sử dụng số phức tổng hợp dao động

SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
A- ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Mở đầu
Trong chương trình THPT các môn học luôn có một mối liên hệ chặt chẽ biện
chứng với nhau môn học này bổ trợ tích cực cho môn học khác và ngược lại. Đặc
biệt là mối quan hệ chặt chẽ biện chứng giữa Toán học và Vật lý học đây là hai
môn học không thể tách rời những thành tựu của Toán học được ứng dụng trong
khoa học Vật Lý đồng thời những phát minh của Vật lý thúc đẩy sự phát minh của
Toán học. Trên cơ sở đó tôi xin đề cập đến một vấn đề nhỏ của việc ứng dụng toán
trong Vật Lý là:
“Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hoà
cùng phương cùng tần số”
Với mong muốn được trao đổi với các đồng nghiệp trong giảng dạy. Đặc biệt mong
muốn phát huy tư duy ứng dụng sáng tạo, tính chủ động trong học tập của học sinh.
II. Thực trạng của vấn đề
Bài toán tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số được SGK Vật
Lý lớp 12 đưa ra ở chương 2 và phương pháp giải là sử dụng giản đồ véc tơ . Sau
khi đã được học số phức thì học sinh có thể giải quyết vấn đề trên bằng việc ứng
dụng số phức qua đó vấn đề sẽ được giải quyết đơn giản.
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí thuyết
* Khái niệm về số phức
+ Số phức có dạng: x = a + bi ( a,b
∈
R)
Trong đó a là phần thực, b là phần ảo; i
2
= -1
+ Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức
Trong mặt phẳng tọa độ x0y điểm M(a,b)

Biểu diễn cho số phức x = a +bi hay
M

0
biểu diễn cho
Số phức trên
Mbax

0
22
=+=
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
1
0
x
y
a
b
M
ϕ
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
+ Dạng lượng giác của số phức
x = a + bi = r(cosϕ + i.sinϕ)



ϕ=
ϕ=
sinrb

cosra

với
22
bar +=
,
a
b
=
ϕ
tan
Theo công thức Ơle cosϕ + isinϕ =
ϕi
e

⇒ x = a + bi = r(cosϕ + i.sinϕ)= r
ϕi
e

* Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức
Hàm điều hoà: x = Acos(ωt +ϕ) biểu diễn dưới
dạng véc tơ quay tại thời điểm t = 0:





=ϕ
=
)x0,A(

AA
A



ta thấy



ϕ=
ϕ=
sinAb
cosAa
Vậy t = 0 hàm điều hoà có thể biểu diễn bằng số phức
x = Acos(ωt + ϕ)
→←
=0t

ϕ
ϕϕ
i
eAiAbiax .)sin(cos =+=+=
với a = Acosϕ, b = Asinϕ ,
a
b
tan =ϕ
,
22
baA +=
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng

2
x
ϕ
y
a
b
0
A

SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
* Tổng,hiệu các số phức
Cho các số phức
x
1
= a
1
+ b
1
i
x
2
= a
2
+ b
2
i
x
3
= a

3
+ b
3
i

x
n
= a
n
+ b
n
i
Tổng của các số phức trên:
x = x
1
+x
2
+x
3
+ +x
n
có dạng x = a + bi
⇔




++++=
++++=
n

n
bbbbb
aaaaa


321
321
Hiệu của các số phức trên:
x’ = x
1
- x
2
- x
3
x
n
có dạng x’ = a’ + b’i
⇔




−−−=
−−−=
n
n
bbbbb
aaaaa
'
'

321
321
2. Sử dụng số phức để tổng hợp các dao động điều hòa
cùng phương ,cùng tần số
* Trường hợp vật tham gia đồng thời hai dao động

)(
111
ϕω
+= tCosAx

)(
222
ϕω
+= tCosAx
Chúng ta tìm biểu thức tổng hợp của chúng

21
xxx +=
Phương trình tổng hợp có dạng

)(
ϕω
+= tACosx
Bằng phương pháp sử dụng số phức Ta có

)(
11111
1
ϕϕ

iSinCosAibax +=+=

)(
22222
2
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
3
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
Khi đó phương trình tổng hợp

)(
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=
Trong đó

211
ϕϕϕ
ACosCosAACos +=

2211
ϕϕϕ
SinASinAASin +=
Từ đây ta tìm được
A
và
ϕ
*Trường hợp vật tham gia đồng thời nhiều dao động

)(
111
ϕω
+= tCosAx


)(
222
ϕω
+= tCosAx

)(
333
ϕω
+= tCosAx


)(
nnn
tCosAx
ϕω
+=

Chúng ta tìm biểu thức tổng hợp của chúng

n
xxxxx ++++=
321
Phương trình tổng hợp có dạng

)(
ϕω
+= tACosx
Bằng phương pháp sử dụng số phức Ta có

)(
11111
1
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=

)(
22222
2
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=

)(
33333
3
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=


)(
nnnnn
n
iSinCosAibax
ϕϕ

+=+=
Khi đó phương trình tổng hợp

)(
ϕϕ
iSinCosAibax +=+=
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
4
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
Trong đó

nn
CosACosACosACosAACos
ϕϕϕϕϕ
++++=
332211

nn
SinASinASinASinAASin
ϕϕϕϕϕ
++++=
332211
Từ đây ta tìm được
A
và
ϕ
3. Các bài toán ví dụ
Ví dụ 1: Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương cùng tân số với
phương trình

)cm)(
2
t2cos(3x),cm)(t2cos(x
21
π
−π=π+π=
. Viết phương trình
dao động tổng hợp
Giải:
Pương trình dao động tổng hợp có dạng

)2(
ϕπ
+= tACosx
cm
Trong đó

1)
2
(3 −=−+=
π
πϕ
CosCosACos

3)
2
(3 −=−+=
π
πϕ
SinSinASin

Suy ra A=2cm;
3
2
π
ϕ
−=
Vậy phương trình dao động tổng hợp là:
)
3
2
t2cos(2x
π
−π=
(cm)
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
5
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần
số với phương trình:
)
2
tcos(4x
1
π
−π=
cm,
)
2
tcos(6x

2
π
+π=
cm,
)tcos(2x
3
π=
,
cm. Viết phương trình dao động tổng hợp
Giải:
Phương trình dao động tổng hợp có dạng

)(
ϕπ
+= tACosx
cm
Trong đó

202
2
6)
2
(4 =++−= CosCosCosACos
ππ
ϕ

202
2
6)
2

(4 =++−= CosSinSinASin
ππ
ϕ
Suy ra
4
;22
π
ϕ
== cmA
Vậy phương trình dao động tổng hợp:
)
4
tcos(22x
π
+π=
cm
Ví dụ 3: Tìm dao động tổng hợp của bốn dao động cùng phương sau:
)cm)(
6
5
t20cos(8x),cm)(
3
t20cos(34x
)cm)(
2
t20cos(36x),cm)(
6
t20cos(10x
43
21

π
+π=
π
+π=
π
−π=
π
−π=
Giải:
Phương trình dao động tổng hợp có dạng

)20(
ϕπ
+= tACosx
cm
Trong đó
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
6
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”

33
6
5
8
3
34)
2
(36)
6

(10 =++−+−=
ππππ
ϕ
CosCosCosCosACos

365
6
5
8
3
34)
2
(36)
6
(10 −=++−+−=
ππππ
ϕ
SinSinSinSinASin
Suy ra
radcmA 8.0;49.7 ==
ϕ
Vậy phương trình dao động tổng hợp là:
)cm)(8.0t20cos(49,7x −π=
Ví dụ 4: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
số với phương trình
)cm)(
2
tcos(ax
1
π

+π=
và x
2
. Biết phương trình dao động tổng
hợp
)cm)(
6
tcos(a2x
π
+π=
Xác định dao động thành phần x
2
Giải:
Ta có x
2
= x – x
1

Phương trình dạng
)(
222
ϕπ
+= tCosAx
Trong đó

3
26
2
22
aaCosaCosCosA =−=

ππ
ϕ

0
26
2
22
=−=
ππ
ϕ
aSinaSinSinA
Suy ra
0;3
2
==
ϕ
cmaA
Vậy
)tcos(3ax
2
π=
cm
Ví dụ 5: Hai chất điểm M
1
, M
2
chuyển động trên hai đường thẳng song song rất
gần nhau (coi như trùng nhau và trùng với trục Ox) có phương trình lần lượt là
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
7

SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
).cm)(t2cos(33x),cm)(
2
t2cos(3x
21
π=
π
−π=
Xác định khoảng cách lớn nhất
giữa hai chất điểm trong quá trình dao động.
Giải:
Khoảng cách giữa hai điểm là
1221
xxxMM −=∆=
Suy ra

cmtACosx )2(
ϕπ
+=∆
Với
33033)
2
(3 −=−−= CosCosACos
π
ϕ

3033)
2
(3 −=−−= SinSinASin

π
ϕ
Ta tính được :
6
;6
π
ϕ
== cmA
vậy
)
6
t2cos(6MM
21
π
+π=
(cm) ⇒ khoảng cách lớn nhất bằng 6 cm
4. Kết quả
Trong quá trình dạy học cho học sinh ôn thi Tốt nghiệp và ôn thi đại học, cao đẳng
Tôi đã đưa vấn đề trên vào giảng dạy kết quả cho thấy học sinh làm bài tốt hơn ,kỷ
năng phối hợp giữa các môn học trong học tập của học sinh được nâng lên,phát huy
khả năng sáng tạo trong tư duy khoa học của học sinh.

C.KẾT LUẬN
Trên đây tôi đã giới thiệu với các em học sinh phương pháp vận dụng số phức để
tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương cùng tần số. Nhằm giúp các em học
sinh có cách nhìn sáng tạo khi vận dụng kiến thức toán để làm bài tập Vật Lý.
Thông qua đó giúp các em phát huy tốt hơn nữa kỷ năng Toán học , Vật Lý và đặc
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
8
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
biệt qua đây tôi muốn các em học sinh nhận ra được mối quan hệ biện chứng giữa
các môn học, giúp các em trong quá trình học không tách rời mối liên quan giữa
các môn học mà nghiên cứu môn học này cần dựa trên các môn học khác nhằm
thúc đẩy tư duy của các em một cách toàn diện,khi học bài không vận dụng kiến
thức một cách dập khuôn máy móc,phát huy khả năng kế thừa và kỷ năng vận dụng
kiến thức trong từng giai đoạn có tính sáng tạo. Từ đó đạt kết quả cao trong kỳ thi
Tốt nghiệp THPT và kỳ thi chuyên nghiệp,đại học.
Do khả năng có hạn, nên chắc chắn đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu
sót. Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô giáo. Và hy vọng rằng, đề tài
này sẽ là tài liệu giúp các em học sinh yêu thích môn Vật lý hơn và qua đó phát huy
hơn nữa tư duy sáng tạo của học sinh trong nghiên cứu và lĩnh hội kiến thức khoa
học ./.
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 30 tháng5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác
Người viết
Chu Đình Đức
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
9
SKKN: “SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG, CÙNG TẦN SỐ”
GV: Chu Đình Đức - Tổ Vật Lý – Trường THPT Lương Đắc Bằng
10