Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian - Trần Phương

PH
ƯƠ
NG TRÌNH M
Ặ
T PH
Ẳ
NG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG:
1.
Hai véct
ơ

( ) ( )
1 2 3 1 2 3
, , ; ; ;
u a a a v b b b
= =


là m
ộ
t c
ặ
p véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng (VTCP)

c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
⇔

, 0
u v
≠

 
; không cùng ph
ươ
ng và các giá c
ủ
a chúng
song song ho
ặ
c n
ằ
m trên m
ặ
t ph
ẳ
ng (

α
)
2.
Véct
ơ

( )
; ;
n a b c
=
là véc t
ơ
pháp tuy
ế
n (VTPT) c
ủ
a m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
⇔
(
α
)
⊥
giá c
ủ

a
n


3.
Nh
ậ
n xét
: M
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) có vô s
ố
c
ặ
p véct
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng và vô s
ố
véct
ơ
pháp
tuy

ế
n
đồ
ng th
ờ
i
[
]
// ,
n u v

 
.
N
ế
u
(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b

=


=





là m
ộ
t c
ặ
p VTCP c
ủ
a mp(
α
) thì VTPT là:
[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1
1 2
, ; ;
a a a a
a a
n u v
b b b b
b b
 
= =
 
 

 

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG
2. Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát:
2.1. Ph
ươ
ng trình chính t
ắ
c:

0
Ax By Cz D
+ + + =
v
ớ
i
2 2 2
0
A B C
+ + >
.
N
ế
u D
=
0 thì
0
Ax By Cz

+ + =

⇔
(
α
)
đ
i qua g
ố
c t
ọ
a
độ
.
N
ế
u A
=
0, B
≠
0, C
≠
0 thì (
α
):
0
By Cz D
+ + =
s
ẽ

song song ho
ặ
c ch
ứ
a v
ớ
i tr
ụ
c
x
’O
x
.
N
ếu A
≠
0, B
=
0, C
≠
0 thì (
α
):
0Ax Cz D+ + =
sẽ song song ho
ặc ch
ứa vớ
i trục
y
’O

y
.
N
ế
u A
≠
0, B
≠
0, C
=
0 thì (
α
):
0Ax By D
+ + =
sẽ
song song hoặ
c ch
ứa vớ
i trụ
c
z
’O
z
.
www.
laisac.
pag
e.
tl


Đ
Đ
Đ
Ư
Ư
Ư
Ờ
Ờ
Ờ
N
N
N
G
G
G
T
T
T
H
H
H
Ẳ
Ẳ
Ẳ
N
N
N
G
G

G
V
V
V
À
À
À
M
M
M
Ặ
Ặ
Ặ
T
T
T
P
P
P
H
H
H
Ẳ
Ẳ
Ẳ
N
N
N
G
G

G
T
T
T
R
R
R
O
O
O
N
N
N
G
G
G
K
K
K
H
H
H
Ô
Ô
Ô
N
N
N
G
G

G
G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N
O
O
O
X
X
X
Y
Y
Y
Z
Z
Z
T
S.T
rần

P

h
ươ
ng
2.2.
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) v
ớ
i c
ặ
p VTCP

(
)
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b

=


=




hay VTPT
[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1
1 2
, ; ;
a a a a
a a
n u v
b b b b
b b
 

= =
 
 

 
là:
( ) ( ) ( )
2 3 3 1
1 2
0 0 0
2 3 3 1 1 2
0
a a a a a a
x x y y z z
b b b b b b
− + − + − =

2.3.
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua 3
đ

i
ể
m
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , ; , , ; , ,
A x y z B x y z C x y z
không th
ẳ
ng hàng có VTPT là:
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
, , ,
y y z z z z x x x x y y
n AB AC
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −


 
= =
 


− − − − − −



 


nên ph
ươ
ng trình là:
( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
1
1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
0
y y z z z z x x x x y y
x x y y z z
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
− + − + − =
− − − − − −

Đặ
c bi
ệ
t:
Ph
ươ
ng trình m
ặ

t ph
ẳ
ng
đ
i qua
(
)
(
)
(
)
; 0;0 , 0; ;0 , 0;0;
A a B b C c
là:
( )
1 0
y
x
z
abc
a b c
+ + = ≠

3. Ph
ươ
ng trình chùm m
ặ
t ph
ẳ
ng:

Cho 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng c
ắ
t nhau
(
)
(
)
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
: 0; : 0
a x b y c z d a x b y c z d
α + + + = α + + + =
v
ớ
i
(
)
(
)
(
)
1 2
∆ = α α
∩
.
M
ặ

t ph
ẳ
ng (
α
) ch
ứ
a (
∆
) là
(
)
(
)
1 1 1 1 2 2 2 2
0
p a x b y c z d q a x b y c z d
+ + + + + + + =

v
ớ
i
2 2
0
p q
+ >

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG
Cho 2 m
ặ
t ph

ẳ
ng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
có VTPT
(
)
1 1 1 1
, ,
n A B C
=


và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
có VTPT
( )
2 2 2 2
, ,

n A B C
=

.
N
ế
u
1 2
,
n n
 
không cùng ph
ươ
ng thì (
α
1
) c
ắ
t (
α
2
).
Nếu
1 2
,n n
 
cùng phương và (
α
1
), (

α
2
) không có điểm chung thì (
α
1
) // (
α
2
)
N
ế
u
1 2
,
n n
 
cùng ph
ươ
ng và (
α
1
), (
α
2
) có
đ
i
ể
m chung thì (
α

1
)
≡
(
α
2
)
IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Góc giữa 2 mặt phẳng (
α
1
):
1 1 1 1
0A x B y C z D+ + + =
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
là
ϕ
(0
≤

ϕ

≤

90
°
) th
ỏ
a mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +
 
 
với
1 2
,n n
 
là 2 VTPT của (
α
1
), (
α
2
).

V. KHOẢNG CÁCH
1.
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =

là:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +

2.
Kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng song song:
(
)
(
)
(
)
; ;
d d M M

α β = β ∀ ∈ α

( )
( )
( )
; ;d d M M
α β = α ∀ ∈ β

VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA
Bài 1.

L
ậ
p ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua A(2; 1;
−
1) và vuông góc
v
ớ
i
đườ

ng th
ẳ
ng xác
đị
nh b
ở
i 2
đ
i
ể
m B(
−
1; 0;
−
4), C(0;
−
2;
−
1).

Mp(
α
)
đ
i qua A nh
ậ
n
( )
1; 2;3
BC

= −

làm VTPT nên ph
ươ
ng trình mp(
α
) là:
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1 3 1 0
x y z
− − − + + =

⇔

2 3 3 0
x y z
− + + =

Bài 2.

L
ậ
p ph
ương trình tham s
ố

và ph
ươ
ng trình tổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
)
đ
i qua
(
)
2; 1;4
A
−
,
(
)
3; 2; 1
B
−
và vuông góc v
ớ
i
(
)
: 2 3 0
x y z
β + + − =

HD:

( )
1;3; 5
AB
= −

,
(
)
1;1;2
n
β
=

. Do mp(
α
)
đ
i qua A, B và
(
)
(
)
α ⊥ β
nên (
α
)
nh
ậ

n
,
b
AB n


làm c
ặ
p VTCP. Suy ra VTPT c
ủ
a (
α
) là:
( )
3 5 5 1 1 3
; ; 11; 7; 2
1 2 2 1 1 1
n
− −
 
= = − −
 
 

. M
ặ
t khác (
α
)
đ

i qua
(
)
2; 1;4
A
−
nên
ph
ươ
ng trình mp(
α
):
( )
(
)
( )
11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0
x y z x y z
− − + − − = ⇔ − − − =
.
Bài 3.

L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp(
α
)
đ

i qua A(1; 0; 5) và // mp(
γ
):
2 17 0
x y z
− + − =
.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình mp(
β
)
đ
i qua 3
đ
i
ể
m B(1;
−
2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0)
và tính góc nhọ
n
ϕ
tạ
o bở
i 2 mp(
α
) và (

β
).
HD:
mp(
α
) // (
γ
):
2 17 0
x y z
− + − =
có
(
)
2; 1;1
n
= −


⇒
(
α
):
2 0
x y z c
− + + =

(
α
)

đ
i qua A(1; 0; 5)
⇒

2 1 0 5 0 7
c c
⋅ − + + = ⇔ = −

⇒
PT (
α
):
2 7 0
x y z
− + − =


mp(
β
) nh
ậ
n 2 véc t
ơ

( ) ( )
0; 2; 1 , 1;3; 1
BC BD
= − = − −
 
làm c

ặ
p VTCP nên có
VTPT là:
( )
2 1 1 0 0 2
; ; 1;1; 2
3 1 1 1 1 3
n
β
− −
 
= =
 
− − − −
 

.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình mp(
β
):
(
)
1 2 0 2 1 0
x y z x y z
+ − + = ⇔ + + − =



( )
2 2
2 1 1 1 1 2
3
1
cos cos ,
60
6 2 3
2 1 1 1 1 2
n n
β
⋅ − ⋅ + ⋅
π
ϕ = = = =
⇒
ϕ = = °
+ + + +
 

Bài 4.

Vi
ế
t PT m
ặ
t ph
ẳ
ng ch

ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):
2 0
3 2 3 0
x z
x y z
− =



− + − =



và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P):
2 5 0
x y z
− + + =

HD:
Ph
ươ
ng trình chùm m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a (
∆
) là:
( )
( )
(
)
2 2
2 3 2 3 0 , ; 0
m x z n x y z m n m n
− + − + − = ∈ + >
»

⇔

(
)
(
)
3 2 2 3 0

m n x ny n m z n
+ − + − − =

⇒
mp(
α
) ch
ứ
a (
∆
) có VTPT
(
)
3 ; 2 ; 2
u m n n n m
= + − −


M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) có VPPT
(
)
1; 2;1
v
= −

nên

để
(
α
)
⊥
(P) thì
0
u v
⋅ =
 

(
)
(
)
(
)
1 3 2 2 1 2 0
m n n n m
⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − =

8 0
n m
⇔ − =
.
Cho
1
n
=
suy ra

8
m
=
, khi
đ
ó ph
ươ
ng trình mp(
α
) là:
11 2 15 3 0
x y z
− − − =

Bài 5.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a O
z
và l
ậ

p v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
2 5 0
x y z
+ − =
m
ộ
t góc 60
°
.
HD:
M
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a O
z

⇒
(P) có d
ạ

ng:
0
mx ny
+ =
(
2 2
0
m n
+ >
)
⇒
VTPT
(
)
; ; 0
u m n
=

. M
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) có VTPT
(
)
2;1; 5
v
= −


suy ra
( )
2 2 2 2
2. 1. 0. 5
1
cos , cos 60
2
2 1 5
m n
u v
m n
+ −
= ° ⇔ =
+ + +
 

( )
(
)
2
2 2
2 2 10
m n m n
⇔ + = +

(
)
(
)

(
)
2 2 2 2 2 2
4 4 4 10 2 3 8 3 0
m mn n m n m mn n
⇔ + + = + ⇔ + − =

Cho
1
n
=

⇒

2
1
3 8 3 0 3
3
m m m m
+ − = ⇔ = − ∨ =
.
V
ậ
y
(
)
: 3 0
P x y
− =
ho

ặ
c
(
)
: 3 0
P x y
+ =

Bài 6.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát c
ủ
a mp(
α
) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và t
ạ
o
v
ớ
i (O
xy
) m
ộ
t góc 60

°
.
HD:
(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
qua M, N suy ra:
0;3 0
C D A D
+ = + =

⇒

3 ; 3
C A D A
= = −
. M
ặ
t ph
ẳ
ng (O
xy
) có VTPT là
(
)
0;0;1
suy ra

2 2 2
2 2 2 2 2
3
1
cos 60 36 10
2
10
C A
A A B
A B C A B
= ° ⇔ = ⇔ = +
+ + +

2 2
26 26
A B B A
⇔ = ⇔ = ±
. Do
2 2 2
0
A B C
+ + ≠

⇒

0
A
≠
.
Cho

1
A
=
suy ra mp(
α
):
26 3 3 0
x y z
− + − =
ho
ặ
c
26 3 3 0
x y z
+ + − =

Bài 7.
Cho A(
a
; 0;
a
), B(0;
b
; 0), C(0; 0;
c
) v
ớ
i
a
,

b
,
c
là 3 s
ố
d
ươ
ng thay
đổ
i
luôn luôn th
ỏ
a mãn
2 2 2
3
a b c
+ + =
. Xác
đị
nh
a
,
b
,
c
sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
O

đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC)
đạ
t Max.
HD:

(ABC):
1 0
y
x
z
a b c
+ + − =
. Suy ra
( )
2 2 2
1 1 1 1
;
d O ABC
a b c
= + +

⇒

2 2 2 2
1 1 1 1

d a b c
= + +

⇒

( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
9 3
3 3
a b c
a b c
 
= + + + + ≥ ⋅ =
 
 

2
1 1
3
3
d d
⇒
≤
⇒
≤
. V
ớ
i

1
a b c
= = =
thì
1
Max
3
d
=

Bài 8.

Cho chùm mặt phẳng
( )
(
)
: 2 1 1 0
m
P x y z m x y z+ + + + + + + =
.
Chứng minh rằng: (P
m
) luôn đi qua (d) cố định
∀
m

Tính kho
ảng cách t
ừ O
đến (d). Tìm

m
để (P
m
)
⊥

( )
0
: 2 1 0P x y z
+ + + =



HD:


V
ớ
i m
ọ
i
m
, (P
m
) luôn
đ
i qua
đườ
ng th
ẳ

ng c
ố

đị
nh (d):
2 1 0
1 0
x y z
x y z
+ + + =



+ + + =




M
ặ
t ph
ẳ
ng
2 1 0
x y z
+ + + =
có VTPT:
(
)
2;1;1

u
=

và
1 0
x y z
+ + + =
có
VTPT
(
)
1;1;1
v
=

suy ra (d) có VTCP là:
[
]
(
)
; 0; 1;1
a u v
= = −
  
.
M
ặ
t khác (d)
đ
i qua

(
)
0;0; 1
M
−

⇒

( )
( )
[
]
2
2
1 0 0
1
,
2
0 1 1
OM a
d O d
a
⋅
+ +
= = =
+ +






(
)
(
)
(
)
(
)
: 2 1 1 1 0
m
P m x m y m z m
+ + + + + + + =
có VTPT
(
)
1
2; 1; 1
n m m m
= + + +

;
Tr
ườ
ng h
ợ
p
đặ
c bi

ệ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
0
P
có VTPT
(
)
2
2;1;1
n
=

.
Để
(P
m
)
⊥
(P
0
) thì
( ) ( ) ( )
1 2
3

0 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0
2
n n m m m m m
−
⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =
 

Bài 9.

Cho 3
đ
i
ể
m A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2;
−
1). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t
ph
ẳ
ng (ABC). CMR: O
∈
(ABC) và OABC là m
ộ
t hình ch
ữ

nh
ậ
t.
Cho S(9; 0; 0). Tính th
ể
tích chóp S.OABC. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t
ph
ẳ
ng ch
ứ
a AB và
đ
i qua trung
đ
i
ể
m OS.
HD:



( ) ( )
2; 2; 1 , 2;1; 3
AB AC

= − = −
 

⇒
VTPT
( )
, 5; 4; 2
n AB AC
 
= = − −
 
 


Do (ABC)
đ
i qua A(0; 1; 2) nên ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) là:
(
)
(
)
(
)
5 0 4 1 2 2 0 5 4 2 0

x y z x y z
− − + − − − = ⇔ − + =


O(0; 0; 0) và
5.0 4.0 2.0 0
− + =
nên O
∈
(ABC).
Ta có:
( )
0;1;2
OA
=

,
( )
2; 2; 1
OC
= −


OC AB
⇒
=
 

0.2 1.2 2.1 0
OA OC

⋅ = + − =
 
suy ra OABC là hình ch
ữ
nh
ậ
t.

G
ọ
i H là hình chi
ề
u c
ủ
a S lên (OABC) suy ra
1 1
2 2.
3 3
OABC ABC SABC
V S SH S SH V
= ⋅ = ⋅ ⋅ =

1
2 ,
6
AB AC AS
 
= ⋅ ⋅
 
  

Ta có:
( )
9; 1; 2
AS
= − −

và
( )
, 5; 4; 2
AB AC
 
= − −
 
 

⇒

( )
( )
1 1
9 5 1 4 2 2 45 15
3 3
V
= − − ⋅ − − = − =


Trung
đ
i

ể
m c
ủ
a OS là
(
)
9
;0;0
2
M

⇒

(
)
9
; 1; 2
2
AM
= − −


⇒
M
ặt phẳng chứ
a AB và đi qua M có VTPT là:
[
]
(
)

1
. 5; ; 11
2
n AB AM= = − − −
 


⇒
Ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng:
10 22 45 0
x y z
+ + − =
.
Bài 10.
Lập phươ
ng trình của mặt ph
ẳng
(
)
α
thuộc chùm tạ
o bởi hai mặt
ph
ẳng

(
)
( )
: 3 7 36 0; :2 15 0
P x y z Q x y z− + + = + − − =
n
ếu bi
ết khoả
ng cách từ
g
ố
c t
ọ
a
độ
O
đế
n
α
b
ằ
ng 3.

Gi
ả
i

M
ặ
t ph

ẳ
ng
(
)
α
thu
ộ
c chùm t
ạ
o b
ở
i (P) và (Q) nên có ph
ươ
ng trình d
ạ
ng:
( ) ( )
(
)
2 2
3 7 36 2 15 0 0
m x y z n x y z m n
− + + + + − − = + >

(
)
(
)
(
)

2 3 7 36 15 0m n x n m y m n z m n⇔ + + − + − + − =
. Ta có

( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
36 15
, 3
3
2 3 7
m n
d O
m n n m m n
−
α = ⇔ =
+ + − + −

2 2 2 2
12 5 59 16 6 19 104 85 0
m n m mn n n mn m
⇔ − = − + ⇔ − + =

(
)
(
)
19 85 0 19 85
n m n m n m n m
⇔ − − = ⇔ = ∨ =

+ Cho
n
=
m
= 1 thì nhận được
( )
1
: 3 2 6 21 0x y zα − + + =

+ Cho
m
= 19,
n
= 85 ta có
(
)
2
: 189 28 48 591 0
x y z
α + + − =
.
Bài 11.
L
ậ
p ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph

ẳ
ng
(
)
α

đ
i qua 2
đ
i
ể
m A(2; –1; 0), B(5; 1; 1)
và kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
1
0; 0;
2
M

đế
n m

ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
α
b
ằ
ng
6 3
.
Gi
ả
i

G
ọ
i ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
α
là:
( )
2 2 2

0 0
Ax By Cz D A B C
+ + + = + + >

Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 0 1 ; 5 0 2
A A B D B A B C D
∈ α
⇒
− + = ∈ α
⇒
+ + + =

M
ặ
t khác:
( )
( )
2 2 2
7 7
1
,

2
6 3 6 3
d M C D A B C
α = ⇔ + = + +

( )
(
)
( )
2
2 2 2
27 2 49 3
C D A B C
⇔ + = + +
.
T
ừ
(1) và (2), ta có
(
)
3 2 , 2 4
C A B D B A
= − − = −

Th
ế
(4) vào (3), ta
đượ
c:
( )

2
2 2 2
27.49 49 3 2
A A B A B
 
= + + +
 

2 2
17
5 12 17 0
5
B AB A B A B A+ − = ⇔ = ∨ = −

+ Ch
ọ
n A = B = 1
⇒
C = –5, D = –1 thì nh
ậ
n
đượ
c
(
)
1
: 5 1 0
x y z
α + − − =

+ Ch
ọ
n A = 5, B = 17
⇒
C = 19, D = –27 thì
(
)
2
: 5 17 19 27 0
x y z
α − + − =

VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
Bài 1.

Vi
ế
t PT mp(
α
) ch
ứ
a g
ố
c t
ọ
a
độ
O và vuông góc v
ớ
i

(
)
: 7 0
P x y z
− + − =
,
(
)
: 3 2 12 5 0
Q x y z
+ − + =

Bài 2.

Vi
ế
t PT mp(
α
)
đ
i qua M(1; 2;1) và ch
ứ
a giao tuy
ế
n c
ủ
a
( )
(
)

: 1 0, : 2 3 0
P x y z Q x y z
+ + − = − + =

Bài 3.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
( )
3 0
:
3 2 1 0
x y z
x y z
− + − =


∆

+ + − =




và vuông góc vớ
i mặ
t phẳng (P):
2 3 0x y z+ + − =

Bài 4.

Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Vi
ế
t PT mp(ABC).
Tính kho
ả
ng cách t
ừ
g
ố
c O
đế
n (ABC). Vi
ế
t PT m
ặ
t ph
ẳ
ng:
a.
Qua O, A và // BC; Qua C, A và
⊥

(
α
):
2 3 1 0
x y z
− + + =
.
b.
Qua O và
⊥
(
α
), (ABC); Qua I(
−
1; 2; 3) và ch
ứ
a giao tuy
ế
n c
ủ
a (
α
), (ABC)
Bài 5.

Xác đị
nh các tham s
ố

m

,
n
để
m
ặ
t ph
ẳng
5 4 0x ny z m
+ + + =
thuộ
c
chùm m
ặ
t ph
ẳ
ng có ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
3 7 3 9 2 5 0
x y z x y z
α − + − + β − − + =

Bài 6.

Cho 2 m
ặ

t ph
ẳ
ng
(
)
: 2 3 1 0
x y z
α − + + =
,
(
)
: 5 0
x y z
β + − + =
và
đ
i
ể
m
M(1; 0; 5). Tính kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n mp(
α
).
Vi
ế

t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua giao tuy
ế
n (d) c
ủ
a (
α
) và (
β
)
đồ
ng th
ờ
i vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q):
3 1 0
x y
− + =

.
Bài 7.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua 3
đ
i
ể
m A(1; 1; 3), B(
−
1; 3; 2),
C(
−
1; 2; 3). Tính kho
ả
ng cách t
ừ
g
ố
c O
đế

n (P).
Tính di
ệ
n tích tam giác ABC và th
ể
tích t
ứ
di
ệ
n OABC.
Bài 8.

Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các
đ
i
ể
m M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a OA và BC; P, Q là 2
đ
i
ể

m trên OC và AB sao cho
2
3
OP
OC
=
và
2
đườ
ng th
ẳ
ng MN, PQ c
ắ
t nhau.
Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số
AQ
AB
.
Bài 9.

Cho A(
a
; 0; 0), B(0;
a
; 0), C(
a
;
a
; 0), D(0; 0;
d

) v
ớ
i
a
,
d
> 0. G
ọ
i A’, B’
là hình chi
ế
u c
ủ
a O lên DA, DB. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a 2
đườ
ng OA’, OB’. Ch
ứ
ng minh m
ặ
t ph

ẳ
ng
đ
ó vuông góc CD.
Tính
d
theo
a

để
s
ố

đ
o góc

45
A OB
′ ′
= °
.
Bài 10.

Tìm trên O
y
các
đ
i
ể
m cách

đề
u 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
(
)
: 1 0, : 5 0
x y z x y z
α + − + = β − + − =

Bài 11.

Tính góc gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q) cùng
đ
i qua
đ
i
ể
m I(2; 1;
−

3) bi
ế
t
(P) ch
ứ
a O
y
và (Q) ch
ứ
a O
z
.
Tìm t
ậ
p h
ợ
p các
đ
i
ể
m cách
đề
u 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q).
Bài 12.

Cho

∆
OAB
đề
u c
ạ
nh
a
n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (O
xy
),
đườ
ng th
ẳ
ng AB // O
y
.
Điể
m A nằm trên phần tư
thứ nhất trong mp(O
xy
). Cho đ
iểm
(
)

0;0;
3
a
S
.
Xác
đị
nh A, B và trung
đ
i
ể
m E c
ủ
a OA. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P) ch
ứ
a SE và song song v
ớ
i O
x
. Tính
(

)
,
d O P
t
ừ

đ
ó suy ra
(
)
;
d Ox SE



PH
ƯƠ
NG TRÌNH
ĐƯỜ
NG TH
Ẳ
NG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
:
1.
Véct
ơ

(
)

1 2 3
; ;
a a a a
=

là véc t
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng (VTCP) c
ủ
a (
∆
)
⇔
(
∆
) // giá c
ủ
a
a


2.
Nh
ậ
n xét:
N

ế
u
a

là m
ộ
t VTCP c
ủ
a (
∆
) thì
ka

(
k

≠
0) c
ũ
ng là VTCP c
ủ
a (
∆
)
t
ứ
c là (
∆
) có vô s
ố

VTCP.
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1.

Ph
ươ
ng trình tham s
ố
:
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0

)
và có VTCP
( )
1 2 3
; ;a a a a=

:
( )
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t
z z a t
= +



= + ∈


= +


»

2.

Ph
ươ

ng trình chính t
ắ
c:
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
và có VTCP
(
)
1 2 3
; ;

a a a a
=

:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =

3.

Phương trình tổng quát:
Phương trình đường thẳng (
∆
) tổng quát là giao
tuy
ế
n c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0

A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =



+ + + =


v
ớ
i
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠

4.
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
đ
i qua 2
đ

i
ể
m M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
), M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
):
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
− − −

= =
− − −

5.
Chuy
ể
n d
ạ
ng ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát sang d
ạ
ng tham s
ố
, chính t
ắ
c:
Cho (
∆
):
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D

A x B y C z D

α + + + =


β + + + =


(
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠
)
⇒
VTPT c
ủ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng là
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n A B C

n A B C

=


=





⇒
VTCP
1 2
,
a n n
=
 
 
  

Tìm điể
m M
0
(
x
0
,
y
0

,
z
0
)
∈
(
α
)
∩
(
β
)
⇒

0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
.
Đặ
t t
ỉ
s
ố
này b
ằ
ng
t

suy ra d
ạ
ng tham s
ố
.
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. V
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng
:

Cho (
∆
1
)
đ
i qua M
1
(
x

1
;
y
1
, z
1
) v
ớ
i VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=

,
(
∆
2
)
đ
i qua M
2
(
x
2
;
y
2

, z
2
) v
ớ
i VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=



N
ế
u
[
]
1 2
, 0
u v M M
⋅ ≠

 
thì
(
)
(
)

1 2
,
∆ ∆
chéo nhau.

N
ế
u
[
]
1 2
, 0
u v M M
⋅ =

 
và
1 2 3 1 2 3
: : : :
a a a b b b
≠
thì (
∆
1
), (
∆
2
) c
ắ
t nhau.


N
ế
u
[ ]
1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b

⋅ =



=


 
và h
ệ
ph
ươ
ng trình c
ủ
a
(
)
( )

1
2

∆


∆


vô nghi
ệ
m
thì (
∆
1
), (
∆
2
) song song nhau.

N
ế
u
[ ]
1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b


⋅ =



=


 
và h
ệ
ph
ươ
ng trình c
ủ
a
(
)
( )
1
2

∆


∆


có nghi
ệ

m
thì (
∆
1
), (
∆
2
) trùng nhau.
2. V
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng:
Cho (
∆
)
đ
i qua M

0
(
x
0
;
y
0
, z
0
) v
ớ
i VTCP
(
)
, ,
u a b c
=

và mp(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
v
ớ
i VTPT
(
)
, ,

n A B C
=



N
ế
u
0
n u
⋅ ≠
 
0
Aa Bb Cc
⇔ + + ≠
thì (
∆
) c
ắ
t (
α
).

N
ế
u
//
n u
 

: : : :
a b c A B C
⇔ =
thì (
∆
)
⊥
(
α
).

N
ế
u
( )
0
0n u
M
⋅ =



∉ α


 

⇔

0 0 0

0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =



+ + + ≠


thì (
∆
) // (
α
).

Nếu
( )
0
0
n u
M
⋅ =



∈ α



 

⇔

0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =



+ + + =


thì (
∆
)
⊂
(
α
).

IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc gi
ữ
a 2
đườ
ng th

ẳ
ng:

Cho (
∆
1
)
đ
i qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) v
ớ
i VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=

,
(

∆
2
)
đ
i qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) v
ớ
i VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=


Góc gi
ữ
a
(
)

(
)
(
)
[
]
1 2
, 0,90
∆ ∆ = ϕ∈ °
xác
đị
nh b
ở
i:
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos
a b a b a b
u v
u v
a a a b b b
+ +
⋅
ϕ = =
⋅
+ + + +
 
 

2. Góc gi
ữ
a
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph
ẳ
ng:
Cho (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0
) v
ớ
i VTCP
(
)

, ,
u a b c
=

và mp(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
v
ớ
i VTPT
(
)
, ,
n A B C
=


Góc gi
ữ
a
(
)
( )
( )
[
]
, 0,90

∆ α = ϕ∈ °
xác
định b
ở
i:
2 2 2 2 2 2
sin
u n aA bB cC
u n
a b c A B C
⋅ + +
ϕ = =
⋅
+ + + +
 
 

3. Góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng:
Góc gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ

ng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
là
ϕ
(0
≤

ϕ

≤
90
°
) th
ỏ
a mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos
n n A A B B C C
n n
A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +
 
 
v
ớ
i
1 2
,
n n
 
là 2 VTPT c
ủ
a (
α
1
), (
α
2
).
V. KHOẢNG CÁCH

1. Kho
ả
ng cách t
ừ
1
đ
i
ể
m
đế
n 1
đườ
ng th
ẳ
ng:

Cho (
∆
)
đ
i qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0

) v
ớ
i VTCP
(
)
, ,
u a b c
=

. Kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) đến đường th
ẳng (

∆
) là:
( )
( )
0 1
1
,
u M M
d M
u
 
⋅
 
∆ =




2. Kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng chéo nhau:
Cho (
∆
1

) đi qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) với VTCP
(
)
1 2 3
, ,u a a a
=

,
(
∆
2
)
đ
i qua M
2
(
x
2
;
y

2
, z
2
) v
ớ
i VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=


Gi
ả
s
ử

(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau, khi
đ
ó
( )

[ ]
[ ]
1 2
1 2
,
( ),( )
,
u v M M
d
u v
⋅
∆ ∆ =

 
 

3. Kho
ả
ng cách t
ừ
1
đ
i
ể
m
đế
n 1 m
ặ
t ph
ẳ

ng:
Kho
ả
ng cách t
ừ
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
đế
n m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
là:
( )

0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +

VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. D
ạ
ng 1: Xác
đị
nh v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a các
đườ
ng th
ẳ
ng và m
ặ
t ph

ẳ
ng
Ph
ươ
ng pháp:
Gi
ả
i h
ệ
PT t
ạ
o b
ở
i
(
)
( )
1
2

∆


∆


;
( )
( )


∆


α


ho
ặ
c s
ử
d
ụ
ng d
ấ
u hi
ệ
u nh
ậ
n
bi
ế
t qua h
ệ
th
ứ
c c
ủ
a các véct
ơ

Bài 1.

Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i b
ằ
ng 2 cách khác nhau:
( ) ( )
1 2
9
2 3 3 9 0
: 5 :
2 3 0
3
x t
x y z
y t
x y z
z t
=


− − − =




∆ = ∆


− + + =



= − +


;
( ) ( )
1 2
2 3 0 2 8 0
: :
2 3 0 8 0
x y y z
x y x z
− + = + − =
 
 
∆ ∆
 
+ = + − =
 
 

Bài 2.

Xác

đị
nh giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
( )
1 2
: 1
1
x t
y t t
z t
= +



∆ = − ∈


= +



»
v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng
(
)
: 2 2 0
x y z
α + − − =

Bài 3.

Xác
đị
nh giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng

( )
2 0
:
2 1 0
x y z
x y z
+ + − =


∆

+ − − =


v
ớ
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng
(
)
: 2 1 0
x y z
α + + − =

Bài 4.

Cho 3
đườ
ng th
ẳ
ng:
( ) ( )
( )
1 2
3
3
3 3 0
2
1
2
: 1 , : , :
1 4 3
2 1 0
5
x t
x y z
y
x
z
y t
x y z
z t
=

− + − =


+


−
−
∆ = − ∆ = = ∆


− + + =



= +


a.
Xét v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a các c
ặ
p 2
đườ
ng th
ẳ

ng v
ớ
i nhau.
b.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) song song v
ớ
i (
∆
1
), c
ắ
t (
∆
2
) và (
∆
3
)

2. D

ạ
ng 2: Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a 1
đ
i
ể
m M lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
αα
α
)
Ph
ươ
ng pháp:

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố

c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) qua M và (
∆
)
⊥
(
α
)
Giao
đ
i
ể
m H c
ủ
a (
∆
) và (
α
) là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M lên (

α
)
Bài 1.
Tìm hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M(1; 2;
−
3) lên
(
)
: 3 5 0
x y z
α + − + =

3. D
ạ
ng 3: Xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ

i
đ
i
ể
m M cho tr
ướ
c qua m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
αα
α
)
Phương pháp:
Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên (
α
).
Gi
ả
s
ử
M(x
1
, y
1
, z
1
), H(x

0
, y
0
, z
0
), khi
đ
ó
đ
i
ể
m M’
đố
i x
ứ
ng M qua (
α
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 , 2
M x x y y z z
′
− − −

Bài 1.
Xác
đị
nh

đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m M(13; 2; 3) qua m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
):
x

+

y
– 3
z

+
5

=
0
4. D
ạ
ng 4: Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a 1
đ
i
ể
m M lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
)
Ph
ươ
ng pháp 1:
Vi
ế
t PT m
ặ

t ph
ẳ
ng (
α
) qua M và (
α
)
⊥
(
∆
).

Giao
đ
i
ể
m H c
ủ
a (
∆
) và (
α
) là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M lên (
∆
)
Ph

ươ
ng pháp 2:
Vi
ế
t PT tham s
ố
c
ủ
a (
∆
)
⇒
T
ọ
a
độ
H theo tham s
ố
t.
MH u
⊥


là véct
ơ
ch
ỉ
ph
ươ
ng c

ủ
a (
∆
). GPT
0
MH u
⋅ =



⇒
tham s
ố
t
⇒
T
ọ
a
độ
H
Bài 1.
Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M(
−
1;

−
1; 1) lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):
{
}
1 ; 2 ; 3 3
x t y t z t
= + = + = − −

5. D
ạ
ng 5: Xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đ

i
ể
m M cho tr
ướ
c qua
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
)
Ph
ươ
ng pháp:
Tìm hình chi
ế
u vuông góc H c
ủ
a M lên (
∆
)
Giả
s
ử M(x
1
, y
1
, z

1
), H(x
0
, y
0
, z
0
), khi
đó
đ
iể
m M’ đố
i x
ứng M qua (
∆
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 , 2
M x x y y z z
′
− − −

Bài 1.
Xác
đị
nh
đ
i

ể
m
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
đ
i
ể
m M(0; 2;
−
1) lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
):
{
}
1 ; 2 ; 3 3
x t y t z t
= + = + = −

6. D
ạ
ng 6:
Xác

đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
αα
α
)
Ph
ươ
ng pháp:

TH1: (
∆
)
⊥

(
α
)
⇒
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là
đ
i
ể
m H
≡
(
∆
)
∩
(
α
)
TH2: (
∆
)
⊂
(

α
)
⇒
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
)
TH3: (
∆
) không vuông góc v
ớ
i (
α
), (
∆
)
⊄
(
α

):
C1: Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
) và (
β
)
⊥
(
α
).
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α

) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
’)
=
(
β
)
∩
(
α
).
C2: L
ấ
y 2
đ
i
ể
m A, B phân bi
ệ
t thu
ộ
c (
∆
).
Xác
đị

nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A, B lên (
α
) là H
1
, H
2
.
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
’)
≡
H
1
H

2

C3: N
ế
u (
∆
) c
ắ
t (
α
): Xác
đị
nh A
≡
(
∆
)
∩
(
α
). L
ấ
y M b
ấ
t kì
∉
(
∆
) và M
≠

A.
Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc H c
ủ
a M lên (
α
).
Hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a (
∆
) lên (
α
) là (
∆
’)
≡
AH
Bài 1.
Xác
đị
nh hình chi
ế
u vuông góc c
ủ

a (
∆
):
5 4 2 5 0
2 2 0
x y z
x z
− − − =



+ − =



lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
): 2
x
–
y

+

z
– 1

=
0
7. D
ạ
ng 7: Xác
đị
nh hình chi
ế
u song song c
ủ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
1
) lên (
α
αα
α
)
theo ph
ươ
ng (
∆
∆∆
∆

2
) c
ắ
t (
α
αα
α
)
Ph
ươ
ng pháp:

TH1: (
∆
1
) // (
∆
2
)
⇒
Hình chi
ế
u song song c
ủ
a (
∆
1
) lên (
α
) theo ph

ươ
ng (
∆
2
) là
đ
i
ể
m H
≡
(
∆
1
)
∩
(
α
)
TH2: (
∆
1
) và (
∆
2
) không song song:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m

ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
1
) và // (
∆
2
)
Hình chi
ế
u song song c
ủ
a (
∆
1
) lên (
α
) theo ph
ươ
ng (
∆
2
) là (
∆

)
=
(
β
)
∩
(
α
)
Bài 1.
Xác
đị
nh hình chi
ế
u song song c
ủ
a
đ
t (
∆
1
):
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =




+ + + =


lên (
α
):
2 2 3 0
x y z
− + − =
theo ph
ươ
ng (
∆
2
):
1
1
2
2 1 3
y
x
z
+
−
+
= =

8. D
ạ
ng 8: VPT

đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) qua M và c
ắ
t (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
) v
ớ
i (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆

2
) chéo
nhau và không
đ
i qua M
Ph
ươ
ng pháp 1:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) qua M ch
ứ
a (
∆
1
)
N
ế
u cho (
∆
1
) d

ướ
i d
ạ
ng t
ổ
ng quát thì nên vi
ế
t ph
ươ
ng trình (
α
) d
ướ
i d
ạ
ng chùm
N
ế
u (
∆
1
) d
ạ
ng tham s
ố
thì l
ấ
y 2
đ
i

ể
m A, B
∈
(
∆
1
)

⇒
Ph
ươ
ng trình (
α
) qua 3
đ
i
ể
m A, B, M.

N
ế
u (
α
) // (
∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m. N
ế

u (
α
) c
ắ
t (
∆
2
) thì tìm N
=
(
∆
2
)
∩
(
α
)
N
ế
u MN // (
∆
1
) thì bài toán vô nghi
ệ
m, n
ế
u MN c
ắ
t (
∆

1
) suy ra
đườ
ng th
ẳ
ng
c
ầ
n tìm là (
∆
)
≡
MN.
Ph
ươ
ng pháp 2:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) qua M ch
ứ
a (
∆

1
),
m
ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) qua M ch
ứ
a (
∆
2
)

Xét (
∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
). N
ế
u (
∆
) c

ắ
t (
∆
1
) và (
∆
2
) thì
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) là
đườ
ng
th
ẳ
ng c
ầ
n tìm. N
ế
u (
∆
) // (
∆
1
) ho
ặ
c (

∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m.
Bài 1.
VPT
Đ
T (
∆
) qua M(1; 3; 0) và (
∆
) c
ắ
t (
∆
1
):
2 0
2 5 0
y
x z
− =



− − =


,

(
∆
2
):
{
}
1 2 , 3 , 4
x t y t z t
= + = − = +

9. D
ạ
ng 9: VPT
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) c
ắ
t (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆

∆
2
) và song song v
ớ
i (
∆
∆∆
∆
3
)
Phươ
ng pháp 1:
Viế
t phươ
ng trình m
ặt ph
ẳng (
α
) chứ
a (
∆
1
) và // (
∆
3
),
m
ặ
t ph
ẳ

ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
2
) và // (
∆
3
)
N
ế
u (
α
) // (
β
) thì bài toán vô nghi
ệ
m. N
ế
u (
α
) c
ắ
t (
β
) thì xét (
∆
)

=
(
α
)
∩
(
β
).
N
ế
u (
∆
) c
ắ
t (
∆
1
) và (
∆
2
) thì
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) là
đườ
ng th
ẳ

ng c
ầ
n tìm.
N
ế
u (
∆
) // (
∆
1
) ho
ặ
c (
∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m.
Ph
ươ
ng pháp 2:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ
a (

∆
1
) theo t
1
, c
ủ
a (
∆
2
) theo t
2
.
L
ấ
y M
∉
(
∆
1
), N
∉
(
∆
2
)
⇒
T
ọ
a
độ

M, N theo t
1
, t
2
.
⇒

MN

theo t
1
, t
2
.
Xác
đị
nh t
1
, t
2
sao cho MN // (
∆
3
)
⇒

Đườ
ng th
ẳ
ng (

∆
) c
ắ
t (
∆
1
), (
∆
2
) và song
song v
ớ
i (
∆
3
) là (
∆
)
≡
MN
Ph
ươ
ng pháp 3:
G
ọ
i M(x
0
, y
0
, z

0
) là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (
∆
) và (
∆
1
).
(
∆
) nh
ậ
n VTCP c
ủ
a (
∆
3
) làm VTCP
⇒
Ph
ươ
ng trình tham s
ố
c
ủ

a (
∆
) theo x
0
, y
0
, z
0
.
(
∆
) c
ắ
t (
∆
2
) suy ra h
ệ

( )
( )
2

∆


∆


có nghi

ệ
m
⇒
x
0
, y
0
, z
0
.
⇒
Ph
ươ
ng trình (
∆
)
Bài 1.
VPT đường thẳng (
∆
) cắt (
∆
1
):
2 0
2 5 0
y
x z
− =




− − =


, (
∆
2
):
{
}
1 2 , 3 , 4
x t y t z t
= + = − = +
và // v
ớ
i tr
ụ
c O
z
.
Bài 2.
VPT
Đ
T (
∆
) c
ắ
t (
∆
1

):
2
2
1
3 4 1
y
x
z
+
−
−
= =
, (
∆
2
):
3
7 9
1 2 1
y
x z
−
− −
= =

và // (
∆
3
):
3

1
2
3 2 1
y
x
z
+
+
−
= =
−

10. D
ạ
ng 10: VPT
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
) qua M và vuông góc (
∆
∆∆
∆
1
), c
ắ
t (

∆
∆∆
∆
2
) trong
đ
ó M
∉
∉∉
∉
(
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
)
Ph
ươ
ng pháp:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ

t ph
ẳ
ng (
α
) qua M và
⊥
(
∆
1
), m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
β
) qua M ch
ứ
a (
∆
2
)
N
ế
u (
α
) // (
β
) thì bài toán vô nghi
ệ

m. N
ế
u (
α
) c
ắ
t (
β
) thì xét (
∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
).
N
ế
u (
∆
) c
ắ
t (
∆
2
) thì
đườ

ng th
ẳ
ng (
∆
) là
đườ
ng th
ẳ
ng c
ầ
n tìm.
N
ế
u (
∆
) // (
∆
2
) thì bài toán vô nghi
ệ
m.
Bài 1.
VPT
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
) qua M(1; 2; 0) và
⊥

(
∆
1
):
1
1
2
2 2 1
y
x
z
+
−
+
= =
,
c
ắ
t (
∆
2
):
7 1 0
2 1 0
x y z
x y z
+ − − =




+ + + =



11. D
ạ
ng 11: VPT
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng (
∆
∆∆
∆
1
), (
∆
∆∆
∆
2
)
chéo nhau
a. TH
đặ
c bi
ệ

t: (
∆
∆∆
∆
1
)
⊥
⊥⊥
⊥
(
∆
∆∆
∆
2
):

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) ch
ứ
a (
∆

1
) và (
α
)
⊥
(
∆
2
)
Tìm
(
)
(
)
2
M
= ∆ α
∩
, H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a M lên (
∆
1
)
⇒
MH là
đườ
ng vuông góc chung c

ủ
a (
∆
1
), (
∆
2
)
b. Ph
ươ
ng pháp 1:
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình (
∆
1
), (
∆
2
) d
ướ
i d
ạ
ng tham s
ố

L
ấ

y M
∈
(
∆
1
), N
∈
(
∆
2
)
⇒
T
ọ
a
độ
M, N theo
1 2
,
t t

⇒

MN

theo
1 2
,
t t
.

MN là
đường vuông góc chung của (
∆
1
), (
∆
2
)
⇒

(
)
(
)
1 2
,
MN MN
⊥ ∆ ⊥ ∆

⇒

1 2
,
t t

⇒
MN.
c. Ph
ươ
ng pháp 2:

G
ọ
i
1 2
,
a a
 
là VTCP c
ủ
a (
∆
1
) và (
∆
2
)
⇒
Đường vuông góc chung (
∆
) có VTCP
1 2
,a a a=
 
 
  

Vi
ế
t ph
ươ

ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) ch
ứ
a (
∆
1
) và // (
∆
), m
ặ
t ph
ẳ
ng (
β
) ch
ứ
a (
∆
2
)
và // (
∆
)
⇒
(

∆
)
=
(
α
)
∩
(
β
).


Bài 1.
Cho A(6; 3; 0), B(
−
2; 9; 1), S(0; 5; 8).
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a SB, OA.
Bài 2.
Vi
ế
t ph
ươ

ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
( )
1
3 0
:
1 0
x y z
y z
+ + − =

∆

+ − =

và
( )
2
2 2 9 0
:
1 0
x y z
y z
− − + =

∆


− + =


Bài 3.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
( )
1
1 1
1
1 2
: 2
3 3
x t
y t
z t
= +


∆ = +


= − +


và
( )
2
2 2
2
2
: 3 2
1 3
x t
y t
z t
= +


∆ = − +


= +


Bài 4.
VPT
đườ
ng vuông góc chung c
ủ
a
( )
1
3 2 8 0

:
5 2 12 0
x y
x z
− − =

∆

+ − =

và
(
)
{
}
2
: 1 3 ; 3 2 ; 2
x t y t z t
∆ = − + = − − = −

Bài 5.
Cho
( )
1
2
: 1
2
x t
y t
z t

= +


∆ = −


=

và
( )
2
2 2 0
:
3 0
x z
y
+ − =

∆

− =

.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph

ẳ
ng cách
đề
u (
∆
1
) và (
∆
2
).
12. D
ạ
ng 12: Các bài toán v
ề
kho
ả
ng cách
12.1. Tính kho
ả
ng cách:
Bài 1.

Tính kho
ả
ng cách t
ừ
M(1; 2; 3)
đế
n
( )

1
1
1
:
2 1 3
y
x
z
+
−
−
∆ = =

Bài 2.

Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;
−
1; 1). Tính kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n BC.
Bài 3.

Tính kho
ả
ng cách gi
ữ

a 2
đườ
ng th
ẳ
ng

( ) ( )
{ }
1 2
0
: : 1 3 ; ; 2
4 0
x y
x t y t z t
x y z
+ =

∆ ∆ = + = − = +

− + − =


Bài 4.

Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ

ng th
ẳ
ng

( ) ( )
1 2
2 0
2
1 3
: , :
1 2 3
2 3 5 0
x y z
y
x z
x y z
+ − =

−
− −
∆ = = ∆

− + − =


Bài 5.

Tính kho
ả
ng cách gi

ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng

( ) ( )
1 2
8 23 0 2 3 0
: , :
4 10 0 2 2 0
x z x z
y z y z
+ + = − − =
 
∆ ∆
 
− + = + + =
 

Bài 6.

Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2 m
ặ
t ph

ẳ
ng (
α
): 2
x

+

y

+

z
– 1
=
0
và (
β
):2
x

+

y

+

z

+

10
=
0.
Bài 7.

Cho A(5; 7;
−
2), B(3;1;1), C(9; 4;
−
4).
Tính kho
ả
ng cách t
ừ
D(
−
1; 5; 0)
đế
n (ABC)
12.2. Tìm
đ
i
ể
m bi
ế
t kho
ả
ng cách cho tr
ướ
c:

Bài 1.

Cho (
α
):
x

+
2
y
– 2
z
– 2
=
0.
Tìm M
∈
O
y
sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n (
α
) b
ằ
ng 4.

Bài 2.

Cho A(1;
−
2; 0). Tìm M
∈
O
z
sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
M
đế
n
(
α
): 3
x
– 2
y

+
6
z

+
9
=
0 b

ằ
ng MA.
Bài 3.

Cho (
α
):
x

+

y

+

z

+
5
=
0.
Tìm M
∈
(
∆
):
2 1 0
2 3 0
x y z
x y z

+ + − =


+ + + =

sao cho
( )
(
)
, 3
d M
α =
.
Bài 4.

Cho (
α
): 12
x
– 16
y

+
15
z

+
1
=
0 và (

β
): 2
x

+
2
y
–
z
– 1
=
0.
Tìm M
∈
O
x
cách
đề
u (
α
) và (
β
)
12.3. Các bài toán v
ề
t
ổ
ng, hi
ệ
u kho

ả
ng cách l
ớ
n nh
ấ
t, nh
ỏ
nh
ấ
t:
a. D
ạ
ng 1:
Cho 2
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,
A x y z B x y z
.
Tìm M
∈
(P):
0

ax by cz d+ + + =

để (MA
+
MB) min.
Ph
ươ
ng pháp:
Xác
đị
nh v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a A, B
đố
i v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) b
ằ
ng
cách tính các

đạ
i l
ượ
ng:
1 1 1 2 2 2
;
A B
t ax by cz d t ax by cz d
= + + + = + + +


N
ế
u
0
A B
t t
<

⇔
A, B khác phía
đố
i v
ớ
i (P). G
ọ
i M
0

≡

(AB)
∩
(P), khi
đ
ó
MA
+
MB
≥
AB
=
M
0
A
+
M
0
B.

N
ế
u
0
A B
t t
>

⇔
A, B cùng phía
đố

i v
ớ
i (P). L
ấ
y A
1

đố
i x
ứ
ng A qua (P).
G
ọ
i M
0

≡
(A
1
B)
∩
(P). Khi
đ
ó MA
+
MB
=
MA
1

+
MB
≥
A
1
B
=
M
0
A
1

+
M
0
B.
b. D
ạ
ng 2:
Cho 2
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,

A x y z B x y z
.
Tìm M
∈
(P):
0
ax by cz d
+ + + =

để
|MA – MB| max.
Ph
ươ
ng pháp:
Xác
đị
nh v
ị
trí t
ươ
ng
đố
i c
ủ
a A, B
đố
i v
ớ
i m
ặ

t ph
ẳ
ng (P) b
ằ
ng
cách tính các
đạ
i l
ượ
ng:
1 1 1 2 2 2
;
A B
t ax by cz d t ax by cz d
= + + + = + + +


Nếu
0
A B
t t
>

⇔
A, B cùng phía đối với (P). Gọ
i M
0

≡
(AB)

∩
(P), khi đó
|MA – MB|
≤
AB
=
| M
0
A – M
0
B|.

N
ế
u
0
A B
t t
<

⇔
A, B khác phía
đố
i v
ớ
i (P) L
ấ
y A
1

đố
i x
ứ
ng A qua (P).
G
ọ
i M
0

≡
(A
1
B)
∩
(P).Khi
đ
ó |MA – MB|
=
|MA
1
– MB|
≤
A
1
B
=
| M
0
A
1

– M
0
B|

b. D
ạ
ng 3:
Cho 2
đ
i
ể
m
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
, , ; , ,
A x y z B x y z
.
Tìm M
∈
(
∆
) cho tr
ướ
c sao cho (MA
+
MB) min.
Ph

ươ
ng pháp:
Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đ
i
ể
m A’, B’ là hình chi
ế
u t
ươ
ng
ứ
ng c
ủ
a
các
đ
i
ể
m A, B lên (
∆
). G
ọ
i M

0
là
đ
i
ể
m chia
đ
o
ạ
n A’B’ theo t
ỉ
s
ố

0
0
'
'
'
'
M A
AA
k
M B
BB
= = −





. Ta ch
ứ
ng minh MA
+
MB
≥
M
0
A
+
M
0
B
Th
ậ
t v
ậ
y, g
ọ
i A
1
∈
(P)
=
((
∆
), B) sao cho A
1
khác phía B so v
ớ

i (
∆
) và th
ỏ
a mãn
( )
1
1
' '
'
A A AA
A A
=



⊥ ∆



⇒

0
1
1 0
M A
A A
B B M B
′
′

=
′ ′


 

⇒
A
1
, M
0
,B th
ẳ
ng hàng
⇒
MA
+
MB
=
MA
1

+
MB
≥
A
1
B
=
M

0
A
1

+
M
0
B
=
M
0
A
+
M
0
B
Bài 1.

Cho A(
−
7; 4; 4), B(
−
6; 2; 3).
Tìm M
∈
(P): 3
x
– y – 2
z

+
19
=
0
để
(MA
+
MB) min;|MA – MB| max.
Bài 2.

Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5).
Tìm M
∈
m
ặ
t ph
ẳ
ng O
xy
sao cho: (MA
+
MB) min; |MA – MB| max.
Bài 3.

Cho A(1; 0; 2), B(2;
−
1; 3).
Tìm M
∈
(

)
: 2 4 0
P x y z
− + − =

để
(MA
+
MB) min; |MA – MB| max.
Bài 4.

Cho A(1; 3;
−
2), B(13; 7;
−
4).
Tìm M
∈
(
)
: 2 2 9 0
P x y z
− + − =

để
(MA
+
MB) min; |MA – MB| max.
Bài 5.

Cho A(1; 2;
−
1),
(
)
2 2; 2; 3
B
− −
.
Tìm M
∈
( )
3 0
:
5 0
x y z
y z
+ + − =

∆

+ − =

sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 6.

Cho A(1; 1; 0), B(3;
−

1; 4).
Tìm M
∈
( )
1
1
2
:
1 1 2
y
x
z
−
+
+
∆ = =
−
sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 7.

Cho
(
)
( )
1;2; 1
7; 2;3
A
B


−


−


Tìm M
∈
( )
2
1
2
:
3 2 2
y
x
z
−
+
−
∆ = =
−
sao cho (MA
+
MB) min.
Bài 8.

Cho A(2; 3; 0) và
( )

0; 2; 0B
−
.
Tìm M
∈
( )
2 0
:
2 0
x y z
x y z
+ + − =

∆

− + − =

sao cho (MA
+
MB) min.
13. D
ạ
ng 13: Các bài toán v
ề
góc
Bài 1.

Xác
đị
nh góc gi

ữ
a 2 m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
(
)
1 2
: 2 4 0, :2 1 0
P x y z P x y z
+ + + = + + + =

Bài 2.

Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD v
ớ
i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(
−
1; 0;
−
2), D(
−
2; 1; 1).

Tính góc c
ủ
a m
ỗ
i c
ặ
p c
ạ
nh
đố
i c
ủ
a ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)).
Bài 3.

Cho
(
)
1
: 3 2 0
P x y z
− − + =
,
(
)
2
: 2 3 0
P x y z
+ + − =
,

(
)
3
: 3 2 1 0
P x y z
− + − + =
. G
ọ
i (
∆
) là giao tuy
ế
n c
ủ
a (P
1
) và (P
2
).
Tính góc gi
ữ
a (
∆
) v
ớ
i giao tuy
ế
n c
ủ
a (P

1
), (P
3
) và v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P
3
).
Bài 4.

Cho
( )
1
3 1 0
:
3 5 0
x y
z y
− − =

∆

− − =

và
( )

2
2
: 1
1
x t
y
z mt
= +


∆ = −


= +

. Tìm
m

để
:
a.
Góc gi
ữ
a (
∆
1
) và (
∆
2
) b

ằ
ng 45
°

b.
Góc gi
ữ
a (
∆
1
) và (
∆
2
) b
ằ
ng 60
°
.
Khi
đ
ó tính góc gi
ữ
a (P) v
ớ
i (
∆
2
) bi
ế
t r

ằ
ng (P)
⊥
(
∆
1
).
Bài 5.

Cho A(0;
−
2;
−
2), B(
−
1;
−
1; 0), C(
−
2;
−
2; 0),
(
)
1
D ; 1;0
2
− −
.
a.

Tính góc gi
ữ
a ((ABC); (ABD))
b.
Tính góc và kho
ả
ng cách gi
ữ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng (AD) và (BC).
14. Bài m
ẫ
u.
Trong h
ệ
Oxyz cho A(1; 4; 2); B(
−
1; 2; 4) và
( )
2
1
:
1 1 2
y
x
z
d

+
−
= =
−

1.
Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
) sao cho:
a)
MA MB
+
 
nh
ỏ
nh

ấ
t; b)
2 2
MA MB
+
nh
ỏ
nh
ấ
t;
c)
MA MB
+
nh
ỏ
nh
ấ
t d) Di
ệ
n tích tam giác AMB nh
ỏ
nh
ấ
t
2.
VPT m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch

ứ
a (
d
) sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
A
đế
n (P) là l
ớ
n nh
ấ
t.
3.
VPT m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a (
d
) và t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph

ẳ
ng (xOy) m
ộ
t góc nh
ỏ
nh
ấ
t.
4.
VPT m
ặ
t ph
ẳ
ng (R) ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
) và t
ạ
o v
ớ
i tr
ụ
c Oy góc l
ớ
n nh

ấ
t.
5.
Trong s
ố
các
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua A và c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
), vi
ế
t ph
ươ
ng
trình các
đườ
ng th
ẳ
ng sao cho kho
ả

ng cách t
ừ
B
đế
n nó là l
ớ
n nh
ấ
t? nh
ỏ
nh
ấ
t?
Gi
ả
i
1.
(
)
1 ; 2 ; 2
M t t t d
− − + ∈

⇒

( ) ( )
; 6 ; 2 2 , 2 ;4 ; 4 2
MA t t t MB t t t
= − − = − + − −
 

a.

( )
2 2 ; 10 2 ; 6 4
MA MB t t t
+ = − + − −
 
. Suy ra
( )
2
24 2 44
MA MB t
+ = − +
 

Do đó
MA MB+
 
nhỏ
nhất khi
t

=
2 và lúc đ
ó
( )
1; 0; 4M
−

b.
Ta có
2 2
MA MB
+ =
( )
2
2
12 48 76 12 2 28
t t t
− + = − +

V
ậ
y
2 2
MA MB
+
nh
ỏ
nh
ấ
t khi
2
t
=
và khi
đ
ó

(
)
1; 0; 4
M
−

c.
Ta s
ẽ
xác
đị
nh hình chi
ế
u
1 1
,
A B
c
ủ
a hai
đ
i
ể
m A, B lên
đườ
ng th
ẳ
ng (
d
)

( )
(
)
2 2
1
5 10
2 1
2 3 10 20 min ; ;
3 3 3 3
MA t t t M A
= − + ⇔ = ⇔ ≡ − −
v
ớ
i
(
)
1
AA d
⊥

( )
(
)
2 2
1
7
4 1 14
2 3 14 18 min ; ;
3 3 3 3
MB t t t M B

= − + ⇔ = ⇔ ≡ −
v
ớ
i
(
)
1
BB d
⊥

1 1
1 1
210 ; 30
3 3
AA BB
= =
.
Đ
i
ể
m M c
ầ
n tìm là
đ
i
ể
m chia
đ
o
ạ

n
1 1
A B
theo t
ỉ

s
ố

1
1
7
AA
k
BB
= − = −
nên t
ọ
a
độ
c
ủ
a M là
(
)
( ) ( )
2 1 2 7
10 14 7
1
; ;

3
3 1 7 3 1 7
 
− +
−
−
 
 
+ +
 

d.

( ) ( ) ( )
; 6 ; 2 2 ; 2; 2; 2 ; ; 6 16; 2 4; 4 12
AM t t t AB AM AB t t t
 
− − + − + − − = − − + −
 
   

( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 1
; 6 16 2 4 4 12 56 304 416
2 2 2
AMB
S AM AB t t t t t
 

= = − + − + + − = − +
 
 
D
ễ
th
ấ
y
AMB
S
nh
ỏ
nh
ấ
t khi
304 19
112 7
t
= =
, khi
đ
ó
(
)
5 38
12
; ;
7 7 7
M
−

.
2.
PT t
ổ
ng quát c
ủ
a (
d
) là
1 0
2 4 0
x y
y z
+ + =



− + =


. Vì m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) ch
ứ
a
đườ
ng th
ẳ

ng
(
d
) nên (P) có ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
1 2 4 0
a x y b y z
+ + + − + =
v
ớ
i
2 2
0
a b
+ ≠

•
N
ế
u
0
a
=
thì (P):
2 4 0

y z
− + =
. Khi
đ
ó
( )
( )
( )
2
2
2.4 2 4
10
; 2 5
5
2 1
d A P
− +
= = =
+ −

•
N
ế
u
0
a
≠
thì có th
ể
gi

ả
s
ử

1
a
=
. Khi
đ
ó
(
)
(
)
: 1 2 1 4 0
P x b y bz b
+ + − + + =
.
Suy ra
( )
( )
2
2 5 3
;
5 4 2
b
d A P
b b
+
=

+ +
. Xét hàm s
ố

( )
( )
2
2
5 3
5 4 2
b
f b
b b
+
=
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
50 10 24 3
4
0
5 5
5 4 2
b b
f b b b

b b
− + +
′
= = ⇔ = ∨ = −
+ +

Do
(
)
(
)
( )
35 3
4
; 0 ; lim 5
5 6 5
b
f f f b
→∞
= − = =
nên
( )
( )
;d A P
lớn nhất b
ằng
35
2
6
.

K
ế
t lu
ậ
n:
So sánh hai tr
ườ
ng h
ợ
p ta có
( )
( )
35
Max ; 2
6
d A P
=
khi
4
5
b
=
, lúc
đ
ó
ph
ươ
ng trình (P) có d
ạ
ng

13
4 21
0
5 5 5
x y z
+ − + =
, hay
(
)
: 5 13 4 21 0
P x y z
+ − + =

3.
Do (Q) ch
ứ
a (
d
) nên PT (Q):
(
)
(
)
1 2 4 0
a x y b y z
+ + + − + =
v
ớ
i
2 2

0
a b
+ ≠
.
M
ặ
t ph
ẳ
ng (xOy) có ph
ươ
ng trình
0
z
=

•
N
ế
u
0
a
=
thì (Q):
2 4 0
y z
− + =
và khi
đ
ó
1

cos
5
α =
.
•
N
ế
u
0
a
≠
ta có th
ể
gi
ả
s
ử

1
a
=
. Khi
đ
ó (Q):
(
)
1 2 1 4 0
x b y bz b
+ + − + + =
.

T
ừ
đ
ó
2
cos
5 4 2
b
b b
α =
+ +
. Xét hàm s
ố

( )
2
2
2
cos
5 4 2
b
g b
b b
= = α
+ +
.
Ta có
( )
( )
2

2
2
4 4
0 0 1
5 4 2
b b
g b b b
b b
+
′
= = ⇔ = ∨ = −
+ +

Do
( )
( )
( )
1 1
0 0; 1 ; lim
3 5
b
g g g b
→∞
= − = =
nên
cos
α
l
ớ
n nh

ấ
t b
ằ
ng
1
3
khi
1
b
= −

K
ế
t lu
ậ
n:
So sánh hai tr
ườ
ng h
ợ
p trên ta th
ấ
y
cos
α
l
ớ
n nh
ấ
t hay (Q) t

ạ
o v
ớ
i
m
ặ
t ph
ẳ
ng (xOy) góc nh
ỏ
nh
ấ
t khi
1
b
= −
. Lúc
đ
ó (Q)
3 0
x y z
− + − =

4.
PT (R):
(
)
(
)
1 2 4 0

a x y b y z
+ + + − + =
. Tr
ụ
c Oz có VTCP là
( )
0; 1; 0
v


N
ế
u
0
a
=
thì (R):
2 4 0
y z
− + =
thì
β
= ((Q), Oy) th
ỏ
a mãn
2
sin
5
β =
.

N
ế
u
0
a
≠

ta có th
ể
gi
ả
s
ử

1
a
=
. Khi
đ
ó (R):
(
)
1 2 1 4 0
x b y bz b
+ + − + + =

Khi
đ
ó
2

1 2
sin
5 4 2
b
b b
+
β =
+ +
. Xét hàm s
ố

( )
2
2
2
4 4 1
sin
5 4 2
b b
h b
b b
+ +
= = β
+ +
.
Ta có
( )
( )
2
2

2
4 6 4
1
0 2
2
5 4 2
b b
h b b b
b b
− + +
′
= = ⇔ = ∨ = −
+ +
.
Do
( )
(
)
( )
5
1 4
2 ; 0 ; lim
6 2 5
b
h h h b
→±∞
= − = =
nên
sin
β

l
ớ
n nh
ấ
t b
ằ
ng
5
6
, khi
2
b
=
.
K
ế
t lu
ậ
n:
So sánh hai tr
ườ
ng h
ợ
p ta th
ấ
y
sin
β
l
ớ

n nh
ấ
t khi
2
b
=
. Khi
đ
ó m
ặ
t
ph
ẳ
ng (R) có ph
ươ
ng trình
5 2 9 0
x y z
+ − + =
.
5.
Gi
ả
s
ử

2
d
là
đườ

ng th
ẳ
ng b
ấ
t kì
đ
i qua A và c
ắ
t
d
t
ạ
i
(
)
1 ; 2 ; 2
M t t t
− − +
.
Khi
đ
ó
( )
2
2
2
2
2
;
56 304 416

28 152 208
;
3 10 20
6 20 40
AM AB
t t
t t
d B d
t t
AM
t t
 
 
− +
− +
= = =
− +
− +
 


Xét
( )
2
2
28 152 208
3 10 20
t t
u t
t t

− +
=
− +
. Ta có
( )
(
)
( )
2
2
2
16 11 8 60
0 2
3 10 20
t t
u t t
t t
− −
′
= = ⇔ = −
− +
;
30
11
t
=
.
Do
( )
(

)
( )
30 28
4
2 48; ; lim
11 35 3
b
u u u t
→∞
− = = =
nên kho
ả
ng cách t
ừ
B
đế
n
2
d
l
ớ
n
nhất bằng 48 khi
2t = −
và nhỏ nhấ
t bằng
4
35
khi
30

11
t =
. Khi đó
2
d
tương ứ
ng
có ph
ươ
ng trình là
2
4
1
2
:
1 4 3
y
x
z
d
−
−
−
= =
− −
và
2
4
1
2

:
15 18 19
y
x
z
d
−
−
−
= =
−