Các Phương Pháp Chứng Minh BĐT

Các phương pháp chứng minh BĐT




1








(phần 1)
Các phương pháp chứng minh BĐT




2
Chương I
Sử dụng BĐT Cauchy hai số và các hệ quả của nó
để chứng minh

BĐT Cauchy hai số có hai dạng thường được sử dụng:
• Dạng 1:
2
a b ab
+ ≥
với a,b là các số không âm

• Dạng 2:
2 2
2
a b ab
+ ≥
với mọi a,b
Các hệ quả của BĐT Cauchy hai số là:
• Hệ quả 1:
2 2 2
2( ) ( ) 4
a b a b ab
+ ≥ + ≥
với mọi a,b
• Hệ quả 2:
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
với a,b dương
• Hệ quả 3:
2
a b
b a
+ ≥
với a,b dương
I.Các bài toán cơ bản
Bài 1.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )

1 1
1) 4 2) 8
3) 2 2 2 8
a b a b b c c a abc
a b
a b c b c a c a b a b b c c a
 
+ + ≥ + + + ≥
 
 
+ + + + + + ≥ + + +


Bài 1.2: Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh;

(
)
( ) ( )
2
2 2 2
3 3
a b c a b c ab bc ca
+ + ≥ + + ≥ + +


Bài 1.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( ) ( )
( )
3 4

3 3 4 4
6
6 6
1) 2)
4 8
3)
32
a b a b
a b a b
a b
a b
+ +
+ ≥ + ≥
+
+ ≥


Bài 1.4: Cho các số thực dương a,b. Chứng minh:

1 1 1 2 2 2
1)
2) 4
a b c a b b c c a
b c c a a b a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥ + +
+ + +
+ + +
 
+ + ≥ + +

 
+ + +
 

Các phương pháp chứng minh BĐT




3

Bài 1.5: Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh:

( )
1 1 1
1) 9 2)
1 1 1
3)
bc ca ab
a b c a b c
a b c a b c
a b c
bc ca ab a b c
 
+ + + + ≥ + + ≥ + +
 
 
+ + ≥ + +

Bài 1.6: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh:

2 2 2 2
3 3
3
2 2
2 2
1) 2) 4( )
3) 2 2( )
a b a b
a b a b a b
b a b a
a b
a b
b a
+ ≥ + + + + ≥ +
+ ≥ +

II.Các bài toán nâng cao

Bài 1.7: Cho a,b là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh:

2 2 2 2
1 1 25 1 1 25
1) 2)
2 2
1 1 25 1 1 25
3) 4)
4 4
a b a b
a b b a
a b a b

a b b a
       
+ + + ≥ + + + ≥
       
       
     
+ + ≥ + + ≥
     
     


Bài 1.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh;

2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1)
2
1 1 1
2) 3 ( 1)
2
a b c a b c
b c c a a b abc
a b c
a b c
b c c a a b abc
+ +
+ + ≤

+ + +
+ +
+ ≤ + + + =
+ + +


Bài 1.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

1)
2 2 2 4
1 1 1 1 1 1
2)
3 3 3 4 4 4
1 1 1 1 1 1
3)
2 2 2 4 4 4
ab bc ca a b c
a b c b c a c a b
a b b c c a a b c
a b c b c a c a b a b c
+ +
+ + ≤
+ + + + + +
+ + ≤ + +
+ + +
+ + ≤ + +
+ + + + + +

Các phương pháp chứng minh BĐT

4

Bài 1.10: Chứng minh rằng trong mọi tam giác đều ta luôn có:

3 3
1) 2 3 2)
2
a b c
a b c
m m ma b c
m m m a b c
+ + ≥ + + ≥

Với
, ,
a b c
m m m
là trung tuyến của các cạnh tam giác.




Chương II
Sử dụng BĐT Cauchy n số và các hệ quả của nó để
chứng minh

Trong phần này phạm vi sử dụng chính là BĐT Cauchy ba số, phần nhỏ là BĐT

Cauchy bốn số và n số.

I.Các bài toán cơ bản

Bài 2.1: Cho a,b,c,d,n là các số thực dương. Chứng minh:

( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1
1) 9 2) 16
a b c a b c d
a b c a b c d
   
+ + + + ≥ + + + + + + ≥
   
   

Bài 2.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( )( )( )
3
1)
2
2) 2 2 2 64
1 1 1
3) 1 1 1 64 ( 1)
a b c
b c a c a b
a b c b c a c a b abc
a b c
a b c

+ + ≥
+ + +
+ + + + + + ≥
   
+ + + ≥ + + =
   
   


Bài 2.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

3 3 3 2 2 2
3 3 3 2 2 2
1) 3
2)
a b c a b b c c a abc
a b c a bc b ca c ab
+ + ≥ + + ≥
+ + ≥ + +


Bài 2.4: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:
Các phương pháp chứng minh BĐT




5

3 3 3 3 3 3

2 2 2
3 3 3
1) 2)
3)
a b c a b c
ab bc ca a b c
b c a b c a
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + + + + ≥ + +
+ + ≥ + +


Bài 2.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

3 3 3
2 2 2
4 4 4 3 3 3
2 2 2
1)
2)
a b c
a b c
b c a
a b c a b c
b c a b c a
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +

Bài 2.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( )
3
2
3
1)
2)
a b c a b c
b c a
abc
a b c ab bc ca
b c a
abc
+ +
+ + ≥
+ +
+ + ≥

Bài 2.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứ ng minh:

2 2 9 9
9
1
2 2
a b a b
b a
 
+
+ ≥

 
 

II.Các bài toán nâng cao

Bài 2.8: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( )
3
2
3
1)
d
2)
d
a b c a b c
b c
abc
a b c ab bc ca
b c
abc
+ +
+ + ≥
+ +
+ + ≥

Bài 2.9: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

2 2 9 9
9

1
2 2
a b a b
b a
 
+
+ ≥
 
 

Bài 2.10: Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh:

6 6 6 6 3 2 3 2 3 2 3 2
a b c d a b c b c d c d a d a b
+ + + ≥ + + +

Các phương pháp chứng minh BĐT




6
Chương III
Sử dụng BĐT Trêbưsép để chứng minh BĐT

Giới thiệu với các bạn BĐT Trêbưsép:
Cho một số nguyên dương
2
n
≥

và hai dãy số thực
1 2
, , ,
n
a a a
và
1 2
, , ,
n
b b b
thỏa
mãn điều kiện:
1 2

n
a a a
≥ ≥ ≥
và
1 2

n
b b b
≥ ≥ ≥
. Khi đó ta có:

( )( )
1 1 2 2 1 2 1 2
1

n n n n

a b a b a b a a a b b b
n
+ + + ≥ + + + + + +

Hay
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
n a b a b a b a a a b b b
+ + + ≥ + + + + + +


Bài tập:
Bài 3.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

1 1 1 9
a b c a b c
+ + ≥
+ +

Bài 3.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

3
2

a b c
b c c a b a
+ + ≥
+ + +
( BĐT Nesbit)
Bài 3.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

2 2 2
2 2 2
2 2 2
1)
2
3( )
2)
2
a b c a b c
b c c a b a
a b c
a b c
b c c a b a
+ +
+ + ≥
+ + +
+ +
+ + ≥
+ + +

Bài 3.4: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn:
2 2 2
1

a b c
+ + =

Tìm GTNN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
P
b c c a a b
+ + +
= + +
+ + +

Bài 3.5: Cho a,b,c là các số thực khác 0. Chứng minh:

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3
5
a b c
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + + + + +

Bài 3.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

1 1 1 1 1 1 9
1 1 1 1
a b c a b c abc

  
+ + + + ≥
  
+ + + +
  

Các phương pháp chứng minh BĐT




7
Chương IV
Sử dụng phép biến đổi đồng nhất để chứng minh
BĐT

Để chứng minh bất đẳng thức
A B
≥
, hay
0
A B
− ≥
, ta tìm cách biến đổi biểu thức
A B
−
thành tổng của các biểu thức có giá trị không âm, thông thường là các biểu
thức bình phương.

I.Các bài toán cơ bản

Bài 4.1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( ) ( )
( )
2 2 2
2
2 2 2
1)
2) 3
3) 3
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c a b c
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +
+ + ≥ + +

Bài 4.2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

( )
2 2 2
1)
2) 3
bc ca ab
a b c
a b c
bc ca ab
a b c
a b c

+ + ≥ + +
+ + ≥ + +

Bài 4.3: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

(
)
(
)
(
)
( )( )
1) 8a
2) 9a
a b b c c a bc
a b c ab ba ca bc
+ + + ≥
+ + + + ≥


Bài 4.4: Chứng minh
3 3 3
3a
a b c bc
+ + ≥
với
0
a b c
+ + ≥

Bài 4.5: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

1) 6
1 1 1 9
2)
a b b c c a
c a b
a b c a b c
+ + +
+ + ≥
+ + ≥
+ +

Các phương pháp chứng minh BĐT




8

II.Các bài toán nâng cao

Bài 4.6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

2 2 2
a b c
a b c
b c a
+ + ≥ + +

Bài 4.7: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +

Bài 4.8: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho
, ,
a b c
là số đo ba cạnh
của một tam giác. Chứng minh:


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

0
a b c a b c b c a b a c c a c c b a
+ − − + + + − + − + + − + − ≥

Bài 4.9: Cho a,b,c là các số thực dương sao cho
a b c
≥ ≥
. Chứng minh:

3
2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +

Bài 4.10: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:

(
)
(
)
(
)
( )
3
3 3 3
1 1 1 1
a b c abc
− − − ≤ −

Tài liệu được sưu tầm từ nhiều tài liệu có liên quan khác