MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC VI PHÂN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC VI PHÂN
VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT



BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài 1.1
Cho
ϕ
,
ψ
là các hàm số khả vi trên U,
,
p p p
T U
α β
∈
,
k R
∈
thì ta có
a)
[ + ] [ ] [ ]
p p p
α ϕ ψ α ϕ α ψ
= +

b)
( )[ ] [ ] [ ]
p p p p
α β ϕ α ϕ β ϕ

+ = +

c)
( )[ ] [ ]
p p
k k
α ϕ α ϕ
=

d)
[ ] [ ]. ( ) ( ) [ ]
p p p
p p
α ϕψ α ϕ ψ ϕ α ψ
= +

Bài 1.2
V
ớ
i
,
X Y VecU
∈
,
,
ϕ ψ
∈
F(U) ta có các công thức sau
a)
[ + ] [ ] [ ]

X X X
ϕ ψ ϕ ψ
= +

b)
( )[ ] [ ]
X X
ϕ ψ ϕ ψ
=

c)
( )[ ] [ ] [ ]
X Y X Y
ϕ ϕ ϕ
+ = +

d)
[ ] [ ] [ ]
X X X
ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ
= +


Bài 1.3
Chứng minh rằng nếu
*
f X
là ảnh của trường vectơ X
( )
Vec U

∈
qua vi phôi f:
U V
→
thì với mọi hàm số
ϕ
trên V ta có

(
)
1
*
[ ] [ .f ].
f X X f
ϕ ϕ
−
=

Bài 1.4
Cho U là tập mở trong
n
E
, với toạ ñộ afin
(
)
1
, ,
n
x x
của

n
E
thì mọi
1
( )
U
θ
∈Ω

vi
ế
t
ñượ
c duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng
1
,
n
i
i
i
dx
θ ϕ
=
∑

=

i
ϕ
∈
F
(U) và
(
)
1 1
n n
i i
i i
i i
d dx d dx
ϕ ϕ
= =
∑ ∑
= ∧
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ánh x
ạ

1 2
: ( ) ( )
d U U

Ω → Ω
tho
ả
mãn các tính ch
ấ
t sau:
a)

d là R- tuy
ế
n tính.
b)

( )
d d d
ϕθ ϕ θ ϕ θ
= ∧ +
v
ớ
i
0 1
( ), ( ).
U U
ϕ θ
∈Ω ∈Ω

c)

( ) 0.
d d

ϕ
=
v
ớ
i m
ọ
i
0
( )
U
ϕ
∈Ω
.
Bài 1.5
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ánh x
ạ

1 1 2
: ( ) ( ) ( )
f U U U
Ω × Ω → Ω
là
F
(U) song tuy
ế
n tính ph

ả
n
ñố
i x
ứ
ng.
Bài 1.6
Gi
ả
s
ử

: , : W
f U V g V
→ →
là các ánh x
ạ
kh
ả
vi gi
ữ
a các t
ậ
p m
ở
t
ươ
ng
ứ
ng trong

m
E
và
.
n
E

Khi
ñ
ó
(
)
*
* *
: (W) ( )
i i
g f f g U
= Ω → Ω
 
(i= 0,1,2)
Bài 1.7
V
ớ
i

0
, ( )
V
ϕ ϕ
∈Ω

,
ɶ
1 2
, ( ), ( )
V V
θ θ ω
∈Ω ∈Ω
ta có
a)


* * *
( ) ( )( ),
f f f
ϕϕ ϕ ϕ
=
b)
* * *
( ) ( )( ),
f f f
ϕθ ϕ θ
=
c)
* * *
( ) ( )( ),
f f f
ϕω ϕ ω
= d)
ɶ
ɶ

* * *
( ) ( ) ( ).
f f f
θ θ θ θ
∧ = ∧

Bài 1.8
Gi
ả
s
ử

{
}
1
, ,
n
E E
là tr
ườ
ng m
ụ
c tiêu song song trên U; X và Z là các tr
ườ
ng
vect
ơ
trong
ñ
ó

1
n
i i
i
Z E
ϕ
=
∑
=
. Khi
ñ
ó
1
[ ]
n
X i i
i
D Z X E
ϕ
=
∑
=

V
ớ
i
X,Y,Z,T Vec(U),
ϕ
∈ ∈

F
(U) ta có
+) ( )
X X X
D Z T D Z D T
+ = +

+)
X X
D Z D Z
ϕ
ϕ
=

+)
X Y X Y
D Z D Z D Z
+
= +

+)
( ) [ ]
X X
D Z X Z D Z
ϕ ϕ ϕ
= +

+) X[Z.T]=
. .
X X

D Z T Z D T
+

Bài 1.9
Cho hàm vect
ơ
kh
ả
vi:
:
n
X J E
→




( )
t X t

֏

trên kho
ả
ng
J R
⊂
và gi
ả
s

ử

( ) 0
X t
≠
 
v
ớ
i m
ọ
i t. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( )
X t

có ph
ươ
ng
không ph
ụ
thu
ộ
c t khi và ch
ỉ
khi
( )
X t


,
'
( )
X t

ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính v
ớ
i m
ọ
i
.
t J
∈

Bài 1.10
Cho hàm vect
ơ
:
:
n
X J E
→



kh
ả
vi l
ớ
p
2
C


( )
t X t

֏

trên kho
ả
ng
J R
⊂
và gi
ả
s
ử

( )
X t

,
'

( )
X t


ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính v
ớ
i m
ọ
i
.
t J
∈
Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng khi n = 3,
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ

n và
ñủ

ñể
vect
ơ

( )
X t

luôn (t
ứ
c v
ớ
i m
ọ
i
t J
∈
)
thu
ộ
c m
ộ
t không gian vect
ơ
con hai chi
ề
u c
ố

ñị
nh c
ủ
a
3
E
là h
ệ
ba vect
ơ

( )
X t

,
'
( )
X t

,
''
( )
X t

ph
ụ
thu
ộ
c tuy

ế
n tính v
ớ
i m
ọ
i
.
t J
∈

Bài 1.11
Tìm hàm vect
ơ
:
3
:
X R E
→


(
3
E


ñ
ã có h
ướ
ng) tho
ả

mãn
'
,
X l X
= ∧

 
trong
ñ
ó
l

là
m
ộ
t hàm vect
ơ
h
ằ
ng cho tr
ướ
c.
Bài 1.12
Cho h
ệ
to
ạ

ñộ
afin

(
)
1 2
, ,
O e e

trong m
ặ
t ph
ẳ
ng Euclid
2
E
.Hãy phác ho
ạ

ả
nh c
ủ
a các
cung tham s
ố

2
: , ( ),
R E t t
ρ ρ
→
֏

Xác
ñị
nh b
ở
i:
a)
2
1 2
( ) ,
t O te t e
ρ
= + +
 

b)
1 2
( ) sin ,
t O coste te
ρ
= + +
 

c)
1 2
( ) ,
t O chte shte
ρ
= + +
 

Bài 1.13
Xét m
ặ
t ph
ẳ
ng
2
E
v
ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
Oxy phác ho
ạ
hình
ả
nh c
ủ
a các cung tham s
ố

2
: , t ( ) ( ( ), ( ))
J E t x t y t
ρ ρ
→ =

֏

a)
1
( ) ( )
2
a
x t t
t
= +
,
1
( ) ( ), J=(- ,0), (0,+ )
2
b
y t t
t
= − ∞ ∞
.
b)
2
2 2
1 2
( ) , y(t)=b , J=(- ,1), (-1,1), (1, );
1 1
t t
x t a
t t
+
= ∞ ∞

− −

c) .
2
2 2
1 2
( ) , y(t)=b , J=R.
1 1
t t
x t a
t t
−
=
+ +

, 0, 0.
a b t
> ≠

Bài 1.14
Cho
, ( )
X Y Vec U
∈
, U là t
ậ
p m
ở
trong
n

E
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
X[ ] [ ]
Y
ϕ ϕ
=
v
ớ
i
m
ọ
i
ϕ
∈
F
(U) thì X=Y.
Bài 1.15
U là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
liên thông cung trong

n
E
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
kh
ả
vi
ϕ
trên
U là hàm h
ằ
ng khi và ch
ỉ
khi v
ớ
i m
ọ
i
[
]
, 0.
X VecU X
ϕ
∈ =

Bài 1.16

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
X

là hàm vect
ơ
h
ằ
ng khi và ch
ỉ
khi
'
X

là hàm vect
ơ
không.
Bài 1.17
Gi
ả
s
ử

X

là m
ộ

t hàm vect
ơ
trên t
ậ
p U m
ở
trong
n
E
.
{
}
1
, , ,
n
O e e
 
là m
ụ
c tiêu trong
n
E
,
1
( ) ( )
n
i i
i
X p p e
ϕ

=
∑
=
 
;
1
n
i i
i
a e
α
=
∑
=
 
.
Ch
ứ
ng minh
0 0
lim ( ) lim ( )
i i
p p p p
X p p a
α ϕ
→ →
= ⇔ =
 

Bài 1.18

Cho hàm vect
ơ

2
:
R E
ε
→


,
( ) cos . sin .
t t t i t j
ε
= +
  
֏

(
)
,
i j
 
là c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu

ẩ
n c
ủ
a
2
E

. Hãy tính
( )
at
e bt dt
ε
∫

.
Bài 1.19
Xét m
ụ
c tiêu afin
{
}
1 2 3
, , ,
O e e e
  
c
ủ
a
3
E

v
ớ
i to
ạ

ñộ
(x,y,z). Xét vect
ơ

3
E
α
∈


v
ớ
i to
ạ

ñộ
(1,2,-1) và
ñ
i
ể
m p(2,1,0)
3
E
∈
. Tính

[ ]
p
α ϕ
trong
ñ
ó
a)
2 2 2
x y z
ϕ
= + −
; b)
x
sin cos .
e y z
ϕ
= +

Bài 1.20
Xét tr
ườ
ng m
ụ
c tiêu song song
{
}
1 2 3
, ,
E E E

ứ
ng v
ớ
i m
ụ
c tiêu afin
{
}
1 2 3
, , ,
O e e e
  
c
ủ
a
3
E
v
ớ
i to
ạ

ñộ
(x,y,z) cho tr
ườ
ng vect
ơ

2
1 2 3

X x E zE yE
= + − .Tính
[ + ], X[ . ], X[X[ ]], X[ ] [ ]
X X
ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ
−
trong
ñ
ó
, .
xy yz
ϕ ψ
= =

Bài 1.21
Kí hi
ệ
u
{
}
1 2 3
, ,
E E E
là tr
ườ
ng m
ụ
c tiêu song song
ứ
ng v

ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
afin
{
}
1 2 3
, , ,
O e e e
  
c
ủ
a
3
E
v
ớ
i to
ạ

ñộ
(x,y,z). Cho các tr
ườ
ng vect
ơ
trên

3
E

X =
2
1 2 3
z
xyE e E y E
+ −
;
1 2
Y yE xE
= +
.
Tính
, , ( ), ( )
X Y X X X
D Y D X D D Y D X xY
+

Bài 1.22
Xét tr
ườ
ng m
ụ
c tiêu song song
{
}
1 2 3
, ,

E E E

ứ
ng v
ớ
i m
ụ
c tiêu afin
{
}
1 2 3
, , ,
O e e e
  
c
ủ
a
3
E
v
ớ
i to
ạ

ñộ
(x,y,z) cho tr
ườ
ng vect
ơ

1 1 1 2 2 1 3 3
X x E x x E x x E
= + −
1 2 1 3 2 1 2 2 3
, x , =x
Y x E x E x x x
ϕ
= + −
,
(2,1,3)
p
α
=
.
Tính
[ ], , [ ], ( )
X p Y
X D Y D X
ϕ α ϕ ϕ

Bài 1.23
Trong
2
E
v
ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
afin Oxy, xét d
ạ
ng vi phân
(
)
2 2
k
xdy ydx
x y
θ
−
=
+

xác
ñị
nh k
ñể

θ
là d
ạ
ng
ñ
óng (t
ứ
c
0

d
θ
=
)?

Bài 1.24
Trong
3
E
v
ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
Oxyz xét d
ạ
ng vi phân
( )
2 2 2
k
xdy dz ydx dz zdx dy
x y z
ω
∧ − ∧ + ∧
=
+ +
trên

E
3
\ {(0,0,0)}. Xác
ñị
nh k
ñể

ω
là d
ạ
ng
ñ
óng.
Bài 1.25
:
U R
ϕ
→
là m
ộ
t hàm s
ố
kh
ả
vi trên t
ậ
p m
ở

n

U E
⊂
,
:
f R R
→
là m
ộ
t hàm s
ố
kh
ả

vi. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i tr
ườ
ng vect
ơ
X kh
ả
vi trên U, ta có:
[
]

(
)
[
]
'
.
X f f X
ϕ ϕ ϕ
=
 

Bài 1.26
Cho hàm s
ố
kh
ả
vi
ϕ
trên t
ậ
p m
ở
U trong E
n
và hàm s
ố
kh
ả
vi
:

f R R
→
. Ch
ứ
ng
minh:
(
)
(
)
'
d f f d
ϕ ϕ ϕ
=
 

Bài 1.27

Xét ánh x
ạ

:
f
R
2

→

E
2

(u, v)
2 2
(x=u , y=2uv)
v−
֏

1) Phác ho
ạ

ả
nh c
ủ
a f b
ở
i các t
ậ
p
ñ
i
ể
m
{
}
0 0
(u , ) (u
B v v R= ∈
là h
ằ

ng s
ố
)
C={
2
, v R
u u v
∈ + =
h
ằ
ng s
ố
cho tr
ướ
c}; D = {
2
, 1 2
u v R v
∈ ≤ ≤
}
2) Tìm t
ậ
p các
ñ
i
ể
m (u, v)
2
R
∈

t
ạ
i
ñ
ó f là m
ộ
t dìm. H
ỏ
i thu h
ẹ
p trên t
ậ
p f
ñ
ó có
ph
ả
i là m
ộ
t vi phôi không?

Bài 1.28
Xét to
ạ

ñộ
c
ầ
u
( , , )

r
ϕ θ
và tr
ườ
ng m
ụ
c tiêu to
ạ

ñộ
c
ầ
u
{
}
1 2 3
, ,
u u u
trong
3
E
trên n
ử
a
m
ặ
t ph
ẳ
ng
0 2 ,

2 2
π π
ϕ π θ
 
< < − < <
 
 
.
Hãy tính
[r], [ ], [ ] (i=1,2,3)
i i i
U U U
ϕ θ

Bài 1.29
Các ánh xạ sau f :
2 2
→
ℝ ℝ


( , ) ( , )
u v x y
֏

có ph
ải là một vi phôi không?
a)
u
x ve

=
,
y u
=

b)
3
x u
=
,
y u v
= −
?
Trong trường hợp f là một vi phôi, biểu diễn ảnh bởi f
*
của các trường vectơ
u
∂
∂
,
v
∂
∂
qua các trường vectơ
x
∂
∂
,
y
∂

∂
.
Bài 1.30
Xét toạ ñộ afin (x,y,z) trên tập mở U trong
3
E
và các dạng vi phân sau trên U:
, =dx-cos .
xdy dz z dy
θ µ
= +

Hãy tính
, , d , .
d
θ θ θ θ µ θ µ
∧ ∧ ∧


BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài 2.1
a) Tìm cung chính quy trong
2
E
không ñi qua O mà tiếp tuyến tại mọi ñiểm ñều ñi
qua O.
b) Cung chính quy trong
2
E
không ñi qua O mà pháp tuyến tại mọi ñiểm ñều qua

O.
Bài 2.2
Xét mặt phẳng Oxy trong E
2
, cung
Γ
trong E
2
xác ñịnh bởi tham số
( )
t t
ρ
֏
,
( ) ( ( ), ( ))
t x t y t
ρ
=
và giả sử
Γ
có tiếp tuyến tại mọi ñiểm. ðặt
( )
M t
ρ
=
,
P là hình chiếu vuông góc của M xuống Ox, T và N theo thứ tự là giao ñiểm của Ox
với tiếp tuyến và pháp tuyến của
Γ
tại M.

a) Tính
PT
(tiếp ảnh),
PN
(pháp ảnh) tính ñộ dài các ñoạn MT, MN.
b) Tìm
Γ
sao cho pháp ảnh tại mọi ñiểm bằng a
0
≠
(const).
c) Tìm
Γ
sao cho tiếp ảnh tại mọi ñiểm bằng a
0
≠
(const).
d) Tìm
Γ
sao cho ñộ dài MN=a>0 (const).
e) Tìm
Γ
sao cho ñộ dài MT=a>0 (const).
Bài 2.3
Xét cung trong E
2
xác ñịnh bởi t
(t) = (x = x(t), y = y(t))
ρ
֏

trong toạ ñộ
Descartes vuông góc Oxy. Hãy tính ñộ dài của cung ñoạn xác ñịnh bởi
[ ]
0 1
0 1
,
, (t < t ),
t t
ρ
cho các trường hợp sau:
a,
2
= t, y = t
x

b,
= t, y = a ch
t
x
a

Bài 2.4
CMR: Cung song chính
Γ
trong E
3
là cung phẳng
⇔
τ
=0 tại mọi ñiểm.

Bài 2.5
Xác ñịnh hàm số khả vi f: R
→
R ñể cung xác ñịnh bởi tham số hóa
t
→
(x=acost;y=asint;z=
f
(t)) trong E
3
là cung phẳng.
Bài 2.6
Gọi
{
}
, ,
T N B
là trường mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy ñịnh hướng
Γ

trong E
3
, chứng minh rằng trường vectơ duy nhất X dọc
Γ
thoả mãn
X
∧
T=
DT
ds

; X
∧
N =
DN
ds
; X
∧
B =
DB
ds
là X=
τ
T+kB
(X là trường vectơ ðacbu dọc
Γ
)
Bài 2.7
Chứng minh rằng các tính chất sau của một cung song chính quy ñịnh hướng trong
E
3
với ñộ xoắn khác 0 tại mọi ñiểm là tương ñương:
a) Tiếp tuyến tao một góc không ñổi với một phương cố ñịnh.
b) Pháp tuyến chính song song với một mặt phẳng cố ñịnh;
c) Trùng pháp tuyến tạo một góc không ñổi với một phương cố ñịnh;
d) Tỉ số giữa ñộ xoắn và ñộ cong là hàm hằng;
e,
2 3
2 3
( ) . = 0
DT D T D T

ds ds ds
∧
(trong ñú T là trường vectơ tiếp xúc ñơn vị dọc
Γ
, còn
1
1
= ( ), i > 1
i i
i i
D T D D t
ds ds ds
−
−
). Cung như thế gọi là một cung ñinh ốc tổng quát nằm trên
một “mặt trụ”, cắt các ñường sinh thẳng của mặt trụ theo một góc không ñổi.
Bài 2.8
Tìm cung song chính quy trong E
3
mà các mặt phẳng mật tiếp :
a) Thẳng góc với phương cố ñịnh ;
b, Song song với một ñường thẳng cố ñịnh ( và các tiếp tuyến không song song với
ñương thẳng ñó).
Bài 2.9
Tìm liên hệ giữa a,b,c ñể cung
2 3
: ( ) ( , , )
t t at bt ct
ρ ρ
=

֏
là cung ñinh ốc.
Bài 2.10
Xét cung tham số
2
( ) ( os , sin cos , sin )
t t x Rc t y R t t z R t
ρ
= = = =
֏
(R>0) trong hệ
toạ ñộ ðêcac vuông goc Oxyz trong
3
E
(cung này gọi là ñường Viviani). Chứng
minh rằng ñường Viviani là giao của mặt cầu
2 2 2 2
x y z R
+ + =
(1) với mặt trụ tròn
xoay
2
2
2
2 4
R R
x y
 
− + =
 

 
(2)
Bài 2.11
Tính ñộ cong và ñộ xoắn của các cung sau trong
3
E

a)
2
: ( ) (2 ,ln , )
t t t t t
ρ ρ
=
֏

b)
3 3
: ( ) ( os ,sin , os2 )
t t c t t c t
ρ ρ
=
֏

Bài 2.12
Tính
ñộ
cong và
ñộ
xo
ắ

n c
ủ
a cung
Γ
sau trong
3
E

( ) (1 cos ,1 sin , )
t t t t at
ρ
= − −
֏
(
R
a
∈
)
V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a a thì
Γ
là cung ph
ẳ
ng.
Bài 2.13

Tìm qu
ỹ
tích tâm các m
ặ
t c
ầ
u m
ậ
t ti
ế
p c
ủ
a cung
ñ
inh
ố
c tròn trong E
3
ρ
là cung tham s
ố
b
ấ
t kì c
ủ
a cung
ñ
inh
ố
c tròn

Γ

Bài 2.14
Hãy xác
ñị
nh cung túc b
ế
c
ủ
a các cung xác
ñị
nh b
ở
i tham s
ố
hoá
(t) = (x(t), y(t))
t
ρ
֏
sau trong to
ạ

ñộ
Descartes vuông góc Oxyz c
ủ
a
E
2
.

a)
( ) = a (ln tg + cos ), y(t) = a sin
2
t
x t t t
(a là h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng) (
ñườ
ng tractric).
b,
2
( ) = t, y(t) = a
x t t
(a là h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng)
Bài 2.15
Xác
ñị
nh cung thân khai c
ủ

a
ñườ
ng tròn xác
ñị
nh b
ở
i tham s
ố
hoá


t
∈
R
1 1
(x = R cos , y = Rsin )
R R
֏


trong to
ạ

ñộ
Descartes vuông góc. Tính
ñộ
cong c
ủ
a cung thân khai
ñ

ó.
Bài 2.16
Xét to
ạ

ñộ
c
ự
c (r,
ϕ
) trong E
2
\{0} và cung chính quy
ñị
nh h
ướ
ng xác
ñị
nh b
ở
i
t
֏
ρ
(t)=(r(t),
ϕ
(t)) (trong
ñ
ó t
֏

r(t) là m
ộ
t hàm s
ố
cho tr
ướ
c, r(t)>0 v
ớ
i m
ọ
i
t).Hãy tính
ñộ
cong c
ủ
a cung
ñ
ó.
Bài 2.17
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng cung trong E
3
xác
ñị
nh b
ở
i t

֏
(x(t)=t;y(t)=
2
3
t
;z(t)=
3
2
27
t
) trong
h
ệ
to
ạ

ñộ

ð
êcác vuông góc Oxyz là cung
ñ
inh
ố
c t
ổ
ng quát.

Bài 2.18
Xác
ñị

nh tham s
ố
hoá t
ự
nhiên s
֏
( )
r s
c
ủ
a cung song chính quy trong E
3
sao cho
a) T tho
ả
mãn:
( ) ( )
T s ae s bk
= +
  
trong
ñ
ó a
2
+b
2
=1;
( )
e s


=coss
i

+sins
j


b) Tr
ườ
ng vect
ơ
trùng pháp tuy
ế
n
ñơ
n v
ị
B c
ủ
a chúng tho
ả
mãn
( ) ( )
B s ae s bk
= +
  

c) Tr
ườ
ng vect

ơ
pháp tuy
ế
n chính
ñơ
n v
ị
N c
ủ
a nó tho
ả
mãn
( )
N s

=
( )
e s

.
Bài 2.19
Cho cung
ñ
inh
ố
c tròn
Γ
xác
ñị
nh b

ở
i t
(t)
ρ
→
= (acost, asint, bt) (a>0) trong to
ạ

ñộ

Descartes vuông góc Oxyz c
ủ
a
E
3
.
a) Hãy vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n, pháp tuy
ế
n chính, trùng pháp tuy
ế
n, m
ặ

t ph
ẳ
ng
m
ậ
t ti
ế
p, pháp di
ệ
n, m
ặ
t ph
ẳ
ng tr
ự
c
ñạ
c c
ủ
a nó t
ạ
i m
ỗ
i
ñ
i
ể
m.
b) Ch
ứ

ng minh r
ằ
ng các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a nó nghiêng m
ộ
t góc không
ñổ
i v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng Oxyz còn các pháp tuy
ế
n chính luôn c
ắ
t tr
ụ
c Oz.

Bài 2.20
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình t
ự
hàm
= k(s)
k
c
ủ
a cung trong
E
2
, trong
ñ
ó:
a)
2 2
( ) =
+ s
a
k s
a
( a là h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng)
b)

2 2
( ) =
- s
b
k s
a
(a, b là h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng)

PHẦN THỨ 2
LỜI GIẢI CÁC BÀI TẬP

CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN EUCLID
n
E

VÀ HÌNH HỌC VI PHÂN CỦA
n
E
(n = 2,3)
Bài 1.1

Giải

Giả sử

{
}
1
, , ,
n
O e e
 
là mục tiêu trong
n
E
,
p U
∈
;
1
( , , )
n
p x x
;
n
E
α
∈



(
)
1
, ,

n
a a
α
=

. Khi ñó
[ ]
p
α ϕ
chính là ñạo hàm của hàm tại t = 0 của hàm số
1 1
( , , )
n n
t x ta x ta
ϕ
+ +
֏
Ta có
1
[ ]
n
p i
i
i
a
p
x
ϕ
α ϕ
=

∑
∂
=
∂

a)
[ + ]
p
α ϕ ψ
=
(
)
1 1 1
n n n
i i i
i i i
i i i
a a a
p p p
x x x
ϕ ψ
ϕ ψ
= = =
∑ ∑ ∑
∂ +
∂ ∂
= + =
∂ ∂ ∂
[ ] [ ]
p p

α ϕ α ψ
= +
.
b) Ta có
(
)
;
p p
p
α β α β
+ = +
 
,
(
)
1
, ,
n
a a
α
=

,
(
)
1
, ,
n
b b
β

=


Nên
( )
1 1 1
( )[ ] [ ] [ ]
n n n
p p i i i i p p
i i i
i i i
a b a b
p p p
x x x
ϕ ϕ ϕ
α β ϕ α ϕ β ϕ
= = =
∑ ∑ ∑
∂ ∂ ∂
+ = + = + = +
∂ ∂ ∂

c)
1 1
( )[ ] [ ]
n n
p i i p
i i
i i
k ka k a k

p p
x x
ϕ ϕ
α ϕ α ϕ
= =
∑ ∑
∂ ∂
= = =
∂ ∂

d)
1 1 1
[ ] . .
n n n
p i i i
i i i
i i i
a a a
p p p
x x x
ϕψ ϕ ψ
α ϕψ ψ ϕ
= = =
∑ ∑ ∑
∂ ∂ ∂
= = +
∂ ∂ ∂

=
[ ]. ( ) ( ) [ ]

p p
p p
α ϕ ψ ϕ α ψ
+

Bài 1.2
Giải

V
ới mọi
p U
∈
ta có
a)
[ + ]( ) ( )[ ]= ( )[ ] ( )[ ]
X p X p X p X p
ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ
= + +

Do ñó
[ + ] [ ] [ ]
X X X
ϕ ψ ϕ ψ
= +

b)
( )[ ]( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) [ ]( )
X p X p p X p p X p
ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ
= = =

Do ñó
( )[ ] [ ]
X X
ϕ ψ ϕ ψ
=

c)
( )[ ]( ) ( )( )[ ] ( ( ) ( ))[ ]
X Y p X Y p X p Y p
ϕ ϕ ϕ
+ = + = +

( )[ ] ( )[ ] [ ]( ) [ ]( )
X p Y p X p Y p
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +

Do ñó
( )[ ] [ ] [ ]
X Y X Y
ϕ ϕ ϕ
+ = +

d)
(
)
'
'
0 0

[ ]( ) ( )[ ]= ( )[ ] ( ) ( )
X p X p t t
ϕψ ϕψ ρ ϕψ ϕψ ρ
= =


=
(
)
'
' '
0 0 0 0 0
( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )
t t t t t
ϕ ρ ψ ρ ϕ ρ ψ ρ ϕ ρ ψ ρ
= +
     

=
( )[ ]
X p
ϕ
.
( )
p
ψ
+
( )
p
ϕ

.
( )[ ]
X p
ψ
=
( )
p
ϕ
.
[ ]( )
X p
ψ
+
( )
p
ψ
[ ]( )
X p
ϕ

Do ñó
[ ] [ ] [ ]
X X X
ϕψ ϕ ψ ϕ ψ
= +
.
Bài 1.3

Giải
Với mọi

p U
∈
ta có
(
)
(
)
* *
f ( ( ))[ ] f [ ]( ( )) ( ( ))[ ]
p
X f p X f p T f X p
ϕ ϕ ϕ
= =

=
( )[ f ]
X p
ϕ

=
[ f ]( )
X p
ϕ


Suy ra
(
)
*
f [ ] [ f ]

X f X
ϕ ϕ
=
 
, do
ñó
(
)
1
*
[ ] [ .f ].
f X X f
ϕ ϕ
−
=
.
Bài 1.4
Giải

a) Giả sử
1
1 1
1 1
, ( ), , , ,
n n
i i
i i
i i
U dx dx R
θ θ θ ϕ θ η α β

= =
∑ ∑
∈Ω = = ∀ ∈

Ta có:
(
)
(
)
1
1 1 1
( ) + ( + )
n n n
i i i
i i i i
i i i
d d dx dx d dx
αθ βθ αϕ βη αϕ βη
= = =
∑ ∑ ∑
+ = =

=
1
1 1 1
( + )
n n n
i i i
i i i i
i i i

d dx d dx d dx d d
αϕ βη α ϕ β η α θ β θ
= = =
∑ ∑ ∑
∧ = ∧ + ∧ = +

Do ñó d là R- tuyến tính.
b) Ta có
1
( )
U
θ
∈Ω
,
1
n
i
i
i
dx
θ ϕ
=
∑
=
nên
1
n
i
i
i

dx
ϕθ ϕϕ
=
∑
=
.
Do ñó

(
)
1 1 1 1
( ) ( )
n n n n
i i i i
i i i i
i i i i
d d dx d dx d dx d dx
ϕθ ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑
= = ∧ = ∧ + ∧

=
1 1
n n
i i
i i
i i
d dx d dx d d
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ θ ϕ θ

= =
∑ ∑
∧ + ∧ = ∧ +
.
c) Gọi
i
i
E
x
 
∂
=
 
∂
 
là trường mục tiêu song song trên U ứng với toạ ñộ afin
(
)
1
, ,
n
x x
;
:
i
x U R
→
i
dx
⇒

là các dạng vi phân bậc một trên U. Khi ñó
ij
( ) [x ]
i i
j j
dx E E
δ
= =
, vì thế ta có
{
}
1,
i
i n
dx
=
là trường ñối mục tiêu ñối ngẫu của
trường mục tiêu
{
}
i
E
khi ñó với
ϕ
là hàm số khả vi trên U thì
d
ϕ
là dạng vi phân
bậc một trên U do ñó

1 1 1
d = ( ) [ ]
n n n
i i i
i i i
i i i
d dx dx dx
x x x
ϕ
ϕ ϕ ϕ
= = =
∑ ∑ ∑
∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂

Nên
2
1 , 1
d(d )= ( ) 0
n n
i j i
i i j
i i j
d dx dx dx
x x x
ϕ ϕ
ϕ
= =
∑ ∑

∂ ∂
∧ = ∧ =
∂ ∂ ∂

(Vì
2 2
i j j i
x x x x
ϕ ϕ
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
và
j i
dx dx
∧
=
i j
dx dx
− ∧
).
Bài 1.5

Giải
1 1 2
: ( ) ( ) ( )
f U U U
Ω × Ω → Ω
là ánh x
ạ

vì v
ớ
i
ɶ ɶ
ɶ ɶ
1 2
1 2
1 2
1 2
( , ) ( , )
θ θ
θ θ θ θ
θ θ
=

= ⇒

=


Suy ra
ɶ
ɶ
1 2
1 2
θ θ θ θ
∧ = ∧

ɶ
ɶ

1 2
1 2
( , ) ( , )
f f
θ θ θ θ
⇒ =

Với
ɶ
ɶ
1
1 2
1 2
, , , ( )
U
θ θ θ θ
∀ ∈Ω
,
,
k l
∀
ta có
ɶ
(
)
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ

1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )
f k l k l k l kf lf
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
+ = + ∧ = ∧ + ∧ = +

ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
ɶ
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
( , ) ( ) ( , ) ( , )
f k l k l k l kf lf
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ
+ = ∧ + = ∧ + ∧ = +
Mặt khác
ɶ
ɶ

ɶ
1 1 1
1 1 1 1 1
( , ) ( , )
f f

θ θ θ θ θ θ θ θ
= ∧ = − ∧ = − . Do ñó f là song tuyến tính phản
ñối xứng.
Bài 1.6

Giải

+) i=0
Với
0
(W)
ϕ
∈Ω
ta có
(
)
*
( )
g f g f
ϕ ϕ
=
  

và
* * * * *
( ) ( ) ( ) ( )
f g f g f g g f
ϕ ϕ ϕ ϕ
= = =
  

do
ñ
ó
(
)
*
* *
g f f g
=
 
.
+) i=1
1
, (W)
p
T U
α θ
∀ ∈ ∈Ω
ta có
(
)
(
)
*
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
gf p p gf p f p p
p
g f T gf T g T f
θ α θ α θ α

= =
 

=
*
( ( )) ( ) ( )
( ( )) ( ) ( ( ))
g f p f p p f p p
T g T f g T f
θ α θ α
=


(
)
(
)
* * * *
( ) ( ) ( ) ( )
p p
f g f g
θ α θ α
= =
do
ñ
ó
(
)
*
* *

g f f g
=
 
.
+) i =2
2
, , (W),
p
T U p U
α β ω
∀ ∈ ∈Ω ∈

(
)
(
)
*
( )
( ) ( , ) ( ), ( )
gf p p p
p
g f T gf T gf
ω α β ω α β
=


=
(
)
( ) ( ) ( )

( ( )), ( ( ))
gf p f p p f p p
T g T f T g T f
ω α β
=
(
)
*
( )
( ) ( ), ( )
f p p p
g T f T f
ω α β

=
* *
( ( )) ( , )
p
f g
ω α β

Suy ra
(
)
*
* *
g f f g
=
 
.

Bài 1.7
Giải

, ,
p
p U T U
α β
∀ ∈ ∀ ∈

a) Ta có


(
)


* * *
( ) ( )( ) ( )( ),
f f f f f f
ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= = =  

b)
(
)
(
)
*
( )
f ( ) ( ) ( ) ( )

f p p
p
T f
ϕθ α ϕθ α
= =

( )
( ( )). . ( )
f p p
f p T f
ϕ θ α

* * *
( )( ).( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p p p
f p f f f
ϕ θ α ϕ θ α
= =


Suy ra
* * *
( ) ( )( ),
f f f
ϕθ ϕ θ
=
c)
(
)
(

)
*
( )
f ( ) ( , ) ( ) ( ), ( )
f p p p
p
T f T f
ϕω α β ϕω α β
= =

=
(
)
( )
( ( )). . ( ), ( )
f p p p
f p T f T f
ϕ ω α β
=
* * *
( )( ).( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )
p p p
f p f f f
ϕ ω α β ϕ ω α β
= =

.
Suy ra
* * *
( ) ( )( ),

f f f
ϕω ϕ ω
=
d)
ɶ
ɶ
(
)
(
)
*
( )
( ) ( , ) ( ), ( )
p p p
f p
f T f T f
θ θ α β θ θ α β
∧ = ∧

=
ɶ
ɶ
( ) ( )
( ) ( )
( ( )). .( ( )) ( ( )). .( ( ))
f p f p
f p p p f p p p
T f T f T f T f
θ α θ β θ β θ α
−

=
ɶ
ɶ
* * * *
( ) ( ).( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
p p p p
f f f f
θ α θ β θ β θ α
−

=
ɶ
* *
( ) ( , )
p
f f
θ θ α β
∧

Suy ra
ɶ
ɶ
* * *
( ) ( ) ( ).
f f f
θ θ θ θ
∧ = ∧

Bài 1.8

Giải

+) Ta có
1 1 1
( ) . . .
n n n
i i i
X X i i i i i
i i i
d DE d
D Z D E E E
dt dt dt
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= = =
∑ ∑ ∑
 
= = + =
 
 

=
'
0
1 1
( )[ ]. [ ].
n n
i i i i
i i
t E X E

ρ ϕ ϕ
= =
∑ ∑
=
.
+)
1
n
i i
i
Z E
ϕ
=
∑
=
,
1
n
i i
i
T E
ψ
=
∑
=
,
( )
1
n
i i i

i
T Z E
ϕ ψ
=
∑
+ = +
;
1
[ ]
n
X i i
i
D Z X E
ϕ
=
∑
=

1
[ ]
n
X i i
i
D T X E
ψ
=
∑
=
.
Do ñó

( )
1 1 1
[ ] [ ] [ ]
n n n
X i i i i i i i X X
i i i
D Z T X E X E X E D T D Z
ϕ ψ ϕ ψ
= = =
∑ ∑ ∑
+ = + = + = +

+)
( )
1 1 1
[ ]. . [ ]. [ ].
n n n
X i i i i i i X
i i i
D Z X E X E X E D Z
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= = =
∑ ∑ ∑
= = = =

+)
1 1 1
( )[ ] [ ] Y[ ]
n n n

X Y i i i i i i X Y
i i i
D Z X Y E X E E D Z D Z
ϕ ϕ ϕ
+
= = =
∑ ∑ ∑
= + = + = +

+)
1 1
; Z=
n n
i i i i
i i
Z E E
ϕ ϕ ϕϕ
= =
∑ ∑
=
. Ta có
( )
1 1
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
n n
X i i i i i i X
i i
D Z X E X E X E D Y X Z
ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= =

∑ ∑
= = + = +

+)
(
)
'
'
0 0
[Z.T]( ) ( )[Z.T] ( )[Z.T] ( . ) ( )
X p X p t Z T t
ρ ρ
= = =

=
=
(
)
'
0
( ).( ) ( )
Z T t
ρ ρ
 
=
(
)
(
)
'

'
0 0 0 0
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
Z t T t Z t T t
ρ ρ ρ ρ
+
   

=
'
0
( ) 0 0
( )
. ( ( )) ( ( )). ( ). ( ) ( ). ( )
X p X X
t
D Z T t Z t D T D Z p T p Z p D T p
ρ
ρ ρ
+ = +


⇒
X[Z.T]=
. .
X X
D Z T Z D T
+
.
Bài 1.9

Giải

⇒
Giả sử
( )
X t

có phương không phụ thuộc vào t, tức
( ) ( ).
X t f t a
=
 
trong ñó
f(t) là hàm số trên J,
a

là vectơ hằng trong
n
E

;
0, f(t) 0, t J.
a
≠ ≠ ∀ ∈
 

Khi ñó
'
' ' '

' '
( ) ( ) ( )
( ) ( ). ( ) . ( )
( ) ( ) ( )
X t X t f t
X t f t a a X t X t
f t f t f t
= ⇒ = = ⇒ =


 
  

Suy ra
( )
X t

và
'
( )
X t

phụ thuộc tuyến tính với mọi t thuộc J.
⇐
ðặt
( )
( )
( )
X t
v t

X t
=



ta sẽ chứng minh
'
( ) 0
v t
=



Thật vậy
'
'
'
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
X t X t X t X t
v t
X t
−
=

  



mà
'
( )
X t

=
'
( ). ( )
( )
X t X t
X t



suy ra
2
' '
'
3
( ) ( ) ( ) ( ). ( )
( )
( )
X t X t X t X t X t
v t
X t
−
=
 
  




Vì
(
)
(
)
(
)
. . . .
a b c a c b c b a
∧ ∧ = −
        
suy ra
(
)
'
'
3
( ) ( ) ( )
( )
( )
X t X t X t
v t
X t
∧ ∧
=

 




Do
( )
X t

,
'
( )
X t

ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính,
( ) 0
X t
≠
 
v
ớ
i m
ọ
i t nên
'
( ) ( ) 0

X t X t
∧ =

 
suy
ra
'
( ) 0
v t
=


hay
( )
v t a
=
 
(vect
ơ
h
ằ
ng) suy ra
( ) ( ) .
X t X t a
=
  
hay
( )
X t


có ph
ươ
ng
không ph
ụ
thu
ộ
c t.
Bài 1.10
Giải

⇒
Giả sử
( )
X t

thuộc một không gian vectơ con hai chiều cố ñịnh của
3
E
.
Ta có
( ) ( ) ( )
X t t a t b
ϕ ω
= +
  
, trong ñó vectơ
a

và vectơ

b

là các vectơ ñơn vị ñộc
lập tuyến tính.

' ' '
( ) ( ) ( )
X t t a t b
ϕ ω
= +

 


'' '' ''
( ) ( ) ( )
X t t a t b
ϕ ω
= +

 

' ''
( ), ( ), ( )
X t X t X t
⇒
 

sinh ra bởi hai vectơ
a


,
b

nên chúng phụ thuộc tuyến tính.
⇐
Giả sử
{
}
' ''
( ), ( ), ( )
X t X t X t
 

phụ thuộc tuyến tính
ðặt
'
( ) ( ) ( )
Y t X t X t
= ∧

 
suy ra
' ''
( ) ( ) ( )
Y t X t X t
= ∧
 

(1)

Do
{
}
' ''
( ), ( ), ( )
X t X t X t
 

phụ thuộc tuyến tính và
{
}
'
( ), ( )
X t X t


ñộc lập tuyến tính
nên
'
''( ) ( ) ( ) ( ) ( )
X t t X t t X t
ϕ ω
= +

 
, thay vào (1) ta có
(
)
(
)

' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Y t t X t X t t X t X t t Y t
ϕ ω ω
= ∧ + ∧ =
 
   
.
Vậy
{
}
'
( ), ( )
Y t Y t


phụ thuộc tuyến tính theo kết quả bài 9 ta có
( )
Y t

có phương
không phụ thuộc vào t suy ra
( ) ( )
Y t f t a
=
 
(
a

cố ñịnh khác vectơ

0

)
Vì
( )
Y t

vuông góc với
( )
X t

nên
( )
X t

thuộc không gian vectơ hai chiều bù trực
giao với
a

trong
3
E
.
Bài 1.11

Giải

+) Nếu
0
l

=
 
hoặc
0
l
≠
 
nhưng
l

và
X

không cùng phương suy ra
'
0
X
=


v
ớ
i
t J
∀ ∈
suy ra
X a
=
 
(vect

ơ
h
ằ
ng)
+) N
ế
u
0
l
≠
 
và
l

,
X

không cùng ph
ươ
ng
Trong
3
E
ch
ọ
n m
ụ
c tiêu tr
ự
c chu

ẩ
n
{
}
1 2 3
, , ,
O e e e
  
sao cho
3
( 0)
l ae a
= ≠
 
.
Theo gi
ả
thi
ế
t
l

là m
ộ
t hàm vect
ơ
h
ằ
ng và
{

}
1 2 3
, ,
e e e
  
là c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n trong
3
E

.
Gi
ả
s
ử

1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( ) ( )
X t t e t e t e
ϕ ϕ ϕ
= + +
   
trong

ñ
ó
( )
i
t
ϕ
là các hàm s
ố
kh
ả
vi trên J.
Do
'
,
X l X
= ∧

 
nên
'
. 0
X l
=


mà
(
)
'
'

. . 0
X l X l
= =

  
suy ra
.
X l
 
là hàm h
ằ
ng.
Nên
3
. ( )
a t
ϕ
là hàm h
ằ
ng suy ra
3
( )
t
ϕ
là hàm h
ằ
ng.
T
ừ

(
)
( )
' ' '
1 2 2 1
, ,0 , ,0
X l X a a
ϕ ϕ ϕ ϕ
= ∧ ⇔ = −

 

'
1 2
'
2 1
a
a
ϕ ϕ
ϕ ϕ

= −

⇒

=


(1)
Từ giả thiết

'
. 0
X X
=


nên
X

là hàm hằng
2 2 2
1 2 3
ϕ ϕ ϕ
⇒ + +
là hàm hằng suy ra
2 2 2
1 2
r
ϕ ϕ
+ =
(2) (r là hàm hằng).
Do ñó chọn
'
1 1 2
'
2
2 1
( ) . .sin( )
sin( )
. . s( )

rcos at b a r at b a
r at b
a r co at b a
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ

= + = − + = −


⇒
 
= +
= + =




Vậy
1 2 3 3
( ) ( ) sin( )
X t rcos at b e r at b e e
ϕ
= + + + +
   
trong ñó r,
3
ϕ
là hàm hằng, b là
hằng số.

Bài 1.12
Giải

a)
2
1 2
( ) ,
t O te t e
ρ
= + +
 

Suy ra
2 2
1 2 1 2
( ) ( )
O t t te t e OP te t e
ρ ρ
= = + ⇒ = +
      

2
( , )
P t t
⇒
hay
2
2
( )
( ) ( )

( )
x t t
y t x t
y t t
=

⇒ =

=


Do ñó
ρ
là một parabol.
b)
1 2
( ) sin ,
t O coste te
ρ
= + +
 

Ta có
1 2 1 2
( ) ( ) . sin . sin .
O t t cost e t e OP coste t e
ρ ρ
= = + ⇒ = +
      

( ,sin )
P cost t
⇒
hay
2 2
( ) cos
( ) ( ) 1
( ) sin
x t t
y t x t
y t t
=

⇒ + =

=


Do
ñ
ó
ρ
là cung tròn tâm O bán kính r =1.
c)
1 2
( ) ,
t O chte shte
ρ
= + +
 

1 2
( ) ( ) . s .
O t t cht e ht e
ρ ρ
= = +
   

2 2
( ) ch
( ) ( ) 1
( ) s
x t t
x t y t
y t ht
=

⇒ − =

=

, do
ñ
ó
ρ
là m
ộ
t nhánh Hypebol (x>0).

Bài 1.13

Giải

a) Ta có
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )
4 4
a b
x t y t t t
t t
− = + + − − +
Suy ra
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 1 1 1 1
( 2 ) ( 2 ) 1
4 4
x t y t a b
t t
a b a t b t
− = + + − − + =

Do ñó
ρ
là một Hypebol.
b) Ta có

2 2
2 2
( ) ( )
1
x t y t
a b
− =
, do ñó
ρ
là một Hypebol. ( 3 nhánh trên Hypebol)
c) Ta c ó
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) (1 ) 4
1
(1 ) (1 )
x t y t t t
a b t t
−
+ = + =
+ +

Nên
ρ
là một Elip.
Bài 1.14
Giải

Xét trường mục tiêu song song
{

}
1
, ,
n
E E
trên U. Khi
ñ
ó
1
n
i i
i
X E
ϕ
=
∑
=
,
1
n
i i
i
Y E
=
∑
= Ψ
với
,
i i
ϕ

Ψ ∈
F(U).
Từ giả thiêt
X[ ] [ ]
Y
ϕ ϕ
=
suy ra
(
)
(
)
1 1
[ ] [ ]
n n
i i i i
i i
E E
ϕ ϕ ϕ
= =
∑ ∑
= Ψ

1 1
[ ] [ ]
n n
i i i i
i i
E E
ϕ ϕ ϕ

= =
∑ ∑
⇔ = Ψ

1 1
n n
i i
i i
i i
x x
ϕ ϕ
ϕ
= =
∑ ∑
∂ ∂
⇔ = Ψ
∂ ∂
với
ϕ
∀ ∈
F(U).
i i
ϕ
⇔ = Ψ

1, ,
i n
∀ =
. Do ñó X =Y.
Bài 1.15

Giải

Ta sẽ chứng minh
[
]
, 0 [ ] 0
p p p
X VecU X T U
ϕ α ϕ α
∀ ∈ = ⇔ = ∀ ∈

Thật vậy:
⇐
Hiển nhiên vì
[
]
( ) ( )[ ], ( )
p
X p X p X p T U
ϕ ϕ
= ∈

⇒
Cho
p p
T U
α
∈
,

, ( ) .
p
X VecU X p
α
∃ ∈ =

Do ñó
[ ] ( )[ ] [ ]( ) 0
p
X p X p
α ϕ ϕ ϕ
= = =
.
M
ặ
t khác ta có
[ ]
p
α ϕ
=
0
p p
T U
α
∀ ∈
ϕ
⇔
là hàm h
ằ
ng.

V
ớ
i
[ ]
p
α ϕ
=
0 g
ọ
i
:
J U
ρ
→
,
0 0
( )
t t p
ρ
=
֏
và
'
0
( ) ( )
p
t X p
ρ α
= =

Khi
ñ
ó
' ' ' ' '
0 0 0 0 0
[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ).( )( ) . ( ( ))
p p
t t t t t
α ϕ ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ρ α ϕ ρ
= = = =
 
=0
suy ra
'
( ) 0
p
ϕ
=

p
∀
do
ñ
ó
ϕ
là hàm h
ằ
ng.
Ng
ượ

c l
ạ
i v
ớ
i
ϕ
là hàm h
ằ
ng ta có
0
lim
( ) ( )
[ ] 0
p
t
p t p
t
ϕ α ϕ
α ϕ
→
+ −
= =

.
V
ậy bài toán ñược chứng minh.
Bài 1.16
Giải
Với
{

}
1
, , ,
n
O e e
 
là m
ụ
c tiêu afin trong
n
E
.
⇒

X

là hàm vectơ hằng suy ra
( )
X t a
=
 
=
1
n
i i
i
a e
=
∑


t J
∀ ∈
.
:
n
X J E
→

,
1
( )
n
i i
i
t X t a e
=
∑
=
 
֏

Do ñó
1
( , , )
n
X a a
=

suy ra

' ' '
1
( , , )
n
X a a
=

suy ra
'
0
X
=


.
⇐
Giả sử
1
'
( )
( ) 0
n
i i
i
X t e
X t
ϕ
=
∑


=



=

 


suy ra
'
1
0
n
i i
i
e
ϕ
=
∑
=


Do
{
}
1
, ,
n
e e

 
là h
ệ
vect
ơ

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính suy ra
'
( ) 0
i
t
ϕ
=

1, ,
i n
∀ =
.
⇒
i
ϕ
là hàm h
ằ
ng
i i

a
ϕ
⇒ =

Suy ra
( )
X t a
=
 
=
1
n
i i
i
a e
=
∑

.
Bài 1.17
Giải

⇒
0
lim ( )
p p
X p
α
→
=

 

⇔

0, 0
ε
ε δ
∀ > ∃ >
sao cho
0
pp
ε
δ
<

thì
( )X p
α ε
− <
 

( )
1 1 1
( ) ( )
n n n
i i i i i i i
i i i
p e a e p a e
ϕ ε ϕ ε
= = =

∑ ∑ ∑
⇔ − < ⇔ − <
  

( )
2
1
( ) ( )
n
i i i i
i
p a p a
ϕ ε ϕ ε
=
∑
⇔ − < ⇒ − <
suy ra
0
lim ( ) .
i i
p p
p a
ϕ
→
=

⇐

0
lim ( )

i i
p p
p a
ϕ
→
=

⇔
0, , 0
n
ε
ε
ε δ
∀ > ∃ >
,
0
pp
ε
δ
<

,
( )
2
( ) ( )
i i i i
p a p a
n
n
ε ε

ϕ ϕ
− <
⇒
− <

( )
2
1
( )
n
i i
i
p a
ϕ ε
=
∑
⇒ − <

1 1
( )
n n
i i i i
i i
p e a e
ϕ ε
= =
∑ ∑
⇔ − <
 

( )X p
α ε
⇔ − <
 

⇒
0
lim ( )
p p
X p
α
→
=
 
.
Bài 1.18
Giải
Ta có
( ) cos . sin .
bt bt i bt j
ε
= +
  

I =
( )
at
e bt dt
ε
∫


=
(cos . sin . ) cos . sin .
at at at
e bt i bt j dt e btdt i e btdt j
∫ ∫ ∫
+ = +
   

ðặt
t
ª
dv=cosbt dt
u e

=



at
du=ae

1
sin
dt
v bt
b


⇒


=



1
( sin sin )
at at
e e
I bt bt dt
b b
= −
∫

ðặt
t
ª
dv=sinbt dv
u e

=



at
du=ae

1
os
dt

v c bt
b


⇒

= −




1
2
1 1
2
a
sin osbt- osbt dt
b
osbt+sinbt
at at at
at
e e a ae
I bt c c
b b b b
a e a
I c I
b b b
 
= +
 

 
 
 
= − ⋅
  
 
 
∫

( )
2
1
2 2 2 2
1
2 2
I osbt+sinbt osbt+sinbt
osbt+bsinbt
at at
at
a e a a b e
c c
b b a b b a b
e
ac C
a b
⋅
   
⇒ = ⋅ = ⋅
   
+ +

   
= +
+

2
2
2
a a
osbt+ osbt dt= osbt+ sin sin
b b
a
sin osbt- sin
b
at at at
at at
at at
at
e e e a a
I c e c c bt e tdt
b b b b b
e e
a bt c e tdt
b b
= − − ⋅ − =
 
= ⋅ −
 
 
∫ ∫
∫

( )
2 2
2 2
asin bt-bcosbt
at
e
I C
a b
⇒
= ⋅ +
+

( )
2 2
. . ( )
2
at
e
I a bt b bt c
a b
π
ε ε
 
⇒ = − + +
 
+
 
  
(

c

là vectơ hằng).
Bài 1.19

Giải

Áp dụng công thức tính
[ ]
p
α ϕ

ñố
i v
ớ
i m
ụ
c tiêu trong
3
E

a) V
ớ
i
2 2 2
x y z
ϕ
= + −
ta có
2 4

x
p p
x
ϕ
∂
= =
∂
,
2 2
y
p p
y
ϕ
∂
= =
∂

2 0
z
p p
z
ϕ
∂
= − =
∂
. Do
ñ
ó
[ ]
p

α ϕ
=
3
1
i
i
i
a
p
x
ϕ
=
∑
∂
∂
= 1.4+2.2-1.0=8.
b) Với
x
sin cos .
e y z
ϕ
= +

ta có
( )
2
sin . .sin1,
x
y e e
p p

x
ϕ
∂
= =
∂

( )
2
os . os1,
x
e c x e c
p p
y
ϕ
∂
= =
∂

sin 0
z
p p
z
ϕ
∂
= − =
∂
. Do
ñ
ó
[ ]

p
α ϕ
=
3
1
i
i
i
a
p
x
ϕ
=
∑
∂
∂
=
2
e
(sin1+ 2. cos1)
Bài 1.20
Giải

Với
3
1
i i
i
X E
ϕ

=
∑
=
ta có
3
1
[ ]
i
i
i
X
x
ϕ
ϕ ϕ
=
∑
∂
=
∂

+)
2
( ) ( ) ( )
[ + ] [ ]
xy yz xy yz xy yz
X X xy yz x z y
x y z
ϕ ψ
∂ + ∂ + ∂ +
= + = + −

∂ ∂ ∂

=
2 2
( )
x y z x z y
+ + −
.
+)
2
( ) ( ) ( )
X[ . ] [ ] [ ] .( )
yz yz yz
X X xy x z y
x y z
ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ
∂ ∂ ∂
= + = + −
∂ ∂ ∂

=
2
( ) ( ) ( )
.( )
yz yz yz
xy x z y
x y z
∂ ∂ ∂
+ −
∂ ∂ ∂

+ yz
2
xy xy xy
x z y
x y z
 
∂ ∂ ∂
+ −
 
∂ ∂ ∂
 

= xy (2z
2
-y
2
+xyz) =
2 2 2 3
2
x y z xyz xy
+ −

+)
2
( ) ( ) ( )
[ ] [xy]
xy xy xy
X X x z y
x y z
ϕ

∂ ∂ ∂
= = + −
∂ ∂ ∂
=
2
x y xz
+

X[X[ ]]
ϕ
=
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2 2
[ ]
x y xz x y xz x y xz
X x y xz x z y
x y z
∂ + ∂ + ∂ +
+ = + −
∂ ∂ ∂

=
2 2
(2 ) yx

x xy z zx
+ + −
.
+
X[ ]
ϕ ψ
=
2
( ) ( ) ( )
.( )
yz yz yz
xy x z y
x y z
∂ ∂ ∂
+ −
∂ ∂ ∂
= xyz
2
-xy
3

[ ]
X
ψ ϕ
= yz
2
xy xy xy
x z y
x y z
 

∂ ∂ ∂
+ −
 
∂ ∂ ∂
 
=
2 2 2
x y z xyz
+

X[ ] [ ]
X
ϕ ψ ψ ϕ
−
=
2
( ).
xy y xz
− +

Bài 1.21
Giải
Áp d
ụng công thức tính ñạo hàm thuận biến của trường vectơ Y dọc trường vectơ X
ñối với trường mục tiêu song song
{
}
1 2 3
, ,
E E E

ứ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ

ñộ
afin (x,y,z) trong
3
E
,
3
1
[ ]
X i i
i
D Y X E
ϕ
=
∑
=
(trong
ñ
ó Y =
3
1
i i
i

E
ϕ
=
∑
,
3
1
i i
i
X E
ψ
=
∑
=
)
1 2
[y] [x]
X
D Y X E X E
= +
=
=
2z
y y y
xy e y
x y z
 
∂ ∂ ∂
+ −
 

∂ ∂ ∂
 
1
E
+
2
2
x
z
x x
xy e y E
x y z
 
∂ ∂ ∂
+ −
 
∂ ∂ ∂
 
=
1 2
z
e E xyE
+
.
2
1 2 3
[xy] [e ] [-y ]
z
Y
D X Y E Y E Y E

= + + =

=
2 2
1 2 3
( ) ( )
z z
xy xy e e y y
y x E y x E y x E
x y x y x y
   
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ −
+ + + + +
   
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   

=
(
)
2 2
1 3
2
y x E xyE
+ −
.
1 2

( ) [e ] [xy]
z
X X
D D Y X E X E
= + =
=
2 2
1 2
z z z
z z
e e e xy xy xy
xy e y E xy e y E
x y z x y z
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − + + −
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 

=
2 2
1 2
( )
z z
y e E xy xe E
− + +

Ta có X + x .Y = 2xy E
1
+
2 2
2 3
( )
z
e x E y E
+ −

( )
X
D X xY
+
=
2 2
1 2 3
[2xy] [e ] [-y ]
z
X E X x E X E
+ + +
=
(
)
(
)
(
)
2
1

2 2 2
z
xy xy xy
xy e y E
x y z
∂ ∂ ∂
 
+ −
 
∂ ∂ ∂
 
+
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2
2
e e e
z z z
z
x x x
xy e y E
x y z
 
∂ + ∂ + ∂ +
+ + −

 
 
∂ ∂ ∂
 
+
(
)
(
)
(
)
2 2 2
2
3
z
y y y
xy e y E
x y z
 
∂ − ∂ − ∂ −
+ + −
 
 
∂ ∂ ∂
 
=
=
2 2 2
1 2 3
(2 2 ) (2 ) 2

z z z
xy xe E x y y e E e yE
+ + − −
.

Bài 1.22

Giải

1
2
1 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 2 2
1 2 3
[ ] ( )
X x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x
ϕ ϕ ϕ
ϕ
∂ ∂ ∂
= + − = + − + = +
∂ ∂ ∂

1 2 1 3 2
[x ] [x ]
X
D Y X x E X E
= +

=
1 2 1 2 1 2 3 3 3

1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 2
1 2 3 1 2 3
x x x x x x x x x
x x x x x E x x x x x E
x x x x x x
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ − + + −
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   

=
2
1 2 1 2 1 1 3 2
( ) .
x x x x E x x E
+ −

[ ]
p
α ϕ
=
2 1 3 2 1 2 3
1 2 3
2. 1. 3. 2 ( ) 3
x x x x x x x
x x x
ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂

+ + = + − − = − −
∂ ∂ ∂

Ta có
(
)
(
)
(
)
1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 3
X x x x x x E x x x x x E x x x x x x E
ϕ
= − + − + −

1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 3
( ) [ ] [ ] [ ]
Y
D X Y x x x x x E Y x x x x x E Y x x x x x x E
ϕ
= − + − + −

=
2 2
1 2 1 2 3 1 2 1 2 3
1 2 3 1

1 2
( ) ( )
x x x x x x x x x x
x x x E
x x
 
∂ − ∂ −
+
 
∂ ∂
 
+
+
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 3 1 2 1 2 3
1 2 3 2
1 2
( ) ( )
x x x x x x x x x x
x x x E
x x
 
∂ − ∂ −
+
 
∂ ∂
 
+
+
1 1

2 2 2 2
1 2 3 2 3 1 2 3 2 3
1 2 3 3
1 2
( ) ( )x x x x x x x x x x x x
x x x E
x x
 
∂ − ∂ −
+
 
 
∂ ∂
 

=
(
)
2
1 2 1 2 3 2 3 1 1 3 1
(2 ) ( )
x x x x x x x x x x E
− + −
+
(
)
2 2 2
1 2 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 2
(2 ) (2 2 )
x x x x x x x x x x x x E

− + −
+
+
(
)
1
2 2 2
1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 3 3
( 2 ) ( )
x x x x x x x x x x x x E
− + −

Bài 1.23
Giải

Ta có
(
)
(
)
1 2
2 2 2 2
. .
k k
x y
dy dx dy dx
x y x y
θ ϕ ϕ
= − = +
+ +