Nghiệm lặp của phương trình phi tuyến với toán tử Accretive mạnh trong không gian Banach

Số hóa bởi trung tâm học liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





DƯƠNG VĂN SÁNG




NGHIỆM LẶP CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VỚI TOÁN TỬ ACCRETIVE MẠNH TRONG
KHÔNG GIAN BANACH






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC







Thái Nguyên - 2013

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Ngun dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu
Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm
và nhiệt tình của Cơ trong suốt q trình tác giả thực hiện luận văn.
Trong q trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư,
Phó Giáo sư cơng tác tại Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ Thơng tin thuộc
Viện Hàn lâm và Khoa học Việt Nam, các Thầy Cơ trong Đại học Thái
Ngun, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc
nghiên cứu và cơng tác của bản thân. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày
tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cơ.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ quốc tế, Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Ngun đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học
tập tại trường.
Cuối cùng tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị
cơng tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất
cho tơi khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Dương Văn Sán g
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mục lục
Bảng ký hiệu 2
Mở đầu 3
1 Phương trình phi tuyến với tốn tử accretive 5
1.1 Tốn tử accretive, tốn tử khơng giãn . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Bài tốn điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động . . . . . . . . . 9
1.4 Phương trình tốn tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến với tốn tử
accretive mạnh 18
2.1 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên
tục Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên
tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 33
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Bảng ký hiệu
X Khơng gian Banach thực
X
∗
Khơng gian liên hợp của X
φ Tập rỗng
x := y x được định nghĩa bằng y
∀x Với mọi x
∃x Tồn tại x
I Tốn tử đơn vị
A
∗
Tốn tử liên hợp của tốn tử A
D(A) Miền xác định của tốn tử A
F ix(T ) Tập các điểm bất động của tốn tử T
x
n
→ x Dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
2

Số hóa bởi trung tâm học liệu />MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của tốn
học như bài tốn tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài tốn chấp nhận lồi,
bài tốn cân bằng
Cho X là một khơng gian Banach thực, C là một tập con của X,
T : C → X là một tốn tử phi tuyến. Phương pháp xấp xỉ nghiệm x
∗
của
phương trình T x = x là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng
được nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước quan tâm. Điểm x
∗
thỏa
mãn T x
∗
= x
∗
còn được gọi là điểm bất động của tốn tử T .
Trong nhiều trường hợp quan trọng, việc tìm nghiệm của một phương
trình tốn tử được đưa về bài tốn tìm điểm bất động của một tốn tử
thích hợp. Chẳng hạn nghiệm của phương trình tốn tử Ax = f, ở đây
A : X → X là một tốn tử phi tuyến, f là phần tử thuộc X, là điểm bất
động của tốn tử S xác định bởi Sx = Ax + x − f với x ∈ X.
Nếu T là tốn tử khơng giãn thì A := I − T là tốn tử accretive, ở đây
I là tốn tử đơn vị trong X. Do đó bài tốn tìm điểm bất động của tốn
tử khơng giãn được đưa về bài tốn giải phương trình tốn tử accretive.
Mục đích của đề tài luận văn này nhằm nghiên cứu phương pháp lặp
Mann và phương pháp lặp Ishikawa giải phương trình tốn tử accretive
trong khơng gian Banach.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới
thiệu một số kiến thức cơ bản về tốn tử accretive đơn trị, tốn tử khơng

giãn, bài tốn điểm bất động và phương trình tốn tử accretive. Phần cuối
của chương giới thiệu một số dãy lặp cổ điển xấp xỉ điểm bất động, đó là
dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa. Chúng tơi cũng giới thiệu lịch sử của
các dãy lặp này trên cơ sở các mở rộng của Deiling, Chidume, Liu, Zhou,
Osilike và Ding (xem [6], [2], [8], [12], [10], [4], [5]).
Trong chương 2, chúng tơi trình bày một số phương pháp lặp giải phương
trình phi tuyến với tốn tử accretive mạnh trong khơng gian Banach. Sự
hội tụ của các dãy lặp kiểu Mann và Ishikawa được chứng minh chi tiết
3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />trong các trường hợp tốn tử accretive mạnh đơn trị, liên tục Lipschiz và
liên tục đều.
Đóng góp chính của chúng tơi trong luận văn là đọc, dịch, tổng hợp kiến
thức trong các tài liệu [1]-[12]. Tồn bộ phần chứng minh các định lý trong
chương 2 được chúng tơi làm rõ từ các kết quả nghiên cứu đã có trong [1],
và khơng được chứng minh tường minh trong tài liệu này.
4
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1
Phương trình phi tuyến với tốn tử
accretive
Trong chương này chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả về
tốn tử accretive, bài tốn điểm bất động, phương trình tốn tử và một
số phương pháp lặp kinh điển tìm điểm bất động của tốn tử trong khơng
gian Banach. Các kết quả của chương này được tham khảo trong tài liệu
[1]-[12].
1.1 Tốn tử accretive, tốn tử khơng giãn
Cho X là một khơng gian Banach thực, X
∗
là khơng gian liên hợp của
X và x
∗

, x là ký hiệu giá trị của x
∗
∈ X
∗
tại x ∈ X. Ký hiệu 2
X
là một
họ các tập con khác rỗng của X. Cho A là một tốn tử với miền xác định
là D(A) và miền giá trị là R(A).
Định nghĩa 1.1. Tốn tử J : X → 2
X
∗
(nói chung đa trị) được gọi là
tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc của X nếu
J(x) = {x
∗
∈ X
∗
: x
∗
, x = xx
∗
, x
∗
 = x}.
Trong trường hợp đơn trị ta ký hiệu là j. Tính đơn trị của tốn tử đối
ngẫu chuẩn tắc của khơng gian Banach X được cho trong mệnh đề sau
đây.
5
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mệnh đề 1.2. Giả sử X là một khơng gian Banach. Khi đó,

i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x), với mọi λ > 0;
ii) J là tốn tử đơn trị khi X
∗
là khơng gian lồi chặt. Trong trường hợp
X là khơng gian Hilbert thì J ≡ I-tốn tử đơn vị trong X.
Một bất đẳng thức đơn giản và thơng dụng thường được dùng để thiết
lập mối quan hệ giữa tốn tử đối ngẫu chuẩn tắc J và chuẩn . trong
khơng gian Banach là bất đẳng thức Petryshyn [11].
Định nghĩa 1.3. Cho X là một khơng gian Banach thực, J : X → 2
X
∗
là tốn tử đối ngẫu của X. Khi đó
x + y
2
≤ x
2
+ 2y, j(x + y) (1.1)
với mọi x, y ∈ X và j(x + y) ∈ J(x + y).
Bất đẳng thức (1.1) được gọi là bất đẳng thức Petryshyn.
Định nghĩa 1.4. Tốn tử đơn trị A : X → X được gọi là
i) accretive nếu
Ax − Ay, J(x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
ii) accretive chặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạt được khi
x = y;
iii) accretive đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0, sao cho
Ax − Ay, J(x − y) ≥ γ(x − y), ∀x, y ∈ D(A);
iv) k-accretive mạnh nếu γ(t) = kt
2
, k > 0 là một hằng số;
v) m-accretive nếu R(I + λA) = X, ∀λ > 0.

Định nghĩa 1.5. Tốn tử T : X → X được gọi là liên tục Lipschitz nếu
tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn
T x − T y ≤ Lx − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.2)
6
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T .
Nếu L < 1 thì T là tốn tử co và nếu L = 1 thì T là tốn tử khơng
giãn, nghĩa là
|T x − T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.3)
Tính chất accretive và khơng giãn của tốn tử T có mối liên hệ sau đây.
Cho X là một khơng gian Banach và C là một tập con của X. Khi đó
nếu T : C → X là một tốn tử khơng giãn thì A := I − T là một tốn
tử accretive. Hơn nữa, nếu C trùng với X thì A := I − T là một tốn tử
m-accretive.
Định nghĩa 1.6. Cho T : D(T ) ⊂ X → X là một tốn tử.
(i) Tốn tử T được gọi là giả co nếu với mỗi x, y ∈ D(T ), tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y
2
. (1.4)
(ii) Tốn tử T được gọi là giả co mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) và hằng số l ∈ (0, 1) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ lx − y
2
. (1.5)
(iii) Tốn tử T được gọi là giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ D(T ), tồn tại
một hằng số k > 0 và j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T x − T y, j(x − y) ≤ x − y
2
− k(Ix − Iy) − (T x − T y)
2

, (1.6)
ở đây I là tốn tử đồng nhất trong X.
Chú ý rằng, bất đẳng thức (1.6) được viết dưới dạng
(I − T)x − (I − T )y, j(x − y) ≥ k(I − T)x − (I − T )y
2
. (1.7)
Trong khơng gian Hilbert, bất đẳng thức (1.6) và (1.7) tương đương và
T x − T y
2
≤ x − y
2
+ λ(I − T )x − (I − T )y
2
, (1.8)
với mọi x, y ∈ D(T ) và λ = 1 − k < 1. Khi λ = 0 thì bất đẳng thức (1.8)
có dạng
T x − T y ≤ x − y, ∀x, y ∈ D(T ). (1.9)
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.2 Bài tốn điểm bất động
Định nghĩa 1.7. Phần tử x ∈ D(T ) trong khơng gian Banach X được
gọi là một điểm bất động của tốn tử T nếu x = T x.
Ký hiệu tập các điểm bất động của tốn tử T là F ix(T ). Chú ý rằng
tập điểm bất động của tốn tử khơng giãn T trong khơng gian Banach
lồi chặt X nếu khác rỗng là một tập lồi và đóng. Bài tốn điểm bất động
được phát biểu như sau: Cho C là một tập con lồi của khơng gian Banach
X, T : C → X là một tốn tử.
Hãy tìm phần tử x
∗
∈ C sao cho T x
∗

= x
∗
. (1.10)
Việc tìm nghiệm của bài tốn điểm bất động (1.10) tương đương với
việc giải phương trình tốn tử
T x − x = 0. (1.11)
Định lý 1.8. (Định lý điểm bất động Banach) Cho (X, d) là một khơng
gian metric đầy đủ và T : X → X là một tốn tử co. Khi đó T có một
điểm bất động duy nhất trong X và với mỗi x
0
∈ X mọi dãy lặp {T
n
x
0
}
đều hội tụ đến điểm bất động này.
Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach
vào năm 1992, nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm của phương
trình tích phân. Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng, nó đã trở thành
một cơng cụ rất phổ biến trong việc giải quyết các vấn đề tồn tại trong
nhiều ngành của tốn học giải tích. Chú ý rằng, nếu một tốn tử khơng
giãn T : X → X có một điểm bất động thì nó khơng duy nhất và dãy
{x
n
} được xác định bởi x
n+1
= T x
n
với n = 0, 1, 2, có thể khơng hội tụ
tới điểm bất động của T . Ví dụ, cho T : R → R xác định bởi T x = 1 − x.

8
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Khi đó, cho x
0
= 1,
x
1
= T x
0
,
x
2
= T x
1
= 1,
x
3
= T x
2
= 0,
· ··,
x
2n
= T x
2n−1
= 1,
x
2n+1
= T x
2n
= 0,

· ··,
và dãy {x
n
} được xác định như trên khơng hội tụ tới điểm bất động duy
nhất
1
2
∈ R của T .
Nếu C là một tập con lồi của X và T : C → C là một tốn tử khơng
giãn thì ∀λ ∈ (0; 1) tốn tử T
λ
: C → C được xác định bởi:
T
λ
x = λx + (1 − λ)T x, ∀x ∈ C
cũng là tốn tử khơng giãn đồng thời T và T
λ
cùng có điểm bất động trong
C.
1.3 Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động
Năm 1953, Mann [9] đã đưa ra một dãy lặp hội tụ mạnh đến điểm bất
động của tốn tử T .
Định lý 1.9. Cho T là một tốn tử liên tục từ tập compact [a; b] vào chính
nó. Khi đó dãy {x
n
} trong [a; b] được xác định bởi:
x
0
∈ [a; b] , x
n+1

= T x
n
, x
n
=
n

k=1
x
k
k
, n ≥ 0 (1.12)
hội tụ tới một điểm bất động của T .
Hầu hết các nghiên cứu về phương pháp lặp Mann với dãy {x
n
} được
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu />xác định bởi:



x
0
∈ C,
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n

+ α
n
T x
n
, n ≥ 0,
(1.13)
trong đó C là một tập lồi đóng của X và {α
n
} là dãy thực thỏa mãn:
i) α
0
= 1,
ii) 0 < α
n
< 1, n ≥ 1,
iii)
∞

n=0
α
n
= ∞.
Để thuận tiên cho việc trình bày, ta sẽ gọi (1.12) là dãy lặp Mann tổng
qt và (1.13) là dãy lặp Mann.
Năm 1974, Ishikawa [7] đã nghiên cứu một suy rộng (1.14) dưới đây của
dãy lặp Mann, dãy này được gọi là dãy lặp Ishikawa:
Định lý 1.10. Cho C là tập con compact lồi của khơng gian Hilbert H và
T : C → C là tốn tử giả co Lipschitz. Khi đó, dãy lặp {x
n
} trong C xác

định bởi:





x
0
∈ C,
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T x
n
, n ≥ 0,
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T y
n

, n ≥ 0
(1.14)
hội tụ mạnh tới điểm bất động của T , trong đó {α
n
} và {β
n
} là dãy thực
trong [0; 1] thỏa mãn:
i) 0 ≤ α
n
≤ β
n
≤ 1, n ≥ 1,
ii) lim
n→∞
β
n
= 0,
iii)
∞

n=1
α
n
β
n
= ∞.
Năm 1974, Deimling [6] đã chứng minh định lý điểm bất động cho tốn
tử giả co chặt (giả co mạnh) liên tục trong khơng gian Banach.
Định lý 1.11. Cho X là khơng gian Banach, K là tập con lồi đóng khác

rỗng của X và T : K → K là tốn tử giả co chặt (giả co mạnh). Khi đó
T có duy nhất điểm bất động trong K.
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Năm 1987, Chidume [2] đã chứng minh định lý về sự hội tụ mạnh của
dãy lặp Mann xác định bởi (1.13) trong L
p
(p ≥ 2) như sau:
Định lý 1.12. Cho X = L
p
, p ≥ 2 và T : X → X là tốn tử accretive
mạnh và liên tục Lipschitz. Với f ∈ X cho trước, tốn tử S : X → X xác
định bởi Sx = f − T x + x. Khi đó dãy lặp Mann {x
n
} xác định bởi (1.13)
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f.
Định lý 1.13. Cho X = L
p
, p ≥ 2 và C là tập con lồi đóng bị chặn khác
rỗng của X. Nếu T : C → C là tốn tử giả co mạnh và liên tục Lipschitz
thì dãy lặp Mann {x
n
} xác định bởi (1.13) hội tụ mạnh tới điểm bất động
duy nhất của T .
Cũng tại thời điểm này, Chidume đặt ra các câu hỏi mở dưới đây:
Câu hỏi mở (I): Định lý 1.12 và 1.13 có mở rộng được cho khơng gian
L
p
với 1 < p < 2 hay khơng?
Câu hỏi mở (II): Dãy lặp Ishikawa {x
n

} xác định bởi (1.14) có thể mở
rộng cho Định lý 1.12 và 1.13 khơng?
Năm 1995, Liu [8] đã giới thiệu dãy lặp Ishikawa và Mann với sai số và
đã chứng minh định lý hội tụ mạnh trong khơng gian Banach trơn đều và
ơng cũng tìm ra được câu trả lời cho câu hỏi mở (I) và (II).
Định nghĩa 1.14. Giả sử X là một khơng gian tuyến tính định chuẩn
thực với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, và x, y ∈ X. Mơ đun trơn của X
được xác định bởi
ρ
X
(τ) := sup

x + y + x − y
2
− 1 : x = 1, y = τ

. (1.15)
Ta có định nghĩa về khơng gian trơn đều như sau.
Định nghĩa 1.15. Một khơng gian Banach X được gọi là trơn đều nếu
lim
τ →0
h
X
(τ) := lim
τ →0
ρ
X
(τ)
τ
= 0. (1.16)

Các khơng gian L
p
, l
p
là các ví dụ về khơng gian trơn đều.
11
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định lý 1.16. Cho X là khơng gian Banach trơn đều và T : X → X
là tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số k ∈ (0; 1) và
L ≥ 1. Cho trước f ∈ X, xác định tốn tử S : X → X bởi Sx = f +x−T x.
{u
n
} và {v
n
} là hai dãy khả tích trong X và {α
n
}, {β
n
} là hai số thực
trong [0; 1] thỏa mãn:
i) lim
n→∞
α
n
= 0,
∞

n=0
α
n
= ∞,

ii) lim
n→∞
sup β
n
<
k
L
2
− k
.
Nếu dãy lặp {x
n
} trong X xác định bởi:





x
0
∈ X,
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
Sx

n
+ v
n
, n ≥ 0
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
Sy
n
+ u
n
, n ≥ 0
(1.17)
và {Sy
n
} bị chặn, thì dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của
phương trình T x = f.
Năm 1994, Chidume [3] mở rộng Định lý 1.13 từ L
p
, p ≥ 2, lên khơng
gian Banach trơn đều.
Định lý 1.17. Cho X là khơng gian Banach trơn đều, K là tập con lồi
đóng và bị chặn khác rỗng của X và T : K → K là tốn tử giả co mạnh

và liên tục. Giả sử {c
n
} là dãy thực thỏa mãn các điều kiện sau:
i) 0 < c
n
< 1, n ≥ 0,
ii)
∞

n=0
c
n
= ∞,
iii)
∞

n=0
c
n
b(c
n
) < ∞, trong đó b : R
+
→ R
+
là hàm thỏa mãn các điều
kiện
(1) b(ct) ≤ cb(t), với mọi c ≥ 1;
(2) lim
t→0

+
b(t) = 0;
(3) x + y ≤ x
2
+ 2y, j(x) + max{x, 1}yb(y) với mọi
x, y ∈ X.
12
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Khi đó, dãy lặp {x
n
} xác định bởi:

x
0
∈ K,
x
n+1
= (1 − c
n
) x
n
+ c
n
T x
n
, n ≥ 0
(1.18)
hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T .
Chidume cũng đưa ra câu hỏi mở dưới đây:
Câu hỏi mở (III): Định lý 1.17 có phát triển được cho dãy lặp Ishikawa
{x

n
} xác định bởi (1.14) hay khơng?
Năm 1997, Zhou [12] đã đưa ra một câu trả lời mang tính kết luận cho
câu hỏi mở (III) bằng việc chứng minh kết quả dưới đây.
Định lý 1.18. Cho X là khơng gian Banach thực trơn đều, K là tập con
bị chặn và lồi đóng khác rỗng của X và T : K → K là tốn tử giả co
mạnh và liên tục. Giả sử {α
n
} và {β
n
} là dãy thực trong [0; 1] thỏa mãn
các điều kiện sau:
i) α
n
, β
n
→ 0 khi n → ∞,
ii)
∞

n=0
α
n
= ∞.
Khi đó với mỗi x
0
∈ K, dãy lặp {x
n
} sinh bởi:






x
0
∈ X,
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T y
n
, n ≥ 0
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T x
n
, n ≥ 0
(1.19)

hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T .
Năm 1997, Liu [8] đã chứng minh được kết quả sau đây.
Định lý 1.19. Cho X là khơng gian Banach thực, K là tập con lồi đóng
bị chặn khác rỗng của X và T là tốn tử giả co mạnh và liên tục Lipschitz.
Gọi {c
n
} là dãy số thực thỏa mãn các điều kiện sau:
i) 0 ≤ c
n
< 1, n ≥ 0,
ii) c
n
→ 0 khi n → ∞,
13
Số hóa bởi trung tâm học liệu />iii)
∞

n=0
c
n
= ∞.
Khi đó, dãy lặp {x
n
} xác định bởi:

x
0
∈ K,
x
n+1

= (1 − c
n
) x
n
+ c
n
T x
n
+ u
n
, n ≥ 0
(1.20)
hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T .
Theo ý tưởng của Liu, Chidume và Osilike [4] đã mở rộng Định lý 1.19
thành q trình lặp Ishikawa như sau.
Định lý 1.20. Cho X là khơng gian Banach thực, K là tập con lồi đóng
khác rỗng của X, và T : K → K là tốn tử giả co mạnh và liên tục
Lipschitz. Gọi {α
n
} và {β
n
} là các dãy thực trong [0; 1] thỏa mãn các điều
kiện sau:
i) α
n
, β
n
→ 0 khi n → ∞,
ii)
∞


n=0
α
n
= ∞.
Khi đó dãy lặp Ishikawa {x
n
} sinh ra từ một điểm bất kì x
0
∈ K xác định
bởi:

x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T y
n
, n ≥ 0,
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β

n
T x
n
, n ≥ 0
(1.21)
hội tụ mạnh tới điểm bất động duy nhất của T .
Năm 1997, Osilike [10] cũng đã chứng minh kết quả dưới đây bằng việc
sử dụng ý tưởng và phương pháp của Liu.
Định lý 1.21. Cho X là khơng gian Banach bất kì và T : X → X là tốn
tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz với hằng số k ∈ (0; 1) và L ≥ 1.
Cho {u
n
}, {v
n
} là hai dãy trong X và {α
n
}, {β
n
} là dãy thực trong [0; 1]
thỏa mãn:
i) lim
n→∞
α
n
= 0,
∞

n=0
α
n

= ∞,
ii) lim
n→∞
β
n
= 0.
14
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Khi đó, với bất kì f ∈ X, dãy lặp {x
n
} trong X xác định bởi:





x
0
∈ X,
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
[f + (I − T )x
n
] + v
n

, n ≥ 0
x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
[f + (I − T )y
n
] + u
n
, n ≥ 0
(1.22)
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f.
Năm 1997, Ding [5] cũng đã chứng minh một kết quả sau, kết quả này
tổng qt hóa kết quả đã đưa ra trong Osilike.
Định lý 1.22. Cho X là khơng gian Banach bất kì và T : X → X là tốn
tử k-accretive mạnh và liên tục Lipschitz với miền xác định D(T ) và miền
giá trị R(T ). Giả sử phương trình T x = f có nghiệm với bất kì f ∈ D(T ).
Cho {u
n
}, {v
n
} là hai dãy trong X và {α
n
}, {β
n
} là hai dãy thực trong

[0; 1] thỏa mãn các điều kiện sau:
i)
∞

n=0
v
n
 < ∞,
∞

n=0
u
n
 < ∞,
ii)
∞

n=0
α
n
= ∞,
iii)
∞

n=0
α
n
(1 − α
n
)β

n
< ∞,
iv)
∞

n=0
α
2
n
< ∞.
Giả sử rằng, với x
0
∈ D(T ) nào đó, dãy lặp kiểu Ishikawa {x
n
} với sai số
xác định bởi:

x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
[f + (I − T )y
n
] + u
n
, n ≥ 0

y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
[f + (I − T )x
n
] + v
n
, n ≥ 0
(1.23)
được chứa trong D(T ). Khi đó dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất
của phương trình T x = f.
Định lý 1.23. Cho X là khơng gian Banach bất kì và T : X → X là tốn
tử k-accretive mạnh và liên tục Lipschitz với miền xác định D(T ) và miền
giá trị R(T ). Cho {u
n
}, {v
n
} là hai dãy trong X và {α
n
}, {β
n
} là hai dãy
15

Số hóa bởi trung tâm học liệu />thực trong [0; 1] thỏa mãn các điều kiện từ i) đến iv) trong Định lý 1.22.
Giả sử với x
0
∈ D(T ) nào đó, dãy lặp kiểu Ishikawa {x
n
} với sai số xác
định bởi:

x
n+1
= (1 − α
n
) x
n
+ α
n
T y
n
+ u
n
, n ≥ 0
y
n
= (1 − β
n
) x
n
+ β
n
T x

n
+ v
n
, n ≥ 0
(1.24)
được chứa trong D(T ). Khi đó dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới điểm bất động
duy nhất của T .
1.4 Phương trình tốn tử accretive
Ta xét phương trình tốn tử
Ax = f, (1.25)
trên một tập con lồi đóng G ⊂ D(A) ⊆ X, trong đó D(A) là miền xác
định của tốn tử accretive A : X → X.
Rõ ràng rằng x
∗
là nghiệm của phương trình tốn tử (1.25) khi và chỉ
khi x
∗
là điểm bất động của tốn tử S được xác định bởi
Sx = f − Ax + x. (1.26)
Định lý 1.11 khẳng định rằng nếu S là giả co chặt (hoặc giả co mạnh)
thì tốn tử S có duy nhất điểm bất động, khi đó, phương trình tốn tử
accretive (1.25) sẽ có duy nhất nghiệm.
Ta có mối liên hệ giữa tốn tử accretive và giả co như sau.
Bổ đề 1.24. Cho A : D(A) ⊂ X → X là một tốn tử. Khi đó,
i) A là tốn tử accretive khi và chỉ khi I − A là tốn tử giả co;
ii) A là tốn tử accretive mạnh khi và chỉ khi I − A là tốn tử giả co
mạnh,
ở đây I là tốn tử đơn vị trong X.

Như vậy việc xấp xỉ nghiệm của phương trình phi tuyến với tốn tử
accretive hoặc accretive mạnh được đưa về bài tốn điểm bất động của
16
Số hóa bởi trung tâm học liệu />tốn tử giả co hoặc giả co chặt. Trong chương 2 chúng tơi sẽ làm rõ mối
liên hệ này trên cơ sở chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy lặp tương
ứng.
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 2
Phương pháp lặp giải phương trình
phi tuyến với tốn tử accretive
mạnh
Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp giải phương trình
phi tuyến trên cơ sở sự hội tụ của dãy lặp Mann và dãy lặp Ishikawa với
tốn tử accretive mạnh trong khơng gian Banach. Các kết quả của chương
này được tổng hợp và làm chi tiết hơn từ tài liệu [1].
2.1 Sự hội tụ trong trường hợp tốn tử accretive mạnh và liên
tục Lipschitz
Ký hiệu L ≥ 1 và k ∈ (0; 1) là hằng số Lipschitz và hằng số accretive
mạnh của tốn tử T . Đặt L
∗
= 1 + L và r là bất kỳ, nhưng cố định trong

0; k
2

.
Định lý 2.1. Cho X là một khơng gian Banach thực bất kỳ và T : X → X
là một tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz, {α
n
} và {β

n
} là các
dãy số thực trong [0; 1] thỏa mãn các điều kiện sau:
i) β
n
≤
k(1 − k)
L
∗
(1 + L
∗
)
, n ≥ 0,
18
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ii) α
n
≤
k
2
− r
L
∗
(1 + L
2
∗
)
, n ≥ 0,
iii)
∞


n=0
α
n
= ∞.
Với bất kỳ f ∈ X, tốn tử S : X → X được xác định bởi Sx = f − T x + x
với mọi x ∈ X. Khi đó, dãy lặp Ishikawa





x
0
∈ X
y
n
= (1 − β
n
)x
n
+ β
n
Sx
n
, n ≥ 0
x
n+1
= (1 − α
n
)x

n
+ α
n
Sy
n
, n ≥ 0
(2.1)
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của phương trình T x = f.
Chứng minh. Vì T : X → X là tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz
nên theo Bổ đề 1.24 S : X → X là tốn tử giả co mạnh và liên tục Lipschitz
với hằng số Lipschitz L
∗
= 1 + L. Rõ ràng rằng, x
∗
là nghiệm của phương
trình T x = f khi và chỉ khi x
∗
là điểm bất động của S. Mà theo Định lý
1.11 thì S có điểm bất động duy nhất trong X, nên phương trình T x = f
có nghiệm trong X.
Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy lặp Ishikawa {x
n
} xác định bởi (2.1) hội
tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x
∗
của phương trình T x = f, tức là điểm
bất động duy nhất x
∗
của S. Thật vậy, ta có
x

n+1
− x
∗
= (1 − α
n
) (x
n
− x
∗
) + α
n
(Sx
n+1
− Sx
∗
)
− α
n
(Sx
n+1
− Sy
n
) .
(2.2)
Đặt
K
n
= L
∗
(1 + L

2
∗
)α
n
+ L
∗
(1 + L
∗
)β
n
.
Khi đó từ (2.1) ta thu được
Sx
n+1
− Sy
n
 ≤ L
∗
x
n+1
− y
n
 ≤ K
n
x
n
− x
∗
 (2.3)
19

Số hóa bởi trung tâm học liệu />Tác động với j(x
n+1
) ∈ J(x
n+1
) trong đẳng thức (2.2) ta thu được
x
n+1
− x
∗
 ≤ (1 − α
n
) x
n
− x
∗
, j (x
n+1
− x
∗
)
+ α
n
Sx
n+1
− x
∗
, j (x
n+1
− x
∗

)
− α
n
Sx
n+1
− Sy
n
, j (x
n+1
− x
∗
)
≤ (1 − α
n
) x
n
− x
∗
 x
n+1
− x
∗

+ α
n
Sx
n+1
− Sx
∗
, j (x

n+1
− x
∗
)
+ α
n
Sx
n+1
− Sy
n
 x
n+1
− x
∗
 .
(2.4)
Dễ thấy rằng tồn tại j(x
n+1
− x
∗
) ∈ J(x
n+1
− x
∗
) sao cho
Sx
n+1
− Sx
∗
, j (x

n+1
− x
∗
) ≤ (1 − k) x
n+1
− x
∗

2
. (2.5)
Ta thay (2.3) và (2.5) vào (2.4) để nhận được
x
n+1
− x
∗

2
≤ (1 − α
n
) x
n
− x
∗
 x
n+1
− x
∗

+ (1 − k) α
n

x
n+1
− x
∗

2
+ K
n
α
n
x
n
− x
∗
 x
n+1
− x
∗
 .
(2.6)
Ở đây, ta giả thiết rằng x
n+1
− x
∗
 > 0, nên từ (2.6) suy ra:
x
n+1
− x
∗
 ≤ (1 − α

n
) x
n
− x
∗
 + (1 − k) α
n
x
n+1
− x
∗

2
+ K
n
α
n
x
n
− x
∗
 .
(2.7)
Từ điều kiện i) và ii) của định lý ta có K
n
≤ k − r với mọi n ≥ 0, nên từ
(2.7) ta suy ra
x
n+1
− x

∗
 ≤
1 − α
n
+ K
n
α
n
1 − (1 − k) α
n
x
n
− x
∗

≤

1 −
r
1 − (1 − k) α
n
α
n

x
n
− x
∗

≤ (1 − rα

n
) x
n
− x
∗

≤ exp



−r
n

j=0
α
j



x
n
− x
∗
 → 0, khi n → ∞.
(2.8)
20
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Hệ quả 2.2. Cho X, T , S, {α
n
} như trong Định lý 2.1. Khi đó dãy lặp
Mann {x

n
} được xác định bởi

x
0
∈ X
x
n+1
= (1 − α
n
)x
n
+ α
n
Sx
n
, n ≥ 0
hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của phương trình T x = f.
Chứng minh. Cho β
n
= 0 với mọi n ≥ 0 trong Định lý 2.1 ta nhận được
điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.3. Cho X, T , S, {α
n
} như trong Định lý 2.1. Khi đó dãy lặp
Picard {x
n
}

x

0
∈ X
x
n+1
= (1 − λ)x
n
+ λSx
n
, n ≥ 0
hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất của phương trình T x = f.
Định lý 2.4. Cho X là khơng gian Banach thực và T : X → X là tốn
tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz, {α
n
} và {β
n
} là các dãy số thực
trong [0; 1] thỏa mãn các điều kiện sau:
i) α
n
≤ min

k
2
,
1
(2 + k)(1 − k)
,
k(1 − k)
2L
∗

[1 + L
∗
(1 + L
∗
)]

, n ≥ 0,
ii) β
n
≤
k(1 − k)
2L
∗
(1 + L
∗
)
, n ≥ 0,
iii)
∞

n=0
α
n
= ∞.
Tốn tử S : X → X được xác định bởi Sx = f + x − T x với mọi x ∈ X
và f ∈ X. Khi đó dãy lặp Ishikawa






x
0
∈ X
x
n+1
= (1 − α
n
)x
n
+ α
n
Sy
n
, n ≥ 0
y
n
= (1 − β
n
)x
n
+ β
n
Sx
n
, n ≥ 0
(2.9)
hội tụ mạnh đến nghiệm duy nhất x
∗
của phương trình T x = f. Hơn nữa

21
Số hóa bởi trung tâm học liệu />ta có đánh giá
x
n+1
− x
∗
 ≤
1
k





exp



−k
n

j=0
α
j



T x
0
− f , n ≥ 0.

Chứng minh. Vì T : X → X là tốn tử accretive mạnh và liên tục Lipschitz
nên theo Bổ đề 1.24 S : X → X là tốn tử giả co mạnh và liên tục Lipschitz
với hằng số Lipschitz L
∗
= 1 + L. Rõ ràng rằng, x
∗
là nghiệm của phương
trình T x = f khi và chỉ khi x
∗
là điểm bất động của S. Mà theo Định lý
1.11 thì S có điểm bất động duy nhất trong X, nên phương trình T x = f
có nghiệm trong X.
Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy lặp Ishikawa {x
n
} xác định bởi (2.9) hội
tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x
∗
của phương trình T x = f, tức là điểm
bất động duy nhất x
∗
của S. Thật vậy, vì S là giả co mạnh nên tồn tại
j(x − y) ∈ J(x − y) thỏa mãn:
Sx − Sy, j (x − y) ≤ (1 − k) x − y
2
, ∀x, y ∈ X. (2.10)
Đặt
L
n
= L
∗

[1 + L
∗
(1 + L
∗
)]α
n
+ L
∗
(1 + L
∗
)β
n
.
Sử dụng Định lý 1.1 và (2.10) ta có:
x
n+1
− x
∗

2
= (1 − α
n
) (x
n
− x
∗
) + α
n
(Sy
n

− x
∗
)
2
≤ (1 − α
n
)
2
x
n
− x
∗

2
+ 2α
n
Sy
n
− x
∗
, j (x
n+1
− x
∗
)
≤ (1 − α
n
)
2
x

n
− x
∗

2
+ 2α
n
Sy
n
− Sx
n+1
, j (x
n+1
− x
∗
)
+ 2α
n
Sx
n+1
− Sx
∗
, j (x
n+1
− x
∗
)
≤ (1 − α
n
)

2
x
n
− x
∗

2
+ 2α
n
Sy
n
− Sx
n+1
 x
n+1
− x
∗

+ 2α
n
(1 − k) x
n+1
− x
∗

2
(2.11)
22
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Từ (2.9), ta có
Sy

n
− Sx
n+1
 ≤ L
∗
y
n
− x
n+1

= L
∗
(α
n
− β
n
)(x
n
− x
∗
)
+ α
n
(x
∗
− Sy
n
) + β
n
(Sx

n
− x
∗
)
≤ L
∗

(α
n
+ β
n
) x
n
− x
∗

+ α
n
L
∗
y
n
− x
∗
 + β
n
L
∗
x
n

− x
∗


≤ L
∗

α
n
[1 + L
∗
(1 + L
∗
)]
+ β
n
(1 + L
∗
)

x
n
− x
∗

= L
n
x
n
− x

∗
 .
(2.12)
Thay (2.12) vào (2.11) ta nhận được
x
n+1
− x
∗

2
≤ (1 − α
n
)
2
x
n
− x
∗

2
+ 2α
n
L
∗
x
n
− x
∗
 x
n+1

− x
∗

+ 2α
n
(1 − k) x
n+1
− x
∗

2
≤

(1 − α
n
)
2
+ α
n
L
n

x
n
− x
∗

2
+ [2α
n

(1 − k) + α
n
L
n
] x
n+1
− x
∗

2
.
(2.13)
Sử dụng điều kiện i) và ii) của định lý ta có
x
n+1
− x
∗

2
≤ [1 − α
n
(2 + k)] x
n
− x
∗

2
+ [α
n
(1 − k) (2 + k)] x

n+1
− x
∗

2
,
(2.14)
suy ra
x
n+1
− x
∗

2
≤
1 − α
n
(2 + k)
1 − α
n
(1 − k) (2 + k)
x
n
− x
∗

2
=

1 −

k (2 + k) α
n
1 − α
n
(1 − k) (2 + k)

x
n
− x
∗

2
≤ (1 − kα
n
) x
n
− x
∗

2
≤ exp

−k
n

j=0
α
j

x

0
− x
∗

2
→ 0, khi n → ∞,
23
Số hóa bởi trung tâm học liệu />