Trọn bộ Hệ thống lý thuyết công thức Vật lý ôn thi Đại học năm 2015

HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

1








1. KHÁI NIỆM DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Dao ñộng là chuyển ñộng có giới hạn trong không gian lặp ñi lặp lại quanh một vị trí cân bằng.
Dao ñộng tuần hoàn là dao ñộng có trạng thái lặp lại như cũ sau khoảng thời gian bằng nhau.
Dao ñộng ñiều hòa là dao ñộng trong ñó li ñộ của vật là một hàm cosin( hay sin) của thời gian.
2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.
Là nghiệm của phương trình vi phân:
2
'' . 0
x x
ω
+ =

Có dạng như sau:
cos( )( )
x A t cm
ω ϕ
= +

Trong ñó:

x
: Li ñộ
(
)
cm
, li ñộ là ñộ dời của vật so với vị trí cân bằng

A
: Biên ñộ
(
)
cm
( li ñộ cực ñại)

ω
: vận tốc góc( rad/s)

t
ω ϕ
+
: Pha dao ñộng ( rad/s )

ϕ
: Pha ban ñầu ( rad).

;
A
ω

là những hằng số dương;
ϕ
phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa ñộ.
3. PHƯƠNG TRÌNH GIA TỐC, VẬN TỐC.
a. Phuơng trình vận tốc
(
)
/
v cm s


' .sin( )( / )
v x A t cm s
ω ω ϕ
= = − +
=
os( )( / )
2
A c t cm s
π
ω ω ϕ
+ +


ax
min
.
.
m
v A

v A
ω
ω
=


= −

(
ax
m
v
khi vật qua VTCB theo chiều dương;
min
v
khi vật qua VTCB theo chiều âm
Nhận xét: Trong dao ñộng ñiều hoà vận tốc sớm pha hơn li ñộ góc
2
π
.
b. Phuơng trình gia tốc a
2
( / )
m s


2 2 2
' . os( )( / ) .
a v A c t cm s x
ω ω ϕ ω

= = − + = −

=
2
os( )( / )
A c t cm s
ω ω ϕ π
+ +


2
ax
2
min
.
.
m
a A
a A
ω
ω

=


= −


( Gia tốc cực ñại tại biên âm, cưc tiểu tại biên dương)
Nhận xét: Trong dao ñộng ñiều hoà gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc

π
2
và nguợc pha với li ñộ
4. CHU KỲ, TẦN SỐ.
A. Chu kỳ:
2
( )
t
T s
N
π
ω
= =
Trong
ñó: t là thời gian(s); N là số dao ñộng
“ Chu kỳ là thời gian ñể vật thực hiện ñược một dao ñộng hoặc thời gian ngắn nhất ñể trạng thái dao ñộng lặp lại như cũ.”
B. Tần số:
( )
2
N
f Hz
t
ω
π
= =

“T
ần số là số dao ñộng vật thực hiện ñược trong một giây( số chu kỳ vật thực hiện trong một giây).”

5. CÔNG THỨC ĐỘC LẬP THỜI GIAN:

+
2
2
cos( ) os ( ) (1)
x
x A t c t
A
ω ϕ ω ϕ
 
= + ⇒ + =
 
 

CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG CƠ
******
BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

2

+
2
2
. sin( ) sin ( ) (2)
v
v A t t
A

ω ω ϕ ω ϕ
ω
 
= − + ⇒ + =
 
 

+
2
2 2
2
. cos( ) os ( ) (3)
a
a A t c t
A
ω ω ϕ ω ϕ
ω
 
= − + ⇒ + =
 
 


Ta lại có:
2 2
os ( ) sin ( ) 1
c t t
ω ϕ ω ϕ
+ + + =

Lấy (1) +(2) ta có:
2
2 2
2
2 2
2
2
ax
( )
1
.
1( )
m
v
A x I
x v
A A
x v
II
A v
ω
ω

= +


   
+ = ⇒

   

 
   
 

+ =
 
 

 
 


Lấy (2) + (3) ta có:
2 2
2
4 2
2 2
2 2
2
ax ax
( )
1
. .
1( )
m m
a v
A III
v a
A A
v a

IV
v a
ω ω
ω ω

= +


   
+ = ⇒

   
   
   

+ =
   

   


6. TỔNG KẾT
a. Mô hình dao ñộng


A

CB
1
A

+





V < 0
x > 0

V > 0

(+)
A - A
a < 0
a > 0
V T


CB

Xét x
Xét V
Xét a
x < 0

V

max

a = 0

V

min


Nhận xét:
+ Một chu kỳ dao ñộng vật ñi ñược quãng ñuờng là
4
S A
=

+ Chiều dài quĩ ñạo chuyển ñộng của vật là
2
L A
=

+ Vận tốc ñổi chiều tại vị trí biên, ñạt cực ñại tại CB theo chiều dương, cực tiểu tại CB theo chiều âm
+ Gia tốc ñổi và luôn hướng về vị trí cân bằng. Gia tốc cực ñại tại vị trí biên âm, cực tiểu tại vị trí biên dương,
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

3




I. BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG
Bước 1: Phương trình dao ñộng có dạng

cos( )( )
x A t cm
ω ϕ
= +

Bước 2: Giải
; ;
A
ω ϕ

+ Tìm A:

2 2 2 2
2
ax ax ax
2 2 4 2
ax
4 2
m m m
m
S L v a v v a v
A x
a
ω ω ω ω ω
= = = = = = + = +

Trong ñó:
+ L là chiều dài quỹ ñạo của dao ñộng
+ S là quãng ñường vật ñi ñược trong một chu kỳ
+ Tìm

ω
:
2
ax ax ax
2 2
ax
2
2
m m m
m
a v a
v
f
T A A v A x
π
ω π
= = = = = =
−

+ Tìm
ϕ
:Vòng luợng giác (VLG)

- A A
v < 0
v > 0



ϕ = 0

- A
A

VTB( +) ⇒
⇒⇒
⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = 0 rad


A/2( -)
- A
A
ϕ = π/3


A/2 ( -) ⇒
⇒⇒
⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = π
ππ
π/3 rad

- A
A A/2 (+)
ϕ = - π/3

A/2 ( +) ⇒
⇒⇒

⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = - π
ππ
π/3 rad

- A
A
- A/2 (+)
ϕ = - 2π/3

- A/2 (+) ⇒
⇒⇒
⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = - 2π
ππ
π/3 rad


- A
A
A 3 /2 (+)

ϕ
= -
π
/6

A. 3 /2 ( +) ⇒

⇒⇒
⇒ ϕ
ϕϕ
ϕ = -
π
ππ
π
6
rad
Buớc 3: Thay kết quả vào phuơng trình.
II. ĐỒ THỊ DAO ĐỘNG

x
t

A

-A

Đồ thị của li ñộ theo thời gian
ñồ thị x - t
Đồ thị của vận tốc theo thời gian
ñồ thị v - t
v

t

Aω
ωω
ω

-Aω
ωω
ω

Đồ thị của gia tốc thời gian
ñồ thị a - t
a
x
A
-A

A .
ω
ωω
ω
2



- A .
ω
ωω
ω
2



x
v

A. ω
- A.
ω

A - A

v
a
A. ω
2


- A. ω
2



- A. ω
- A.
ω


Đồ thị của gia tốc theo li ñộ
ñồ thị a -x
Đồ thị của vận tốc theo li ñộ
ñồ thị x -v
Đồ thị của gia tốc theo vận tốc
ñồ thị v -a
t

ω
ωω
ω
2

A

ω
ωω
ω
2

A

a

BÀI 2: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

4





1. MỐI LIỆN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA.

(
)
0
t s
=
x

A

A
ϕ

Tại
(
)
0
t s
=
ta có:
os . os
x
c x Ac
A
ϕ ϕ
=
⇒
=

(
)
0
t s
=
x
A

ω

.
t
ω

(
)
t s

ϕ


Tại
(
)
t s
ta có:
( )
os

x
c t
A
ω ϕ
+ =

(
)
cosx A t
ω ϕ
⇒ = +

Kết luận: Ta có thể coi hình chiếu của một vật chuyển ñộng tròn ñều lên trục cos là một dao ñộng ñiều hòa.

2. ỨNG DỤNG 1: BÀI TOÁN TÌM THỜI GIAN NHỎ NHẤT VẬT ĐI TỪ M ĐẾN N

Bước 1: Xác ñịnh góc
ϕ
∆

Bước 2:
. .
2 2 . 360
o
o
T T
t
f
ϕ ϕ ϕ ϕ
ω π π

∆ ∆ ∆ ∆
∆ = = = =

Trong ñó:
-
ω
: Là tần số góc
-
T
: Chu kỳ
-
f
: Là tần số dao ñộng
-
ϕ
: là góc tính theo rad;
o
ϕ
là góc tính theo ñộ


(
)
1
t s

M

A

ω

.
t
ϕ ω
∆ = ∆
(
)
2
t s

N





ỨNG DỤNG 2: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH QUÃNG ĐƯỜNG.
Loại 1: Bài toán xác ñịnh quãng ñường vật ñi ñược trong khoảng thời gian
t T
∆ <
kể từ ban ñầu.
BÀI 3: ỨNG DỤNG VÒNG LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA – Phần 1
BÀI 4: ỨNG DỤNG VÒNG LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA – Phần 2
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

5

Bước 1: Tính
; .
t
ϕ ϕ ω
∆ ∆ = ∆

Bước 2: Xoay thêm góc
ϕ
∆
kể từ vị trí
(
)
0
t s
=

Bước 3: Tính quãng ñường bằng cách lấy hình chiếu trên trục cos.

(
)
1
t s
M
A
ω

.

t
ϕ ω
∆ = ∆

(
)
2
t s

N



Loại 2: Bài toán xác ñịnh quãng ñường vật ñi ñược trong khoảng thời gian từ
1
t
ñến
2
t
.
Bước 1: Tìm
(
)
2 1
;
t t t t
∆ ∆ = −
;
2
T

π
ω
=

Bước 2:
3 2 1 3
. .
t
t nT t t t n T t
T
∆
⇒
∆ = +
⇒
= + +

Bước 3: Tìm quãng ñường.
3
.4
S n A S
= +

Bước 4: Tìm
3
S
;
3
S
là quãng ñường ứng với thời gian
3

t
kể từ
1
t

Bước 5: thay
3
S
vào S ñể tìm ra ñược quãng ñường.


A
B
n.T
⇒
⇒⇒
⇒
S

1
= n.4.A
t

3

S

3

Loại 3: Bài toán quãng ñường cực ñại - cực tiểu:
ax min
m
S S
−
.
Dạng 1: Bài toán xác ñịnh
ax min
m
S S
−
vật ñi ñược trong khoảng thời gian
2
T
t t
 
∆ ∆ <
 
 


A - A
S

max




A. Tìm S

max
:
ax
2.Asin
2
m
S
ϕ
=
với
(
)
.
t
ϕ ω
= ∆



A - A
S

min




B. Tìm Smin
min

2 . os
2
S A A c
ϕ
 
= −
 
 
Với
(
)
.
t
ϕ ω
= ∆


Dạng 2: Tìm
ax min
m
S S
−
vật ñi ñược trong khoảng thời gian
t
∆
với
2
T
T t
 

> ∆ >
 
 

www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

6



A - A

S

max



A. Tìm
ax
m
S

ax
2
2 cos
2

m
S A A
π ϕ
− ∆
 
= +
 
 
Với
(
)
.
t
ϕ ω
∆ = ∆



A - A
S

min



B. Tìm
min
S

min

2
4 2.Asin
2
S A
π ϕ
− ∆
= −
Với
(
)
.
t
ϕ ω
∆ = ∆

BẢNG TÍNH NHANH CÁC GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI - CỰC TIỂU CỦA QUÃNG ĐƯỜNG

t
∆

6
T

4
T

3
T

2

T

2
3
T

3
4
T

5
6
T

T

ax
m
S

A

2
A

3
A

2
A

2
A A
+

2 2
A A+

2 3
A A
+

4
A

min
S

2 3
A A
−

2 2
A A−

A

2
A

4 3
A A
−

4 2
A A−

3
A

4
A


Dạng 3: Tìm
ax min
m
S S
−
vật ñi ñược trong khoảng thời gian
t
∆
với
(
)
t T
∆ >

+)
ax

m
S
:
*
.
t nT t
∆ = +
( )
*
ax
ax
.4
m
m t
S n A S⇒ = +

+)
*
min
; .
S t nT t
∆ = +
( )
*
min
min
.4
t
S n A S
⇒

= +






ỨNG DỤNG 3: BÀI TOÁN TÍNH TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH - VẬN TỐC TRUNG BÌNH
DẠNG 1: TỐC ĐỘ TRUNG BÌNH.
A. Tổng quát.

S
v
t
=
∆
Trong ñó: S là quãng ñường ñi ñược,
t
∆
là khoảng thời gian ñể ñi quãng ñường S
B. Bài toán tính tốc ñộ trung bình cực ñại của vật trong khoảng thời gian
t
∆
.

ax
ax
m
m
S

v
t
=
∆

C. Bài toán tính tốc ñộ trung bình nhỏ nhất vật trong khoảng thời gian
t
∆
.

min
min
S
v
t
=
∆


DẠNG 2: BÀI TOÁN TÍNH VẬN TỐC TRUNG BÌNH.

tb
x
v
t
∆
=
∆
Trong ñó:
x

∆
là ñộ biến thiên ñộ dời của vật:
2 1
x x x
∆ = −


t
∆
là ñộ biến thiên thời gian:
2 1
t t t
∆ = −

ỨNG DỤNG 4: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM VẬT QUA VỊ TRÍ M CHO TRƯỚC.
BÀI 5: ỨNG DỤNG VÒNG LƯỢNG GIÁC
TRONG GIẢI TOÁN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA – Phần 3
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

7

Ví dụ: Một vật dao ñộng ñiều hòa với phương trình
( )
4cos 6
3
x t cm
π

π
 
= +
 
 
.
A. Xác ñịnh thời ñiểm vật qua vị trí
(
)
2
x cm
=
theo chiều dương lần thứ 2 kể từ thời ñiểm ban ñầu.

Hướng dẫn:

- Vật qua vị trí
(
)
2( )
x cm
= +


6 .2
3 3
t k
π π
π π
+ = − +

2
6 .2
3
t k
π
π π
⇒
= − +

1
0
9 3
k
t
= − + ≥
vậy
(
)
1;2;3
k =
( vì
0( )
t s
≥
)

-
4
4 2 (+)

ϕ
= -
π
/3

-Vật ñi qua lần thứ 2, ứng với
2
k
=


( )
1 2 5
9 3 9
t s
⇒
= − + =

B. Thời ñiểm vật qua vị trí
(
)
2 3
x cm
= theo chi
ều âm lần 3 kể từ
(
)
2
t s

=
H
ướng dẫn:
- Vật qua vị trí
(
)
2 3
x cm
=
theo chiều âm:

6 .2
3 6
t k
π π
π π
⇒
+ = +
6 .2
6
t k
π
π π
⇒
= − +

1
36 3
k
t

⇒
= − +
Vì
(
)
2
t s
≥


1
2
36 3
k
t
⇒
= − + ≥
vậy
(
)
7;8;9
k =


- 4
4
2 3

ϕ
=

π
/6

- Vật ñi qua lần thứ 3, ứng với
9
k
=
( )
1 9
2,79
36 3
t s
⇒ = − + =

ỨNG DỤNG 5: BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH SỐ LẦN VẬT QUA VỊ TRÍ
M
X
CHO TRƯỚC TRONG KHOẢNG
THỜI GIAN “t”
Ví dụ: Một vật dao ñộng ñiều hòa với phương trình
( )
6cos 4
3
x t cm
π
π
 
= +
 
 

. Trong một giây ñầu tiên vật qua vị trí
cân bằng bao nhiêu lần:
Hướng dẫn:
Cách 1: Đếm trên ñường tròn lượng giác
Mỗi dao ñộng vật qua vị trí cân bằng 2 lần ( 1 lần theo chiều âm - 1 lần
theo chiều dương)
1 s ñầu tiên vật thực hiện ñược số dao ñộng là:
( )
2
2
f Hz
ω
π
= =

⇒ Số lần vật qua vị trí cân bằng trong s ñầu tiên là:
2.
n f
=
=4.
Vật qua vị trí cân bằng 4 lần.


- A
A
t = 0

Cách 2: Gi
ải lượng giác
Vật qua vị trí cân bằng

www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

8


4 .
3 2
t k
π π
π π
⇒ + = +

4 .
6
t k
π
π π
⇒ = +

⇒
1
24 4
k
t
= +

Trong một giây ñầu tiên

(
)
(
)
0 1
t s
≤ ≤


1
0 1
24 4
k
t
≤ = + ≤
0,167 3,83
k
⇒
− ≤ ≤
(
)
0;1;2;3
k⇒ =
Vậy vật qua vị trí cân bằng 4 lần.



1. CẤU TẠO

A

CB
A
−
K

m
+


+ Gồm một lò xo có ñộ cứng K
+Vật nặng khối lượng
2. THÍ NGHIỆM CON LẮC LÒ XO TRÊN MẶT PHẲNG NGANG.
- Thí nghiệm ñược thực hiện trong ñiều kiện chuẩn, không ma sát với môi trường.
- Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng một khoảng A và thả không vận tốc ñầu, ta có:
Phương trình dao ñộng có dạng như sau:
cos( )( )
x A t cm
ω ϕ
= +

Trong ñó:

x
: Li ñộ, li ñộ là khoảng cách từ vật ñến vị trí cân bằng

A
: Biên ñộ ( li ñộ cực ñại)

ω

: vận tốc góc( rad/s)

t
ω ϕ
+
: Pha dao ñộng ( rad/s )

ϕ
: Pha ban ñầu ( rad).

;
A
ω
là những hằng số dương;
ϕ
phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa ñộ.

3. CHU KỲ - TẦN SỐ
A. Tần số góc -
(
)
/
rad s
ω


( )
/
ω
=

K
rad s
m
Trong ñó: K là ñộ cứng của lò xo
(
)
/
N m
; m là khối lượng của vật
(
)
kg

B. Chu kỳ -
(
)
T s
: Là thời gian ñể con lắc thực hiện một dao ñộng

( )
2
2
π
π
ω
= = =
m t
T s
K N

C. Tần số -
(
)
f Hz
: Là số dao ñộng con lắc thực hiện ñược trong 1s
⇒
⇒⇒
⇒
( )
1
2 2
ω
π π
= = =
K N
f Hz
m t


4. LÒ XO TREO THẲNG ĐỨNG.
BÀI 6: CON LẮC LÒ XO
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

9


C B

0
ℓ

∆
ℓ


A
−

A

P


D H
F


Tại vị trí cân bằng:
dh
P F
=

2
.
mg K
K g
m

K g
m
ω
ω
⇒ = ∆
⇒ = =
∆
⇒ = =
∆
ℓ
ℓ
ℓ

⇒
( )
2 2
m t
T s
K g N
π π
∆
= = =
ℓ


⇒
( )
1 1
2 2
K g N

f Hz
m t
π π
= = =
∆
ℓ

5. BÀI TOÁN GHÉP VẬT
Bài 1: Lò xo K gắn vật nặng có khối lượng là
1
m
thì dao ñộng với chu kỳ
1
T
. Còn khi gắn vật khối lượng
2
m
thì dao
ñộng với chu kỳ
2
T
.
a. Xác ñịnh chu kỳ dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
m m m
= +

b. Xác ñịnh chu kỳ dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2

n
m m m m
= + + +

c. Xác ñịnh chu kỳ dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
. .
m a m b m
= +

Hướng dẫn:
Ta có:
1 2
1 2
2 ; 2
m m
T T
K K
π π
= =

a. Khi
1 2
m m m
= +
1 2
2
m m
T
K

π
+
⇒ =

(
)
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 2
4 4 4
π π π
+
⇒ = = + = +
m m
m m
T T T
K K K

⇒
2 2
1 2
T T T
= +

b. Khi
1 2

n
m m m m

= + + +
1 2

2
n
m m m
T
K
π
+ + +
⇒
=

(
)
1 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
1 2

4 4 4 4
π π π π
+ + +
⇒ = = + + + = + + +
n
n
n
m m m
m
m m

T T T T
K K K K

⇒
2 2 2
1 2

n
T T T T
= + + +

c.Khi
1 2
. .
m a m b m
= +
1 2
2
am bm
T
K
π
+
⇒ =

(
)
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2

1 2

. .
4 4 4 . .
π π π
+ + +
⇒ = = + = +
n
m m m
a m b m
T a T bT
K K K

⇒
2 2
1 2
. .
T aT bT
= +

Bài 2: Lò xo K gắn vật nặng có khối lượng là
1
m
thì dao ñộng với tần số
1
f
. Còn khi gắn vật khối lượng
2
m
thì dao ñộng

với tần số
2
f
.
a. Xác ñịnh tần số dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
m m m
= +

b. Xác ñịnh tần số dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2

n
m m m m
= + + +

c. Xác ñịnh tần số dao ñộng của vật khi gắn vật có khối lượng
1 2
. .
m a m b m
= +

H
ướng dẫn:
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

10

Ta có:
1 2
1 2
1 1
. ; .
2 2
K K
f f
m m
π π
= =

a. Khi
1 2
m m m
= +

2 2
2
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1
. 2. 4 . 4
2
π π π
π
   
 

+
⇒ = ⇒ = ⇒ = + = + = +
   
 
+
 
   
m m m mK
f T T
m m f K f K K f f

⇒
1 2
2 2
1 2
.f f
f
f f
=
+

b.Khi
1 2

n
m m m m
= + + +

2
2 2 2

1 2
1 2
1 2

1 1 1
. 2. 4 . 4 4
2
π π π π
π
 
+ + +
⇒ = ⇒ = ⇒ = + + +
 
+ + +
 
n n
n
m m m m
m mK
f
m m m f K f K K K

⇒
2
2 2
2
2 2 2
1 2
1 2
1 1 1 1

 
   
 
= + + + = + + +
 
   
 
 
   
 
n
n
T T T
f f f f

d. Khi
1 2
. .
m a m b m
= +

2
2 2
1 2 1 2
1 2
. .
1 1 1
. 2. 4 . 4
2 . .

π π π
π
 
+
⇒ = ⇒ = ⇒ = +
 
+
 
am bm a m b m
K
f
a m b m f K f K K

⇒
2 2
2
2 2
1 2
1 2
1
. .
   
 
= + = +
   
 
 
   
a b
a T bT

f f f




1. CẮT LÒ XO
+ Cho lò xo ban ñầu có ñộ cứng
o
K
và ñộ dài
o
ℓ
, cắt lò xo làm n ñoạn.
Ta có công thức tổng quát sau:
1 1 2 2
. . . . .
o o n n
K K K K E S
= = = = =
ℓ ℓ ℓ ℓ


+ Trường hợp cắt làm hai ñoạn:
1 1 2 2
. . .
o o
K K K= =
ℓ ℓ ℓ

1 2

2 1
K
K
⇒ =
ℓ
ℓ

Nhận xét: Lò xo có ñộ dài tăng bao nhiêu lần thì ñộ cứng giảm ñi bấy
nhiêu lần và ngược lại.

l

o
, K

o

l

1
, K

1

L

2
, K

2

L

3
, K

3



2. GHÉP LÒ XO
a. Trường hợp ghép nối tiếp:



K

1

K

2

m




K

1

K

2





BÀI 7: CẮT - GHÉP LÒ XO
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

11
Công thức xác ñịnh ñộ cứng có bộ lò xo
1 2
1 1 1 1

n
K K K K
= + + +

Nếu có 2 lò xo ghép nối tiếp:
1 2
1 1 1
K K K
= +

1 2
1 2
.
K K
K
K K
⇒ =
+


Công thức xác ñịnh chu kỳ:
(
)
T s


( )
( )
1 2
1 2
2 2
.
b
m K K
m
T s
K K K
π π
+

= =

Công thức xác ñịnh tần số:
(
)
f Hz

( )
( )
1 2
1 2
1 1 .
2 2
b
K K K
f Hz
m m K K
π π
= =
+


b. Trường hợp ghép song song


K

1

K

2



K

1

K

2





K

1

K

2

Công thức xác ñịnh ñộ cứng của bộ lò xo:
1 2

b n
K K K K
= + + +

Nếu có 2 lò xo ghép song song:
1 2
b
K K K
= +


Công thức xác ñịnh chu kỳ:
( )
1 2
2 2
b
m m
T s
K K K
π π
= =
+

Công thức xác ñịnh tần số:
( )
1 2
1 1

2 2
K K K
f Hz
m m
π π
+
= =



Bài toán 1: Một vật khối lượng m, nếu ñược gắn vào lò xo 1 có ñộ cứng
1
K
thì chu kỳ dao ñộng là
1
T
. Nếu ñược
gắn lò xo 2 có ñộ cứng là
2
K
thì chu kỳ dao ñộng là
2
T
.
a. Nếu 2 lò xo mắc nối nối tiếp, chu kỳ dao ñộng của bộ lò xo T là bao nhiêu?
b. Nếu 2 lò xo mắc song song, chu kỳ dao ñộng của bộ lò xo T là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Ta có:
1 2
1 2

2 ; 2
m m
T T
K K
π π
= =

a. Khi hai lò xo mắc nối tiếp

( ) ( )
1 2 2 2 1 2 2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 2 1
2 4 4 . 4
. .
m K K m K K
m m
T T T T
K K K K K K
π π π π
+ +
=
⇒
= = + = +
⇒
2 2 2
1 2
T T T
= +

b. Khi hai lò xo mắc song song

( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 1 1
2
2
2
K K
m
T
K K T m
m
K K
π
π
π
+
= ⇒ = =
+
+

2 2
2 2
1 2
2 2

1 2
1 1 1 1 1 1
. .
4 4
K K
T m m T T T
π π
   
   
⇒ = + ⇒ = + ⇒
   
   
   
   
1 2
2 2
1 2
.T T
T
T T
=
+

Bài toán 2: M
ột vật khối lượng m, nếu ñược gắn vào lò xo 1 có ñộ cứng
1
K
thì t
ần số dao ñộng là
1

f
. N
ếu ñược gắn
lò xo 2 có ñộ cứng là
2
K
thì t
ần số dao ñộng là
2
f
.
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

12
c. Nếu 2 lò xo mắc nối nối tiếp, tần số dao ñộng của bộ lò xo
f
là bao nhiêu?
d. Nếu 2 lò xo mắc song song, tần số dao ñộng của bộ lò xo
f
là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Ta có:
1 2
1 2
1 1
;
2 2

K K
f f
m m
π π
= =

c. Khi hai lò xo m
ắc nối tiếp

( )
1 2
1 2
1 .
2
K K
f
m K K
π
=
+

( ) ( )
2
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2
1 2 1 2 2 1
1 1
2 4 4 . 4
. .

m K K m K K
m m
T T
f K K f K K K K
π π π π
+ +
 
⇒ = ⇒ = = + = +
 
 

2 2
2
1 2
1 1 1
f f f
   
 
⇒ = +
   
 
 
   
⇒
1 2
2 2
1 2
.f f
f
f f

=
+

d. Khi hai lò xo mắc song song

( )
1 2
1
2
K K
f
m
π
+
=
( )
2
1 2
2 2
1 1
. .
4 4
K K
f
m m
π π
⇒ = +
⇒
2 2 2
1 2

f f f
= +





1.CON L
ẮC LÒ XO TREO THẲNG ĐỨNG


+

A

A
−
CB
0
ℓ
Trường hợp 1
A
< ∆
ℓ

∆
ℓ

Trường hợp 2
A
≥ ∆
ℓ

CB
0
ℓ
∆
ℓ


A
−

A


A. Chiều dài lò xo:
+ Gọi
0
ℓ
là chiều dài tự nhiên của lò xo
+
ℓ
là chiều dài khi con lắc ở vị trí cân bằng:
0
+
=

△
ℓ ℓ ℓ


+
X
ℓ
là chiều dài của lò xo tại vị trí có li ñộ
x
:
0x
x
= + ∆ +
ℓ ℓ ℓ

BÀI 8: CHIỀU DÀI LÒ XO - LỰC ĐÀN HỒI -PHỤC HỒI
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

13
+ A là biên ñộ của con lắc khi dao ñộng.
max
min
o
o
A
A
= + ∆ +


⇒

= + ∆ −

ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ


B.Lực ñàn hồi:
(
)
(
)
.
dh
F K x N
= − ∆

Chiều dương hướng xuống:
x x
∆ = ∆ +
ℓ
; Chiều dương hướng lên:
x x
∆ = −∆ +
ℓ
;
Giả sử gốc tọa ñộ tại vị trí cân bằng; chiều dương hướng xuống.
Về ñộ lớn của lực ñàn hồi:

(
)
(
)
(
)
dh
F K x K x N
= − ∆ = ∆ +
ℓ

(
)
(
)
maxdh
F K A N
= ∆ +
ℓ


(
)
(
)
( )
min
0
( )
dh

N Khi A
F
K A Khi A

∆ ≤

=

∆ − ∆ >


ℓ
ℓ ℓ

Về chiều của lực ñàn hồi:
Lực ñàn hồi có phương dọc theo trục lò xo và chiều luôn hướng về vị trí lò xo không biến dạng
0
ℓ
, khi lò xo dãn lực ñàn
hồi là lực kéo, còn khi lò xo nén lực ñàn hồi là lực ñẩy.
C.Lực phục hồi ( Lực kéo về - Tổng hợp lực- Lực gây ra dao ñộng – Lực tác dụng lên vật)
(
)
2
. . . .
ph
F m a m x K x N
ω
= = − = −

Về ñộ lớn lực phục hồi:
(
)
2
. . . .
ph
F m a m x K x N
ω
= = − = −

Về chiều lực phục hồi: Lực phục hồi cùng chiều với gia tốc,tức là luôn hướng về vị trí cân bằng( Vì vậy ta thấy vật có
xu hướng bị kéo về vị trí cân bằng)

Nhận xét: Trường hợp lò xo treo thẳng ñứng lực ñàn hồi và lực phục hồi khác nhau.

*** Đặc biệt khi
A
> ∆
ℓ
ta có:
+
(
)
(
)
é
n n
F K x N
= − ∆ℓ
Trong ñó:

x
> ∆
ℓ


⇒

(
)
(
)
én axn m
F K A N
= − ∆
ℓ

Bài toán: Tìm thời gian lò xo bị nén, giãn trong một chu kỳ.

+ Gọi
én
n
ϕ
là góc nén trong một chu kỳ.
+
én
2
n
ϕ α
=
Trong ñó:

osc
A
α α
∆
= ⇒
ℓ


+
én
én
n
n
t
ϕ
ω
=


+
ãn én
ã én
2
d n
d n n
t T t
ϕ π ϕ
ω ω
−
= = = −

A

∆
ℓ

N
ϕ

D
ϕ



+Gọi H là tỉ số thời gian lò xo nén, dãn trong một chu kỳ:
én én
ãn ãn
n n
d d
t
H
t
ϕ
ϕ
= =

Từ tỉ số H ta có thể thể suy luận một số trường hợp sau:

www.TaiLieuLuyenThi.com

HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

14
Nếu
én
én
ãn
2
1 1
3
os 2
4
2 2 3 2
3
n
n
d
H c A
A
π
ϕ
ϕ π
α α
π
ϕ

=


∆

= ⇒ ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = ∆


=


ℓ
ℓ

Nếu
én
én
ãn
1 1
2
os . 2
3
3 2 4
2
2
n
n
d
H c A
A
π
ϕ
ϕ π

α α
π
ϕ

=

∆

= ⇒ ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = ∆


=


ℓ
ℓ

2. XÉT CON LẮC LÒ XO NẰM NGANG.

A. Về chiều dài

A
CB

A
−
K

m

+


+Vì
0
∆ =
ℓ

0
ax 0
min
m
o
A
A
=


= +


= −

ℓ ℓ
ℓ ℓ
ℓ ℓ

A. Lực ñàn hồi – lực phục hồi:
Ta có:
ph dh
F F P N
= + +
   
, vì
P N
= −
 
( Mặt phẳng ngang - bỏ qua ma sát)
dh ph
F F
⇒
=
 

Lò xo trên m
ặt phẳng nằm ngang (không ma sát) lực ñàn hồi là lực phục hồi:
(
)
.
dh ph
F F ma k x N
= = = −

Về ñộ lớn:
(
)
.

dh ph
F F ma k x N
= = = −

⇒
(
)
( )
max
min
.
0
dh
dh
F K A N
F N

=


=



V
ề chiều: Lò xo nằm ngang, lực ñàn hồi và lực phục hồi luôn hướng về vị trí lò xo không biến dạng.

Năng lượng con lắc lò xo:
W W W
d t
= +

Trong ñó:
W: là cơ năng của con lắc lò xo
(
)
J

W
d
: Động năng của con lắc ( J )
( )
2
1
W .
2
d
m v J
=

W
t
: Thế năng của con lắc ( J )
( )
2
1
W .

2
t
K x J
=

Trong ñó: m là khối lượng
(
)
kg
;
v
là vận tốc
(
)
/
m s

K
là ñộ cứng lò xo
(
)
/
N m
;
x
là li ñộ
(
)
m

A
CB

A
−
K

m

+



Mô hình CLLX
+)
( )
( )
( )( )
2
2 2 2 2
1 1 1
W . Asin . . sin
2 2 2
d
m v m t m A t J

ω ω ϕ ω ω ϕ
= = − + = +

( )
2 2 2
ax
1 1
W . . .
2 2
dm o
m A mV J
ω
⇒
= =

BÀI 9: NĂNG LƯỢNG CON LẮC LÒ XO
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

15
+)
( )
( )
( )( )
2
2 2 2
1 1 1
W . . cos os

2 2 2
t
K x K A t KA c t J
ω ϕ ω ϕ
= = + = +

2
max
1
W .
2
t
K A
⇒
=

⇒

W W W
d t
= +
=
( )( )
2 2 2
1
. . sin
2
m A t J
ω ω ϕ
+

+
( )( )
2 2
1
os
2
KA c t J
ω ϕ
+

( )
2 2 2
ax
1 1
W . . .
2 2
d m o
m A mV J
ω
= = =
=
2
max
1
W .
2
t
K A
=

⇒ Cơ năng luôn bảo toàn.

*** Tổng kết:
W W W
d t
= +
=
2
1
.
2
m v
+
2
1
.
2
K x


2 2 2
ax
1 1
=W . . .
2 2
d m o
m A mV
ω
= =

2
max
1
=W .
2
t
K A
=




W


W
0
=
1
/
2

KA
2

W
0
/
2

t(s)

0

W
ñ

W
t


Đồ thị năng lượng của CLLX
Ta lại có:
+)
( )( )
2 2
1
W os
2
t
KA c t J
ω ϕ
= +
=
(
)
( )( )
2 2 2
1 os 2 2

1 1 1
. . . os 2 2
2 2 4 4
c t
K A K A K A c t J
ω ϕ
ω ϕ
 
+ +
= + +
 
 

( )( )
W W
W os 2 2
2 2
t
c t J
ω ϕ
= + +

( )( )
(
)
( )( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 os 2 2
1 1

+)W . . sin . .
2 2 2
1 1
. . . . os 2 2
4 4
d
c t
m A t J m A
m A m A c t J
ω ϕ
ω ω ϕ ω
ω ω ω ϕ
 
− +
= + =
 
 
= − +

( )( )
W W
W os 2 2
2 2
d
c t J
ω ϕ π
= + + +

+) Động năng và thế năng biến thiên tuần hoàn cùng biên ñộ là
W

2
 
 
 
; cùng t
ần số góc
(
)
2
d t
ω ω ω
= =
, nhưng ngược
pha dao ñộng với nhau.
+) Đặt
d
T
là chu kỳ của ñộng năng;
t
T
là chu kỳ của thế năng:
( )
2
d t
T
T T s
= =


+) Đặt

d
f
là tần số của ñộng năng;
t
f
là tần số của thế năng:
2 ( )
d t
f f f Hz
= =


+) Thời gian liên tiếp ñể ñộng năng và thế năng bằng nhau:
4
T
t
=

Một số chú ý trong giải nhanh bài toán năng lượng:
+) Vị trí có
W .W
1
d t
A
n x
n
=
⇒
= ±
+

+) Vị trí có
2
ax
2
.
W .W 1
.
m
d t
a A A
n n
a x x
ω
ω
=
⇒
= = = +

www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

16
+) Khi
ax
W .W
1
m

t d
V
n v
n
=
⇒
= ±
+

W 3.W
d t
=

W W
d t
=

1
W W
3
d t
=

ax
W
dm

max
W
t

2
A
x
= ±

2
A
x = ±

3
2
A
x = ±

0
x
=

x A
= ±

ax
3
2
m
V
v = ±

ax

2
m
V
v = ±

ax
2
m
V
v = ±

0
v V
= ±

0
v
=


www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

17



1. CẤU TẠO CON LẮC ĐƠN

Gồm sợi dây nhỏ, nhẹ, không dãn, ñầu trên ñược treo cố ñịnh ñầu dưới ñược gắn với vật nặng có khối lượng m.
2. THÍ NGHIỆM
Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc α

o
rồi buông tay không vận tốc ñầu trong môi trường không có ma sát ( mọi lực
cản không ñáng kể) thì con lắc ñơn dao ñộng ñiều hòa với biên ñộ góc
(
)
0 0
10
o
α α
≤


ℓ

m



0
α



3. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG:
Ta có phương trình dao ñộng của con lắc ñơn có dạng:
(

)
(
)
. os
o
s S c t cm
ω ϕ
= +

Trong ñó:
s
: là li ñộ dài
(
)
;
cm m
;
o
S
là biên ñộ dài
( ; )
cm m

Hoặc ta có thể viết phương trình dao ñộng theo góc như sau:
(
)
(
)
0
os

c t rad
α α ω ϕ
= +

Trong ñó:
α
: là li ñộ góc
0
( ;0 )
rad
;
0
α
là biên ñộ góc
(
)
0
;0
rad

4. PHƯƠNG TRÌNH VẬN TỐC - GIA TỐC.
A. Phương trình vận tốc
(
)
/
v cm s


( )
' . .sin( ) . . os( ) /

2
o o
v s S t S c t cm s
π
ω ω ϕ ω ω ϕ
= = − + = + +

ax min
. ; .
m o o
V S V S
ω ω
⇒
= = −

B. Phương trình gia tốc
(
)
2
/
a cm s


(
)
2 2 2
' . . os( ) . . os( ) /
o o
a v S c t S c t cm s
ω ω ϕ ω ω ϕ π

= = − + = + +

2 2
ax min
. ; .
m o o
a S a S
ω ω
⇒
= = −

5. CHU KỲ - TẦN SỐ.
A. Tần số góc:
(
)
/
rad s
ω
( )
/
g
rad s
ω
=
ℓ

B. Chu k
ỳ
(
)

T s
: là thời gian con lắc ñơn thực hiện ñược 1 dao ñộng.
( )
2
t
T s
g N
π
= =
ℓ


C. T
ần số
(
)
f Hz
: là số dao ñộng vật thực hiện ñược trong 1
(
)
s
( )
1
2 2
g N
f Hz
t
ω
π π
= = =

ℓ


6. CÔNG TH
ỨC ĐỘC LẬP THỜI GIAN.
Xây dựng tương tự như bài số 1( Đại cương về dao ñộng ) ta có:
BÀI 10: CON LẮC ĐƠN
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

18
( )
2
2 2
o
v
S s I
ω
 
= +
 
 

( )
2
2
2
4

o
a v
S II
ω ω
 
 
= +
 
 
 
 

( )
2 2
ax
1
o m
s v
III
S V
   
+ =
   
   

2 2
ax ax
1
m m
v a

v a
   
+ =
   
   


Từ công thức (I) ta có thể suy ñược:
( )
2
2 2
0
2 2
.
v
V
α α
ω
= +
ℓ




1. N
ĂNG LƯỢNG CON LẮC ĐƠN


W=W W
d t

+

Trong ñó:

W
: là cơ năng của con lắc ñơn
(
)
J


W
d
: Động năng của con lắc
(
)
J


W
t
: Thế năng của con lắc
(
)
J

( )
2
1
W .

2
d
m v J
=

Trong ñó:
(
)
m kg
là khối lượng của vật

(
)
/
v m s
là vận tốc của vật
( )
2
max ax
1
W .
2
d m
mV J
⇒
=


(
)

(
)
W 1 os
t
mgz mg c J
α
= = −
ℓ

Trong
ñó:
(
)
2
/
g m s
là gia tốc trọng trường

(
)
m
ℓ
là chi
ều dài dây treo của con lắc

(
)
;0
o
rad

α
là li ñộ góc
(
)
max 0
W 1 os
t
mg c
α
⇒
= −
ℓ


Mô hình CL
Đ

Tương tự con lắc lò xo, Năng lượng con lắc ñơn luôn bảo toàn.
W=W W
d t
+
=
2
1
.
2
m v
+
(
)

1 os
mg c
α
−
ℓ


2
max ax
1
= W .
2
d m
mV
=


(
)
max 0
= W 1 os
t
mg c
α
= −
ℓ
= (const)


W

W
0
=
1
/
2

KA
2

W
0
/
2

t(s)

0

W
ñ

W
t


Đồ thị năng lượng con lắc ñơn

Chu kỳ ñộng năng
d
T
= chu kỳ của thế năng
t
T
=
2
T


Tần số ñộng năng
d
f
= tần số của thế năng
t
f
=
2
f
.

Tần số góc ñộng năng
d
ω
= tần số góc của thế năng
t
ω
=
2

ω
.

BÀI 11: NĂNG LƯỢNG CON LẮC ĐƠN
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

19
Khoảng thời gian ñể ñộng và thế năng bằng nhau hai lần liên tiếp là
4
T
t
∆ =

2. VẬN TỐC - LỰC CĂNG DÂY
A. Vận tốc dao ñộng của vật
(
)
/
v m s

( ) ( )
( ) ( )
2
0
2
0
W W W W W W

1
1 os 1 os
2
2 1 os 2 1 os
d t d t
mv mg c mg c
mv mg c mg c
α α
α α
= + ⇒ = −
⇔ = − − −
⇔ = − − −
ℓ ℓ
ℓ ℓ

(
)
2
0
2 os os
v g c c
α α
⇔ = −
ℓ
⇒
(
)
0
2 os osv g c c
α α

= −ℓ
( )
( )
ax 0
min 0
2 1 os
2 1 os
m o
V V g c
V g c
α
α

= = −

⇒

= − −


ℓ
ℓ

B. Độ lớn lực căng dây
(
)
T N

(
)

(
)
0
3cos 2cos
T mg N
α α
= −

(
)
(
)
( )( )
max 0
min 0
3 2cos
cos ê
T mg VTCB
T mg Bi n
α
α

= −

⇒

=



3. KHI CON LẮC ĐƠN DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
( Nếu con lắc ñơn dao ñộng với biên ñộ góc
0
10
o
α
≤
, ta coi con lắc ñơn dao ñộng ñiều hòa). Với
α
≪
(rad) ta có:
sin
α α
=

2
2
os 1 2sin 1
2 2
c
α α
α
 
⇒ = − = −
 
 

Ta có các biểu thức sau:
Khi góc
α

có giá trị lớn như:
0 0 0 0
90 ;60 ;45 ;30 ; ; ;
2 3 4 6
π π π π
       
       
       

Khi
α
có giá trị nhỏ
(
)
Rad
như:
( )
0 0 0
10 ;9 ;6 ;5
18 20 30 36
0,1 ;0,15 ;0,05
o
rad rad rad
π π π π
= = = =

(
)
(
)

W 1 os
t
mgz mg c J
α
= = −
ℓ


(
)
(
)
ax
W 1 os
tm o
mg c J
α
= −
ℓ


( )
2
2
1
W
2 2
t
mgs
mg J

α
= =
ℓ
ℓ

( )
2
2
ax 0
1
W
2 2
o
tm
mgS
mg J
α
= =
ℓ
ℓ

(
)
0
2 os osv g c c
α α
= −
ℓ

(

)
ax 0
2 1 os
m o
V V g c
α
= = −
ℓ

(
)
2 2
0
v gl
α α
= −

ax 0
.
m
V g
α
=
ℓ

( )
2
1
W .
2

d
m v J
=

( )
2 2
0
1
W
2
d
mgl
α α
= −

(
)
(
)
0
3cos 2cos
T mg N
α α
= −


(
)
(
)

max 0
3 2cos
T mg VTCB
α
= −



(
)
min 0
cos
T mg
α
=

2 2
0
3
1
2
T mg
α α
 
= − +
 
 

(
)

2
ax 0
1
m
T mg
α
= +
( Cân bằng)
2
min
2
1
2
o
T mg
α
 
= −
 
 
( Biên)

Một số chú ý về con lắc ñơn dao ñộng ñiều hòa:
+ Khi
W .W
d t
n
= ⇒
1
o

n
α
α
= +
+

www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

20
+ Khi
W .W
d t
n
= ⇒
1
o
S
s
n
= +
+

+Khi
W .W
t d
n
= ⇒

1
o
V
v
n
= +
+



I.
PHƯƠNG PHÁP
Ta có:
( )
2
2
T s
g
π
π
ω
= =
ℓ

⇒
Hai nguyên nhân dẫn ñến thay ñổi chu kỳ con lắc ñơn ñó là: thay ñổi
g
hoặc
ℓ
.

1. THAY ĐỔI CHIỀU DÀI DÂY
(
)
ℓ

Ban ñầu:
2T
g
π
=
ℓ

Sau khi thay ñổi chiều dài dây thành
'
ℓ
thì chu kỳ là
'
T
;
'
'
2T
g
π
=
ℓ

⇒
'
'

T
T
=
ℓ
ℓ

2. THAY ĐỔI DO
(
)
g

A. Thay ñổi g do ñộ cao.
( )
2
M
g G
R h
=
+

Trong ñó:
10
6,67.10
G
−
=
;
(
)
6400

R km
=
là bán kính trái ñất; h là ñộ cao (km)

B. Con lắc trong thang máy:



→

F

qt



→

v


→

a

→

P

→

a

→

v

→

P


→

F

qt


TM
Lên nhanh dần
TM
Xuống chậm dần


Khi thang máy lên nhanh dần, xuống chậm dần:
hd
g g a
= +

2 2
hd
T
g g a
π π
⇒ = =
+
ℓ ℓ


TM

Xuống nhanh dần

→

a


→

v

→

P

→

F

qt


TM

Lên chậm dần

→

P


→

F

qt



→

v

→

a



Khi thang máy xuống nhanh dần, lên chậm dần:
hd
g g a
= −


2 2
hd
T
g g a
π π
⇒ = =
−
ℓ ℓ


C. Con lắc trên xe di chuyển nhanh dần ñều hoặc chậm dần ñều trên mặt phẳng ngang

BÀI 12: SỰ THAY ĐỔI CHU KỲ CON LẮC ĐƠN
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

21



→

F

→

P


→

F

qt



→

a


→

v

α


Xe ô tô chuyển ñộng chậm dần với gia tốc a




→

F

→

P


→

F

qt



→

a

→

v



Xe ô tô chuyển ñộng nhanh dần với gia tốc a


(
)
2 2
bk
g g a
⇒ = +



2 2
2 2
hd
T
g
g a
π π
⇒ = =
+
ℓ ℓ

tan

qt
F
a
P g
α
⇒ = =

D. Con lắc ñặt trong ñiện trường ñều:
(+) Vật mang ñiện dương - ñặt trong ñiện trường hướng từ trên xuống
hoặc (vật mang ñiện âm - ñiện trường ñặt từ dưới hướng lên):


→

E

→

P


→

F

d

→

E

→

P


→

F

d





.
hd
q E
g g
m
= +
( )
2 2
hd
T s

q E
g
g
m
π π
⇒
= =
+
ℓ ℓ

(+) Vật mang ñiện dương - ñiện trường hướng từ dưới lên
hoặc vật mang ñiện âm - ñiện trường hướng từ trên xuống


→

E

→

P


→

F

d

→

E

→

P


→

F

d



www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

22

.
hd
q E
g g

m
= −
( )
2 2
hd
T s
q E
g
g
m
π π
⇒
= =
−
ℓ ℓ

(+) Điện trường ñều theo phương nằm ngang:



→

F

→

P


→

F

d



→

E


α





→

F

→

P


→

F

d



→

E


α





2
2
hd
qE
g g
m
 
 
= +
 
 
 
 
 

2
2
2 2
hd
T
g
qE
g
m
π π
⇒
= =
 
 
+
 
 
 
 
 
ℓ ℓ

E. Con lắc ñơn chịu tác dụng của lực ñẩy Ac-xi-met.

Lực ñẩy Ac-xi-met:
A
F gV
ρ
=

Trong ñó:
ρ
: là khối lượng riêng của môi trường
(
)
3
/
kg m
; V là thể tích chìm trong môi trường
(
)
3
/
m s


hd
gV
g g a g g gD
m
ρ
ρ
⇒
= + = + = +

Trong ñó: D là khối lượng riêng của vật
(
)
3

/
kg m



2 2
hd
T
g g gD
π π
ρ
⇒
= =
+
ℓ ℓ





1. ĐỘ LỆCH PHA CỦA HAI DAO ĐỘNG
Cho hai dao ñộng ñiều hòa sau:
(
)
(
)
(
)
(
)

1 1 1 2 2 2
. os ; os
x A c t cm x A c t cm
ω ϕ ω ϕ
= + = +

Gọi
ϕ
∆
là ñộ lệch pha của hai dao ñộng:
(
)
(
)
1 2 2 1
t t
ω ϕ ω ϕ ϕ ϕ
⇒
+ − + = −

Nếu:
+
0
ϕ
∆ <
⇒ dao ñộng 2 chậm pha hơn dao ñộng 1
+
0
ϕ
∆ >

⇒ dao ñộng 2 nhanh pha hơn dao ñộng 1.
+
.2
k
ϕ π
∆ =
⇒ kết luận hai dao ñộng cùng pha
+
(
)
2 1 .
k
ϕ π
∆ = +
⇒ hai dao ñộng ngược pha
+
.
2
k
π
ϕ π
∆ = +
⇒ hai dao ñộng vuông pha





ϕ

2



ϕ

1



∆
ϕ

A

1



A

2




2. T
ỔNG HỢP DAO ĐỘNG BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI.
“Đưa máy về Radian hoặc ñộ( góc thống nhất với nhau, cùng rad hoặc ñộ, hàm cùng sin hoặc cos)”
BÀI 13: TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

23
2.1. Tổng hợp hai hay nhiều dao ñộng
Một vật thực hiện ñồng thời nhiều dao ñộng:
(
)
(
)
( )( )
( ) ( )
1 1
2 2 2
cos
os

os
n n n
x A t cm
x A c t cm
x A c t cm
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
= +
= +
= +

Phương trình tổng hợp có dạng:
1 2 n
tong hop dao dong
x x x x
= + + +


Máy tính 570 MS

[
]
[
]
2
Mode →

[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
[
]
1 1

( )
A SHIFT
ϕ
→ → − → → →
 
 

[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
[
]
[ ]
[ ]
[ ]
( )
[ ]
[ ]
[ ]
2 2
( )

( )
n n
A SHIFT
A SHIFT
ϕ
ϕ
→ + → → → − → → →
 
 
→
→ + → → → − → → →
 
 

Để lấy biên ñộ A ta nhấn :
[
]
[
]
[
]
SHIFT
→ + → =

Để lấy
ϕ
ta nhấn:
[

]
[
]
SHIFT
→ =


Máy tính 570 ES + 570ES - PLUS
Tương tự máy tính 570 MS, nhưng khi lấy kết quả ta làm như sau:
[
]
[
]
[
]
[
]
2 3SHIFT
→ → → =

2.2 Tìm dao ñộng thành phần
Một vật thực hiện ñồng thời hai hay nhiều dao ñộng
( )( )
( ) ( )
1
2 2 2
?
os

os

ω ϕ
ω ϕ
=
= +
= +
n n n
x
x A c t cm
x A c t cm

Hãy xác ñịnh phương trình thành phần
1
x
?
Phương trình thành phần
1
x
có dạng:
1 2 n
x x x x
= − − −


Máy tính 750 MS

[
]
[
]
2

Mode
→

[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
[
]
( )
A SHIFT
ϕ
→ → − → → →
 
 

[
]
[
]
[
]
(
)

[
]
[
]
[
]
[ ] [ ] [ ]
( )
[ ] [ ] [ ]
ϕ
ϕ
 
→ − → → → − → → →
 
→
 
→ − → → → − → → →
 
2 2
( )


( )
n n
A SHIFT
A SHIFT

Để lấy biên ñộ A ta nhấn :
[
]

[
]
[
]
SHIFT
→ + → =

Để lấy
ϕ
ta nhấn:
[
]
[
]
SHIFT
→ =


Máy tính 570 ES + 570ES - PLUS
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

24
Tương tự máy tính 570 MS, nhưng khi lấy kết quả ta làm như sau:
[
]
[
]

[
]
[
]
2 3SHIFT
→ → → =

3. TỔNG HỢP 2 DAO ĐỘNG CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ.
Bài toán:Giả sử một vật thực hiện ñồng thời 2 dao ñộng
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2
. os ; os
x A c t cm x A c t cm
ω ϕ ω ϕ
= + = +
. Xác
ñịnh phương trình dao ñộng tổng hợp.
Bài làm:
Dao ñộng tổng hợp của chúng có dạng:
(
)
. os
ω ϕ

= +
x A c t

Trong ñó:

( )
( )
2 2
1 2 1 2 2 1
2 os ;A A A A A c
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + ∆ ∆ = −

1 1 2 1
1 1 2 2
sin sin
tan
os os
A A
A c A c
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+
=
+

Trường hợp ñặc biệt:
.2
k

ϕ π
∆ =
(
)
π π
⇒ = +
ax 1 2
; 0;2 ;4
m
A A A

(
)
2 1 .
k
ϕ π
∆ = +
(
)
π π π
⇒ = −
min 1 2
; ;3 ;5
A A A

2 2
1 2
2
π
ϕ

∆ = ± ⇒ = +
A A A


A

1


A

2


A


ϕ

2



ϕ

1


A

X1


A

X2


A

X



A

Y2



A

Y1



A

Y

Y



X





BÀI 14: LÝ THUYẾT CÁC LOẠI DAO ĐỘNG
www.TaiLieuLuyenThi.com
HỆ THỐNG LT – CT VẬT LÍ ÔN THI ĐẠI HỌC Thầy Khánh Uschool
Để theo dõi bài giảng trực tuyến và chữa ñáp án chi tiết bài tập các bạn truy cập www.uschool.vn
(ĐT: 09166.01248 - Facebook:Nguyễn Hồng Khánh)

25

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Dao ñộng ñiều hòa: Là dao ñộng ñược mô tả dưới dạng hàm sin hoặc hàm cos theo thời gian.
2. Dao ñộng tuần hoàn: Là dao ñộng mà trạng thái dao ñộng lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian như nhau
3. Dao ñộng tự do: Là dao ñộng mà chu kỳ của hệ chỉ phụ thuộc vào ñặc tính bên trong của hệ
4. Dao ñộng tắt dần: Là dao ñộng có biên ñộ giảm
dần theo thời gian, nguyên nhân của sự tắt dần là do ma
sát với môi trường.
+ Ma sát càng lớn thì tắt dần càng nhanh.
+ Môi trường càng nhớt tắt dần càng nhanh.

ĐỒ THỊ DAO ĐỘNG TẮT DẦN
t
A


5.Dao ñộng duy trì: là dao ñộng có biên ñộ không ñổi theo thời gian trong ñó sự cung cấp thêm năng lượng
ñể bù lại sự tiêu hao do ma sát mà không làm thay ñổi chu kỳ riêng của nó thì dao ñộng kéo dài mãi mãi và gọi là dao
ñộng duy trì.
6. Dao ñộng cưỡng bức: là dao ñộng chịu sự tác dụng của
ngoại lực biến ñổi ñiều hòa
(
)
(
)
0
os
F F c t N
ϕ
= Ω +

- Dao ñộng cưỡng bức là ñiều hòa có dạng hàm cos(t).
- Tần số của dao ñộng cưỡng bức bằng tần số góc Ω của ngoại lực
- Biên ñộ của dao ñộng cưỡng bức của ngoại lực tỉ lệ thuận với
+ Biên ñộ F

o
của ngoại lực.
+ Phụ thuộc vào tần số góc của ngoại lực
Ω
.

+ Lực cản môi trường.
- Hiện tượng cộng hưởng: khi biên ñộ A của dao ñộng cưỡng bức
ñạt giá trị cực ñại. người ta nói rằng có hiện tượng cộng hưởng.
 Giá trị cực ñại của biên ñộ A của dao ñộng ñạt ñược khi tần số
góc của ngoại lực bằng tần số góc riêng
nl r
f f
=
của hệ dao
ñộng tắt dần
 Hiện tượng cộng hưởng càng rõ nét khi lực cản càng nhỏ.



(
)
f Hz
(
)
0
f Hz
(
)
Acm
Cộng hưởng

(
)
1
A cm

(
)
2
A cm
Ma sát nhỏ
Ma sát lớn


7. Phân biệt dao ñộng duy trì và dao ñộng cưỡng bức:
Dao ñộng cưỡng bức Dao ñộng duy trì
Dao ñộng cưỡng bức là dao ñộng xảy ra dưới tác
dụng của ngoại lực tuần hoàn có tần số góc
Ω
bất
kỳ. sau giai ñoạn chuyển tiếp thì dao ñộng cưỡng
bức có tần số góc của ngoại lực.
Dao ñộng duy trì cũng xảy ra dưới tác dụng của ngoại lực,
nhưng ở ñây ngoại lực ñược ñiều khiển có tần số góc
ω

bằng tần số góc
0
ω
của dao ñộng tự do của hệ
Dao ñộng xảy ra trong hệ dưới tác dụng của ngoại
lực ñộc lập ñối với hệ.
Dao ñộng duy trì là dao ñộng riêng của hệ ñược bù thêm
năng lượng do một lực ñiều khiển bởi chính dao ñộng ấy
thông qua một hệ cơ cấu nào ñó.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
DẠNG 1: DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC VÀ CỘNG HƯỞNG.
+ Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi:
R NL
f f
=
Trong ñó: (
r
f
là tần số riêng;
nl
f
là tần số ngoại lực)
+ Công thức xác ñịnh vận tốc chuyển ñộng của xe hoặc tàu ñề cho hiện tượng cộng hưởng xảy ra
R
L
v
T
=

Trong ñó:
L
là khoảng cách hai lần xe bị sóc;
r
T
là chu kỳ riêng của con lắc.
Bài toán: Viết phương trình dao ñộng cưỡng bức.
Một con lắc có khối lượng m chịu tác dụng của ngoại lực có phương trình
(
)

(
)
0
os
F F c t N
ω ϕ
= +
.
Phương trình dao ñộng sẽ có dạng:
(
)
(
)
0
os
x A c t m
ω ϕ
= +
Trong ñó:
2 2
0 ax
. . .
m
F m a m A
ω
= =

D
ẠNG 2: BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN CỦA CON LẮC LÒ XO

Bài toán 1: Một vật có khối lượng m, gắn vào lò xo có ñộ cứng
K
trên mặt phẳng
ngang có hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt sàn là
µ
. Kéo lò xo ra dãn ra một ñoạn
A r
ồi buông tay ra cho vật dao ñộng tắt dần.


K

m
www.TaiLieuLuyenThi.com