skkn vẽ thêm các yếu tố phụ thích hợp để giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức trong hình học 8

Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Đặt vấn đề
Hình học là một bộ môn phát triển t duy và trí sáng tạo cho học sinh rất
điển hình. Học sinh đợc rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề theo quan điểm động
đòi hỏi sự bao quát toàn diện, sâu sắc vấn đề. Học sinh cấp II bắt đầu tiếp thu
cơ sở của hình học ở lớp 6 với hệ tiên đề và những khái niệm cơ bản. Sang
hình học 7 học sinh bắt đầu nghiên cứu hình với yêu cầu nắm bắt thật chắc lý
thuyết và phải biết vận dụng vào giải bài toán hình và làm quen dần với các
dạng toán. Đến lớp 8 các dạng bài tập hình học phong phú hơn, đa dạng hơn
và khó hơn rất nhiều so với lớp 6, 7 và đặc biệt các bài toán chọn ra để dạy đội
tuyển học sinh giỏi thì không phải bài nào cũng dễ dàng chứng minh đợc mà
phải vẽ thêm các yếu tố phụ mới giải quyết đợc bài tập đó. Tuy nhiên vẽ thêm
các yếu tố phụ nh thế nào để có lợi cho việc giải toán luôn là điều hết sức khó
khăn, phức tạp đối với mỗi học sinh. Học sinh không thể phát triển đợc t duy
nÕu ta giíi thiƯu víi c¸c em mét chøng minh làm sẵn. Thậm chí các em sẽ thất
vọng và cảm thấy bị đánh lừa nếu đột ngột trên hình vẽ một đờng phụ tài tình.
Mà bất kỳ một học sinh nào và nhất là các em học sinh giỏi cũng muốn biết cơ
sở và mục đích của việc làm. To¸n häc chØ bỉ Ých khi nã båi bỉ cho sự nhanh
trí và khả năng suy luận của chúng ta.
Nhng có một thực tế rằng: Không có một phơng pháp chung nào cho việc
vẽ thêm yếu tố phụ. Việc vẽ thêm yếu tố phụ trong các bài toán chứng minh
hình học ít nhiều trong một chừng mực nào đó vẫn là một sự sáng tạo "nghệ
thuật".
Xuất phát từ thực tế đó bằng những kinh nghiệm của bản thân đà nhiều
năm dạy đội tuyển HSG Toán 8 tôi muốn đa ra một cách phân tích để giúp học
sinh tìm cách: "Vẽ thêm các yếu tố phụ thích hợp để giải một bài toán chứng
minh bất đẳng thức trong hình học 8".
Tôi trình bày theo nội dung sau:

Phần I: Một số kiến thức cơ bản
Phần II: Một số các bài toán điển hình đợc đa ra phân tích để tìm ra
phơng pháp vẽ thêm các yếu tố phụ, có lời giải cụ thể.
Phần III: Các bài tập đề nghị (có hớng dẫn ).
Trang 1


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Nội dung
A. Một số kiến thức cơ bản

Thông thờng để giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức hình học
ngời ta thờng sử dụng các kết quả quen biết sau :
* So sánh độ dài các đờng vuông góc và đờng xiên.
* Quan hệ giữa các cạnh và các góc trong một tam giác.
* Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác: Chẳng h¹n trong ∆ABC víi
c¹nh BC ta cã : AB - AC < BC < AB + ACvíi AB ≥ AC
* So sánh hai cạnh (hoặc hai góc) của hai tam giác có hai cặp cạnh bằng
nhau còn góc xen giữa (hoặc cạnh còn lại) khác nhau.
* Trong ABC có độ dài các cạnh lần lợt là a, b, c và ®êng cao h nÕu : a
> b ⇒ h.a > h.b
* Sử dụng BĐT trong đại số:
1. a + b ≥ 2 ab (a, b ≥ 0)
2. (a2 + b2) (c2 + d2) ≥ (ab + cd)2
a b
+ ≥ 2 víi ab > 0
3.

b a
4. (a + b)2 ≥ 4ab
...........
B. Một số bài tập điển hình

Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) cã AB < CD. Chøng minh
r»ng: DC - AB < ad + bc
Với bài toán này học sinh dễ dàng nhận ra ta phải dựa vào bất đẳng thức
tam giác. Từ kết luận ta thấy ngay phải có một đoạn thẳng bằng hiệu DC - AB
mà đà dựa vào BĐT tam giác thì phải tạo ra tam giác có các cạnh ad ; bc ;
dc- ab .
Lời giải: Qua B vẽ đờng thẳng song song với Ad, cắt dc tai e.
Xét tứ giác ABED có:
AB // DE (gt)
Trang 2


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận
A

B

AD// BE (cách dựng)
tứ giác ABED là hình bình hành
AB = DE ; AD = BE.
⇒ EC = DC - DE = DC -AB.
D
E

XÐt ∆ BEC cã EC < BE + BC ⇒ DC - AB < AD + BC.
(đpcm)

C

Bài 2: Cho tứ giác ABCD (AB không song song CD). Gọi M, N lần lợt
là trung điểm BC ; AD. Chứng minh rằng: MN <

AB + CD
2

Khi giáo viên đa ra bài toán này các em đà có ý kiến ngay là phải sử

AB + CD
hay
2
AB CD
AB CD
MN <
+
thì phải tạo ra một tam giác có 3 cạnh là MN;
;
. Nh2
2
2
2
AB CD
ng một cạnh bằng
,
ta nghĩ tới đuờng trung bình của tam giác. Vậy

2
2

dụng BĐT trong tam giác vì từ điều cần chứng minh là MN <

muốn có đờng trung bình thì ta phải lấy trung điểm. Từ đó dẫn đến lời giải.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm AC
MI là đờng trung bình ABC
AB
MI =
2
CD
Chứng minh tơng tự : NI =
2
Xét ∆MIN cã MN < MI +NI
AB CD
AB + CD
⇒ MN <
+
=
2
2
2
(đpcm)

B

A
M

N
I

D

C

Bài 3 : Cho hình chữ nhật ABCD. Các điểm E, F, G, H lần lợt thuộc
các cạnh AD, AB, BC, CD. Chøng minh r»ng EF + FG + GH + HE ≥ 2AC.

Trang 3


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Gợi ý : Do so sánh tổng EF, FG, GH, HE với AC nên ta sẽ quy các đoạn
thẳng này về các đoạn gấp khúc có 2 đầu là A và C. Điều này thực hiện đợc
khi sử dụng tính chất đờng trung bình và đờng trung tuyến trong tam giác
vuông.
Lời giải:
Gọi I, K, M tho thứ tự là trung
điểm của EF, EG, GH.

AEF có A = 90o; AI là trung tuyến

F

A

I
E

K

1
ứng với cạnh huyền EF AI = EF
2

1
Tơng tự MC = GH.
2
IK là đờng trung bình EFG
1
IK = FG.
2
Tơng tự KM =

B

G
M
D

H

C

HE
2

Suy ra : EF + FG + GH + EH = 2 ( AI + IK + KM + MC) 2 AC.
(đpcm)

Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD ; C < D ). Chøng minh r»ng:
AC > BD.
Từ kết luận của đề toán, giáo viên hớng dẫn học sinh tìm một tam giác
có hai cạnh bằng hai đoạn AD ; BD. Dựa vào tính chất hình thang cân, ta dựng
thêm điểm E để đợc hình thang cân AECD AC = DE. Khi đó ta đợc DBE
thoả mÃn yêu cầu trên.
x

Lời giải:
A

Vẽ tia Cx trên nửa mặt phẳng bờ
DC có chứa điểm A sao cho DCx = ADC.

B

E

Gäi E ≡ Cx ∩ AB ⇒ tø gi¸c AECD là
hình thang cân
AC = ED và DAE = CEA (1)
D

C

Trang 4

Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Ta có: DBE > DAE (2) (do gãc ngoµi cđa ∆ABD) vµ CAE = DEB (3)
Tõ (1) ; (2) ; (3) ⇒ DBE > DEB ⇒ ED > BD
Ta cã AC = ED ⇒ AC > BD
(đpcm)
Bài 5: Cho tam giác đều ABC và điểm M nằm trong tam giác đó.
Chứng minh rằng ba đoạn MA, MB, MC độ dài một đoạn nhỏ hơn tổng độ dài
2 đoạn còn lại.
Giáo viên phân tích bài toán từ yêu cầu chứng minh MA, MB, MC độ
dài một đoạn nhỏ hơn tổng độ dài 2 đoạn còn lại, giả sử là MA < MB + MC.
Khi giáo viên phân tích đến đây thì các em nghĩ ngay đến việc Sử dụng bất
đẳng thức tam giác tức là phải tạo ra một tam giác có độ dài các cạnh bằng độ
dài 3 đoạn MA, MB, MC vẫn từ giả thiết các em dễ dàng kẻ thêm các đờng
MD, ME, MF lần lợt song song với BC, AC, BC để tạo ra tam giác DFE sau
đó giáo viên yêu cầu các em tự vẽ hình và trình bày lời giải.
Lời gi¶i:

A

VÏ MD // BC (D∈ AB) ; ME // AC (E ∈
BC) ; MF // AB (F ∈ AC)
F
Cã ADM = ABC (do MD // BC)
Mµ BAC = ABC (do ABC đều)
D

M
ADM = DAF.
Tứ giác ADMF là hình thang cân MA =
DF.
B
E
C
Chứng minh tơng tự, có MB = DE ; MC = EF.
Vậy các đoạn thẳng MA ; MB ; MC có độ dài bằng các cạnh của DEF
nên độ dài 1 cạnh nhỏ hơn tổng độ dài 2 đoạn còn lại.
(đpcm)
Bài 6: Cho tứ giác ABCD có góc ngoài tứ giác tại đỉnh C bằng góc
ACB. Chøng minh r»ng: AB + BD > AC + DC.
T¬ng tự nh các bài trên với bài này giáo viên yêu cầu các em tự làm và
đà nhiều em tìm ra lời giải, sau đó giáo viên đa ra lời giải của mình.
Trang 5


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Lời giải:

A

Gọi E là điểm ®èi xøng cña A qua

B

BC.
Ta cã AC = CE; AB = BE;
ACB = ECB.
Mà góc ngoài đỉnh C của tứ giác D
C
ABCD bằng ACB (gt) do đó D, C, E thẳng hàng
DE = CE + DC.
Xét tam giác BDE cã BE + DB > DE. hay AB + DB > CE + CD.
⇒ AB + BD > AC + DC
( đpcm)

E

Bài 7: Cho hình vuông ABCD; E là một điểm trên cạnh CD, tia phân
giác BAE cắt BC tại M. Chứng minh rằng: AM 2ME.
Gợi ý: Từ điều ph¶i chøng minh: AM ≤ 2ME hay AM ≤ ME + ME.
Cho ta nghĩ đến BĐT của tam giác không chặt có các cạnh bằng độ dài AM,
ME, ME và phải xuất hiện một đoạn thẳng bằng đoạn AM.
Lời giải:

F

Vẽ EF⊥ AM (F ∈ AB) ; EG ⊥
M
C
AB (G ∈ AB)
B
Tứ giác AGED là hình chữ nhật
GE = AD.
G

E
Xét ∆GEF vµ ∆BAM cã
EGF = ABM = 90O
GE = AB (cïng b»ng AD)
FEG = MAB
⇒ ∆GEF = ∆ BAM (g.c.g)
⇒ EF = AM .
A
D
AEF có AM vừa là phân giác, vừa là đờng cao trên AEF cân ở A
suy ra ME = MF.
XÐt 3 ®iĨm M, E, F ta cã EF ≤ ME + MF. Suy ra EF ≤ 2 ME (®pcm)
Trang 6


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Bài 8: Cho ABC có CD là đờng phân giác BCD của tam giác. Chứng
minh r»ng : CD2< AC.BC
Gỵi ý: Tõ kÕt ln: CD2 < AC.BC hay CD.CD < AC.BC cho ta nghĩ đến
tạo cặp tam giác đồng dạng chứa các cạnh BC, CD.
Bài giải:

Ta có ADC > B (ADC là góc ngoài tam
giác DBC).

Vẽ DE (E ∈ AC ) sao cho EDC = B
XÐt BCD và DCE có:

B = EDC ( cách dựng)

A

D

E

BCD = DCE (gt)
⇒ ∆BCD
∆ DCE (g.g).
⇒

CD CB
=
⇒ CD 2 = CE.CB
CE CD

B

C

CD2 < AC.CB
( đpcm)
Bài 9: Cho tam giác ABC có AB > BC. Các phân giác trong AD ; CE.
Chøng minh r»ng: AE > DE > DC.
Gỵi ý : NÕu DE ∩ AC ≡ M th× ADE > DAM = EAD ⇒ AE > DE vµ
DCE = ECA > CEM
DCE > CED ⇒ DE > CD.

VËy AE > DE > CD
Nh vậy, cần phải chứng minh DE cắt AC. Ta vÏ ®êng phơ DK // AC (K
∈ AB). Chỉ cần chứng minh rằng K E.
Bài giải: Vẽ DK // AC (K AB).
AD là phân giác trong ∆ABC ⇒
T¬ng tù:

AC EA
=
BC EB

AC DC
=
AB
DB

Trang 7


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận
A

AC AC
DC EA
<

<
do AB > BC ⇒

AB BC
DB EB
Tam gi¸c ABC cã DK // AC
DC KA
=
⇒
(®l Ta let).
DB KB
KA EA
KA
EA
<
⇒
+1<
+1
KB EB
KB
EB
AB AB
hay
<
⇒ KB > EB
KB EB

K
E

B
C

D

Do ®ã K ≠ E ⇒ gäi M ≡ DE ∩ AC.
Ta cã : ADE > DAM
(tÝnh chÊt gãc ngoµi tam gi¸c)
⇒ ADE > EAD.
XÐt tam gi¸c ADE cã ADE > EAD ⇒ AE > DE (1)
XÐt tam gi¸c DCE cã DCE > CED
(1), (2) ⇒ AE > DE > DC
M
(đpcm)

Bài 10 : Cho ABCcân tại A. K ; L thuộc đáy BC sao cho KAL
BAC
BC
(K ở giữu B vµ L). Chøng minh r»ng KL ≤
A
2
2
BC
2
⇔ 2KL ≤ BC Ta sẽ tạo ra một đoạn
thẳng lớn hơn hoặc bằng 2KL sau đó so
sánh đoạn thẳng ấy với BC.
Gợi ý: Từ kết luận : KL

M

Lời giải:
B

Về phía ngoµi ∆ABC dùng
∆AMC = ∆AKB
⇒ BK = CM ; AK = AM
vµ BAK = CAM.
1
Do KAL ≤ BAC ⇒ KAL ≤ KAB + LAC = LAM
2

K

L

C

Trang 8


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Xét AKL và ALM có:
AL chung
AK = AM
KAL LAM
KL LM
Mặt khác: LM ≤ LC + CM = BK + CL
⇒ KL ≤ BK + CL
⇔ KL + KL ≤ BK + CL + KL
2KL BC

1
KL BC
2
(đpcm)
Bài 11: Cho tam giác ABC đều cạnh a, điểm M bất kì trên cạnh BC.
Qua M kẻ các đờng song song với các cạnh AC ; AB, lần lợt cắt các cạnh AB
và AC tại D, E. Chứng minh rằng: DE

a
2

a
, ta nghĩ thêm các đờng vuông góc hạ từ D,
2
A
E xuống BC để có quan hệ giữa DE và a.
Gợi ý: Từ kết luận DE

Lời giải:
Kẻ DD'; EE' BC

D

( D', E' BC).
EH ⊥ DD' ( H ∈ DD').
a
Ta cã: DE ≥ EH = D'E' =
2
DÊu "=" x¶y ra M là trung điểm
của BC.

E
H

B

D'

M

E'

C

(đpcm)
* Nhận xét: Do DE

a
mà độ dài a không đổi, do đó bài toán trên có
2

thể chuyển về bài toán cực trị sau:
Trang 9


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Bài 11a: Cho tam giác ABC đều cạnh a, điểm M bất kỳ trên cạnh BC.

Qua M kẻ các đờng song song với các cạnh AC ; AB lần lợt cắt các cạnh AB ;
ACtại D ; E. Xác định vị trí của M trên cạnh BC để DE đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 12: Cho ∆ ABC cã A = 90o, ®êng cao AH. Từ 1 điểm I nằm
trong tam giác kẻ IM BC, IN ⊥ AC; IK ⊥ AB. Chøng minh r»ng: IM2 + IN2
AH 2
2
+ IK ≥
2
Gỵi ý: Tõ kÕt ln có IM2 + IN2 + IK2. Suy ra kẻ thêm các đờng vuông
góc để chuyển các tổng bình phơng về 1 bình phơng bằng định lý Pytago.

Kẻ AH BC ; IE ⊥ AH.

Lêi gi¶i:

A

K

N

E

B

I
H

M

C

Theo Pytago cã : IK2+ IN2 = IK2 + AK2 = AI2 ≥ AE2
V× IM = EH nªn IM2 + IN2 + IK2 ≥ AE2 + EH2
(AE + EH)2
AH 2
Ta cã: AE + EH ≥
=
2
2
2

2

DÊu "=" xảy ra I là trung điểm của AH.
(đpcm)
* Nhận xÐt: Do IM + IN + IK ≥
2

2

2

AH 2
2

. NhËn thấy rằng AH là đờng

cao của ABC AH không đổi. Do đó bài toán trên có thể chuyển về bài

toán cực trị sau:
Trang 10


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận


Bài 12a: Cho ABC cã A = 90o, ®êng cao AH. Tõ 1 ®iĨm I nằm
trong tam giác kẻ IM BC, IN AC; IK AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của: IM2
+ IN2 + IK2
Bài 13: Cho đoạn AB = 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By
vuông gãc víi AB. Qua trung ®iĨm M cđa AB cã 2 đờng thẳng thay đổi luôn
vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
SMCD a2
GV hớng dẫn từ điều phải chứng minh SMCD a2 mà các em đà biết diƯn
tÝch tam gi¸c b»ng mét nưa tÝch chiỊu cao víi đáy tơng ứng nên ta nghĩ đến
MH.CD
việc vẽ đờng cao MH của tam giác MCD. Ta đợc SMCD =
. Dự đoán
2
MH = a = MB.
Ta sẽ chứng minh dựa vào tính chất đờng phân giác CDB bằng cách
chứng minh DCK cân. ( CM DB K).
Lời giải :

D

Gọi CM ∩ DB ≡ K

KỴ MH ⊥ CD (H thc CD).
∆ MAC = ∆ MBK (g.c.g)
⇒ MC = MK.
∆DCK cã ®êng cac DM là trung tuyến
C
DCK cân tại D


D1 = D 2 .
Suy ra MH = MB = a.
A
1
1
SMCD = CD.MA AB.MA = a 2
2
2
(đpcm)

1

2

H

M

B

K

* Nhận xét: Bài toán trên có thể chuyển về bài toán cực trị sau:
Bài 13a: Cho đoạn AB = 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By
vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có 2 đờng thẳng thay đổi luôn
Trang 11


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Xác định vị trí của C,
D sao cho CMD có diÖn tÝch nhá nhÊt ? TÝnh diÖn tÝch nhá nhÊt đó
Sau khi luyện đợc 12 bài tập, các em đà nắm đợc cơ bản phơng
pháp vẽ các yếu tố phụ. Tôi đà nâng cao bài tập lên là đa vào các bài toán
cực trị.
Bài 14: Cho góc nhọn aOb. A là 1 điểm cố định trong aOb. M, N thay
đổi trên Oa; Ob sao cho 2OM = ON. Tìm vị trí điểm M, N để 2AM + AN đạt
giá trị nhỏ nhất.
AN
Gợi ý: Ta sẽ tạo ra một đoạn thẳng bằng
bằng cách dựng tia Ox
2
sao cho: aOx = NOA.
Lời giải:
Dựng tia Ox nằm ngoài aOb sao cho aOx = bOa.
OA
Trên tia Ox lÊy C sao cho OC =
x
2
⇒ ∆ COM

∆ AON (c.g.c)
MC OM 1
=
= ⇒ AN = 2 MC.
⇒
NA ON 2
⇒ 2AM + AN = 2AM + 2MC
C
= 2 ( AM + MC) ≥ 2AC
DÊu "=" x¶y ra ⇔ M thuộc
M
đoạn thẳng AC.
(đpcm)
O

a

A

b
N

Bài 15 : Cho OBC. Hai đờng thẳng m và m' lần lợt qua B và C song
song với nhau và không cắt các cạnh của OBC. Gọi A là giao điểm của 2 đờng OC và m, D là giao điểm của 2 đờng OB và m'. Xác định vị trí của m và
1
1
m' để
+
lớn nhất.
AB CD

Bài gi¶i:
VÏ OE // m ( E ∈ BC );
Trang 12


Kinh nghiệm giảng dạy
OH BC ( H BC).
Ta có OE // AB, theo
OE EC
=
định lý Ta let
AB BC
Chøng minh t¬ng tù
OE BE
=
cã :
CD BC
OE OE EC + BE
=
do đó
+
BC
AB CD
=

Chu Thị Thuận
m
A
m'
D

O

BC
1
1
1
=1
+
=
BC
AB CD OE

E
H
C
1
1 B

OE OH
1
1
1
Suyra :
+

( không đổi);
AB CD OH
Dấu "=" xảy ra E H m và m' vuông góc BC.
1
1

+
Vậy khi m và m' vuông góc BC thì
đạt GTLN.
AB CD

mà OE OH ⇒

Trang 13


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Bài tập luyện

Bài 1 : Cho∆ ABCcã A = 60O; AB = c ; BC = a ; CA = b. Chøng
a+b+c 3
minh r»ng:
≤ .
2a + b + c 4
Gợi ý: Kẻ BH AC (H AC) và sử dụng BĐT phụ:

1 1
4
+
a b a+b

Bµi 2 : Cho∆ ABCcã AB = AC = b ; BC = a. Đờng phân giác trong
a 5

BD của ABC có độ dài là b. Chứng minh rằng: .
b 4
Gợi ý: Kẻ BH AD (H AD) và sử dụng BĐT : (a + b)2 4ab
Bµi 3 : Cho∆ ABCcã diƯn tÝch b»ng 2006 m2. Trên hai cạnh AB ; AC
AE CD
lần lợt lấy hai ®iĨm E ; G sao cho
=
. Gäi giao ®iĨm cđa BD và CE là
EB DA
2006
M. Chứng minh rằng: SBMC
.
3
Gợi ý: Kẻ DK // EC ( K AB)
Bài 4 : Cho∆ ABCcã AB = c ; BC = a ; CA = b. Gọi độ dài đờng phân
giác trong góc A ; B ; C lần lợt là x ; y; z. Chøng minh r»ng:
2bc
a.
x<
b+c
1 1 1 1 1 1
+ + = + +
b.
x y z a b c
Gỵi ý: Kẻ BE // DA ( E CD) và sử dụng BĐT trong tam giác.
Bài 5 : M là một điểm n»m trong ∆ ABC. C¸c tia MA ; MB ; MC c¾t

Trang 14

Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

các cạnh BC ; CA ; AB t¬ng øng ë A1 ; B1 ; C1. Chøng minh r»ng:
AM
BM
CM
+
+
≥6
a.
A1 M B1 M C1 M
AM BM CM
.
.
≥8
b.
A 1 M B 1 M C 1M
Gợi ý: Kẻ MK ⊥ BC ( K ∈ BC) ; AH ⊥ BC (H BC) và sử dụng BĐT
a b
phụ: + 2 với ab > 0.
b a
Qua các bài tập đà đợc trình bày ở trên, ta có thể thấy rõ rằng: Việc vẽ
thêm đờng phụ khi chứng minh hình học không phải là một việc làm tuỳ tiện,
mà là một việc có mục đích tạo điều kiện giải đợc bài toán một cách thuận lợi.
Việc vẽ thêm đờng phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài
toán dựng hình cơ bản.
Khi tiến hành giảng dạy trong thực tế bằng phơng pháp trên, tôi nhận
thấy học sinh hứng thú và say mê học tập hơn. Học sinh hiểu rõ ý nghĩa mục

đích của việc làm, có t duy phân tích và phát triển bài toán. Qua phiếu học
tập và qua kết quả bài kiểm tra, các em đều cho rằng các em đà đợc giải toả
những thắc mắc kiểu nh "Tại sao lại có nh vậy ?" "làm thế nào để nghĩ ra vẽ
đoạn đó, hình đó ?" và các em đà hiểu vẽ thêm yếu tố phụ là sự phân tích có
căn cứ sự suy luận, dự đoán và sáng tạo.
Kết quả:
Kiểm tra sau khi thực hiện áp dụng kinh nghiệm này của 15 em học
sinh ®éi tun To¸n HSG To¸n 8
Tríc khi lun

Sau khi lun

Ph¸t hiện vấn đề

25%

85%

Kỹ năng vận dụng

55%

89%

Trình bày

65%

90%

Trang 15


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

kết luận
1. Bài học kinh nghiệm:
Việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải các bài toán hình học là một việc làm
không thể thiếu đợc. Tuy nhiên đây là một việc làm không hề dễ dàng, và chắc
chắn không thể có một phơng pháp chung cho các bài toán cần vẽ đờng phụ,
hình phụ
Học sinh hiểu rõ rằng, mục đích và cách làm xuất hiện yếu tố phụ.
Trong khi giảng dạy giáo viên cho học sinh tính cẩn thận, sáng tạo, t
duy logic.
Nắm đợc phơng pháp, biết phân tích đợc tình huống cụ thể để tiến
hành vẽ yếu tố phụ là một vấn đề khó với đa số học sinh nên giáo viên phải hết
sức thận trọng, không đợc vội vàng khi hớng dẫn học sinh.
Giáo viên phải chú ý cách trình bày của học sinh vì các em hiểu vấn đề
đấy nhng trình bày đúng, chính xác và chặt chẽ lại là cả một quá trình.
2. Điều kiện áp dụng:
Tôi báo cáo kinh nghiệm này trớc tổ KHTN đà đợc các đồng chí giáo
viên trong tổ góp ý bổ sung những phần khiếm khuyết, sau đó tôi hoàn thiện
và dạy chuyên đề các em trong đội tuyển học sinh giỏi.
3. Vấn đề còn hạn chế và tiếp tục nghiên cứu:
Nh trên đà nói không có phơng pháp chung nào để giải những bài toán
chứng minh bất đẳng thức hình học. Nên để giải những bài toán này, đòi hỏi
ngời làm toán đứng trớc một bài toán cần có sự định hớng tốt về phơng pháp
giải từ đó vận dụng các kiến thức liên quan, kỹ năng chứng minh hình học và

biến đổi đại số. Xong định hớng nh thế nào đòi hỏi cả một quá trình các em
phải làm nhiều do vậy mức độ tiếp thu ngay đợc ý tởng của thầy còn khó khăn
và cách vận dụng của các em còn nhiều lúng túng và đôi khi gặp bài toán tởng
chừng nh bế tắc bởi vì không biết bắt đầu từ đâu và không phải học sinh nào
cũng có thể tìm cách vẽ đợc ngay các yếu tố phụ thích hợp để dẫn tíi lêi gi¶i
Trang 16


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

của bài toán một cách dễ dàng. Do vậy tôi tiếp tục đi sâu hơn nhiều dạng bài
để dạy cả các em trong đội tuyển HSG khối 9.
Vậy để áp dụng đợc kinh nghiệm này giáo viên cần chuẩn bị thật chu
đáo, học sinh phải có kiến thức chắc chắn, có sự say mê và có trí tuệ từ khá trở
lên.
Mặc dù đà cố gắng rất nhiều nhng những vấn đề tôi đà trình bày ở trên sẽ
không ít khiếm khuyết mong đợc sự góp ý bổ sung.
Tôi xin chân thành cám ơn !

Văn giang, ngày 20 tháng 4 năm 2009
Ngời viết

Chu Thị Thuận

Trang 17


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

mục lục

Đặt vấn đề

........................................................

trang
1

Nội dung

.
........................................................

2

A. Một số kiến thức cơ bản

.
........................................................

2

B. Một số bài tập điển hình

.

2

........................................................

14

C. Bài tập luyện

.
........................................................
Kết luận

.
........................................................

16

.

Trang 18


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

Tài liệu tham khảo
1) Phơng pháp giải toán hình Trần Văn Kì
2) 255 Bài toán hình học chọn lọc Nguyễn Ngọc Đạm Vũ Dơng
Thuỵ

3) Toán bồi dỡng học sinh giỏi 9-Vũ Hữu Bình Tôn Thân
4) Giúp học tốt hình học 9 Nguyễn Bá Kim Nguyễn Tiến Quang.
5) Các bài toán bất đẳng thức hay và khó Nguyễn Đễ Vũ Hoàng
Lâm
6) Tuyển chọn theo chuyên đề tạp chi Toán học & Tuổi trẻ
7) Tạp chí Toán Tuổi thơ 2

Trang 19


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

ý kiến nhận xét đánh gi¸ cđa tỉ KHTN.
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
Văn Giang, ngày

tháng

năm 2009

T/M tổ KHTN

Tổ trởng

Trang 20


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

ý kiến nhận xét đánh gi¸ cđa trêng.
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
Văn Giang, ngày

tháng năm 2009

T/M HĐ KH trờng

Trang 21


Kinh nghiệm giảng dạy

Chu Thị Thuận

ý kiến nhận xét đánh giá của HĐKH phòng gd văn giang.

. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . .
Văn Giang, ngày

tháng

năm 2009

T/M HĐ KH phòng gdvăn giang

Trang 22