Một số phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH
ĐIỆN TUYẾN TÍNH

2014
MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài.
Trong chuyên ngành Công nghệ kỹ thuật Điện – Điện Tử, học phần Cơ sở lý
thuyết mạch điện 2 là một trong những học phần cơ sở quan trọng. Đây là cơ sở để
nghiên cứu các học phần khó sau này như Máy điện, Công suất v v. Các bài tập
của học phần này thường dài và khá phức tạp trong công việc tính toán đặc biệt là
về phần quá độ.
Hiện nay, ở trường Đại học Hùng Vương các đề tài nghiên cứu về lĩnh vực
này còn ít và chưa sâu. Do đó việc nghiên cứu, tổng hợp lại các phương pháp giải
dạng bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính này là vô cùng quan trọng nhằm
giúp người học giải quyết các bài tập dạng này nhanh và chính xác nhất.
2. Tính cấp thiết của đề tài.
Trong công cuộc công nghiệp hoá hiện đại hoá đất nước, máy móc chiếm
một vai trò vô cùng quan trọng. Máy móc có hoạt động mới có thể sản xuất, để
máy móc hoạt động liên tục thì ngành công nghiệp Điện và nghiên cứu về các lĩnh
vực liên quan đến Điện là một trong những yếu tố quan trọng nhất. Chuyên ngành
Công nghiệp kĩ thuật điện – Điện tử là một trong những chuyên ngành căn bản và
quan trọng nhất.
Hiện nay trong chương trình đào tạo Đại học ngành Công nghệ kỹ thuật điện
– Điện tử của trường Đại học Hùng Vương thì học phần cơ sở lý thuyết mạch điện
là học phần rất quan trọng, nó là học phần cơ sở để nghiên cứu các học phần
chuyên sâu sau này như học phần Máy điện, Điện tử công suất, Cung cấp điện
v v. Môn Cơ sở lý thuyết mạch điện không đi sâu vào việc giải thích các hiện
tượng vật lý, mà chú ý nhiều đến việc tính toán và ứng dụng kỹ thuật, phục vụ cho
chuyên ngành và các lĩnh vực khoa học kỹ thuật khác liên quan đến kic thuật điện
– điện tử.
2

Với số lượng bài tập lớn, khối lượng phải tính toán là rất nhiều, phải thường
xuyên làm việc với những mạch điện phức tạp có số lượng dữ liệu ( nhánh, nút)
lớn, làm việc ở các chế độ khác nhau và có các số liệu thay đổi liên tục cho nên
việc giải các bài tập của môn học Lý thuyết mạch mất một thời gian khá lớn, vì
vậy việc có một phương pháp tính toán, giải mạch điện phù hợp sẽ giúp cho việc
tìm ra lời giải của bài toán trở nên dễ dàng, thuận tiện và chính xác hơn rất nhiều.
Trong các dạng bài tập thuộc học phần Cơ sở lý thuyết mạch điện thì bài tập
phần quá độ là một trong những phần bài tập phức tạp, có khối lượng tính toán lớn,
việc tính toán dễ gặp nhầm lẫn. Quá trình quá độ thường xảy ra trong những mạch
và hệ thống thuộc các lĩnh vực kỹ thuật khác nhau như kỹ thuật điện, vô tuyến
điện, đo lường, tự động điều khiển Thường cần nghiên cứu và giải các thông số
của bài toán quá độ nhằm biết rõ quy luật chung của mạch và hệ thống trong quá
trình quá độ, hoặc để tìm hiểu các đáp ứng của mạch và hệ thống đối với những
kích thích cụ thể, hoặc xét ảnh hưởng của các điều kiện đầu v v Trong một số
trường hợp cần xét quá trình quá độ để phòng tránh tác hại, chẳng hạn như dòng
điện, điện áp quá độ có thể có những giá trị vượt xa giá trị xác lập, ảnh hưởng tới
an toàn của thiết bị. Tóm lại cần nghiên cứu và giải các thông số của quá trình quá
độ hoặc là để sử dụng nó hoặc là để hạn chế tác hại của nó, vì vậy bài toán quá
trình quá độ rất quan trọng về mặt lý thuyết cũng như thực tiễn.
Với mục đích nghiên cứu và hệ thống lại các phương pháp giải bài tập quá
độ trong mạch điện tuyến tính giúp cho việc tính toán, tìm được lời giải chính xác
và dễ dàng hơn, mà chúng tôi đã chọn chọn đề tài:
“ Một số phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính”
3. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài.
3.1. Mục tiêu của đề tài.
Đưa ra một số phương pháp giải bải tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.
3.2.Nhiệm vụ của đề tài.
3
Nghiên cứu tài các tài liệu, giáo trình liên quan đến các phương pháp giải
bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.

Lý thuyết một số phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến
tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
4.1. Đối tượng nghiên cứu:
Quá trình quá độ trong mạch điện tuyến tính.
Các phương pháp giải bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.
4.2. Phạm vi nghiên cứu:
Phần bài tập quá độ trong mạch điện tuyến tính.
5. Nội dung nghiên cứu.
6. Phương pháp nghiên cứu.
Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi sử dụng một số phương pháp sau:
5.1. Phương pháp tổng hợp khái quát hoá tài liệu :
Thông qua đọc, dịch tài liệu, sách, báo, tạp chí và các tài liệu khác, chúng tôi
dùng phương pháp này để phân tích, tổng hợp lý thuyết liên quan đến đề tài để
thu thập thông tin cần thiết.
5.2. Phương pháp thống kê :
Thống kê một số dạng bài tập Cơ sở lý thuyết mạch điện phần bài tập quá độ
trong mạch điện tuyến tính thường gặp để từ đó trình bày rõ ràng về các phương
pháp giải.
5.3. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia :
4
Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn và các Thầy cô trong Bộ môn
Cơ Điện, trường Đại học Hùng Vương.
CHƯƠNG 1. QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ TRONG MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH
1.1. Định nghĩa quá trình quá độ trong mạch điện và đặt ra bài toán quá độ.
1.1.1. Định nghĩa.
Khi mạch điện làm việc thường xảy ra các tác động làm biến đổi đột ngột
nguồn kích thích hoặc thông số của mạch như: Đóng cắt thay đổi nguồn điện, đóng
cắt thay đổi cấu trúc của mạch điện. Nhìn chung khi tác động đóng cắt mạch không
chuyển ngay từ trạng thái cũ sang trạng thái xác lập mới, mà phải trải qua một gia

đoạn chung gian gọi là quá độ, các diễn biến của mạch xảy ra trong giai đoạn quá
độ gọi là quá trình quá độ.
Mốc thời gian ( t=0 ) là một thời điểm tuỳ ý, thường chọn tại thời điểm tác
động, thời gian lân cận trước lúc tác động ký hiệu t= -0, thời gian lân cận sau khi
tác động ký hiệu là t= +0.
1.1.2. Nguyên nhân gây ra quá trình quá độ.
5
Khi có tác động đóng cắt xảy ra do có sự đột biến về thông số và kết cấu của
mạch điện, trong mạch có những phần tử tích luỹ năng lượng điện trường ( L, C )
sẽ phân bố lại, quá trình phân bố đó đòi hỏi có thời gian.
1.1.3. Ý nghĩa của việc nghiên cứu quá trình quá độ và đặt ra bài toán quá độ.
Quá trình quá độ thường xảy ra trong những mạch và hệ thống thuộc các
lĩnh vực kỹ thuật khác nhau như kỹ thuật điện – điện tử, kỹ thuật vô tuyến điện, đo
lường, tự động điều khiển.v v Ta cần nghiên cứu để biết rõ trạng thái, quy luật
của mạch và hệ thống trong chế độ quá độ, hoặc để tìm đáp ứng của mạch và hệ
thống đối với kích thích cụ thể, hoặc xét ảnh hưởng của các điều kiện đầu
Trong một số trường hợp cần xét quá trình quá độ để phòng tránh các tác hại
xấu. Ví dụ như trường hợp dòng điện, điện áp quá độ có thể có những giá trị vượt
quá giá trị xác lập, ảnh hưởng tới an toàn của thiết bị điện, lại có những quá trình
quá độ cần được khống chế sớm kết thúc như quá trình mở máy các động cơ điện,
quá trình dao động của các cơ cấu trong các dụng cụ đo lường, quá trình điều
khiển chiều và tốc độ quay motor Vì vậy, việc nghiên cứu các quy luật biến
thiên của đáp ứng quá độ và giải các thông số của bài toán quá độ trong mạch điện
tuyến tính nhằm để hạn chế hoặc sử dụng những tác động do quá trình quá độ gây
ra.
1.2. Các điều kiện đầu và các luật đóng mở.
1.2.1. Các điều kiện đầu.
Ta gọi các điều kiện đầu ( hoặc sơ kiện ) của bài toán quá độ là các đáp ứng
dòng điện, điện áp trong mạch cùng các đạo hàm của chúng đến cấp cần thiết ở lân
cận đủ nhỏ ngay sau khi tác động đóng mở xảy ra.

Điều kiện đầu: i
R
(+0); i
L
(+0); i
C
(+0); u
R
(+0); u
L
(+0); u
C
(+0); i
R
’
(+0); i
L
’
(+0);
i
C
’
(+0)
Người ta chia điều kiện đầu của bài toán quá độ thành 2 loại:
+ Điều kiện đầu độc lập: Là các giá trị i
L
(+0); u
C
(+0).
6

+ Điều kiện đầu phụ thuộc: Ngoài i
L
(+0); u
C
(+0) thì các sơ kiện khác đều
là điều kiện đầu phụ thuộc.
1.2.2. Phân loại bài toán quá trình quá độ.
Bài toán chỉnh: Tất cả các phép đóng mở trong bài toán phải đảm bảo sự
biến thiên liên tục của năng lượng trong các kho điện, kho từ.
Bài toán không chỉnh: Có chứa phép đóng mở không đảm bảo sự biên thiên
liện tục của năng lượng trong các kho điện, kho từ.
Dấu hiệu của bài toán không chỉnh là trong mạch có ít nhất hai phần tử cùng
loại và sau khi đóng mở thì hình thành một nút chỉ có các nhánh chứa phần tử điện
cảm L hoặc hình thành một mạch vòng chỉ chứa các phần tử điện dung C.
1.2.3. Các luật đóng mở.
1.2.3.1. Đối với bài toán chỉnh:
a. Luật đóng mở 1:
Phát biểu: Dòng điện trong điện cảm i
L
, biến thiên liên tục ( tức không
gián đoạn) tại thời điểm đóng mở.
i
L
(-0) = i
L
(+0) (1-2)
Chứng minh: Thật vậy, từ phương trình trạng thái trên điện cảm:
u
L
=

L
di
L
dt
Nếu chấp nhận điện áp trên điện cảm là hữu hạn thì tốc độ biến thiên
của dòng điện trong điện cảm
L
di
dt
phải hữu hạn, do đó dòng điện trong điện
cảm i
L
ở mọi thời điểm phải liên tục và riêng ở thời điểm đóng mở cũng phải
liên tục.
b. Luật đóng mở 2:
7
Phát biểu: Điện áp trên điện dung u
C
biến thiên liên tục ( tức không gián
đoạn) tại thời điểm đóng mở.
u
C
(+0) = u
C
(-0) (1-2)
Chứng minh: Tương tự như trên, từ phương trình trạng thái của điện
dung:
C
C
du

i C
dt
=
Cho rằng i
C
hữu hạn sẽ có
C
du
dt
hữu hạn, điện áp u
C
phải liên tục và
riêng ở thời điểm đóng mở cũng phải liên tục.
1.2.3.2. Đối với bài toán không chỉnh.
a. Luật đóng mở 3:
Phát biểu: Tổng từ thông mắc vòng trong một vòng kín phải liên tục tại
thời điểm đóng mở:
k k
( 0) ( 0)ψ + = ψ −
∑ ∑
hay
k k
k L k L
L i ( 0) L i ( 0)+ = −
∑ ∑
(1-3)
Nếu không đảm bảo điều kiện (1-3) tổng từ thông mắc vòng trong vòng
kín sẽ gián đoạn tại t = 0, khiến sức điện động cảm ứng tổng trong vòng sẽ
vô cùng lớn.
b. Luật đóng mở 4:

Phát biểu: Tổng điện tích tại một nút phải liên tục tại thời điểm đóng
mở:
k k
q ( 0) q ( 0)+ = −
∑ ∑
hay
k
k
k C k
C
C u ( 0) C u ( 0)
+ = −
∑ ∑
(1-4)
8
Nếu (1-4) không được thoả mãn, điện tích ở nút sẽ gián đoạn khiến
dòng điện ở nút sẽ vô cùng lớn.
1.3. Các xác định các điều kiện đầu.
1.3.1. Tính sơ kiện độc lập.
Đối với bài toán chỉnh.
+ Giải mạch điện ở chế độ xác lập cũ để tìm i
L
(-0), u
C
(-0).
+ Áp dụng luật đóng mở 1 và 2: i
L
(-0) = i
L
(+0), u

C
(-0) = u
C
(+0).
Đối với bài toán không chỉnh.
+ Giải mạch ở chế độ xác lập cũ để tìm i
L
(-0), u
C
(-0).
+ Áp dụng luật đóng mở 3 và phương trình cho nút chỉ chứa L để tìm
i
L
(0).
+ Áp dụng luật đóng mở 4 và phương trình mạch vòng chỉ chứa C để
tìm u
L
(0).
Ví dụ : Hãy tính sơ kiện độc lập của bài toán quá độ hình 1.1, khi khoá K
đóng. Biết:
r
1
= r
2
= r
3
= 10 Ω
L
1
= 0,1 H, C= 100 μF

E = 20 V
Hình 1.1
9
Giải:
Ở chế độ xác lập cũ ( K mở )
i
L
(-0) = 0, u
C
(-0) = E = 20 V
Theo luật đóng mở 1 và 2 ta có:
i
L
(0) = i
L
(-0) = 0, u
C
(0) = u
C
(-0) = 20 V
1.3.2. Tính sơ kiện phụ thuộc.
Xác định sơ kiện độc lập.
Viết hệ phương trình vi phân mô tả mạch sau thời điểm đóng mở.
Thay t = 0 và các giá trị đã biết vào hệ phương trình để tìm các giá trị còn
lại.
Đạo hàm hệ phương trình và thay t = 0 để tìm các giá trị chưa biết và quá
trình cứ tiếp tục cho đến khi tìm đủ các sơ kiện.
Ví dụ:Tìm các sơ kiện i
r
(0), i

L
(0), i
C
(0), i
’
r
(0), i
’
L
(0), i
’
C
(0) của mạch hình 1.2
r
1
= r
3
= 20 Ω, L
3
= 0,1 H, C
2
= 100 μF, E
1
= 20 V
Giải:
Xét chế độ xác lập cũ ( K mở )
i
L
(-0) = 0, u
C

(-0) = E = 20 V
Theo luật đóng mở 1 và 2 ta có:
10
i
L
(0) = i
L
(-0) = 0, u
C
(0) = u
C
(-0) = 20 V
Xét chế độ xác lập mới.
1 2 3
t
1 1 2 1
2
0
'
1 1 3 3 3 3 1
i (t) i (t) i (t) 0
1
ri (t) u(0) i (t)dt E
C
ri (t) r i (t) L i (t) E

+ + =


+ + =




+ + =

∫
(1)
Thay số và t = 0 ta có :
1 2
1
'
1 3
i (0) i (0) 0 0
20i (0) 20 20
20i (0) 20.0 0,1.i (0) 20

+ + =

+ =


+ + =


⇒
i
2
= 0, i
1
(0) = 0, i

3
’
(0) = 200 A
Đạo hàm hệ (1) rồi thay t = 0:
' ' '
1 2 3
'
1 1 2
2
' ' ''
1 1 3 3 3 3
i (0) i (0) i (0) 0
1
ri (0) i (0) 0
C
ri (0) r i (0) L i (0) 0

+ + =


+ =



+ + =


' '
1 2
'

1
' ''
1 3
i (0) i (0) 200 0
1
20i (0) .0 0
0,0001
20i (0) 20.200 0,1.i (0) 0

+ + =


⇔ + =



+ + =


⇒

' '
1 2
i (0) 0,i (0) 200A= = −
11
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP QUÁ ĐỘ TRONG
MẠCH ĐIỆN TUYẾN TÍNH.
2.1. Phương pháp tích phân kinh điển
2.1.1. Phân tích đáp ứng quá độ trong mạch điện tuyến tính thành đáp ứng tự
do xếp chồng với đáp ứng xác lập.

2.1.1.1. Phân tích đáp ứng quá độ.
Phương pháp phân tích quá trình quá độ dựa trên sự tích phân phương trình
vi phân cho thỏa mãn sơ kiện gọi là phương pháp tích phân kinh điển.
Ta đã biết QTQĐ của mạch điện được mô tả bởi một hệ phương trình vi
phân viết theo các luật Kirhof. Với mạch tuyến tính ta có hệ phương trình vi phân
tuyến tính không thuần nhất:

k l
nút nút
k
k k k k k
vòng vòng
i j
di 1
(R i L i dt) e
dt C
=



+ + =


∑ ∑
∑ ∑
∫
trong đó j
l
,

e
k
là nguồn dòng và nguồn s.đ.đ.
Do tính chất tuyến tính nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân không
thuần nhất tương ứng bằng cách cho vế phải bằng không ∑e
k
= 0 và ∑j
l
= 0, cộng
với nghiệm riêng của hệ phương trình vi phân không thuần nhất.
Hệ phương trình vi phân thuần nhất ứng với mạch không có nguồn kích
thích nên nghiệm của nó không phụ thuộc quy luật biến thiên của nguồn kích thích
mà chỉ phụ thuộc riêng tính chất của mạch. Do đó nghiệm của hệ phương trình
thuần nhất được gọi là đáp ứng tự do, ký hiệu là i
td
.
12
Hệ phương trình ứng với đáp ứng tự do viết:

ktd
ktd
k ktd k ktd
i 0
di 1
(R i L i dt) 0
dt C
=




+ + =


∑
∑
∫
Nghiệm riêng của hệ phương trình không thuần nhất quyết định bởi quy luật
của nguồn kích thích nên gọi là đáp ứng cưỡng bức. Trong trường hợp nguồn kích
thích không đổi hay chu kỳ, đáp ứng cưỡng bức cũng không đổi hay biến thiên với
chu kỳ của kích thích, ta gọi chúng là đáp ứng xác lập mới, kí hiệu i
kxlm
.
Kết luận: Đối với mạch điện tuyến tính, đáp ứng quá độ bằng xếp chồng
của đáp ứng tự do với đáp ứng xác lập mới.
qd td xlm
u u u
= +
& & &
Nghĩa là bằng nghiệm của hệ phương trình vi phân mô tả mạch khi không
nguồn cộng với nghiệm của hệ phương trình vi phân mô tả mạch khi có nguồn.
Phương pháp tính đáp ứng quá độ trong mạch tuyến tính bằng cách phân
tích thành đáp ứng tự do xếp chồng với đáp ứng xác lập mới gọi là phương pháp
tích phân kinh điển.
Ví dụ: Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ. Xét quá trình quá độ của mạch sau
khi đóng khóa K.
Phương trình vi phân mô tả mạch sau khi đóng
khóa K là :
u
r
+ u

c
= E
 i.r + u
c
= E
Vì có i = C.u
’
C
nên được phương trình vi phân biểu diễn giai đoạn quá độ
của mạch điện là: C.u
’
C
.r +u
C
= E.
Đây là phương trình vi phân có vế 2 ( vế 2 là nguồn một chiều E). Vì nguồn
một chiều E tác động vào mạch sau khi đóng khóa K nên sẽ có một nghiệm riêng
13
E
K
r
C
chính là nghiệm xác lập một chiều sau khi đóng khóa K. Vì là xác lập một chiều
nên u
’
C
= 0 còn u
’
Ctd
= E.

Phương trình thuần nhất (không vế 2) cho nghiệm x
td
nên biến số lúc này là u
’
Ctd
:
C. u
’
Ctd
.r + u
Ctd
= 0
 C.r.
Ctd
du
dt
= -u
Ctd
;
du
1
Ctd
dt
u rC
Ctd
= −
∫ ∫
Tích phân phương trình vi phân ta được nghiệm tự do u
Ctd
:

ln
Ctd
u
A
=
t
r.C
−
; u
Ctd
= A.
1
r.C
e
−
Vậy ta có nghiệm quá độ u
Cqd
= u
Cxl
+ u
Ctd
= E + A.
1
r.C
e
−
2.1.2. Phương trình đặc trưng và dạng của đáp ứng tự do.
2.1.2.1. Phương trình đặc trưng.
a. Phép đại số hoá phương trình vi phân.
Từ hệ phương trình vi phân mô tả mạch khi không nguồn

ktd
ktd
k ktd k ktd
i 0
di 1
(R i L i dt) 0
dt C
=



+ + =


∑
∑
∫

Trong toán học ta đã biết nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân
tuyến tính thuần nhất có dạng:

k
n
p t
ktd k
k=1
i A e=
∑

Trong đó:
+ A
k
là các hằng số tích phân - được xác định từ các điều kiện đầu của bài
toán.
14
+ p
k
là các số mũ tắt, được xác định từ phương trình đặc trưng ứng với hệ
phương trình vi phân đã cho.
Xét nghiệm đơn giản có dạng i
td
= Ae
pt
Thì:
' pt pt
td td td td
1 1
i pAe pt ; i dt Ae i
p p
= = = =
∫

Thay vào hệ ta được hệ phương trình dạng đại số thuần nhất đối với i
td
:
ktd
k k ktd
k
i 0

1
pL i 0
pC
r
=



+ + =


∑
∑
Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường (i
td
≠ 0), thì định thức các
hệ số ∆p = 0, suy ra các số mũ p của đáp ứng tự do, nên ∆p = 0 chính là phương
trình đặc trưng của mạch.
b. Cách thành lập hệ phương trình đặc trưng.
Cách 1: Đại số hoá phương trình vi phân mô tả mạch.
Các bước:
- Triệt tiêu các nguồn ngoài ( nối tắt nguồn áp, cắt bỏ nguồn dòng).
- Viết hệ phương trình vi phân mô tả mạch sau thời điểm đóng mở.
- Đại số hoá hệ phương trình vi phân bằng cách thay
d 1
p, dt
dt p
= =
∫

- Lập định thức của các hệ số và cho bằng không.
Ví dụ: Cho sơ đồ mạch điện như hình vẽ. Lập phương trình đặc trưng của
mạch điện.
15
E
R
1
R
2
L
K
C
i
3
i
2
i
1
Ta có hệ phương trình mạch sau khi xảy ra theo các định luật đóng mở theo
các luật Kirhof đối với các dòng điện tự do:
1td 2td 3td
1 1td 3td
2td
1 1td 2 2td
i i i 0
1
R i i dt) 0
C
di
R i R i L 0

dt


− − =


+ =



+ + =


∫
Sau khi đại số hóa ta được:
1td 2td 3td
1 1td 3td
1 1td 2 2td
i i i 0
1
R i i 0
pC
R i (R pL)i 0

− − =


+ =




+ + =

Ta được phương trình đặc trưng bằng cách lập định thức hệ số của hệ
phương trình trên và cho nó bằng 0.
1
1 2
1 1 1
1
(p) R 0 0
pC
R R pL 0
 
− −
 
 
∆ = =
 
 
+
 
Sau khi khai triển định thức ta được:
2
1 1 2 1 2
R LCp (R R C L)p (R R ) 0
+ + + + =
Ta được phương trình đặc trưng là một phương trình bậc 2. Nếu 2 nghiệm
của nó là p
1
và p

2
, đáp ứng tự do sẽ có dạng tổng 2 hàm mũ:
1 2
p t p t
td 1 2
i A e A e
= +
Chú ý: Số bậc của phương trình đặc trưng bằng số kho ( số phần tử L, C ).
16
Cách 2: Đại số hoá sơ đồ.
Các bước:
- Triệt tiêu các nguồn ngoài.
- Đại số hoá sơ đồ bằng cách: Thay
1
L Lp,C
Cp
→ →

- Tính tổng trở vào đối với một nhánh bất kỳ rồi cho triệt tiêu.
Ví dụ: Tính Z
1V
từ nhánh 1 ở hình :
Theo hình tính Z
1V
1V 1
2 3
2
1 2 1 3 2 3 2 3 1
1
(r2 )(r3 Lp)

Cp
Z (p) r 0
1
r r Lp
pC
(r r )LCp (rr C r r C L)p (r r ) 0
+ +
= + =
+ + +
→ + + + + + + =

2.1.2.2. Dạng của đáp ứng tự do.
Thông thường phương trình đặc trưng có bậc từ 2 trở lên nên có thể có 3
trường hợp nghiệm: Nghiệm đơn, nghiệm kép và nghiệm phức.
a. Phương trình đặc trưng
có nghiệm thực đơn và
thường là âm.
17
i
td
t
0
P
k
< 0
Nghiệm của đáp ứng tự do có dang:
1 2
p t p t
td 1 2
i A e A e= +

Mỗi số hạng
k
p t
k
A e
đều là hàm số mũ tắt dần, do vậy quá trình tự do có tính
chất không dao động.
b. Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp.
Khi p
1
= p
2
thì nghiệm của đáp ứng tự do có dạng:
1 k
p t p t
td 1 2
i A e A te= +
Đáp ứng tự do có tính chất tới hạn giữa dao động và không dao động gọi là
không giao động tới hạn.
c. Phương trình đặc trưng có nghiệm phức liên hợp
Khi p
1
= -∝ + jβ và p
2
= -∝ - jβ thì đáp ứng tự do có dạng:
18
i
td
t

k
p t
Ae
{ }
A
( j )t ( j )t ( j )t
td
t
A
i Ae Ate 2Re A e e
2 A e cos( t+ )
γ−α+ β −α− β −α+ β
−α
= + =
= β γ

Trong đó
A
γ
là acgumen của A
Đáp ứng tự do có dạng dao động tắt dần ( Cường vẽ hình ).
2.1.3. Các bước tính QTQĐ bằng phương pháp tích phân kinh điển
Bước 1 : Tìm đáp ứng xác lập mới: Giải mạch điện sau khi tác động đóng
cắt.
Bước 2 : Lập và giải phương trình đặc trưng để tìm dạng của đáp ứng tự do.
Bước 3 : Xếp chồng kết quả
Bước 4 : Tìm các điều kiện đầu: Dựa vào các luật đóng mở và hệ phương
trình vi phân giải mạch tại thời điểm t = +0 ( tuỳ theo số lượng xác định hằng số
tích phân để tìm các điều kiện đầu cho phù hợp ).
Bước 5: Tìm các hệ số của đáp ứng tự do: Dựa vào các điều kiện đầu và

biểu thức đáp ứng quá độ tại thời điểm t= +0
2.1.4. Bài tập áp dụng.
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ :
Biết: r
1
=5kΩ , r
2
=10kΩ, C
1
=100μF, E=300V=const. Xác định điện áp trên
các tụ điện sau khi đóng khoá K.
Giải:
19
Theo phương pháp tích phân kinh điển có: u
Cqđ
= u
Cxl
+ u
Ctd
, ta cần xác định
u
Cxl
và u
Ctd
.
Trước khi đóng khoá K ta có:
C1 C2
u ( 0) u ( 0) E
− + − =
1 C1 2 C2

C u ( 0) C u ( 0)− = −
Giải ra
C1
u ( 0)−
= 200 =
C1
u ( 0)+
,
C2
u ( 0)−
= 100 =
C2
u ( 0)+
Tính quá trình xác lập sau khi đóng K:
C1xl 1
1 2
E 300.5000
u .r 100 (V)
r r 500.10000
= = =
+
C2xl 2
1 2
E 300.10000
u .r 200 (V)
r r 500.10000
= = =
+
Ta có sơ đồ đại số hoá của mạch điện đầu bài ra là:
Từ sơ đồ đại số hoá tính tổng trở vào theo p được:

1 2
1 2
v
2 2
1 2
1 1
r r
pC pC
Z (p)
1 1
r r
pC pC
= +
+ +
Cho Z
v
(p) = 0
Rút ra: pr
1
r
2
(C
1
+ C
2
) + r
1
+r
2
= 0

Tính được:
20
1 2
6
1 2 1 2
(r r ) (5000 10000)
p 2
r r (C C ) 5000.10000.(50 100).10
−
− + − +
= = = −
+ +
Dạng nghiệm QTQĐ:
u
C1qđ
= u
C1xl
+ u
C1td
= 100 +
2t
1
A .e
−
và u
C2qđ
= u
C2xl
+ u
C2td

= 200 +
2t
2
A .e
−
Thay tại t = 0 xác định các hằng số tích phân:
u
C1qđ
(0) = u
C1
(0) = 100 + A
1
= 200
⇒
A
1
= 100
Và u
C2qđ
(0) = u
C2
(0) = 200 + A
2
= 100
⇒
A
1
= -100
Được nghiệm QTQĐ là: u
C1qđ

=100 + 100e
-2t
và u
C2qđ
= 200 - 100e
-2t
Ví dụ 2: Cho mạch điện như hình vẽ
Đóng khóa K khi
(t) m
e E sin(ωt + α)
=
(V)
đạt giá tị cực đại âm.
Xác định dòng điện quá độ qua R
2
biết :
R
1
= 25Ω; R
2
= 50Ω; L = 0.25H;
C = 400μF.
Giải:
Ta có: i
2qđ
= i
2td
+ i
2xl
- Xác định i

2xl
Mạch điện sau đóng mở ở chế độ xác lập
X
L
= 2πf.L = 78,5 (Ω)
21
X
L
i
xl
i
1xl
i
2xl
R
2
R
1
X
C
E
&
L
K
i
i
1
i
2
R

2
R
1
e
(t)
pL
R
2
R
1
1/pC
a
b
X
C
=
1
2πf.C
= 7,96 (Ω)
Tại thời điểm t = 0 thực hiện quá trình đóng cắt
Nên
(t) m
e E sinα
=
=
m
- E
=> α = -90˚
=> e
(t)

= 400sin(314t - 90˚)
=>
E= - 400j
&
(V)
Ta có Z
ab
= R
2
// (R
1
- j.X
c
) = 17 - 3,5j (Ω)
xl
L ab
E - 400j
I = = =5,2 - 167,2°(A)
j.X + Z 78,5j + 17 - 3,5j
∠
&
&
ab L
U = E - j.X .I = 90,5 - 178,8°(V)
∠
& &
ab
2xl
2
U

I = = 1,8 - 178,8°(A)
R
∠
&
&
=>
2xl
i = 1,8sin(3,14t - 178,8°) (A)
- Xác định i
2td
Xác định số mũ đặc tính p:
ab 2
12,5p
Z = R //pL =
50 + 0,25p
v ab 1
-6
1 12,5p 1
Z = Z + R + = + 25 +
pC 50 + 0,25p p.400.10

2
75p + 7500p + 50000
=
(200 + p)p
22
2
v
75p + 7500p + 50000
Z = = 0

(200 + p)p
=>
2
75p + 7500p + 50000 = 0
=>
1
2
p = -50 + 64,55j
p = -50 - 64,55j



=>
-50t
2td
i = 2.A.e .cos(64,55t + ψ) (A)
Trong đó A và ψ là các hệ số cần xác định.
Xác định sơ kiện: vì trong biểu thức thành phần tự do có hai hệ số cần xác
định nên ta cần xác định 2 sơ kiện là i
2(0)
và i’
2(0)
Xác định: i
(0)
, u
c(0)
theo định luật đóng mở chỉnh:
(0) (-0)
c(0) c(-0)
i = i

u = u





Xét mạch trước đóng mở (khi khóa K chưa mở)
L C
1
X - X
78,5 - 7,96
tgφ = = = 2,8216
R 25
=> φ = 70,4˚
m
m
2 2 2 2
1 L C
E
400
I = = = 5,34 (A)
R + (X - X ) 25 + (78,5 - 7,96)
=>
(t)
i = 5,34.sin(314t - 160,4°) (A)
Cm m C
U = I .X = 5,24 .7,96 = 42,50 (V)
23
L
R

1
C
e
(t)
i
=>
c(t)
u = 42,50.sin(314t - 250,4°) (V)
(0)
c(0)
i = 5,34.sin(- 160,4°) = - 1,70 (A)
u = 42,50.sin(- 250,4°) = 40,03 (V)





Hệ phương trình mô tả sau đóng mở
(t) 1(t) 2(t)
2(t) 2 (t)
2(t) 2 1(t) 1(t) 1
i - i - i = 0
di
L + i .R = e
dt
1
i .R - i .dt - i .R = 0
C










∫
( I )
Thay t = 0 vào hệ ( I ) ta được
(0) 1(0) 2(0)
'
(0) 2(0) 2 (0)
2(0) 2 c(0) 1(0) 1
i - i - i = 0
L.i + i .R = e
i .R - u - i .R = 0





=>
1(0) 2(0)
'
(0) 2(0)
2(0) 1(0)
-1,79 - i - i = 0
0,25.i + 50.i = - 400
50.i - 40,03 - 25.i = 0






=>
1(0) 2(0)
'
(0) 2(0)
2(0) 1(0)
i + i = -1,79
0,25.i + 50.i = - 400
50.i - 25.i = 40,03





=>
1(0)
2(0)
'
(0)
i = -1,7272 (A)
i = - 0,0628 (A)
i = -1578,44 (A/s)








Đạo hàm các vế của các phương trình trong hệ phương trình ( I )
' ' '
(t) 1(t) 2(t)
'' ' '
(t) 2(t) 2 (t)
' '
2(t) 2 1(t) 1(t) 1
i - i - i = 0
Li + i .R = e
1
i .R - i - i .R = 0
C









=>
' ' '
(t) 1(t) 2(t)
'' ' '
(t) 2(t) (t)
' '

2(t) 1(t) 1(t)
i - i - i = 0
0,25i + 50.i = e
i .50- 2500.i - i .25= 0







24
L
K
i
i
1
i
2
R
2
R
1
C
e
(t)
=>
' ' '
(0) 1(0) 2(0)
'' ' '

(0) 2(0) (0)
' '
2(0) 1(0) 1(0)
i - i - i = 0
0,25.i + i .50 = e
i .50 - 2500.i - i .25 = 0







=>
' '
1(0) 2(0)
'' ' '
(0) 2(0) (0)
' '
2(0) 1(0)
-1587,44 - i - i = 0
0,25.i + i .50 = e
i .50 - 2500.1,7272 - i .25 = 0








=>
' '
1(0) 2(0)
'' ' '
(0) 2(0) (0)
' '
2(0) 1(0)
i + i = 1587,44
0,25.i + i .50 = e
i .50 - i .25 = - 4318







=>
'
1(0)
'
2(0)
i = -1000,72 (A/s)
i = -586,72 (A/s)





Ta có:

2(t) 2td(t) 2xl(t)
i = i + i
2xl
i = 1,8sin(3,14t - 178,8°) (A)
-50t
2td(t)
i = 2.A.e .cos(64,55t + ψ) (A)
2(0) 2td(0) 2xl(0)
i = i + i
=>
- 0,0628 = 2.A.cos(ψ) - 0,0377
=>
A.cos(ψ) = - 0,01255
(1)
Ta có:
' ' '
2(t) 2td(t) 2xl(t)
i = i + i
'
2xl(t)
i = 314.1,8cos(3,14t - 178,8°) (A/s)
[ ]
' -50t
2td(t)
i = 2.A.e -50.cos(64,55t + ψ) - 64,55.sin(64,55t + ψ) (A/s)
' ' '
2(0) 2td(0) 2xl(0)
i = i + i
=>
[ ]

-586,72 = 2A -50.cosψ - 64,55.sinψ +314.1,8.cos(-178,8°)
=>
21,72 = 129,1.A.sinψ + 100.A.cosψ
(2)
Từ (1)(2) ta có
=>
A.cosψ= - 0,54
129,1.A.sinψ - 100.A.cosψ = 21,72



=>
A.cosψ= - 0,01255
A.sinψ = 0,178



=>
tgψ= - 14,18
A.sinψ = 0,178



25