Ứng dụng hệ mật mã khóa công khai trong quản lý đề thi

-i-

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

Đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học công nghệ thông tin và truyền thông



Hoàng Văn Quyến





NG DNG H MT M KHểA CễNG KHAI
TRONG QUN Lí THI







Luận văn thạc sỹ khoa học

Thỏi Nguyờn - 2012

-ii-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
Chương 1 TỔNG QUAN HỆ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI 4
1.1. Khái niệm về hệ mật mã 4
1.1.1. Khái niệm chung về mật mã và hệ mật mã 4
1.1.2. Phân loại các hệ mật mã 6
1.2. Lý thuyết độ phức tạp 10
1.2.1. Khái niệm độ phức tạp của thuật toán 10
1.2.2. Các bài toán khó tính toán và ứng dụng trong mật mã học 12
1.3. Hệ mật mã khóa công khai 13
1.3.1. Các quan điểm cơ bản của hệ mật mã khoá công khai 13
1.3.3. Hoạt động của hệ mật mã khóa công khai 14
1.3.4. Các yêu cầu của hệ mật mã khóa công khai 14
1.4. Độ an toàn của hệ mật mã 15
1.2. Chữ ký số 16
1.2.1. Giới thiệu về chữ ký số 16
1.2.2. Quá trình ký và xác thực chữ ký 17
Chương 2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN PHÂN PHỐI VÀ QUẢN LÝ KHÓA
CÔNG KHAI 22
2.1. Hệ mật mã khóa công khai RSA 22

2.1.1. Cơ sở toán học của hệ mật mã RSA 22
2.1.2. Mô tả hệ mật mã RSA 24
2.1.3. Quá trình tạo khoá, mã hoá và giải mã 24
2.1.4. Tính đúng của quá trình giải mã 26
2.1.5. Chi phí thực hiện trong quá trình mã hóa và giải mã 28
2.1.6. Đánh giá độ mật của hệ mật mã khóa công khai RSA 28
2.1.7. Phân tích cơ chế hoạt động của hệ mã RSA 29
2.1.8. Khả năng bị bẻ khóa của hệ mã công khai RSA 30
2.2. Hệ mật mã khóa công khai ElGamal 33
2.2.1. Bài toán logarit rời rạc 34
2.2.2.Mô tả hệ mật mã ElGamal 34
-iii-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2.2.3. Tính đúng của quá trình giải mã 36
2.2.4. Đánh giá độ an toàn và khả năng ứng dụng của hệ mật mã khóa công
khai ElGamal. 36
2.3. Hệ mật mã khóa công khai Rabin 37
2.3.1. Sơ đồ hệ mã khóa Rabin 37
2.3.2. Tính an toàn của hệ mã hoá Rabin 40
2.3.3. Sử dụng dư thừa dữ liệu 41
2.3.4. Tính hiệu quả 42
2.4. Hệ mã hóa AES 43
2.4.1. Quá trình phát triển 43
2.4.2. Mô tả thuật toán 44
2.4.3. Mô tả mức cao của thuật toán 45
2.4.4. Tối ưu hóa 47
2.4.5. An toàn 47
2.4.5. Tấn công kênh bên (Side channel attacks) 48

Chương 3 XÂY DỰNG ỨNG DỤNG THỬ NGHIỆM 50
3.1. Bài toán quản lý đề thi trong hệ thống các trường phổ thông 50
3.2. Áp dụng hệ mật mã khóa công khai cho quản lý đề thi trong các trường phổ
thông 52
3.2.1. Mô tả hệ thống. 52
3.2.2. Chức năng và giao diện chính của chương trình 54
3.2.3. Các bước thực hiện chương trình 56
3.2.5. Mã chương trình 64
Đánh giá kết quả thử nghiệm chương 3 64
KẾT LUẬN 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO 66

-iv-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới trường Đại học CNTT & TT, Viện CNTT Việt Nam,
nơi các thầy cô đã tận tình truyền đạt các kiến thức quý báu cho tôi trong suốt quá
trình học tập. Xin cảm ơn Ban Giám Hiệu nhà trường và các cán bộ đã tạo điều kiện
tốt nhất cho chúng tôi học tập và hoàn thành đề tài tốt nghiệp của mình. Đặc biệt,
tôi xin gửi tới TS Bùi Văn Thanh, thầy đã tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình
thực hiện đề tài lời cảm ơn và biết ơn sâu sắc nhất. Bên cạnh những kiến thức khoa
học, thầy đã giúp tôi nhận ra những bài học về phong cách học tập, làm việc và
những kinh nghiệm sống quý báu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè,
đồng nghiệp và những người thân đã động viên khích lệ tinh thần và giúp đỡ để tôi
hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 10 năm 2012

Hoàng Văn Quyến

-v-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

STT
Ký hiệu/ Chữ viết tắt
Viết đầy đủ
1
RSA
Rivest - Shamir - Adleman
2
DES
Data Encryption Standard
3
AES
Advanced Encryption Standard
4
NIST
National Institute of Standards and Technology
5
FIPF
Farm Innovation and Promotion Fund
6

NSA
National Security Agency
7
THPT
Trung học phổ thông



-vi-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, toàn bộ nội dung liên quan tới đề tài được trình bày trong
luận văn là bản thân tôi tự tìm hiểu và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn khoa học của
TS Bùi Văn Thanh.
Các tài liệu, số liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ nguồn gốc. Tôi xin chịu
trách nhiệm trước pháp luật lời cam đoan của mình.
Học viên thực hiện



Hoàng Văn Quyến
-vii-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang
Bảng 1.1: Bảng chi phí thời gian phân tích số nguyên n ra thừa số nguyên tố….12
Bảng 2.1: Tóm tắt các bước tạo khoá, mã hoá, giải mã của Hệ RSA………… 20
Bảng 2.2: Bảng chi phí thời gian cần thiết để phân tích các số nguyên N…… 24

-viii-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ
Trang

Hình 1.1: Sơ đồ hoạt động chung của hệ mật mã 5
Hình 1.2: Sơ đồ hoạt động của mã hóa khóa đối xứng 6
Hình 1.3. Sơ đồ hoạt động của mã hóa khóa không đối xứng 9
Hình 1.4 Lược đồ ký 18
Hình 1.5. Lược đồ xác thực 20
Hình 2.1: Đồ thị so sánh chi phí tấn công khóa bí mật và khóa công khai. 33
Hình 2.4: Bước SubBytes, một trong 4 bước của 1 chu trình 43
Hình 2.5: Mô tả thuật toán AES 44
Hình 2.6: Bước SubBytes 44
Hình 2.7: Bước ShiftRows 45
Hình.3.9: Sơ đồ bài toán quản lý đề thi của các trường THPT 51
Hình 3.10: Sơ đồ quy trình tổng quan hệ thống 52
Hình 3.11: Sơ đồ quy trình tạo khóa RSA 53
Hình 3.12: Sơ đồ quy trình mã hóa văn bản bằng thuật toán AES 53
Hình 3.13: Sơ đồ quy trình mã hóa khóa theo thuật toán RSA 53
Hình 3.14: Sơ đồ quy trình giải mã khóa theo thuật toán RSA 54
Hình 3.15: Giao diện chính của chương trình 54

Hình 3.16: Giao diện tạo khóa RSA 54
Hình 3.17: Mã hóa văn bản bằng AES 55
Hình 3.18: Mã hóa khóa bằng RSA 56
Hình 3.19: Giải mã khóa bằng RSA 56
Hình 3.20: Tạo khóa RSA tùy chọn 56
Hình 3.21:Tạo khóa RSA tự động 57
Hình 3.22:Lưu khóa RSA tự động thành tệp 57
Hình 3.23: Mã hóa nội dung văn bản 57
Hình 3.24: Mở tệp văn bản cần mã hóa 58
Hình 3.25: Thông báo mã hóa thành công. 58
Hình 3.26: Xem nội dung tệp được mã hóa 58
Hình 3.27: Mã hóa tệp *.* 58
Hình 3.28: Chọn File cần mã hóa 59
-ix-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Hình 3.29: Thông báo kết quả mã hóa 59
Hình 3.30: Xem kết quả file đã mã hóa 59
Hình 3.31: Giải mã nội dung văn bản 60
Hình 3.32: Chọn File cần giải mã 60
Hình 3.33: Thông báo kết quả giải mã 60
Hình 3.234: Xem nội dung tệp vừa giải mã 60
Hình 3.35: Giải mã File được mã hóa 61
Hình 3.36: Mở tệp cần giải mã 61
Hình 3.37: Thông báo kết quả giải mã 61
Hình 3.38: Xem nội dung tệp vừa giải mã 62
Hình 3.39: Mã hóa khóa RSA 62
Hình 3.40: Chọn File khóa cần mã hóa 62
Hình 3.41: Kết quả mã hóa khóa 63

Hình 3.42: Giải mã khóa RSA 63
Hình 3.43: Mở tệp giải mã khóa RSA 63
Hình 3.44: Kết quả giải mã khóa RSA 64
-1-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỞ ĐẦU
Thế kỷ XXI là thế kỷ công nghệ thông tin. Công nghệ thông tin đã và đang
tác động trực tiếp đến mọi mặt hoạt động kinh tế xã hội trên thế giới. Thông tin có
vai trò hết sức quan trọng, vì vậy cần phải đảm bảo để thông tin không bị sai lệch,
không bị thay đổi, hay bị lộ trong quá trình truyền từ nơi gửi đến nơi nhận. Với sự
phát triển rất nhanh của công nghệ mạng máy tính, đặc biệt là mạng Internet, khối
lượng thông tin ngày càng được truyền nhận nhiều hơn.
Vấn đề khó khăn đặt ra là làm sao giữ được tính bảo mật của thông tin, thông
tin đến đúng được địa chỉ cần đến và không bị sửa đổi. Hậu quả sẽ khó lường nếu
như thư được gửi cho một người nhưng lại bị một người khác xem trộm và sửa đổi
nội dung bức thư trái với chủ ý của người gửi. Tệ hại hơn nữa là khi một hợp đồng
được ký, gửi thông qua mạng và bị kẻ xấu sửa đổi những điều khoản trong đó.
Người gửi thư bị hiểu nhầm vì nội dung bức thư bị thay đổi, còn hợp đồng bị phá vỡ
bởi những điều khoản đã không còn như ban đầu. Điều này gây ra những mất mát
cả về mặt tài chính và quan hệ, tình cảm, v.v và còn có thể nêu ra rất nhiều tình
huống tương tự. Mã hoá thông tin là một trong các phương pháp có thể đảm bảo
được tính bảo mật của thông tin. Mã hoá, trong một mức độ nhất định, có thể giải
quyết các vấn trên; một khi thông tin đã được mã hoá, kẻ xấu rất khó hoặc không
thể giải mã để có được nội dung thông tin ban đầu.
Khi mã hóa, thông tin được biến đổi (được mã hóa) bằng thuật toán mã hóa
thông qua việc sử dụng “khóa”. Chỉ có người dùng có cùng “khóa” mới phục hồi lại
được thông tin ban đầu (giải mã). Do vậy “khóa” cần được bảo vệ nghiêm ngặt và
được truyền từ người gửi đến người nhận trên một kênh an toàn riêng sao cho người

thứ ba không thể biết được khóa. Phương pháp này được gọi là mã hóa bằng khóa
riêng hoặc mật mã khóa đối xứng. Có một số chuẩn thuật toán khóa đối xứng, ví dụ
như DES, AES, v.v… Người ta đã chứng minh được khả năng bảo mật cao của các
thuật toán đối xứng chuẩn nói trên và chúng đã được kiểm định qua thời gian. Tuy
nhiên, vấn đề nảy sinh với các thuật toán đối xứng là việc trao đổi khóa. Các bên
tham gia giao tiếp đòi hỏi được chia sẻ một bí mật là “khóa”, “khóa” cần được trao
đổi giữa họ qua một kênh thông tin an toàn. An toàn của thuật toán khóa đối xứng
phụ thuộc vào độ mật của khoá. Khóa thường có độ dài hàng trăm bit, tùy thuộc vào
thuật toán được sử dụng. Vì thông tin có thể trung chuyển qua các điểm trung gian
-2-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

nên không thể trao đổi khóa một cách trực tuyến và an toàn. Trong một mạng rộng
kết nối hàng trăm hệ thống, việc trao đổi khóa trở thành quá khó khăn và thậm chí
không thực tế.
Cho đến cuối những năm 1970, tất cả các quá trình truyền thông tin bảo mật
đều sử dụng hệ mật mã đối xứng. Điều này có nghĩa rằng một ai đó có đủ thông tin
(khóa) để mã hóa thông tin thì cũng có thông tin đủ để giải mã. Năm 1976 Diffe và
Hellman [5], [6] đã nêu định hướng phát triển mới cho các hệ thống mật mã bằng
việc phát minh hệ mật mã khóa công khai. Ý tưởng chính là sử dụng hàm một chiều
(one-way function) để mã hóa. Các hàm sử dụng để mã hóa thuộc một lớp các hàm
một chiều đặc biệt, chúng là một chiều nếu một số thông tin nhất định (khóa để giải
mã) được giữ bí mật. Nói một cách hình thức, hàm mã hóa khóa công khai là một
hàm ánh xạ các dãy tin (bản rõ) thành các dãy được mật mã hóa; bất cứ ai có khóa
công khai đều có thể thực hiện việc mã hóa này. Tuy nhiên việc tính toán hàm
nghịch đảo (hàm để giải mã thông tin được mã hóa thành các dãy tin ban đầu - bản
rõ) không thể thực hiện được trong một khoảng thời gian hợp lý mà không cần thêm
một số thông tin bổ sung, gọi là khóa riêng. Điều này có nghĩa rằng mọi người có
thể gửi thông tin đến một người nào đó bằng cách sử dụng cùng một khóa để mã

hóa bằng cách đơn giản là lấy khóa này tại một vị trí công khai. Người gửi không
cần phải thực hiện bất kỳ thỏa thuận bí mật với người nhận; người nhận không cần
có bất kỳ liên hệ trước nào với người gửi. Vì vậy có thể trao đổi thông tin một cách
bảo mật bằng cách sử dụng thuật toán khóa công khai mà không cần trao đổi khóa
một cách bí mật.
Trong hệ mật mã khóa công khai mỗi người dùng hoặc thiết bị tham gia vào
quá trình gửi nhận thông tin có một cặp khóa, một khóa công khai và một khóa
riêng, cùng với các quy tắc sử dụng khóa để thực hiện các hoạt động bảo mật dữ
liệu. Chỉ người dùng hoặc thiết bị biết khóa riêng của mình, còn khóa công khai
được phân phối đến tất cả người dùnghoặc thiết bị khác tham gia vào hệ thống. Vì
việc biết khoá công khai không ảnh hưởng tới sự an toàn của các thuật toán, có thể
dễ dàng trao đổi khoá công khai trực tuyến.
Thông tin cần bảo mật có thể được trao đổi trực tuyến bằng cách trao đổi
thông tin đã mã hóa và khóa công khai. Những người chỉ có quyền truy cập vào các
thông tin trao đổi công khai sẽ không thể tính toán để giải mã thông tin, trừ khi họ
có quyền truy cập và biết khóa riêng của của các bên giao tiếp.
-3-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Các hệ mật mã khóa đối xứng đã được sử dụng từ khá lâu. Sự phát triển
tương đối muộn của các hệ mật mã khóa công khai xuất phát từ lý do là cho đến tận
những năm 1970 mật mã chỉ được sử dụng chủ yếu cho các mục đích quân sự và
ngoại giao và mật mã khóa đối xứng là thích hợp. Với việc mở rộng các ứng dụng
của CNTT trong đời sống và kinh tế, các nhu cầu mới về mật mã phát sinh. Không
giống như trong quân đội hay ngoại giao với phân cấp cứng nhắc và số người sử
dụng hạn chế, trong các ứng dụng kinh tế - xã hội, lượng dữ liệu được trao đổi lớn
gấp nhiều lần và số người sử dụng cũng tăng nhanh, lĩnh vực ứng dụng cũng phong
phú hơn nhiều. Vì vậy trong những năm gần đây hệ mật mã khóa công khai đã được
tập trung nghiên cứu một cách mạnh mẽ trên thế giới và nhiều kết quả mới đã đạt

được cũng như được áp dụng để giải quyết các vấn đề thực tiễn trong nhiều
lĩnh vực.
Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả tìm hiểu được về hệ mật mã
khóa công khai, các thuật toán mã hóa và giải mã sử dụng trong các hệ mật mã khóa
công khai, đồng thời tìm hiểu khả năng ứng dụng hệ mật mã khóa công khai trong
quản lý đề thi trong các trường phổ thông.
Nội dung luận văn gồm 3 chương:
Chương I. TỔNG QUAN HỆ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI
Chương này trình bày các kiến thức tổng quan về các hệ mật mã nói chung
và hệ mật mã khóa công khai nói riêng, các yêu cầu về hệ mật mã khóa công khai
cũng như tính bảo mật của chúng.
Chương II. MỘT SỐ THUẬT TOÁN PHÂN PHỐI VÀ QUẢN LÝ KHÓA
Chương này đi sâu phân tích cơ chế hoạt động của một số hệ mật mã khóa
công khai đã được chấp nhận như các hệ chuẩn như RSA, ELGAMAL và RABIN.
Độ mật, hiệu suất thực hiện và ứng dụng của các hệ mật mã nói trên cũng được đề
cập và đánh giá.
Chương III. XÂY DỰNG ỨNG DỤNG THỬ NGHIỆM
Chương này đề cập đến việc xây dựng ứng dụng thử nghiệm để giải quyết
vấn đề quản lý và bảo mật đề thi trong hệ thống các trường phổ thông dựa vào các
thuật toán RSA và AES.
-4-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 1
TỔNG QUAN HỆ MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI
1.1. Khái niệm về hệ mật mã
1.1.1. Khái niệm chung về mật mã và hệ mật mã
Mật mã học là một lĩnh vực liên quan đến các kỹ thuật ngôn ngữ và toán học
nhằm đảm bảo an toàn thông tin. Về phương diện lịch sử, mật mã học gắn liền với

quá trình mã hóa; điều này có nghĩa là nó gắn với các cách thức để chuyển đổi
thông tin từ dạng này sang dạng khác nhưng ở đây là từ dạng thông thường có thể
nhận thức được thành dạng không thể nhận thức được, làm cho thông tin trở thành
dạng không thể đọc được nếu như không có các kiến thức bí mật. Quá trình mã hoá
được sử dụng chủ yếu để đảm bảo tính bí mật của các thông tin quan trọng, chẳng
hạn trong công tác tình báo, quân sự hay ngoại giao cũng như các bí mật về kinh tế,
thương mại. Trong những năm gần đây, lĩnh vực hoạt động của mật mã hoá đã được
mở rộng; mật mã hoá hiện đại cung cấp nhiều ưng dụng hơn là chỉ duy nhất giữ bí
mật và có một loạt các ứng dụng như: chứng thực khoá công khai, chữ ký số, bầu cử
điện tử hay tiền điện tử. Ngoài ra những người không có nhu cầu thiết yếu đặc biệt
về tính bảo mật cũng sử dụng các công nghệ mật mã hoá, thông thường được thiết
kế và tạo lập sẵn trong các cơ sở hạ tầng của công nghệ tính toán và liên lạc
viễn thông.
Mật mã học là một nghành có lịch sử từ hàng nghìn năm nay. Trong phần lớn
thời gian phát triển của mình (ngoại trừ vài thập kỉ trở lại đây), lịch sử mật mã học
chính là lịch sử của những phương pháp mật mã học cổ điển - các phương pháp mật
mã hoá với bút và giấy, đôi khi có hỗ trợ từ những dụng cụ cơ khí đơn giản. Vào
đầu thế kỉ 20, sự xuất hiện của các cơ cấu cơ khí và điện cơ, chẳng hạn như máy
ENIGMA, đã cung cấp những những cơ chế mật mã hoá phức tạp và hiệu quả hơn.
Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của ngành điện tử và máy tính trong những thập
niên gần đây đã tạo điều kiện để mật mã học phát triển nhảy vọt lên một tầm
cao mới.
Cho trước:
 A là một tập hữu hạn các phần tử, được gọi là bảng chữ cái. Ví dụ A = {0,1}
(bảng chữ cái nhị phân). Lưu ý rằng một bảng chữ cái bất kỳ có thể được
-5-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

mã hóa vào bảng chữ cái nhị phân. Ví dụ, mỗi chữ của bảng chữ cái tiếng

Anh có thể được mã hóa như một dãy nhị phân chiều dài 5.
 P là tập hợp các dãy chữ cái (các xâu) lấy từ A. Mỗi phần tử của P được
gọi là bản rõ.
 C ký hiệu tập các dãy chữ cái lấy từ một bảng chữ cái nào đó, có thể trùng
hoặc khác bảng chữ cái A. C được gọi là tập hợp các bản mã, mỗi phần tử
của C được gọi là bản mã.
 K là tập hữu hạn các phần tử, mỗi phần tử được gọi là khóa. Bản thân K
được gọi là không gian khóa.
Định nghĩa 1.1 Một hệ mật mã là một bộ năm (P,C,K,E,D), trong đó P là
một tập các bản rõ, C là một tập các bản mã, K là không gian khoá và E là tập các
song ánh {E
K
:PC)}, D là tập các song ánh {E
K
:CP)} thoả mãn các điều
kiện sau:
1. Với mỗi KK tồn tại duy nhất một song ánh E
K
E, E
K
:PC. E
K
được
gọi là quy tắc mã hóa tương ứng với khóa K.
2. Với mỗi KK tồn tại một một song ánh D
K
D, D
K
:CP. D
K

được gọi là
quy tắc giải mã tương ứng với khóa K.
3. Với mỗi KK tồn tại duy nhất một khóa kK sao cho
1
kK
DE


, nghĩa là
 
 
kK
D E P P
với mọi bản rõ P P.
Để gửi bản rõ P, trước hết bản rõ P được mã hóa bằng E
K
để có bản mã C. Ở
nơi nhận C được giải mã bằng D
k
và thu được bản rõ ban đầu P.
Các khóa K và k trong định nghĩa trên được gọi là cặp khóa và thường được
ký hiệu bằng (K; k). Lưu ý rằng có thể
kK
.

Hình 1.1: Sơ đồ hoạt động chung của hệ mật mã
-6-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Giả sử bản rõ là
12
, , . . . ,
n
P x x x
với số nguyên
1n 
nào đó. Ở đây mỗi ký
hiệu của bản rõ x
i
A, 1  i  n. Mỗi x
i
sẽ được mã hoá bằng quy tắc mã hóa E
K
với
khoá K được xác định trước đó: y
i
= E
K
(x
i
), 1  i  n và bản mã nhận được
12
, , . . . ,
n
C y y y
sẽ được gửi. Khi nhận được
12
, , . . . ,
n

y y y
, ta sẽ giải mã bằng
hàm giải mã D
k
và thu được bản rõ ban đầu
12
, , . . . ,
n
x x x
.
Rõ ràng hàm mã hoá phải là hàm đơn ánh (tức là ánh xạ 1-1), nếu không việc
giải mã sẽ không thực hiện được một cách tường minh. Nếu P = C thì mỗi hàm mã
hoá là một phép hoán vị. Nghĩa là nếu tập các bản mã và tập các bản rõ là đồng nhất
thì mỗi hàm mã hoá sẽ là một sự sắp xếp lại (hay hoán vị) các phần tử của tập này.
1.1.2. Phân loại các hệ mật mã
1.1.2.1. Hệ thống mật mã đối xứng
a. Định nghĩa
Mã hóa đối xứng là phương pháp mã mà trong đó các khóa dùng cho việc mã
hóa (khoá mã hoá) và giải mã (khoá giải mã) có quan hệ rõ ràng với nhau, nghĩa là
có thể dễ dàng tìm khóa này nếu biết khóa kia và ngược lại. Trong rất nhiều trường
hợp, khoá mã hoá và khoá giải mã là giống nhau.
Thuật toán này còn có nhiều tên gọi khác như thuật toán khoá bí mật, thuật
toán khoá đơn giản, thuật toán một khoá. Sự mã hoá và giải mã của thuật toán đối
xứng được biểu thị bởi:
 
K
E P C
và
 
K

D C P

Ban đầu, bản rõ được người gửi A mã hóa với khóa K. Sau đó bản mã được
gửi tới người nhận B. Khi nhận được bản mã, người B sử dụng khóa K giải mã để
thu được bản rõ. Do đó, nếu một người khác có được khóa K thì hệ thống mã hóa
này sẽ bị tấn công (Hình 1.2).

Hình 1.2: Sơ đồ hoạt động của mã hóa khóa đối xứng
-7-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Thuật toán này yêu cầu người gửi và người nhận phải thoả thuận thuật toán
mã hóa và khóa dùng cho quá trình mã hoá và giải mã trước khi bản rõ được mã hóa
và được gửi đi, và khoá này phải được cất giữ bí mật. Độ an toàn của thuật toán này
phụ thuộc vào khoá, nếu khoá bị lộ, bất kì người nào có khóa cũng có thể mã hoá và
giải mã. Việc trao đổi, thoả thuận về thuật toán được sử dụng trong việc mã hoá có
thể tiến hành một cách công khai, nhưng bước thoả thuận về khoá trong việc mã
hoá-giải mã và trao đổi khóa phải tiến hành bí mật và an toàn. Sau khi đã thỏa thuận
được thuật toán mã hóa, thống nhất được khóa dùng để mã hóa và giải mã, bên gửi
sẽ mã hoá bản rõ bằng cách sử dụng khoá bí mật đã thống nhất và gửi bản mã cho
bên nhận. Sau khi nhận được bản mã, bên nhận sẽ sử dụng chính khoá bí mật mà
hai bên đã thoả thuận để giải mã và khôi phục lại bản rõ.
Chúng ta có thể thấy rằng thuật toán mã hoá đối xứng sẽ rất có lợi khi được
áp dụng trong các cơ quan hay tổ chức đơn lẻ. Nhưng nếu cần phải trao đổi thông
tin với một bên thứ ba thì việc đảm bảo tính bí mật của khoá phải được đặt lên
hàng đầu.
Trong các mã hoá cổ điển, ví dụ như phương pháp mã hóa Ceaser Cipher thì
khoá chính là phép dịch ký tự, cụ thể là phép dịch 3 ký tự. Trong phương pháp mã
hoá hoán vị thì khóa nằm ở số hàng hay số cột mà chúng ta qui định. Khoá này có

thể được thay đổi tuỳ theo mục đích mã hoá, nhưng nó phải nằm trong một phạm vi
cho phép nào đó.
Mã hoá đối xứng có thể được phân thành hai loại:
Loại thứ nhất tác động trên bản rõ theo từng nhóm ký hiệu (chữ cái hoặc bit)
có độ dài (số các ký hiệu) bằng nhau. Từng nhóm này được gọi với một cái tên khác
là khối (block) và thuật toán được áp dụng gọi là mã hóa khối (Block Cipher). Theo
đó, từng khối dữ liệu có cùng độ dài trong bản rõ ban đầu được thay thế bằng một
khối dữ liệu khác. Đối với các thuật toán ngày nay thì kích thước chung của một
khối là 64 bit.
Loại thứ hai mã hoá bản rõ theo từng bit. Các thuật toán loại này được gọi là
mã hóa dòng (Stream Cipher). Các thuật toán mã hoá dòng này có tốc độ nhanh hơn
các thuật toán mã hoá khối và nó thường được áp dụng khi lượng dữ liệu cần mã
hoá chưa biết trước.
Một số thuật toán nổi tiếng trong mã hoá đối xứng là: DES, Triple DES
(3DES), RC4, AES… DES là một thuật toán được sử dụng rộng rãi nhất trên thế
giới. Với thuật toán DES (Data Encryption Standard), bản rõ được mã hoá theo từng
-8-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

khối 64 bit và sử dụng một khoá có độ dài 64 bit, nhưng thực tế thì chỉ có 56 bit là
thực sự được dùng để tạo khoá, 8 bit còn lại dùng để kiểm tra tính chẵn, lẻ. Hiện tại
DES không còn được đánh giá cao do kích thước của khoá quá nhỏ (56 bit), và dễ
dàng bị phá.
Triple DES (3DES) cải thiện độ mạnh của DES bằng quá trình mã hoá và
giải mã sử dụng 3 khoá. Khối 64-bits của bản rõ sẽ được mã hoá sử dụng khoá thứ
nhất. Sau đó, dữ liệu bị mã hóa được giải mã bằng việc sử dụng một khoá thứ hai.
Cuối cùng, sử dụng khoá thứ ba để mã hoá kết quả của quá trình trước đó:
 
 

 
3 2 1

K K K
C E D E P

 
 
 
1 2 3
K K K
P D E D C

AES (Advanced Encryption Standard): được sử dụng để thay thế cho DES.
Nó hỗ trợ độ dài của khoá từ 128 bit cho đến 256 bit.
Nhận xét:
 Trong các giao dịch trên mạng, khóa K phải được truyền đi trên môi
trường này, do đó nó có thể bị lấy cắp. Để an toàn, việc bảo mật cho khóa
K cần phải được chú trọng. Thường phải dùng thêm các cơ chế và giải
thuật khác trong việc quản lý, trao đổi khóa giữa các đối tượng.
 Không thể xác thực được nguồn gốc nội dung của bản rõ cũng như không
có tính chất không thể phủ nhận của chủ thể.
 Khi số lượng khóa bí mật tăng lên, việc quản lý các khóa này trở nên
phức tạp và khó khăn khi một người phải giữ nhiều khóa bí mật để giao
dịch với nhiều đối tượng khác nhau.
Những nhược điểm trên dẫn đến hệ mật mã khóa đối xứng khó có thể áp
dụng một cách rộng rãi.
b. Các vấn đề đối với phương pháp mã hóa đối xứng
Phương mã hóa đối xứng đòi hỏi người mã hóa và người giải mã phải sử
dụng chung một khóa. Khi đó khóa phải được giữ bí mật tuyệt đối. Hệ mã hóa đối

xứng không an toàn nếu khóa bị lộ với xác suất cao. Trong hệ này, khóa phải được
gửi đi trên kênh an toàn. Vấn đề quản lý và phân phối khóa là khó khăn và phức tạp
khi sử dụng hệ mã hóa đối xứng. Người gửi và nhận phải luôn thống nhất với nhau
về khóa. Việc thay đổi khóa là rất khó và dễ bị lộ. Khuynh hướng cung cấp khoá dài
-9-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

và phải được thay đổi thường xuyên trong khi vẫn duy trì cả tính an toàn lẫn hiệu
quả chi phí sẽ cản trở rất nhiều tới việc áp dụng hệ mật mã này.
1.1.2.2. Hệ thống mật mã không đối xứng (mật mã khóa công khai)
a. Định nghĩa
Thuật toán mã hóa công khai là thuật toán được thiết kế sao cho khóa mã hóa
K khác so với khóa giải mã k và khóa giải mã không thể tính toán được từ khóa mã
hóa. Khóa mã hóa K gọi là khóa công khai (public key), khóa giải mã k được gọi là
khóa riêng (private key).

Hình 1.3. Sơ đồ hoạt động của mã hóa khóa không đối xứng
Đặc trưng nổi bật của hệ mật mã công khai là có thể gửi cả khóa công khai
và bản mã trên một kênh thông tin không an toàn.
Với hệ mật mã khóa công khai, người A sử dụng khóa công khai
B
K
do
người B tạo để mã hóa thông điệp và gửi cho người B. Do biết được khóa riêng
B
k

nên người B có thể giải mã được thông điệp đã được mã hóa. Trong trường hợp
người thứ ba có được bản mã, nếu chỉ kết hợp với thông tin về khóa công khai

B
K

đã được công bố, cũng rất khó có khả năng giải mã được bản mã này trong khoảng
thời gian chấp nhận được do không biết được khóa riêng
B
k
của B.
Khóa công khai K và khóa riêng k có quan hệ toán học với nhau theo nghĩa
từ khóa riêng có thể tính toán để suy ra được khóa công khai, nhưng để từ khóa
công khai suy ra khóa riêng sẽ rất phức tạp vì số lượng phép tính toán là rất nhiều,
dẫn đến việc giải mã không khả thi trong khoảng thời gian hợp lý (nội dung thông
tin còn có tác dụng) khi chiều dài của khóa đủ lớn.
Đây cũng là mấu chốt của vấn đề bảo mật và tấn công trong các hệ mã khóa
công khai. Đó cũng chính là vấn đề an toàn của hệ mã công khai. Nghiên cứu đưa ra
các giải pháp hỗ trợ làm tăng tính an toàn của các hệ mã này bằng cách cố gắng áp
dụng các thuật toán xử lý nhanh với số lớn. Từ đó có thể tăng chiều dài của khóa mà
vẫn đảm bảo yếu tố thời gian mã hóa và giải mã chấp nhận được.
-10-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

b. Các điều kiện của một hệ mã hóa công khai
Việc tính toán cặp khóa công khai K và bí mật k dựa trên các điều kiện ban
đầu phải thực hiện được trong khoảng thời gian hợp lý, nghĩa là thực hiện trong thời
gian đa thức.
Người gửi A có được khóa công khai K
B
của người nhận B và có bản rõ P
cần gửi đi có thể dễ dàng tạo ra được bản mã C bằng cách mã hóa

( ) ( )
B
KB
C E P E P

Công việc này cũng được thực hiện trong thời gian đa thức .
Người nhận B khi nhận được bản tin đã mã hóa C, với khóa bí mật k
B
có thể
giải mã trong thời gian đa thức.
1.2. Lý thuyết độ phức tạp
1.2.1. Khái niệm độ phức tạp của thuật toán
Khi thực hiện cùng một thuật toán trên nhiều máy tính với cấu hình khác
nhau ta sẽ thấy thời gian thực hiện thuật toán có thể khác nhau. Do đó không thể lấy
thời gian thực hiện của thuật toán trên một máy tính để đánh giá độ phức tạp của
thuật toán.
Độ phức tạp của một thuật toán được tính bằng số các phép tính cơ sở (đọc,
ghi, phép so sánh, phép cộng, ) máy tính thực hiện khi tiến hành thực hiện thuật
toán. Ngoài ra, số lượng phép tính còn phụ thuộc vào kích cỡ dữ liệu đầu vào của
thuật toán. Như vậy, độ phức tạp của thuật toán phải là một hàm số theo độ lớn của
đầu vào. Việc xác định chính xác hàm này có thể rất phức tạp, tuy nhiên khi biết cỡ
của chúng thì ta có thể có được một ước lượng chấp nhận được.
Độ phức tạp của một thuật toán thường được đo bằng số các phép tính bit.
Phép tính bit là một phép tính logic hay số học thực hiện trên các số 0 và 1. Để ước
lượng độ phức tạp của thuật toán, ta dùng khái niệm bậc O-lớn.
Định nghĩa 1.2. Giả sử
()fn
và
()gn

là hai hàm xác định trên tập hợp các
số nguyên dương. Ta nói
()fn
có bậc O-lớn của
()gn
, và viết
( ) ( ( ))f n O g n

hoặc
()f O g
, nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho với n đủ lớn ta có
0 ( ) . ( )f n C g n
.
-11-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định nghĩa 1.3. Một thuật toán được gọi là có độ phức tạp đa thức, hoặc có
thời gian đa thức, nếu số các phép tính cần thiết khi thực hiện thuật toán không vượt
quá
(log )
k
On
, trong đó n là độ lớn của đầu vào, và k là số nguyên dương nào đó.
Nói cách khác, nếu đầu vào là các số m-bit thì thời gian thực hiện thuật toán
là
()
d
Om
, tức là tương đương với một đa thức của m.

Các thuật toán với thời gian
 
, 1
n
O


, được gọi là các thuật toán với
độ phức tạp mũ, hoặc thời gian mũ.
Nếu một thuật toán có độ phức tạp
()Og
, thì cũng có thể nói nó có độ phức
tạp
()Oh
với mọi hàm
hg
. Tuy nhiên, ta luôn luôn cố gắng tìm ước lượng tốt
nhất có thể được.
Tồn tại những thuật toán có độ phức tạp trung gian giữa đa thức và mũ. Các
thuật toán đó được gọi là thuật toán dưới mũ.
Độ phức tạp không phải là tiêu chuẩn duy nhất để đánh giá thuật toán. Có
những thuật toán, về lý thuyết có độ phức tạp cao hơn một thuật toán khác, nhưng
khi sử dụng lại cho kết quả nhanh hơn.
Bảng dưới đây đưa ra các thông số về thời gian và số lượng phép toán trên
bit để thực hiện việc phân tích một số nguyên n ra thừa số nguyên tố áp dụng thuật
toán tốt nhất trên máy tính có tốc độ xử lý một triệu phép tính trên một giây:
Thuật toán này có độ phức tạp dưới mũ:
 
exp log loglognn

Số chữ số thập phân n
Số phép tính trên bit
Thời gian
50
1,4.1010
3,9 giờ
75
9,0.1012
104 ngày
100
2,3.1015
74 năm
200
1,2.1023
3,8.109 năm
300
1,5.1029
4,9.1015 năm
500
1,3.1039
4,2.1025 năm

Bảng 1.1. Thời gian phân tích số nguyên n ra thừa số nguyên tố
Với một thuật toán dưới mũ, thời gian làm việc với các số nguyên lớn vẫn
không khả thi. Do đó, với các ứng dụng xử lý số lớn, ta thường phải cố gắng biến
đổi để thu được một thuật toán có thời gian tính toán đa thức. Ý tưởng này sẽ được
-12-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

áp dụng trong phần nghiên cứu của để tài để xử lý cho các phép toán số học với số
lớn trong các hệ mã hóa công khai.
1.2.2. Các bài toán khó tính toán và ứng dụng trong mật mã học
Một hệ mật mã phải cố gắng gây khó khăn cho người giải mã khi không biết
khóa giải mã k nhưng lại dễ dàng giải mã khi biết được khóa mã hóa K.
Một hệ mật mã như vậy sẽ có một thông tin “cửa sập” bí mật được chèn thêm
vào bài toán dựa trên tính khó khăn khi thực hiện việc nghịch đảo một hàm
một chiều.
Định nghĩa 1.4. Cho các tập hữu hạn S, T. Hàm
:f S T
được gọi là hàm
một chiều (one-way function) nếu như:
 Hàm f dễ tính toán, nghĩa là
xS
có thể dễ dàng tính được
 
y f x
.
 Việc tính toán hàm ngược
1
()fy

không khả thi về mặt tính toán, nghĩa là
cho
yT
thì rất khó tính được
1
()x f y



.
Định nghĩa 1.5. Hàm một chiều cửa sập (trapdoor one-way function) là hàm
một chiều f được thêm vào thông tin cửa sập (trapdoor information) để có thể dễ
dàng tính
1
()x f y


với bất kỳ
yT
.
Ví dụ về hàm một chiều:

( , ) .f p q p q
là hàm một chiều với p, q là các số nguyên tố lớn. Như vậy,
ta có thể thực hiện phép nhân
.pq
với độ phức tạp đa thức; nhưng tính
1
()fn

lại là bài toán cực khó (bài toán phân tích ra thừa số nguyên tố - độ
phức tạp mũ).

,
( ): mod
x
gN
f x x g N
là hàm một chiều. Thực vậy, phép tính

mod
x
gN

có độ phức tạp đa thức; nhưng tính
1
()fn

lại là bài toán cực khó (bài toán
logarit rời rạc).

,
( ): mod
x
kN
f x x x N
là hàm một chiều, với
.N p q
, p và q là các số
nguyên tố lớn. Phép tính
mod
k
xN
có độ phức tạp đa thức, nhưng tính
1
f


lại cực khó. Tuy nhiên, nếu biết
'k

sao cho
 
 
. ' 1 mod k k N


, có thể dễ
dàng tính được
1
f

từ công thức
( ) 'xk k x
. (
 
n

là hàm Euler, số các số
tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n và là số nguyên tố tương đối với n.)
-13-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1.3. Hệ mật mã khóa công khai
Vào năm 1976, các nhà khoa học Whitfield Diffie, Martin Hellman và Ralph
Merkle tại Đại học Stanford giới thiệu ý tưởng về hệ thống mật mã khóa công khai
nhằm khắc phục các nhược điểm của hệ thống mật mã khoá đối xứng. Năm 1977
nhóm tác giả Ronald Rivest, Adi Shamir và Leonard Adleman đã công bố phương
pháp RSA, phương pháp mã hóa khóa công khai. RSA hiện được sử dụng rất nhiều
trong các ứng dụng mã hóa và bảo mật thông tin. RSA nhanh chóng trở thành chuẩn

mã hóa khóa công khai trên toàn thế giới do tính an toàn và khả năng ứng dụng
của nó.
Độ an toàn của hệ thống mật mã mới này, không phải được đo bằng độ phức
tạp của các thuật toán mã hóa, mà nó dựa vào một khám phá mới vô cùng quan
trọng trong ngành khoa học máy tính, đó là lý thuyết độ phức tạp tính toán: Chủ yếu
đề cập đến sự phân tích các thuật toán và đặc biệt là số các bước tính toán cần thiết
để phát hiện khóa bí mật. Từ đó xác định độ an toàn của bất kỳ hệ mật mã khóa
công khai nào.
Một hệ thống mật mã khóa công khai sử dụng hai loại khóa trong cùng một
cặp khóa: Khoá công khai (public key) được công bố rộng rãi và sử dụng trong mã
hóa thông tin, khóa riêng (private key) sử dụng để giải mã thông tin đã được mã hóa
bằng khóa công khai. Các phương pháp mã hóa này khai thác những ánh xạ
f
mà
việc thực hiện ánh xạ ngược
1
f

rất khó so với việc thực hiện ánh xạ
f
.
Chỉ khi biết được khóa riêng thì mới có thể thực hiện được ánh xạ
1
f

.
1.3.1. Các quan điểm cơ bản của hệ mật mã khoá công khai
‒ Hệ mật mã khoá công khai dựa trên quan điểm hàm một chiều (one-way
function) và khoá công khai, để biến đổi một bản rõ thành bản mã với thời gian tính
toán hợp lý. Nhưng nếu muốn tính ngược lại (inverse function) thì phải mất nhiều

thời gian và khó thực hiện được. Vì vậy, việc thám mã rất khó có thể tính toán để
thu được bản rõ từ bản mã lấy được.
‒ Một quan điểm khác dùng trong hệ mật mã khoá công khai là thông tin
“cửa sập” (trap door) mà hàm một chiều phải có. Thông tin bí mật (khoá riêng) chỉ
được đưa vào bởi người sở hữu cặp khóa. Khi có được thông tin “cửa sập” thì công
việc giải mã sẽ trở nên dễ dàng.
-14-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

‒ Các hệ mật mã khóa công khai được xây dựng dựa trên những bài toán
khó như: bài toán logarit rời rạc trong trường hữu hạn
p
Z
(hệ ElGamal) và bài toán
phân tích một số nguyên lớn ra các thừa số nguyên tố (hệ RSA).
1.3.3. Hoạt động của hệ mật mã khóa công khai
Đối với hệ thống mã hóa khóa công khai: Mỗi người sử dụng phải tạo riêng
cho mình một cặp khóa. Trong đó, một khóa công khai (public key) cùng với thuật
toán mã hóa E, được công bố rộng rãi tại thư mục dùng chung cho mọi người sử
dụng. Còn lại là khóa riêng (private key) cùng với thuật toán giải mã D được giữ bí
mật bởi người sử dụng.
Như vậy, khi người A muốn gửi thông điệp R đến cho người B:
Giả sử: Khóa công khai của B là:
B
K
, khóa riêng của B là:
B
k

Khóa công khai của A là:
A
K
, Khóa riêng của A là:
A
k

Thuật toán mã hóa: E , thuật toán giải mã: D
A tìm khóa công khai
B
K
của B trong thư mục dùng chung và tính
( , )
B
C E K R
, sau đó gửi bản mã C cho B. Khi nhận bản mã C, B sẽ giải mã dựa
vào khóa riêng
B
k
của mình để tính
( , )
B
R D k C
.
1.3.4. Các yêu cầu của hệ mật mã khóa công khai
Thông qua từng lĩnh vực ứng dụng cụ thể mà người gửi sử dụng khóa bí mật
của mình, khóa công khai của người nhận hoặc cả hai để hình thành một số các ứng
dụng phù hợp như sau:
‒ Tính mật: Người gửi A thực hiện mã hóa thông điệp
P

bằng khóa công
khai
B
K
của người nhận B:
( , )
B
C E K P
. Còn người nhận giải mã bằng khóa
riêng
B
k
của mình:
( , )
B
P D k C
. Vậy, có duy nhất người B mới giải mã được
thông điệp, điều này gọi là tính mật của hệ.
‒ Tính xác thực: Người gửi A thực hiện mã hóa một thông điệp
P
bằng
khóa riêng
A
k
:
( , )
A
C E k P
. Người nhận B giải mã bằng khóa công khai
A

K
của
người gửi A:
( , )
A
P D K C
. Như vậy chỉ có duy nhất A là người có khóa riêng để
mã hóa, cho nên thông điệp nhận được là của A, điều này gọi là tính xác thực của
hệ.
-15-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

‒ Tính mật và xác thực: Người gửi A thực hiện mã hoá thông điệp hai lần, lần
thứ nhất sử dụng khóa bí mật
A
k
của mình:
( , )
A
E k P
, lần thứ hai sử dụng khóa công
khai
B
K
của người nhận B:
( , ( , ))
BA
C E K E k P
. Khi nhận bản mã, người nhận B

cũng thực hiện giải mã hai lần, lần đầu tiên dùng khóa riêng
B
k
của mình
( , )
B
D k C
,
sau đó dùng khóa công khai
A
K
của người gửi A:
( , ( , ))
AB
P D K D k C
. Như vậy
chỉ người gửi mới có khóa riêng để mã hoá và cũng chỉ người nhận mới có khóa
riêng để giải mã, đây chính là tính mật và tính xác thực của hệ.
1.4. Độ an toàn của hệ mật mã
Có hai quan điểm cơ bản về độ an toàn của một hệ mật mã.
Độ an toàn tính toán: Độ an toàn này liên quan đến những nỗ lực tính toán
cần thiết để phá một hệ mật mã. Một hệ mật là an toàn về mặt tính toán nếu có một
thuật toán tốt nhất để phá nó cần ít nhất N phép toán, trong đó N là số rất lớn nào
đó. Tuy nhiên không có một hệ mật thực tế đã biết nào có thể được chứng tỏ là an
toàn theo định nghĩa này. Trên thực tế, người ta gọi một hệ mật là "an toàn về mặt
tính toán" nếu có một phương pháp tốt nhất phá hệ này nhưng yêu cầu thời gian lớn
đến mức không chấp nhận được.
Một quan điểm chứng minh về độ an toàn tính toán là quy độ an toàn của
một hệ mật mã về một bài toán đã được nghiên cứu kỹ và bài toán này được coi là
khó. Ví dụ, ta có thể chứng minh một khẳng định có dạng " Một hệ mật đã cho là an

toàn nếu không thể phân tích ra thừa số một số nguyên n cho trước". Các hệ mật
loại này đôi khi gọi là " an toàn chứng minh được". Tuy nhiên quan điểm này chỉ
cung cấp một chứng minh về độ an toàn có liên quan đế một bài toán khác chứ
không phải là một chứng minh hoàn chỉnh về độ an toàn. (Tình hình này cũng tương
tự như việc chứng minh một bài toán là NP đầy đủ: Có thể chứng tỏ bài toán đã cho
chí ít cũng khó như một bài toán NP đầy đủ khác, song không phải là một chứng
minh hoàn chỉnh về độ khó tính toán của bài toán.)
Độ an toàn không điều kiện: Độ đo này liên quan đến độ an toàn của các hệ
mật mã khi không có một hạn chế nào được đặt ra về khối lượng tính toán được
phép thực hiện. Một hệ mật được gọi là an toàn không điều kiện nếu nó không thể
bị phá thậm chí với khả năng tính toán không hạn chế. Độ an toàn không điều kiện
của một hệ mật không thể được nghiên cứu theo quan điểm độ phức tạp tính toán vì
thời gian tính toán cho phép không hạn chế.
-16-

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Giả sử rằng khóa được chọn trước khi biết bản rõ và một khoá cụ thể chỉ
dùng cho một bản mã. Ngoài ra giả sử có một phân bố xác suất trên không gian bản
rõ P. Ký hiệu xác suất tiên nghiệm để bản rõ xuất hiện là
()QP
. Cũng giả sử rằng,
khóa K được chọn theo một phân bố xác suất xác định nào đó. (Thông thường khoá
được chọn ngẫu nhiên, bởi vậy tất cả các khoá sẽ đồng khả năng.) Ký hiệu xác suất
để khóa K được chọn là
()RK
. Khi đó khoá K và bản rõ P là các sự kiện độc lập.
Hai phân bố xác suất Q và R trên P và K sẽ tạo ra một phân bố xác suất V
trên C. Giả sử rằng
( ) 0VC

với mọi CC (nếu
( ) 0VC
thì bản mã sẽ không
được dùng và có thể loại khỏi C). Từ đó ta tính được xác suất có điều kiện xuất hiện
bản rõ P với điều kiện bản mã C là
( | )W P C
.
Định nghĩa 1.6. Một hệ mật mã có độ mật hoàn thiện nếu
( | ) ( )W P C Q P

với mọi PP , CC, tức xác suất hậu nghiệm có bản rõ là P với điều kiện đã thu
được bản mã C là đồng nhất với xác suất tiên nghiệm để bản rõ là P.
Ta có định lý sau đây [3]:
Định lý 1.1 Giả sử (P,C,K,E,D) là một hệ mật mã với K = C = P. Khi đó,
hệ mật có độ mật hoàn thiện khi và mỗi khi khoá K được dùng với xác suất như
nhau bằng 1/K, và mỗi PP, mỗi CC có một khoá duy nhất K sao cho
()
K
E P C
.
1.2. Chữ ký số
1.2.1. Giới thiệu về chữ ký số
Chữ ký số là một bộ phận dữ liệu không thể giả mạo, để xác nhận một người
đã viết ra hoặc đồng ý với một tài liệu mà chữ ký đó được gắn vào. Chữ ký số sử
dụng công nghệ mã hoá trên nền tảng khoá công khai, để bảo đảm tính đúng đắn
tính toàn vẹn về nội dung của một dữ liệu hoặc một thông điệp điện tử và những
yêu cầu khác đối với các mục đích của một chữ ký.
Chữ ký số có các tính chất sau:
- Xác thực: người nhận kiểm tra được việc người gửi đã kí vào tài liệu.
- Không thể giả mạo được: chữ ký số xác nhận với người nhận tài liệu là không

ai khác ngoài người kí đã kí tài liệu đó.
- Không thể dùng lại được: chữ ký số có kèm theo nội dung và thời gian gắn