Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình PAdic

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY





PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN
CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC




LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC






THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY




PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN
CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC


Chun ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC


Người hướng dẫn khoa học: TS. Vũ Hồi An




THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />
LỜI CAM ĐOAN


Tơi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung

thực, khơng trùng lặp với các đề tài khác và các thơng tin trích dẫn trong luận
văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.



Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Học viên



Nguyễn Thị Bích Thùy






Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />i
Mục lục
Các kí hiệu ii
Mở đầu 1
1 Phân bố giá trị của hàm phân hình p - adic 4
1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic . . . . . . . 4
1.1.1 Khơng gian C
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hai Định lý chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic . 9
1.2.1 Hai Định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Các chú ý về Định lý chính thứ hai . . . . . . 13

2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân
hình p-adic 15
2.1 Giả thuyết Hayman p - adic . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm
phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ii
Các kí hiệu
• C
p
: Trường số phức p - adic
• f : Hàm phân hình p - adic
• N
f
(a, r): Hàm đếm của f tại a
• m
f
(∞, r) : Hàm xấp xỉ của f
• T
f
(r): Hàm đặc trưng của f.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />1
MỞ ĐẦU
Lý do chọn luận văn
Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng được xem là thành
tựu tốn học đẹp đẽ nhất của tốn học thế kỷ XX, mà ngày nay được
gọi là Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của Lý thuyết phân bố giá
trị là hai định lý cơ bản. Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộng Định lý cơ
bản của đại số, mơ tả sự phân b ố đều giá trị của hàm phân hình khác
hằng trên mặt phẳng phức C . Định lý cơ bản thứ hai là mở rộng Định
lý Picard, mơ tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm

phân hình. Hà Huy Khối là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết
phân bố giá trị cho trường hợp p - adic. Ơng và các học trò đã tương tự
lý thuyết Nevanlinna cho trường số phức p - adic mà ngày nay thường gọi
là lý thuyết Nevanlinna p - adic. Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm
phân hình và ánh xạ chỉnh hình p - adic. Một trong những ứng dụng sâ u
sắc của lý thuyết phân bố giá trị (phức và p - adic) là Vấn đề xác định
duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện
ảnh ngược của tập hợp điểm mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điể m của
Nevanlinna (hoặc tương tự của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic).
Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiều nhà tốn học
trong và ngồi nước xét trong mối liên hệ với đạo hàm của hàm phân hình
và ảnh ngược c ủa các điểm riêng rẽ. Người khởi xướng hướng nghiên cứu
này là Hayman.
Năm 1967, Hayman đã chứng minh kết quả sau đây:
Định lí A[4]. Cho f là hàm phân hình trên C . Nếu f (z) = 0 và f
(k)
(z) =
1 với k là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2
Năm 1967, Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau đây:
Giả thuyết Hayman[4]. Nếu một hàm ngun f thỏa mãn f
n
(z) f
′
(z) =
1 với n là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C , thì f là hằng.
Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm ngun siêu
việt và n > 1 , đã được Clunie ki ểm tra đối với n ≥ 1 . Các kết quả này
và các vấn đề liên quan đã hình thành nhánh nghiên cứu được gọi là sự
lựa chọn của Hayman.

Tiếp đó, đối với các hàm ngun f và g, C. C. Yang và G. G. Gundersen
đã nghiên cứu trường hợp ở đó f
(k)
và g
(k)
nhận giá trị 0 CM, k = 0, 1.
Cơng trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc về
C.C.Yang – X.H. Hua.Năm 1997, hai ơng đã chứng minh định lý sau đây:
Định lí B[13]. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 là
một số ngun và a ∈ C - {0} . Nếu f
n
f
′
và g
n
g
′
nhận giá trị a CM thì
hoặcf = dg với d
n+1
= 1 hoặc g (z) = c
1
e
cz
và f (z) = c
2
e
−cz
, ở đó c, c
1

,
c
2
là các hằng số và thỏa mãn (c
1
c
2
)
n+1
c
2
= −a
2
.
Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển mạnh mẽ với những kết quả sâu
sắc của I. Lahiri, Q. Han – H. X. Yi, W. Bergweiler, J. K. Langley, K. Liu,
L. Z. Yang, L. C. Hong, M. L. Fang, B. Q. Li, P. C. Hu - C.C.Yang, A.
Eremenko, G. Frank - X. Hua – R. Vaillancourt . . Cơng cụ sử dụng ở
đó là một số kiểu định lí chính thứ hai cho đa thức vi phân cùng với với
các ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm và đạo hàm.
Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướng nghiên cứu này
thuộc về J. Ojeda[11]. Năm 2008, J. Ojeda đã xét vấn đề nhận giá trị của
f
′
+ T f
n
với T là hàm hữu tỷ. Ở đó, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau:
Định lí C[11]. Cho f là hàm phân hình trên C
p
, n ≥ 2 là một số ngun

và a ∈ C
p
- {0}. Khi đó nếu f
n
(z) f
′
(z) = a với mọi z ∈ C
p
thì f là hằng.
Năm 2011, Hà Huy Khối và Vũ Hồi An đã thiết lập các kết quả tương
tự cho đơn thức vi phân dạng f
n
(z)

f
(k)
(z)

m
. Họ đã nhận được kết quả
sau:
Định lí D[4]. Cho f là hàm phân hình trên C
p
, thỏa mãn điều kiện
f
n
(z) (f
(k)
)
m

(z) = 1 với mọi z ∈ C
p
và n,m k là các số ngun khơng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />3
âm.Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
1. f là một hàm ngun.
2. k > 0 và hoặc m = 1, n >
1+
√
1+4k
2
hoặc m > 1, n ≥ 1.
3.n ≥ 0, m > 0, k > 0, và tồn tại hằng số C, r
0
sao cho |f|
r
< C với mọi
r > r
0
.
Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề:
Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm ph ân hình
p-adic.
Đây là một vấn đề có tính thời sự của giải tích p-adic.
Phương pháp được dùng ở đây là :
Vận dụng các kiểu của Định lý chính thứ hai trong trường p-adic để xét
phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic.
Ngồi phần mở đầu và tài li ệu tham khảo luận văn gồm:
Chương 1. Phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic.
Chương 2. Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình

p-adic.
Luận văn được hồn thành tại Khoa Sau Đại Học, Đại Học Sư Phạm Thái
Ngun dưới sự hướng dẫn của Tiến Sĩ Vũ Hồi An. Nhân dịp này, tơi xin
cảm ơn Tiến Sĩ Vũ Hồi An, người đã hướng dẫn giúp đỡ tơi trong suốt
q trình thực hiện luận văn. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các nhà tốn
học Khoa Tốn, Đại Học Sư phạm - Đại Họ c Thái Ngun.
Tuy có nhiều c ố gắ ng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cơ c ùng tồn thể bạn đọc.
Thái Ngun, tháng 04 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Bích Thùy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />4
Chương 1
Phân bố giá trị của hàm phân hình
p - adic
Hiện nay tập bài gi ảng nhập mơn Giải tích p-adic [2] của Hà Trần Phương
là tài liệ u tiếng Việt được dùng cho cao học ngành giải tích của Trường
Đại Học Sư Phạm - Đại Học Thái Ngun. Sách chun khảo về hàm phân
hình khơng Acsimet của Hu-Yang [9] là tài liệu tham khảo tiếng Anh rất
tốt cho cao học, nghiên c ứu sinh và những người muốn tìm hiểu về lý
thuyết phân bố giá trị p-adic. Trên cơ sở các tài liệu này, trong chương
1 chúng tơi trình bày một số kiến thức về phân bố giá trị của hàm phân
hình p-adic để dùng cho chương 2.
1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic
1.1.1 Khơng gian C
p
Với p là một số ngun tố cố định, Ostowski đã khẳng định: Chỉ có hai
cách trang bị chuẩn khơng tầm thường cho trường hữu tỉ Q. Mở rộng theo
chuẩn thơng thường ta có trường số thực R, mở rộng theo chuẩn p - adic ta

có trường số Q
p
.
Kí hiệu C
p
=

Q
p
là bổ sung của bao đóng đại số của Q
p
. Ta gọi C
p
là
trường số phức p-a di c.
Chuẩn trên C
p
được mở rộng tự nhiên của chuẩn p-adic trên Q
p
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />5
Kí hiệu:
D
r
= {z ∈ C
p
: |z| ≤ r}, D
<r>
= {z ∈ C
p

: |z| = r}.
Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên D
r
được biểu di ễn bởi f(z) =

n≥0
a
n
z
n
.
Do lim
n−→∞
|a
n
||z
n
| = 0 nên tồn tại n ∈ N
∗
để |a
n
||z
n
| đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó ta đặt: |f|
r
= max
n≥0
{|a
n

||z
n
|}.
Trong suốt luận văn ta quy ước lo g là log
p
.
1.1.2 Hàm đặc trưng
Giả sử f là một một hàm chỉnh hì nh khác hằng trên C
p
. Với mỗi a ∈ C
p
,
f viết f =

P
i
(z − a) với P
i
các đa thức bậc i.
Định nghĩa v
f
(a) = min {i : P
i
= 0}.
Cho d ∈ C
p
, Định nghĩa một hàm v
d
f
: ∈ C

p
−→ N xác định b ởi
v
d
f
(a) = v
f−d
(a).
Cố định số thực ρ
0
với 0 < ρ
0
≤r. Định nghĩa N
f
(a, r) =
1
lnp

r
ρ
0
n
f
(a, x)
x
dx
ở đó n
f
(a, x) là số nghiệm của phương trình f(z) = a tính cả bội trên đĩa
|z| ≤ x.

Nếu a = 0 thì đặt N
f
(r) = N
f
(0, r). Cho l là m ột số ngun dương. Đặt
N
l,f
(a, r) =
1
lnp
int
r
ρ
0
n
l,f
(a, x)
x
dx, n
l,f
(a, x)=

|z|≤r
min {v
f−a
(z), l}
Cho k là một số ngun dương, Ta định nghĩa hàm v
≤k
f
từ C

p
vào N xác
định bởi:
v
≤k
f
(z) =



0 nếu v
f
(z) > k
v
f
(z) nếu v
f
(z) ≤ k
và
n
≤k
f
(r) =

|z|≤r
v
≤k
f
(z), n
≤k

f
(a, r) = n
≤k
f−a
(r).
Định nghĩa N
≤k
f
(a, r) =
1
lnp

r
ρ
0
n
≤k
f
(a, x)
x
dx.
Nếu a = 0 thì đặt N
≤k
f
(r) = N
≤k
f
(0, r).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />6
Ta đặt N

≤k
f
(a, r) =
1
lnp
.

r
ρ
0
n
≤k
f
(a, x)
x
dx,
ở đó n
≤k
l,f
(a, x)=

|z|≤r
min

v
≤k
f−a
(z), l

.

Tương tự ta định nghĩa:
N
<k
f
(a, r), N
<k
l,f
(a, r), N
>k
f
(a, r), N
≥k
f
(a, r), N
≥k
l,f
(a, r), N
>k
l,f
(a, r).
Giả sử f là một hàm phân hình trên C
p
, khi đó tồn tại hai hàm f
2
, f
1
sao
cho f
1
, f

2
khơng có khơng điểm chung và f =
f
1
f
2
. Với a ∈ C
p

{∞}, ta
định nghĩa hàm đếm số khơng điểm n
f
(a, r) của f tại a hay còn gọi hàm
đếm số a - điểm của f bởi :
n
f
(a, r) =



n
f
(∞, r) = n
f
2
(0, r)
n
f
1
−af

2
(0, r).
Định nghĩa hàm đếm N
f
(a, r) của f tại a bởi:
N
f
(a, r) =



N
f
(∞, r) = N
f
2
(0, r)
N
f
1
−af
2
(0, r).
Tương tự ta cũng định nghĩa được các hàm n
f
(∞, r) , N
f
(∞, r) , n
f
(a, r),

N
f
(a, r).
Ta có N
f
(a, r) = N
f
1
−af
2
(r), N
f
(∞, r) = N
f
2
(r).
Giả sử f
1
=
∞

n=m
1
a
n
z
n
, f
2
=

∞

n=m
2
b
n
z
n
trong đó m
2
, m
1
∈ N và a
m
1
= 0,
b
m
2
= 0. Ta có
N
f
(0, r) = N
f
1
(0, r) = log |f
1
|
r
- log |a

m
2
|,
N
f
(∞, r) = N
f
2
(0, r) =log |f
2
|
r
- log |b
m
1
|.
Kéo theo
N
f
(0, r) − N
f
(∞, r) = log |f|
r
− log
|a
m
1
|
|b
m

2
|
= log |f|
r
− log |f
∗
( 0)|,
trong đó f
∗
(0) =
a
m
1
b
m
2
. Ta có
f
∗
(0) = lim
z−→0
z
m
2
−m
1
f(z) ∈ C
p
∗
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />7
Hơn nữa ta có
N
f
(0, r) − N
f
(∞, r) = N
f
1
(0, r) − N
f
2
(0, r)
= log |f
1
|
r
− log |f
1
|
ρ
0
− log |f
2
|
r
− log |f
2
|
ρ

0
= log
|f
1
|
r
|f
2
|
r
− log
|f
1
|
r
0
|f
2
|
r
0
= log |f|
r
− log |f|
ρ
0
.
Tiếp theo ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm f bởi cơng thức
m
f

(∞, r) = max {0, log|f|
r
}.
Với mỗi a ∈ C
p
, đặt m
f
(a, r) = m
1
f − a
(∞, r) . Ta có
m
f
(0, r) = log
+
µ
f
(0, r) = max {0, −log |f|
r
}.
Sau đây ta có m ộ t số tính chất đơn giản của hàm đếm và hàm xấp xỉ.
Mệnh đề 1.1. [2]
Giả sử f
i
là hàm phân hình khơng đồng nhất trên C
p
, i = 1, 2, , k. Khi
đó với mỗi r > 0, ta có
N
k


i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1);
N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1);
m
k

i=1

f
i
(∞, r) ≤ max
i∈{1, k}
m
f
i
(∞, r) + O(1);
m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
m
f
i
(∞, r) + O(1) .
Chứng minh . Với mỗi kí hiệu f
i
=
f
i1
f
i2
, trong đó f

i1
, f
i2
∈ A(C
p
) khi
đó, ta viết
k

i=1
f
i
=
F
f
12
f
k2
;
k

i=1
f
i
=
G
f
12
f
k2

trong đó F, G ∈ A(C
p
).
Do đó, mỗi cực điểm của hàm
k

i=1
f
i
hoặc
k

i=1
f
i
chỉ có thể là khơng điểm
của hàm f
12
f
k2
, nên nó là cực điểm của một trong các hàm f
i
.
Suy ra
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />8
n
k

i=1
f

i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r) ; n
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r) .
Điều này kéo theo
N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤

k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1); N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1).
Ngồi ra ta có
log |
k

i=1
f
i
|
r
≤ log max

i∈{1, ,k}
|f
i
|
r
= max
i∈{1, ,k}
log |f
i
|
r
nên m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤ max
i∈{1, ,k}
m
f
i
(∞, r) , và log |
k

i=1
f
i
|
r

=
k

i=1
log |f
i
|
r
.
Do đó m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
m
f
i
(∞, r) + O(1).
Mệnh đề được chứng mi nh.
Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng cho b ở i cơng thức
T
f
= m
f
(∞, r) + N

f
(∞, r) . Ta có T
f
(r) = max
1≤i≤2
log |f
i
|
r
+ O(1),
f được gọi là hàm siêu việt nếu lim
T
f
(r)
log r
= ∞.
Mệnh đề 1.2. [2]
Giả sử f
i
là các hàm phân hình khơng đồng nhất trên C
p
,i = 1, 2 , , k.
Khi đó với mỗi ρ
0
< r, ta có
T
k

i=1
f

i
(r) ≤
k

i=1
T
f
i
(r) + O(1); T
k

i=1
f
i
(r) ≤
k

i=1
T
f
i
(r) + O(1) .
Hơn n ữa T
f
(r) là một hàm tăng theo r.
Mệnh đề 1.3. Giả sử f là hàm chỉnh hình khơng đồng nhất O trên D
r
.
Khi đó T
f

(r) = N
f
(r) + O(1), t rong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi
r −→ +∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />9
1.2 Hai Định lý chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic
1.2.1 Hai Định lý chính
Trong phần này chúng tơi sẽ trình bày hai định lý chính trong lý thuyết
Nevanlinna p - adi c. Ta kí hiệu|.| thay cho |.|
p
trên C
p
. Ta cố định hai số
thực ρ và ρ
0
sao cho 0 < ρ
0
< ρ < ∞. Trước tiên ta chứng minh định l ý
chính thứ nhất .
Định lý 1.4. [2]
Nếu f là một hàm khác hằng trên C
p
(0, ρ) thì với mọi a ∈ C
p
ta có
m
f
(a, r) + N
f
(a, r) = T

f
(r) + O(1).
Chứng minh
Ta có
m
f
(a, r) + N
f
(a, r) = T
f
(a, r) = T
f−a
(r) − lo g |f −a|
ρ
0
.
Ta lại c ó
T
f−a
(r) ≤ T
f
(r)+ log
+
|a|, T
f
(r) ≤ T
f−a
(r)+ log
+
|a|.

Từ đó ta có kết l uận của định lý.
Mệnh đề sau là Bổ đề đạo hàm logarit.
Mệnh đề 1.5. [2]
Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
(0, ρ) thì với một số ngun
k > 0 ta có |
f
(k)
f
|
r
≤
1
r
k
, đặc biệt |
f
(k)
f
|
r
≤ k log
+
1
r
.
Chứng minh
f ∈ A
(ρ)

(C
p
) ta có |
f
′
f
|
r
= |f|
r
≤
1
r
′
,
Do đó |
f
(k)
f
|
r
= |
k

i=1
f
(i)
f
(i−1)
|

r
=
k

i=1
|
f
(i)
f
(i−1)
|
r
≤
1
r
k
, trong đó f
(0)
= f.
Bây giờ xét f =
g
h
∈ M
(ρ
(C
p
). Khi đó
|
f
′

f
|
r
= |
hg
′
− gh
′
h
2
.
h
g
|
r
= |
g
′
g
−
h
′
h
|
r
≤ max

|
g
′

g
|
r
, |
h
′
h
|
r

≤
1
r
′
,
Tương tự ta cũng thu được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />10
|
f
(k)
f
|
r
≤
1
r
k
.
Mệnh đề được chứng mi nh.
Với một hàm phân hình khác hằng f trong C

p
(0, ρ), ta định nghĩa
N
Ramf
(∞, r) = 2N
f
(∞, r) − N
f
′
(∞, r) + N
f
′
(0, r).
Tiếp theo ta giới thiệu Định lý chính thứ hai.
Định lý 1.6. (Định lý chính thứ hai)[2]
Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
(0, ρ) và a
1
, , a
q
∈ C
p
là các
số phân biệt. Đặt δ = min
i=j
{1, |a
i
− a
j

|}, A = max {1, |a
i
|}. Khi đó với
0 < r < ρ,
(q − 1)T
f
(r) ≤ N
f
(r) +
q

j=1
N
f
(a
1
, r) − N
Ramf
(∞, r) − log r + S
f
≤ N
f
(r) +
q

j=1
N
f
(a
i

, r) − log r + S
f
.
Trong đó S
f
=
q

j=1
log |f − a
j
|
ρ
0
− log |f
′
|
ρ
0
+ (q − 1) log
A
δ
.
Chứng minh
Trong chứng minh khi viế t || Ta hiểu là ||
p
Lấy r
′
∈ |C
p

|sao cho ρ
0
< r
′
< ρ.
Ta viết f = f
1
/f
0
trong đó f
1
, f
0
∈ A
r
′
(C
p
) khơng có khơng điểm chung
và đặt
F
0
= f
0
, F
i
= f
1
− a
i

f
0
(i = 1, 2, . , q)
Khi đó
|f
k
(z)| ≤ A max {|F
2
(z)|, |F
i
(z)|} , (k = 0, 1)
Ta ln sử dụng
W = W (f
0
, f
1
) =





f
′
0
f
′
1
f
0

f
1





là kí hiệu Wronskian của f
0
và f
1
.
Đặt W
i
= W (F
0
, F
i
) = W .
Bây giờ ta cố định z ∈ C
p
[0, r
′
] − C
p
[0, ρ] sao cho
W (z), f
1
(z), F
i

(z) = 0,i = 0, 1, , q.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />11
Khi đó tồn tại một chỉ số j ∈ {1, 2, , q} s a o cho
|F
j
(z)| = min
1≤j≤q
|F
i
(z)|.
Chú ý rằng
|f
0
(z)| =
|F
i
(z) − F
j
(z)|
|a
j
− a
i
|
≤
1
δ
|F
i
(z)|(i = j)

Như vậy chúng ta có thể lấy các chỉ số phân biệt β
1
, , β
q−1
với β
l
=
j(l = 1, 2, , q − 1) sao cho
0 < max {δ|f
2
(z)|, F
j
(z)} ≤ |F
β
1
(z)| ≤ ≤ |F
β
q−1
(z)| < ∞
Khi đó ta có
|f
k
(z)| ≤
A
δ
max {δ|f
2
(z)|, F
j
(z)} ≤

A
δ
|F
β
l
(z)|
với mỗi k = 0, 1; l = 1, 2, q − 1. Như vậy ta thu được
|

f(z)| = max
k
|f
k
(z)| ≤
A
δ
|F
β
l
(z)
|, l = 0, , q − 1
trong đó

f(z) = (f
0
, f
1
) : C
p
−→ C

2
p
là một biểu diễn của f. Vì W = W
j
, ta thu được
log
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
= log |F
β
l
F
β
q−l
| − log D
j
(z),
trong đó
D
j
=
|W
j
|
|F
0

F
j
|
= |
F
′
j
F
j
−
F
′
0
F
0
|.
Khi đó log |F
β
l
(z) F
β
q−l
| ≤ lo g
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D

j
(z).
Bởi vậy ta có
(q − 1) log |f(z)| ≤ log
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D
j
(z) + (q − 1) log
A
δ
.
Đặt r = |z|. Lại có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />12
D
j
(z) ≤ max

|F
′
0
(z)|
|F
0
(z)|
,

|F
′
j
(z)|
|F
j
(z)|

≤
1
r
Như vậy log D
j
(z) ≤ −log r. Hơn nữa ta có
log |F
0
(z)|
r
= log |f
2
|
r
= N
2
(0, r) + log |f
2
|
ρ
0
= N

f
(∞, r) + log |f
2
|
ρ
0
,
log |W (z)|
r
= log |f
0
f
′
1
−f
1
f
′
0
|
r
=N
W
(0, r)+log |W |
ρ
0
=N
W
(0, r)+log |f
′

|
ρ
0
+
2 log |f
2
|
ρ
0
.
log |f
′
i
| = log |F
i
|
r
= log |f
1
−a
i
f
2
|
r
= N
f
(a
i
, r) + log |f −a

i
|
r
+ log |f
2
|
ρ
0
,
với mỗi i = 1, 2, ., q và chú ý rằng
log

f(z)| = T
f
(r) + log |f
2
|
ρ
0
Ta thu được
(q − 1)T
f
(r) ≤ N
f
(∞, r) +
q

j=1
N
f

(a
i
, r) − N
W
(0, r) − log r + S
f
.
Chú ý rằng W = f
0
f
′
1
− f
1
f
′
0
= f
2
0
f
′
.
Ta có
n
W
(0, r) = 2n
f
(∞, r) − n
f

′
(∞, r) + n
f
′
(0, r).
Điều đó kéo theo
N
W
(0, r) = N
Ramf
(∞, r) .
và n
f
(∞, r) +
q

j=1
n
f
(a
i
, r) − n
W
(0, r) ≤ n
f
(∞, r) +
q

j=1
n

f
(a
i
, r).
Từ đó suy ra bất đẳng thức trong Định lý.
Chú ý
Ta viết
n(r,
1
f
′
; a
1
, a
q
) = n
f
′
(0, r) +
q

j=1
n
f
(a
i
, r) −
q

j=1

n
f
(a
i
, r)
và định nghĩa
n(r,
1
f
′
; a
1
, a
q
) =
r

ρ
0
n(t,
1
f
′
; a
1
, a
q
)
t
dt.

Khi đó ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />13
0 ≤ n(r,
1
f
′
; a
1
, a
q
) ≤ n
f
′
(0, r).
và Định lý 1.6 được viết lại như sau
(q −1)T
f
(r) ≤ N
f
(∞, r) +
q

j=1
N
f
(a
i
, r) −N(r,
1
f

′
; a
1
, a
q
) −log r + S
f
.
1.2.2 Các chú ý về Định lý chính thứ hai
Trong phần này chúng ta nghiên cứu thêm mộ t số dạng của Định lý chính
thứ hai, đặc biệt là bổ đề về quan hệ số khuyết. Giả sử f là một hàm phân
hình khác hằng trên C
p
.
Chú ý rằng T(r, f) −→ ∞ khi r −→ ∞.
Ta định nghĩa số khuyết của f tại a ∈ C
p
như sau:
δ
f
(a) = lim
r−→∞
inf
m
f
(a, r)
T
f
(r)
= 1 − lim

r−→∞
sup
N
f
(a, r)
T
f
(r)
.
Θ
f
(a) = 1 − li m
r−→∞
sup
N
f
(a, r)
T
f
(r)
.
Dễ thấy
0 ≤ δ
f
(a) ≤ Θ
f
(a) ≤ 1.
Nếu a = ∞ ta kí hiệu
δ
f

(∞) = lim
r−→∞
inf
m
f
(∞.r)
T
f
(r)
= 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(∞.r)
T
f
(r)
.
Θ
f
(∞) = 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(∞.r)
T
f
(r)

.
Định lý 1.7. ( Bổ đề quan hệ số khuyết)[2]
Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng trên C
p
. Khi đó

a∈C
p

{∞}
δ
f
(a) ≤

a∈C
p

{∞}
Θ
f
(a) ≤ 2.
Có thể thấy, quan hệ này chưa phải tốt nhất và bây giờ t a xem xét cẩn
thận hơn.
Giả sử f là một hàm ngun trên C
p
. Khi đó
N
f
(r) = log |f|
r

− log |f|
ρ
0
−→ ∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />14
Khi r −→ ∞ và như thế |f|
r
> 1 khi r đủ lớn. Bởi vậy
m
f
(∞, r) = log |f|
r
.
Khi r đủ lớn, kéo theo
N
f
(r) = T
f
(r) + O(1).
Do đó
N
f
(a, r) = T
f
(r) + O(1).
Với mọi a ∈ C
p
.
Từ định lý đó ta có Định lý và các Bổ đề sau:
Định lý 1.8. Nếu f là một hàm ngun khác hằng trên C

p
. Khi đó δ
f
(a) =
0 với mọi a ∈ C
p
và δ
f
(∞) = 1.
Bổ đề 1.9. Cho f là hàm chỉnh hình khác hằng trên C
p
thì T
f
(r)−T
f
(ρ) =
N
f
(r), trong đó 0 < ρ ≤ r.
Bổ đề 1.10. Cho f là hàm chỉnh hình khác hằng trên C
p
và bộ a
1
, a
2
, . . . , a
p
đơi một khác nhau của C
p
thì:

(q − 1)T
f
(r) ≤ N
1,f
(∞, r) +
q

i=1
N
1,f
(a
i
, r) − N
0,f
′
(r) − log r + O(1).
Trong đó N
0,f
′
(r) là hàm đếm khơng điểm của f’ tại 0, xảy ra tại các
điểm khác với nghiệm của phương trình f(z) = a
i
với i = 1, 2, . . . , q),
0 ≤ ρ ≤ r.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, chúng tơi đã trình bày các khái niệm cơ bản và hai định
lý chính cùng các hệ quả của nó, của lý thuyết phân bố giá trị của hàm
phân hình p-adic.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />15
Chương 2

Phân bố giá trị đối với đơn thức vi
phân của hàm phân hình p-adic
Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic là vấn
đề mới mẻ. Năm 2008, Ojeda [ 11 ] là người đầu tiên đã xét phân bố giá trị
của f
n
f
′
với f là hàm phân hình p - adic.
Trong [11] J.Ojeda đã chứng minh cho hàm phân hình siêu việt trên trường
đóng đại số có đặc số khơng, thỏa mãn giá trị tuyệt đối trên K khơng
Archimedean, hàm f
′
f
n
− 1 có vơ số khơng đi ểm nếu n ≥ 2.
Năm 2011, Hà Huy Khối và Vũ Hồi An [4] đã thiết lập các kết quả tương
tự cho đơn thức vi phân dạng f
n
(z)

f
(k)
(z)

m
. Mục đích trong chương
này là trình bày các kết quả của Hà Huy Khối và Vũ Hồi An trong[4]:
Định lí D [4]. Cho f là hàm phân hình trên C
p

, thỏa mãn điều kiện
f
n
(z) (f
(k)
)
m
(z) = 1 với mọi z ∈ C
p
và n,m k là các số ngun khơng
âm.Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
1. f là một hàm ngun.
2. k > 0 và hoặc m = 1, n >
1+
√
1+4k
2
hoặc m > 1, n ≥ 1.
3. n ≥ 0, m > 0, k > 0, và tồn tại hằng số C, r
0
sao cho |f|
r
< C với mọi
r > r
0
.
Mặt khác, phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình
p-adic liên quan mật thiết với Giả thuyết Hayman p - adic. Do đó, trước
tiên chúng tơi trình bày các kết quả về Giả thuyết Hayman p - adic[ 1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />16

2.1 Giả thuyết Hayman p - adic
Năm 1967, Hayman đưa ra giả thuyết sau đây:
Giả thuyết Hayman [4]. Nếu một hàm ngun f thỏa mãn f
n
(z) f
′
(z) =
1 với n là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.
Giả thuyết Hayman và các vấn đề liên quan đối với hàm phân hình là một
trong những vấn đề cơ bản của Giải tích phức. Các kết quả liên quan đến
Giả thuyết Hayman đã hình thành và phát triển hướng nghiên cứu: Sự
lựa chọn Hayman. Giả thuyết Hayman đối với hàm phân hình được giải
quyết năm 2005. Từ năm 2008, Giả thuyết Hayman được nghiên cứu trong
trường hợp p - adic. Vì các kết quả trong Giải tích p− adic thường tốt hơn
các kết quả cùng kiểu trong Giải tích phức nên Giả thuyết Hayman được
phát biểu trong trường hợp p− adic như sau.
Giả thuyết Hayman p− adic [1]. Nếu một hàm phân hình p− adic f
thỏa mãn f
n
(z) f
′
(z) = 1 với n là một số ngun dương nào đó và với
mọi z ∈ C
p
thì f là hằng.
Trong mục này chúng ta trình bầy các kết quả của Giả thuyết Hayman
cho hàm phân hình p− adic.
Giả sử f là hàm chỉnh hình khác hằng trên C
p
(hàm phân hình p− adic),

a ∈ C
p
, k, l là các số ngun dương.
Ta định nghĩa hàm µ
≤k
f
từ C
p
vào N xác định bởi:
µ
≤k
f
(z) =



0 nếu µ
0
f
(z) > k
µ
0
f
(z) nếu µ
0
f
(z) ≤ k
, n
≤k
(r,

1
f − a
) =

|z|≤r
µ
≤k
f−a
(z),
n
≤k
l
(r,
1
f − a
) =

|z|≤r
min

µ
≤k
f−a
(z), l

,
N
≤k
(r,
1

f − a
) =
1
lnp

r
ρ
0
n
≤k
(r,
1
f − a
)
x
dx,
N
≤k
l
(r,
1
f − a
) =
1
lnp

r
ρ
0
n

≤k
l
(x,
1
f − a
)
x
dx.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />17
Tương tự ta định nghĩa:
N
<k
(r,
1
f − a
), N
<k
l
(r,
1
f − a
), N
>k
(r,
1
f − a
), N
≥k
(r,
1

f − a
), N
≥k
l
(r,
1
f − a
),
N
>k
l
(r,
1
f − a
).
Giả sử f là một hàm phân hình trên C
p
, khi đó tồn tại hai hàm ngun
f
1
, f
2
sao cho f
1
, f
2
khơng có khơng điểm chung và f =
f
1
f

2
, a ∈ C
p
, k, l là
một số ngun dương. Ta định nghĩa
N
≤k
(r,
1
f − a
) = N
≤k
(r,
1
f
1
− af
2
); N
≤k
(r,
1
f − a
) = N
≤k
(r,
1
f
1
− af

2
),
N
≤k
(r, f) = N
≤k
(r, f
2
); N
≤k
l
(r,
1
f − a
) = N
≤k
l
(r,
1
f
1
− af
2
),
N
≤k
l
(r, f) = N
≤k
l

(r, f
2
).
Tương tự ta định nghĩa:
N
<k
(r,
1
f − a
), N
<k
l
(r,
1
f − a
), N
>k
(r,
1
f − a
), N
>k
l
(r,
1
f − a
)
N
≥k
(r,

1
f − a
), N
≥k
l
(r,
1
f − a
),
N
<k
(r, f), N
<k
l
(r, f), N
>k
(r, f), N
>k
l
(r, f), N
≥k
(r, f), N
≥k
l
(r, f).
Các kết quả sau đây liên quan đến Giả thuyết Hayman đối với hàm phân
hình p-adic.
Bổ đ ề 2.1. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C
p
và n là một

số ngun dương, n > 1. Khi đó
(n − 1)T (r, f) + N(r,
1
f
′
) + N(r, f) ≤ T (r, f
n
f
′
) + O(1).
Chứng minh.
Đặt A =
f
n+1
n + 1
thì ta có
A
′
= f
n
f
′
, N(r, A
′
) = (n + 1)N(r, f) + N
1
(r, f).
Vì vậy n N(r, f) = N(r, A
′
) − N(r, f) −N

1
(r, f).
Hơn nữa
m(r,
f
′
f
) = O(1),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />18
nm(r, f) = m(r,
A
′
f
′
) ≤ m(r, A
′
) + m(r,
1
f
′
) + O(1)
= m(r, A
′
) + T (r, f
′
) − N(r,
1
f
′
) + O(1)

= m(r, A
′
) + N(r, f
′
) + m(r,
f
′
f
f) − N(r,
1
f
′
) + O(1)
≤ m(r, A
′
) + N(r, f
′
) + m(r, f) + m(r,
f
′
f
) − N(r,
1
f
′
) + O(1)
= m(r, A
′
) + N(r, f) + m(r, f) + N
1

(r, f) −N(r,
1
f
′
) + O(1)
= m(r, A
′
) + T (r, f) + N
1
(r, f) −N( r,
1
f
′
) + O(1).
Kết hợp với các bất đẳng thức trên ta có
nT (r, f) ≤ T (r, f
n
f
′
) + T (r, f) −N(r,
1
f
′
) − N(r, f) + O(1).
và ( n − 1)T (r, f) + N(r,
1
f
′
) + N(r, f) ≤ T (r, f
n

f
′
) + O(1).
Bổ đề đã được chứng minh.
Bổ đề 2.2. Cho f hàm phân hình khác hằng trên C
p
, n > 1 là số ngun
dương và a
1
, a
2
, a
3
a
q
là các điểm phân biệt của C
p
, a
i
= 0, i = 1, , q.
Khi đó
(q −
4(n + 1)
n
2
+ 3n + 2
)T (r, f
n
f
′

) ≤

q
i=1
N
1
(r,
1
f
n
f
′
− a
i
) − log r + O(1).
Chứng minh. Áp dụng Định lý chính thứ hai ta có
qT ( r, f
n
f
′
) ≤ N
1
(r, f
n
f
′
)+N
1
(r,
1

f
n
f
′
)+
q

i=1
N
1
(r,
1
f
n
f
′
− a
i
)−log r+O(1).
Ta ký hiệu N(r,
1
f
′
; f = 0) là hàm đếm các khơng điểm của f
′
nhưng
khơng là khơng đi ểm của f, ở đó mỗi khơng điểm của f được tính cả bội .
Khi đó
N(r,
1

f
′
; f = 0) = N(r,
f
f
′
) ≤ N(r,
f
′
f
) + m(r,
f
′
f
) + O(1)
≤ N
1
(r, f) + N
1
(r,
1
f
) + O(1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />19
Vậy
N(r,
1
f
′
; f = 0) ≤ N

1
(r, f) + N
1
(r,
1
f
) + O(1).
Từ đây ta có
N
1
(r,
1
f
n
f
′
) ≤ N
1
(r,
1
f
) + N(r,
1
f
′
; f = 0)
≤ N
1
(r, f) + 2N
1

(r,
1
f
) + O(1).
Hơn nữa ta thấy
N(r,
1
f
n
f
′
) − N
1
(r,
1
f
n
f
′
) ≥ 2nN
≥2
1
(r,
1
f
) + (n − 1)N
≤1
1,f
(r,
1

f
).
Mặt khác
N
1
(r,
1
f
) = N
≤1
1
(r,
1
f
) + N
≥2
1
(r,
1
f
).
Từ các bất đẳng thức trên ta nhận được
N
1
(r,
1
f
n
f
′

) ≤ 2N
≥2
1
(r,
1
f
) + N
1
(r, f) +
2
n − 1
(N(r,
1
f
n
f
′
) −N
1
(r,
1
f
n
f
′
) −
2nN
≥2
1
(r,

1
f
)) + O(1).
Vậy
n + 1
n − 1
N
1
(r,
1
f
n
f
′
) ≤
2
n − 1
N(r,
1
f
n
f
′
)+N
1
(r, f)+(2−
4n
n −1
)N
≥2

1
(r,
1
f
)+O(1).
Từ đây ta nhận được
N
1
(r,
1
f
n
f
′
) ≤
2
n + 1
N(r,
1
f
n
f
′
) +
n − 1
n + 1
N
1
(r, f) + O(1).
Hơn nữa

N(r, f
n
f
′
) ≥ (n + 2)N
1
(r, f), N
1
(r, f
n
f
′
) = N
1
(r, f).
Do đó
qT ( r, f
n
f
′
) ≤
2
n + 1
N(r,
1
f
n
f
′
) + (1 +

n − 1
n + 1
)N
1
(r, f)
+
q

i=1
N
1
(r,
1
f
n
f
′
− a
i
) − log r + O(1),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />20
qT ( r, f
n
f
′
) ≤ (
2
n + 1
+ (1 +
n − 1

n + 1
)
1
n + 2
)N(r,
1
f
n
f
′
)
+
q

i=1
N
1,f
n
f
′
(a
i
, r) − log r + O(1).
Kết hợp với Định lý chính thứ nhất ta nhận được
(q −
4(n + 1)
n
2
+ 3n + 2
)T (r, f

n
f
′
) ≤
q

i=1
N
1
(r,
1
f
n
f
′
− a
i
) − log r + O(1).
Bổ đề được chứng minh.
Định lý sau đây trả lời chưa trọn vẹn Giả thuyết Hayman p− adic.
Định lý 2.3. Nếu hàm phân hình f trên C
p
thỏa mãn f
n
(z) f
′
(z) = 1
với n > 1 là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C
p
thì f là hằng.

Chứng minh
Giả sử ngược lại, f khác hằng. Theo Bổ đề 2.1 ta có f
n
(z) f
′
khác hằng.
Áp dụng Bổ đề 2.2 với gi á trị 1 ta có
(1 −
4(n + 1)
n
2
+ 3n + 2
)T (r, f
n
f
′
) + log r ≤ N
1
(r,
1
f
n
f
′
− 1
) + O(1).
Vì n > 1 ta nhận được
1 −
4(n + 1)
n

2
+ 3n + 2
≥ 0.
Do đó f
n
f
′
nhận giá trị 1, một mâu thuẫn. Vậy f là hằng.
Câu hỏi: Với n = 1 thì Định lý 2.3 còn đúng nữa hay khơng?
Tiếp theo, ta phát biểu tương tự Giả thuyết Hayman cho Tốn tử sai
phân, Tích sai phân của hàm phân hình p− adic . Cho f là m ột hàm phân
hình p− adic. Ta định nghĩa
Tốn tử sai phân của f như sau:
∆
c
f = f(z + c) − f(z) ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0
và Tích sa i phân của f như sau:
f
n
(z) f(z + c) ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />