Các phương pháp Chứng minh BDT - THCS (hay)

==@== Phßng GD&§T hun Yªn Thµnh Tr– êng THCS M· Thµnh ==@==
Tr
phßng GD & §T hun yªn thµnh
trêng THCS M· Thµnh
Một số phương pháp chứng minh
Bất Đẳng Thức THCS

Gi¸o viªn biªn so¹n: Ngun B¸ Phóc
===@@@=== Gi¸o viªn: Ngun B¸ Phóc ===@@@===
1
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==

Caực phửụng phaựp chửựng minh Baỏt ủaỳng thửực THCS
Bất đẳng thức là một trong những kiến thức trọng yếu của chơng trình Toán TH. Đối với ch-
ơng trình Toán THCS các em học sinh thờng gặp dạng Toán này trong các kì thi lớn nh
HSG hoặc vào các trờng chuyên. Song trong quá trình giãng dạy của mình, Tôi nhận thấy
rằng, đa số học sinh thờng rất yếu về dạng Toán này. Chính vì thế mà bài viết này Tôi muốn
gửi tới toàn thể các em Học Sinh những gì mà Tôi nghĩ là gần gũi với các em nhất, với
mong muốn phần nào đó giúp các em nắm vững hơn các kiến thức, rồi từ đó giải thành thạo
giạng Toán này.
Phần I : các kiến thức cần nhớ.
1) Đinhnghĩa





0
0
BABA
BABA

2) Tính chất
+) A > B

B < A
+) A > B và B > C

A > C
+) A > B

A + C > B + C
+) A > B và C > D

A + C > B + D
+) A > B và C > 0

A.C > B.C
+) A > B và C < 0

A.C < B.C
+) 0 < A < B và 0 < C < D

0 < A.C < B.D
+) A > B > 0

A
n
> B
n
Với mọi giá trị n.

+) A > B

A
n
> B
n
với n lẻ.
+)
BA
>


A
n
> B
n
với n chẵn.
+) m > n > 0 và A > 1

A
m
> A
n

+) m > n > 0 và 0 < A < 1

A
m
< A
n

+) A < B và A.B > 0


BA
11
>

3) Một số bất đẳng thức cơ bản.
+)
2
A

0 với

A (dấu = xảy ra khi A = 0)
+)
n
A
2

0 với

A (dấu = xảy ra khi A = 0)
+)
A


0 với

A (dấu = xảy ra khi A = 0)
+)
AAA

+)
BABA
++
(dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+)
BABA

(dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Ph ơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
2
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A B > 0
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M
2


0 luôn đúng với mọi M
Ví dụ 1 Với mọi số thực x, y, z chứng minh rằng :
a) x
2
+ y
2
+ z

2


xy+ yz + zx
b) x
2
+ y
2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz

c) x
2
+ y
2
+ z
2
+3

2(x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z
2
xy yz zx =

2
1
.(2x
2
+ 2y
2
+ 2z
2
2xy 2yz
2zx)
=
( )
[ ]
0)()(
2
1
22
2
++
xzzyyx
(*)
Vì (x y)
2


0 với mọi x ; y Dấu bằng xảy ra khi x = y
(y z)
2

0 với mọi y ; z Dấu bằng xảy ra khi y = z
(z x)
2


0 với mọi z; x Dấu bằng xảy ra khi z = x

Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi x; y; z

R
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2


xy + yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
b)Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z
2
( 2xy 2xz + 2yz ) = x
2
+ y
2
+ z

2
2xy + 2xz 2yz
= (x y + z)
2

0 luôn đúng với mọi x; y; z

R
Vậy x
2
+ y
2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x; y; z

R. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
c) Ta xét hiệu: x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3 2( x + y + z ) = x
2
2x + 1 + y
2
2y + 1 + z
2

2z
+1
= (x 1)
2
+ (y 1)
2
+(z 1)
2


0
Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = 1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng :
a)
2
22
22






+

+
baba
b)
2
222

33






++

++
cbacba
c) Hãy tổng quát bài toán
giải
a) Ta xét hiệu:
4
2
4
)(2
22
2222
2
22
bababababa
++

+
=

+

+

=
( )
2222
222
4
1
bababa
+
=
( )
0
4
1
2

ba
với mọi a; b.
Vậy
2
22
22

+

+
baba
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
b)Ta xét hiệu:
[ ]
0)()()(
9
1
33
222
2
222
++=






++

++
accbba
cbacba

với mọi a; b.
Vậy
2
222
33






++

++
cbacba
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
3
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==

2
21
22
2
2
1
........

+++

+++
n
aaa
n
aaa
nn
Tóm lại các bớc để chứng minh A

B theo định nghĩa
Bớc 1: Ta xét hiệu H = A B
Bớc 2: Biến đổi H = (C

D)
2
hoặc H =(C

D)
2
+ .+ (E

F)
2
Bớc 3: Tìm ĐK để dấu = xãy ra.
Bớc 4: Kết luận A

B
Ví dụ: Chứng minh rằng Với mọi số thực m, n, p, q ta đều có
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1

m.(n + p + q + 1)
(Chuyên Nga- Pháp 98-99)
Giải:
Xét hiệu: H =
)1.(1
2222
+++++++
qpnmqpnm
=
mqmpmnmqpn
m
+++
...
4
.4
222
2

=








++








++








++

+
1
4
.
4
.
4
.
4
2
2
2
2
2
2
2
m
m
qqm
m
ppm
m
nnm
m

=
01
2222
2222







+






+






+

m
q
m
p
m
n
m
Với mọi số thực m, n, p, q.
Dấu bằng xảy ra khi:



===
=











=
=

=
=












=
=
=
=
1
2
2
2
2
2
01
2
0
2
0
2

0
2
qpn
m
Hay
m
m
q
m
p
m
n
m
q
m
p
m
n
m

Ph ơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng.
Lu ý: Nguyên tắc để chứng minh Bất đẳng thức A

B ta phải biến đổi bất đẳng thức đã
cho tơng đơng với một bất đẳng thức đúng hoặc một bất đẳng thức đã đợc chứng minh là
đúng.
Chú ý: Các hằng đẳng thức sau:

( )
22

2
2 BABABA ++=+
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
4
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==

( )
BCACABCBACBA 222
222
2
+++++=++

( )
3223
3
33 BABBAABA +++=+
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng:
a)
ab
b
a
+
4
2
2
b)
baabba
++++
1
22

c)
)(
22222
edcbaedcba
+++++++
Giải:
a) Ta có:
abbaab
b
a 44
4
22
2
2
++


044
22
+
abba

0)2(
2

ba
(bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số thực a; b)
Vậy
ab
b

a
+
4
2
2
. Dấu bằng xảy ra khi 2a = b
b) Ta có:
).(2)1.(21
2222
baabbabaabba
++++++++

0222222
22
++
baabba

0)12()12()2(
2222
+++++
bbaababa

0)1()1()(
222
++
baba
(Bất đẳng này luôn đúng).
Vậy
baabba
++++

1
22
. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1
c) Ta có:
)(
22222
edcbaedcba
+++++++




)(.4.(4
22222
edcbaedcba
+++++++


aeadacabedcba 4444)44444
22222
+++++++


0444444444
22222
++++
aeadacabedcba


0)44()44()44()44(

22222222
+++++++
eaeadadacacababa


0)2()2()2()2(
2222
+++
eadacaba
(Bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy
)(
22222
edcbaedcba
+++++++
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
)).(()).((
4488221010
babababa
++++
Giải: Ta có:
1284481212102210124488221010
....)).(()).(( bbabaabbabaababababa
++++++++++

0)()(.
22822228
+
abbababa

0))((
662222

bababa

[ ]
0)()()(
32322222

bababa

[ ]
0.)(
422422222
++ bbaababa
(*)
Bất đẳng thức (*) luôn đúng vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Cho x.y =1 và x > y. Chứng minh rằng
22
22


+
yx
yx

Giải:
Ta có:
22
22

+
yx
yx
Vì: x > y nên x y > 0
).(2222
22
22
yxyx
yx
yx
+

+


0.22.22
22
++
yxyx

02.22.222
22
+++
yxyx

02.22.22)2(
222
+++

xyyxyx
(vì x.y =1 nên 2 = 2xy)

0)2(
2

yx
(*)
BĐT (*) luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
5
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==
a) Chứng minh: P(x,y) =
01269
222
++
yxyyyx

Ryx

;

b) Chứng minh:
cbacba
++++
222
(Gợi ý: Bình phơng 2 vế)
c) Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn điều kiện:

++<++
=
zyx
zyx
zyx
111
1..

Chứng minh rằng: Có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1.
(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lam Sơn Thanh Hoá năm học 96 - 97)
Giải:
c) Xét
1)()1)(1)(1(
++++++=
zyxzxyzxyxyzzyx










+++++=

zyx
xyzzyxxyz
111
)()1(


0
111
)(
>








++++=
zyx
zyx
(vì
zyx
zyx
++<++
111
theo gt)

2 trong 3 số (x 1), (y 1), (z 1) âm, hoặc cả 3 số(x 1), (y 1), (z 1) đều
dơng.

Nếu cả 3 số(x 1), (y 1), (z 1) đều dơng thì x, y, z >1

x.y.z > 1 (trái với giả
thiết x.y.z =1). Vì thế, bắt buộc phải xảy ra trờng hợp 2 trong 3 số (x 1), (y 1), (z
1) âm, tức là có đúng 1 trong ba số x, y, z là số lớn hơn 1 (đpcm).
Ph ơng pháp 3 : Dùng bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức phụ)
A. Một số bất đẳng thức hay sử dụng.
1) Các bất đẳng thức cơ bản.
a)
xyxyyx 22
22
+
. Dấu = xãy ra khi x = y.
b)
xyyx
+
22
. Dấu = xãy ra khi x = y = 0.
c)
xyyx 4)(
2
+
. Dấu = xãy ra khi x = y.
d) Nếu a.b > 0 thì
2
+
a
b
b
a

. Dấu = xãy ra khi x = y.
2) Bất đẳng thức Cô sy:
n
n
n
aaaa
n
aaaa
.....
...
321
321

++++
(Trong đó
0,...,,,
321
>
n
aaaa
)
Dấu = xãy ra khi:
n
aaaa
====
...
321

3) Bất đẳng thức Bunhiacopski

( )
( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2
2
2
.............
nnnn
xaxaxaxxaaa
+++++++++
4) Bất đẳng thức Trê - b - sép:
a) Nếu





CBA
cba
thì
3
.
33

... CBAcbaCcBbAa
++++

++
. Dấu = xãy ra khi



==
==
CBA
cba

b) Nếu





CBA
cba
thì
3
.
33
... CBAcbaCcBbAa
++++

++
. Dấu = xãy ra khi

==
==
CBA
cba

B. Các ví dụ
Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
6
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==
(a + b)(b + c)(c + a)

8abc
Giải:
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức phụ:
xyyx 4)(
2
+
)
Tacó:
abba 4)(
2
+
;
bccb 4)(
2
+

;
caac 4)(
2
+

2222
)8(4.4.4).().()( abccabcabaccbba
=+++



(a + b)(b + c)(c + a)

8abc. Dấu = xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2
1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR:
9
111
++
cba

2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR:
)1)(1)(1(42 zyxzyx
++

3) Cho a > 0, b > 0, c > 0. CMR:
2
3

+

+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a

4) Cho x

0,y

0 và thỏa mãn điều kiện:
12
=
yx
. CMR:
5
1
+
yx

Ví dụ 3: Cho a > b > c > 0 và
1
222
=++
cba

.
Chứng minh rằng:
2
1
333

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
Giải:
Do a, b, c đối xứng, giả sử a

b

c





+

+

+


ba
c
ac
b
cb
a
cba
222

áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có:







+
+
+
+
+
=
+
+

+
+
+
++

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
ba
c
ac
b
cb
a
cba
ba
c
c
ac
b
b
cb

a
a
9
1
3
.
33
...
222
222
(Vì
1
222
=++
cba
theo giả thiết)



2
1
2
3
.
3
1
333
=
+
+

+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
(đpcm)
(Vì theo Ví dụ 2 ta đã chứng minh đợc
2
3

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
)
Vậy
2
1
333

+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =
3
1
.
Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > 0 và a.b.c.d = 1. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
10
2222
+++++++++ acddcbcbadcba
Giải:
Ta có:
abba 2
22
+
và
cddc 2
22
+

).(222
2222
cdabcdabdcba
+=++++
Vì: a.b.c.d =1 nên
ab
cd
1
=
4)
1
.(2
2222
++++
ab
abdcba
(1) (áp dụng BĐT:
2
1
+
x
x
)
Mặt khác ta lại có:

)()()()()()( adbcbdaccdabacddcbcba
+++++=+++++

6222
111
=++






++






++






+=
bc
bc
ac
ac
ab
ab

(2)
Từ (1) và (2)
10)()()(
2222
+++++++++
acddcbcbadcba
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
7
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==
Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ. Chứng minh rằng:

222222
)()( dcbadbca ++++++
Giải: Ta có:
222222
)(2)()( dcbdacbadbca
+++++=+++
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski ta đợc:
2222
... dcbadbca
+++

22
)()( dbca
+++
)(.2)(
22222222
dcdcbaba
++++++
Hay

2222222
)()()( dcbadbca
++++++


222222
)()( dcbadbca ++++++
Ví dụ 6: Chứng minh rằng:
cabcabcba
++++
222

Giải:
áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 cặp số (1, 1, 1) và (a, b, c) ta có:

( )
( )
2
222222
.1.1.1)(111 cbacba ++++++

)(2)(3
222222
cabcabcbacba +++++++

)(2)(2
222
cabcabcba
++++

cabcabcba
++++
222
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Ph ơng pháp 4 : Sử dụng tính chất bắc cầu
1. L u ý : A > B và B > C thì A > C
0 < x < 1 thì x
2
< x
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a > c + d, b > c + d
Chứng minh rằng ab > ad + bc
Giải:
Tacó



>>
>>




+>
+>
0
0
cdb
dca
dcb
dca

(a c)(b d) > cd


ab ad bc + cd > cd


ab > ad + bc (điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện
3
5
222
=++
cba
.
Chứng minh rằng:
abccba
1111
<+

Giải:
Ta có : (a + b c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2

+ 2(ab ac bc)

0


ac + bc ab


2
1
(a
2
+ b
2
+ c
2
)


ac + bc ab
6
5

< 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta đợc
abccba
1111
<+
(đpcm)
Ví dụ 3. Cho 0 < a, b, c, d < 1.
Chứng minh rằng (1 a).(1 b).(1 c).(1 d) > 1 a b c d

Giải:
Ta có: (1 a).(1 b) = 1 a b + ab
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
8
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==
Do a > 0, b > 0 nên ab > 0

(1 a).(1 b) > 1 a b (1)
Mặt khác: Vì c < 1 nên 1 c > 0


(1 a).(1 b).(1 c) > 1 a b c


(1 a).(1 b).(1 c).(1 d) > (1 a b c).(1 d)
= 1 a b c d + ad + bd + cd


(1 a).(1 b).(1 c).(1 d) > 1 a b c d (Điều phải chứng
minh)
Ví dụ 4
a) Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng:
accbbacba
222333
3222
+++<++

b) Chứng minh rằng : Nếu
1998
2222

=+=+
dcba
thì
1998
+
bdac
(Chuyên Anh năm học 1998 1999)
a) Giải:
Do
0111
22
><<
aaa
và
011
><
bb

Từ đó suy ra:
010)1)(1(
222
>+>
bababa


baba
+>+
22
1
(*)

Mặt khác:
3232
;1;0 bbbaaba
>>><<
(**)
Từ (*) và (**)
332
1 baba
+>+

Hay
baba
233
1
+<+
(1)
Tơng tự :
cbcb
233
1
+<+
(2)
Và
acac
233
1
+<+
(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có :

accbbacba
222333
3222 +++++
b) Giải:
Ta có:
abcdcbdaabcddbcabcadbdac 22)()(
2222222222
++++=++

)()(
222222
dcbdca
+++=

)).((
2222
dcba
++=


2
1998
=
Mặt khác:
2222
1998)()()(
=++<+
bcadbdacbdac

1998
+
bdac
2) Bài tập:
a) Cho các số thực: a
1
; a
2
; a
3
; ; a
2003
thỏa mãn: a
1
+ a
2
+ a
3
+ . + a
2003
=1.
Chứng minh rằng:

2003
1
...
2
2003
2
3

2
2
2
1
++++ aaaa

(Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Nga Pháp 2003- 2004 Thanh Hóa)
b) Cho a; b; c

0 thỏa mãn: a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
81
1
.1
1
.1
1

cba
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phơng pháp 5: Dùng tính chất của tỷ số
Kiến thức
1) Cho a, b, c là các số dơng thì
a) Nếu
1
>
b
a
thì
cb
ca
b
a
+
+
>

b) Nếu
1

<
b
a
thì
cb
ca
b
a
+
+
<
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
9
==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@==
2) Nếu b, d > 0 và
d
c
b
a
<
thì
d
c
db
ca
b
a

+
+

<

Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

21
<
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
Giải :
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

dcba
da
cba
a
cba

a
+++
+
<
++
<
++
1
(1)
Mặt khác:
dcba
a
cba
a
+++
>
++
(2)
Từ (1) và (2) ta có:

dcba
da
cba
a
dcba
a
+++
+
<
++

<
+++
(3)
Tơng tự ta có:
dcba
ab
dcb
b
dcba
b
+++
+
<
++
<
+++
(4)

dcba
cb
adc
c
dcba
c
+++
+
<
++
<
+++

(5)

dcba
cd
bad
d
dcba
d
+++
+
<
++
<
+++
(6)
Cộng vế theo vế của (3); (4); (5); (6) ta có:

21
<
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc

c
dcb
b
cba
a
(điều phải chứng minh)
Ví dụ 2: Cho
d
c
b
a
<
và b, d > 0. Chứng minh rằng
d
c
db
cdab
b
a
<
+
+
<
22

Giải: Từ
22
d
cd
b

ab
d
c
b
a
<<

d
c
d
cd
db
cdab
b
ab
b
a
=<
+
+
<=
2222

Vậy
d
c
db
cdab
b
a

<
+
+
<
22
(điều phải chứng minh)
Ví dụ 3: Cho a; b; c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a + b = c + d = 1000.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
d
b
c
a
+
Giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử:
d
b
c
a

. áp dụng tính chất Nếu
n
m
b
a

thì
n
m
nb
ma

b
a

+
+

ta có:
d
b
dc
ba
c
a

+
+


1

c
a
(vì a + b = c + d)
a) Nếu: b
998

thì
998

d

b

999
+
d
b
c
a

b) Nếu: b = 998 thì a = 1
dcd
b
c
a 9991
+=+
Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 999
Vậy giá trị lớn nhất của P =
999
1
999
+=+
d
b
c
a
khi a = d = 1; c = b = 999
Phơng pháp 6: Phơng pháp làm trội
L u ý:
Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu
hạn hoặc tích hữu hạn.

(*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn:
n
uuuuS
++++=
...
321
Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u
k
về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@===
10