Mẹo nhớ công thức lượng giác ôn thi Đại học cực hay

Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
TỔNG HỢP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ MẸO NHỚ
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Các công thức đặc biệt( có tính ứng dụng cao)









Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Học công thức lượng giác bằng thơ
* Phần1: Bắt được quả tan
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bắt được quả tang
Sin nằm trên cos (tan@ = sin@:cos@)
Cotang dại dột
Bị cos đè cho. (cot@ = cos@:sin@)
Version 2:
Bắt được quả tang
Sin nằm trên cos
Côtang cãi lại
Cos nằm trên sin!
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan
Cosin của hai góc đối bằng nhau;

sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau;
phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tan góc này = cot góc kia;
tan của hai góc hơn kém pi thì bằng nhau.
CÔNG THỨC CỘNG
Cos cộng cos bằng hai cos cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
sin trừ sin bằng hai cos sin.
Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ òm.
CÔNG THỨC NHÂN BA
Nhân ba một góc bất kỳ,
sin thì ba bốn, cos thì bốn ba,
dấu trừ đặt giữa hai ta, lập phương chỗ bốn,
thế là ok.
Phần 2: Tan mình cộng với tan ta
Một bài thơ khác về cách nhớ công thức: tan(a+b)=(tan+tanb)/1-tana.tanb là
tan một tổng hai tầng cao rộng
trên thượng tầng tan cộng tan tan
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
dưới hạ tầng số 1 ngang tàng
dám trừ một tích tan tan oai hùng
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
sin tổng lập tổng sin cô

cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng
còn tan tử cộng đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng hai tan)
một trừ tan tích mẫu mang thương sầu
gặp hiệu ta chớ lo âu,
đổi trừ thành cộng ghi sâu vào lòng
Một phiên bản khác của câu Tan mình cộng với tan ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình
là
tanx + tany: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta
tanx - tan y: tình mình hiệu với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình
CÔNG THỨC CHIA ĐÔI (tính theo t=tg(a/2))
Sin, cos mẫu giống nhau chả khác
Ai cũng là một cộng bình tê (1+t^2)
Sin thì tử có hai tê (2t),
cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t^2).
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan cot hơn kém nhau pi. hơn kém pi/2 chéo, chỉ có sin không đổi
dấu.
Sin thì sin cos cos sin. Cos thì cos cos sin sin dấu trừ.
Tan thì ta công thêm tan, ở trên 1- tích tan ra liền ^^
sin cộng sin bằng hai sin cos. sin trừ sin bằng hai cos sin. cos cộng cos bằng hai cos cos, cos
trừ cos bằng trừ hai sin sin.
cos nhân cos bằng 1/2 cos cộng cộng cos trừ
sin nhân sin bằng trừ 1/2 cos cộng cộng cos trừ
sin nhân cos bằng 1/2 sin cộng cộng sin trừ.
cos ba bằng 4 cô ba trừ ba cô.

Bi thơ công thc lưng gic hay hơn
1.Tìm sin lấy đối chia huyền
Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau
Còn tang ta hãy tính sau

Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền
Cotang ngược lại với tang.
2.Công thức cộng:
Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ òm.
3.Tích thành tổng:
Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau
Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ
Cos thì cos hết
Sin sin cos cos, sin cos sin sin
Một phần hai phải nhân vào, chớ quên!
4.Công thức đổi tổng thành tích:
Tổng tang ta lấy sin tòng (sin của tổng)
Chia cho cos cos khó lòng lại sai.
Tổng sin và tổng cos:
- Đối với a & b:
Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau
- Đối với các hệ số khi khai triển:
Cos cộng cos bằng hai cos cos
Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Sin cộng sin bằng hai sin cos
Sin trừ sin bằng hai cos sin.
5.Công thức cos sin,cos-sin:
Cos cộng sin bằng căn hai cos(căn 2 nhân cos)
Của a trừ cho 4 dưới pi
Nhớ rằng đây cộng kia trừ
Đây trừ kia cộng chỉ là thế thôi.

6.Công thức gấp đôi:
Sin gấp đôi = 2 sin cos
Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai lần bình cos
= cộng 1 trừ hai lần bình sin
Tang gấp đôi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
7.Sin bù, cos đối, hơn kém pi tang, phụ chéo.
Sin bù :Sin(180-a)=sina
Cos đối :Cos(-a)=cosa
Hơn kém pi tang :
Tg(a 180)=tga
Cotg(a 180)=cotga
Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tg góc này = cotg góc kia.
8.Công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau:
Hơn kém bội hai pi sin, cos
Tang, cotang hơn kém bội pi.
Sin(a k.2.180)=sina ; Cos(a k.2.180)=cosa
Tg(a k180)=tga ; Cotg(a k180)=cotga
*sin bình cos bình = 1
*Sin bình = tg bình trên tg bình cộng 1.
*cos bình = 1 trên 1 cộng tg bình.
*Một trên cos bình = 1 cộng tg bình.
*Một trên sin bình = 1 cộng cotg bình.
Các bài khác
Lượng giác:
*Sao Đi Học ( Sin = Đối / Huyền)
Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền)
Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề)

Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối)
+Sin : đi học (cạnh đối - cạnh huyền)
Cos: không hư (cạnh đối - cạnh huyền)
Tg: đoàn kết (cạnh đối - cạnh kề)
Cotg: kết đoàn (cạnh kề - cạnh đối)
+Tìm sin lấy đối chia huyền
Cosin lấy cạnh kề, huyền chia nhau
Còn tang ta hãy tính sau
Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền
Cotang ngược lại với tang.
(hoặc Còn tang ta tính như sau
Đối trên, kề dưới chia nhau ra liền
Cotang cũng dễ ăn tiền
Kề trên, đối dưới chia liền là ra )
*Công thức cộng:
+Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
+Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ òm.
*Tích thành tổng:
+Cách 1:
Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ (mấy cái khác còn lại là cộng)
Cos thì cos hết
Sin sin cos cos, sin cos sin sin
Một phần hai phải nhân vào, chớ quên!
+Cách 2:
Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ

Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ
*Tổng thành tích:
+Tổng tang ta lấy sin tòng (sin của tổng)
Chia cho cos cos khó lòng lại sai.
+Tang ta cộng với Tang mình
Bằng Sin hai đứa trên Cos mình Cos ta .
+Tổng sin và tổng cos:
Đối với a & b:
Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau (“góc chia đôi: trước cộng, sau trừ” hay “vế phải của
2 tích theo thứ tự tổng trước ,hiệu sau”)
Đối với các hệ số khi khai triển:
Cos cộng cos là 2 cos cos
Cos trừ cos trừ 2 sin sin
Sin cộng sin là 2 sin cos
Sin trừ sin là 2 cos sin
+CT cos+sin:
Cos cộng sin bằng căn hai cos(căn 2 nhân cos)
Của a trừ cho 4 dưới pi (a là góc, tức là cos(a-pi/4))
Nhớ rằng đây cộng kia trừ
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Đây trừ kia cộng chỉ là thế thôi.
Có một số bài thơ gần như chỉ là cách đọc, nhưng tôi thấy nhờ những cách đọc có vẫn điệu
như vậy sẽ giúp chúng ta học nhanh hơn ban ạ. Ví dụ bài thơ này :
+CT cos+sin…tôi đã nâng cấp thành:
Cos cộng sin bằng căn hai cos, của a trừ cho 4 dưới pi
Sin cộng cos bằng căn hai sin, của a cộng cho pi trên 4
Đọc với giọng nhanh ta thấy hai câu đối nhau (nhớ là trong công thức này, tính theo cos dấu
phải coi chừng)
*CT gấp đôi ( dấu "=" là viết tắt của chữ "bằng"):

+Sin gấp đôi = 2 sin cos
+Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai bình cos (1)
= cộng 1 trừ hai bình sin (2)
(từ (1) & (2) ta có thể => CT hạ bậc của sin và cos, còn của tg thì dễ thôi, tga=sina/cosa
mà!)
+Tang gấp đôi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
*CT gấp ba:
+Sin thì sin hết (3)
Cos thì cos luôn
Cos thì 4 lập trừ 3 (tức là 4.cos^3a-3cos, các bài thơ chỉ nói đến hệ số)
Sin thì đảo dấu cos là ra thôi (chú ý (3)).
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
+Sin3a = 3Sina - 4Sin mũ 3 a
Cos3a= 4Cos mũ 3 a - 3Cosa
Sin ra sin, cos ra cos
Sin thì 3, 4 Cos thì 4, 3
Dấu trừ ở giữa phân ra
Chỗ nào có 4, mũ 3 thêm vào.
(*cách đọc cho có chất thơ*)
+Tang gấp ba ta lấy ngay tang
Nhân ( 3 trừ lại tang bình) (chú ý dấu ngoặc)
Chia 1 trừ lại 3 lần bình tang.
*CT chia đôi – CT tính theo t=tg(a/2)
Sin, cos mẫu giống nhau chả khác
Ai cũng là một cộng bình tê (1+t^2)
Sin thì tử có hai tê (2t), cos thì tử có 1 trừ bình tê (1-t^2).
(còn tg thì ta cứ lấy tga=sina/cosa)

*Cos đối, sin bù, hơn kém pi tang, phụ chéo.
*Sin bù, Cos đối,Tang Pi,
Phụ nhau Sin Cos, ắt thì phân chia
+Cos đối :Cos(-a)=cosa
+Sin bù :Sin(180-a)=sina
+Hơn kém pi tang :
Tg(a+180)=tga
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
Cotg(a+180)=cotga
+Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tg góc này = cotg góc kia ( sự
chéo trong bảng giá trị LG đặc biệt).
*Ta có công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau:
Hơn kém bội hai pi sin, cos
Tang, cotang hơn kém bội pi.
Sin(a+k.2.180)=sina ; Cos(a+k.2.180)=cosa
Tg(a+k180)=tga ; Cotg(a+k180)=cotga
*sin bình + cos bình = 1
*Sin bình = tg bình trên tg bình cộng 1.
*cos bình = 1 trên 1 cộng tg bình.
*Một trên cos bình = 1 cộng tg bình.
*Một trên sin bình = 1 cộng cotg bình.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bi tập
1. Rút gọn biếu thức
a)
N)(n )cos( )2cos()cos(cos ∈+++++++ nbababaa
b)
aaaa
aaaa
7sin5sin3sinsin

7cos5cos3coscos
+++
−+−
c)
aaa
aaa
3sin2sinsin
3cos2cos2cos
++
++
d)
a
aa
a
cos2
6
2cos
6
2cos
cos






+−







−
−
ππ
e)
2
cotcot
3
cos
3
cos
a
a
aa
−






−+







+
ππ
f)
aaaa 2cos
2
1
4cos
4
1
cos2cos
2
−−
g)
2cos4cos1cos3cos
22
−+
h)
)158sin112(sin203sin291sin1sin
ooooo
+++
i)
)140sin130(sin185sin2125cos35cos
ooooo
+++
j)
oooo
80sin60sin40sin20sin
k)
oooo
80tan60tan40tan20tan

2. Chứng minh:
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
a)
16
3
80sin60sin40sin20sin =
oooo
b)
na
anaaa
anaaa
tan
)12cos( 5cos3coscos
)12sin( 5sin3sinsin
=
−++++
−++++
c)
2
sin
2
)1(
sin
2
sin
sin 3sin2sinsin
a
anna
naaaa
+

=++++
d)
2
sin
2
)1(
cos
2
sin
cos 3cos2coscos
a
anna
naaaa
+
=++++
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a)
2
cos
2
cos
2
cos4sinsinsin
CBA
CBA =++
b)
2
sin
2
sin

2
sin41coscoscos
CBA
CBA +=++
c)
)coscoscos1(2sinsinsin
222
CBACBA +=++
d)
CBACBA coscoscos21coscoscos
222
−=++
e)
2
cos
2
sin
2
sin4sinsinsin
CBA
CBA =−+
f)
1
2
sin
2
cos
2
cos4coscoscos −=−+
CBA

CBA
g)
CBACBA sinsinsin42sin2sin2sin =++
h)
CBACBA coscoscos412cos2cos2cos
−−=++
i)
CBACBA cossinsin2sinsinsin
222
=−+
4. Chứng minh bất đẳng thức:
)sin(sin
2
1
2
sin yx
yx
+≥
+
với
π
<< yx,0
.
5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
16
7
sin
16
5

sin
16
3
sin
16
sin
4444
ππππ
+++
b)
'57tan'57cot'567cot'567tan
oooo
−+−
c)
ooo
65cos55cos5cos
d)
11
9
cos
11
7
cos
11
5
cos
11
3
cos
11

cos
πππππ
++++
6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
a)






−++
24
cos42sinsin4
224
x
xx
π
với
2
3
π
π
<< x
b)
xxxx 2coscos42coscos4
224
−+
c)







−+






++ xxx
3
cos
3
coscos
222
ππ
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
d)






−+







++ xxx
3
2
sin
3
2
sinsin
222
ππ
7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là:
BA
CB
A
coscos
sinsin
sin
+
+
=
8. Chứng minh nếu các góc của
ABC
∆
thoả mãn:
2
3
coscoscos =++ CBA

thì nó là tam giác đều.
9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của
ABC
∆
thoả mãn hệ thức:
a
cb
BA
+
=+ coscos
thì tam giác
đó là tam giác vuông.
10. Cho tam giác ABC và
1
2
tan
2
tan5 =
BA
. Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
* Phương trình lượng giác
I. Phương trình lưng gic cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Phương trình:
⇔=
α
sinsin x
παπ
πα
2

2
kx
kx
+−=
+=
2. Phương trình:
⇔=
α
coscos x
πα
2kx +±=
2. Phương trình:
παα
kx
+⇔=
tantan
4. Phương trình:
παα
kx
+⇔=
cotcot
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a)
2
3
6
3sin =







−
π
x
b) sin(3x - 2) = -1 c)
1
5
2cos2 =






−
π
x
d) cos(3x - 15
o
) = cos150
o
e) tan(2x + 3) =
3
tan
π
f) cot(45
o

- x) =
3
3
g) sin3x - cos2x = 0 h)
xx 3cos
3
2
sin =






+
π
i)
0
4
3cos
6
5
3sin =






++







−
ππ
xx
j)
)302cos(
2
cos
o
x
x
−−=
k) cos2x = cosx l)






−=







+
4
2sin
4
sin
ππ
xx
m)
1
12
sin =






−
π
x
n)
2
1
6
12sin =







+
π
x
o)
2
3
2
6cos =






+
π
x
p)
1)5cos( −=− x
π
q)
1)63tan( =− x
π
r)
( )
36tan =−
π
x

s)
3
1
2
4
tan =






− x
π
t)
312
6
5
cot =






+ x
π
u)
3
3

5
7
12
cot =






− x
π
v)
( )
2
2
312sin =− x
π
w)
( )
xax 3sin2cos =−
x)
xbx 5cos)3sin( =−
y)







+=






− xx
6
5
cot
4
tan
ππ
z)
( )






+=− xx 7
12
7
tan3cot
π
π
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
II. Phương trình bậc 2 đối với một hm số lưng gic

A. Lý thuyết cần nhớ
Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx.
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t.
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a)
032cos72sin3
2
=−+ xx
b)
07sin5cos6
2
=−+ xx
c)
03sin52cos
=−−
xx
d)
01cos2cos
=++
xx
e)
1412cos3sin6
2
=+ xx
f)
7cos12sin4
24
=+ xx
g)

5cossin8
2
=− xx

2. Giải các phương trình lượng giác:
a)
1
5
cot3
2
=






+
π
x
b)
3
4
2tan
2
=







−
π
x
c)
12cot4tan7
=−
xx
d)
03cot)13(cot
2
=−−+ xx
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx v cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình:
cxbxa =+ cossin
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
222
cba ≤+
.
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho
22
ba +
rồi đặt:
22
cos
ba
a
+

=
α
;
22
sin
ba
b
+
=
α
.
Đưa phương trình về dạng:
βαβαα
sin)sin(sincossinsincos =+⇔=+ xxx
. Giải ra tìm được x.
B. Bài tập
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a)
xxy 2cos2sin)32( +−=
b)
xxxxxy cossin32cos2)cos(sin
2
++−=
c)
1)cossin2)(cos2(sin −+−= xxxxy
d)
4sincos2
3sin2cos
+−
++

=
xx
xx
y
2. Giải các phương trình sau:
a)
5cos3sin4 =− xx
b)
2
9
sin32cos3 =+ xx
c)
32cos22sin3 =+ xx
d)
xxx 14sin132cos32sin2 =+
e)
2cos3sin4 =− xx
f)
1cos3sin =− xx
3. Tìm các giá trị của






−∈
π
π
;

4
3
x
thoả mãn phương trình sau với mọi m:
xxxmxmxmxm sincoscoscossinsin
2222
−=+−−
4. Tìm các giá trị của
α
để phương trình:
a)
03cossin)2sin3cos3()3sin3(cos
2
=+−+−−+−+
αααααα
xx
có nghiệm x = 1.
b)
0sin)33(cos2)sin3()1cossin2(
222
=−−+−+−
ααααα
xx
có nghiệm x =
3
.
5. Giải phương trình:
a)
08
14sin5cos12

5
sin5cos12 =+
++
++
xx
xx
.
b)
042)cos5sin4(13)cos5sin4(
2
=+−−− xxxx
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
c)
6
1sin4cos3
6
sin4cos3 =
++
++
xx
xx
IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx v cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình:
dxcxxbxa =++
22
coscossinsin
- Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm.
- Nếu
0cos

≠
x
. Chia cả 2 vế của phương trình cho
x
2
cos
rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với
tanx:
0tantan)(
2
=−++− dcxbxda
.
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a)
0cos3cossin2sin
22
=−− xxxx
b)
2coscossinsin6
22
=−+ xxxx
c)
xxx 2cos2sin22sin
2
=−
d)
22cos2cos2sin22sin2
22
=+− xxxx

e)
1)cos(
2
3
sin2cos)sin(4
2
cossin4 =+






−+++






− xxxxxx
π
π
π
π
f)
2
1
cos2cossin4sin3
22

=+− xxxx
2. Giải các phương trình sau:
a)
xxx sin3cos4sin2
33
=+
b)






++=+






+
22
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2

sin3
22
3
cos
2
sin3
2222
ππ
xxxxxxx
3. Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:
0cos32sinsinsin
33
=−+ xxxx
. Chứng minh tam giác ABC vuông cân.
V. Phương trình đối xng đối với sinx v cosx.
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình:
cxxbxxa =+± cossin)cos(sin
.
Cách giải: Đặt
xxt cossin
±=
, ta có:
2|| ≤t
.
xxxt 2sin1cossin21
2
±=±=→
. Thay vào phương trình rồi
giải ra t.

B. Bài tập
1. Giải phương trình sau:
a)
xxxx cossintancot +=−
b)
12sin2cotsin2 +=+ xxx
c)
1sincos
33
−=− xx
d)
12sin4|cossin| =+− xxx
e)
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33
=++
f)
2)sin1)(cos1( =++ xx
VI. Một số dạng phương trình lưng gic khc
1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
02
4
3
cos2cos =−+
x
x

b)
)cot(tan
2
1
2sin
cossin
44
xx
x
xx
+=
+
c)
04tan32cos34tan3cos4
22
=++−+ xxxx
d)
xxx cos2sin1sin1 =−++
e)
2
7
24
sin42sin4cossin
22
−







−=−
x
xxx
π
f)
0
2
5
cos
2
tan
2
1
=+−
x
x
g)
0cos)34(cossin)2(2sin)12(3sin)64(
23
=−−−+−+− xmxxmxmxm
(Biện luận theo m).
h)
xxx 2tantan2tan1
2
=−
i)
1cos24sin
2
−= xx

Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
j)
14coscos8
4
=− xx
k)
2
cos2sin2cos1
2
x
xx =++
l)
2
3
4sin2sin
22
=+ xx
m)
xxxx cos3sin2tantan
=+
n)
)cos3(sin4cot3tan xxxx +=−
o)
xxx 2coscossin
33
=+
p)
xx tan4sin
=
q)

1)cos44(cossin44sin =−−− xxxx

r)
2)sin(tan5)cos(cot3 =−−− xxxx
s)
27sin37cos −=− xx
t)
1sin22tan =− xx
u)
xx 3sincos2
3
=
v)
x
x
x
sin1
cos1
tan
2
−
+
=
w)
)cos(sin
6
5
cossin
4466
xxxx +=+

x)
x
xx
xx
4cos
4
tan
4
tan
2cos2sin
4
44
=






+






−
+
ππ
y)

4
1
4
tan
4
tan
cossin
66
−=






+






−
+
xx
xx
ππ
z)
01cos2sin2cos
2

=+++ xxx
2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
x
x
x
2sin1
tan1
tan1
+=
+
−
b)
xx
x
sin
1
cos
1
4
sin22 +=






+
π
c)

82cos2sin3cos6sin9
=+−+
xxxx
d)
xxx 3sin26)4cos2(cos
2
+=−
e)
1
sin5
5sin
=
x
x
f)
2
1
2
3
sin
2
sinsin
2
3
cos
2
coscos =−
xx
x
xx

x
g)
)105,10sin(6cos4sin
22
xxx +=−
π
. Tìm các nghiệm thuộc khoảng






2
;0
π
h)
xxxxx 2cos
4
5
)cos(sin2cossin
101088
++=+
i)
xxx 2cos222cos22sin3
2
+=−
j)
2
3

3sin2sinsin
222
=++ xxx
k)
x
xx
cos
1
cossin3 =+
l)
1
2tan22tan2cot
+
+=
xxx
m)
xxxx sin28cos22310sin2cos2 +=+
n)
xxxx cos4sin12cos22sin −+=+
o)
3tan22sin =+ xx
p)
xxxx 4sin
2
1
2cos)coscos1( =+−
q)
1cot
)sin(cos2
2cottan

1
−
−
=
+ x
xx
xx
r)
xx sin2
4
sin
3
=






+
π
s)
01cos263sinsin22cos28
436
=−−+ xxxx
t)
xxxxx cossin2sinsincos
33
++=+
u)

)1sin2(sincos43
2
+=− xxx
v)
xxxx 8sin2coscossin34 =
w)
xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan
2222
+−=
x)
0
tan1
cos
3
4
cos
2
2
=
−
−
x
x
x
y)







+=






− xxx
4
sin2sin
4
3sin
ππ
z)
xxx 2coscossin
=+
3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
0239
cotcot
=−+
xx
b)
01sincos
2
=++ xx
c)
022cos23sin =−+ xx
d)

02sinsin3sin =+− xxx
e)
02cos32cos =++ xx
f)
13cos24cos3
2
=− xx
g)
xxxxx 2sinsin23cos2coscos31
+=++
h)
xxxx 2cos3sin2tantan
−=+
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
i)
x
x
x
cos
cos1
tan
2
+
=
j)
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33

=++
k)
)2cos2(sin2cottan xxxx +=+
l)
xxxx 2cos3cos)cos(sin22 +=+
m)
8
9
)
4
(sin)
4
(sinsin
444
=++−+
ππ
xxx
n)
0cos2
sin1
2sin
=+
+
x
x
x
o)
0cossin3sincos
23
=−+ xxxx

p)
xxx sin2cossin2
3
=+
q)
2cos1cos3 =+−− xx
r)
2cos2sin2cossin
=++
xxxx
s)
16
1
8cos4cos2coscos =xxxx
t)
xxxx 4cos2cos3sinsin
2222
+=+
u)
0)3cos2sin1(3cos)3sin2(cos3sin =−++− xxxxxx
v)
0
24
cos8
cos
)sin1(3
tantan3
2
2
3

=






−−
+
+−
x
x
x
xx
π
w)
xx 3sincos2
3
=
x)
04cossin32sin32cos =+−−− xxxx
y)
xxx tan1cos2cos
2
+=
z)
xxx cos)232(sin22cot3
22
+=+
4. Giải các phương trình sau:

a)
0
cos
1
cos222cos2sintan =






−+−−
x
xxxx
b)
)1(sin5)2cos3(sin4 −=− xxx
c)
)cos(sin2cossincossin2cos2
22
xxxxxxx +=++
d)
)cossin2(cos3sin2sintan
22
xxxxxx +=−
e)
xxxx
2
cos4)2tan(cot2sin =+
f)
0)cot2cot1(

sin
2
cos
1
48
24
=+−− xx
xx
g)
xxx 4coscossin
66
=+
h)
02sin2coscos
23
=−++ xxx
i)
2
tan2cos2
x
x =+
j)
)2sin1(23cos23cos
22
xxx +=−+
k)
03sin2sinsin
=++
xxx
l)

xxxx cossintancot +=−
m)
xxxx 2cossin212cos3sin +=+
n)
x
xx
cos
1
7cos82cos2 =+−
o)
4
1
4cossin3sincos3cos
333
+=− xxxxx
p)
82cos2sin3cos6sin9 =+−+ xxxx
q)
xxxxx 4sin3sincos3cossin
333
=+
r)
xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin +++=+++
s)
1coscossinsin2
22
−=−− xxxx
t)

0
cossin
12cos2sin
42
=
−+
xx
xx
u)
0cos2cossin2
3
=+− xxx
v)
xxx 2sinsincos1
33
=−+
w)
03cos2coscos1
=+++
xxx
x)
04cos3cos2coscos
=+++
xxxx
y)
0cossincos
32
=++ xxx
z)
1|sincos|sincos =++ xxxx

5. Giải các phương trình sau:
a)
xx sin52cos2
−=+
b)
)cos(sin2cossin
5533
xxxx +=+
c)
xxx 3cos2cossin
222
+=
d)
xx 3cos
3
cos8
3
=






+
π
e)
2|cossin||cossin| =++− xxxx
f)
12sin2cotsin2

+=+
xxx
g)
xxx 2cos
8
13
sincos
266
=−
h)
xx 2sin2tan31
=+
i)
)2tan(tan2coscos3sin
2
xxxxx +=
j)
1099
22
cossin
=+
xx
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
k)
xxx cos82sin23cos4
3
=+
l)
x
x

cos
2
1
2
=−
m)
xx sin2
4
sin
3
=






+
π
n)
5
5sin
3
3sin xx
=
VII. Hệ phương trình lưng gic
1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau:
a)
3
3

1
tantan
π
=+
=
yx
yx
b)
yx
yx
tantan3
4
1
cossin
=
=
c)
6tantan
3tantan
=
=
=++
zy
yx
zyx
π
d)
2coscos
2sinsin
=+

=+
yx
yx
e)
yxx
yxx
sinsincos
coscossin
2
2
=
=
f)
12cos32cos
1tantantantan
−=+
=−−
xy
yxxy
g)






−=+







+=+
4
sin2cottan
4
sin2cottan
π
π
xyy
yxx
h)
4
5
sincos
2
3
cossin
22
=+
=+
yx
yx
VIII. Cc dạng bi tập khc
1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình
0cos2sin51
2
=+− xx
thoả mãn

0cos
≥
x
.
2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
xxxxy sincoscossin +=
.
3. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn:
mCBA =++
222
sinsinsin
. Nếu m = 2 thì tam giác
ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù.
4. Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn:
2
sin2
2
sin
2
sin2sinsinsin
CBA
CBA =−++
. Chứng minh rằng
số đo của góc C là 120
o
.
5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
1
2
tan

2
A
tan =+
B
. Chứng minh rằng:
1
2
tan
4
3
<≤
C
.
6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT:
|1||1|cos2sin2
22
−++=++− aaxxxx
.
7. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:
3)cotcot(cot
sin
1
sin
1
sin
1
=++−++ CBA
CBA
8. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
012cos2cos2cos =+++ CBA

thì tam giác đó
là tam giác vuông.
9. Chứng minh rằng trong tam giác có:
)sin()()sin()(
2222
BCbcBCcb +−=−+
thì tam giác đó vuông hoặc
cân.
10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
xxy 5coscos5 −=
trên






−
4
;
4
ππ
.
11. Cho phương trình:
xm
xm
xm
xm
sin2
2cos

cos2
2sin
−
−
=
−
−
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Khi
0≠m
và
2±≠m
, phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn
]30,20[
ππ
.
12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
3
2
cot
2
cot2 =⇔+=
CA
cab
.
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
13. Cho tam giác ABC có:
1
2
tan

2
A
tan5 =
B
. Chứng minh rằng:
)(23 bac +=
.
14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
5cossin4sin2)(
2
++= xxxxf
.
15. Tìm các giá trị
)2,0(
π
∈x
sao cho
02cossincos
>−−
xxx
.
16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm
],0[
π
∈x
:
t
x
x
=

+
+
2sin
1sin2
.
17. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
S
cba
CBA
4
cotcotcot
222
++
=++
.
18. Chứng minh với
2
0
π
<< x
thì:
1
2
3
tansin2
222
+
>+
x
xx

.
19. Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
1coscoscos
=
++
++
cba
CcBbAa
. Chứng minh tam giác ABC đều.
20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
)8cos4(cos
2
1
)4cos2sin1(2 xxxxy −−+=
.
21. Giải phương trình sau:
0239
cotcot
=−+
xx
.
22. Cho tam giác ABC thoả mãn:
CB
a
C
c
B
b
sinsincoscos

=+
. Chứng minh tam giác ABC vuông.
23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có:
1coscoscos >++ CBA
.
24. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi
BbAaAbBa sinsincoscos
−=−
.
25. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có:
2
cot2tantan
C
BA =+
thì tam giác ABC cân.
26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn:
2
1
cossin
2
+−= xxy
.
27. Cho
xy 5sin
2
=
. Tính
)(n
y
.

28. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
x
x
y
cos2
sin3
1
+
+=
.
29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
1
1
4
cos
1
2
sin
22
+
+
+
+
=
x
x
x
x
y
.

30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong






4
;0
π
:
02cossin42cos
2
=−+− mxxxm
.
31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2tantan2cotcot
2244
+++= babaP
.
32. Với giá trị nào của a thì phương trình:
xna cossin1
2
=+
có nghiệm duy nhất.
33. Tìm m để bất phương trình:
03cossin2
2
≤−− xmx
nghiệm đúng







∈∀
2
;0
π
x
.
34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn:
0
2
5
)2cos2(cos32cos =+++ CBA
.
35. Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
BA
b)tan(abtanBAtan
+
+=+a
. Chứng minh tam giác ABC cân.
36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi
1coscoscos
222
>++ CBA
.

37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn
a
cb
CB
+
=+ coscos
thì tam giác ABC vuông.
38. Cho phương trình:
xxkxx cossinsincos
33
=+
.
a) Giải phương trình với
2=k
.
b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm.
Biên soạn: Action Facebook.com/nguyenvanthevn
39. Giải và biện luận phương trình:
2
3
sincos2)sin(cos2
2
+−+=+ xxmxxm
.
40. Cho phương trình:
xxmx tan1)(cos2cos
2
+=
.
a) Giải phương trình với m = 1.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn.
41. Chứng minh rằng
)
2
;0(
π
∈∀x
ta có:
6
cos
1
sin
1
cottansincos >+++++
xx
xxxx
42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
xxy
2020
cossin +=
.
43. Chứng minh rằng nếu
2
cot,
2
cot,
2
cot
CBA
theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì

3
2
cot.
2
cot =
CA
.
44. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
xx
y
cos
1
sin
1
+=
với






∈
2
;0
π
x
.
45. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn
)tantan(

2
tan BbAa
C
ba +=+
thì nó cân.