Phương pháp Newton cải tiến giải phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN HẠNH HOA
PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN HẠNH HOA
PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.0112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
THÁI NGUYÊN - 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán - Tin, Ban giám hiệu, Phòng
Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, những người đã trang bị những
kiến thức cơ bản và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo kính mến PGS. TS. Tạ
Duy Phượng, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tấm
gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc trong công việc, gần gũi trong cuộc sống
của thầy đã giúp cho tôi có niềm tin, ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành

luận văn của mình.
Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình và bạn bè, những người đã đồng hành, hết lòng động
viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn thạc sĩ này.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Hạnh Hoa
i
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Mở đầu 1
1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương
trình phi tuyến 3
1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Phương pháp của Weerakoon và Fernando (2000, [42]) . . . . . . . 5
1.1.2 Phương pháp của Frontini và Sormani (2003, [25]) . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Phương pháp của Jisheng Kou, Yitian Li, Xiuhua Wang (2006, [17]) 9
1.1.4 Phương pháp của Liang Fang, Guoping He, Zhongyong Hu (2008,
[21]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq
(2008, [36]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.6 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat Yasmin
(2010, [38]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.7 Phương pháp của H. H. H. Homeier (2005, [13]) . . . . . . . . . . . 14
1.1.8 Phương pháp của Rostam K. Saeed và Fuad W. Khthr (2010, [40]) 15
1.1.9 Phương pháp của P. Wang (2011, [39]) . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.10 Phương pháp của Sanjay K. Khattri, Ravi P. Agarwal (2010, [44]) . 20
1.1.11 Phương pháp của V. Kanwar, Kapil K. Sharma, Ramandeep Behl
(2010, [48]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.1.12 Phương pháp của Hadi Taghvafard (2011, [14]) . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Phương pháp hai bước, ba bước và bốn bước . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1 Phương pháp của Potra và Pták (1984, [11]) . . . . . . . . . . . . . 25
i
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
1.2.2 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq
(2008, [37]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.3 Phương pháp của Sanjay K. Khattri, Ioannis K. Argyros (2010, [43]) 26
1.2.4 Phương pháp của Zhongyong Hu, Liu Guocai, Li Tian (2011, [50]) . 27
1.2.5 Phương pháp của Linke Hou và Xiaowu Li (2010, [23]) . . . . . . . 27
1.3 Phương pháp tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Phương pháp của Mamta, V. Kanwar, V. K. Kukreja, Sukhjit Singh
(2005, [28]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Phương pháp của Sanjay K. Khattri và S. Abbasbandy (2011, [45]) 29
1.3.3 Phương pháp của Yao-tang Li, Ai-quan Jiao (2009, [49]) . . . . . . 29
1.3.4 Phương pháp của Kou Jisheng, Li Yitian, Liu Dingyou và He Julin
(2007, [19]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 Phương pháp khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Phương pháp của Jisheng Kou (2007, [18]) . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.2 Phương pháp của M. M. Hosseini (2009, [27]) . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3 Phương pháp Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5 Phương pháp nội suy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.1 Phương pháp của Manoj Kumar Singh (2009, [29]) . . . . . . . . . 37
1.5.2 Phương pháp của Muhammad Rafiullah, Muhammad Haleem (2010,
[32]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.5.3 Phương pháp của Manoj Kumar Singh và S. R. Singh (2011, [30]) . 39
1.6 Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.1 Phương pháp của H. H. H. Homeier (2003, [12]) . . . . . . . . . . . 40
1.6.2 Phương pháp của J. R. Sharma (2005, [15]) . . . . . . . . . . . . . 41
1.6.3 Phương pháp của B. Neta (2008, [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.4 Phương pháp của J. R. Sharma (2007, [16]) . . . . . . . . . . . . . 43

1.6.5 Phương pháp của Tibor Luki´c, Nebojˇsa M. Ralevi´c [47] . . . . . . . 44
1.6.6 Phương pháp của Keyvan Amini (2007, [20]) . . . . . . . . . . . . . 44
1.6.7 Phương pháp của Mehdi Dehghan và Masoud Hajarian (2010, [31]) 45
ii
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
2 Một số phương pháp tìm nghiệm bội của phương trình phi tuyến 48
2.1 Phương pháp Newton - Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Phương pháp xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 Phương pháp của D. K. R Babajee và MZ Dauhoo (2007, [9]) . . . 49
2.2.2 Phương pháp của N. A. Mir và Naila Rafiq (2007, [33]) . . . . . . . 51
2.2.3 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Farooq Ahmad, Muhammad
Raza, Tahira Nawaz (2010, [35]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Phương pháp tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1 Phương pháp của Li Shengguo, Li Housen và Cheng Lizhi (2009, [22]) 53
2.3.2 Phương pháp của M. Heydari, S. M. Hosseini, G. B. Loghmani
(2010, [26]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.3 Phương pháp của Behzad Ghanbari, Bijan Rahimi và Mehdi Gho-
lami Porshokouhi (2011, [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.4 Phương pháp của B. Neta, Anthony N. Johnson (2008, [4]) . . . . . 56
2.3.5 Phương pháp của Beny Neta (2010, [3]) . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.6 Phương pháp của S. G. Li, L. Z. Cheng, B. Neta (2010, [41]) . . . . 58
2.3.7 Phương pháp của Eldon Hansen và Merrell Patrick (1977, [10]) . . . 61
2.3.8 Phương pháp của Ljiljana D. Petkovi´c, Miodrag S. Petkovi´c, Dragan
ˇ
Zivkovi´c (2003, [24]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.1 Phương pháp của Naoki Osada (2007, [34]) . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.2 Phương pháp của Changbum Chun, Hwa ju Bae, Beny Neta (2008,
[7]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4.3 Phương pháp của Changbum Chun, Beny Neta (2009, [6]) . . . . . 67
Kết luận 69
Tài liệu tham khảo 70
iii
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Isaac Newton (1642 - 1727) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự
nhiên và nhà toán học vĩ đại người Anh. Ông đã xây dựng một công thức giải phương
trình phi tuyến f(x) = 0 viết năm 1671 và được công bố lần đầu tiên vào năm 1685.
Newton tính toán một chuỗi các đa thức sau đó ông đưa đến một nghiệm xấp xỉ của
phương trình. Joseph Raphson (1648 - 1715) đã coi phương pháp của Newton hoàn toàn
như là một phương pháp đại số và giới hạn việc sử dụng nó cho các đa thức một biến.
Tuy nhiên Raphson đã mô tả phương pháp thông qua dãy các xấp xỉ kế tiếp x
n
thay vì
các chuỗi đa thức phức tạp như Newton. Cách giải thích của Raphson được xem như là
đơn giản hơn của Newton và đã được ông công bố vào năm 1690. Ngày nay chúng ta gọi
là phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ của
phương trình phi tuyến f(x) = 0 bằng việc xây dựng một dãy lặp hội tụ tới nghiệm của
phương trình.
Phương pháp Newton – Raphson đóng vai trò quan trọng trong khoa học và kĩ thuật,
đặc biệt đối với ngành Toán học nói chung và phương pháp số nói riêng. Trong thực tế
nó có khả năng ứng dụng rất lớn.
Sau khi phương pháp Newton – Raphson ra đời, việc giải phương trình phi tuyến phát
triển rất mạnh mẽ và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Giải các bài toán có ý nghĩa thực
tế quan trọng, đặc biệt trong giai đoạn hiện nay với sự hỗ trợ của máy tính điện tử việc
này càng trở nên có hiệu lực. Điều đó đã thu hút nhiều nhà khoa học tìm hiểu sâu hơn về
phương pháp này. Dựa trên cơ sở của phương pháp Newton – Raphson đã có, rất nhiều
bài báo được đăng trên các tạp chí nổi tiếng thế giới nói về cách xây dựng những phương
pháp cải tiến giải xấp xỉ phương trình phi tuyến với tốc độ hội tụ cao, có thể thực hiện

trên máy tính điện tử.
1
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
Trong luận văn này, tôi trình bày tổng quan các phương pháp Newton cải tiến có
tốc độ hội tụ cao giải gần đúng phương trình phi tuyến cho trường hợp phương trình có
nghiệm đơn và phương trình có nghiệm bội. Do khuôn khổ luận văn, phương pháp Newton
mở rộng cho hệ phương trình phi tuyến và phương trình trong không gian Banach không
được trình bày. Tuy nhiên, trong phần TÀI LIỆU BỔ SUNG chúng tôi có liệt kê các bài
báo về phương pháp Newton cho hệ phương trình (trang 77 - 80, các tài liệu [95] - [122])
và phương trình trong không gian Banach (trang 80 - 82, các tài liệu [123] - [145]).
Luận văn gồm phần mở đầu, 2 chương, phần kết luận và các tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các phương pháp tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến.
Đồng thời cũng đưa ra định lý về sự hội tụ của các phương pháp và minh họa một số ví
dụ.
Chương 2 nhắc lại khái niệm nghiệm bội của phương trình f(x) = 0 và đưa ra các
phương pháp tìm nghiệm bội của phương trình phi tuyến cùng một số ví dụ minh họa.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Hạnh Hoa
2
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Tổng quan các phương pháp hội tụ
bậc cao tìm nghiệm đơn của phương
trình phi tuyến
Giải phương trình phi tuyến là một trong những bài toán quan trọng trong giải tích
số. Trước hết, chúng ta xét phương trình
f(x) = 0. (1.1)
Giải gần đúng phương trình f(x) = 0 được thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm
Mỗi một phương trình nói chung có thể có nhiều nghiệm. Chúng ta cần tìm khoảng
chứa nghiệm (a, b), trong đó phương trình có nghiệm (có duy nhất nghiệm) bằng một
trong các tiêu chuẩn sau.
Định lí 1. (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và thỏa mãn điều
kiện f(a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b).
Định lí 2. (Hệ quả của Định lí 1) Giả sử f(x) là một hàm liên tục và đơn điệu ngặt
trên đoạn [a, b]. Khi đó nếu f (a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có duy nhất một
nghiệm trong khoảng (a, b).
Định lí 3. (Hệ quả của Định lí 2) Giả sử f (x) có đạo hàm f

(x) và đạo hàm f

(x)
của nó không đổi dấu trên đoạn [a, b]. Khi đó nếu f(a)f (b) < 0 thì phương trình f(x) = 0
có duy nhất một nghiệm trong khoảng (a, b).
3
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Bước 2: Giải gần đúng phương trình
Sau khi sử dụng ba định lí trên để xác định khoảng chứa nghiệm của phương trình
f(x) = 0, chúng ta xét phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến f(x) = 0 trong
trường hợp nghiệm đơn. Ở đây
f : R → R
là một hàm phi tuyến trơn có nghiệm đơn
x
∗
, tức là f(x
∗

) = 0 và f

(x
∗
) = 0.
Xuất phát từ giá trị ban đầu x
0
thuộc khoảng phân li của nghiệm của phương trình
(1.1), các xấp xỉ tiếp theo được xác định bởi công thức
x
n+1
= ϕ(x
n
), n = 0, 1, 2,
Phương pháp Newton - Raphson tìm nghiệm x
∗
của phương trình (1.1) sử dụng sơ đồ
lặp
x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n

)
. (1.2)
Phương pháp lặp này có tốc độ hội tụ bậc hai nhưng chỉ tốt khi f

(x
∗
) = 0. Người ta
có thể cải tiến phương pháp này trở nên tốt hơn bằng cách nâng tốc độ hội tụ lên cao
hơn. Trong chương này, chúng ta trình bày lại nội dung của một số bài báo về sự cải tiến
của phương pháp Newton giải gần đúng phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao
cho trường hợp nghiệm đơn và minh họa qua một số ví dụ tính toán cụ thể. Trường hợp
nghiệm bội của phương trình chúng ta sẽ được xét ở Chương 2.
1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân
Xét biểu diễn của hàm f(x) dưới dạng
f(x) = f (x
n
) +

x
x
n
f

(t)dt. (1.3)
Nhiều nhà toán học đã cải tiến phương pháp Newton bằng việc xấp xỉ tích phân trong
công thức (1.3) bởi các quy tắc khác nhau và đã thu được không ít những phương pháp
lặp tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến có tốc độ hội tụ cao hơn. Dưới đây chúng
tôi trình bày phương pháp giải phương trình f(x) = 0 có tốc độ hội tụ bậc cao trong một
số bài báo.
4

10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
1.1.1 Phương pháp của Weerakoon và Fernando (2000, [42])
Ta có
f(x) = f (x
n
) +

x
x
n
f

(t)dt.
Bằng việc xấp xỉ tích phân bởi hình chữ nhật và hình thang ta có

x
x
n
f

(t)dt ≈ (x −x
n
)f

(x
n
); (1.3a)


x
x
n
f

(t)dt ≈ (x −x
n
)
f

(x
n
) + f

(x)
2
. (1.3b)
Giả thiết f (x) khả vi liên tục và f

(x∗) = 0. Khi ấy f

(x
n
) = 0 với x
n
đủ gần x
∗
. Từ
(1.3a) ta có
f(x) ≈ f (x

n
) + (x − x
n
)f

(x
n
)
x −x
n
≈
f(x) − f(x
n
)
f

(x
n
)
⇒ x ≈ x
n
+
f(x) − f(x
n
)
f

(x
n
)

,
kết hợp f (x) = 0 ta được x ≈ x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
. Đây chính là công thức lặp Newton - Raphson,
có tốc độ hội tụ bậc hai (xem thí dụ, [51]).
Từ (1.3b) ta có
f(x) ≈ f (x
n
) + (x − x
n
)
f

(x
n
) + f

(x)
2
f(x) − f(x
n

) = (x − x
n
)
f

(x
n
) + f

(x)
2
x −x
n
=
2

f(x) − f(x
n
)

f

(x
n
) + f

(x)
= −
2f(x
n

)
f

(x
n
) + f

(x)
.
Cho x = x
n+1
ta có
x
n+1
= x
n
−
2f(x
n
)
f

(x
n
) + f

(x
n+1
)
.

Suy ra công thức lặp
x
n+1
= x
n
−
2f(x
n
)
f

(x
n
) + f


x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)

. (1.4)
Định lý. Giả sử

f : D ⊂ R → R
với D là một khoảng mở, f có đạo hàm cấp một, cấp
hai và cấp ba trong khoảng D. Nếu f(x) có một nghiệm đơn x
∗
∈ D và x
0
đủ gần x
∗
thì
phương pháp xác định bởi (1.4) có sai số:
e
n+1
= (C
2
2
+
1
3
C
3
)e
3
n
+ O(e
4
n
),
5
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của

phương trình phi tuyến
trong đó e
n
= x
n
− x
∗
và C
i
=
1
i!
f
(i)
(x
∗
)
f

(x
∗
)
, i = 1, 2, 3,
Chứng minh: Chúng ta sử dụng khai triển Taylor
f(x
n
) = f (x
∗
+ e
n

) = f (x
∗
) + f

(x
∗
)e
n
+
1
2!
f

(x
∗
)e
2
n
+
1
3!
f
(3)
(x
∗
)e
3
n
+ O(e
4

n
)
= f

(x
∗
)

e
n
+
1
2!
f

(x
∗
)e
2
n
f

(x
∗
)
+
1
3!
f
(3)

(x
∗
)e
3
n
f

(x
∗
)
+ O(e
4
n
)

= f

(x
∗
)[e
n
+ C
2
e
2
n
+ C
3
e
3

n
+ O(e
4
n
)],
f

(x
n
) = f

(x
∗
+ e
n
) = f

(x
∗
) + f

(x
∗
)e
n
+
1
2!
f
(3)

(x
∗
)e
2
n
+ O(e
3
n
)
= f

(x
∗
)

1 +
f

(x
∗
)e
n
f

(x
∗
)
+
1
2!

f
(3)
(x
∗
)e
2
n
f

(x
∗
)
+ O(e
3
n
)

= f

(x
∗
)[1 + 2C
2
e
n
+ 3C
3
e
2
n

+ O(e
3
n
)].
Suy ra
f(x
n
)
f

(x
n
)
=
e
n
+ C
2
e
2
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)

1 + 2C
2
e
n
+ 3C
3
e
2
n
+ O(e
3
n
)
= [e
n
+ C
2
e
2
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)]
×


1 −[2C
2
e
n
+ 3C
3
e
2
n
+ O(e
3
n
)] + [2C
2
e
n
+ 3C
3
e
2
n
+ O(e
3
n
)]
2
−

= [e

n
+ C
2
e
2
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)]

1 −[2C
2
e
n
+ 3C
3
e
2
n
+ O(e
3
n
)] + 4C
2

2
e
2
n
+

= [e
n
+ C
2
e
2
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)][1 −2C
2
e
n
+ (4C
2
2
− 3C
3

)e
2
n
+ O(e
3
n
)]
= e
n
− 2C
2
e
2
n
+ (4C
2
2
− 3C
3
)e
3
n
+ C
2
e
2
n
− 2C
2
2

e
3
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)
= e
n
− C
2
e
2
n
+ (2C
2
2
− 2C
3
)e
3
n
+ O(e
4
n

),
x
∗
n+1
= x
n
+
f(x
n
)
f

(x
n
)
= x
∗
+ e
n
− [e
n
− C
2
e
2
n
+ (2C
2
2
− 2C

3
)e
3
n
+ O(e
4
n
)]
= x
∗
+ C
2
e
2
n
+ (2C
3
− 2C
2
2
)e
3
n
+ O(e
4
n
).
f

(x

∗
n+1
) = f

(x
∗
) + [C
2
e
2
n
+ (2C
3
− 2C
2
2
)e
3
n
+ O(e
4
n
)]f

(x
∗
)
= f

(x

∗
)

1 + [2C
2
e
2
n
+ 4(C
3
− C
2
2
)e
3
n
+ O(e
4
n
)]
f

(x
∗
)
2f

(x
∗
)


= f

(x
∗
)[1 + 2C
2
2
e
2
n
+ 4C
2
(C
3
− C
2
2
)e
3
n
+ O(e
4
n
)],
6
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
f


(x
n
) + f

(x
∗
n+1
) = 2f

(x
∗
)

1 + C
2
e
n
+ (C
2
2
+
3
2
C
3
)e
2
n
+ O(e

3
n
)

.
Suy ra
2f(x
n
)
f

(x
n
) + f

(x
∗
n+1
)
=
e
n
+ C
2
e
2
n
+ C
3
e

3
n
+ O(e
4
n
)
1 + C
2
e
n
+ (C
2
2
+
3
2
C
3
)e
2
n
+ O(e
3
n
)
= [e
n
+ C
2
e

2
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)]

1 −[C
2
e
n
+ (C
2
2
+
3
2
C
3
)e
2
n
+ O(e
3
n

)]
+ [C
2
e
n
+ (C
2
2
+
3
2
C
3
)e
2
n
+ O(e
3
n
)]
2
−

= [e
n
+ C
2
e
2
n

+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)][1 −C
2
e
n
−
3
2
C
3
e
2
n
+ O(e
3
n
)]
= e
n
− C
2
e
2

n
−
3
2
C
3
e
3
n
+ C
2
e
2
n
− C
2
2
e
3
n
+ C
3
e
3
n
+ O(e
4
n
)
= e

n
− (C
2
2
+
1
2
C
3
)e
3
n
+ O(e
4
n
).
Khi đó
x
n+1
= x
n
−
2f(x
n
)
f

(x
n
) + f


(x
∗
n+1
)
e
n+1
+ x
∗
= e
n
+ x
∗
− [e
n
− (C
2
2
+
1
2
C
3
)e
3
n
+ O(e
4
n
)]

e
n+1
= (C
2
2
+
1
2
C
3
)e
3
n
+ O(e
4
n
).
Vậy phương pháp lặp (1.4) hội tụ bậc ba.
Ví dụ
Xét các hàm số sau:
f
1
(x) = x
3
+ 4x
2
− 10
f
2
(x) = sin

2
x −x
2
+ 1
f
3
(x) = x
2
− e
x
− 3x + 2
f
4
(x) = cosx − x
f
5
(x) = x
3
− 10.
Chúng ta tìm nghiệm xấp xỉ của các phương trình trên chính xác đến 15 chữ số thập phân
và so sánh số lần lặp của phương pháp Newton (PPN) với phương pháp (1.4) (PP(1.4))
(Bảng 1), ta thấy (PP(1.4)) có tốc độ hội tụ cao hơn (PPN).
7
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Hàm x
0
PPN PP(1.4) x
∗

x
3
+ 4x
2
− 10 1 5 3 1.36523001341448
sin
2
x −x
2
+ 1 1 5 4 1.40449164821621
x
2
− e
x
− 3x + 2 2 4 4 0.257530285439771
cosx −x 1 4 2 0.739085133214758
x
3
− 10 1.5 5 4 2.15443469003367
Bảng 1
1.1.2 Phương pháp của Frontini và Sormani (2003, [25])
Chúng ta dùng quy tắc trung điểm để xấp xỉ tích phân

x
x
n
f

(t)dt ≈ (x −x
n

)f

(
x
n
2
+
x
2
).
Kết hợp với f(x) = 0 và cho x ≈ x
n+1
ta được
x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
f


x
n
+x
n+1
2


.
Thay x
n+1
trong vế phải của phương trình trên bằng phương pháp Newton chúng ta suy
ra công thức lặp hội tụ bậc ba.
x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
f


x
n
−
f(x
n
)
2f

(x
n
)

. (1.5)
Frontini và Sormani cũng tổng quát hóa cách tiếp cận của Weerakoon và Fernando. Xét

Q
m
(f) = (x − x
n
)
m

j=1
ω
j
f(η
j
)
trong đó η
j
= x
n
+ τ
j
(x −x
n
), τ
j
∈ [0, 1],
m

j=1
ω
j
= 1 và

m

j=1
ω
j
τ
j
=
1
2
.
Frontini và Sormani xấp xỉ tích phân như sau:

x
x
n
f

(t)dt ≈ Q
m
(f

).
Khi đó
f(x) = f (x
n
) +

x
x

n
f

(t)dt ≈ f(x
n
) + (x − x
n
)
m

j=1
ω
j
f

(η
j
).
8
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Thay x = x
n+1
, ta có f(x
n+1
) = f (x
n
) + (x
n+1

− x
n
)
m

j=1
ω
j
f

(η
j
), x
n+1
≈ x
∗
nên
f(x
n+1
) ≈ f(x
∗
) = 0, suy ra
x
n+1
− x
n
= −
f(x
n
)

m

j=1
ω
j
f

(η
j
)
⇒ x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
m

j=1
ω
j
f

(η
j
)
.
Theo cách xấp xỉ tích phân bởi hình chữ nhật ở trên ta có x ≈ x

n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
nên
η
j
= x
n
+ τ
j
(x −x
n
) = x
n
+ τ
j

x
n
−
f(x
n
)

f

(x
n
)
− x
n

= x
n
− τ
j
f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Vậy
x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)

m

j=1
ω
j
f


x
n
− τ
j
f(x
n
)
f

(x
n
)

. (1.6)
Trong [25] đã chứng minh rằng phương pháp (1.6) có tốc độ hội tụ bậc ba.
1.1.3 Phương pháp của Jisheng Kou, Yitian Li, Xiuhua Wang
(2006, [17])
Ta có
f(x) = f (y
n
) +


x
y
n
f

(t)dt,
với y
n
= x
n
+
f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Chúng ta sử dụng quy tắc trung điểm để xấp xỉ tích phân trong công thức trên

x
y
n
f

(t)dt ≈ (x −y
n
)f



x + y
n
2

.
Vì f(x) = 0 và coi x
n+1
≈ x nên f(x
n+1
) ≈ 0, ta được
x
n+1
= y
n
−
f(y
n
)
f


x
n+1
+y
n
2

.

Thay f


x
n+1
+y
n
2

= f


x
∗
n+1
+y
n
2

, với x
∗
n+1
nhận được từ phương pháp lặp Newton ta thu
được
x
n+1
= x
n
−
f


x
n
+
f(x
n
)
f

(x
n
)

− f(x
n
)
f

(x
n
)
. (1.7)
Công thức lặp (1.7) hội tụ bậc ba (xem [17]).
9
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
1.1.4 Phương pháp của Liang Fang, Guoping He, Zhongyong
Hu (2008, [21])
Xét phương pháp (1.7)

x
n+1
= x
n
−
f

x
n
+
f(x
n
)
f

(x
n
)

− f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Thay f


(x
n
) = λ
n
f(x
n
) + f

(x
n
) ta có sơ đồ lặp
x
n+1
= x
n
−
f

x
n
+
f(x
n
)
λ
n
f(x
n
)+f


(x
n
)

− f(x
n
)
λ
n
f(x
n
) + f

(x
n
)
(1.8)
với λ
n
∈ R, 0 ≤ |λ
n
| ≤ 1, n = 0, 1, 2, là các tham số được chọn sao cho
sign

λ
n
f(x
n
)


= sign

f

(x
n
)

, ở đây sign(x) là hàm dấu của x.
sign(x) =





1, x ≥ 0,
−1, x < 0.
Công thức lặp (1.8) hội tụ bậc ba (xem [21]).
1.1.5 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila
Rafiq (2008, [36])
Xét phương trình f(x) = 0. Khai triển Taylor hàm f (x) tại x = α với α đủ gần
nghiệm đơn x
∗
: f(x) = f (α) + f

(α)(x − α) + θ = 0.
Khi α đủ gần x
∗
thì phương trình trên xấp xỉ bởi
f(α) + f


(α)(x − α) ≈ 0 ⇒ x −α ≈ −
f(α)
f

(α)
, f

(α) = 0.
Ta có phương pháp Newton hội tụ bậc hai: x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Để xây dựng phương pháp lặp hội tụ bậc ba, ta viết lại khai triển Taylor đến cấp hai của
hàm f(x) tại x = α như sau
f(x) = f (α) + f

(α)(x − α) +
f


(α)
2
(x −α)
2
+ θ.
Phương trình này có thể xấp xỉ là
f(α) + f

(α)(x − α) + (x − α)
f

(α)
2
(x −α) ≈ 0.
10
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Kết hợp với phương pháp Newton - Raphson, thay x − α = −
f(α)
f

(α)
ta được
f(α) + f

(α)(x − α) +

−
f(α)

f

(α)

f

(α)
2
(x −α) ≈ 0
hay
f(α) + (x −α)

f

(α) −
f(α)f

(α)
2f

(α)

≈ 0.
Suy ra
x −α ≈ −
2f(α)f

(α)
2f
2

(α) − f(α)f

(α)
,
với điều kiện 2f
2
(α) − f(α)f

(α) = 0. Vậy
x
∗
≈ α −
2f(α)f

(α)
2f
2
(α) − f(α)f

(α)
.
Chúng ta có phương pháp lặp
x
n+1
= x
n
−
2f(x
n
)f


(x
n
)
2f
2
(x
n
) −f(x
n
)f

(x
n
)
, n = 0, 1, 2,
Phương pháp này được gọi là phương pháp Halley có tốc độ hội tụ bậc ba.
Theo công thức (1.3) ta có
f(x) = f (x
n
) +
x

x
n
f

(t)dt.
Xấp xỉ tích phân trên bởi quy tắc hình chữ nhật tại một điểm λx + (1 −λ)z
n

x

z
n
f

(t)dt = (x − z
n
)f


λx + (1 − λ)z
n

.
Khai triển Taylor hàm f


λx + (1 − λ)z
n

tại điểm z
n
và sử dụng công thức Newton -
Raphson x = z
n
−
f(z
n
)

f

(z
n
)
ta được:
f


λx + (1 − λ)z
n

≈ f

(z
n
) + λ(x − z
n
)f

(z
n
) = f

(z
n
) −λ
f(z
n
)

f

(z
n
)
f

(z
n
).
Thay vào công thức (1.3) và kết hợp với f(x) = 0, ta có
−f(z
n
) = (x − z
n
)

f

(z
n
) −λ
f(z
n
)
f

(z
n
)

f

(z
n
)

x = z
n
−
f(z
n
)f

(z
n
)
f
2
(z
n
) −λf(z
n
)f

(z
n
)
.
11
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Từ phương trình này ta thấy: nếu λ = 0 thì chúng ta có phương pháp Newton và nếu
λ =
1
2
thì ta lại có phương pháp Halley.
Chúng ta đưa ra phương pháp lặp sau:





y
n
= x
n
−
f(x
n
)f

(x
n
)
f
2
(x
n
)−λf(x

n
)f

(x
n
)
,
x
n+1
= y
n
−
f(y
n
)
f

(y
n
)
.
(1.9)
Người ta chứng minh được rằng với λ =
1
2
thì công thức lặp (1.9) hội tụ bậc sáu.
Để không phải tính f

(y
n

) tại mỗi bước lặp, ta có thể cải tiến phương pháp (1.9) như sau.
Giả sử y
n
xác định bởi (1.9), ta sử dụng Taylor mở rộng của f

(y
n
):
f

(y
n
) ≈ f

(x
n
) + f

(x
n
)(y
n
− x
n
),
kết hợp với xấp xỉ Taylor của f(y
n
):
f(y
n

) ≈ f(x
n
) + f

(x
n
)(y
n
− x
n
) +
1
2
f

(x
n
)(y
n
− x
n
)
2
.
Suy ra
f

(x
n
) ≈ 2

f(y
n
) −f(x
n
)
(y
n
− x
n
)
2
−
2f

(x
n
)
y
n
− x
n
.
Bằng cách này, ta có thể loại bỏ đạo hàm cấp 2 và xấp xỉ f

(y
n
) như sau:
f

(y

n
) ≈ 2
f(y
n
) −f(x
n
)
y
n
− x
n
− f

(x
n
).
Khi đó công thức (1.9) được viết lại như sau:





y
n
= x
n
−
f(x
n
)f


(x
n
)
f
2
(x
n
)−λf(x
n
)f

(x
n
)
,
x
n+1
= y
n
−
f(y
n
)
2
f(y
n
)−f(x
n
)

y
n
−x
n
−f

(x
n
)
.
(1.10)
Người ta đã chứng minh công thức (1.10) hội tụ bậc năm khi λ =
1
2
(xem [36]).
1.1.6 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat
Yasmin (2010, [38])
Ta có
f(x) = f (z
n
) +
x

z
n
f

(t)dt,
12
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
xấp xỉ tích phân bởi quy tắc trung điểm
x

z
n
f

(t)dt = (x − z
n
)f

(
x + z
n
2
).
Với f (x) = 0 ta có
−f(z
n
) = (x − z
n
)f

(
x + z
n
2
) ⇒ x − z

n
= −
f(z
n
)
f


x+z
n
2

.
Coi x
∗
≈ x và x
n+1
≈ x, ta có
x
n+1
= z
n
−
f(z
n
)
f


x

∗
+z
n
2

.
Đặt ω
n
=
x
∗
+z
n
2
. Tính x
∗
theo phương pháp Ostrowski [1] và z
n
, y
n
theo phương pháp
Newton ta được
x
∗
= y
n
−
(x
n
− y

n
)f(y
n
)
f(x
n
) −2f(y
n
)
,
z
n
= y
n
−
f(y
n
)
f

(y
n
)
,
y
n
= x
n
−
f(x

n
)
f

(x
n
)
.
Từ các công thức trên, chúng ta có sơ đồ lặp sau:
y
n
= x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
,
z
n
= y
n
−
f(y
n

)
f

(y
n
)
,
ω
n
= y
n
−
1
2

(x
n
− y
n
)f(y
n
)
f(x
n
) −2f(y
n
)
+
f(y
n

)
f

(y
n
)

,
x
n+1
= z
n
−
f(z
n
)
f

(ω
n
)
.
Theo mục 1.1.5, sử dụng khai triển Taylor mở rộng cho hàm f

(y
n
) kết hợp với xấp xỉ
Taylor của f (y
n
) tại điểm x

n
chúng ta có thể loại bỏ đạo hàm cấp hai và xấp xỉ f

(y
n
)
bởi:
f

(y
n
) ≈ 2
f(y
n
) −f(x
n
)
y
n
− x
n
− f

(x
n
).
Khi đó sơ đồ lặp trên trở thành














y
n
= x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
,
ω
n
= y
n
−
1

2

(x
n
−y
n
)f(y
n
)
f(x
n
)−2f(y
n
)
+
f(y
n
)
2
f(y
n
)−f(x
n
)
y
n
−x
n
−f


(x
n
)

,
x
n+1
= z
n
−
f(z
n
)
f

(ω
n
)
,
(1.11)
13
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
với z
n
= y
n
−
f(y

n
)
f

(y
n
)
.
Người ta đã chứng minh công thức lặp (1.11) hội tụ bậc 8 (xem [38]).
1.1.7 Phương pháp của H. H. H. Homeier (2005, [13])
Thay vì sử dụng hàm y = f(x) như của Newton - Raphson thì Homeier lại sử dụng
hàm ngược của nó:
x(y) = x(y
n
) +

y
y
n
x

(η)dη,

y
y
n
x

(η)dη ≈ R
m

(x

) = (y − y
n
)
m

j=1
ω
j
x

(ξ
j
),
với ξ
j
= y
n
+ τ
j
(y −y
n
), τ
j
∈ [0, 1],
m

j=1
ω

j
= 1 và
m

j=1
ω
j
τ
j
=
1
2
sao cho R
m
có bậc nhỏ nhất
là 1.
Ta có
x(y) = x(y
n
) + (y −y
n
)
m

j=1
ω
j
x

(ξ

j
).
Kết hợp với y = y
∗
= y(x
∗
) = 0, x(y) = x(y
∗
) = x
∗
và x(y
n
) = x
n
⇔ y
n
= f(x
n
) ta được
x
∗
= x
n
+ (y − y
n
)
m

j=1
ω

j
x

(ξ
j
).
Vì ξ
j
= y
n
+ τ
j
(y − y
n
) = (1 − τ
j
)y
n
nên x
∗
= x
n
− y
n
m

j=1
ω
j
x



(1 −τ
j
)y
n

. Mặt khác,
y = f(x) ⇒ x = g(y). Lấy đạo hàm hai vế theo x: 1 = g

y
.y

x
⇒ g

y
=
1
y

x
hay x

(y) =
1
f

(x)
.

Chúng ta có đánh giá x
n,j
= x

(1 −τ
j
)y
n

. Khai triển Taylor hàm x

(1 −τ
j
)y
n

tại y
n
:
x

(1 −τ
j
)y
n

≈ x(y
n
) + x


(y
n
)

(1 −τ
j
)y
n
− y
n

≈ x(y
n
) −τ
j
y
n
x

(y
n
)
≈ x
n
− τ
j
f(x
n
)
f


(x
n
)
.
Khi đó
x
n,j
= x
n
− τ
j
f(x
n
)
f

(x
n
)
.
Vậy chúng ta có sơ đồ lặp
x
n+1
= x
n
− f(x
n
)
m


j=1
ω
j
1
f


x
n
− τ
j
f(x
n
)
f

(x
n
)

, m > 1. (1.12)
14
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Công thức lặp (1.12) hội tụ bậc ba (xem [13]).
Khi m = 2, ω
1
= ω

2
=
1
2
, τ
1
= 1 − τ
2
= 0 ta có sơ đồ lặp hội tụ bậc ba
x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
2

1
f

(x
n
)
+
1
f



x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)


. (1.13)
1.1.8 Phương pháp của Rostam K. Saeed và Fuad W. Khthr
(2010, [40])
Xét
f(x) = f (x
n
) +
x

x
n
f

(t)dt.
Xấp xỉ tích phân ở vế phải của phương trình trên bởi phương pháp hình thang cải tiến,
tức là:
x


x
n
f

(t)dt ≈
x −x
n
2

f

(x
n
) + f

(x)

+
(x −x
n
)
2
12

f

(x
n
) −f


(x)

,
ta được phương trình
M
n
(x) = f (x
n
) +
x −x
n
2

f

(x
n
) + f

(x)

+
(x −x
n
)
2
12

f


(x
n
) −f

(x)

.
Nghiệm x
n+1
của phương trình M
n
(x
n+1
) = 0 được tính như sau:
f(x
n
) +
x
n+1
− x
n
2

f

(x
n
) + f


(x
n+1
)

+
(x
n+1
− x
n
)
2
12

f

(x
n
) −f

(x
n+1
)

= 0.
Suy ra
x
n+1
= x
n
−

12f(x
n
) + (x
n+1
− x
n
)
2

f

(x
n
) −f

(x
n+1
)

6

f

(x
n
) + f

(x
n+1
)


. (1.14)
Thay (x
n+1
− x
n
) trong vế phải của phương trình (1.14) bởi phương pháp Newton -
Raphson x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
và qui đồng mẫu số, ta thu được
x
n+1
= x
n
−
12f(x
n
)f
2

(x
n
) + f
2
(x
n
)

f

(x
n
) −f

(x
n+1
)

6f
2
(x
n
)

f

(x
n
) + f


(x
n+1
)

. (1.15)
15
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Lại thay x
n+1
trong vế phải (1.15) bởi phương pháp lặp Newton - Raphson ta có phương
pháp mới
x
n+1
= x
n
−
12f(x
n
)f
2
(x
n
) + f
2
(x
n
)


f

(x
n
) −f


x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)


6f
2
(x
n
)

f

(x
n

) + f


x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)


, n = 0, 1, 2, (1.16)
Công thức (1.16) hội tụ bậc ba.
Thay x
n+1
trong vế phải của phương trình (1.15) bởi phương pháp Halley
x
n+1
= x
n
−
2f(x
n
)f


(x
n
)
2f
2
(x
n
) −f(x
n
)f

(x
n
)
thì ta thu được phương pháp hội tụ bậc bốn:
x
n+1
= x
n
−
12f(x
n
)f
2
(x
n
) + f
2
(x
n

)

f

(x
n
) −f

(y
n
)

6f
2
(x
n
)

f

(x
n
) + f

(y
n
)

, n = 0, 1, 2, , (1.17)
trong đó

y
n
= x
n
−
2f(x
n
)f

(x
n
)
2f
2
(x
n
) −f(x
n
)f

(x
n
)
.
Kết hợp công thức (1.16) và phương pháp Newton người ta lại thu được phương pháp
hội tụ bậc sáu:
z
n
= x
n

−
12f(x
n
)f
2
(x
n
) + f
2
(x
n
)

f

(x
n
) −f


x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n

)


6f
2
(x
n
)

f

(x
n
) + f


x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)


,

x
n+1
= z
n
−
f(z
n
)
f

(z
n
)
.
(1.18)
Định lý 1. Giả sử hàm
f : I ⊂ R → R
với I là khoảng mở có một nghiệm đơn x
∗
. Nếu
f(x) là một hàm đủ trơn trong lân cận của nghiệm x
∗
thì phương pháp lặp xác định bởi
(1.16) hội tụ bậc ba.
Chứng minh: Đặt e
n
= x
n
− x
∗

, c
j
=
f
(j)
(x
∗
)
j!f

(x
∗
)
, j = 2, 3, Sử dụng khai triển Taylor mở
16
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
rộng tại x
∗
:
f(x
n
) = f

(x
∗
)(e
n
+ c

2
e
2
n
+ c
3
e
3
n
+ ),
f

(x
n
) = f

(x
∗
)(1 + 2c
2
e
n
+ 3c
3
e
2
n
+ ),
f


(x
n
) = f

(x
∗
)(2c
2
+ 6c
3
e
n
+ 12c
4
e
2
n
+ ),
f(x
n
)
f

(x
n
)
=
e
n
+ c

2
e
2
n
+ c
3
e
3
n
+
1 + 2c
2
e
n
+ 3c
3
e
2
n
+
= e
n
− c
2
e
2
n
− 2(c
2
2

+ c
3
)e
3
n
+ (−3c
4
+ 7c
2
c
3
− 4c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
).
Kết hợp với phương pháp Newton y
n
= x
n
−
f(x
n
)
f


(x
n
)
ta được y
n
= c
2
e
2
n
+2(c
2
2
+c
3
)e
3
n
+O(e
4
n
).
Từ đây bằng cách sử dụng chuỗi Taylor tại x
∗
ta có
f(y
n
) = c
2

e
2
n
+ 2(c
2
2
+ c
3
)e
3
n
+ O(e
4
n
),
f

(y
n
) = 1 + 2c
2
2
e
2
n
− 4(−c
3
+ c
2
2

)c
2
e
3
n
+ O(e
4
n
),
f

(y
n
) = 2c
2
+ 6c
2
c
3
e
2
n
− 12(−c
3
+ c
2
2
)c
3
e

3
n
+ O(e
4
n
).
Đặt





k
1
= 12f(x
n
)f
2
(x
n
) + f
2
(x
n
)[f

(x
n
) −f


(y
n
)],
k
2
= 6f
2
(x
n
)[f

(x
n
) + f

(y
n
)].
⇒





k
1
= 12e
n
+ 60c
2

e
2
n
+ 12(90c
3
+ 96c
2
2
)e
3
n
+ O(e
4
n
),
k
2
= 12 + 60c
2
e
n
+ (90c
3
+ 108c
2
2
)e
2
n
+ + O(e

4
n
).
⇒ k
3
=
k
1
k
2
= e
n
− c
2
2
e
3
n
+ (−
7
2
c
2
c
3
+ 3c
3
2
)e
4

n
+ O(e
5
n
). (1.19)
Từ (1.16) và (1.19) ta có
e
n+1
+ x
∗
= e
n
+ x
∗
−

e
n
− c
2
2
e
3
n
+ (−
7
2
c
2
c

3
+ 3c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
)

e
n+1
= c
2
2
e
3
n
+ (
7
2
c
2
c
3
− 3c
3
2

)e
4
n
+ O(e
5
n
).
Điều đó chứng tỏ công thức lặp (1.16) hội tụ bậc ba.
Định lý 2. Giả sử hàm
f : I ⊂ R → R
với I là khoảng mở có một nghiệm đơn x
∗
. Nếu
f(x) là một hàm đủ trơn trong lân cận của nghiệm x
∗
thì phương pháp lặp xác định bởi
17
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
(1.17) hội tụ bậc bốn.
Chứng minh: Từ phương pháp Halley ta có
y
n
= (−c
3
+ c
2
2
)e

3
n
+ (−3c
4
+ 6c
2
c
3
− 3c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
).
Sử dụng chuỗi Taylor tại điểm x
∗
, ta được:
f(y
n
) = (−c
3
+ c
2
2
)e
3

n
+ (−3c
4
+ 6c
2
c
3
− 3c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
),
f

(y
n
) = 1 + 2(−c
3
+ c
2
2
)c
2
e
3

n
− 6c
2
(c
4
− 2c
2
c
3
+ c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
),
f

(y
n
) = 2c
2
+ 6(−c
3
+ c
2
2

)c
3
e
3
n
− 18c
3
(c
4
− 2c
2
c
3
+ c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
).
Đặt





l

1
= 12f(x
n
)f
2
(x
n
) + f
2
(x
n
)[f

(x
n
) −f

(y
n
)],
l
2
= 6f
2
(x
n
)[f

(x
n

) + f

(y
n
)].
⇒





l
1
= 12e
n
+ 60c
2
e
2
n
+ (90c
3
+ 96c
2
2
)e
3
n
+ + O(e
5

n
),
l
2
= 12 + 60c
2
e
n
+ (90c
3
+ 96c
2
2
)e
2
n
+ + O(e
5
n
).
⇒ l
3
=
l
1
l
2
= e
n
− c

3
2
e
4
n
+ O(e
5
n
). (1.20)
Từ (1.17) và (1.20) ta thu được
e
n+1
+ x
∗
= e
n
+ x
∗
−

e
n
− c
3
2
e
4
n
+ O(e
5

n
)

e
n+1
= c
3
2
e
4
n
+ O(e
5
n
).
Điều này có nghĩa là phương pháp (1.17) hội tụ bậc bốn.
Định lý 3. Giả sử hàm
f : I ⊂ R → R
với I là khoảng mở có một nghiệm đơn x
∗
. Nếu
f(x) là một hàm đủ trơn trong lân cận của nghiệm x
∗
thì phương pháp lặp xác định bởi
(1.18) hội tụ bậc sáu.
Chứng minh: Theo Định lý 1, ta có
k
3
= e
n

− c
2
2
e
3
n
+ (−
7
2
c
2
c
3
+ 3c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
)
⇒ z
n
= c
2
2
e
3

n
+ (
7
2
c
2
c
3
− 3c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
).
18
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của
phương trình phi tuyến
Kết hợp với việc mở rộng f(z
n
) tại x
∗
, ta thu được
f(z
n
) = c

2
2
e
3
n
+ (
7
2
c
2
c
3
− 3c
3
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
),
f

(z
n
) = 1 + 2c
3
2
e

3
n
− c
2
2
(−7c
3
+ 6c
2
2
)e
4
n
+ O(e
5
n
),
⇒ e
n+1
= c
5
2
e
6
n
+ O(e
7
n
).
Như vậy phương pháp xác định bởi công thức (1.18) hội tụ bậc sáu.

Ví dụ
Các ví dụ dưới đây giúp chúng ta so sánh phương pháp Newton (PPN), phương
pháp của Homeier [13] (PPH) và các phương pháp (1.16) (N1), (1.17) (N2) và (1.18) (N3)
(Bảng 2). Ta có thể sử dụng phần mềm Maple 13 để tính toán và lấy nghiệm xấp xỉ với
sai số
|f(x
n
)| < 10
−15
|x
n+1
− x
n
| < 10
−15
.
Xét các hàm số sau và thực hiện tính toán tìm nghiệm gần đúng x
∗
chính xác đến số
thập phân thứ 27.
f
1
(x) = cosx − x, x
∗
= 0.739085133215606416553120876
f
2
(x) = x
3
+ 4x

2
− 10, x
∗
= 1.365230013414096845760806829
f
3
(x) = sinx −
x
2
, x
∗
= 1.895494267033980947144035738
f
4
(x) = (x + 2)e
x
− 1, x
∗
= −0.4428544010023885831413280000
f
5
(x) = x
2
− e
x
− 3x + 2, x
∗
= 0.257530285439860760455367304.
Kết quả trong Bảng 2 biểu thị số lần lặp của một số phương pháp khác nhau tìm nghiệm
gần đúng của phương trình f(x) = 0 với sai số nhỏ hơn 10

−15
.
19
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên