Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng và ánh xạ giả co chặt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
PHẠM THỊ LINH
PHƯƠNG PHÁP DƯỚI ĐẠO HÀM
CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG
VÀ ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT
Chuyên nghành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. PHẠM NGỌC ANH
Thái Nguyên - 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Những kí hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số Khái niệm Cơ bản 2
1.1. Tập lồi và các phép toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Ánh xạ giả co chặt và các tính chất . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. Phương pháp dưới đạo hàm cho bài toán cân
bằng và ánh xạ giả co chặt 20
2.1. Cách tiếp cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Thuật toán 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Định lý hội tụ mạnh 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 3. Ứng dụng của phương pháp dưới đạo hàm cho
bài toán cân bằng 32

3.1. Thuật toán 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Định lý hội tụ mạnh 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3. Ví dụ minh họa và các kết quả tính toán . . . . . . . . . 37
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy
PGS.TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông),
thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt
thời gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng
dạy lớp Cao học Toán K4C, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệp
đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học
tập và nghiên cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người
thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao
học và viết luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Phạm Thị Linh
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
Những ký hiệu và chữ viết tắt

R : Tập hợp các số thực
R
+
: Tập hợp các số thực không âm
R
n
: Không gian số thực n - chiều
R
n
+
: Không gian số thực không âm n - chiều
x ∈ C : x thuộc tập C
x ∈ C : x không thuộc tập C
∀x : Với mọi x
∃x : Tồn tại x
∅ : Tập hợp rỗng
∩ : Phép giao các tập hợp
∪ : Phép hợp các tập hợp
x := y : x được định nghĩa bằng y
x, y : Tích vô hướng của x và y
x
k
 x : Dãy

x
k

hội tụ yếu tới x
x
k

→ x : Dãy

x
k

hội tụ mạnh tới x
I : Ánh xạ đồng nhất
x : Chuẩn của véc tơ x
[x, y] : Đoạn thẳng nối hai điểm x và y
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Lời nói đầu
Bài toán cân bằng được mô tả dưới dạng một bất đẳng thức, gọi là
bất đẳng thức Ky Fan, lần đầu được áp dụng để nghiên cứu các mô hình
cân bằng kinh tế theo khái niệm cân bằng do J. Nash, nhà toán học Mỹ
đoạt giải Nobel kinh tế trong những công trình nghiên cứu về cân bằng
đưa ra vào năm 1994. Về mặt lý thuyết, như sự tồn tại nghiệm, nhiều
kết quả quan trọng đã đạt được cho bài toán cân bằng tổng quát trên
các không gian trừu tượng. Tuy nhiên, về mặt thuật toán và các ứng
dụng, các kết quả còn hạn chế.
Luận văn này trình bày một số thuật toán để giải bài toán tìm nghiệm
chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập các điểm bất động
của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt. Luận văn gồm mục lục, ba
chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1 sẽ nhắc lại các kiến thức cơ bản nhất của tập lồi và hàm
lồi, mà các kết quả này sẽ được sử dụng ở các chương sau. Phần cuối của
chương sẽ giới thiệu về bài toán cân bằng, một số ví dụ và cuối cùng sẽ
trình bày về ánh xạ giả co chặt, phép chiếu trực giao với các tính chất.
Chương 2 sẽ trình bày thuật toán để giải bài toán tìm nghiệm chung
của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập các điểm bất động của

một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt với định lý hội tụ mạnh.
Chương 3 là phần ứng dụng. Phần này trình bày về việc áp dụng
thuật toán để giải một số bài toán cân bằng với các kết quả tính toán
cụ thể. Đây cũng là những đóng góp mới được ứng dụng để giải bài toán
cân bằng thông qua sự gắn kết giữa phương pháp dưới đạo hàm và các
kỹ thuật điểm bất động.
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
Chương 1
Một số Khái niệm Cơ bản
Trong luận văn này, ta xét bài toán cân bằng và bài toán điểm bất
động của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trên không gian Hilbert
thực H. Dưới đây, ta nhắc lại một số khái niệm và các tính chất cơ bản
của giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, và một số kiến
thức liên quan đến bài toán cân bằng, ánh xạ giả co chặt, phép chiếu
trực giao cùng với các tính chất tương ứng. Các kiến thức trong chương
này được lấy chủ yếu từ các tài liệu [1],[3],[5],[6].
1.1. Tập lồi và các phép toán cơ bản
Định nghĩa 1.1. Cho C là tập con, khác rỗng của không gian Hilbert
thực H. Tập C được gọi là lồi (convex) nếu với mọi x, y ∈ C và λ ∈
[0, 1] , ta có
λx + (1 − λ) y ∈ C.
Đặc biệt, H và ∅ là các tập lồi.
Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Các tam giác và hình
tròn trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian
Banach là tập lồi
Định nghĩa 1.2. Một tập hợp là giao của một số hữu hạn các nửa không
gian đóng gọi là tập lồi đa diện (polyhedral convex set) hay khúc lồi.
Định nghĩa 1.3. Tập con C khác rỗng trong không gian Hilbert thực H
được gọi là nón (cone) nếu

λx ∈ C, ∀ x ∈ C, ∀λ > 0.
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Tập con C khác rỗng trong không gian Hilbert thực H được gọi là nón
lồi nếu nó vừa là nón vừa là lồi. Điều đó có nghĩa là
λx + µy ∈ C, ∀ x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0.
Ví dụ 1.2. Tập R
n
+
là nón lồi trong R
n
.
Định nghĩa 1.4. Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊆ H lồi, khác
rỗng và điểm x
∗
∈ C. Khi đó, nón pháp tuyến ngoài của C tại x
∗
(hay
còn gọi là nón lồi đóng), kí hiệu N
C
(x
∗
) , được xác định bởi
N
C
(x
∗
) : = {p ∈ H : p, x − x
∗
  0, ∀x ∈ C} .

1.2. Hàm lồi
Định nghĩa 1.5. Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊆ H và hàm
f : C → R ∪ {+∞, −∞}. Khi đó, các tập hợp
dom f : = {x ∈ C : f (x) < +∞} ,
epif : = {(x, α) ∈ C × R : f (x)  α} ,
tương ứng, được gọi là miền hữu hiệu (effective domain) và trên đồ thị
(epigraph) của f.
Hàm f được gọi là chính thường (proper) trên C nếu
dom f = ∅, f (x) > −∞, ∀ x ∈ C.
Định nghĩa 1.6. Cho không gian Hilbert thực H và tập C ⊆ H. Hàm
f : C → R ∪ {+∞, −∞} được gọi là lồi (convex) trên C nếu trên đồ thị
của nó là tập con lồi của H × R. Hàm f được gọi là lõm (concave) nếu
−f là lồi.
Bổ đề 1.1. Cho không gian Hilbert thực H và tập C ⊆ H. Nếu hàm
f : C → R ∪ {+∞, −∞} lồi trên C thì miền hữu hiệu của f là tập lồi.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Mệnh đề 1.1. Cho không gian Hilbert thực H và tập C ⊆ H. Khi đó,
hàm f : C → R ∪ {+∞} được gọi là lồi trên C nếu và chỉ nếu với mọi
x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] , ta có
f (λx + (1 − λ) y)  λf(x) + (1 − λ) f(y).
Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi, không mất tính tổng quát có thể coi
λ ∈ (0, 1). Không thể xảy ra trường hợp f (x) < +∞, f (y) < +∞ mà
f (λx + (1 − λ) y) = +∞, bởi vì dom f lồi. Hơn nữa, với mọi x, y ∈ dom f,
thì [x, y] ⊂ dom f. Vì λ ∈ (0, 1) nên f (x) = +∞, suy ra λf (x) = +∞.
Nếu x hoặc y /∈ dom f thì f (x) = +∞ hoặc f (y) = +∞.
Mặt khác, vì epi f lồi nên với mọi (x, α) , (y, β) ∈ epif, λ ∈ (0, 1) , ta có
λ (x, α) + (1 − λ) (y, β) = (λx + (1 − λ) y, λα + (1 − λ) β) ∈ epi f
⇒ f (λx + (1 − λ) y)  λα + (1 − λ) β
⇒ f (λx + (1 − λ) y)  λf (x) + (1 − λ) f (y)

(lấy α = f (x) , β = f (y)).
Ngược lại, giả sử với mọi x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] , ta có
f (λx + (1 − λ) y)  λf(x) + (1 − λ) f(y).
Lấy (x, α) , (y, β) ∈ epif, λ ∈ [0, 1] , ta có
f (λx + (1 − λ) y)  λf (x) + (1 − λ) f (y)  λα + (1 − λ) β
⇒ (λx + (1 − λ) y, λα + (1 − λ) β) ∈ epi f
⇔ λ (x, α) + (1 − λ) (y, β) ∈ epi f.
Ví dụ 1.3. Cho C là tập con lồi, khác rỗng của không gian Hilbert thực
H. Khi đó, hàm chỉ (indicator funtion) trên C
δ
C
(x) =

0 nếu x ∈ C;
+∞ nếu x /∈ C;
là một hàm lồi.
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Định nghĩa 1.7. Cho không gian Hilbert thực H và tập C ⊆ H. Hàm
f : C → R ∪ {+∞} được gọi là lồi chặt (strict convex) trên C nếu với
mọi x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1) , ta có
f (λx + (1 − λ) y) < λf(x) + (1 − λ) f(y).
Ví dụ 1.4. Cho không gian Hilbert thực H. Khi đó, với mọi x ∈ H hàm
x
2
= x, x
là một hàm lồi chặt trên H.
Định nghĩa 1.8. Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊆ H và hàm
lồi f : C → R ∪ {+∞} . Khi đó, dưới vi phân (subdifferential) của f tại
x

∗
, ký hiệu là ∂f (x
∗
), được xác định bởi
∂f (x
∗
) : = {p ∈ H : f(x) − f(x
∗
)  p, x − x
∗
 , ∀x ∈ C} .
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân (subdifferentiable) trên C nếu
∂f (x) = ∅, ∀ x ∈ C.
Ví dụ 1.5. (Dưới vi phân của hàm chỉ)
Cho C là tập con lồi, khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Xét hàm
chỉ trên C
δ
C
(x) =

0 nếu x ∈ C;
+∞ nếu x /∈ C.
Khi đó,
∂δ
C
(x
∗
) = N
C
(x

∗
) , ∀x
∗
∈ C.
Chứng minh. Nếu x
∗
∈ C thì ∂δ
C
(x
∗
) = 0 và
∂δ
C
(x
∗
) = {p ∈ H : ∂δ
C
(x)  p, x − x
∗
 , ∀x ∈ C} .
= {p ∈ H : 0  p, x − x
∗
 , ∀x ∈ C}
= N
C
(x
∗
) .
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6

Ví dụ 1.6. (Dưới vi phân của hàm lồi thuần nhất dương)
Cho f : R
n
→ R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là hàm lồi f thỏa mãn
f (λx) = λf (x) , ∀λ > 0, ∀x ∈ R
n
.
Khi đó,
∂f (x
∗
) = {p ∈ R
n
: p, x
∗
 = f (x
∗
) , p, x  f (x) , ∀x ∈ C} .
Chứng minh. Nếu p ∈ ∂f (x
∗
) thì
p, x − x
∗
  f (x) − f (x
∗
) , ∀x ∈ C. (1.1)
Thay x = 2x
∗
vào (1.1), ta có
p, x
∗

  f (x
∗
) . (1.2)
Thay x = 0 vào (1.1), ta nhận được
− p, x
∗
  −f (x
∗
) . (1.3)
Kết hợp (1.2) và (1.3), ta có p, x
∗
 = f (x
∗
) .
Hơn nữa,
p, x − x
∗
 = p, x − p, x
∗

= p, x − f (x
∗
) .
Do đó p, x  f (x) , ∀x ∈ C.
Ngược lại, nếu x
∗
∈ R
n
thỏa mãn
p, x

∗
 = f (x
∗
) và p, x  f (x) , ∀x ∈ C
thì
p, x − x
∗
 = p, x − p, x
∗

 f (x) − f (x
∗
) , ∀x ∈ C.
Vậy p ∈ ∂f (x
∗
).
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Định nghĩa 1.9. Cho không gian Hilbert thực H, hàm f : H → R bất
kỳ và tập C ⊂ H khác rỗng, tùy ý. Điểm x
∗
∈ C ∩ dom f được gọi là
(i) cực tiểu địa phương (local minimizer) của f(x) trên C nếu tồn tại
lân cận U(x
∗
) của x
∗
sao cho
−∞ < f(x
∗

)  f(x), ∀x ∈ C ∩ U(x
∗
);
(ii) cực tiểu toàn cục (global minimizer) của f(x) trên C nếu
−∞ < f(x
∗
)  f(x), ∀x ∈ C.
Tập tất cả các điểm cực tiểu toàn cục của f(x) trên C kí hiệu là
argmin {f (x) : x ∈ C} .
Định lý 1.1. Cho C là tập lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H và hàm lồi f : H → R. Khi đó, mọi cực tiểu địa phương của f trên
C cũng là cực tiểu toàn cục.
Chứng minh. Giả sử x
∗
là điểm cực tiểu địa phương của f(x) trên C.
Khi đó, theo định nghĩa điểm cực tiểu địa phương sẽ tồn tại một lân cận
U(x
∗
) của x
∗
sao cho
−∞ < f(x
∗
)  f(x), ∀x ∈ C ∩ U(x
∗
).
Lấy x bất kỳ thuộc C, ta có
x
λ
:= (1 − λ) x

∗
+ λx ∈ C ∩ U (x
∗
), với λ > 0 đủ nhỏ.
Do đó,
f (x
∗
)  f (x
λ
)  (1 − λ) f (x
∗
) + λf (x) ⇒ f (x
∗
)  f (x) .
Vậy x
∗
cũng là điểm cực tiểu toàn cục của f(x) trên C.
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Định lý 1.2. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian
Hilbert thực H và hàm f : C → R lồi, khả dưới vi phân trên C. Khi đó,
điều kiện cần và đủ để điểm x
∗
∈ C là cực tiểu của f trên C là
0 ∈ ∂f (x
∗
) + N
C
(x
∗

) ,
trong đó, ∂f (x
∗
) là ký hiệu dưới vi phân của hàm f tại x
∗
còn N
C
(x
∗
)
là ký hiệu của nón pháp tuyến ngoài của C tại x
∗
.
1.3. Bài toán cân bằng
Phát biểu bài toán
Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực
H và song hàm f : C × C → R sao cho f (x, x) = 0, ∀ x ∈ C. Bài toán
cân bằng, viết tắt là EP (f, C), được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho f (x
∗
, y)  0, ∀ y ∈ C.
Ký hiệu tập nghiệm của bài toán EP (f, C) là Sol(f, C).
Cho ánh xạ F : C → H, ta định nghĩa
f (x, y) : = F (x) , y − x , ∀x, y ∈ C.
Khi đó, bài toán EP (f, C) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân:
Tìm x
∗
∈ C sao cho F (x

∗
) , y − x
∗
  0, ∀y ∈ C.
Ví dụ 1.7. Bài toán cân bằng Nash
Có n hãng cùng tham gia sản xuất một loại sản phẩm thuần nhất với
giá p
i
của hãng i = 1, 2 , n phụ thuộc vào tổng số lượng sản phẩm của
tất cả các hãng σ
x
=
n

i=1
x
i
, trong đó x
i
(i = 1, 2 , n) là số lượng sản
phẩm mà hãng i định sản xuất. Ký hiệu h
i
(x
i
) là chi phí của hãng i khi
sản xuất x
i
sản phẩm. Khi đó, hàm lợi nhuận của hãng i được xác định
bởi
f

i
(x
1
, x
2
, , x
n
) := x
i
p
i
(σ
x
) − h
i
(x
i
) , i = 1, 2, , n.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Gọi C
i
:= {x ∈ R |x  0} , i = 1, 2, , n là tập chiến lược của hãng i.
Điểm x
∗
= (x
∗
1
, x
∗

2
, , x
∗
n
) ∈ C
1
× C
2
× × C
n
được gọi là điểm cân bằng
Nash nếu
f
i
(x
∗
1
, , x
∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
)  f
i

(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) , ∀y
i
∈ C
i
, ∀i = 1, 2, , n.
Về mặt kinh tế, điểm cân bằng Nash nói lên rằng bất kỳ hãng nào
chọn phương án sản xuất ra khỏi điểm cân bằng, trong khi các hãng còn
lại vẫn giữ phương án sản xuất tại điểm cân bằng thì hãng thay đổi sẽ
bị thiệt hơn.
Nếu đặt C := C
1
× C
2
× × C
n
và hàm f : C × C → R được xác
định bởi
f (x, y) =
n

i=1

[f
i
(x
1
, x
2
, , x
n
) − f
i
(x
1
, , x
i−1
, y
i
, x
i+1
, , x
n
)]
thì bài toán cân bằng Nash tương đương với bài toán EP (f, C).
Chứng minh. Giả sử x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán EP (f, C), ta có
f (x
∗
, y)  0, ∀y ∈ C
⇔
n


i=1
[f
i
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) − f
i
(x
∗
1
, , x
∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
)]  0, ∀y ∈ C.

Chọn y = (y
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) , ta có
f
1
(y
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
)  f
1
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n

) .
Chọn y =

x
∗
1
, , x
∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n

, i = 2, 3 , n − 1, ta có
f
i
(x
∗
1
, , x
∗
i−1
, y
i
, x

∗
i+1
, , x
∗
n
)  f
i
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) .
Chọn y = (x
∗
1
, , x
∗
n−1
, y
n
) , ta có
f
1
(x
∗

1
, , x
∗
n−1
, y
n
)  f
1
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) .
Vậy x
∗
là nghiệm của bài toán cân bằng Nash.
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Ngược lại, nếu x
∗
là nghiệm của bài toán cân bằng Nash thì
f
i
(x
∗

1
, x
∗
2
, , x
∗
n
)  f
i
(x
∗
1
, , x
∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
) , ∀y
i
∈ C
i
, i = 1, 2, , n
⇔
n


i=1
[f
i
(x
∗
1
, x
∗
2
, , x
∗
n
) − f
i
(x
∗
1
, , x
∗
i−1
, y
i
, x
∗
i+1
, , x
∗
n
)]  0, ∀y ∈ C

⇔ f (x
∗
, y)  0, ∀y ∈ C
Vậy x
∗
là nghiện của bài toán EP (f, C).
Ví dụ 1.8. Bài toán bù phi tuyến
Cho C ⊂ R
n
là nón lồi đóng,
C
∗
= {x ∈ R
n
: x, y  0, ∀y ∈ C}
là nón đối ngẫu của nón C và ánh xạ liên tục S : C → R
n
. Khi đó, bài
toán bù phi tuyến được phát biểu như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho S (x
∗
) ∈ C
∗
và S (x
∗
) , x
∗
 = 0

Nếu đặt
f (x, y) := S (x) , y − x , ∀x, y ∈ C
thì bài toán bù phi tuyến tương đương với bài toán EP (f, C).
Chứng minh. Giả sử x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán bù phi tuyến, ta có
S (x
∗
) ∈ C
∗
và S (x
∗
) , x
∗
 = 0.
Mặt khác, theo cách đặt, ta có
f (x
∗
, y) = S (x
∗
) , y − x
∗

= S (x
∗
) , y − S (x
∗
) , x
∗


= S (x
∗
) , y  0, ∀y ∈ C.
Vậy x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán EP (f, C).
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Ngược lại, nếu x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán EP (f, C) thì
f (x
∗
, y)  0, ∀y ∈ C
⇔ S (x
∗
) , y − x
∗
  0, ∀y ∈ C.
Vì C là nón nên 0 ∈ C và 2x
∗
∈ C. Từ bất đẳng thức trên, ta thấy
+ nếu lấy y = 0 ∈ C thì S (x
∗
) , −x
∗
  0 ⇔ S (x
∗
) , x
∗

  0;
+ nếu lấy y = 2x
∗
∈ C thì S (x
∗
) , 2x
∗
− x
∗
 = S (x
∗
) , x
∗
  0.
Kết hợp hai điều trên, ta có S(x
∗
) , x
∗
 = 0. Hơn nữa, vì
0  S (x
∗
) , y − x
∗

= S (x
∗
) , y − S (x
∗
) , x
∗


= S (x
∗
) , y , ∀y ∈ C
nên S (x
∗
) ∈ C
∗
. Vậy x
∗
∈ C là nghiệm của bài toán bù phi tuyến.
Ví dụ 1.9. Bài toán điểm yên ngựa
Cho C
1
, C
2
⊂ C và hàm ϕ : C
1
× C
2
→ R. Điểm (x
∗
1
, x
∗
2
) ∈ C
1
× C
2

được
gọi là điểm yên ngựa của hàm ϕ nếu
ϕ (x
∗
1
, y
2
)  ϕ (x
∗
1
, x
∗
2
)  ϕ (y
1
, x
∗
2
) , ∀ (y
1
, y
2
) ∈ C
1
× C
2
.
Xét ánh xạ f : C
1
× C

2
→ R, được xác định bởi
f (x, y) = ϕ (y
1
, x
2
) − ϕ (x
1
, y
2
) ,
trong đó x = (x
1
, x
2
) , y = (y
1
, y
2
). Đặt C := C
1
× C
2
, điểm x
∗
∈ C được
là nghiệm của bài toán điểm yên ngựa nếu và chỉ nếu
f (x
∗
, y)  0, ∀y ∈ C.

Tức x
∗
là nghiệm của bài toán EP (f, C).
Định nghĩa 1.10. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Song hàm f : C × C → R được gọi là
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
(i) đơn điệu (monotone) trên C nếu
f (x, y) + f (y, x)  0, ∀x, y ∈ C;
(ii) giả đơn điệu (pseudo-monotone) trên C nếu
f (x, y)  0 ⇒ f (y, x)  0, ∀x, y ∈ C;
(iii) liên tục kiểu Lipschitz trên C với hai hằng số c
1
, c
2
> 0 nếu
f (x, y) + f (y, z)  f (x, z) − c
1
x − y
2
− c
2
y − z
2
, ∀x, y, z ∈ C.
Ví dụ 1.10. Song hàm
f : R
+
× R
+

→ R
(x, y) → f (x, y) = −x
2
+ xy
đơn điệu và giả đơn điệu trên R
+
.
Ví dụ 1.11. Xét tập lồi đa diện
C := {x ∈ R
n
, Ax  b}
và song hàm f : C × C → R ∪ {+∞} có dạng
f (x, y) = Mx + By, y − x
trong đó các ma trận M, B ∈ R
n×n
được chọn sao cho B là ma trận đối
xứng, nửa xác định dương và B − M nửa xác định âm [4]. Khi đó, song
hàm f sẽ liên tục kiểu Lipschitz trên C với hai hằng số c
1
= c
2
=
B−M 
2
.
1.4. Ánh xạ giả co chặt và các tính chất
Định nghĩa 1.11. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Ánh xạ S : C → C được gọi là
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13

(i) giả co chặt (strict pseudocontraction) trên C nếu tồn tại L ∈ [0, 1)
sao cho với mọi x, y ∈ C, ta có
S (x) − S (y)
2
 x − y
2
+ L(I − S) (x) − (I − S) (y)
2
,
trong đó, I là ánh xạ đồng nhất trong không gian Hilbert thực H;
(ii) tựa giả co chặt (quasi-strict pseudocontraction) trên C nếu tập các
điểm bất động của S, kí hiệu Fix (S), khác rỗng và tồn tại L ∈ [0, 1)
sao cho
S (x) − p
2
 x − p
2
+ Lx − S (x)
2
, ∀x ∈ C, p ∈ Fix (S) .
Nếu L = 0, trong (i), thì S được gọi là ánh xạ không giãn (nonex-
pansive mapping) trên C.
Ví dụ 1.12. Ánh xạ S : [−9, 3] → [−9, 3] được xác định bởi
S (x) =

x nếu x ∈ [−9, 0) ;
−3x nếu x ∈ [0, 3] ;
giả co chặt trên [−9, 3].
Định nghĩa 1.12. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Phép chiếu trực giao của H trên C tại x ∈ H, ký hiệu

P r
C
(x), được xác định bởi
P r
C
(x) = argmin {x − y : y ∈ C} .
Bổ đề 1.2. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert
thực H, điểm x ∈ H và z ∈ C. Khi đó, ta thấy z = Pr
C
(x) nếu và chỉ
nếu
x − z, y − z  0, ∀y ∈ C.
Mệnh đề 1.2. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Khi đó, ta thấy nếu z = P r
C
(x) thì
x − z
2
+ y − z
2
 x − y
2
, ∀x ∈ H, y ∈ C.
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Định nghĩa 1.13. Cho không gian Hilbert thực H, tập C ⊂ H và dãy

x
k


⊂ C. Ánh xạ S : C → H được gọi là
(i) nửa đóng (demiclosed) tại điểm p nếu x
k
 x và S

x
k

→ p thì
S (x) = p;
(ii) liên tục yếu nếu x
k
 x thì S

x
k

 S (x).
Bổ đề 1.3. Cho H là không gian Hilbert thực, ta có
(i) x − y
2
= x
2
− y
2
− 2 x − y, y , ∀x, y ∈ H;
(ii) tx + (1 − t) y
2
= tx
2

+ (1 − t) y
2
− t (1 − t) x − y 
2
,
∀t ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ H;
(iii) nếu x
k
 x, trong đó

x
k

là dãy trong H, thì
lim
k→∞
sup


x
k
− y


2
= lim
k→∞
sup



x
k
− x


2
+ x − y
2
, ∀y ∈ H.
Mệnh đề 1.3. Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H và ánh xạ S : C → C giả co chặt trên C với L ∈ [0, 1).
Với mỗi i = 1, , p, các ánh xạ S
i
: C → C giả co chặt trên C với
L
i
∈ [0, 1). Khi đó,
(i) S thoả mãn điều kiện Lipschitz
S (x) − S (y) 
1 + L
1 − L
x − y , ∀x, y ∈ C;
(ii) I − S là nửa đóng tại điểm 0. Điều đó có nghĩa là nếu x
k
 x và
(I − S)(x
k
) → 0 thì (I − S)(x) → 0, trong đó

x

k

là dãy trong C;
(iii) nếu S là ánh xạ tựa giả co chặt trên C với L ∈ [0, 1) thì tập các
điểm bất động của S đóng và lồi;
(iv) nếu λ
i
> 0 (i = 1, 2 , p) và
p

i=1
λ
i
= 1 thì ánh xạ
p

i=1
λ
i
S
i
giả co
chặt trên C với L : = max {L
i
, 1  i  p};
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
(v) nếu λ
i
được chọn từ (iv) và họ các ánh xạ {S

i
: i = 1, 2, , p} có
một điểm bất động chung thì
F ix

p

i=1
λ
i
S
i

= ∩
p
i=1
F ix (S
i
) .
Chú ý. Để tiện cho việc chứng minh mệnh đề, ta quy ước S (x) = Sx.
Chứng minh.
(i) Vì ánh xạ S giả co chặt trên C với L ∈ [0, 1) nên với mọi x, y ∈ C,
ta có
Sx − Sy
2
 x − y
2
+ L(I − S) x − (I − S) y
2
= (1 + L) x − y

2
+ LSx − Sy
2
− 2L x − y, Sx − Sy .
Suy ra,
(1 − L) Sx − Sy
2
−2L x − y Sx − Sy−(1 + L) x − y
2
 0.
Giải bất phương trình bậc hai trên, ta có điều cần chứng minh.
(ii) Đặt f (x) = lim
k→∞
sup


x
k
− x


2
, trong đó

x
k

là dãy trong H và
điểm x ∈ H. Khi đó, theo bổ đề 1.3 (iii), nếu x
k

 x thì
f (x) = f (x) + x − x
2
, ∀x ∈ H.
Trong trường hợp đặc biệt,
f (Sx) = f (x) + Sx − x
2
. (1.4)
Mặt khác, vì


x
k
− Sx
k


→ 0 và ánh xạ S giả co chặt trên C với
L ∈ [0, 1) nên
f(Sx) = lim
k→∞
sup



Sx
k
− Sx



2

 lim
k→∞
sup



x
k
− x


2
+ L


(I − S) x
k
− (I − S) x


2

= f(x) + L(I − S) x
2
.
Kết hợp với (1.4), ta có x = Sx.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16

(iii) Chứng minh F ix(S) là tập đóng.
Thật vậy, giả sử

p
k

là dãy trong F ix(S) thỏa mãn p
k
→ p. Vì
ánh xạ S tựa giả co chặt trên C với L ∈ [0, 1) nên với mỗi k ta có


Sp − p
k


2



p − p
k


2
+ Lp − Sp
2
.
Khi k → ∞, ta có Sp − p
2

 Lp − Sp
2
. Hơn nữa, vì L ∈ [0, 1)
nên Sp = p. Vậy F ix(S) là tập đóng.
Tiếp theo, ta chứng minh F ix(S) là tập lồi.
Thật vậy, lấy p, q ∈ Fix(S) và t ∈ (0, 1). Đặt z = tp + (1 − t)q, ta
có
p − z = p − tp − (1 − t) q = (1 − t) (p − q)
và
q − z = q − tp − (1 − t) q = t (q − p) .
Suy ra,
p − z = (1 − t) p − q và q − z = t p − q .
Kết hợp các đẳng thức trên với bổ đề 1.3 (ii), ta có
z − Sz
2
= tp − Sz
2
+ (1 − t) q − Sz
2
− t (1 − t) p − q
2
 t

p − z
2
+ Lz − Sz
2

+ (1 − t)


q − z
2
+ Lz − Sz
2

− t (1 − t) p − q
2
=

t(1 − t)
2
+ (1 − t) t
2
− t (1 − t)

p − q
2
+ Lz − Sz
2
= Lz − Sz
2
.
Vì L ∈ [0, 1) nên z = Sz. Vậy Fix(S) là tập lồi.
(iv) Chứng minh bằng quy nạp, với p = 2, đặt
G = (1 − λ) S
1
+ λS
2
, λ ∈ (0, 1)
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
trong đó, các ánh xạ S
i
(i = 1, 2) giả co chặt trên C với L
i
∈ [0, 1).
Ta chứng minh ánh xạ G giả co chặt trên C với L = max {L
1
, L
2
}.
Thật vậy, ta có
(I − G) x − (I − G) y
2
= (1 − λ) {(I − S
1
) x − (I − S
1
) y} + λ {(I − S
2
) x − (I − S
2
) y}
2
= (1 − λ) (I − S
1
) x − (I − S
1
) y
2

+ λ(I − S
2
) x − (I − S
2
) y
2
− λ (1 − λ) {(I − S
1
) x − (I − S
1
) y} − {(I − S
2
) x − (I − S
2
) y}
2
= (1 − λ) (I − S
1
) x − (I − S
1
) y
2
+ λ(I − S
2
) x − (I − S
2
) y
2
− λ (1 − λ) (S
1

x − S
1
y) − (S
2
x − S
2
y)
2
.
Suy ra,
(1 − λ) (I − S
1
) x − (I − S
1
) y
2
+ λ(I − S
2
) x − (I − S
2
) y
2
= (I − G) x − (I − G) y
2
+ λ (1 − λ) (S
1
x − S
1
y) − (S
2

x − S
2
y)
2
.
Mặt khác, ta có
Gx − Gy
2
= (1 − λ) (S
1
x − S
1
y) + λ (S
2
x − S
2
y) y
2
= (1 − λ) S
1
x − S
1
y
2
+ λS
2
x − S
2
y
2

− λ (1 − λ) (S
1
x − S
1
y) − (S
2
x − S
2
y)
2
 (1 − λ)

x − y
2
+ L
1
(I − S
1
) x − (I − S
1
) y
2

+ λ

x − y
2
+ L
2
(I − S

2
) x − (I − S
2
) y
2

− λ (1 − λ) (S
1
x − S
1
y) − (S
2
x − S
2
y)
2
 x − y
2
+ L{ (1 − λ) (I − S
1
) x − (I − S
1
) y
2
+ λ(I − S
2
) x − (I − S
2
) y
2

}
− λ (1 − λ) (S
1
x − S
1
y) − (S
2
x − S
2
y)
2
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Kết hợp với đẳng thức trên, ta có
Gx − Gy
2
 x − y
2
+ L(I − G) x − (I − G) y
2
− (1 − L) λ (1 − λ) (S
1
x − S
1
y) − (S
2
x − S
2
y)
2

 x − y
2
+ L(I − G) x − (I − G) y
2
.
Vậy G là ánh xạ giả co chặt trên C với L = max {L
1
, L
2
}.
(v) Để chứng minh (v), giả sử p = 2. Điều kiện đủ, ta chứng minh
F ix (G) ⊂ F ix (S
1
) ∩ F ix (S
2
) .
Thật vậy, lấy x ∈ F ix (G) và đặt V
1
= I − S
1
, V
2
= I − S
2
. Với
z ∈ F ix (S
1
) ∩ F ix (S
2
) , ta có

z − x
2
= (1 − λ) (z − S
1
x) + λ (z − S
2
x)
2
= (1 − λ) z − S
1
x
2
+ λ(z − S
2
x)
2
− λ (1 − λ) S
1
x − S
2
x
2
 (1 − λ)

z − x
2
+ Lx − S
1
x
2


+ λ

z − x
2
+ Lx − S
2
x
2

− λ (1 − λ) S
1
x − S
2
x
2
= z − x
2
+ L

(1 − λ) V
1
x
2
+ λV
2
x
2

− λ (1 − λ) V

1
x − V
2
x
2
.
Từ đó, ta có bất đẳng thức
λ (1 − λ) V
1
x − V
2
x
2
 L

(1 − λ) V
1
x
2
+ λV
2
x
2

. (1.5)
Nếu (1 − λ) V
1
x + λV
2
x = 0 thì

(1 − λ) V
1
x
2
+ λV
2
x
2
= λ (1 − λ) V
1
x − V
2
x
2
.
Kết hợp đẳng thức trên với (1.5), ta có
(1 − L) λ (1 − λ) V
1
x − V
2
x
2
 0.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Vì λ ∈ (0, 1) và L ∈ [0, 1) nên V
1
x − V
2
x = 0. Suy ra,

S
1
x = S
2
x = x.
Do đó (1 − λ) S
1
x + λS
2
x = x. Vậy x ∈ Fix (S
1
) ∩ F ix (S
2
) . 
Kết luận chương
Trong chương này, ta đã nhắc lại các kết quả quan trọng của giải tích
lồi như tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, bài toán cân bằng. Đồng thời, ta
cũng trình bày các khái niệm về ánh xạ đơn điệu, giả đơn điệu. Đặt biệt
là khái niệm ánh xạ giả co chặt, phép chiếu trực giao cùng với một số
tính chất tương ứng.
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
Phương pháp dưới đạo hàm cho bài
toán cân bằng và ánh xạ giả co chặt
2.1. Cách tiếp cận
Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực
H. Với mỗi i = 1, , p, các ánh xạ S
i
: C → C giả co chặt trên C với

L
i
∈ [0, 1). Khi đó, bài toán tìm điểm bất động chung của một họ hữu
hạn các ánh xạ {S
i
}
p
i=1
(p  1) giả co chặt trên C được mô tả như sau:
Tìm x
∗
∈ C sao cho x
∗
∈ ∩
p
i=1
F ix (S
i
) , (Fix)
trong đó F ix(S
i
) là tập các điểm bất động của ánh xạ S
i
(i = 1, 2, , p).
Trong luận văn này, chúng ta quan tâm đến bài toán tìm nghiệm
chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập các điểm bất động
của một họ hữu hạn các ánh xạ giả co chặt trên C. Điều này có nghĩa là
Tìm x
∗
∈ ∩

p
i=1
F ix (S
i
) ∩ Sol (f, C) . (2.1)
Nếu f (x, y) = F (x) , y − x thì bài toán (2.1) trở thành bài toán
tìm một nghiệm chung của tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân và tập nghiệm của bài toán điểm bất động.
Toàn bộ chương 2 của luận văn này sẽ trình bày về một sơ đồ lặp mới
được các tác giả trong [2] đề cập để giải bài toán (2.1) với các giả thiết:
Giả thiết 2.1. Song hàm f thoả mãn các điều kiện:
(i) f giả đơn điệu và liên tục yếu trên C;
(ii) f liên tục kiểu Lipschitz trên C;
(iii) với mỗi x ∈ C, hàm f (x, .) lồi và khả dưới vi phân trên C.
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Giả thiết 2.2. Với mỗi i = 1, 2, , p, các ánh xạ S
i
: C → C giả co
chặt trên C với L
i
∈ [0, 1) .
Giả thiết 2.3. Tập nghiệm của (2.1) khác rỗng. Điều đó có nghĩa là
∩
p
i=1
F ix (S
i
) ∩ Sol (f, C) = ∅.
2.2. Thuật toán 2.1

Bước 0. Chọn các dãy dương {λ
k
} , {λ
k,i
} và {α
k
} thoả mãn các điều
kiện:









{λ
k
} ⊂ [a, b] với a, b ∈

0,
1
L

, trong đó L := max {2c
1
, 2c
2
} ;

{α
k
} ⊂ [α, β] với α, β ∈

L, 1

, trong đó L := max {L
i
, 1  i  p} ;
p

i=1
λ
k,i
= 1, ∀k  1.
Tìm điểm xuất phát x
0
∈ C và đặt k : = 0.
Bước k. Thực hiện các bước nhỏ sau:
• Bước 1. Giải bài toán quy hoạch lồi mạnh







y
k
: = argmin


λ
k
f

x
k
, y

+
1
2


y − x
k


2
: y ∈ C

;
t
k
: = argmin

λ
k
f


y
k
, y

+
1
2


y − x
k


2
: y ∈ C

.
• Bước 2. Tính
z
k
: = α
k
t
k
+ (1 − α
k
)
p

i=1

λ
k,i
S
i

t
k

.
• Bước 3. Tính

P
k
: =

z ∈ C :


z
k
− z





x
k
− z




;
Q
k
: =

z ∈ C :

x
k
− z, x
0
− x
k

 0

.
• Bước 4. Tính
x
k+1
: = P r
P
k
∩Q
k

x
0


.
Gán k := k + 1 và quay lại bước 1.
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên