Luyện thi đại học chuyên đề số phức

Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
1



I. Trường số phức và số phức.
1. Trường số phức :
Trường số phức
(
)
{
}
, , a b a b= ∈
ℂ ℝ
là t
ậ
p h
ợ
p
2
× =
ℝ ℝ ℝ
mà trên
ñ
ó xác l
ậ
p các m
ố
i

quan h
ệ
b
ằ
ng nhau và các phép toán t
ươ
ng
ứ
ng sau
ñ
ây.
a. Phép cộng

:
(
)
(
)
(
)
, , ,
a b c d a c b d
+ = + +
.
b. Phép nhân

:
(
)
(

)
(
)
, . , ,
a b c d ac bd ad bc
= − + .
c. Quan hệ bằng nhau

:
( ) ( )
, ,
a c
a b c d
b d
=

= ⇔

=


d. Quan hệ ñồng nhất

:
(
)
(
)
,0 , 0,1
a a i

≡ ≡
.
2. Số phức

:
Gi
ả
s
ử

(
)
,z a b
= ∈
ℂ
, v
ớ
i
, a b
∈
ℝ
. Giả sử phép cộng và phép nhân ta có :

(
)
(
)
(
)
(

)
, ,0 ,0 . 0,1
z a b a b a bi
= = + = +
,
(
)
(
)
(
)
2
0,1 . 0,1 1,0 1
i
= = − = −
.

z a bi
= +
là dạng ñại số của số phức, trong ñó
i
ñược gọi là ñơn vị ảo.
3. Phần thực và phần ảo của số phức :
+ Giả sử
z a bi
= + ∈
ℂ
trong ñó ,
a b
∈

ℝ
, khi ñó
a
ñược gọi là phần thực,
b
ñược gọi là
phần ảo của số phức
z
.
+ Kí hiệu :
(
)
(
)
Re , Im
z a z b
= =
.
a. Tính chất :
Nếu
1 1 1 2 2 2
, ,
z a bi z a b i z a b i
= + = + = +
trong ñó
1 1 2 2
, , , , ,
a b a b a b
∈
ℝ

.
+
(
)
(
)
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
Re Re

Im Im
z z
a a
z z
b b
z z
=

=


= ⇔ ⇔
 
=
=





+
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
Re Re Re
z z z z
+ = +
và
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
Im Im Im
z z z z
+ = +
.
Chuyên ñề : Số Phức

Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
2

+
(
)
(
)
Re Re , z z
λ λ λ
= ∀ ∈
ℝ
và
(
)
(
)
Im Im , z z
λ λ λ
= ∀ ∈
ℝ
.
4. Các phép toán về số phức :
Cho
1 1 1 2 2 2
,
z a bi z a b i
= + = +
trong ñó
1 1 2 2

, , , a b a b
∈
ℝ
. Khi ñó ta có :
+
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z a b i a b i a a b b i
+ = + + + = + + +
.
+
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z a bi a b i a a b b i
− = + − + = − + −
.

+
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
. .
z z a bi a b i a a bb a b a b i
= + + = − + −
.
+
(
)
(
)
( )( )
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 1 2 1 2
, 0
a b i a b i
z a a b b a b a b
i z
z a b i a b i a b a b

+ −
+ −
= = + ∀ ≠
+ − + +
.
5. Số phức liên hợp :
Cho số phức
z a bi
= +
, với , a b
∈
ℝ
, khi ñó
z a bi
= −
gọi là số phức liên hợp với
z
.
a. Tính chất :
+ ,
z z z
= ∀ ∈
ℂ
,
z z z
= ⇔ ∈
ℝ
và

z z z i

= − ⇔ ∈
ℝ
.
+
(
)
2Re
z z z
+ = ,
(
)
2Im
z z z
− = và
(
)
(
)
2 2
. Re Im
z z z z
= + .
+
1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
2
2
, : , . . , , 0
z z
z z z z z z z z z z z

z
z
 
∀ ∈ + = + = = ∀ ≠
 
 
ℂ .
6. Môñun của số phức :
a. ðịnh nghĩa :
Cho s
ố
ph
ứ
c
z a bi
= +
, v
ớ
i , a b
∈
ℝ
, khi
ñ
ó mô
ñ
un c
ủ
a
z
là

2 2
z a b
= +
.
b. Tính chất :
+
2
. , , 0
z z z z z z
= = ≥
và
0 0
z z
= ⇔ =
.
+
1 2 1 2 1 2
, : . .
z z z z z z
∀ ∈ =
ℂ
và
1
1
2
2 2
, 0
z
z
z

z z
= ∀ ≠
.
+
1 2 1 2 1 2
, :
z z z z z z
∀ ∈ + ≤ +
ℂ
và
1 2 1 2
z z z z
− ≤ −
.


Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
3

7. Dạng lượng giác của số phức :
- Ta thấy tồn tại phép tương ứng 1 - 1 giữa các
phần tử của
ℂ
và các ñiểm nằm trên mặt phẳng

2
ℝ
nên có thể ñồng nhất

ℂ
với
2
ℝ
.
Khi ñó tất cả các số phức
z a bi
= +
ñược ứng với
ñiểm
(
)
,
z a b
=
trên mặt phẳng tọa ñộ ñề các
Oxy
.
- Với
(
)
0 , z a bi a b= + ≠ ∈
ℝ
, kí hiệu
2 2
r z a b
= = +
.
Góc
ϕ

là góc ñịnh hướng tạo bỡi
Oz
với chiều dương trục
Ox
ñược gọi là Argument của
z
.
Nếu
ϕ
là một Argument của
z
thì tập hợp tất cả các Arguments của
z
là

{
}
Ar 2 , gz k k
ϕ π
= + ∈
ℤ
. Nếu
ϕ
là một Argument của
z
thỏa mãn
0 2
ϕ π
≤ <
, thì

ϕ
ñược
gọi là Argument chính của
z
và ñược kí hiệu là
arg
z
, khi ñ
ó ta có :
Ar arg 2 , gz z k k
π
= + ∈
ℤ
.
Vì
cos , sin
a r b r
ϕ ϕ
= =
nên d
ạ
ng l
ượ
ng giác c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c

z
là
(
)
cos sin
z r i
ϕ ϕ
= +
.
a. Tính chất :
(
)
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
os isin , os isin , os isinz r c z r c z r c
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = + = +

+
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
. cos sinz z rr i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +

 
 
và
( ) ( )
1 1
1 2 1 2 2
2 2
cos sin , 0
z r
i z
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + − ≠
 
 
.
+
(
)
cos sin
n n
z r n i n
ϕ ϕ
= + và
2 2
cos sin , 0, 1
n n
z r k i k k n
n n n n
ϕ π ϕ π

 
   
= + + + = −
   
 
   
 
.
a. Hệ quả (Công thức Moivre) :


( )
cos sin cos sin ,
n
i n i n n
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = + ∀ ∈
ℕ
.
8. Hàm số mũ phức :
a. ðịnh nghĩa :
(
)
, , z x iy x y
∀ = + ∈ ∈
ℂ ℝ
, thì
(
)
(

)
cos sin
z x
f z e e y i y
= = + .
b. Tính chất :
1
1 2 1 2 1 2
2
1 2
0, , , , ,
z
z z z z z z
z
z
e
e z e e e e z z
e
+ −
≠ ∀ ∈ = = ∀ ∈
ℂ ℂ
.

b
y
x
a
O
z
ϕ

Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
4

9. Hàm lượng giác phức :
- Từ ñịnh nghĩa hàm số mũ phức suy ra :

Công thức Euler :
Hệ quả :


Do các vế phải của các ñẳng thức
(
)
*
cũng xác ñịnh khi thay thế
x
∈
ℝ
bỡi
z
∈
ℂ
, nên ta có
các ñịnh nghĩa tương ứng của các hàm số phức
sin, cos, tan, cot
:
+

( )
1
sin
2
iz iz
z e e
i
−
= − . +
( )
1
cos
2
iz iz
z e e
−
= + .
+
sin 1
tan .
cos
iz iz
iz iz
z e e
z
z i e e
−
−
−
= =

+
. +
cos
cot .
sin
iz iz
iz iz
z e e
z i
z e e
−
−
+
= =
−
.
10. Hàm hypebolic phức :
+
( )
1
sh
2
z z
z e e
−
= −
.
+
( )
1

ch
2
z z
z e e
−
= +
.

+
sh
th
ch
z z
z z
z e e
z
z e e
−
−
−
= =
+
. +
ch
coth
sh
z z
z z
z e e
z

z e e
−
−
+
= =
−
.

II. Các dạng bài tập.
1. Dạng 1: Thực hiện cá phép tính cộng – trừ – nhân – chia.
Phương pháp :
+
Áp d
ụ
ng các quy t
ắ
c c
ộ
ng, tr
ừ
, nhân, chia hai s
ố
ph
ứ
c, c
ă
n b
ậ
c hai c
ủ

a s
ố
ph
ứ
c.
+ Chú ý các tính ch
ấ
t giao hoán, k
ế
t h
ợ
p
ñố
i v
ớ
i các phép toán c
ộ
ng và nhân.
Bài 1:
Tìm ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a các s

ố
ph
ứ
c sau :
1.
(
)
(
)
(
)
4 2 3 5
i i i
− + + − +
.
2.
1
2 2
3
i i
 
− + −
 
 
.
3.
( )
2 5
2 3
3 4

i i
 
− − −
 
 
.
4.
1 3 1
3 2
3 2 2
i i i
   
− + − + −
   
   
.

cos sin , cos sin ,
ix ix
e x i x e x i x x
−
= + = − ∀ ∈
ℝ

( ) ( )
( )
1 1
cos , sin , *
2 2
ix ix ix ix

x e e x e e x
i
− −
= + = − ∀ ∈
ℝ

Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
5

5.
(
)
(
)
2 3 3
i i
− +
. 6.
3 2
1
i i
i i
− −
−
+ +
.
7.
3

1 2
i
+
.
8.
1
1
i
i
+
−
.
9.
m
i m
.
10.
a i a
a i a
+
−
.
11.
( )( )
3
1 2 1
i
i i
+
− +

.
12.
1
2
i
i
+
−
.
13.
a i b
i a
+
.
14.
2 3
4 5
i
i
−
+
.
Bài 2:
Th
ự
c hi
ệ
n các phép tính :
1.
( ) ( )

2 2
1 1
i i
+ − −
.
2.
( ) ( )
3 3
2 3
i i
+ − −
.
3.
( )
2
3 4
i
+ .
4.
3
1
3
2
i
 
−
 
 
.
5.

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 2 1
3 2 2
i i
i i
+ − −
+ − +
. 6.
( )
6
2
i
−
.
7.
( ) ( )
3 3
1 2
i i
− − − . 8.
( )
100
1
i
− .
9.
( )

5
3 3
i
+ .
Bài 3: Cho số phức
z x yi
= +
. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
1.
2
2 4
z z i
− +
. 2.
1
z i
iz
+
−
.
Bài 4: Phân tích thành nhân tử với , , a b c
∈
ℝ
:
1.
2
1
a
+
. 2.

2
2 3
a
+
.
3.
4 2
4 9
a b
+ . 4.
2 2
3 5
a b
+ .
5.
4
16
a
+
. 6.
4 2
1
a a
+ +
.
Bài 5: Tìm căn bậc hai của số phức :
1.
1 4 3
i
− + . 2.

4 6 5
i
+ .
Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
6

3.
1 2 6
i
− − 4.
5 12
i
− +
.

5.
4 5
3 2
i
− −
.
6.
7 24
i
−
.
7.
40 42

i
− +
.
8.
11 4 3
i
+ .
9.
1 2
4 2
i
+ .
10.
8 6
i
+
.
11.
33 56
i
−
.

2. Dạng 2: Giải phương trình trên tập số phức.
Phương pháp :
Gi
ả
s
ử

z x yi
= +
. Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình
ẩ
n
z
là tìm
,
x y
th
ỏ
a mãn ph
ươ
ng trình.
Chú ý

: Cách tìm căn bậc hai và giải phương trình bậc hai.
a. Cách tính căn bậc hai :
+ ðịnh nghĩa

:
C
ă
n b
ậ
c hai c

ủ
a s
ố
ph
ứ
c
w
là s
ố
ph
ứ
c
z
sao cho
2
z w
=
.
+
Trường hợp 1
: N
ế
u
w
là s
ố
th
ự
c.
- D

ễ
th
ấ
y r
ằ
ng c
ă
n b
ậ
c hai c
ủ
a 0 là 0
⇒
s
ố
0 có
ñ
úng 1 c
ă
n b
ậ
c hai là 0.
- Xét
0
w
≠
.
+
Khi
0

w
>
thì
(
)
(
)
2
z w z w z w
− = − +
. Do
ñ
ó
2
0
z w
− =
khi và chi khi
z w
= hoặc

z w
= − . Vậy
w
có hai căn bậc hai là
w
và
w
− .
+ Khi

0
w
<
thì
(
)
(
)
2
z w z wi z wi
− = − − + − . Do ñó
2
0
z w
− =
khi và chi khi
z wi
= −

hoặc
z wi
= − −
. Vậy
w
có hai căn bậc hai là
wi
−
và
wi
− −

.
+ Trường hợp 2: Nếu
w a bi
= +
.
Gọi số phức
z x yi
= +
là căn bậc 2 của
w
. Khi ñó ta có
2
z w
=
.

( )
( )
2
2 2
2 2
2
2
x yi a bi
x y xyi a bi
x y a
xy b
⇔ + = +
⇔ − + = +


− =
⇔

=


Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
7

Vậy ñể tìm căn bậc hai của số phức
w a bi
= +
ta chỉ việc ñi giải hệ phương trình này . Mỗi cặp
số thực
(
)
,
x y
nghiệm ñúng hệ phương trình ñó cho ta một căn bậc hai
z x yi
= +
của số phức

w a bi
= +
.
Cách giải hệ phương trình trên. Bình phương cả hai phương trình cuối cùng ta ñược hệ :

2 2
2 2
2 2 2 2
2

2
a b a
x
x y a
x y a b
b
y
x

+ +

= ±

− =
 
⇒
 
+ = +



=



b. Cách giải phương trình bậc hai :

(
)
2
0 0
ax bx c a
+ + = ≠
.
Xét biệt thức :
2
4
b ac
∆ = − .
+ Nếu
0
∆ ≠
thì phươ
ng trình luôn có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t

1 2
,
2 2
b b
z z
a a

δ δ
− + − −
= = .
Trong
ñ
ó
δ
là m
ộ
t c
ă
n b
ậ
c hai c
ủ
a
∆
.
+ N
ế
u
0
∆ =
thì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m kép

1 2

2
b
z z
a
−
= =
.
Bài 1:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau :
1.

2
0
z z
+ =
.
2.
2
2
0
z z
+ =
.
3.
2 2 4
z z i

+ = −
.
4.
2
0
z z
− =
.
5.
2 1 8
z z i
− = − −
.
6.
(
)
4 5 2
i z i
− = +
.
7.
4
1
z i
z i
+
 
=
 
−

 
. 8.
2 1 3
1 2
i i
z
i i
+ − +
=
− +
.
9.
2 3 1 12
z z i
− = −
. 10.
( ) ( )
2
3 2 3
i z i i
− + =
.
11.
( )
1
2 3 0
2
i z i iz
i
 

 
− + + + =
 
 
 
.
12.
1 1
3 3
2 2
z i i
 
− = +
 
 
.
Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
8

13.
3 5
2 4
i
i
z
+
= −
.

14.
(
)
(
)
2
3 2 5 0
z i z z
+ − + =
.
15.
(
)
(
)
2 2
9 1 0
z z z
+ − + =
.
16.
3 2
2 3 5 3 3 0
z z z i
− + + − =
.
Bài 2: Giải các phương trình sau ẩn
x
:
1.

2
3 1 0
x x
− + =
. 2.
2
3 2 2 3 2 0
x x
− + =
.
3.
2
3 2 0
x x
− + =
. 4.
(
)
2
3 4 3 0
x i x i
− − + − =
.
5.
2
3 2 4 0
ix x i
− − + =
. 6.
2

2 4 0
ix ix
+ − =
.
7.
3
3 24 0
x
− =
. 8.
4
2 16 0
x
+ =
.
9.
(
)
2
2 1 4 2 0
x i x i
+ + + + =
. 10.
(
)
2
2 2 18 4 0
x i x i
− − + + =
.

11.
2
4 4 0
ix x i
+ + − =
. 12.
(
)
2
2 3 0
x i x
+ − =
.
Bài 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là :
1.
2 3
i
+
và
1 3
i
− +
.
2.
2
i
và
4 4
i
− +

.
Bài 4:
Tìm ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai v
ớ
i h
ệ
s
ố
th
ự
c nh
ậ
n
α
làm nghi
ệ
m.
1.
3 4
i
α
= +
.
2.
7 3
i

α
= − .
3.
2 5
i
α
= −
.
4.
2 3
i
α
= − − .
5.
3 2
i
α
= − .
6.
(
)
(
)
2 3
i i
α
= + −
.
7.
51 80 45 38

2 3 4
i i i i
α
= + + + .
8.
5
2
i
i
α
+
=
−
.
Bài 5:
Tìm tham s
ố

m

ñể
m
ỗ
i ph
ươ
ng trình sau
ñ
ây có hai nghi
ệ
m

1 2
,
z z
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n

ñ
ã ch
ỉ
ra.
1.
2
1 0
z mz m
− + + =
,
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
2 2

1 2 1 2
1
z z z z
+ = +
.
2.
2
3 5 0
z mz i
− + =
, ñiều kiện
3 3
1 2
18
z z
+ =
.
3.
2
3 0
z mz i
+ + =
, ñiều kiện
2 2
1 2
8
z z
+ =
.

Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
9

Bài 6: Cho
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình
(
)
( )
2
1 2 3 2 1 0
i z i z i
+ − + + − =
. Tính giá trị
của biểu thức.
1.
2 2
1 2
A z z
= +
. 2.
2 2
1 2 1 2
B z z z z
= + .
3.

1 2
2 1
z z
C
z z
= +
.
Bài 7: Giải các hệ phương trình sau.
1.
1 2
2 2
1 2
4
5 2
z z i
z z i
+ = +


+ = −

2.
1 2
2 2
1 2
5 5
5 2
z z i
z z i
= − −



+ = − +


3.
( )
3 5
1 2
4
2
1 2
0
. 1
z z
z z

+ =


=


4.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
1

z z z
z z z
z z z

+ + =

+ + =


−


5.
1
1
3
1
z
z i
z i
z i

−
=

−


−


=

+

6.
12 5
8 3
4
1
8
z
z i
z
z

−
=

−


−

=

−


7.
2 2

1 2
1 2
5 2
4
z z i
z z i

+ = +

+ = −

8.
2
1
z i z
z i z

− =


− = −



9.
2 2
1 2 1 2
1 2
4 0
2

z z z z
z z i

+ + =

+ =


Bài 8: Giải các hệ phương trình sau.
1.
2 1 2
3
x y i
x y i
+ = −


+ = −

2.
2 2
5
8 8
x y i
x y i
+ = −


+ = −


3.
4
7 4
x y
xy i
+ =


= +

4.
2 2
1 1 1 1
2 2
1 2
i
x y
x y i

+ = −



+ = −


5.
2 2
6

1 1 2
5
x y
x y

+ = −


+ =


6.
3 2
1 1 17 1
26 26
x y i
i
x y
+ = +



+ = +


.
Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
10

7.
2 2
5
1 2
x y i
x y i
+ = −


+ = +

8.
3 3
1
2 3
x y
x y i
+ =


+ = − −


3. Dạng 3: Tập hợp ñiểm .
Phương pháp : Giả sử
z x yi
= +
ñược biểu diễn ñiểm
(

)
,
M x y
. Tìm tập hợp các ñiểm
M
là
tìm hệ thức giữa
x
và
y
.
Bài 1: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm
M
trong mặt phẳng phức biểu diễn các số
z
thỏa mãn các
ñiều kiện sau.
1.
3 4
z z
+ + =
. 2.
1 2
z z i
− + − =
.
3. 2 2
z z i z i
− + = −
. 4.

2 1 2 3
iz z
− = +
.
5.
2 2 2 1
i z z
− = −
. 6.
3 1
z
+ =
.
7.
2 3
z i z i
+ = − −
. 8.
3
1
z i
z i
−
=
+
.
9.
1 2
z i
− + =

.
10.
2
z i z
+ = −
.
11.
1 1
z
+ <
.
12.
1 1 2
z
< − <
.
Bài 2:
Xác
ñị
nh t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m
M
trong m

ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c bi
ể
u di
ễ
n các s
ố

z
th
ỏ
a mãn các

ñ
i
ề
u ki
ệ
n sau.
1.
2
z i
+
là s
ố
th

ự
c.
2.
2
z i
− +
là s
ố
thu
ầ
n
ả
o.
3.
. 9
z z
=
.
Bài 3:
Xác
ñị
nh t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m

M
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng ph
ứ
c bi
ể
u di
ễ
n các s
ố

z
sao cho
2
2
z
z
−
+

có m
ộ
t argument b
ằ
ng
3
π

.



Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
11

4. Dạng 4: Dạng lượng giác của số phức.
Phương pháp : Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác ñể tính.
Bài 1: Tìm một argument của mỗi số phức sau.
1.
2 2 3.
i
− + . 2.
4 4
i
−
.
3.
1 3.
i
− .
4.
cos sin
4 4
i
π π
− .

5.
sin cos
8 8
i
π π
− − .
6.
(
)
( )
1 3 1
i i
− +
.
Bài 2:
Th
ự
c hi
ệ
n các phép tính sau :
1.
(
)
(
)
0 0 0 0
3 cos20 sin 20 cos25 sin 25
i i+ + .
2.
5 cos sin .3 cos sin

6 6 4 4
i i
π π π π
   
+ +
   
   
.
3.
(
)
(
)
0 0 0 0
3 cos120 sin120 cos45 sin 45
i i+ + .
4.
(
)
(
)
0 0 0 0
2 cos18 sin18 cos72 sin 72
i i+ + .
5.
0 0
0 0
cos85 sin85
cos40 sin 40
i

i
+
+
.
6.
(
)
( )
0 0
0 0
2 cos45 sin 45
3 cos15 sin15
i
i
+
+
.
7.
2 2
2 cos sin
3 3
2 cos sin
2 2
i
i
π π
π π
 
+
 

 
 
+
 
 
.

Bài 3:
Vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng l
ượ
ng giác các s
ố
ph
ứ
c sau :
1.
1 3
i
− .
2.
1
i
+
.

3.
(
)
( )
1 3 1
i i
− +
.
4.
(
)
2 3
i i
−
.
5.
1 3
1
i
i
−
+
.
6.
1
2 2
i
+
.
Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
12

7.
2 2
i
+
. 8.
1 3
i
+ .
9.
3
i
−
. 10.
3 0.
i
+
.
11.
5
tan
8
i
π
+
.
Bài 4:

Vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
ñạ
i s
ố
các s
ố
ph
ứ
c sau :
1.

0 0
cos45 sin 45
i+ . 2.
2 cos sin
6 6
i
π π
 
+
 
 
.
3.

(
)
0 0
3 cos120 sin120
i+ .
4.
( )
6
2
i
+
.
5.
( )( )
3
1 1 2
i
i i
+
+ −
.
6.
(
)
60
1 3
i− + .
7.
( )
40

7
1 3
2 2 .
1
i
i
i
 
+
−
 
 
−
 
.
8.
1 3 3
cos sin
4 4
2
i
π π
 
+
 
 
.

9.
100

1
cos sin
1 4 4
i
i
i
π π
+
   
+
   
−
   
. 10.
( )
17
1
3
i
−
.
Bài 5: Tính
1.
(
)
5
0 0
cos12 sin12
i+ . 2.
( )

16
1
i
+ .
3.
(
)
6
3
i
−
. 4.
( )
7
0 0
2 cos30 sin30i
 
+
 
.
5.
(
)
5
0 0
cos15 sin15
i+ . 6.
( ) ( )
2012 2012
1 1i i+ + − .

7.
21
5 3 3
1 2 3
i
i
 
+
 
 
−
 
. 8.
12
1 3
2 2
i
 
+
 
 
 
.
9.
2012
1i
i
+
 
 

 
. 10.
( )
7
5
cos sin . . 1 3
3 3
i i i
π π
 
− +
 
 
.
11.
2012
2012
1
z
z
+ biết
1
1
z
z
+ =
.


Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
13

Bài 6: Chứng minh rằng
1.
5 3
sin5 16sin 20sin 5sin
t t t t
= − + .
2.
5 3
cos5 16cos 20cos 5cos
t t t t
= − + .
3.
3
sin3 3sin 4sin
t t t
= − .
4.
3
cos3 4cos 3cos
t t t
= − .
III. BÀI TẬP TỔNG HỢP :
Bài 1: Thực hiện các phép tính.
1.
(
)

(
)
(
)
2 3 2 5 4
i i i
− − + −
. 2.
6 6
1 3 1 7
2 2
i i
   
− + −
+
   
   
   
.
3.
16 8
1 1
1 1
i i
i i
+ −
   
+
   
− +

   
. 4.
3 7 5 8
2 3 2 3
i i
i i
+ −
+
+ −
.
5.
(
)
(
)
(
)
(
)
2 4 5 2 3 4 6
i i i i
− + + + − −
.
6.
2 3 2012
1
i i i i
+ + + + + .
7.
2000 1999 201 82 47

i i i i i
+ + + +
.
8.
2 3 2012
. .
i i i i
.
9.
( ) ( ) ( )
7 13 94
5 100
i i i i i
− −
− + − + + −
.
Bài 2:
Cho các s
ố
ph
ứ
c
1 2 3
1 2 , 2 3 , 1
z i z i z i
= + = − + = −
. Tính
1.
1 2 3
z z z

+ +
.
2.
1 2 2 3 3 1
z z z z z z
+ +
.
3.
1 2 3
z z z
.
4.
2 2 2
1 2 3
z z z
+ +
.
5.
3
1 2
2 3 1
z
z z
z z z
+ +
.
6.
2 2
1 2
2 2

2 3
z z
z z
+
+
.
Bài 3:
Rút g
ọ
n các bi
ể
u th
ứ
c sau :
1.
(
)
4 3 2
1 2 3 1 3
A z iz i z z i
= + − + + + +
v
ớ
i
2 3
z i
= +
.
2.
(

)
(
)
2 3 2
2 2
B z z z z z
= − + − +
v
ớ
i
(
)
1
3
2
z i
= −
.


Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
14

Bài 4: Tìm các số thực
,
x y
sao cho :
1.

(
)
(
)
1 2 1 2 1
i x y i i
− + + = +
.
2.
3 3
3 1 3
x y
i
i
− −
+ =
+ −
.
3.
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1
4 3 3 2 4 3 2
2
i x i xy y x xy y i
− + + = − + − .

Bài 5:
Tìm các c

ă
n b
ậ
c hai c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c sau :
1.
8 6
i
+
.
2.
3 4
i
+
.
3.
1
i
+
.
4.
7 24
i
−
.

5.
2
1
1
i
i
+
 
 
−
 
. 6.
2
1 3
3
i
i
 
−
 
 
−
 
.
7.
1 2
2 2
i
− .
8.

3
1 3
i
i
−
+
.
9.
(
)
2 1 3
i− + .
10.
1 1
1 1
i i
+
+ −
.
Bài 6:
Tìm các c
ă
n b
ậ
c ba c
ủ
a các s
ố
ph
ứ

c sau.
1.
i
−
.
2.
27
−
.
3.
2 2
i
+
.
4.
18 6
i
+
.
Bài 7:
Tìm các c
ă
n b
ậ
c b
ố
n c
ủ
a các s
ố

ph
ứ
c sau.
1.
2 12
i−
.
2.
3
i
+
.
3.
2
i
−
.
4.
7 24
i
− +
.
Bài 8:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau.
1.
3

125 0
z
− =
. 2.
4
16 0
z
+ =
.
3.
3
64 0
z i
+ =
. 4.
3
27 0
z i
− =
.
Bài 9: Gọi
1 2
,
u u
là hai căn bậc hai của
1
3 4
z i
= +
và

1 2
,
v v
là hai căn bậc hai của
2
3 4
z i
= −
.
Tính
1 2 1 2
u u v v
+ + +
.
Bài 10: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
1.
2
5 0
z
+ =
. 2.
2
2 2 0
z z
+ + =
.
Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
15

3.
2
4 10 0
z z
+ + =
. 4.
2
5 9 0
z z
− + =
.
5.
2
2 3 1 0
z z
− + − =
. 6.
(
)
(
)
0
z z z z
+ − =
.
7.
2
2 0
z z

+ + =
. 8.
2 3 2 3
z z i
+ = +
.
9.
( ) ( )
2
2 3 2 2 3 0
z z i
+ + + − =
.
10.
2
2
4 8 8
z z
+ =
.
11.
(
)
2
1 2 1 0
iz i z
+ + + =
.
12.
(

)
2
1 2 11 0
i z i
+ + + =
.
Bài 11:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau trên t
ậ
p s
ố
ph
ứ
c.

1.
2
4 4
5 6 0
z i z i
z i z i
+ +
 
− + =
 
− −

 
. 2.
(
)
(
)
(
)
2
5 3 3 0
z i z z z
+ − + + =
.
3.
(
)
(
)
2 2
2 6 2 16 0
z z z z
+ − + − =
. 4.
(
)
(
)
3 2
1 3 3 0
z i z i z i

− + + + − =
.
5.
2
2 2 1 0
z iz i
− + − =
. 6.
2
80 4099 100 0
z z i
− + − =
.
7.
(
)
(
)
2
5 14 2 12 5 0
z i z i
− − − + =
. 8.
(
)
2
cos sin cos sin 0
z i z i
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + =

.
Bài 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
1.
(
)
2
3 4 5 1 0
x i x i
− + + − =
. 2.
(
)
2
1 2 0
x i x i
+ + − − =
.
3.
2
3 2 0
x x
+ + =
. 4.
2
1 0
x x
+ + =
.
Bài 13: Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo.
1.

3 2
2 2 0
z iz iz
− − − =
. 2.
(
)
(
)
3 2
1 4 4 4 4 0
z i z i z i
+ − + − − + =
.
Bài 14: Tìm
m
ñể phương trình sau :
(
)
(
)
2 2
2 2 0
z i z mz m m
+ − + − =

1. Chỉ có ñúng một nghiệm thực.
2. Chỉ có ñúng một nghiệm phức.
3. Có 3 nghiệm phức.
Bài 15: Tìm

m
ñể phương trình
(
)
(
)
3 2
3 3 0
z i z z m i
+ + − − + =
có ít nhất một nghiệm thực.
Bài 16: Tìm tất cả các số phức
z
sao cho
( )
(
)
2
z z i
− +
là số thực.

Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
16

Bài 17: Giải các phương trình trùng phương.
1.
(

)
4 2
8 1 63 16 0
z i z i
− − + − =
.
2.
(
)
4 2
24 1 308 144 0
z i z i
− − + − =
.
3.
(
)
4 2
6 1 5 6 0
z i z i
+ + + + =
.
Bài 18: Cho
1 2
,
z z
là 2 nghiệm của phương trình
(
)
2

1 2 2 3 0
z i z i
− + + − =
. Tính giá trị các
biểu thức sau :
1.
2 2
1 2
z z
+
. 2.
2 2
1 2 1 2
z z z z
+ .
3.
3 3
1 2
z z
+
. 4.
1 2
2 1 1 2
1 2 1 2
z z
z z z z
   
+ + +
   
   

.
5.
3 3
2 1 1 2
z z z z
+ . 6.
1 2
2 1
z z
z z
+
.
Bài 19: Cho
1 2
,
z z
là hai nghiệm của phương trình
2
1 0
x x
− + =
. Tính giá trị các biểu thức sau :
1.
2012 2012
1 2
x x
+ . 2.
2013 2013
1 2
x x

+
3.
1 2
n n
x x
+
với
n
∈
ℕ
.
Bài 20: Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn hệ thức sau :
1.
3
z
z i
=
−
.
2.
2
2
1
z z
+ =
.
3.
1
z
z

=
.
Bài 21:
Hãy tính t
ổ
ng
2 3 1
1
n
S z z z z
−
= + + + + + bi
ế
t
2 2
cos sinz i
n n
π π
= + .
Bài 22:
Vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng l
ượ
ng giác các s
ố

ph
ứ
c sau.
1.
4 3 2
1
i i i i
+ + + +
.
2.
(
)
(
)
1 2
i i
− +
.
3.
2
1
i
i
+
−
.
4.
1 sin cos
i
α α

− +
v
ớ
i 0
2
π
α
< <
.
Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
17

5.
3 cos sin
6 6
i
π π
 
− +
 
 
.
6.
cot
i
α
+
v

ớ
i
2
π
α π
< <
.
Bài 23:
Tìm mô
ñ
un và m
ộ
t acgument c
ủ
a các s
ố
ph
ứ
c sau :
1.
(
)
( )
( )
( )
8
6
6 8
2 3 2
1

1
2 3 2
i
i
i
i
+
+
+
−
−
. 2.
( )
( ) ( )
4
10 4
1
1
3 2 3 2
i
i i
− +
+
− +
.
3.
(
)
(
)

1 3 1 3
n n
i i+ + − . 4.
sin cos
8 8
i
π π
− + .
5.
2 2 3
i
− + . 6.
1 sin cos
i
α α
− +
v
ớ
i 0
2
π
α
< <
.
7.
(
)
( )
( )
( )

8
6
6 8
2 3 2
1
1
2 3 2
i
i
i
i
+
+
+
−
−
.
8.
( )
( ) ( )
4
10 4
1
1
3 2 3 2
i
i i
− +
+
− +

.
9.
(
)
(
)
1 3 1 3
n n
i i+ + − .
Bài 24:
Ch
ứ
ng minh các bi
ể
u th
ứ
c sau có giá tr
ị
th
ự
c.
1.
(
)
(
)
7 7
2 5 2 5
i i+ + − .
2.

19 7 20 5
9 7 6
n n
i i
i i
+ +
   
+
   
− +
   
.
3.
6 6
1 3 1 3
2 2
i i
   
− + − −
+
   
   
   
. 4.
5 5
1 3 1 3
2 2
i i
   
− + − −

+
   
   
   
.
5.
6 6
3 3
2 2
i i
   
+ −
+
   
   
   
.
Bài 25: Trong các số phức
z
thoar mãn ñiều kiện
3
2 3
2
z i
− + =
. Tìm số phức
z
có môñun nhỏ
nhất.
Bài 26: Xét các ñiểm

, ,
A B C
trong mặt phẳng phức theo thứ tụ biểu diễn các số phức sau :

4
1
i
i
−
,
(
)
(
)
1 1 2
i i
− +
,
2 6
3
i
i
+
−
.
1. Chứng minh
ABC
∆
là tam giác vuông cân.
2. Tìm số phức biểu diễn bỡi ñiểm

D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình vuông.
Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
18

Bài 27: Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo.
1.
(
)
(
)
3 2
2 2 5 4 10 0
z i z i z i
+ − + − − =
.
2.
(
)
(
)
3 2
1 1 0
z i z i z i
+ + + − − =
.

3.
(
)
(
)
3 2
4 5 8 20 40 0
z i z i z i
+ − + − − =
.
Bài 28: Cho ña thức
(
)
(
)
(
)
3 2
3 6 10 18 30
p z z i z i z i
= + − + − +
.
1. Tính
(
)
3
p i
−
.
2. Giải phương trình

(
)
0
p z
=
.
Bài 29: Giải phương trình
2
1
2
7
z
z
z
+
 
= −
 
−
 
, biết rằng
3 4
z i
= +
là mộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph

ươ
ng trình.
Bài 30:
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
1
z
≤
thì
2
1
2
z i
iz
−
≤
+
.
Bài 31:
Cho các s
ố
ph
ứ
c
1 2 3

, ,
z z z
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng.
1.
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3
z z z z z z z z z z z z
+ + + + + = + + + + +
.
2.
(
)
(
)
2
2 2 2
1 1 2 1 2 1 2
1 1
z z z z z z z
+ + − = + +
.
3.
(
)
(
)

2
2 2 2
1 1 2 1 2 1 2
1 1
z z z z z z z
− − − = − −
.
4.
N
ế
u
1 2
z z c
= =
thì
2 2
2
1 2 1 2
4
z z z z c
+ + − =
.
Bài 32:
Tìm ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n

ả
o c
ủ
a các s
ố
ph
ứ
c sau.
1.
( )
( )
50
49
1
3
i
i
+
+
.
2.
( )
7
5
cos sin 1 3
3 3
i i i
π π
 
− +

 
 
.
3.
10
10
1
z
z
+ bi
ế
t
1
1
z
z
+ =
.
Bài 33:
Cho
1 2
,
z z
là các nghi
ệ
m ph
ứ
c c
ủ
a ph

ươ
ng trình
2
2 4 11 0
z z
− + =
. Tính giá trị của biểu
th
ức
( )
2 2
1 2
2
1 2
z z
A
z z
+
=
+
.
Chuyên ñề số phức Biên soạn : Lê Kỳ Hội

Trang
19

IV. Số phức qua các kỳ thi ñại học và cao ñẳng :
Bài 1: Gọi
1 2
,

z z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 10 0
z z
+ + =
. Tính giá trị biểu thức

2
2
2
1
zzA +=
. (Khối A - 2009).
Bài 2: Tìm số phức
z
thỏa mãn
(
)
2 10
z i
− + = và
. 25
z z
=
.
(Khối B - 2009).
Bài 3:
Trong m
ặ

t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ

Oxy
, tìm t
ậ
p h
ợ
p
ñ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn
ñ

i
ề
u
ki
ệ
n :


(
)
3 4 2
z i
− − =
.
(Khối D - 2009).
Bài 4:
Cho s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ

n :

(
)
3
1 3
1
z
i
−
=
−
. Tìm mô
ñ
un c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z iz
+
.
(Khối A - 2010).
Bài 5:
Tìm ph
ầ
n th
ự

c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z
, bi
ế
t
(
)
(
)
2
2 1 2
z i i
= + −
.
(Khối A - 2010).
Bài 6:
Trong m
ặ
t ph
ẳ

ng t
ọ
a
ñộ

Oxy
, tìm t
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m bi
ể
u di
ễ
n các s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn :

(
)

1
z i i z
− = +
.
(Khối B - 2010).
Bài 7:
Tìm s
ố
ph
ứ
c
z
th
ỏ
a mãn :
2
z
=
và
2
z
là s
ố
thu
ầ
n
ả
o.
(Khối D - 2010).
Bài 8:

Tìm t
ấ
t c
ả
các s
ố
ph
ứ
c
z
, bi
ế
t
2
2
z z z
= +
.
(Khối A - 2011).
Bài 9:
Tính mô
ñ
un c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
z

, bi
ế
t :
( )( )
(
)
( )
2 1 1 1 1 2 2
z i z i i
− + + + − = −
.
(Khối A - 2011).
Bài 10:
Tìm s
ố
ph
ứ
c
z
, bi
ế
t :
5 3
1 0
i
z
z
+
− − =
.

(Khối B - 2011).
Bài 11:
Tìm ph
ầ
n th
ự
c và ph
ầ
n
ả
o c
ủ
a s
ố
ph
ứ
c
3
1 3
1
i
z
i
 
+
=
 
 
+
 

.
(Khối B - 2011).
Bài 12:
Tìm s
ố
ph
ứ
c
z
, bi
ế
t :
(
)
2 3 1 9
z i z i
− + = −

(Khối D - 2011).


============== H
ết ==============