Luận án tiến sĩ cơ học phân tích hệ thanh phẳng có liên kết nửa cứng, vết nứt và có độ cứng, khối lượng phân bố ngẫu nhiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG


d−¬ng thÕ hïng

ph©n tÝch hÖ thanh ph¼ng cã liªn kÕt
nöa cøng, vÕt nøt vμ cã ®é cøng,
khèi l−îng ph©n bè ngÉu nhiªn

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 62.44.21.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT












Hà Nội 2010
B GIO DC V O TO
TRNG I HC XY DNG

dơng thế hùng

phân tích hệ thanh phẳng có liên kết
nửa cứng, vết nứt v có độ cứng,
khối lợng phân bố ngẫu nhiên

Chuyờn ngnh: C hc vt th rn
Mó s: 62.44.21.01

LUN N TIN S K THUT

Ngời hớng dẫn khoa học:
1. GS. TS. Lê xuân huỳnh
2. pgs.TS. Trần văn liên






Hà Nội 2010
I



LỜI CAM ĐOAN



Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.



Tác giả luận án



Dương Thế Hùng

II

MỤC LỤC

Lời cam đoan

Mục lục

Các ký hiệu và viết tắt

Danh mục các bảng biểu, hình vẽ
Trang

Mở đầu………………………………………………………. 1
Chương 1.
TỔNG QUAN
7
1.1
Về nghiên cứu động lực học ngẫu nhiên………………… 7

1.2
Về nghiên cứu kết cấu có liên kết nửa cứng và vết nứt… 11
1.2.1 Mô hình cơ học của vết nứt………………………………… 11
1.2.2 Mô hình liên kết nửa cứng ở hai đầu thanh………………… 14
1.2.3 Kết hợp hai mô hình kết cấu có liên kết nửa cứng và vết nứt
vào một mô hình chung…………………… ………………
15
1.3 Một số kết quả của thế giới và ở Việt Nam có liên quan
đến đề tài nghiên cứu………………………………………
16
1.4
Một số giả thiết được sử dụng trong luận án….………… 20
1.5 Mục đích, phương pháp, phạm vi và đối tượng nghiên
cứu …………………………………………………………
21
1.5.1 Mục đích và phương pháp nghiên cứu ………… ……… 21
1.5.2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu ………… ……………… 22

Chương 2.
XÂY DỰNG CÁC BIỂU THỨC KỲ VỌNG VÀ
PHƯƠNG SAI CỦA CHUYỂN VỊ VÀ ỨNG LỰC TRONG HỆ
THANH PHẲNG CÓ THAM SỐ NGẪU NHIÊN VÀ LIÊN
KẾT NỬA CỨNG

23
2.1 Xác định hàm dạng của phần tử thanh có liên kết cứng ở
hai đầu……………………………………………………….
23
2.1.1 Hàm dạng của phần tử thanh chịu uốn…………………… 23
III

2.1.2 Hàm dạng của phần tử thanh chịu kéo (nén)……………… 27
2.1.3 Hàm dạng của thanh chịu uốn có xét đến yếu tố cản………. 30
2.1.4 Hàm dạng của thanh chịu kéo (nén) có xét đến yếu tố cản… 33
2.1.5 Phần tử thanh chịu uốn và kéo (nén)……………………… 36
2.2 Xây dựng MTĐCĐL của phần tử có liên kết cứng ở hai
đầu và có tham số ngẫu nhiên (PTL1)…… ………………
36
2.2.1 MTĐCĐL của thanh khi không xét đến yếu tố cản……… 36
2.2.2 MTĐCĐL c
ủa thanh có xét đến yếu tố cản………… …… 40
2.3 Xây dựng MTĐCĐL của phần tử thanh có liên kết nửa
cứng và có tham số ngẫu nhiên (PTL2, PTL3)……………
42
2.3.1 Phần tử chịu uốn có liên kết nửa cứng (PTL2)….…………. 43
2.3.2 Phần tử chịu kéo (nén) có liên kết nửa cứng (PTL2)….…… 50
2.3.3 Phần tử chịu uốn và kéo (nén) có liên kết nửa cứng (PTL2) 55
2.3.4 Phần tử thanh có liên kết nửa cứng và có vùng cứng (PTL3) 56
2.4 Xác định véc tơ lực nút tương
đương của phần tử thanh
có liên kết nửa cứng và tham số ngẫu nhiên ……………
58
2.4.1 Phần tử thanh có liên kết nửa cứng (PTL2)………………… 58
2.4.2 Phần tử có liên kết nửa cứng và có kể đến vùng cứng(PTL3) 58
2.5
Chuyển về hệ tọa độ chung………………………………… 59
2.5.1 Các ma trận chuyển hệ tọa độ địa phương về hệ tọa độ
chung………………………………………………………
59
2.5.2 MTĐCĐL của phần tử trong hệ tọ

a độ chung……………… 59
2.5.3 Véc tơ tải trọng nút của phần tử thanh trong hệ tọa độ chung 62
2.5.4 MTĐCĐL và véc tơ tải trọng nút của cả kết cấu trong hệ tọa
độ chung…………………………………………………….
62
2.6 Lựa chọn phương pháp giải bài toán động lực học ngẫu
nhiên………………………………………………………….
63
IV

2.6.1 Nghịch đảo ma trận độ cứng tổng thể ……………………… 63
2.6.2 Phương pháp khai triển Neumann………………………… 63
2.6.3 Xác định biểu thức kỳ vọng và phương sai của chuyển vị
nút…………………………………………………………
64
2.6.4 Xác định biểu thức kỳ vọng và phương sai của các thành
phần ứng lực………………………………………………
64
2.7
Kết luận chương 2………………………………………… 66

Chương 3.
CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH NGẪU NHIÊN HỆ
THANH PHẲNG CÓ LIÊN KẾT NỬA CỨNG THEO
PHƯƠNG PHÁP MTĐCĐL
67
3.1
Sơ đồ khối của chương trình………………………………. 67
3.1.1 Về chương trình Maple12………………………………… 67
3.1.2 Sơ đồ khối của phương pháp MTĐCĐL…………………… 68

3.1.3 Sơ đồ khối của chương trình TK.mw………………………. 69
3.2 Chương trình phân tích hệ thanh phẳng có liên kết nửa
cứng và có yếu tố ngẫu nhiên theo phương pháp
MTĐCĐL
70
3.2.1 Mô tả chương trình TK.mw………………………………… 70
3.2.2 Số liệu đầu vào và kết quả đầu ra………………………… 71
3.3
Kiểm tra độ tin cậy của chương trình TK.mw……………. 72
3.3.1 Kiểm tra số liệu đầu vào và đầu ra của chương trình………. 72
3.3.2 Kiểm tra kết quả tính toán dầm có vết nứt chịu lực phân bố 76
3.3.3 Kiểm tra kết quả tính toán dầm có vết nứt chịu lực tập trung 76
3.3.4 Kiểm tra kết quả tính toán dầm có vết nứt chịu mômen……. 76
3.3.5 Kiểm tra tính toán dầm hai đầu khớp chịu lực phân bố…… 77
3.3.6 Kiểm tra tính toán dầm có nhiều vết nứt…………………… 77
3.3.7 Kiểm tra kết quả tính khung phẳng có vết nứt…………… 79
V

3.3.8 Kiểm tra kết quả tính khung phẳng có liên kết nửa cứng 81
3.4
Kết luận chương 3………………………………………… 85

Chương 4.
PHÂN TÍCH DẦM CÓ VẾT NỨT VỚI ĐỘ CỨNG
VÀ KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ NGẪU NHIÊN
86
4.1
Bài toán dầm có một vết nứt, EI(x), m(x) ngẫu nhiên… 86
4.1.1 Bài toán dầm có một vết nứt, EI(x) ngẫu nhiên……………… 86
4.1.2

Khảo sát sự thay đổi của chiều sâu vết nứt, tham số bé ε, tần
số của lực kích thích ω đến giá trị trung bình và phương sai
của chuyển vị, ứng lực……………………… …… ………
94
4.1.3 So sánh bài toán dầm có một vết nứt khi có EI(x) ngẫu nhiên
với bài toán dầm có một vết nứt khi có m(x) ngẫu nhiên …
96
4.2
Bài toán d
ầm có nhiều vết nứt và EI(x), m(x) ngẫu nhiên 98
4.2.1 Tính toán giá trị kỳ vọng khi dầm chịu tải trọng tĩnh…… 99
4.2.2 Tính toán giá trị trung bình và phương sai khi dầm chịu tải
trọng động…………………………………………………….
101
4.3
Đánh giá độ tin cậy về bền của dầm có vết nứt chịu uốn…
105
4.3.1 Khoảng an toàn và chỉ số độ tin cậy của phần tử kết cấu……. 105
4.3.2 Xác định độ tin cậy về bề
n của dầm chịu uốn……………… 106
4.4
Kết luận chương 4………………………………………… 108

Chương 5. PHÂN TÍCH KẾT CẤU KHUNG CÓ VẾT
NỨT, LIÊN KẾT NỬA CỨNG VỚI ĐỘ CỨNG VÀ
KHỐI LƯỢNG PHÂN BỐ NGẪU NHIÊN

109
5.1
Bài toán khung có liên kết nửa cứng……………………… 110

5.2 Bài toán khung có liên kết nửa cứng và có tham số EI(x),
EA(x), m(x) ngẫu nhiên……………………………………
111
5.2.1 Tính toán giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị… … 112
VI

5.2.2
Tính toán giá trị phương sai khi thay đổi tham số bé ε………
114
5.3 Bài toán xét đến ảnh hưởng của yếu tố cản, vết nứt, liên
kết nửa cứng và có tham số EI(x),EA(x),m(x) ngẫu nhiên
115
5.3.1 Tính giá trị kỳ vọng của chuyển vị nút khi thay đổi hệ số cản 116
5.3.2 Tính toán giá trị kỳ vọng và tỉ số giữa độ lệch và kỳ vọng của
ứng lực…… ………………………………………………
118
5.4
Đánh giá độ
tin cây về độ cứng của khung……….……… 120
5.4.1 Đánh giá xác suất phá hoại theo sơ đồ điện……………….…. 120
5.4.2 Xác định xác suất phá hoại của khung theo điều kiện cứng…. 121
5.5
Kết luận chương 5………………………………………… 122

KẾT LUẬN CHUNG…………………………………………………
123

CÁC KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO……
125

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ………
126

TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………….
127
Phụ lục 1
Chương trình tính khung phẳng TK.mw được viết trên nền
chương trình Maple12………………………………………….
137
Phụ lục 2
Ứng lực và phương sai ứng lực ở mục 3.3.8 chương 3…………

Phụ lục 3
Chuyển vị và Ứng lực ở mục 5.1 chương 5…………… ………










VII

CÁC KÝ HIỆU, VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

MTĐCĐL Ma trận độ cứng động lực
VC Vùng cứng

LKNC Liên kết nửa cứng
PTL1,PTL2,PTL3 Phần tử loại 1, phần tử loại 2, phần tử loại 3
β, γ, τ Hệ số trong công thức hàm e mũ
ε
1
, ε
1
, ε
1
Tham số bé
e1, e2, e3 Tham số bé
e
u
, e
v
Ký hiệu phần tử
ρ Mật độ khối lượng
cphi, c
φ
, c
ϕ
Độ cứng lò xo xoay
cu, c
u
Độ cứng lò xo chuyển vị dọc trục
cv, c
v
Độ cứng lò xo chuyển vị ngang trục
H
e

, H
e
Ma trận quan hệ giữa chuyển vị của PTL2 và PTL3
T
e
Ma trận chuyển tọa độ riêng về hệ tọa độ chung
N Hàm dạng
Y(x,t) Chuyển vị ngang trục phần tử
U(x,t) Chuyển vị dọc trục phần tử
c
1
, cc
1
, CC
1
Hệ số cản vật liệu
c
2
, c
3
, c
4
Hệ số cản vật liệu
L chiều dài phần tử
j số ảo
1j
=
−
EI Độ cứng uốn
EA Độ cứng kéo (nén)

m Khối lượng trên đơn vị dài
VIII

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU HÌNH VẼ

1- Danh mục các bảng
Bảng 3.1: So sánh giá trị kỳ vọng của chuyển vị theo TK.mw và Sap2000
Bảng 3.2: So sánh giá trị kỳ vọng của ứng lực theo TK.mw và Sap2000
Bảng 3.3: So sánh giá trị kỳ vọng của chuyển vị theo TK.mw và giải tích
Bảng 3.4. Giá trị ứng lực của khung có xét đến ảnh hưởng của vùng cứng
Bảng 3.5. Giá trị ứng lực của khung có xét đến ả
nh hưởng của vùng
Bảng 3.6. Giá trị ứng lực của khung có xét đến ảnh hưởng của vùng cứng
Bảng 3.7. Giá trị mô men tại vị trí số 8 khi cho
ω
thay đổi
Bảng 4.1. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 1
Bảng 4.2. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 2
Bảng 4.3. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 3
Bảng 4.4. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị cho trường hợp 4
Bảng 4.5. Giá trị kỳ vọng của ứng lự
c
Bảng 4.6. Giá trị phương sai của ứng lực
Bảng 4.7. Giá trị kỳ vọng của ứng lực khi thay đổi độ cứng vết nứt
Bảng 4.8. Giá trị phương sai của ứng lực khi thay đổi độ cứng vết nứt
Bảng 4.9. Giá trị kỳ vọng của ứng lực
Bảng 4.10. Giá trị phương sai của ứng lực
Bảng 4.11. Số liệu tính toán
Bảng 4.12. Kế
t quả tính độ tin cậy

Bảng 5.1. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị số 10 (ứng với
trường hợp độ cứng liên kết nửa cứng bằng c
u
=c
v
=c
ϕ
=123456)
Bảng 5.2. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị số 10 (ứng với
trường hợp độ cứng liên kết nửa cứng bằng c
u
=c
v
=c
ϕ
=2*123456)
Bảng 5.3. Giá trị kỳ vọng và phương sai của chuyển vị số 10 (ứng với
IX

trường hợp độ cứng liên kết nửa cứng bằng c
u
=c
v
=c
ϕ
=0,5*123456)
Bảng 5.4: Tham số bé
ε
thay đổi
Bảng 5.5. Giá trị kỳ vọng của chuyển vị nút khi có yếu tố cản thay đổi

Bảng 5.6. Giá trị kỳ vọng của chuyển vị thay đổi theo tần số kích thích
ω

Bảng 5.7. Giá trị kỳ vọng của chuyển vị thay đổi theo chiều sâu vết nứt
Bảng 5.8. Giá trị kỳ vọng của chuyển vị thay đổi theo liên kết nửa cứng
Bảng 5.9. Giá trị kỳ vọng của ứng lực phần tử 1 và 2
Bảng 5.10. Ảnh hưởng của tỷ số độ lệch/kỳ vọng của ứng lực
Bảng 5.11. Kết quả tính độ
tin cậy của khung theo tiêu chuẩn về độ cứng

2- Danh mục các hình vẽ
Hình 1.1. Tích phân trọng số với trường ngẫu nhiên một chiều
Hình 1.2. Tương quan của các tích phân trọng số
Hình 1.3. Mô hình dầm có nhiều vết nứt được thay bằng các lò xo đàn hồi
Hình 1.4 Thanh có vết nứt mở hai phía và mô hình lò xo tương đương
Hình 1.5. Mô hình phần tử thanh có liên kết nửa cứng
Hình 1.6. Mô hình phần tử thanh có liên kết nửa cứng và vết nứt
Hình 2.1. Mô hình phần t
ử thanh chịu uốn
Hình 2.2. Mô hình phần tử thanh chịu kéo (nén)
Hình 2.3. Mô hình thanh chịu uốn và kéo (nén)
Hình 2.4. Mô hình liên kết nửa cứng được coi là một “phần tử lò xo”
Hình 2.5. Mô hình phần tử thanh chịu uốn có liên kết nửa cứng
Hình 2.6. Mô hình phần tử thanh chịu kéo (nén) có liên kết nửa cứng
Hình 2.7. Mô hình Phần tử đồng thời chịu uốn và kéo (nén) có liên kết nửa
cứng
Hình 2.8. Mô hình phần tử thanh có liên kết nửa cứng có vùng cứng
Hình 3.1. Menu các lệnh của chương trình
X

Hình 3.2. Đưa ra các số liệu dưới dạng biểu thức
Hình 3.3. Đưa kết quả dưới dạng đồ thị
Hình 3.4. Tính toán khung có ba phần tử
Hình 3.5. Sơ đồ tính dầm có vết nứt chịu tải trọng phân bố
Hình 3.6. Sơ đồ tính dầm có vết nứt chịu lực tập trung
Hình 3.7. Sơ đồ tính dầm có vết nứt chịu mômen tập trung
Hình 3.8. Sơ đồ dầm hai đầu khớp có vết n
ứt chịu tải trọng phân bố
Hình 3.9. Sơ đồ dầm có nhiều vết nứt
Hình 3.10. Đồ thị góc xoay tại vết nứt thứ nhất khi cphi1 thay đổi
Hình 3.11. Đồ thị góc xoay tại vết nứt thứ nhất khi cphi2 thay đổi
Hình 3.12. Khung có liên kết nửa cứng
Hình 3.13. Khung liên kết nửa cứng có vùng cứng
Hình 3.14. Biểu đồ chuyển vị và độ lệch của chuyển vị nút số 8
Hình 4.1. Dầm có một vết n
ứt có tham số EI(x) ngẫu nhiên
Hình 4.2. Dầm conson
Hình 4.3. Chuyển vị nút số 4 thay đổi ứng với tần số thay đổi
Hình 4.4. Phương sai của chuyển vị nút số 4 ứng với tần số thay đổi
Hình 4.5. Phương sai thay đổi ứng với tần số và
ε
1 thay đổi
Hình 4.6. Dầm hai đầu khớp cố định
Hình 4.7. Dầm một đầu ngàm một đầu khớp di động
Hình 4.8. Dầm hai đầu ngàm
Hình 4.9. Kỳ vọng của chuyển vị nút số 2 khi c
φ
và
ε
1

cùng thay đổi
Hình 4.10. Phương sai của chuyển vị nút số 2 khi c
φ
và
ε
1
thay đổi
Hình 4.11. Đồ thị kỳ vọng của chuyển vị nút số 2 khi c
ϕ
thay đổi
Hình 4.12. Đồ thị kỳ vọng của chuyển vị nút số 2 khi c
ϕ
thay đổi,
ω
ở tần
số cao
Hình 4.13. Đồ thị phương sai của chuyển vị nút số 2 khi c
ϕ
thay đổi
XI

Hình 4.14. Phương sai của chuyển vị số 4 thay đổi theo
ε
1
và
ε
2
khi
ω
=10rad/s

Hình 4.15. Phương sai của chuyển vị số 4 thay đổi theo
ε
1
và
ε
2
khi
ω
=20rad/s
Hình 4.16. Phương sai của chuyển vị số 4 thay đổi theo
ε
1
và
ε
2
khi
ω
=100rad/s
Hình 4.17. Dầm có nhiều vết nứt có tham số ngẫu nhiên
Hình 5.1. Tính khung 2 nhịp 5 tầng
Hình 5.2. Tiết diện dầm và cột
Hình 5.3. Khung có liên kết nửa cứng và có tham số ngẫu nhiên
Hình 5.4. Sơ đồ tính khung


1



MỞ ĐẦU

Cơ sở khoa học và thực tiễn của luận án
Khi phân tích kết cấu thanh, các liên kết dầm-cột thường được giả thiết là
cứng tuyệt đối hoặc là khớp lý tưởng. Tuy nhiên các khảo sát thực tế và các
nghiên cứu thực nghiệm đã chỉ ra rằng, các tiết diện thanh sát vị trí liên kết có
chuyển vị tương đối với nhau, do đó không thể xem các liên kết là cứng tuyệt
đối mà phải xem là các liên kết nửa cứng [1], [30], [41], [74], [90].
Mặt khác, trong kết cấu thường xuất hiện các vết nứt, khi tính toán kết cấu,
các vết nứt này thường được mô hình hóa bằng các lò xo đàn hồi có độ cứng
hữu hạn [10], [21], [27]. Do đó việc xây dựng mô hình kết cấu có vết nứt và
có liên kết nửa cứng là một việc cần thiết phản ánh sự làm việc thực của kết
cấu.
Bên cạ
nh đó, các thông số đầu vào của hệ kết cấu như độ cứng uốn EI(x),
độ cứng kéo nén EA(x) và phân bố khối lượng m(x) thay đổi theo quy luật
ngẫu nhiên, trong nhiều trường hợp có thể sử dụng mô hình phân bố chuẩn.
Vì vậy việc kể đến yếu tố ngẫu nhiên sẽ cho ta đánh giá sự làm việc của kết
cấu sát thực và tin cậy hơn.
Việc xét đến đồng thời các y
ếu tố “liên kết nửa cứng, vết nứt” trong phân
tích “kết cấu có độ cứng và phân bố khối lượng ngẫu nhiên” chưa được đề cập
đến trong các tài liệu hiện có. Từ những yêu cầu thực tế và trên cơ sở tiếp thu
phát triển các kết quả đã công bố của các tác giả nghiên cứu từng yếu tố, đề
tài luận án được hình thành dựa trên các nội dung cơ bản sau đây:
Thứ nhất: Kết cấu có độ cứng uốn EI(x), độ cứng kéo (nén) EA(x) và khối
lượng phân bố m(x) là hàm ngẫu nhiên chứa các tham số bé. Dưới đây gọi
chung là kết cấu có tham số ngẫu nhiên. Các kết quả về nội dung này được
thấy trong các tài liệu [56], [57], [58], [59], [81], [82].
Thứ hai: Kết cấu có liên kết nửa cứng: Đây là hướng nghiên cứu được



2



nhiều tác giả quan tâm với việc sử dụng phương pháp chuyển vị để xác định
ma trận độ cứng và lực nút tương đương [1], [29], [30], [41], [74].
Thứ ba: Kết cấu có vết nứt: Đây là hướng nghiên cứu được nhiều tác giả
trong và ngoài nước quan tâm [10], [21], [27], [51], [63], [78]. Kết cấu có vết
nứt thường được mô hình hóa là lò xo đàn hồi có độ cứng phụ thuộc vào độ
sâu của vết nứt [23], [27], [28], [44], [51], [63], [68], [69], [78].
Nếu k
ết hợp ba hướng nghiên cứu trên khi phân tích kết cấu có liên kết nửa
cứng, vết nứt và tham số ngẫu nhiên sẽ mang lại nhiều kết quả phong phú và
phản ánh sát hơn sự làm việc thực tế của kết cấu, thông qua việc xem xét sự
ảnh hưởng lẫn nhau của các yếu tố vết nứt, liên kết nửa cứng, ngẫu nhiên. Tuy
vậy cho đến nay vấn đề này vẫn chưa thấy công trình nào công bố.
Tác giả đã chọn tiêu đề của luận án là “Phân tích hệ thanh phẳng có liên
kết nửa cứng, vết nứt và có độ cứng, khối lượng phân bố ngẫu nhiên”.
Luận án được thực hiện tại Bộ môn Cơ học kết cấu, Trường Đại học Xây
dựng dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Lê Xuân Huỳnh và PGS. TS.
Trần Văn Liên.
Mục tiêu và phương pháp nghiên cứu
Luận án s
ẽ xây dựng mô hình tổng quát để tính toán kết cấu thanh phẳng có
vết nứt, liên kết nửa cứng và chứa tham số ngẫu nhiên là độ cứng uốn EI(x),
độ cứng kéo (nén) EA(x) và phân bố khối lượng m(x). Trong các trường hợp
riêng sẽ nhận lại được từng mô hình do các tác giả khác đã công bố. Từ đó
luận án sẽ phân tích số để xác định các đặc trưng xác suất, cụ thể là giá trị kỳ
vọng và phươ

ng sai của chuyển vị (hoặc ứng lực). Sau đó luận án sử dụng các
phương pháp đã biết để đánh giá độ tin cậy của kết cấu.
Nhiệm vụ đặt ra của đề tài luận án gồm:
1- Xây dựng ma trận độ cứng động lực của phần tử thanh có liên kết cứng
ở hai đầu với các biến ngẫu nhiên là độ cứng chố
ng uốn EI(x), độ cứng
chống kéo (nén) EA(x) và phân bố khối lượng m(x). Trên cơ sở đó xây


3



dựng ma trận độ cứng động lực cho phần tử thanh có liên kết nửa cứng
ở hai đầu.
2- Ghép nối các phần tử thanh để có được ma trận độ cứng động lực và lực
nút tương đương của toàn bộ kết cấu. Ma trận độ cứng động lực của kết
cấu lúc này gồm hai thành phần: tiền định và ngẫu nhiên.
3- Do ma trận độ cứng
động lực của kết cấu có các thành phần ngẫu nhiên,
nên luận án sẽ dùng phương pháp khai triển Neumann để tìm biên độ
phức của các chuyển vị nút, từ đó tìm giá trị ứng lực trong kết cấu.
4- Để kiểm tra tính đúng đắn của thuật toán, luận án sẽ lập trình tính toán
kết cấu khung phẳng có liên kết nửa cứng và có tham số ngẫu nhiên để
tìm ra biên độ phức của chuyển vị nút và củ
a ứng lực trên nền chương
trình Maple12. Trong một số bài toán cụ thể tác giả còn lập chương
trình đánh giá độ tin cậy về bền và cứng của kết cấu.

Nội dung luận án được trình bày trong năm chương:

Chương 1: Tổng quan
Chương một trình bày tổng quan các kết quả nghiên cứu đã công bố
của các tác giả trong và ngoài nước về các nội dung liên quan đến đề tài
của luận án là liên kết nửa c
ứng, vết nứt và độ cứng uốn EI(x), độ cứng
kéo (nén) EA(x) và khối lượng m(x) phân bố ngẫu nhiên.
Chương 2: Xây dựng các biểu thức kỳ vọng và phương sai của chuyển vị và
ứng lực trong hệ thanh phẳng có tham số ngẫu nhiên và liên kết nửa cứng.
Chương hai trình bày những tính toán cụ thể để xây dựng ma trận độ
cứng động lực của phần tử thanh có liên kết cứng ở
hai đầu, sau đó là
phần tử thanh có liên kết nửa cứng. Thiết lập ma trận độ cứng động lực
trong hệ tọa độ chung và các véc tơ lực nút tương đương của kết cấu. Sử
dụng phương pháp khai triển Neumann để nghịch đảo ma trận độ cứng
động lực tổng thể, ta nhận được biểu thức kỳ vọng và phương sai của


4



chuyển vị nút và của ứng lực.
Chương 3: Chương trình phân tích ngẫu nhiên hệ thanh phẳng có liên kết
nửa cứng theo phương pháp ma trận độ cứng động lực.
Chương ba là bước cụ thể hóa các nội dung đã trình bày ở chương hai
thông qua việc lập thuật toán và chương trình tính toán trên nền Maple
Version 12. Việc nhập số liệu, các bước tính toán và việc đưa ra kết quả
tính toán được viết gọn trong một File chương trình Maple có tên là
TK.mw. Kế
t quả của chương trình TK.mw cho ta giá trị kỳ vọng và

phương sai của chuyển vị nút, giá trị kỳ vọng và phương sai của ứng lực.
Chương ba cũng tiến hành kiểm tra độ tin cậy của chương trình TK.mw
thông qua các bài toán cụ thể.
Chương 4: Phân tích dầm có vết nứt với độ cứng và khối lượng phân bố
ngẫu nhiên.
Dầm là kết cấu cơ bản, là đối tượng hay gặp trong lý thuyết và trong
thực tế tính toán. Chương bốn sẽ phân tích sự làm việc của dầm, được
xem là kết cấu bị nứt mà không xem xét đến ảnh hưởng của yếu tố liên
kết nửa cứng.
Khi xem xét ảnh hưởng của vết nứt trong dầm, ta giả thiết vết nứt có
vị trí và độ sâu đã được biết trước, nghĩa là, ta thực hiện bài toán kiểm
tra dầm có vết nứt, nhằm phân tích ả
nh hưởng của các thông số như liên
kết tại gối tựa, ảnh hưởng của vị trí và độ sâu vết nứt, ảnh hưởng của tần
số lực kích thích v.v… đến giá trị chuyển vị và ứng lực của dầm. Kết quả
thu được sẽ góp một phần tạo ra cơ sở dữ liệu cho bài toán chẩn đoán
dầm có vết nứt.
Chương bốn sẽ
nhận được các kết quả phân tích cụ thể cho các bài
toán khác nhau của dầm và đánh giá độ tin cậy về độ bền của dầm chịu
uốn.



5



Chương 5: Phân tích kết cấu khung có vết nứt, liên kết nửa cứng với độ
cứng và khối lượng phân bố ngẫu nhiên.

Kết cấu khung gắn với sự hình thành mối liên kết giữa dầm và cột
được xem có liên kết nửa cứng – thường hay gặp trong kết cấu thép hay
kết cấu bê tông cốt thép mà liên kết dầm-cột có sự cấu tạo đặc biệt. Vết
nứt hình thành trong dầm hay cột c
ủa kết cấu khung sẽ là hình ảnh của
mối nối giữa các đoạn dầm hay đoạn cột, hoặc là do các khuyết tật như
ăn mòn, rạn nứt, v.v…
Để đánh giá sự thay đổi của chuyển vị, ứng lực trong kết cấu khung
khi có sự hiện diện của vết nứt, liên kết nửa cứng và có tham số ngẫu
nhiên về độ cứng và phân bố khối l
ượng, chương năm sẽ xem xét một số
vấn đề sau: Kết cấu có liên kết nửa cứng và EI(x), EA(x), m(x) ngẫu
nhiên; Kết cấu có yếu tố cản, vết nứt, liên kết nửa cứng và EI(x),
EA(x), m(x) ngẫu nhiên; Đánh giá xác suất phá hoại của khung theo điều
kiện cứng.
Phần cuối là kết luận, kiến nghị, hướng nghiên cứu tiếp theo.

Luận án đã đạt được những k
ết quả mới như sau:
1. Kết hợp ba mô hình tính toán hệ thanh phẳng có vết nứt, liên kết nửa cứng
và phân bố ngẫu nhiên về độ cứng EI(x), EA(x) và khối lượng m(x) vào
một mô hình chung. Kết quả của mô hình chung là đã xây dựng được các
ma trận và các biểu thức:
- Ma trận độ cứng động lực D, D
LK
với sự bổ sung của ma trận hiệu chỉnh
B và
c
V
K

thể hiện đặc trưng của liên kết nửa cứng và vết nứt;
- Véc tơ tải trọng nút, các biểu thức kỳ vọng và phương sai của chuyển vị,
ứng lực của phần tử;
2. Xây dựng sơ đồ thuật toán và lập chương trình tính kết cấu khung phẳng có


6



tên TK.mw trên nền Maple12. Đặc điểm của chương trình TK.mw:
- Có khả năng phân tích tĩnh và động kết cấu khung phẳng có vết nứt, liên
kết nửa cứng và có chứa ba tham số ngẫu nhiên là độ cứng uốn EI(x), độ
cứng kéo (nén) EA(x) và phân bố khối lượng m(x).
- Chương trình đã được kiểm nghiệm, so sánh với kết quả đã công bố
trong trường hợp tính toán tiền định (khi ε=0) bằng SAP2000 và nghiệ
m
giải tích. Kết quả đáng tin cậy.
3. Sử dụng chương trình TK.mw luận án đã xác định kỳ vọng và phương sai
của chuyển vị và ứng lực của dầm và khung chịu tải trọng tĩnh và động
dạng điều hòa có xét đến cản cho các bài toán:
- Dầm có vết nứt;
- Khung có liên kết nửa cứng;
- Khung có liên kết nửa cứng và vết nứt;
-
Từ đó xác định độ tin cậy về độ bền của dầm có vết nứt chịu uốn và xác
định độ tin cậy của khung về độ cứng.




7




Chương một
TỔNG QUAN

Bài toán cơ học, theo viện sỹ người Nga Болотин В. В [87], [88], có thể
khái quát hóa theo mô hình sau đây:
Biến trạng thái x∈X của hệ cơ học liên hệ với tải trọng và tác động ngoài
d∈D thông qua mô hình hoá A dưới dạng:
Ax=d (1.1)
trong đó X là không gian của các tham số chưa biết x, D là không gian của
các tác động bên ngoài d. Không gian D bao gồm cả những dữ kiện thực
nghiệm đáng tin cậy và các tr
ị số tiên đoán nhờ áp dụng phép toán A: X→D.
Ta nói A là mô hình hoá, A(x) là mô tả về các đại lượng đo lường cần thực
hiện. Trong các bài toán cơ học, X là biến trạng thái (chuyển vị, ứng suất,
biến dạng, ), D là tải trọng hay tác động ngoài, còn A là đặc trưng của hệ
thống hay kết cấu được thể hiện bằng các phương trình đại số hay các phương
trình vi phân cùng với các điều kiện biên hay ban đầu t
ương ứng.
Việc giải quyết các bài toán của cơ học xem như đi tìm một trong ba đại
lượng trong phương trình (1.1).
1.1. Về nghiên cứu động lực học ngẫu nhiên
Trong bài toán cơ học ngẫu nhiên, phương trình (1.1) cần được giải quyết
khi biết trước đặc trưng xác suất của hai trong ba đại lượng này, cần phải tìm
đại lượng còn lại.

Tính toán theo mô hình ngẫu nhiên, nói chung, được cho là cung cấp nhiều
thông tin về đ
iều kiện làm việc thực và ứng xử của hệ hơn khi tính toán theo
mô hình tiền định. Với việc cung cấp nhiều thông tin hơn, người kỹ sư có thể
thiết kế kết cấu có chi phí thấp nhưng độ an toàn cao hơn sau khi đánh giá


8



được độ tin cậy theo các chỉ tiêu đã định sẵn. Tuy nhiên, do sự phức tạp của
tính toán nên tuỳ theo hệ kết cấu và ý đồ đặt ra của người sử dụng, người ta
cần lựa chọn tính toán theo mô hình ngẫu nhiên cho phù hợp.
Khi nghiên cứu những hệ cơ học ngẫu nhiên, ta thường phải xét đến những
tham số ngẫu nhiên, thường do hai nguyên nhân: một là, do sự thay đổi của
những yếu tố ngẫu nhiên t
ừ bên ngoài gọi là các tác động ngẫu nhiên; hai là,
những biến đổi từ các thông số và đặc tính hình học của hệ gọi là các biến
ngẫu nhiên bên trong hệ kết cấu.
Ví dụ về các tác động ngẫu nhiên (là tham số d trong phương trình (1.1)):
tải trọng gió lên ngôi nhà cao tầng và cầu, tải trọng sóng lên các kết cấu ngoài
khơi và các tàu biển, tải trọng lên hệ giảm sóc của xe cộ đi trên đường gồ ghề
và tác động lên kết cấ
u nền móng khi chịu động đất, các thay đổi ngẫu nhiên
này được mô tả tương đối cụ thể trong các tài liệu [15], [72], [83].
Các biến ngẫu nhiên bên trong hệ kết cấu (là mô hình hóa A trong phương
trình (1.1)) được thể hiện ở các thông số như kích thước hình học, hệ số đàn
hồi, mật độ khối lượng, hệ số cản của vật liệu trong kết cấu…Theo hướng này
có một số kết quả

nghiên cứu đã công bố [56], [57], [58], [59], [81], [82].
Luận án này sẽ xem xét các biến ngẫu nhiên thuộc nhóm bên trong là độ cứng
và phân bố khối lượng để áp dụng cho kết cấu thanh có vết nứt với vị trí,
chiều sâu xác định và có liên kết nửa cứng với các hệ số độ cứng đàn hồi xác
định.
Người ta thường dùng các phương pháp sau để giải bài toán cơ học ngẫu
nhiên: phương pháp phần tử hữu hạn, phươ
ng pháp ma trận chuyển, phân tích
năng lượng thống kê và phương pháp phần tử biên. Nakagiri (1987) [75] và
Brenner (1991) [50] đưa ra cách tính toán kết cấu có yếu tố ngẫu nhiên.
Benaroya và Rehak (1988) [49], Shinozuka và Yamazaki (1988) [79], Der
Kiureghian et al (1991) [60]… tập trung vào phương pháp phần tử hữu hạn và
kỹ thuật máy tính trong phân tích động học của kết cấu.


9



Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp tương đối phổ biến và
tổng quát để giải bài toán cơ học ngẫu nhiên. Gần đây, người ta đã phát triển
phương pháp độ cứng động lực là sự mở rộng của phương pháp phần tử hữu
hạn trong các bài toán động để giải các bài toán tiền định và ngẫu nhiên. Luận
án này sẽ áp dụng phương pháp phần tử h
ữu hạn sử dụng độ cứng động lực
ngẫu nhiên để phân tích kết cấu khung phẳng.
Luận án sử dụng phương pháp giải bài toán động lực học ngẫu nhiên gồm
các tích phân có chứa biến ngẫu nhiên, gọi là “tích phân trọng số”, được sử
dụng trong các tài liệu [56], [57], [58], [59], [81], [82]. Khái niệm tích phân
trọng số được trình bày tóm tắt dưới đây [82].

Tích phân trọng số (weighted integrals)

Hình 1.1. Tích phân trọng số với trường ngẫu nhiên một chiều
Xét một trường ngẫu nhiên X(x) một chiều, đồng nhất, liên tục và phân
phối chuẩn Gauss như trên hình 1.1. Trường ngẫu nhiên này có giá trị kỳ
vọng bằng không, có hàm tự tương quan R
xx
(ξ). Tích phân trọng số theo hàm
trọng số tiền định f(x) trong miền con của V được định nghĩa như sau:
''
() (' )(') '
fc c
V
X
xfuxXudu=−
∫
(1.2)
Trong đó x
c
’ biểu thị một điểm trong miền V, u’ và x
c
’ là tọa độ trong hệ
tọa độ tổng thể. Phương trình (1.2) biểu thị tích phân trọng số X
f
của biến


10




ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, vì là kết quả tích phân của hàm ngẫu nhiên
gốc X(x). Hình 1.1 minh họa trường ngẫu nhiên một chiều, miền xác định có
độ rộng là T và x
c
’ được lựa chọn là tâm của miền xác định, trong trường hợp
này, phương trình (1.2) có thể được viết dưới dạng tọa độ địa phương ξ như
sau:
/2
''
/2
() ()( )
T
fc c
T
Xx f X xd
ξ
ξξ
−
=+
∫
(1.3)
Đặc trưng của tích phân trọng số:
- Kỳ vọng:
'
[()]0
fc
EX x
=

(1.4)
- Phương sai :

22
'
12 2112
22
[()] ()() ( )
TT
fc XX
TT
Var X x f f R d d
ξ
ξξξξξ
−−
=−
∫∫
(1.5)
Từ (1.5) thấy rằng hàm tương quan của tích phân trọng số không phụ thuộc
vào tọa độ vị trí x
c
’.
Véc tơ tích phân trọng số X
i
(x’
ci
) mà thành phần thứ k là tích phân trọng số
của hàm tiền định f
k
(x); (k=1,2,…,N) được định nghĩa qua miền V

i
như sau:
{
}
''' '
12
() () () ()
T
ici f ci f ci fN ci
Xx X x X x X x=
(1.6)
Véc tơ này gồm N biến ngẫu nhiên được tính từ trường ngẫu nhiên gốc và
do đó có sự tương quan lẫn nhau.
Ma trận tương quan của véc tơ tích phân trọng số X
i
(x’
ci
) trong miền con T
i

và T
j
như trong hình 1.2, được tính theo công thức:
{}
22
''
2
2
() () ()() ( )
j

i
ij
ij
T
T
t
XX i ci j cj n i m j XX j i ij i j
nm
nm
TT
CEXxXx
ff
Rdd
ξ
ξξξ ξξ
−−
⎡⎤
== −+Δ
⎣⎦
∫∫
(1.7)


11



Trong đó Δ
ij
biểu thị khoảng cách quan hệ giữa miền con V

i
và V
j
và bằng
''
()
cj ci
x
x−
.

Hình 1.2. Tương quan của các tích phân trọng số
1.2. Về nghiên cứu kết cấu thanh có liên kết nửa cứng và vết nứt
1.2.1. Mô hình cơ học của vết nứt
Một dạng hư hỏng cục bộ hay gặp nhất trong các cấu kiện dầm, cột, bản
sàn của công trình là sự xuất hiện và hình thành các vết nứt. Khi thiết kế, các
phần tử kết cấu được coi là liên tục. Khi có vết nứt, tính chất cơ lý, độ cứng
củ
a thanh có những gián đoạn nhất định, không còn tính liên tục. Chuyển vị
của mặt cắt hoặc tiết diện nằm sát ở hai bên vết nứt không còn được liên tục
mà sẽ có chuyển vị tương đối với nhau, nói cách khác, chúng được liên kết
với nhau bằng các liên kết mềm, có độ cứng hữu hạn. Như thế, vết nứt được
mô hình hoá thành những liên kết mềm, mà để đơn giản và phù hợp chung v
ới
sơ đồ tính của kết cấu, ta có thể lấy là những liên kết đàn hồi tuyến tính:
chuyển vị tỷ lệ với tác động. Đối với hệ thanh, vết nứt được mô phỏng bằng
các lò xo có độ cứng đàn hồi tương đương.
Năm 1978, Adams R.D., Cawley P. [47] đề xuất mô hình lò xo để mô tả hư
hỏng của dầm nhưng độ cứng của lò xo vẫn còn là một
ẩn số chưa xác định.

Năm 1982, Ju F.D. [67] đã tìm mối liên hệ giữa tham số độ cứng này với mức
độ sâu vết nứt từ lý thuyết Cơ học phá huỷ. Các tác giả tiếp theo đã phát triển
mô hình lò xo cho các trường hợp khác nhau và có cả những nghiên cứu thực
nghiệm nhằm kiểm tra tính đúng đắn của mô hình này [20], [21], [23]. Dưới


12



đây, các mô hình lò xo đàn hồi sẽ được dùng để mô tả hư hỏng trong các dầm
tiết diện chữ nhật có nhiều vết nứt. Đối với các tiết diện khác như hình tròn,
có thể tìm thấy mô hình lò xo của vết nứt trong tài liệu [44].
Mô hình dầm phẳng có nhiều vết nứt mở một phía




Xét dầm có chiều dài L, tiết diện ngang hình chữ nhật có chiều rộng b,
chiều cao h,
diện tích tiết diện A=b
×
h, mômen quán tính I, môđun đàn hồi
Young E, hệ số Poisson
ν
. Trên dầm có n vết nứt mở 1 phía tại x
1
,x
2
, ,x

n
với
độ sâu a
1
,a
2
, ,a
n
(hình 1.3) trong đó
11210
0
+−
=
<<<
<
<
<
=
nnn
xLxxxxx
.
Đặt z = a
j
/h. Khi đó vết nứt tại vị trí x
j
được mô hình hoá bằng lò xo đàn hồi
có độ cứng, theo tài liệu [10] có dạng:
() ()
2
2345 6

78910
16(1 )
; 0.6272 1.04533 4.5948 9.973 20.2948
33.0351 47.1063 40.7556 19.6
cc
j
h
Iz Iz z z z z z
KEI
zzzz
πν
−
==−+−+−
−+−+
(1.8a)
hoặc có dạng:
() ()
23 4 5 6
78 9 10
1
5.346 ; 1.8624 3.95 16.375 37.226 76.81
126.9 172 143.97 66.56
cc
j
hI z I z z z z z z
K
zz z z
==−+−+−
−+− +

(1.8b)
Mô hình thanh không gian có nhiều vết nứt mở hai phía
Xét thanh có chiều dài L, tiết diện hình chữ nhật có chiều rộng b và chiều
cao h, môđun đàn hồi E, hệ số Poisson
ν
. Trên thanh có vết nứt mở 2 phía với
a là độ sâu vết nứt (hình 1.4),
2
/
h
a
=
γ
là tỷ số giữa chiều sâu vết nứt mở 2
phía với một nửa chiều cao thanh. Khi đó, vết nứt tại vị trí x
j
được mô hình
x=0 x=L
k
1


k
2


k
n



h
a
n

a
2

a
1


Hình 1.3. Mô hình dầm có nhiều vết nứt được thay bằng các lò xo đàn hồi