suy
A =



Φ(0) Φ(x
1
− x
2
) Φ(x
1
− x
n
)
Φ(x

2
− x
1
) Φ(0) Φ(x
2
− x
n
)

Φ(x
n
− x
1
) Φ(x
n
− x
2
) Φ(0)



c = [c
1
, c
2
, , c
n
]
T
, y = [y

1
, y
2
, , y
n
]
T
.
Theo định nghĩa hàm xác định dương thì detA = 0, hơn nữa A là ma trận
đối xứng xác định dương.
17
Nhận xét:
i) Việc chọn hàm cơ sở phải gắn liền với đối tượng nghiên cứu. Vì vậy
trong việc giải phương trình đạo hàm riêng thì các hàm cơ sở bán kính
phải là các hàm khả vi liên tục và thậm chí phải khả vi liên tục vô hạn
lần.
ii) Để bài toán nội suy có nghiệm duy nhất ta cần chọn các hàm cơ sở Φ
k
phù hợp sao cho detA = 0 (A là ma trận nội suy).
2.1.1 Nội suy với độ chính xác đa thức
Nội suy với độ chính xác đa thức dựa trên hàm cơ sở bán kính có nghĩa
là:
Cần tìm Pf(x) =
n

k=1
c
k
φ(||x − x
k

||) +
M

l=1
d
l
p
l
(x); x ∈ R
d
.
Trong đó
M = dimΠ
d
m−1
= C
m−1
d+m−1
=
(d + m − 1)!
(m − 1)!d!
là số chiều của không gian các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng m −1
của d biến và p
1
, p
2
, , p
M
là cơ sở của không gian đó.
Theo điều kiện nội suy ta có

P f(x
i
) = y
i
; i = 1, 2, , n,
từ đó ta có hệ n phương trình với n + m ẩn c
k
và d
l
.
Vì vậy để hệ có nghiệm duy nhất, ta thêm vào điều kiện:
n

k=1
c
k
p
l
(x
k
) = 0; l = 1, 2, , M.
Do đó ta được điều kiện nội suy suy rộng:







n


k=1
c
k
φ(||x
i
− x
k
||) +
M

l=1
d
l
p
l
(x
i
) = y
i
; x
i
∈ R
d
; i = 1, 2, , n,
n

k=1
c
k

p
l
(x
k
) = 0; l = 1, 2, , M.
(2.6)
Ký hiệu:
A =



Φ(0) Φ(x
1
− x
2
) Φ(x
1
− x
n
)
Φ(x
2
− x
1
) Φ(0) Φ(x
2
− x
n
)

Φ(x
n
− x
1
) Φ(x
n
− x
2
) Φ(0)



(2.7)
18
P = (p
il
) ; p
il
= p
l
(x
i
), l = 1, 2, , M; i = 1, 2, , n; d = (d
1
, d
2
, , d
M
)
T

.
Đây là hệ n + M phương trình đối với các ẩn c
1
, c
2
, , c
n
và d
1
, d
2
, , d
M
.
Hệ này có thể viết dưới dạng

A P
P
T
0

c
d

=

y
0

(2.8)

2.1.2 Sai số, ổn định và hội tụ của nội suy hàm cơ sở theo bán
kính
a) Ước lượng sai số
Cho f : Ω ⊆ R
d
→ R ta ký hiệu N
Φ
(Ω) là không gian được sinh bởi Φ, đó
là không gian Hilbert mà các phần tử của nó có dạng
n
Φ

j=1
c
j
Φ(· − x
j
); x
j
∈ Ω,
trong đó cho phép n
Φ
= ∞ và tích vô hướng của nó được cho bởi

n
Φ

j=1
c
j

Φ(· − x
j
),
n
Φ

i=1
d
i
Φ(· − z
i
)

=
n
Φ

j=1
n
Φ

i=1
c
j
d
i
Φ(x
j
− z
i

).
Ký hiệu X = {x
1
, x
2
, , x
n
} là các vị trí dữ liệu. Khi đó
h
X,Ω
= sup
x∈Ω

min
x
j
∈X
x − x
j


được gọi là khoảng cách lấp đầy.
Cho β = β
1
, β
2
, , β
d
∈ N
d

0
là đa chỉ số với |β| =
d

i=1
β
i
ta định nghĩa toán
tử vi phân D
β
như sau
D
β
=
∂
|β|
(∂x
1
)
β
1
(∂x
d
)
β
d
.
Khi đó, với các hàm khả vi vô hạn lần như hàm Gauss và hàm IMQ thì
ta có độ hội tụ cao bất kỳ. Nghĩa là, với Φ là hàm xác định dương bậc m,
∀l ∈ N và l ≥ max{|α|, m − 1} tồn tại các hằng số h

0
(l), C
l
> 0 sao cho
|D
α
f(x) − D
α
P f(x)| ≤ C
l
h
l−|α|
X,Ω
|f|
N
Φ
(Ω)
trong đó f ∈ N
Φ
(Ω), h
0
(l) > h
X,Ω
, α là bậc đạo hàm.
b) Sự ổn định và số điều kiện của ma trận nội suy hàm RBF
Bài toán nội suy (2.5) khi tính toán sẽ gặp sai số máy tính và dẫn đến
A(c + ∆c) = y + ∆y. (2.9)
19
Từ đó ta có sai số tuyệt đối
A∆c = ∆y. (2.10)

Vì đây là phương pháp xấp xỉ trong phương pháp số nên ta chỉ được phép
bàn đến sai số tương đối.
Từ (2.5)suy ra
||A||.||c||  ||y|| ⇒
1
||c||

||A||
||y||
. (2.11)
Từ (2.10)suy ra
∆c = A
−1
∆y ⇒ ||∆c||  ||A
−1
||.||y||. (2.12)
Từ (2.11)và (2.12)suy ra
||∆c||
||c||

∆y
||y||
.||A||.||A
−1
||. (2.13)
Định nghĩa 2.1.1. [6] (Số điều kiện của ma trận)
Giả sử A là ma trận khả nghịch. Khi đó, số điều kiện của ma trận A được
tính bởi công thức
cond(A) = ||A||.||A
−1

||.
Đối với ma trận xác định dương thì cond(A) =
λ
max
λ
min
trong đó λ
max
là giá
trị riêng lớn nhất, λ
min
là giá trị riêng nhỏ nhất.
Ma trận
A =



Φ(0) Φ(x
1
− x
2
) Φ(x
1
− x
n
)
Φ(x
2
− x
1

) Φ(0) Φ(x
2
− x
n
)

Φ(x
n
− x
1
) Φ(x
n
− x
2
) Φ(0)



có tính chất
i) λ
max
≤ nΦ(0).
ii) Trong trường hợp Φ = e
−
2||x||
2
ta có λ
min
≥ C
d

(
√
2)
−d
e
−40,71d
2
(qχ)
2
q
−d
χ
trong đó C
d
là hằng số và q
χ
=
1
2
min
i=j
||x
i
− x
j
|| là khoảng cách tách
biệt. Hơn nữa ta thấy rằng:
Nếu cố định  và cho q
χ
−→ 0 thì cond(A) −→ ∞.

Nếu cố định q
χ
và cho  −→ 0 thì cond(A) −→ ∞.
20
Do đó, nếu chọn nhiều điểm hoặc chọn  quá nhỏ đều có thể dẫn đến
kết quả tính toán không ổn định. Vì vậy vấn đề đặt ra là chọn số điểm nội
suy bằng bao nhiêu và  bằng bao nhiêu là tối ưu [5].
c) Sự hội tụ của nội suy hàm cơ sở bán kính
Đối với hàm Gauss và lớp hàm MQ năm 1991 Madych đã chứng minh
được rằng nếu f ∈ N
Φ
(Ω) thì tồn tại λ ∈ (0; 1) sao cho
|f(x) − P f(x)| ≤ Cλ
1
h
X,Ω
.
Có nghĩa là hàm P
f
xẽ hội tụ đến hàm f ∈ N
Φ
(Ω) với tốc độ mũ khi
 −→ 0 hoặc h
X,Ω
−→ 0.
2.2 Xây dựng công thức tính gần đúng đạo hàm
dựa vào nội suy hàm cơ sở theo bán kính
Trong thực tế, nhiều khi ta cần tính gần đúng đạo hàm của một hàm
số y = f(x) nhưng hàm này chỉ biết được các giá trị y
1

, y
2
, ··· , y
n
của
hàm số tại các điểm x
1
, x
2
, ··· , x
n
hoặc biểu thức giải tích của hàm f(x)
quá phức tạp. Khi đó thay cho hàm f(x) ta xét hàm nội suy s(x) và xem
đạo hàm của hàm f(x) xấp xỉ bằng đạo hàm của hàm s(x) với một sai số
nào đó.
2.2.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính không thành phần đa thức
Cho bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ R
d
,
u : R
d
→ R là hàm liên tục và đủ trơn. Giả sử φ : R
+
→ R là hàm xác

định dương và đủ trơn. Khi đó hàm nội suy cơ sở bán kính s (x) của hàm
u (x) được viết dưới dạng
s(x) =
n

j=1
a
j
Φ(x − x
j
), Φ(x) := φ( x ), (2.14)
s(x
i
) = u(x
i
), i = 1, 2, , n (2.15)
trong đó a
j
được chọn sao cho thỏa mãn điều kiện nội suy (2.15).
Từ (2.14) và (2.15) ta có:
n

j=1
a
j
Φ(x
i
− x
j
) = u(x

i
), i = 1, 2, , n. (2.16)
Ký hiệu:
Φ|
X
=

Φ(x
i
− x
j
)

n,n
i,j=1
, u|
X
= [u(x
1
), u(x
2
), , u(x
n
)]
T
,
a = [a
1
, a
2

, , a
n
]
T
.
21
Khi đó ta có thể viết (2.16) dưới dạng ma trận:
Φ|
X
a = u|
X
.
Vì φ là hàm xác định dương nên ma trận Φ|
X
là xác định dương với bộ
tâm X phân biệt từng đôi một. Do đó, véc tơ a được xác định duy nhất
bởi:
a = [Φ|
X
]
−1
u|
X
. (2.17)
Hàm nội suy cơ sở bán kính s(x) là một xấp xỉ tốt của hàm u(x) nếu hàm
u(x) đủ trơn và các tâm x
1
, x
2
, , x

n
∈ R
d
đủ dầy trong lân cận của x.
Hơn nữa, đạo hàm của hàm s(x) cũng xấp xỉ tốt với đạo hàm của hàm
u(x) nếu hàm φ đủ trơn. Vì vậy nếu D là toán tử vi phân tuyến tính thì
Ds(x) là xấp xỉ của Du(x) được xét dưới dạng:
Du(x) ≈ Ds(x) =
n

j=1
a
j
DΦ(x − x
j
) = a
T
DΦ(x − ·)|
X
= u|
T
X
[Φ|
X
]
−1
DΦ(x − ·)|
X
. (2.18)
Ta đặt

ω = [Φ|
X
]
−1
DΦ(x − ·)|
X
, (2.19)
trong đó DΦ(x − ·)|
X
= (DΦ(x − x
1
), , DΦ(x − x
n
))
T
.
Từ đó ta có
Du(x) ≈ Ds(x) =
n

i=1
ω
i
u(x
i
). (2.20)
Quan sát công thức (2.19) ta có thể thấy ω là nghiệm của hệ phương trình
n

j=1

ω
j
Φ(x
i
− x
j
) = DΦ(x − x
i
), i = 1, 2, , n. (2.21)
Điều này có nghĩa là véc tơ trọng số ω được cho bởi các hệ số của nội
suy hàm cơ sở bán kính với dữ liệu cho bởi hàm DΦ(x − ·)|
X
.
Vì Φ(x
i
− x
j
) = Φ((x − x
i
) − (x − x
j
)) nên nếu ta nội suy hàm DΦ tại
các tâm x −x
j
, j = 1, 2, , n thì ta thu được các hệ số nội suy như trong
công thức (2.19) và đó chính và véc tơ trọng số. Vì vậy chúng ta có phương
pháp tính véc tơ trọng số như sau:
Mệnh đề 2.2.1. [5] Cho bộ tâm phân biệt từng đôi một X = {x
1
, x

2
, . . . , x
n
} ⊂
R
d
, u : R
+
−→ R là hàm liên tục và đủ trơn, D là toán tử vi phân tuyến
tính và hàm nội suy cơ sở bán kính s(x) của hàm u(x) được biểu diễn dưới
dạng (2.14) - (2.15). Khi đó véc tơ trọng số w của vi phân số tại x được
tìm bằng cách giải hệ phương trình (2.21), hay véc tơ trọng số là các hệ số
của nội suy hàm cơ sở bán kính với dữ liệu được cho bởi hàm DΦ(x −·)|
X
.
22
2.2.2 Nội suy hàm cơ sở bán kính với độ chính xác đa thức
Cho φ : R
+
−→ R là hàm xác định dương hoặc xác định dương có điều
kiện bậc cao nhất là l + 1, X = {x
1
, x
2
, , x
n
} ⊂ R
d
là bộ tâm phân biệt
từng đôi một và u : R

d
−→ R là hàm liên tục.
Khi đó s là hàm nội suy cơ sở theo bán kính của hàm u được viết dưới
dạng:
s(x) =
n

j=1
a
j
Φ(x − x
j
) + p(x), Φ(x) = φ( x ), (2.22)
s(x
i
) = u(x
i
), i = 1, 2, , n, (2.23)
trong đó p(x) là đa thức bậc l với ||x|| là chuẩn Ơ cơ lit của x và a
j
được
chọn sao cho thỏa mãn điều kiện (2.23) có nghĩa là
n

j=1
a
j
Φ(x − x
j
) + p(x) = u(x

i
), i = 1, 2, , n. (2.24)
Vì φ là hàm xác định dương hoặc xác định dương có điều kiện bậc cao
nhất là l + 1 nên ma trận hệ số tạo bởi các hệ số a
j
và đa thức p(x) là
không suy biến nên chúng được xác định duy nhất bởi các điều kiện
n

j=1
a
j
Φ(x − x
j
) + p(x) = u(x
i
), i = 1, 2, , n, (2.25)
n

j=1
p(x
j
) = 0, (2.26)
trong đó p là đa thức bậc l.
Giả sử rằng p
1
, p
2
, , p
k

, là cơ sở của các đa thức bậc l. Khi đó, ta có thể
viết hệ (2.27) - (2.28)
n

j=1
a
j
Φ(x − x
j
) + p(x) = u(x
i
), i = 1, 2, , n. (2.27)
n

j=1
p(x
j
) = 0, (2.28)
dưới dạng ma trận
Φ|
X
a + P |
X
c = u|
X
,
P |
X
a = 0,
23

trong đó
Φ|
X
= [Φ(x
i
− x
j
)]
n,n
i,j=1
, a = [a
1
, a
2
, , a
n
]
T
,
u|
X
= [u(x
1
), u(x
2
), , u(x
n
)]
T
, p(x) =

k

j=1
c
j
p
j
(x),
P |
X
= [p
j
(x
i
)]
n,k
i,j=1
, c = [c
1
, c
2
, , c
k
]
T
.
Do đó, véc tơ a và c được xác định duy nhất bởi

a
c


=

Φ|
X
P |
X
P |
T
X
0

−1

u|
X
0

. (2.29)
Hàm nội suy cơ sở theo bán kính s(x) là một xấp xỉ của hàm u(x) nếu
hàm u(x) đủ trơn và các tâm x
1
, x
2
, , x
n
∈ R
d
đủ dầy trong lân cận của
x. Đồng thời, đạo hàm của hàm s(x) cũng là một xấp xỉ tốt với đạo hàm

của hàm u(x) nếu hàm φ đủ trơn. Vì vậy nếu D là toán tử vi phân tuyến
tính thì Ds(x) là xấp xỉ của Du(x) được xét dưới dạng:
Du(x) ≈ Ds(x) =
n

j=1
a
j
DΦ(x − x
j
) +
k

j=1
c
j
Dp
j
(x)
=

a
c

T

DΦ(x − ·)|
X
DP (x)


=

u|
X
0

T

Φ|
X
P |
X
P |
T
X
0

−1

DΦ(x − ·)|
X
DP (x)

=

u|
X
0

T


ω
v

T
=
n

i=1
ω
i
u(x
i
), (2.30)
trong đó DP (x) = (p
1
(x), p
2
(x), ··· , p
k
(x))
T
và

ω
v

=

Φ|

X
P |
X
P |
T
X
0

−1

DΦ(x − ·)|
X
DP (x)

. (2.31)
Bằng cách nhân cả hai vế của phương trình ma trận này với

Φ|
X
P |
X
P |
T
X
0

chúng ta thấy rằng véc tơ trọng số ω thỏa mãn
Φ|
X
ω + P |

X
v = DΦ(x − ·)|
X
,
P |
T
X
ω = DP (x).
24