Bài giảng hình học afin và hình học ơclit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (897.62 KB, 64 trang )
1
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN AFIN
1.1. ðịnh nghĩa không gian afin
1.1.1. ðịnh nghĩa
Cho K- không gian véc tơ V, tập hợp
A
∅
≠
mà các phần tử của nó gọi là ñiểm và một ánh
xạ
ϕ
:
A
×
A
→
V. Kí hiệu
MNN)(M, =
ϕ
, với mọi M, N
∈
A
. Bộ ba (
A
,
ϕ
, V) ñược gọi là
một không gian afin nếu hai tiên ñề sau ñược thoả mãn:
i) Với mọi ñiểm M
∈
A
và mọi véc tơ
u
∈
V, có duy nhất một ñiểm N
∈
A
sao cho
uMN
=
.
ii) Với mọi bộ 3 ñiểm M, N, P
∈
A
ta luôn có
MPNPMN =+
.
Không gian afin (
A
,
ϕ
, V) còn ñược gọi là không gian afin
A
liên kết với không gian véc tơ
V, hay gọi tắt là K- không gian afin
A
(không gian afin
A
trên trường K). Không gian véc tơ
liên kết V thường ñược kí hiệu là
A
.
Không gian afin
A
gọi là n chiều và viết dim
A
= n, nếu dimV = n và thường ñược ký hiệu là
n
A
.
Khi trường K là trường số thực
R
, ta nói
A
là không gian afin thực, còn khi K =
C
ta nói
A
là không gian afin phức.
1.1.2. Ví dụ
a) Không gian Ơclit 2 chiều
2
E
và 3 chiều
3
E
ñã ñược học ở trường phổ thông là những
không gian afin liên kết với không gian véc tơ (tự do) hai chiều, ba chiều.
b) Nếu V là một K- không gian véc tơ và
ϕ
: V
×
V
→
V là ánh xạ xác ñịnh bởi
),(),( Vbaabba ∈∀−=
ϕ
thì V trở thành không gian afin liên kết với V và gọi là không gian
afin chính tắc trên V.
1.1.3. Một số tính chất ñơn giản
1. Với mọi ñiểm M
∈
A
ta luôn có
0
=MM
.
Thật vậy theo ii) thì
MM
MM
MM
=
+
, do ñó
0
=MM
.
2. Với mọi ñiểm M, N
∈
A
mà
0
=MN
, thì M
≡
N.
Thật vậy từ
0
=MN
và theo 1.
0
=MM
nên theo i) suy ra M
≡
N.
3. Với mọi căp ñiểm M, N
∈
A
thì
NMMN −=
.
Thật vậy theo ii) ta có
0
==+ MMNMMN
, do ñó
NMMN −=
.
4. Với mọi ñiểm A, B, C, D
∈
A
, ta có
⇔= CDAB
BDAC =
.
Thật vậy
⇔+=+⇔= CDBCBCABCDAB
BDAC =
.
5. Với mọi ñiểm O, A, B
∈
A
, ta có
OAOBAB −=
.
Thật vậy
OAOBOBOAOBAOAB −=+−=+=
.
1.1.4. Hệ ñiểm ñộc lập
Hệ m + 1 ñiểm A
0
, A
1
, A
2
, , A
m
( m
≥
1) của không gian afin
A
ñược gọi là hệ ñiểm ñộc
lập nếu m véc tơ
m
AAAAAA
02010
, ,,
của
A
là hệ véc tơ ñộc lập tuyến tính. Hệ gồm một
ñiểm bất kì (tức là m = 0) luôn ñược xem là hệ ñộc lập.
Chú ý. Trong ñịnh nghĩa trên ñiểm A
0
không ñóng vai trò ñặc biệt gì so với các ñiểm A
i
khác.
ðiều ñó có nghĩa là nếu các véc tơ
m
AAAAAA
02010
, ,,
là ñộc lập tuyến tính thì ñối với một
chỉ số i nào ñó (i = 1, 2, , m) hệ các véc tơ sau ñây cũng ñộc lập tuyến tính:
miiiiii
AAAAAAAA , ,,, ,
111 +−
.
2
• ðịnh lí. Nếu
A
là không gian afin n chiều, thì trong
A
luôn luôn có những hệ m ñiểm ñộc lập
với 0
≤
m
≤
n + 1. Mọi hệ ñiểm nhiều hơn n + 1 ñiểm ñều là không ñộc lập.
Chứng minh. Giả sử
A
là không gian véc tơ liên kết với không gian afin
A
và trong
A
có một
cơ sở
n
eee
, ,,
21
. Vì
A
∅
≠
nên ta có thể chọn một ñiểm A
0
nào ñó của
A
, sau ñó chọn các
ñiểm A
i
sao cho
nieAA
ii
, ,2,1,
0
==
. Rõ ràng hệ n + 1 ñiểm A
0
, A
1
, A
2
, , A
n
là ñộc lập.
Ngoài ra nếu ta lấy m ñiểm A
0
, A
1
, A
2
, , A
m – 1
với 0
≤
m
≤
n + 1 của hệ ñó thì hiển nhiên ta
ñược m ñiểm ñộc lập.
Cuối cùng nếu ta có một hệ gồm r ñiểm: P
0
, P
1
, , P
r – 1
(r > n + 1) thì hệ r – 1 véc tơ:
102010
, ,,
−r
PPPPPP
không ñộc lập tuyến tính vì r – 1 > n = dim
A
. Từ ñó suy ra hệ r ñiểm ñó
là không ñộc lập.
1.2. Toạ ñộ afin
1.2.1. ðịnh nghĩa mục tiêu afin
Cho không gian afin n chiều
A
liên kết với không gian véc tơ
A
. Gọi O là ñiểm bất kì của
A
và
1 2
( , , , )
n
e e e
ε
=
là một hệ véc tơ cơ sở của không gian véc tơ
A
. Khi ñó hệ sau (O;
n
eee
, ,,
21
) ñược gọi là một mục tiêu afin của
A
. ðiểm O ñược gọi là gốc của mục tiêu, véc
tơ
i
e
gọi là véc tơ cơ sở thứ i của mục tiêu.
1.2.2. ðịnh nghĩa toạ ñộ của ñiểm
Trong không gian afin n chiều
A
cho mục tiêu afin (O;
n
eee
, ,,
21
). Với mỗi ñiểm X
∈
A
ta có
OX
∈
A
, do ñó
nn
exexexOX
+++=
2211
, trong ñó x
1
, x
2
, , x
n
là các phần tử của K
ñược xác ñịnh một cách duy nhất. Bộ n phần tử có thứ tự (x
1
, x
2
, , x
n
) ñó ñược gọi là toạ ñộ
của ñiểm X ñối với mục tiêu ñã chọn (O;
ε
) và ñược kí hiệu là: X(x
1
, x
2
, , x
n
) hoặc X = (x
1
,
x
2
, , x
n
). Dễ thấy nếu X(x
1
, x
2
, , x
n
) và Y(y
1
, y
2
, , y
n
), thì:
OXOYXY −=
=
nnn
exyexyexy
)( )()(
222111
−++−+−
, và do ñó véc tơ
XY
có toạ ñộ là:
XY
=
), ,,(
2211 nn
xyxyxy
−
−
−
ñối với cơ sở
n
eee
, ,,
21
của
A
.
1.2.3. ðổi mục tiêu afin
Trong không gian afin n chiều
A
cho hai mục tiêu afin (O;
n
eee
, ,,
21
) và (O
’
;
n
eee
′
′
′
, ,,
21
). Với mỗi ñiểm X
∈
A
, gọi (x
1
, x
2
, , x
n
) là toạ ñộ của ñiểm X ñối với mục tiêu
(O;
ε
) và
), ,,(
21 n
xxx
′
′
′
là toạ ñộ của ñiểm X ñối với mục tiêu (O’;
ε
′
). Ta hãy ñi tìm sự liên
hệ giữa x
i
và
j
x
′
. Muốn vậy gọi C = (c
ij
) là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở
ε
sang cơ sở
ε
′
của
không gian véc tơ
A
(chú ý rằng ta có detC
≠
0) và ngoài ra gọi (a
1
, a
2
, , a
n
) là toạ ñộ của O
'
ñối với cơ sở
ε
. Như vậy ta có:
1
n
j ij i
i
e c e
=
′
=
∑
và
1
n
i i
i
OO a e
=
′
=
∑
. Khi ñó từ ñẳng thức
XOOOOX
′
+
′
=
, ta có:
=
∑
=
n
i
ii
ex
1
=
′
+=
′′
+
∑∑∑∑ ∑
==== =
n
i
iij
n
j
j
n
i
ii
n
i
n
j
jjii
ecxeaexea
1111 1
∑ ∑∑
= ==
′
+
n
i
i
n
j
jij
n
i
ii
excea
1 11
∑ ∑
= =
+
′
=
n
i
iij
n
j
ij
eaxc
1 1
. Từ ñó suy ra:
niaxcx
n
j
ijiji
, ,2,1,
1
=+
′
=
∑
=
. (*)
Biểu thức trên gọi là công thức ñổi mục tiêu. Nếu kí hiệu các ma trận cột như sau:
3
,
2
1
=
n
x
x
x
x
,
2
1
′
′
′
=
′
n
x
x
x
x
=
n
a
a
a
a
2
1
thì công thức ñổi mục tiêu có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
axCx
+
′
=
hay
aCxCx
11 −−
−=
′
.
1.3. Các phẳng trong không gian afin
1.3.1. ðịnh nghĩa
Cho không gian afin
A
liên kết với không gian véc tơ
A
. Gọi I là ñiểm bất kì của
A
và
α
là một không gian véc tơ con của
A
. Khi ñó tập hợp:
{
}
α M IM α
= ∈ ∈
A
,
ñược gọi là cái phẳng (gọi tắt là phẳng) ñi qua ñiểm I và có phương
α
.
Nếu dim
α
= m thì
α
gọi là phẳng m chiều hay còn gọi là m – phẳng. Như vậy 0 – phẳng
chính là một ñiểm, còn n – phẳng của không gian afin n chiều
A
chính là
A
. Nếu dim
A
= n, thì
(n – 1) – phẳng còn gọi là siêu phẳng.
Chú ý. Trong ñịnh nghĩa trên ñiểm I không ñóng vai trò gì ñặc biệt cả so với các ñiểm khác của
phẳng
α
. Thật vậy nếu
α
là phẳng qua I và có phương
α
và J là một ñiểm nào ñó của
α
, thì
IJ
∈
α
. Thế thì ñiểm M
∈
α
khi và chỉ khi
IM
∈
α
, tức là khi và chỉ khi
IM
–
IJ
∈
α
, cũng tức
là khi và chỉ khi
JM
∈
α
. Vậy ñiểm J có thể ñóng vai trò của ñiểm I.
1.3.2. ðịnh lý
Nếu
α
là m – phẳng của không gian afin
A
có phương
α
thì
α
là không gian afin m chiều
liên kết với không gian véc tơ
α
.
Chứng minh. Rõ ràng
α
∅
≠
. Giả sử I là một ñiểm nào ñó của
α
. Với mọi cặp ñiểm M, N của
α
ta lấy véc tơ
=MN
ϕ
(M, N)
∈
A
, theo ñịnh nghĩa của
α
thì ta có:
IM
∈
α
và
IN
∈
α
. Từ
ñó suy ra
MN
∈
α
. Vì vậy có thể xét ánh xạ:
αα
ϕ
×
:
α
×
α
→
α
.
Rõ ràng ánh xạ này thoả mãn cả 2 tiên ñề của ñịnh nghĩa không gian afin vì tiên ñề i) ñược suy
ra từ ñịnh nghĩa của phẳng, còn tiên ñề ii) ñúng vì nó ñúng trên toàn bộ
A
. Vậy bộ ba
(
α
,
α α
φ
×
,
α
) là một không gian afin, tức là
α
là không gian afin liên kết với không gian véc
tơ
α
.
1.3.3. ðịnh lý
Qua m + 1 ñiểm ñộc lập của không gian afin
A
có một và chỉ một m – phẳng, trong ñó m
≥
0.
Chứng minh. Giả sử A
0
, A
1
, , A
m
là m + 1 ñiểm ñộc lập của không gian afin
A
liên kết với
không gian véc tơ
A
. Khi ñó hệ m véc tơ
m
AAAAAA
02010
, ,,
là ñộc lập tuyến tính. Ta gọi
α
là không gian véc tơ con của
A
nhận m véctơ ñó làm cơ sở. Gọi
α
là phẳng qua A
0
có phương
α
. Rõ ràng vì
0 i
A A
α
∈
nên A
i
∈
α
với i = 0, 1, 2, , m. Vậy
α
là phẳng ñi qua m +1 ñiểm ñã
cho. Sự duy nhất của m - phẳng ñó là hiển nhiên.
Hệ quả. Hệ m + 1 ñiểm của không gian afin
A
là ñộc lập khi và chỉ khi chúng không cùng nằm
trên (m – 1) – phẳng ( m
≥
1).
1.3.4. Phương trình tham số của m - phẳng trong không gian afin
n
A
(dim
n
A
= n)
Trong không gian afin
n
A
chọn mục tiêu afin (O;
ε
). Giả sử
α
là m – phẳng ñi qua ñiểm I
∈
4
n
A
và có phương là không gian véc tơ con m chiều
α
của
n
A
. Chọn trong
α
một hệ gồm m
véc tơ ñộc lập tuyến tính
m
aaa
, ,,
21
. Giả sử véc tơ
i
a
ñối với cơ sở
ε
có toạ ñộ là:
i
a
=
(
niii
aaa
, ,,
21
), i = 1, 2, , m và toạ ñộ của ñiểm I ñối với mục tiêu (O,
ε
) là I(b
1
, b
2
, ,
b
n
). Khi ñó ñiểm X có toạ ñộ (x
1
, x
2
, , x
n
) thuộc
α
khi và chỉ khi
α
∈IX
hay khi và chỉ khi
∑
=
∈=
m
j
jjj
KtatIX
1
)(
, tức là:
1 1 1 1 1
( )
n m n n n
i i i j ij i ij j i
i j i i j
x b e t a e a t e
= = = = =
− = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
. Vậy ta có:
) ,,2,1(
1
nibtax
i
m
j
jiji
=+=
∑
=
(1).
Hệ phương trình trên gọi là phương trình tham số của m – phẳng
α
, với m tham số t
1
, t
2
, ,
t
m
. Với bộ m số (t
1
, t
2
, , t
m
) ta có bộ n số (x
1
, x
2
, , x
n
) là toạ ñộ của ñiểm X nào ñó thuộc m –
phẳng
α
.
Với trường hợp ñường thẳng (m = 1) ta có phương trình tham số là:
x
i
= a
i
t + b
i
, i = 1, 2, , n (2).
ðó là phương trình của ñường thẳng ñi qua ñiểm I(b
1
, b
2
, , b
n
) có phương là không gian véctơ
một chiều sinh bởi véc tơ
a
= (a
1
, a
2
, , a
n
).
Nếu tất cả các a
i
ñều khác không ta khử t từ hệ (2) sẽ ñược:
n
nn
a
bx
a
bx
a
bx
−
==
−
=
−
2
22
1
11
.
Công thức (1) viết dưới dạng ma trận là:
x = At + b (hạngA = rankA = m),
trong ñó A = (a
ij
) là ma trận n dòng, m cột, còn x, t, b là các ma trận cột có dạng:
,
2
1
=
n
x
x
x
x
1
2
,
m
t
t
t
t
=
=
n
b
b
b
b
2
1
1.3.5. Phương trình tổng quát của m - phẳng
Trong không gian afin n chiều
n
A
cho mục tiêu afin (O,
ε
). Giả sử
α
là m – phẳng ñi qua
ñiểm I và có phương là
α
. Trong
α
ta chọn hệ m véc tơ ñộc lập tuyến tính
nmnmn
eee
′
′
′
+−+−
, ,,
21
và bổ sung vào n – m véc tơ ñó các véc tơ
mn
eee
−
′
′
′
, ,,
21
ñể ñược một
cơ sở
ε
′
:
n
eee
′
′
′
, ,,
21
của
n
A
. Như vậy ta có mục tiêu afin (I;
ε
′
). Với mỗi ñiểm X
∈
n
A
ta gọi (x
1
, x
2
, , x
n
) là toạ ñộ của X ñối với mục tiêu (O,
ε
) và
), ,,(
21 n
xxx
′
′
′
là toạ ñộ của
ñiểm X ñối với mục tiêu (I,
ε
′
). Khi ñó theo công thức ñổi mục tiêu thì:
nibxax
n
j
ijiji
, ,2,1,
1
=+=
′
∑
=
.
ðể cho ñiểm X =
), ,,(
21 n
xxx
′
′
′
∈
α
ñiều kiện cần và ñủ là:
1 2
0
n m
x x x
−
′ ′ ′
= = = =
. Từ
ñó suy ra:
5
mnibxa
n
j
ijij
−==+
∑
=
, ,2,1,0
1
.
ðó là hệ phương trình gồm n – m phương trình tuyến tính của n biến x
i
, và gọi là phương trình
tổng quát của m – phẳng
α
. Chú ý rằng ma trận A = (a
ij
) của hệ phương trình trên có hạng bằng
n – m. Như vậy mỗi m – phẳng trong không gian afin n chiều
n
A
ñược biểu thị bằng một hệ
phương trình tuyến tính của các biến x
i
mà hạng của ma trận các hệ số của các biến là n – m.
Ngược lại hệ phương trình ñó là hệ phương trình xác ñịnh một m – phẳng. ðặc biệt mỗi siêu
phẳng trong
n
A
có phương trình dạng:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ + a
n
x
n
+ b = 0,
trong ñó hạng của ma trận (a
1
a
2
a
n
) là bằng 1, tức là có ít nhất một hệ số a
i
khác không. Cũng
theo trên thì mỗi m – phẳng trong không gian afin n chiều
n
A
có phương trình tổng quát là một
hệ gồm n – m phương trình tuyến tính nên suy ra:
Trong không gian afin n chiều
n
A
mỗi m – phẳng ñều có thể xem như là giao của n – m siêu
phẳng nào ñó (giao ở ñây hiểu theo nghĩa của lí thuyết tập hợp).
1.4. Vị trí tương ñối của các phẳng trong không gian afin
1.4.1. ðịnh nghĩa
Trong không gian afin
n
A
cho p – phẳng
α
và q – phẳng
β
(p
≤
q) lần lượt có phương
α
và
β
.
+ Các phẳng
α
và
β
ñược gọi là cắt nhau nếu chúng có ñiểm chung.
+ Cái phẳng
α
ñược gọi là song song với cái phẳng
β
nếu
α
là không gian con của không
gian
β
.
+ Các phẳng
α
và
β
ñược gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song song
với nhau.
+ Giao
α β
∩
ñược hiểu theo nghĩa thông thường của lí thuyết tập hợp ñược gọi là giao của
hai cái phẳng
α
và
β
.
+ Tổng
α β
+
là giao của tất cả các phẳng chứa
α
và
β
, và tổng ñó ñược gọi là tổng của hai
cái phẳng
α
và
β
. (Tổng hai phẳng là phẳng nhỏ nhất chứa cả hai phẳng ấy).
1.4.2. ðịnh lý.
Giao của hai cái phẳng
α
và
β
hoặc là một tập hợp rỗng hoặc là một cái phẳng có phương
α β
∩
.
Chứng minh. Nếu
α β
∩
∅
≠
, thì chúng có ít nhất một ñiểm chung I. Gọi
δ
là cái phẳng ñi qua
ñiểm I có phương
δ
=
α β
∩
. Mỗi ñiểm M
∈
α β
∩
khi và chỉ khi M
∈
α
và M
∈
β
, tức là
α
∈IM
và
β
∈IM
. ðiều ñó cũng có nghĩa là khi và chỉ khi
IM
α β IM δ
∈ ⇔ ∈
∩
hay M
∈
δ
. Vậy
α β
∩
là cái phẳng
δ
có phương
α
∩
β
=
δ
. (Như vậy
α β α β
=
∩ ∩
).
Hệ quả 1. Nếu phẳng
α
song song với phẳng
β
thì hoặc chúng không có ñiểm chung, hoặc
α
nằm trong
β
.
Thật vậy nếu phẳng
α
song song với phẳng
β
thì
α
⊂
β
. Nếu chúng có ñiểm chung thì theo
ñịnh lí trên ta có giao
α
∩
β
là cái phẳng có phương
α β
∩
=
α
. Suy ra
α β
∩
=
α
hay
α
⊂
β
.
Hệ quả 2. Qua một ñiểm I ñã cho, có một m – phẳng duy nhất song song với m – phẳng
α
cho
trước.
Thật vậy gọi
α
′
là m – phẳng ñi qua ñiểm I và có phương là phương
α
của cái phẳng
6
α
. Khi ñó
α
′
song song với
α
. Nếu có một m – phẳng
α
′
′
cũng ñi qua I và song song với
α
thì rõ ràng
α
′
và
α
′
′
cũng song song với nhau và vì chúng có ñiểm chung I cũng như
α
′
′
=
α
nên chúng trùng nhau.
1.4.3. ðịnh lý.
Hai cái phẳng
α
và
β
là cắt nhau khi và chỉ khi với mọi ñiểm I của
α
và mọi ñiểm J của
β
, ta có
IJ
α β
∈ +
.
Chứng minh. Nếu
α
và
β
cắt nhau, M là một ñiểm chung của chúng thì
α
∈IM
và
β
∈MJ
,
do ñó
βαMJIMIJ
+∈+=
.
Ngược lại nếu
βα
+∈IJ
thì
vuIJ
+=
, trong ñó
∈
u
α
và
∈
v
β
. Trong
α
ta lấy ñiểm M
sao cho
uIM
=
và trong
β
lấy ñiểm N sao cho
vJN
−=
. Khi ñó ta có
JNIMvuIJ −=+=
. Suy ra
IMIN =
và do ñó M
≡
N và là ñiểm chung của
α
và
β
.
1.4.4. ðịnh lý về số chiều của giao và tổng hai cái phẳng
ðịnh lý. Trong không gian afin
n
A
cho hai cái phẳng
α
và
β
lần lượt có phương là
α
và
β
.
Khi ñó:
Nếu
α
và
β
cắt nhau thì: dim(
α β
+
) = dim
α
+ dim
β
– dim(
α β
∩
).
Nếu
α
và
β
không cắt nhau thì: dim(
α β
+
) = dim
α
+ dim
β
– dim(
α β
∩
) + 1.
Chứng minh. Nếu
α
và
β
cắt nhau thì giao
α β
∩
là cái phẳng có phương
α
∩
β
. Lấy I
∈
α β
∩
và gọi
γ
là cái phẳng ñi qua I và có phương
γ
=
α
+
β
. Rõ ràng
γ
chứa
α
và
β
.
Ngoài ra nếu có một phẳng
γ
′
chứa
α
và
β
thì nó phải chứa ñiểm I và phương của nó phải
chứa
α
và
β
do ñó chứa
γ
=
α
+
β
. Nói cách khác
γ
′
phải chứa
γ
, và từ ñó suy ra
γ
=
α
+
β
. Vậy:
dim(
α
+
β
) = dim(
α
+
β
) = dim
α
+ dim
β
– dim(
α
∩
β
)
= dim
α
+ dim
β
– dim(
α β
∩
).
Bây giờ xét trường hợp
α
và
β
không cắt nhau. Theo ñịnh lí 1.4.3 ở trên có ñiểm I thuộc
α
,
có ñiểm J thuộc
β
sao cho
βα
+∉IJ
. Gọi
δ
là không gian véctơ một chiều sinh bởi véc tơ
IJ
. Lấy một ñiểm E nào ñó của phẳng
α
và gọi
γ
là cái phẳng ñi qua ñiểm E và có phương
γ
= (
α
+
β
)
⊕
δ
. Rõ ràng phẳng
γ
chứa các phẳng
α
,
β
và chứa ñường thẳng ñi qua I, J.
Giả sử
γ
′
là một phẳng khác chứa
α
,
β
, thế thì
γ
′
ñi qua ñiểm E và phương của nó phải chứa
α
,
β
,
δ
. Từ ñó suy ra
γ
′
chứa
γ
và do ñó
γ
=
α
+
β
. Vậy:
dim(
α
+
β
) = dim[(
α
+
β
)
⊕
δ
] = dim(
α
+
β
) + dim
δ
= dim
α
+ dim
β
– dim(
α
∩
β
) + 1
= dim
α
+ dim
β
– dim(
α β
∩
) + 1.
1.4.5. ðịnh lý
Một siêu phẳng
α
và m – phẳng
β
trong không gian afin
n
A
thì hoặc
β
song song với
α
hoặc cắt
α
theo một (m – 1) – phẳng (1
≤
m
≤
n – 1).
Chứng minh. Nếu
α
và
β
cắt nhau thì
chỉ có thể xảy ra hai trường hợp:
7
1.
β
⊂
α
, khi ñó
β
song song với
α
.
2.
β
⊄
α
, khi ñó
α
+
β
=
n
A
và áp dụng ñịnh lí 1.4.4 ở trên ta ñược:
n = m + n – 1 – dim(
α
∩
β
).
Suy ra dim(
α
∩
β
) = m – 1. Vậy
β
cắt
α
theo một (m – 1) – phẳng.
Nếu
β
và
α
không cắt nhau thì cũng áp dụng ñược ñịnh lí 1.4.4, cụ thể là:
n = m + n – 1 + 1 – dim(
α
∩
β
)
trong ñó
α
và
β
lần lượt là phương của
α
và
β
. Từ ñó suy ra dim(
α
∩
β
) = m, tức là
β
⊂
α
. Như vậy
β
song song với
α
và ñịnh lí ñược chứng minh.
1.5. Tâm tỉ cự
1.5.1. ðịnh lí. Cho k ñiểm P
1
, P
2
, , P
k
của không gian afin
A
và k số thuộc trường K là:
k
λ
λ
λ
, ,,
21
sao cho
0
1
≠
∑
=
k
i
i
λ
. Khi ñó tồn tại duy nhất một ñiểm G sao cho:
0
1
=
∑
=
i
k
i
i
GP
λ
.
Chứng minh. Lấy một ñiểm O tuỳ ý của
A
. Thế thì ñiểm G ñược xác ñịnh bởi:
⇔=
∑
=
0
1
i
k
i
i
GP
λ
( )
∑ ∑∑
= ==
=⇔=−
k
i
k
i
iiii
k
i
i
OGOPOGOP
1 11
0
λλλ
.
Từ ñó suy ra
∑
∑
=
=
=
k
i
ii
k
i
i
OPOG
1
1
1
λ
λ
.
ðiều ñó chứng tỏ ñiểm G tồn tại và xác ñịnh duy nhất theo công thức trên.
1.5.2. ðịnh nghĩa.
ðiểm G nói trong ñịnh lí 1.5.1 ở trên ñược gọi là tâm tỉ cự của hệ ñiểm P
i
gắn với họ hệ số
i
λ
. ðặc biệt nếu các
i
λ
bằng nhau thì ñiểm G ñược gọi là trọng tâm của hệ ñiểm P
i
.
Chú ý. + Nếu thay các hệ số
i
λ
, i = 1, 2, , k ,
0
1
≠
∑
=
k
i
i
λ
bởi số
i
k
λ
trong ñó k thuộc K \
{
}
0
,
thì tâm tỉ cự G không thay ñổi. Vì thế trong trường hợp G là trọng tâm thì có thể lấy các
i
λ
= 1
và khi ñó trọng tâm G của hệ ñiểm P
i
(i = 1, 2, , k) ñược xác ñịnh bởi công thức:
1
1
k
i
i
OG OP
k
=
=
∑
.
+ Khi k = 2, thì trọng tâm G của hệ 2 ñiểm P
1
và P
2
còn ñược gọi là trung ñiểm của cặp
ñiểm (P
1
, P
2
).
1.5.3. ðịnh lí. Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ ñiểm P
0
, P
1
, , P
k
(với các họ hệ số khác
nhau) là cái phẳng bé nhất chứa các ñiểm ấy.
Chứng minh. Gọi
α
là cái phẳng bé nhất chứa các ñiểm P
i
(i = 0, 1, 2, , k). Khi ñó các véc tơ
k
PPPPPP
02010
, ,,
thuộc phương
α
của phẳng
α
. Bằng cách ñánh chỉ số lại (nếu cần) gọi
s
PPPPPP
02010
, ,,
(s
≤
k) là hệ ñộc lập tuyến tính tối ñại của hệ véc tơ
k
PPPPPP
02010
, ,,
.
Như vậy dim
α
= s. Khi ñó:
8
ðiểm G
∈
α
0 0
P G P G
α
⇔ ∈ ⇔ =
∑∑
==
−=⇔
s
i
ii
s
i
ii
GPGPGPPP
1
00
1
0
)(
λλ
0.1
1
0
1
=+
−⇔
∑∑
==
s
i
ii
s
i
i
GPGP
λλ
.
ðẳng thức này chứng tỏ ñiểm G là tâm tỉ cự của họ ñiểm P
0
, P
1
, , P
k
gắn với họ hệ số
1
1
s
i
i
λ
=
−
∑
,
s
λ
λ
λ
, ,,
21
, 0, , 0 (tổng các hệ số này bằng 1).
Ngược lại nếu G là tâm tỉ cự của họ ñiểm P
0
, P
1
, , P
k
gắn với họ hệ số
k
λ
λ
λ
, ,,
10
, thì
∑∑
==
⇒=+⇒=
k
i
ii
k
i
ii
PPGPGP
0
00
0
0)(0
λλ
0 0 0 0 0
0 1 1
0
1
. 0 .
k k k
i i i i i
k
i i i
i
i
GP P P P G P P P G G
λ λ λ α α
λ
= = =
=
+ = ⇒ = ⇒ ∈ ⇒ ∈
∑ ∑ ∑
∑
.
ðịnh lí ñược chứng minh.
Hệ quả. Cho m − phẳng
α
ñi qua m + 1 ñiểm ñộc lập P
0
, P
1
, , P
m
. Khi ñó
α
chính là tập hợp
các tâm tỉ cự của họ ñiểm ñó (gắn với họ các hệ số khác nhau).
1.5.4. ðịnh lí. Cho m − phẳng
α
ñi qua m + 1 ñiểm ñộc lập P
0
, P
1
, , P
m
và một ñiểm O tuỳ ý.
ðiều kiện cần và ñủ ñể ñiểm M thuộc
α
là:
=OM
∑
=
m
i
ii
OP
0
λ
, trong ñó
1
0
=
∑
=
m
i
i
λ
.
Chứng minh. ðiểm M
∈
α
⇔
M là tâm tỉ cự của họ ñiểm P
0
, P
1
, , P
m
gắn với họ hệ số
m
λ
λ
λ
λ
′
′
′
′
, ,,,
210
nào ñó
0 1
0 ( ) 0
m m
i i i i
i i
MP OP OM
λ λ
= =
′ ′
⇔ = ⇔ − =
∑ ∑
0 1
. .
m m
i i i
i i
OM OP
λ λ
= =
′ ′
⇔ =
∑ ∑
. Vì
0
0
≠
′
∑
=
m
i
i
λ
, nên nếu ñặt
∑
=
′
′
=
m
i
i
i
i
0
λ
λ
λ
, thì ta có
=OM
∑
=
m
i
ii
OP
0
λ
, trong ñó
1
0
=
∑
=
m
i
i
λ
. (ñpcm)
1.6. Tập lồi trong không gian afin thực
1.6.1. ðoạn thẳng
Cho hai ñiểm P, Q của không gian afin thực
A
. ðiểm M thuộc ñường thẳng d ñi qua hai ñiểm
P, Q khi và chỉ khi với ñiểm O tuỳ ý thì theo ñịnh lý 1.5.4 ở trên ta có:
=OM
OQOP
µλ
+
với
1
=
+
µ
λ
, hay là
=OM
∈−+
λλλ
,).1(. OQOP
R
.
Như vậy M là tâm tỷ cự của họ (P,
λ
) và (Q,
1
λ
−
) với
10
≤
≤
λ
.
Tập hợp tất cả những ñiểm M sao cho
=OM
∈−+
λλλ
,).1(. OQOP
R
và
10
≤
≤
λ
ñược
gọi là ñoạn thẳng PQ. Khi P
≡
Q, thì ñoạn thẳng PQ gồm chỉ một ñiểm P. Khi P
≠
Q, ñoạn
thẳng PQ gồm ñiểm P (khi
1
=
λ
), ñiểm Q (khi
0
=
λ
) và những ñiểm ứng với
λ
(0 <
λ
< 1).
Hai ñiểm P, Q gọi là hai mút của ñoạn thẳng PQ, những ñiểm khác của ñoạn thẳng PQ gọi là
ở giữa P và Q.
1.6.2. Tập lồi
9
Một tập hợp X trong không gian afin thực
A
gọi là tập lồi nếu với mọi bộ hai ñiểm P, Q
thuộc X thì ñoạn thẳng PQ nằm hoàn toàn trong X.
Ví dụ:
+ Mỗi m − phẳng
α
trong không gian afin thực
A
là tập lồi vì nếu P, Q là hai ñiểm phân biệt
thuộc
α
thì tất cả ñường thẳng PQ nằm trong
α
và do ñó ñoạn thẳng PQ nằm trong
α
.
+ Gọi
α
là một siêu phẳng trong
A
. Ta chia tập
A
\
α
thành hai tập, mỗi tập gọi là một nửa
không gian mở bằng cách sau ñây. Lấy một ñiểm O
∈
A
\
α
. Tập hợp X gồm những ñiểm M
mà ñoạn thẳng OM không có ñiểm chung với
α
. Tập hợp Y gồm những ñiểm M mà ñoạn thẳng
OM có ñiểm chung với
α
. Khi ñó X, Y là những tập hợp lồi.
Trước hết ta chứng minh X là tập hợp lồi. Muốn vậy chọn một mục tiêu trong
A
. Khi ñó siêu
phẳng
α
có phương trình dạng:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ + a
n
x
n
+ b = 0.
Giả sử ñiểm O có toạ ñộ (
00
2
0
1
, ,,
n
xxx
) và M(x
1
, x
2
, x
n
) là một ñiểm thuộc X. Nếu ñường
thẳng OM song song với siêu phẳng
α
thì:
=
OM
(
00
22
0
11
, ,,
nn
xxxxxx −−−
)
∈
α
, tức là
0 0
1 1 1
( ) 0
n n n
i i i i i i i
i i i
a x x a x b a x b
= = =
− = ⇔ + = +
∑ ∑ ∑
. Suy ra
∑
=
+
n
i
ii
bxa
1
và
∑
=
+
n
i
ii
bxa
1
0
là cùng dấu.
Nếu ñường thẳng OM cắt
α
tại một ñiểm
), ,,(
21 n
xxxM
′
′
′
′
, thì
OMMM
′
=
′
.
λ
với
λ
> 0.
Khi ñó:
λ
λ
−
−
=
′
1
.
0
ii
i
xx
x
và
0
1
.
1
0
=+
−
−
∑
=
b
xx
a
n
i
ii
i
λ
λ
, hay
∑
=
+
n
i
ii
bxa
1
=
λ
+
∑
=
n
i
ii
bxa
1
0
.
Vậy ñiểm M
∈
X
⇔
λ
> 0
⇔
∑
=
+
n
i
ii
bxa
1
và
∑
=
+
n
i
ii
bxa
1
0
là cùng dấu.
α
α
O
M
M'
O
M
M'
XY
Chứng minh tương tự ta có M
∈
Y
⇔
M M
λ.M O
′ ′
=
với
λ
< 0
⇔
∑
=
+
n
i
ii
bxa
1
và
∑
=
+
n
i
ii
bxa
1
0
là khác dấu.
Vậy ñể chứng minh X, Y là những tập lồi ta chỉ cần chứng minh tập những ñiểm M có toạ ñộ
thoả mãn bất ñẳng thức
∑
=
+
n
i
ii
bxa
1
> 0 (hoặc
∑
=
+
n
i
ii
bxa
1
< 0) là một tập lồi. Thật vậy giả sử
hai ñiểm P = (
11
2
1
1
, ,,
n
xxx
) và Q = (
22
2
2
1
, ,,
n
xxx
) là hai ñiểm sao cho
0
1
1
>+
∑
=
n
i
ii
bxa
và
0
1
2
>+
∑
=
n
i
ii
bxa
. Ngoài ra M là ñiểm thuộc
ñoạn thẳng PQ. Khi ñó M có toạ ñộ dạng:
10
(
)
211
2
1
2
2
1
1
1
)1(, ,)1(,)1(
nn
xttxxttxxttx −+−+−+
, trong ñó 0
≤
t
≤
1. Ta có:
( )
1 2 1 2
1 1 1
(1 ) (1 )
n n n
i i i i i i i
i i i
a tx t x b t a x b t a x b
= = =
+ − + = + + − +
∑ ∑ ∑
> 0, vì t
≥
0, 1 – t
≥
0,
0
1
1
>+
∑
=
n
i
ii
bxa
và
0
1
2
>+
∑
=
n
i
ii
bxa
.
Vậy ñiểm M cũng thuộc tập hợp ñó, nên tập này là tập lồi.
+ Tập hợp X
∪
α
, Y
∪
α
ñược gọi là các nửa không gian ñóng của không gian afin
A
.
Chúng cũng là các tập lồi.
1.6.3. ðơn hình
Nhận xét. Cho m + 1 ñiểm ñộc lập P
0
, P
1
, , P
m
. Khi ñó m – phẳng
α
ñi qua m + 1 ñiểm ñó
gồm những ñiểm M sao cho
=OM
∑
=
m
i
ii
OP
0
λ
, với
1
0
=
∑
=
m
i
i
λ
. Bây giờ ta xét tập hợp những
ñiểm M sao cho
=OM
∑
=
m
i
ii
OP
0
λ
, với
1
0
=
∑
=
m
i
i
λ
và
i
λ
≥
0, i = 0, 1, , m.
+ ðịnh nghĩa. Trong không gian afin n chiều
n
A
cho m + 1 ñiểm ñộc lập P
0
, P
1
, , P
m
và ñiểm
O tùy ý. Tập hợp, ký hiệu S(P
0
, P
1
, , P
m
) ñược xác ñịnh bởi:
m m
n
0 1 m i i i i
i 0 i 0
S(P ,P , ,P ) M OM
λ OP , λ 1, λ 0, i 0,1, , m
= =
= ∈ = = ≥ =
∑ ∑
A
,
ñược gọi là m – ñơn hình các ñỉnh P
0
, P
1
, , P
m
.
Ví dụ: + Trong không gian afin 2 chiều
2
A
, cho 3 ñiểm không thẳng hàng A, B, C tức là 3 ñiểm
ñộc lập. Khi ñó 2 – ñơn hình S(A, B, C) chính là tam giác ABC (xem ñịnh nghĩa ñoạn thẳng).
+ Trong không gian afin 3 chiều
3
A
, cho 4 ñiểm không ñồng phẳng A, B, C, D tức là 4
ñiểm ñộc lập. Khi ñó 3 – ñơn hình S(A, B, C, D) chính là tứ diện ABCD.
ðịnh lý. Mỗi m – ñơn hình S(P
0
, P
1
, , P
m
) là một tập lồi bé nhất chứa các ñỉnh của ñơn hình
ñó.
Chứng minh.
- Cho
i
λ
= 1 và các
j
λ
khác bằng không ta ñược ñỉnh P
i
và như vậy suy ra các ñỉnh P
0
, P
1
,
, P
m
ñều thuộc ñơn hình.
- Lấy hai ñiểm M, N thuộc ñơn hình, tức là
=OM
∑
=
m
i
ii
OP
0
λ
, với
1
0
=
∑
=
m
i
i
λ
và
i
λ
≥
0 ,
=ON
∑
=
m
i
ii
OP
0
.
µ
, với
1
0
=
∑
=
m
i
i
µ
và
i
µ
≥
0.
- Nếu ñiểm X thuộc ñoạn thẳng MN thì :
ONtOMtOX )1( −+=
hay
=OM
[ ]
∑
=
−+
m
i
iii
OPtt
0
)1(
µλ
. Rõ ràng
[ ]
∑∑ ∑
== =
−+=−+
m
i
i
m
i
m
i
iii
tttt
00 0
)1()1(
µλµλ
với
ii
tt
µ
λ
)1(
−
+
≥
0 vì
i
λ
≥
0,
i
µ
≥
0, t
≥
0, 1 – t
≥
0. Vậy ñiểm X thuộc ñơn hình. Tóm lại ñơn
hình S(P
0
, P
1
, , P
m
) là tập lồi chứa các ñỉnh P
i
.
Bây giờ ta chứng minh rằng nếu S' là tập lồi chứa P
0
, P
1
, , P
m
thì S' chứa m – ñơn hình S(P
0
,
P
1
, , P
m
).
Thật vậy S' chứa 1 – ñơn hình S(P
0
, P
1
). Bằng quy nạp giả sử S' chứa k - ñơn hình S(P
0
, P
1
,
, P
k
), (0
≤
k < m) thì S' chứa (k + 1) – ñơn hình S(P
0
, P
1
, , P
k
, P
k + 1
).
11
Giả sử M
∈
S(P
0
, P
1
, , P
k
, P
k + 1
) tức là
=OM
∑
+
=
1
0
k
i
ii
OP
λ
, với
1
1
0
=
∑
+
=
k
i
i
λ
.
Nếu
0
0
=
∑
=
k
i
i
λ
, thì
1
1
=
+k
λ
và do ñó M
≡
P
k + 1
∈
S'.
Nếu
0
0
≠=
∑
=
λλ
k
i
i
, thì ta có thể viết
=OM
11
0
++
=
+
∑
kk
k
i
i
i
OPOP
λ
λ
λ
λ
.
ðặt
=ON
∑
=
k
i
i
i
OP
0
λ
λ
thì vì
1
0
=
∑
=
k
i
i
λ
λ
và
0≥
λ
λ
i
cho nên N
∈
S(P
0
, P
1
, , P
k
), suy ra N
∈
S'.
Khi ñó
=OM
11 ++
+
kk
OPON
λλ
với
1
1
=
+
+k
λ
λ
và
0
≥
λ
,
0
1
≥
+k
λ
, bởi vậy M thuộc ñoạn
thẳng P
k + 1
N. Vì S' chứa N và chứa P
k+1
nên M
∈
S'. Vậy ta có:
S(P
0
, P
1
, , P
k
, P
k + 1
)
⊂
S'.
Tóm lại mọi tập lồi chứa P
0
, P
1
, , P
m
ñều chứa m – ñơn hình S(P
0
, P
1
, , P
m
). Nói cách
khác ñơn hình S(P
0
, P
1
, , P
m
) là tập lồi bé nhất chứa các ñỉnh của nó.
1.6.4. Hộp
+ ðịnh nghĩa. Trong không gian afin n chiều
n
A
cho m + 1 ñiểm ñộc lập P
0
, P
1
, , P
m
. Tập
hợp, ký hiệu H(P
0
, P
1
, , P
m
) ñược xác ñịnh bởi:
m
n
0 1 m 0 i 0 i i
i 1
H(P ,P , ,P ) M P M
λ P P , 0 λ 1, i 1, , m
=
= ∈ = ≤ ≤ =
∑
A
,
ñược gọi là m – hộp.
+ ðịnh lý. Mỗi m – hộp H(P
0
, P
1
, , P
m
) là một tập lồi.
Chứng minh. Thật vậy nếu M, N là hai ñiểm tuỳ ý của m – hộp, tức là
=MP
0
∑
=
m
i
ii
PP
1
0
λ
, với 0
≤
i
λ
≤
1, và
=NP
0
∑
=
m
i
ii
PP
1
0
µ
, với 0
≤
i
µ
≤
1.
Khi ñó ñiểm X thuộc ñoạn thẳng MN khi và chỉ khi
=XP
0
NPtMPt
00
)1( −+
hay
=XP
0
( )
∑
=
−+
m
i
iii
PPtt
1
0
)1(
µλ
. Ta có 0
≤
t,
i
λ
≤
t (vì t,
i
λ
≥
0 và t,
i
λ
≤
1) và 0
≤
i
t
µ
)1( −
≤
1
– t (vì 0
≤
1– t,
i
µ
≤
1). Vậy 0
≤
i
t
λ
+
11)1( =−+≤− ttt
i
µ
. ðiều ñó chứng tỏ X thuộc m –
hộp và vì vậy m – hộp là tập lồi.
1.6.5. Tính chất
+ Từ ñịnh nghĩa của tập lồi suy ra rằng giao của những tập lồi là tập lồi. ðặc biệt giao của
những nửa không gian (mở hoặc ñóng) trong
A
là một tập lồi.
+ Cho X là một tập con của không gian afin thực
A
. Khi ñó có một tập lồi bé nhất (theo quan
hệ bao hàm) chứa X. ðó là giao của mọi tập lồi chứa X và nó ñược gọi là bao lồi chứa X. Chẳng
hạn như ñơn hình S(P
0
, P
1
, , P
m
) là bao lồi của m + 1 ñiểm ñộc lập P
0
, P
1
, , P
m
.
12
CHNG 2. NH X AFIN
2.1. ánh xạ afin, phép chiếu song song
2.1.1. Định nghĩa.
Cho hai không gian afin trên trờng K là
A
và
A
liên kết với hai không gian véc tơ
A
và
A
.
ánh xạ f:
A A
đợc gọi là ánh xạ afin nếu có ánh xạ tuyến tính
f :
A A
, sao cho với mọi
cặp điểm M, N
A
và ảnh M' = f(M), N' = f(N) ta luôn có
M N f(MN)
=
. ánh xạ tuyến tính
f :
A A
, đợc gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết với ánh xạ afin f:
A A
.
2.1.2. Ví dụ.
a) ánh xạ f:
A A
, biến mọi điểm M
A
thành một điểm I cố định thuộc
A
là một ánh xạ
afin với ánh xạ tuyến tính liên kết là ánh xạ
f :
A A
, mà với mọi véc tơ
u
A
ta có
f
(
u
) =
0
. ánh xạ f nh vậy gọi là ánh xạ hằng.
b) ánh xạ đồng nhất Id
A
:
A
A
là ánh xạ afin liên kết với ánh xạ tuyến tính đồng nhất Id
A
:
A A
.
2.1.3. Tính chất.
a) Mỗi ánh xạ afin f:
A A
, chỉ có một ánh xạ tuyến tính liên kết duy nhất
f :
A A
.
Thật vậy giả sử ngoài sự tồn tại ánh xạ tuyến tính liên kết
f :
A A
, còn tồn tại ánh xạ tuyến
tính liên kết
f :
A A
với ánh xạ afin f:
A A
. Khi đó với mọi cặp điểm M, N của
A
, ta có
)(MNfNM
=
và
)(MNfNM
=
. Từ đó suy ra
)MN(f
=
)MN(f
, tức là
f f
=
.
b) ứng với mỗi ánh xạ tuyến tính
f :
A A
và với mỗi cặp điểm I
A
, I'
A
có duy nhất
một ánh xạ afin f:
A A
có ánh xạ tuyến tính liên kết là
f :
A A
à f(I) = I'.
Thật vậy, ta xác định ánh xạ f:
A A
biến mỗi điểm M
A
thành điểm M'
A
sao cho
MIIMf
=)(
. Khi đó ánh xạ f:
A A
là ánh xạ afin có ánh xạ tuyến tính liên kết là
f :
A A
, vì với mọi M, N
A
ta có:
)(MNf
=
)( IMINf
=
NMMINIIMfINf
=
= )()(
. Rõ ràng f(I) = I'. ánh xạ f là
duy nhất. Thật thế nếu còn có ánh xạ afin f':
A A
có ánh xạ tuyến tính liên kết
f :
A A
và
f'(I) = I' thì với mọi điểm M
A
ta có
)()()( MfIIMfMfI
==
. Từ đó suy ra f'(M) = f(M),
nghĩa là f' = f.
c) Nếu f:
A A
và g:
A A
là những ánh xạ afin liên kết với các ánh xạ tuyến tính
f, g
thì
gf cũng là ánh xạ afin và ánh xạ tuyến tính liên kết của nó là
g.f
, tức là
gf
=
g.f
.
Thật vậy với mọi cặp điểm M, N
A
, ta có:
)]([)]([])()([)]([))(.()( NfgMfgNfMfgMNfgMNfgMNgf ====
=
))(.)()(.( NfgMfg
.
d) Cho n + 1 điểm độc lập M
0
, M
1
, , M
n
trong không gian afin n chiều
A
và cho n + 1 điểm
tuỳ ý M
0
', M
1
', , M
n
' trong không gian afin
A
. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ afin f:
A A
sao cho f(M
i
) = M
i
' (i = 0, 1, , n).
Thật vậy. Từ giả thiết cho n + 1 điểm độc lập M
0
, M
1
, , M
n
trong không gian afin n chiều
A
, nên hệ véc tơ
n
MMMMMM
02010
, ,,
là một cơ sở của không gian véc tơ liên kết
A
.
Khi đó theo định lý về sự xác định các ánh xạ tuyến tính trong các không gian hữu hạn chiều thì
tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
f :
A A
sao cho
ii
MMMMf
=
00
)(
(i = 0, 1, , n).
Theo tính chất b) ở trên thì có duy nhất một ánh xạ afin f:
A A
sao cho f(M
0
) = M
0
' (i =
13
0, 1, , n) và f có ánh xạ tuyến tính liên kết
f
. Rõ ràng f(M
i
) = M
i
' và ánh xạ f là duy nhất.
2.1.4. ảnh và tạo ảnh của phẳng qua ánh xạ afin.
Cho ánh xạ afin f:
A A
liên kết với ánh xạ tuyến tính
f :
A A
.
a) Nếu
là cái phẳng trong
A
có phơng
thì
)(
f
cũng là cái phẳng trong
A
có phơng
là
)(
f
.
Chứng minh. Lấy một điểm I
A
, đặt I' = f(I) và gọi
là cái phẳng qua I' có phơng
=
)(
f
. Khi đó M'
)(
f
tồn tại M
để f(M) = M'
IM
. Vậy f(M) = M'
( ) ( )I M f IM f M
=
.
Vậy
=
)(f
, nghĩa là
)(
f
là cái phẳng với phơng
)(
f
.
b) Nếu
là cái phẳng trong
A
có phơng
và
)(
1
f
, thì
)(
1
f
là cái phẳng
trong
A
có phơng
1
f (
)
.
Chứng minh. Vì
)(
1
f
, nên có I
A
sao cho f(I) = I'
. Gọi
là cái phẳng đi qua
I có phơng
=
1
f (
)
. Khi đó:
M
)(
1
f
f(M) = M'
f(M) = M' ,
MI
f(M) = M' và
=
)(IMfMI
f(M) = M' và
IM
1
f (
)
M
. Vậy
)(
1
f
=
, tức
)(
1
f
là cái phẳng có phơng
1
f (
)
.
2.1.5. Tỷ số đơn và ánh xạ afin.
+ Tỷ số đơn của ba điểm phân biệt thẳng hàng P, Q, R là số
thuộc trờng K sao cho
RQRP
=
và đợc kí hiệu là [P, Q, R]. Vậy [P, Q, R] =
+ Định lí cơ bản của ánh xạ afin.
Đơn ánh f:
A A
của hai không gian afin
A
,
A
là một ánh xạ afin khi và chỉ khi f bảo toàn
tính chất thẳng hàng của các điểm và bảo toàn tỷ số đơn của các hệ ba điểm thẳng hàng (nghĩa là
nếu P' = f(P), Q' = f(Q), R' = f(R) và P, Q, R thẳng hàng thì P', Q', R' thẳng hàng và [P, Q, R] =
[P', Q', R'] ).
Chứng minh.
Nếu
f
là ánh xạ tuyến tính liên kết với ánh xạ afin
f
và
RQRP
=
, thì ta cũng có
( ) ( )
R P f RP f RQ R Q
= = =
. Suy ra nếu P, Q, R thẳng hàng thì P', Q', R' cũng thẳng hàng
và [P, Q, R] = [P', Q', R'].
Ngợc lại gọi f:
A A
là ánh xạ có tính chất biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi tỷ số đơn của 3 điểm thẳng hàng đó. Lấy điểm I cố định thuộc
A
và
gọi I' = f(I). Với mỗi điểm M
A
ta kí hiệu f(M) = M'. Ta xây dựng ánh xạ
f :
A A
nh sau:
Với
x
A
có duy nhất điểm X
A
sao cho
xIX
=
, có duy nhất điểm X' = f(X)
A
và có
véc tơ
x
A
sao cho
xXI
=
, và ta đặt
xxf
=
)(
. Nói cách khác
MIIMf
=)(
. Với
cách xây dựng nh trên ta sẽ chứng minh
f
là ánh xạ tuyến tính. Thật vậy:
+
)()( xfxf
=
. Đẳng thức này là hiển nhiên khi
= 0,
= 1 hoặc
x
=
0
.
Xét trờng hợp
x
0
,
1,
0. Lấy
xIM
=
,
xIN
=
thì M, I, N thẳng hàng và [N,
M, I] =
. Suy ra N', M', I' thẳng hàng và [N', M', I'] =
, tức là
MINI
=
hay
14
)()( xfxf
=
.
+
)()()( yfxfyxf
+=+
. Lấy M, N thuộc
A
sao cho
xIM
=
,
yIN
=
và gọi P là trung
điểm của đoạn thẳng MN, thì
)(
2
1
yxIP
+=
. Khi đó M, N, P thẳng hàng và tỷ số đơn [M, N,
P] = 1. Suy ra M', N', P' thẳng hàng và [M', N', P'] = 1, tức là:
)(
2
1
NIMIPI
+
=
hay
(
)
)()(
2
1
)(
2
1
yfxfyxf
+=
+
. Nhng theo chứng minh ở trên thì
)(
2
1
)(
2
1
yxfyxf
+=
+
. Vậy suy ra
)()()( yfxfyxf
+=+
.
+ Cuối cùng ánh xạ tuyến tính
f
là liên kết với ánh xạ afin
f
vì với hai điểm M, N thuộc
A
ta có
NMMINIIMINfMNf
=
== )()(
. Định lí đợc chứng minh.
+ Định lí cơ bản của ánh xạ afin giữa các không gian afin thc.
Cho
A
,
A
là các không gian afin thực n chiều (n > 1) và song ánh f:
A A
. Nếu f biến ba
điểm thẳng hàng bất kì thành ba điểm thẳng hàng thì f là phép afin.
Chứng minh. Ta trình bày chứng minh trong trờng hợp n = 2, trong trờng hợp tổng quát
chứng minh tơng tự. Với giả thiết song ánh f biến ba điểm thẳng hàng bất kì thành ba điểm
thẳng hàng ta lần lợt chứng minh các tính chất sau đây của f.
a) f biến ba điểm không thẳng hàng bất kì thành ba điểm không thẳng hàng.
Thật vậy cho 3 điểm không thẳng hàng A, B, C của
A
và ảnh của chúng bởi f là A', B', C' nằm
trên đờng thẳng d của
A
. Với mỗi điểm M của
A
ta vẽ đờng thẳng đi qua M cắt AB và AC tại
hai điểm phân biệt P, Q và gọi M', P', Q' là ảnh của M, P, Q. Vì f bảo toàn tính thẳng hàng nên
P', Q' đều thuộc d và do đó M' cũng thuộc d. Nh vậy toàn bộ không gian
A
(2 chiều) biến vào
đờng thẳng d, nên f không phải là song ánh. Mâu thuẫn với giả thiết. Tránh mâu thuẫn này ta có
điều phải chứng minh.
b) f biến đờng thẳng thành đờng thẳng.
Thật vậy cho đờng thẳng d trong
A
đi qua hai điểm A, B và gọi d' là đờng thẳng trong
A
đi
qua ảnh A', B' của A, B. Nếu M thuộc d thì ảnh của nó là M' cũng thuộc d' và nếu M' thuộc d' thì
theo tính chất a) tạo ảnh M của nó cũng thuộc d, tức là f(d) = d'.
A
B
C
M
P
Q
d
A'
B' C'P'
Q'M'
c) f biến hai đờng thẳng song song thành hai đờng thẳng song song.
Tính chất này là hiển nhiên do f là song ánh. Từ đó suy ra:
d) f biến 4 đỉnh của một hình bình hành thành 4 đỉnh của một hình bình hành.
e) Nếu f biến 4 điểm A, B, C, D thành 4 điểm A', B', C', D' mà
CDAB =
, thì
DCBA
=
.
f) Nếu đ cho
f
, thì có song ánh
f :
A A
sao cho với mọi cặp điểm M, N của A và ảnh
của chúng M', N' ta có
NMMNf
=)(
. ánh xạ
f
đó có tính chất cộng tính tức là
15
)()()( vfufvuf
+=+
.
Chứng minh. Thật vậy với mọi véc tơ
u
A
, ta lấy hai điểm M, N
A
sao cho
uMN
=
. Nếu
M', N' là ảnh của M, N thì ta đặt
NMuf
=)(
. Theo tính chất e) ở trên cách xác định
)(uf
nh
thế không phụ thuộc vào sự lựa chọn điểm M, N nghĩa là có ánh xạ
f :
A A
. Hơn nữa dễ thấy
f
là song ánh. Cuối cùng ta chứng minh
f
có tính chất cộng tính tức là
)()()( vfufvuf
+=+
. Lấy bất kì 3 điểm A, B, C của
A
sao cho
uAB
=
,
vBC
=
. Thế thì
ACvu =+
, và gọi A', B', C' là ảnh của A, B, C thì:
)()()()('''')()( vfufBCfABfCBBACAACfvuf
+=+=+=
==+
.
g) Song ánh
f
có tính chất là tồn tại tự đẳng cấu
:R
R sao cho với mọi véc tơ
u
của A
ta có
f
(
u
) =
(k).
u
(k là một số nào đó của R).
Thật vậy lấy véc tơ
u
A
\ {
0
}. Khi đó véc tơ
u
và véc tơ k
u
là cộng tuyến, nên véc tơ
f
(
u
) và véc tơ
f
(k
u
) cũng cộng tuyến (do f bảo toàn sự thẳng hàng). Vậy
f
(k
u
) =
k'.
f
(
u
) và ta sẽ chứng minh k' không phụ thuộc vào véc tơ
u
. Thật vậy, hãy thay
u
bởi
v
rồi
vu
+
và giả sử
f
(k
v
) = k''.
f
(
v
) và
[
]
=+ )( vukf
k'''
)( vuf
+
. Vì
f
là cộng tính nên ta có:
k'
)(uf
+ k''
)(vf
=
f
(k
u
) +
f
(k
v
) =
[
]
=+ )( vukf
k'''
)( vuf
+
=
= k'''
)(uf
+ k'''
)(vf
(*).
Nếu
u
và
v
không cộng tuyến thì
)(uf
và
)(vf
cũng không cộng tuyến và từ (*) ta suy ra k'
= k'' = k''' có nghĩa là số k' không thay đổi khi ta thay
u
bởi
v
. Còn nếu
u
và
v
cộng tuyến thì
ta lấy thêm một véc tơ
w
sao cho
u
và
w
không cộng tuyến (do đó
w
và
v
cũng không cộng
tuyến) thì số k' không thay đổi khi ta thay
u
bởi
w
và thay
w
bởi
v
. Tóm lại số k' không phụ
thuộc vào véc tơ
u
. Bởi vậy nếu đặt
(k) = k', thì ta có ánh xạ
:
R
R
. Ta sẽ chứng minh
ánh xạ
là một tự đẳng cấu của
R
.
Hiển nhiên ta có
(0) = 0 và
(1) = 1.
Ngoài ra đẳng thức
f
(k
u
) =
(k)
)(uf
cũng đúng khi
u
=
0
. Bây giờ lấy véc tơ
u
0
,
ta có:
-
(k + l)
)(uf
=
[
]
)()()( ulfukfulkf
+=+
= [
(k) +
(l)]
)(uf
. Từ đó suy ra
(k +
l) =
(k) +
(l).
-
(kl)
)(uf
=
f
[k(l
u
)] =
(k)
f
(l
u
) =
(k)
(l)
)(uf
.
Vậy
(kl) =
(k)
(l). Tóm lại
là một tự đẳng cấu.
h) ánh xạ f là ánh xạ afin.
Thật vậy từ định lý: Mọi tự đẳng cấu của trờng
R
các số thực đều là phép đồng nhất, ta suy ra
phép tự đẳng cấu
nói trên là phép đồng nhất nghĩa là
(k) = k và nh vậy thì
f
(k
u
) =
k
)(uf
. Từ đó suy ra
f
là ánh xạ tuyến tính. Vì
f
là ánh xạ tuyến tính liên kết với f nên suy ra
f là ánh xạ afin.
2.1.6. Phép chiếu song song trong
n
A
.
Trong không gian afin n chiều
n
A
cho m - phẳng
với phơng
. Ngoài ra cho không gian
véc tơ con
của
n
A
sao cho
=
n
A
(khi đó dim
= n m và
=
{
}
0
). Ta
16
xác định ánh xạ f:
n
A
nh sau: với mỗi điểm M
n
A
, gọi
M
là cái phẳng đi qua M có
phơng
. Khi đó
M
là một điểm duy nhất M'. Đặt f(M) = M'. ánh xạ xác định nh trên
đợc gọi là phép chiếu song song lên m - phẳng
theo phơng
.
M
M
M'
Bây giờ ta sẽ chứng minh f là ánh xạ afin. Gọi
f
:
n
A
là phép chiếu lên
(nghĩa là
nếu
x
n
A
và
x
=
u
+
v
, với
u
,
v
thì
f
(
x
) =
u
), thì rõ ràng
f
là ánh xạ tuyến
tính. Lấy hai điểm tuỳ ý M, N thuộc
n
A
và gọi M' = f(M), N' = f(N), thì ta có:
NMNNMMNNNMMMMN
+
+
=
+
+
= )(
.
Do
M
M
và
NN
, nên
M
M
+
NN
, ngoài ra
NM
nên ta cũng suy ra
theo cách xác định của
f
là
f
(
MN
) =
NM
. Vậy
f
là ánh xạ tuyến tính liên kết của f do
đó suy ra f là ánh xạ afin.
d
d'
P
Q
R
P'
Q'
R'
Hệ quả. Định lý Talét (Thalès). Ba siêu phẳng phân biệt song song
,
,
cắt hai đờng
thẳng d và d' lần lợt tại các điểm P, Q, R và P', Q', R' thì ta có các tỷ số đơn sau [P, Q, R] = [P',
Q', R'].
Chứng minh. Ba siêu phẳng phân biệt song song
,
,
nên phơng của chúng trùng nhau và
gọi là phơng
. Khi đó phép chiếu song lên đờng thẳng d' theo phơng
biến ba điểm P, Q,
R lần lợt thành ba điểm P', Q', R'. Vì phép chiếu song song là phép ánh xạ afin nên [P, Q, R] =
[P', Q', R'].
2.2. Đẳng cấu afin. Biến đổi afin.
17
2.2.1. Định nghĩa.
+ ánh xạ afin f:
A A
giữa hai không gian afin
A
và
A
trên trờng K gọi là phép đẳng
cấu afin nếu f là song ánh.
+ Không gian afin
A
đợc gọi là đẳng cấu với không gian afin
A
nếu có đẳng cấu afin f:
A A
. Khi đó ta cũng kí hiệu là
A
~
A
.
2.2.2. Vài tính chất đơn giản.
+ ánh xạ afin f:
A A
là đẳng cấu afin khi và chỉ khi ánh xạ tuyến tính liên kết của nó
f
:
A A
là đẳng cấu tuyến tính.
Thật vậy lấy I
A
, đặt I' = f(I). Với M là điểm tuỳ ý của
A
, đặt M' = f(M) ta có:
)(' IMfMI
=
. Với chú ý rằng các tơng ứng M
A
IM
A
và M'
A
'
'
M
I
A
,
là những song ánh ta suy ra tính chất này.
+ Hai không gian afin là đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi hai không gian véc tơ liên kết của
chúng là đẳng cấu với nhau.
+ Hai không gian afin hữu hạn chiều trên trờng K là đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng
có cùng số chiều.
+ Nếu f:
A A
là đẳng cấu afin thì ánh xạ ngợc f
1
:
A
A
cũng là đẳng cấu afin và
đẳng cấu tuyến tính liên kết với nó là
1
(f) :
A A
.
+ Quan hệ đẳng cấu giữa các không gian afin trên trờng K là một quan hệ tơng đơng.
Thật vậy: -
A
~
A
với ánh xạ là Id
A
.
- Nếu
A
~
A
với ánh xạ f, thì
A
~
A
với ánh xạ f
1
.
- Nếu
A
~
A
với ánh xạ f và
A
~
A
với ánh xạ g, thì
A
~
A
với ánh xạ là g.f.
2.2.3. Định nghĩa.
+ Phép đẳng cấu afin f:
A A
từ không gian afin
A
lên chính nó đợc gọi là một biến đổi
afin, hay cho gọn là phép afin.
+ Một số ví dụ về biến đổi afin:
Ví dụ 1. Phép tịnh tiến. Cho không gian afin
A
liên kết với không gian véc tơ
A
. Trong
A
cho
véc tơ cố định
v
và xét ánh xạ f:
A A
cho tơng ứng M
A
với M'
A
sao cho
M
M
=
v
.
Phép f đợc xác định nh trên gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ
v
và thờng đợc kí hiệu là T
v
.
Phép tịnh tiến T
v
, theo véc tơ
v
là một biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết là Id
A
(phép đồng nhất trên không gian véc tơ
A
).
Thật vậy với mọi điểm M, N
A
, ta có T
v
(
MN
) = Id
A
(
MN
) =
MN
=
'
MM
+
''
NM
+
NN
'
=
v
+
''
NM
+ (
v
) =
''
NM
.
Ngợc lại nếu f là một biến đổi afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết
f
= Id
A
thì f là một phép
tịnh tiến.
Thật vậy lấy một điểm I cố định của
A
và đặt I' = f(I). Khi đó ta có:
)(MMf
=
'
MM
=
MI
+
'
II
+
'
'
M
I
=
MI
+
'
II
+
)(IMf
=
MI
+
'
II
+
IM
=
'
II
.
Ví dụ 2. Phép vị tự. Cho điểm O
A
và số k
K \
{
}
0
. Xét ánh xạ f:
A A
cho tơng ứng M
A
với M'
A
sao cho
OMkMO =
. Phép f đợc xác định nh trên gọi là phép vị tự tâm O tỷ
số k.
Phép vị tự tâm O tỷ số k, f:
A A
là một biến đổi afin với ánh xạ tuyến tính liên kết là
f
=
kId
A
.
Thật vậy với mọi điểm M, N
A
, ta có:
)(MNf
= kId
A
(
MN
) = k
MN
= k(
OMON
) =
18
''''
NMOMONOMkONk ==
.
Ngợc lại nếu f là một biến đổi afin của
A
, mà ánh xạ tuyến tính liên kết
f
= kId
A
, với k
0, k
1 thì f là một phép vị tự tỷ số k. Thật thế ta chứng minh f có điểm bất động là O, vì lấy I
A
, ta xét điểm O sao cho
)(
1
1
IIf
k
IO
=
, tức là ta có
)(IIfOIOIk +=
=
)(IOf
. Nhng
=OIk
kId
A
(
OI
) =
)()()( IfOfOIf =
, nên suy ra f(O) = O. Khi đó với mọi điểm M
A
, ta
có:
=== )()()()( OMfMfOfMOf
kId
A
(
OM
) =
OMk
. Điều đó chứng tỏ rằng f là phép
vị tự tâm O tỷ số k.
2.2.4. Định lí.
Cho hai hệ điểm độc lập của
n
A
là: A
0
, A
1
, , A
n
và A'
0
, A'
1
, , A'
n
. Khi đó có một phép
afin duy nhất f:
n
A
n
A
mà f(A
i
) = A'
i
với i = 0, 1, 2, , n. Nói cách khác phép afin hoàn toàn
đợc xác định khi biết ảnh của n + 1 điểm độc lập trong không gian
n
A
.
Định lí này là một hệ quả trực tiếp của tính chất của ánh xạ afin và tính chất của phép đẳng
cấu afin.
2.2.5. Định lí.
Tập hợp các biến đổi afin của không gian afin
A
với phép toán lấy tích các ánh xạ lập thành
một nhóm, gọi là nhóm afin của không gian afin
A
và kí hiệu là
A
f(
A
).
2.2.6. Biểu thức toạ độ của ánh xạ afin f:
n
A
n
A
.
Cho ánh xạ afin f:
n
A
n
A
của không gian afin
n
A
vào chính nó. Chọn một mục tiêu afin {O,
},
= {
n
eee
, ,,
21
}. Với mỗi điểm X gọi (x
1
, x
2
, , x
n
) là toạ độ của X; (x'
1
, x'
2
, , x'
n
)
là toạ độ của điểm X' = f(X); (b
1
, b
2
, , b
n
) là toạ độ của điểm O' = f(O). Ngoài ra gọi (a
1j
, a
2j
,
, a
nj
) là toạ độ của véc tơ
)(
j
ef
đối với cơ sở
. Khi đó ta có:
=
+=+=+=
==
n
j
jj
n
i
ii
exfebOXfOOXOOOOX
11
)('''''
)(
11
j
n
j
j
n
i
ii
efxeb
==
+
=
=
+
= ==
n
j
n
i
iijj
n
i
ii
eaxeb
1 11
= == ==
+=
+
n
i
i
n
j
ijiji
n
i
n
j
jij
n
i
ii
ebxaexaeb
1 11 11
.
Mặt khác
i
n
i
i
exOX
=
=
1
'
, nên suy ra công thức sau:
=
+=
n
j
ijiji
bxax
1
, i = 1, 2, , n (1)
Công thức (1) còn đợc gọi là biểu thức toạ độ của ánh xạ afin f trong mục tiêu afin {O,
}.
Nếu đặt A = (a
ij
), x, x' và b là các ma trận cột:
x' =
n
x
x
x
2
1
, x =
n
x
x
x
2
1
, b =
n
b
b
b
2
1
, thì biểu thức toạ độ của f dới dạng ma trận là
x' = Ax + b.
Chú ý rằng ma trận A gồm các cột là toạ độ của các véc tơ
)(
j
ef
nên suy ra ánh xạ f là biến
đổi afin khi và chỉ khi ma trận A là không suy biến tức là detA
0.
19
2.2.7. Phép thấu xạ afin.
M
1
M
M'
+ Trong không gian afin
n
A
cho m - phẳng
(0
m < n) với phơng
và không gian véc
tơ con
của
n
A
sao cho
=
n
A
và cho số
K \
{
}
0
. Xét ánh xạ f:
n
A
n
A
, xác
định nh sau: với M
n
A
gọi M
1
là giao điểm của
với cái phẳng
M
đi qua M và có phơng
và điểm M' là điểm mà
MM
1
=
MM
1
tức là tỷ số đơn (M', M, M
1
) =
. Khi đó ánh xạ f
đặt tơng ứng M
n
A
với M'
n
A
nói trên gọi là phép thấu xạ afin với cơ sở
, phơng
và hệ số
.
+ Phép thấu xạ afin với cơ sở
, phơng
và hệ số
là một phép biến đổi afin với ánh xạ
tuyến tính liên kết là
f
=
21
pp
+
, trong đó
1
p
:
n
A
=
(gọi là phép chiếu lên
thành phần thứ nhất),
2
p
:
n
A
=
(gọi là phép chiếu lên thành phần thứ hai). Thật
vậy:
f
(
MN
) = (
21
pp
+
)(
MN
) = (
21
pp
+
)[(
1111
) NMNNMM ++
].
Vì
11
NM
,
1
MM
,
NN
1
, nên suy ra:
f
(
MN
) =
11
NM
+
(
1
MM
+
NN
1
) =
11
NM
+
1
MM
+
NN
1
=
11
NM
+
1
'MM
+
NN
1
=
'' NM
.
Rõ ràng
21
pp
+
với
0 là biến đổi tuyến tính của
n
A
nên f là biến đổi afin.
Nếu ta chọn mục tiêu afin {O;
n
eee
, ,,
21
} của
n
A
sao cho O nằm trên
, còn các véc tơ
m
eee
, ,,
21
, các véc tơ
nmm
eee
, ,,
21 ++
thì vì f(O) = O và
=)(
i
ef
(
21
pp
+
)
+=
=
=
nmiuene
miuene
e
i
i
i
, ,1
, ,2,1
)(
nên phép thấu xạ afin f có biểu thức toạ độ sau:
1, 2, ,
1, ,
i i
j j
x x ne u i m
x x ne u j m n
= =
= = +
Ma trận của phép thấu xạ có dạng:
20
A =
0
1
0
1
1
(m số 1 và n m số
).
Chú ý là phép thấu xạ afin với cơ sở
, phơng
và hệ số
có phẳng
là bất động,
phơng
là bất biến.
2.2.8. Phép thấu xạ trợt afin.
+ Định nghĩa. Trong không gian afin
n
A
cho siêu phẳng
và không gian véc tơ một chiều
thuộc không gian chỉ phơng
của siêu phẳng
. Biến đổi afin f của
n
A
giữ bất động mọi
điểm của
và nếu mọi điểm M
n
A
thì
)(MMf
gọi là phép thấu xạ trợt afin, cơ sở
với phơng
.
Nh vậy f:
n
A
n
A
mà với mọi M
n
A
ta có:
- Nếu M
, thì M' = f(M)
M.
- Mếu M
, thì M' = f(M) thoả mãn
MM
.
+ Định lý. Trong không gian afin
n
A
cho siêu phẳng
và hai điểm N, N' không phụ thuộc
nhng
'
NN
. Khi đó có một và chỉ một thấu xạ trợt afin với cơ sở
, phơng
'NN
biến
N thành N'.
Chứng minh.
Chọn mục tiêu afin {O;
n
eee
, ,,
21
} sao cho O
, {
121
, ,,
n
eee
} là một cơ sở của
và
ONe
n
=
. Rõ ràng {
nn
eeee
,, ,,
121
} (
'ONe
n
=
) là một cơ sở của
n
A
, do đó có một và
chỉ một biến đổi afin f:
n
A
n
A
mà f(O) = O và
f
(
i
e
) =
i
e
(i = 1, 2, , n 1) và
f
(
n
e
) =
n
e
. Vì f(O) = O và
f
(
i
e
) =
i
e
(i = 1, 2, , n 1),
f
(
ON
) =
'ON
, nên f giữ bất động mọi
điểm của
và f(N) = N'.
M'
M
Ta có
f
(
n
e
) =
'ON
=
ON
+
'
NN
=
n
e
+
i
n
i
i
ea
=
1
1
(do
'
NN
). Vậy ma trận của f trong
mục tiêu {O;
n
eee
, ,,
21
} là:
21
A =
1000
100
010
001
3
2
1
a
a
a
Giả sử M là điểm bất kì của
n
A
có toạ độ (x
i
) trong mục tiêu đã cho và f(M) có toạ độ (x'
i
).
Theo công thức đổi toạ độ của ánh xạ afin ta có:
x' = Ax hay
=
+=
+=
+=
nn
nnnn
n
n
xx
xaxx
xaxx
xaxx
111
222
111
1 1 1
2 2 2
1 1 1
n
n
n n n n
n n
x x a x
x x a x
x x a x
x x
= +
= +
= +
=
Từ đó ta có
')( NNxMMf
n
=
. Vậy biến đổi afin f nói trên chính là thấu xạ trợt afin với cơ
sở
, phơng
'NN
.
2.1.9. Biến đổi afin đối hợp.
+ Định nghĩa. Biến đổi afin f:
A
A
gọi là đối hợp nếu f
f = f
2
là phép đồng nhất Id
A
của
A
.
Phép thấu xạ f với hệ số
nói trên là phép đối hợp khi
= 1. Khi đó M
1
là trung điểm của
đoạn thẳng MM'. Ngời ta gọi nó là phép đối xứng xiên qua phẳng
theo phơng
. Khi
là một điểm (do đó
=
A
) nó gọi là phép đối xứng tâm (với tâm là điểm
).
+ Định lý. Mọi biến đổi afin đối hợp không phải là phép đồng nhất của
A
là một phép đối
xứng xiên.
Chứng minh. Gọi
f
:
A
A
là ánh xạ tuyến tính liên kết của f, thì do f
2
= Id
A
nên
f
2
= Id
A
.
Đặt
= Ker(
f
Id
A
) =
{
}
( )
x f x x
=
A
,
= Ker(
f
+Id
A
) =
{
}
( )
x f x x
=
A
, thì
A
=
và
f
= Id
,
f
= Id
. Thật vậy với mọi
x
A
, ta có
x
=
2
1
[
x
+
f
(
x
)] +
2
1
[
x
f
(
x
)].
f
[
x
+
f
(
x
)] =
f
(
x
) +
f
2
(
x
) =
f
(
x
) +
x
x
+
f
(
x
)
.
(qua
f
mỗi véc tơ biến thành chính nó).
f
[
x
f
(
x
)] =
f
(
x
)
f
2
(
x
) =
f
(
x
)
x
x
f
(
x
)
.
(qua
f
mỗi véc tơ biến thành đối của chính nó).
Ngoài ra nếu
x
, thì
f
(
x
) =
x
(do
x
) và
f
(
x
) =
x
(do
x
),
suy ra
x
=
0
, tức là
=
{
}
0
.
Bây giờ lấy một điểm P thuộc
A
, đặt P' = f(P) và gọi I là trung điểm của PP'. Khi đó tỷ số đơn
[P, P', I] = 1 nếu P
P'
[f(P), f(P'), f(I)] = 1
[P', P, I'] = 1, tức là I' = f(I) cũng là
22
trung điểm của PP'. Vậy I
I'. Vì
f
= Id
và f(I) = I nên nếu gọi
là cái phẳng đi qua I,
phơng
thì
f
= Id
. Với mọi M
A
, gọi M
1
là giao của phẳng
với phẳng
M
đi
qua M, phơng
thì
MM
1
. f(M
1
) = M
1
nên
MMMMfMfMfMfM
1111
)()()()( ===
. Vậy f là phép đối xứng xiên qua
theo phơng
và định lí đợc chứng minh.
2.3. Nhóm các phép biến đổi và hình học của nó.
2.3.1. Không gian và hình.
+ Cho tập X
mà phần tử của nó ta gọi là điểm. Khi đó X còn đợc gọi là không gian. Mỗi
tập con của không gian X gọi là một hình.
+ Mỗi song ánh f: X
X gọi là một phép biến đổi của không gian X. Tập hợp các phép biến
đổi của không gian X lập thành một nhóm với phép toán là luật hợp thành các song ánh. Mỗi
nhóm con của nó gọi là một nhóm biến đổi của không gian X.
+ Muốn cho tập hợp F các phép biến đổi nào đó lập thành một nhóm biến đổi cần có hai điều
kiện, đó là tích hai phép biến đổi thuộc F là phép biến đổi thuộc F và đảo ngợc của phép biến
đổi của F cũng là phép biến đổi của F. Tất nhiên khi đó F cũng chứa phép đồng nhất Id
X
.
2.3.2. Ví dụ.
1) Gọi
A
là không gian afin, ta kí hiệu
A
f(
A
) là tập hợp các phép biến đổi afin của không
gian afin
A
thì
A
f(
A
) là là một nhóm biến đổi của không gian afin
A
, nó đợc gọi là nhóm
afin của
A
.
2) Lấy điểm O
A
, thì tập hợp các phép biến đổi afin của
A
giữ điểm O bất động làm thành
một nhóm con của nhóm
A
f(
A
).
3) Tập hợp các phép tịnh tiến và phép vị tự của
A
làm thành một nhóm.
4) Tập hợp các phép tịnh tiến của
A
làm thành một nhóm.
2.3.3. Định nghĩa.
Gọi F là nhóm biến đổi của không gian X, H
1
và H
2
là hai hình nào đó của X. Khi đó hình H
1
đợc gọi là tơng đơng với hình H
2
(đối với nhóm F, hay còn gọi là F - tơng đơng) nếu có
phép biến đổi f
F sao cho f(H
1
) = H
2
và kí hiệu là H
1
~ H
2
.
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra:
- Mọi hình H bất kì đều tơng đơng với chính nó.
- Nếu H
1
~ H
2
thì H
2
~ H
1
.
- Nếu H
1
~ H
2
và H
2
~ H
3
thì H
1
~ H
3
.
Nh vậy tập hợp các hình của không gian X đợc chia thành các lớp F- tơng đơng, sao cho hai
hình thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi có một phép f
F biến hình này thành hình kia. Dới đây
là một số ví dụ những hình tơng đơng đối với nhóm afin
A
f(
A
).
a) Hai đơn hình có cùng số đỉnh đều tơng đơng.
Thật vậy, giả sử S(P
0
, P
1
, , P
m
) và S(P'
0
, P'
1
, , P'
m
) là hai đơn hình có cùng số đỉnh của
không gian afin
n
A
. Bổ xung vào hệ m + 1 điểm độc lập {P
0
, P
1
, , P
m
} các điểm P
m+1
, P
m+2
, ,
P
n
và bổ xung vào hệ m + 1 điểm độc lập {P'
0
, P'
1
, , P'
m
} các điểm P'
m+1
, P'
m+2
, , P'
n
để đợc
hai hệ n + 1 điểm độc lập là{P
0
, P
1
, , P
n
} và {P'
0
, P'
1
, , P'
n
}. Khi đó tồn tại một phép biến
đổi afin f của A sao cho f(P
i
) = P'
i
với i = 1, 2, , n. Ta chứng minh f biến đơn hình S(P
0
, P
1
, ,
P
m
) thành đơn hình S(P'
0
, P'
1
, , P'
m
).
Với mọi điểm M
S(P
0
, P
1
, , P
m
) và một điểm O nào đó ta có:
=
=
m
0i
ii
OPOM
,
m1,i0,;1
i
m
0i
i
==
=
.
Đặt O' = f(O), ta có
23
= = ==
===
==
m
0i
m
0i
m
0i
iiiiii
m
0i
ii
PO)f(O)f(P)OP(fOPf)OM(ff(M)O
.
Vậy
=
=
m
0i
ii
POf(M)O
với
m1,i0,;1
i
m
0i
i
==
=
, suy ra f(M)
S(P'
0
, P'
1
, , P'
m
).
Ngợc lại với điểm M'
S(P'
0
, P'
1
, , P'
m
) và một điểm O' nào đó ta có:
=
=
m
0i
ii
POMO
,
m1,i0,;1
i
m
0i
i
==
=
.
Gọi O = f
1
(O') và M = f
1
(M') thì:
=
=
=
)MO(f)M()fO(fOM
111
== =
=
=
=
=
=
m
0i
ii
m
0i
m
0i
i
11
ii
1
i
m
0i
ii
1
OP
)P()fO(f
)PO(f
PO
f
.
Từ đó suy ra M
S(P
0
, P
1
, , P
m
). Vậy f biến đơn hình S(P
0
, P
1
, , P
m
) thành đơn hình S(P'
0
,
P'
1
, , P'
m
).
Ta cũng thấy rằng hai đơn hình mà tơng đơng thì có cùng số đỉnh.
Tơng tự ta cũng có thể chứng minh đợc các tính chất sau đây:
b) Hai m- hộp đều tơng đơng.
c) Hai m- phẳng đều tơng đơng.
d) Mọi cặp siêu phẳng phân biệt song song đều tơng đơng. Một cách tổng quát mọi cặp
m- phẳng phân biệt song song đều tơng đơng.
Thật vậy, giả sử (
,
) và (
,
) là hai cặp m- phẳng song song. Chọn trong
, một hệ
gồm m + 1 điểm độc lập là M
0
, M
1
, , M
m
và lấy một điểm M
m + 1
. Khi đó theo giả thiết
//
và
, nên hệ m + 2 điểm M
0
, M
1
, , M
m
, M
m + 1
là độc lập. Bổ sung vào hệ này các
điểm M
m + 2
, , M
n
để đợc hệ n + 1 điểm độc lập của
n
A
. Cũng bằng phơng pháp nh trên ta
lấy hệ điểm độc lập M'
0
, M'
1
, , M'
m
, M'
m+1
, M'
m+2
, , M'
n
của
n
A
sao cho M'
0
, M'
1
, , M'
m
, còn M'
m+1
. Khi đó có biến đổi afin f sao cho f(M
i
) = M'
i
với i = 0, 1, , n. Rõ ràng
f(
) =
và vì f(M
m + 1
) = M'
m + 1
, do
//
nên
)(f)(f
=
=
=
. Từ đó suy ra f(
)
=
. Nh vậy có f
A
f(
A
) biến cặp m- phẳng song song (
,
) thành cặp m phẳng song
song (
,
).
2.3.4. Định nghĩa.
Gọi F là nhóm biến đổi của không gian X và H là một hình trong X. Một tính chất nào đó của
hình H sẽ gọi là bất biến đối với nhóm F nếu mọi hình H' tơng đơng với hình H (đối với nhóm
F) đều có tính chất đó.
Các tính chất bất biến đối với nhóm afin
A
f(
A
) của không gian afin
A
thờng đợc gọi là
tính chất afin.
2.3.5. Ví dụ về tính chất afin.
a) Tính chất độc lập hay không độc lập của một hệ điểm là tính chất afin. Điều này đợc suy
ra từ tính chất phép biến đổi afin là biến một hệ điểm độc lập thành một hệ điểm độc lập và biến
một hệ điểm không độc lập thành một hệ điểm không độc lập.
b) Tính chất song song, cắt nhau hay chéo nhau của hai cái phẳng là tính chất afin. Thật vậy
nếu hai cái phẳng
và
cắt nhau thì tất nhiên ảnh của chúng qua biến đổi afin cũng phải cắt
nhau. Vậy tính chất cắt nhau của hai cái phẳng là bất biến afin. Bây giờ giả sử cái phẳng
song
song với cái phẳng
, và phơng của chúng lần lợt là
,
và
. Khi đó nếu f
A
f(
A
)
thì cái phẳng f(
), f(
) lần lợt có phơng là
)(f,)(f
. Nhng
)(f)(f
nên f(
), f(
) là
hai cái phẳng song song. Vậy tính chất song song là một bất biến afin. Cuối cùng vì hai cái
phẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không cắt nhau và không song song nên suy ra tính
24
chất chéo nhau cũng là một bất biến afin.
c) Tính chất là tâm tỷ cự của một hệ điểm gắn với một họ hệ số là tính chất afin.
Thật vậy, giả sử P
0
, P
1
, , P
m
là một họ hệ điểm nào đó, G là tâm tỷ cự của nó gắn với họ hệ
số
m10
, ,,
tức là
0GP
m
0i
ii
=
=
. Ngoài ra f là một phép biến đổi afin có ánh xạ tuyến tính
liên kết là
f
. Khi đó:
0)f(G)f(P)GP(fGPf
m
0i
m
0i
iiii
m
0i
ii
= ==
===
.
Suy ra f(G) là tâm tỷ cự của họ điểm f(P
0
), f(P
1
), , f(P
m
) cũng gắn với họ hệ số
m10
, ,,
.
Vậy mọi biến đổi afin biến tâm tỷ cự của một hệ điểm thành tâm tỷ cự của một hệ điểm nào đó,
do đó tính chất tâm tỷ cự của một hệ điểm là một tính chất afin.
Môn học nghiên cứu mọi tính chất bất biến đối với nhóm biến đổi F của không gian X gọi là
hình học của nhóm F trên không gian X.
Hình học của nhóm afin
A
f(
A
) trên không gian afin
A
gọi là hình học afin.
2.3.6. Nhận xét.
Trên một không gian X có thể có nhiều nhóm biến đổi khác nhau, bởi vậy có thể có nhiều thứ
hình học khác nhau trên không gian X. Ta giả sử F là một nhóm biến đổi của X và F
1
là một
nhóm con của nhóm F. Khi đó mọi bất biến của nhóm F cũng là bất biến của nhóm F
1
, nhng
ngợc lại thì nói chung không đúng. Nói cách khác hình học của nhóm F là một bộ phận của
hình học của nhóm F
1
và nh thế hình học của nhóm F
1
phong phú hơn hình học của nhóm F.
chơng 3. siêu mặt bậc hai afin
3.1. Định nghĩa siêu mặt bậc hai. Tâm và phơng tiệm cận.
3.1.1. Định nghĩa.
Trong không gian afin
n
A
trên trờng số thực với một mục tiêu afin đã chọn {O,
n
eee
, ,,
21
}, cho phơng trình bậc hai:
= =
=++
n
1ji,
n
1i
0iijiij
0axa2xxa
(1)
trong đó các hệ số a
ij
, a
i
, a
0
đều là số thực, các a
ij
không đồng thời bằng không và a
ij
= a
ji
với i, j =
1, 2, , n.
Tập hợp tất cả các điểm X thuộc
n
A
sao cho toạ độ của nó (x
1
, x
2
, , x
n
) thoả mãn phơng
trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi phơng trình đó.
Nếu (S) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phơng trình (1) thì phơng trình (1) đợc gọi là
phơng trình của (S).
Với n = 2 và n = 3 các siêu mặt bậc hai đợc gọi lần lợt là đờng bậc hai và mặt bậc hai.
Ta kí hiệu A là ma trận (a
ij
), đó là ma trận vuông cấp n mà phần tử ở dòng i cột j là hệ số a
ij
.
Đặt A = (a
ij
) thì A = A
t
vì a
ij
= a
ji
. Ta kí hiệu:
x =
n
2
1
x
x
x
, a =
n
2
1
a
a
a
là những ma trận cột thì phơng trình (1) có thể viết dới dạng ma trận nh sau:
x
t
.A.x + 2.a
t
.
x + a
0
= 0 (2).
Chú ý rằng A = A
t
, a
t
.x = x
t
.a và hạngA
1. Phơng trình (1) có thể viết dới dạng sau:
25
(
)
1 2 n
x x x
.
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
.
n
2
1
x
x
x
+2.
(
)
1 2 n
a a a
.
n
2
1
x
x
x
+ a
0
= 0.
3.1.2. Định lý.
Qua một biến đổi afin, một siêu mặt bậc hai biến thành một siêu mặt bậc hai.
Chứng minh.
Giả sử ta có một siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình (2) và một biến đổi afin có phơng trình:
x = Bx' + b (detB
0) (3).
Thay (3) vào (2) ta đợc (Bx' + b)
t
.A.(Bx' + b) + 2.a.(Bx' + b)
t
+ a
0
= 0.
t t t t t
0
(x .B b )(ABx Ab) 2a .Bx 2a .b a 0
+ + + + + =
t t t t t t t t
0
x .B ABx b .ABx x .B .Ab b .Ab 2a .Bx 2a .b a 0
+ + + + + + =
Vì
t t t
b .ABx , x .B .Ab
là các ma trận vuông cấp 1 (tức là một số) nên ta có:
t t t t t t t
(b .ABx ) x .B .A .b x .B .Ab
= =
. Vậy đẳng thức trên trở thành:
t t t t t t
0
x (B AB)x 2b .ABx 2a .Bx b .Ab 2a .b a 0
+ + + + + =
t t t t t t
0
x (B AB)x 2(b .AB a .B)x b .Ab 2a .b a 0
+ + + + + =
(*)
Đặt
t
A B AB
=
,
t t
a b .AB a .B
= +
,
t t
0 0
a b .Ab 2a .b a
= + +
, thì (*)
t
0
x .A .x 2a x a 0
+ + =
(4)
Rõ ràng
t t t t t t
A (B .AB) B .A .B B .AB A
= = = =
và hạng A' = hạngB
t
.A.B = hạngA
1 (detB
0). Vậy (4) cũng là phơng trình của siêu mặt bậc hai (S'), đó chính là ảnh của (S) qua phép
afin đã cho.
Chú ý. Định lý trên nói rằng khái niệm siêu mặt bậc hai afin là bất biến afin.
3.1.3. Giao của siêu mặt bậc hai với đờng thẳng.
Cho siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình (2) và đờng thẳng d đi qua điểm B mà toạ độ của nó
là B = (b
1
, b
2
, , b
n
) và có không gian chỉ phơng là không gian một chiều sinh ra bởi véc tơ
)c, ,c,(cc
n21
=
. Khi đó phơng trình của d có thể viết dới dạng:
x =
c + b (5)
trong đó c và b là các ma trận cột
c =
n
2
1
c
c
c
, b =
n
2
1
b
b
b
.
Ta hãy đi tìm giao điểm của đờng thẳng này với với siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình (2).
Các giao điểm có toạ độ thoả mãn cả hai phơng trình (2) và (5). Bằng phép thế ta đợc:
t
(
c + b).A.(
c + b) + 2.a.
t
(
c + b) + a
0
= 0
hay (
t
c.A.c).
2
+ 2.P.
+ Q = 0 (6)
trong đó P =
t
b.A.c + a.
t
c =
= =
+
n
1ji,
n
1i
iijiij
cacba
(7) và Q =
t
b.A.b + 2.a.
t
b + a
0
(8).
Nếu
là nghiệm của (6) thì bằng cách thay
vào (5) ta tìm đợc toạ độ giao điểm, vì vậy ta có
một số trờng hợp sau:
Nếu (
t
c.A.c)
0, thì (6) là một phơng trình bậc hai đối với
, bởi vậy nó có thể có hai
nghiệm phân biệt, một nghiệm kép hoặc vô nghiệm. Nh vậy đờng thẳng sẽ cắt siêu mặt bậc
