không gian metric riêng và một số định lý điểm bất động

Bộ Giáo dục và Đào tạo
Đại học Huế
Trường Đại học Sư phạm
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗    ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
HOÀNG THỊ PHƯƠNG LỘC
KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG VÀ
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG
HUẾ, NĂM 2014
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong
luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nào khác.
Hoàng Thị Phương Lộc
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình,
chu đáo của Thầy giáo, TS. Trương Văn Thương. Tôi xin gởi đến Thầy
sự trân trọng và lòng biết ơn sâu sắc.
Xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng đến BGH trường ĐHSP
Huế, Phòng Đào tạo SĐH trường ĐHSP Huế, cùng quý Thầy Cô giáo đã
tham gia giảng dạy Cao học Khóa 21,những người đã giúp tôi có được
kiến thức khoa học cũng như những điều kiện để hoàn thành công việc học
tập, nghiên cứu của mình.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè đã
quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Hoàng Thị Phương Lộc
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
Lời nói đầu 2
1 Các khái niệm cơ bản 3
1.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric . . . . . . 3
1.1.1 Định nghĩa không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Không gian mêtric đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric . . 5
1.2 Không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Định nghĩa không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Không gian mêtric riêng đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự . . . . . . . . . . . . . 11
2 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric
riêng 12
2.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng . . . 12
2.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric
riêng trên tập có thứ tự 21
3.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric riêng trên
tập có thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
1
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một ngành của Toán học, có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân, trong nhiều
nghiên cứu của Vật lí, . Những định lý điểm bất động đã xuất hiện từ đầu thế
kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên
lý ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các
lớp ánh xạ và không gian khác nhau, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán
học trong và ngoài nước.
Năm 1994, S.G. Matthews đưa ra khái niệm tôpô mêtric riêng. Trong không
gian mêtric riêng, khoảng cách từ một điểm đến chính nó có thể không bằng
không và trên không gian này, Matthews đã chứng minh được một số kết quả
về định lý điểm bất động. Tuy nhiên, mãi đến những năm đầu thế kỉ XXI,
S. Oltra (2004), O. Valero (2005), I. Altun, F. Sola và H. Simset (2010) mới
chứng minh được một số định lý điểm bất động tổng quát hơn trong không gian
mêtric riêng. Với không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự, Ishak Altun và Ali
Erduran (2011) đã thiết lập một số kết quả về định lý điểm bất động đối với
ánh xạ đơn điệu. Vì tính thời sự và hấp dẫn của vấn đề, dưới sự hướng dẫn của
TS. Trương Văn Thương, tôi chọn đề tài: "Không gian mêtric riêng và một số
định lý điểm bất động" để tìm hiểu và nghiên cứu.
Luận văn này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết một số kết quả về điểm
bất động trong không gian mêtric riêng, nội dung được chia làm ba chương.
Chương 1 giới thiệu một số khái niệm cơ bản bao gồm: các khái niệm về
không gian mêtric, một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric, các
khái niệm trong không gian mêtric riêng, mối quan hệ giữa không gian mêtric
và mêtric riêng.
Chương 2 sẽ trình bày về một số định lý điểm bất động trong không gian
mêtric riêng và một số ví dụ.

Chương 3 sẽ phát biểu một vài định lý điểm bất động trong không gian mêtric
riêng trên tập có thứ tự và một số ví dụ.
Mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng nhưng trong việc trình bày luận văn
không thể tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp cho luận văn.
Huế, ngày 15 tháng 9 năm 2014
Tác giả
2
Chương 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric
1.1.1 Định nghĩa không gian mêtric
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập không rỗng. Một ánh xạ d : X × X → R
được gọi là một mêtric trên X nếu:
(i) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X,
d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(ii) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X;
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x, y, z ∈ X.
Lúc đó cặp (X, d) được gọi là một không gian mêtric.
Ví dụ 1.1.1.
1) Trên R, công thức d(x, y) = |x − y| xác định một mêtric trên R.
2) Với hai điểm x = (x
1
, x
2
, . . . , x
k
) và y = (y
1
, y

2
, . . . , y
k
) của R
k
ta định nghĩa
d(x, y) =

k

i=1
(x
i
− y
i
)
2

1
2
thì d là một mêtric trên R
k
.
Mêtric ở hai ví dụ trên gọi là mêtric thông thường trên R và R
k
.
3) C
[a,b]
là tập hợp các hàm nhận giá trị thực và liên tục trên đoạn [a, b]. Với
x, y ∈ C

[a,b]
, ta định nghĩa
d(x, y) = max
t∈[a,b]
|x(t) − y(t)|
thì d xác định một mêtric trên C
[a,b]
.
3
1.1.2 Sự hội tụ
Định nghĩa 1.1.2. Cho (x
n
) là dãy trong không gian mêtric (X, d) và x
0
∈ X.
Ta nói dãy (x
n
) hội tụ về x
0
nếu lim
n→∞
d(x
n
, x
0
) = 0 và kí hiệu là lim
n→∞
x
n
= x

0
hay
x
n
→ x
0
.
Như vậy
lim
n→∞
x
n
= x
0
⇔ lim
n→∞
d(x
n
, x
0
) = 0.
⇔ ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N : ∀n ∈ N, n ≥ n
0
⇒ d(x
n
, x
0
) < ε.

Lúc đó x
0
được gọi là giới hạn của dãy (x
n
).
Nhận xét 1.1.1.
1) Giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất.
2) Nếu x
n
→ x
0
thì mọi dãy con của (x
n
) cũng hội tụ về x
0
.
3) Nếu x
n
→ x
0
và y
n
→ y
0
thì d(x
n
, y
n
) → d(x
0

, y
0
).
1.1.3 Không gian mêtric đủ
Định nghĩa 1.1.3. Một dãy (x
n
) trong không gian mêtric X gọi là dãy Cauchy
hay dãy cơ bản nếu lim
m,n→∞
d(x
m
, x
n
) = 0.
Điều này có nghĩa là với mỗi ε > 0, tồn tại n
0
∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N
mà m, n ≥ n
0
thì d(x
m
, x
n
) < ε.
Nhận xét 1.1.2.
1) Nếu dãy (x
n
) hội tụ thì (x
n
) là dãy Cauchy.

2) Nếu dãy (x
n
) là dãy Cauchy và có một dãy con hội tụ về x
0
thì dãy (x
n
)
cũng hội tụ về x
0
.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian mêtric X được gọi là đủ nếu mọi dãy Cauchy
trong X đều hội tụ (về một phần tử của X).
Ví dụ 1.1.2.
1) R với mêtric thông thường là đủ.
2) Không gian R
k
với mêtric thông thường là đủ.
3) Không gian C
[a,b]
là đủ.
4
1.1.4 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric
Định nghĩa 1.1.5. Cho X là một tập khác rỗng và f : X → X là một ánh xạ.
Điểm x
0
∈ X được gọi là một điểm bất động của ánh xạ f nếu f(x
0
) = x
0
.

Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một tập khác rỗng. Ánh xạ f : X → X được gọi
là thỏa điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz K > 0 nếu
d(f(x), f (y)) ≤ Kd(x, y), ∀x, y ∈ X.
Nếu điều kiện này thỏa với hằng số Lipschitz K với K ∈ [0, 1) thì f được gọi
là ánh xạ co.
Định lý 1.1.1. (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho X là một không gian mêtric
đủ và f : X → X là một ánh xạ co. Khi đó f có duy nhất một điểm bất động.
Định nghĩa 1.1.7. Cho X là một không gian mêtric. Ánh xạ f : X → X được
gọi là liên tục tại x
0
∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X
mà d(x, x
0
) < δ thì d(f(x), f(x
0
)) < ε.
Như vậy, f liên tục tại x
0
tương đương với
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X)(d(x, x
0
) < δ ⇒ d(f(x), f(x
0
)) < ε).
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập A ⊂ X nếu f liên tục tại mọi x
0
∈ A. Nếu
f liên tục trên X ta sẽ gọi là liên tục.
Định lý 1.1.2. Cho X là một không gian mêtric, f : X → X là một ánh xạ và
x

0
∈ X. Lúc đó, f liên tục tại x
0
nếu và chỉ nếu với mọi dãy (x
n
) trong X mà
(x
n
) hội tụ về x
0
thì (f(x
n
)) hội tụ về f(x
0
).
Định lý 1.1.3. Cho X là không gian mêtric đủ và f : X → X là một ánh xạ.
Nếu tồn tại k ∈ N sao cho f
k
là một ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bất
động trong X.
Định nghĩa 1.1.8. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và f : X → X là một
ánh xạ. f được gọi là ánh xạ giãn nếu tồn tại k > 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta
có d(f(x), f(y)) ≥ kd(x, y).
Định lý 1.1.4. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ, f : X → X là ánh xạ giãn
và toàn ánh. Khi đó f có một điểm bất động.
1.2 Không gian mêtric riêng
1.2.1 Định nghĩa không gian mêtric riêng
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một tập khác rỗng, hàm p : X × X → R
+
được gọi

là một mêtric riêng hay p-mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
5
(1) x = y ⇔ p(x, x) = p(x, y) = p(y, y), với mọi x, y ∈ X;
(2) p(x, x) ≤ p(x, y), với mọi x, y ∈ X;
(3) p(x, y) = p(y, x), với mọi x, y ∈ X;
(4) p(x, z) ≤ p(x, y) + p(y, z) − p(y, y), với mọi x, y, z ∈ X.
Lúc đó cặp (X, p) được gọi là một không gian mêtric riêng hay không gian p-
mêtric.
Ví dụ 1.2.1. X = R
+
, p : X ×X → R
+
xác định bởi p(x, y) = max{x, y},∀x, y ∈ X.
Khi đó, (X, p) là một không gian mêtric riêng.
Ví dụ 1.2.2. Với x, y ∈ R
−
, ta định nghĩa p(x, y) = − min{x, y}. Khi đó, p là một
mêtric riêng trên R
−
.
Ví dụ 1.2.3. X = [0, 1], với x, y ∈ X, ta định nghĩa p(x, y) = e
max{x,y}
− 1 thì p
là một mêtric riêng trên X.
Nhận xét 1.2.1.
1. Nếu p(x, y) = 0 thì từ tính chất (1), (2) và (3) suy ra x = y. Tuy nhiên chiều
ngược lại nói chung không đúng.
Thật vậy, xét không gian mêtric riêng ở Ví dụ 1.2.1, ta thấy rằng p(x, x) = x
không nhất thiết bằng 0.
2. Nếu p là một mêtric riêng trên X thì hàm p

s
: X × X → R
+
xác định bởi
p
s
(x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y), ∀x, y ∈ X là một mêtric trên X.
1.2.2 Sự hội tụ
Định nghĩa 1.2.2. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng, (x
n
) là một dãy
trong X và x
0
∈ X. Ta nói dãy (x
n
) hội tụ về x
0
nếu lim
n→∞
p(x
n
, x
0
) = p(x
0
, x
0
),
và kí hiệu là x
n

→ x
0
.
Như vậy
x
n
→ x
0
⇔ lim
n→∞
p(x
n
, x
0
) = p(x
0
, x
0
).
⇔ ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N, ∀n ≥ n
0
: |p(x
n
, x
0
) − p(x
0
, x

0
)| < ε.
⇔ ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N, ∀n ≥ n
0
: p(x
n
, x
0
) − p(x
0
, x
0
) < ε.
Lúc đó x
0
được gọi là giới hạn của dãy (x
n
).
Nhận xét 1.2.2.
6
1) Giới hạn của một dãy (nếu có) là không duy nhất.
Thật vậy, xét không gian mêtric riêng ở Ví dụ 1.2.2 và dãy

−
1
n

.

Khi đó, ∀x ∈ X, ta có: p

−
1
n
, x

= − min

−
1
n
, x

.
Với mỗi ε > 0, ∃n
0
∈ N sao cho ∀n ∈ N mà n ≥ n
0
thì −
1
n
> x, khi đó ta
có:
p

−
1
n
, x


= −x = p(x, x) < p(x, x) + ε.
Suy ra p

−
1
n
, x

− p(x, x) < ε nên dãy

−
1
n

hội tụ về x, ∀x ∈ X.
Do đó, giới hạn của dãy trên là không duy nhất.
2) Nếu x
n
→ x
0
, y
n
→ y
0
thì p(x
n
, y
n
) → p(x

0
, y
0
).
Vì x
n
→ x
0
, y
n
→ y
0
nên ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N sao cho ∀n ≥ n
0
ta có:
p(x
n
, x
0
) − p(x
0
, x
0
) <
ε
2
và p(y
n

, y
0
) − p(y
0
, y
0
) <
ε
2
.
Khi đó:
p(x
n
, y
n
) − p(x
0
, y
0
) ≤ p(x
n
, x
0
) + p(x
0
, y
0
) + p(y
0
, y

n
) − p(x
0
, x
0
)
− p(y
0
, y
0
) − p(x
0
, y
0
)
= p(x
n
, x
0
) − p(x
0
, x
0
) + p(y
n
, y
0
) − p(y
0
, y

0
)
<
ε
2
+
ε
2
= ε.
Do đó p(x
n
, y
n
) → p(x
0
, y
0
).
Định nghĩa 1.2.3. Dãy (x
n
) trong không gian mêtric riêng (X, p) được gọi là
hội tụ thực sự (properly converges) đến x
0
∈ X nếu (x
n
) hội tụ về x
0
và
lim
n→∞

p(x
n
, x
n
) = p(x
0
, x
0
).
Như vậy
(x
n
) hội tụ thực sự đến x
0
⇔ lim
n→∞
p(x
n
, x
n
) = lim
n→∞
p(x
n
, x
0
) = p(x
0
, x
0

).
Nhận xét 1.2.3. Giới hạn của một dãy hội tụ thực sự (nếu có) là duy nhất.
Giả sử (x
n
) hội tụ thực sự về x
0
và x

0
. Ta có:
p(x
0
, x

0
) − p(x
0
, x
0
) ≤ p(x
0
, x
n
) + p(x
n
, x

0
) − p(x
n

, x
n
) − p(x
0
, x
0
)
= p(x
n
, x
0
) − p(x
0
, x
0
) + p(x

0
, x
n
) − p(x
n
, x
n
).
7
Vì (x
n
) hội tụ thực sự đến x
0

và x

0
nên ∀ε > 0, ∃n
0
sao cho ∀n ≥ n
0
thì:
p(x
n
, x
0
) − p(x
0
, x
0
) <
ε
2
và p(x

0
, x
n
) − p(x
n
, x
n
) <
ε

2
.
Suy ra p(x
0
, x

0
) − p(x
0
, x
0
) < ε. Vì điều này đúng với mọi ε > 0 nên ta được
p(x
0
, x

0
) = p(x
0
, x
0
).
Hoàn toàn tương tự ta cũng có p(x
0
, x

0
) = p(x

0

, x

0
).
Vậy p(x
0
, x
0
) = p(x
0
, x

0
) = p(x

0
, x

0
) nên x
0
= x

0
.
1.2.3 Không gian mêtric riêng đủ
Định nghĩa 1.2.4. Dãy (x
n
) trong không gian mêtric riêng (X, p) được gọi là
dãy Cauchy nếu lim

m,n→∞
[p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
)] = 0.
Điều này có nghĩa là với mỗi ε > 0, tồn tại n
0
∈ N sao cho với mọi m, n ∈ N
mà m, n ≥ n
0
thì p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
) < ε.
Định lý 1.2.1. Dãy (x
n
) trong không gian mêtric riêng (X, p) là dãy Cauchy
nếu và chỉ nếu nó là dãy Cauchy trong không gian mêtric (X, p
s
).

Chứng minh. Giả sử (x
n
) là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng (X, p).
Ta có:
p
s
(x
m
, x
n
) = 2p(x
m
, x
n
) − p(x
m
, x
m
) − p(x
n
, x
n
)
= p(x
m
, x
n
) − p(x
m
, x

m
) + p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
).
Vì (x
n
) là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng (X, p) nên ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
sao cho với mọi m, n ∈ N mà m, n ≥ n
0
ta có:
p(x
m
, x
n
) − p(x
m
, x
m
) <
ε
2
và p(x

m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
) <
ε
2
.
Suy ra p
s
(x
m
, x
n
) < ε nên (x
n
) là dãy Cauchy trong không gian mêtric (X, p
s
).
Ngược lại, giả sử (x
n
) là dãy Cauchy trong không gian mêtric (X, p
s
). Khi đó,
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N, ∀m, n ≥ n

0
: p
s
(x
m
, x
n
) < ε. Suy ra
2p(x
m
, x
n
) − p(x
m
, x
m
) − p(x
n
, x
n
) < ε.
⇒ [p(x
m
, x
n
) − p(x
m
, x
m
)] + [p(x

m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
)] < ε.
⇒p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
) < ε.
Do đó (x
n
) là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng (X, p).
Định nghĩa 1.2.5. Không gian mêtric riêng (X, p) được gọi là đủ nếu mọi dãy
Cauchy đều hội tụ thực sự trong X.
8
Định lý 1.2.2. Không gian mêtric riêng (X, p) là đủ khi và chỉ khi không gian
mêtric (X, p
s
) là đủ. Hơn nữa,
lim
n→∞
p

s
(x
n
, x) = 0 ⇔ p(x, x) = lim
n→∞
p(x
n
, x) = lim
m,n→∞
p(x
m
, x
n
).
Chứng minh. Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng đủ và (x
n
) là dãy Cauchy
trong không gian mêtric (X, p
s
). Theo Định lý 1.2.1 thì (x
n
) là dãy Cauchy trong
không gian mêtric riêng (X, p). Vì (X, p) là không gian đủ nên dãy (x
n
) hội tụ
thực sự về x ∈ X, tức là:
p(x, x) = lim
n→∞
p(x
n

, x) = lim
n→∞
p(x
n
, x
n
).
Ta có: p
s
(x
n
, x) = 2p(x
n
, x) − p(x
n
, x
n
) − p(x, x).
Cho n → ∞ ta được lim
n→∞
p
s
(x
n
, x) = 0 hay (x
n
) hội tụ về x trong không gian
mêtric (X, p
s
). Vậy (X, p

s
) là không gian mêtric đủ.
Ngược lại, giả sử (X, p
s
) là không gian mêtric đủ và (x
n
) là dãy Cauchy trong
không gian mêtric riêng (X, p). Theo Định lý 1.2.1 thì (x
n
) là dãy Cauchy trong
không gian mêtric (X, p
s
). Vì (X, p
s
) là không gian đủ nên (x
n
) hội tụ về x ∈ X
hay lim
n→∞
p
s
(x
n
, x) = 0. Khi đó ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N, ∀n ≥ n
0
ta có:
p
s

(x
n
, x) < ε ⇒ 2p(x
n
, x) − p(x
n
, x
n
) − p(x, x) < ε
⇒ [p(x
n
, x) − p(x
n
, x
n
)] + [p(x
n
, x) − p(x, x)] < ε
⇒



p(x
n
, x) − p(x
n
, x
n
) < ε
p(x

n
, x) − p(x, x) < ε
⇒ lim
n→∞
p(x
n
, x) = lim
n→∞
p(x
n
, x
n
) = p(x, x)
Do đó (x
n
) hội tụ thực sự về x ∈ X. Vì vậy, không gian (X, p) là đủ.
Việc kiểm tra
lim
n→∞
p
s
(x
n
, x) = 0 ⇔ p(x, x) = lim
n→∞
p(x
n
, x) = lim
m,n→∞
p(x

m
, x
n
).
là dễ dàng.
Bổ đề 1.2.1. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng và dãy (x
n
) trong X.
Nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho
p(x
n+1
, x
n
) ≤ kp(x
n
, x
n−1
), n = 1, 2, . . .
thì (x
n
) là dãy Cauchy trong X.
Chứng minh. Từ điều kiện của bổ đề và bằng phương pháp quy nạp, ta có:
p(x
n+1
, x
n
) ≤ kp(x
n
, x
n−1

) ≤ k
2
p(x
n−1
, x
n−2
) ≤ . . . ≤ k
n
p(x
1
, x
0
).
9
Do đó
p
s
(x
n+1
, x
n
) = 2p(x
n+1
, x
n
) − p(x
n+1
, x
n+1
) − p(x

n
, x
n
)
≤ 2p(x
n+1
, x
n
) + p(x
n+1
, x
n+1
) + p(x
n
, x
n
)
≤ 4p(x
n+1
, x
n
)
≤ 4k
n
p(x
1
, x
0
).
Vì k ∈ [0, 1) nên lim

n→∞
p
s
(x
n+1
, x
n
) = 0. Khi đó:
p
s
(x
n+l
, x
n
) ≤ p
s
(x
n+l
, x
n+l−1
) + . . . + p
s
(x
n+2
, x
n+1
) + p
s
(x
n+1

, x
n
)
≤ 4k
n+l−1
p(x
1
, x
0
) + . . . + 4k
n+1
p(x
1
, x
0
) + 4k
n
p(x
1
, x
0
)
≤
4k
n
1 − k
p(x
1
, x
0

).
Cho n → ∞ ta được lim
n→∞
p
s
(x
n+l
, x
n
) = 0. Do đó (x
n
) là dãy Cauchy trong không
gian mêtric (X, p
s
), theo Định lý 1.2.1 suy ra (x
n
) là dãy Cauchy trong không
gian mêtric riêng (X, p).
Định nghĩa 1.2.6. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng, x
0
∈ X, r > 0,
tập hợp
B(x
0
, r) = {x ∈ X | p(x, x
0
) − p(x
0
, x
0

) < r}
được gọi là hình cầu mở tâm x
0
, bán kính r.
Định nghĩa 1.2.7. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng. Ánh xạ f : X → X
được gọi là liên tục tại x
0
∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
f (B(x
0
, δ)) ⊆ B (f(x
0
), ε) .
Ánh xạ f được gọi là liên tục trên A ⊆ X nếu f liên tục tại mọi x ∈ A. Nếu
f liên tục trên X thì ta sẽ gọi f là liên tục.
Định lý 1.2.3. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng và f : X → X là một
ánh xạ liên tục, (x
n
) là dãy trong X, x
0
∈ X. Khi đó, nếu (x
n
) hội tụ (hội tụ thực
sự) về x
0
thì (f(x
n
)) hội tụ (hội tụ thực sự) về f(x
0
).

Chứng minh. Giả sử (x
n
) hội tụ về x
0
∈ X. Khi đó, ∀ε > 0, chọn δ =
ε
2
, ∃n
0
∈ N
sao cho ∀n ≥ n
0
: p(x
n
, x
0
) − p(x
0
, x
0
) <
ε
2
= δ.
Suy ra x
n
∈ B(x
0
, δ). Vì f liên tục nên f(x
n

) ∈ f (B(x
0
, δ)) ⊆ B(f(x
0
), ε). Do
đó, p(f(x
n
), f(x
0
)) − p(f(x
0
), f(x
0
)) < ε suy ra (f(x
n
)) hội tụ về f(x
0
).
Trường hợp (x
n
) hội tụ thực sự về x
0
được chứng minh tương tự.
Định nghĩa 1.2.8. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng. Ánh xạ f : X → X
được gọi là co nếu có c ∈ [0, 1) sao cho
p (f(y), f(x)) − p (f(x), f(x)) ≤ c (p(y, x) − p(x, x)) , ∀x, y ∈ X.
10
1.3 Không gian mêtric riêng trên tập có thứ tự
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một tập khác rỗng. Một một quan hệ hai ngôi
"" trên X là một quan hệ thứ tự trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) x  x, ∀x ∈ X;
ii) Nếu x  y và y  x thì x = y, ∀x, y ∈ X;
iii) Nếu x  y và y  z thì x  z, ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó (X, ) là một tập thứ tự.
Nếu x  y và x = y thì ta kí hiệu là x ≺ y.
Định nghĩa 1.3.2. Cho tập X khác rỗng, (X, p, ) được gọi là một không gian
mêtric riêng trên tập có thứ tự nếu:
i) (X, p) là một không gian mêtric riêng;
ii) (X, ) là một tập thứ tự.
Định nghĩa 1.3.3. Cho (X, ) là một tập thứ tự, ta có các phát biểu sau:
i) Hai phần tử x, y ∈ X được gọi là so sánh được với nhau nếu x  y hoặc
y  x.
ii) Một tập A ⊂ X được gọi là sắp thứ tự tốt nếu hai phần tử bất kì của A
đều so sánh được với nhau.
iii) Ánh xạ f : X → X được gọi là không giảm nếu x  y thì f(x)  f(y).
Định nghĩa 1.3.4. Ánh xạ f : R
+
→ R được gọi là nửa liên tục dưới bên phải
tại x
0
∈ X (hay l.s.c tại x
0
) nếu với mỗi dãy số không tăng (x
n
) mà lim
n→∞
x
n
= x
0

thì lim inf
n→∞
f(x
n
) ≥ f(x
0
).
Nếu f l.s.c tại mọi x ∈ X thì ta sẽ gọi f là l.s.c.
11
Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG
2.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric
riêng
Trong không gian mêtric riêng, do tính chất p(x, x) không nhất thiết bằng
không nên ta có thể mở rộng nguyên lý ánh xạ co bằng sự xuất hiện của nhiều
hằng số hoặc một hàm số thỏa điều kiện nào đó. Trong một số trường hợp đặc
biệt của các định lí, ta sẽ thu được một số kết quả quen thuộc.
Định lý 2.1.1. [9] Cho (X, p) là không gian mêtric riêng đủ và f : X → X là
một ánh xạ co. Lúc đó, f có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Lấy x
0
∈ X, đặt x
1
= f(x
0
), x
2
= f(x
1

), . . . , x
n
= f(x
n−1
), . . . Khi đó
(x
n
) là dãy Cauchy trong X. Thật vậy, với hai số tự nhiên m, n mà m ≥ n, ta có:
p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
) ≤ p(x
m
, x
m−1
) − p(x
m−1
, x
m−1
) + . . . + p(x
n+1
, x
n
) − p(x
n

, x
n
).
Do f là ánh xạ co nên có c ∈ [0, 1) sao cho ∀n ∈ N thì:
p(x
n+1
, x
n
) − p(x
n
, x
n
) = p (f(x
n
), f(x
n−1
)) − p (f(x
n−1
), f(x
n−1
))
≤ c [p(x
n
, x
n−1
) − p(x
n−1
, x
n−1
)]

= c [p(f(x
n−1
), f(x
n−2
)) − p (f(x
n−2
), f(x
n−2
))]
≤ c
2
(p(x
n−1
, x
n−2
) − p(x
n−2
, x
n−2
))
. . .
≤ c
n
[p(x
1
, x
0
) − p(x
0
, x

0
)] .
12
Do đó:
p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
) ≤

c
m−1
+ c
m−2
+ . . . + c
n

(p(x
1
, x
0
) − p(x
0
, x
0
))

<
c
n
1 − c
(p(x
1
, x
0
) − p(x
0
, x
0
)) .
Vì 0 ≤ c < 1 nên lim
m,n→∞
[p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
)] = 0 hay (x
n
) là dãy Cauchy trong
không gian (X, p).
Theo giả thiết, (X, p) là không gian mêtric riêng đủ nên (x
n
) hội tụ thực sự

về x ∈ X tức là:
lim
n→∞
p(x
n
, x
n
) = lim
n→∞
p(x
n
, x) = p(x, x).
Tiếp theo ta chứng minh x là một điểm bất động của f.
Vì (x
n
) hội tụ thực sự đến x nên ∀ε > 0, ∃n
0
≥ 0, sao cho ∀n ∈ N, n ≥ n
0
thì
p(x
n
, x) − p(x, x) <
ε
1 + c
và p(x
n
, x) − p(x
n
, x

n
) <
ε
1 + c
.
Khi đó, ∀n ≥ n
0
, ta có:
p(x, f(x)) − p(x, x) ≤ p(x, x
n+1
) + p (x
n+1
, f(x)) − p (x
n+1
, x
n+1
) − p(x, x)
= p(x
n+1
, x) − p(x, x) + p (f(x), f(x
n
)) − p (f(x
n
), f(x
n
))
≤ p(x
n+1
, x) − p(x, x) + c [p(x, x
n

) − p(x
n
, x
n
)]
<
ε
1 + c
+ c.
ε
1 + c
= ε,
suy ra p(x, f(x)) = p(x, x).
Hoàn toàn tương tự ta có p(x, f(x)) = p(f(x), f(x)).
Do đó p(x, x) = p(x, f(x)) = p(f(x), f(x)), suy ra f(x) = x hay x là một điểm
bất động của f.
Cuối cùng ta sẽ chứng minh tính duy nhất của x. Giả sử x

là một điểm bất
động khác của f, tức là f(x

) = x

, ta có
p(x, x

) − p(x

, x


) = p(f(x), f(x

)) − p(f(x

), f(x

)) ≤ c(p(x, x

) − p(x

, x

)).
Suy ra (1 − c)(p(x, x

) − p(x

, x

)) ≤ 0. Vì c ∈ [0, 1) nên p(x, x

) − p(x

, x

) = 0, do đó
p(x, x

) = p(x


, x

).
Tương tự ta cũng có p(x, x

) = p(x, x). Vì vậy p(x, x) = p(x, x

) = p(x

, x

) nên
x = x

.
Vậy f có duy nhất một điểm bất động.
Định lý 2.1.2. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ và f : X → X là
một ánh xạ. Nếu tồn tại k ∈ N để f
k
là một ánh xạ co thì f có duy nhất một
điểm bất động.
13
Chứng minh. Vì f
k
là ánh xạ co trong không gian mêtric riêng đủ nên f
k
có
điểm bất động x
0
, và tồn tại c ∈ [0, 1) sao cho:

p(f(x
0
), x
0
) − p(x
0
, x
0
) = p

f
k
(f(x
0
)), f
k
(x
0
)

− p(f
k
(x
0
), f
k
(x
0
))
≤ c [p(f(x

0
), x
0
) − p(x
0
, x
0
)] .
Suy ra (1 − c) [p(f (x
0
), x
0
) − p(x
0
, x
0
)] ≤ 0. Vì c ∈ [0, 1) nên p(f(x
0
), x
0
) = p(x
0
, x
0
).
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: p(f(x
0
), x
0
) = p(f(x

0
), f(x
0
)).
Suy ra p(f(x
0
), x
0
) = p(f(x
0
), f(x
0
)) = p(x
0
, x
0
), do đó f(x
0
) = x
0
hay x
0
là một
điểm bất động của f.
Giả sử y
0
là một điểm bất động khác của f, tức là f(y
0
) = y
0

, suy ra f
k
(y
0
) = y
0
,
khi đó y
0
cũng là một điểm bất động của f
k
. Theo Định lý 2.1.1 suy ra x
0
= y
0
.
Vậy f có duy nhất một điểm bất động.
Định lý 2.1.3. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ và f : X → X là
một ánh xạ. Nếu tồn tại các số không âm a, b, c, d, e mà a + b + c + d + e < 1 sao
cho với mọi x, y ∈ X, ta có:
p(f(x), f (y)) ≤ ap(x, y) + bp(x, f(x)) + cp(y, f(y)) + dp(x, f(y)) + ep(y, f(x)), (2.1)
thì f có duy nhất một điểm bất động x. Hơn nữa p(x, x) = 0.
Chứng minh. Lấy x
0
∈ X, đặt x
1
= f(x
0
), x
2

= f(x
1
), . . . , x
n+1
= f(x
n
), . . .
Nếu ∃n
0
∈ N sao cho x
n
0
= x
n
0
+1
= f(x
n
0
) thì x
n
0
là một điểm bất động của
f. Ta giả sử x
n
= x
n+1
, ∀n ∈ N. Từ (2.1) ta có:
p(x
n+1

, x
n
) = p(f(x
n
), f(x
n−1
))
≤ ap(x
n
, x
n−1
) + bp(x
n
, x
n+1
) + cp(x
n−1
, x
n
) + dp(x
n
, x
n
)
+ ep(x
n−1
, x
n+1
)
≤ (a + c)p(x

n
, x
n−1
) + bp(x
n+1
, x
n
) + dp(x
n
, x
n
)
+ e [p(x
n+1
, x
n
) + p(x
n
, x
n−1
) − p(x
n
, x
n
)]
≤ (a + c + e)p(x
n
, x
n−1
) + (b + e)p(x

n+1
, x
n
) + (d − e)p(x
n
, x
n
). (2.2)
Hoàn toàn tương tự ta có:
p(x
n
, x
n+1
) = p(f(x
n−1
), f(x
n
))
≤ (a + b + d)p(x
n
, x
n−1
) + (c + d)p(x
n+1
, x
n
) + (e − d)p(x
n
, x
n

). (2.3)
Từ (2.2) và (2.3) suy ra p(x
n+1
, x
n
) ≤
2a + b + c + d + e
2 − b − c − d − e
p(x
n
, x
n−1
).
Đặt k =
2a + b + c + d + e
2 − b − c − d − e
thì k ∈ [0, 1) và p(x
n+1
, x
n
) ≤ kp(x
n
, x
n−1
).
Lặp lại các bước làm như trên ta có: p(x
n+1
, x
n
) ≤ k

n
p(x
1
, x
0
). Cho n → ∞ ta
được lim
n→∞
p(x
n+1
, x
n
) = 0, suy ra lim
n→∞
p(x
n
, x
n
) = 0.
14
Theo Bổ đề 1.2.1 suy ra (x
n
) là dãy Cauchy trong X. Vì X là không gian đủ
nên (x
n
) hội tụ thực sự về x ∈ X. Kết hợp với lim
n→∞
p(x
n
, x

n
) = 0 ta có:
p(x, x) = lim
n→∞
p(x
n
, x) = lim
n→∞
p(x
n
, x
n
) = 0.
Bây giờ ta sẽ chứng minh x là một điểm bất động của f. Ta có:
p(x, f(x)) ≤ p(x, x
n+1
) + p(x
n+1
, f(x)) − p(x
n+1
, x
n+1
)
≤ p(x, x
n+1
) + ap(x
n
, x) + bp(x
n
, x

n+1
) + cp(x, f(x)) + dp(x
n
, f(x))
+ ep(x, x
n+1
)
= (1 + e)p(x
n+1
, x) + ap(x
n
, x) + bp(x
n+1
, x
n
) + cp(x, f(x))
+ d [p(x
n
, x) + p(x, f(x)) − p(x, x)] .
Cho n → ∞ ta được (1 − c − d)p(x, f(x)) ≤ 0. Suy ra p(x, f(x)) = 0 nên x = f(x)
hay x là một điểm bất động của f.
Giả sử y là một điểm bất động khác của f, tức là f(y) = y. Khi đó ta có:
p(x, y) = p(f(x), f(y)) ≤ ap(x, y) + bp(x, f(x)) + cp(y, f(y)) + dp(x, f(y)) + ep(y, f(x))
≤ (a + b + c + d + e)p(x, y).
Suy ra (1 − a − b − c − d − e)p(x, y) ≤ 0 nên p(x, y) = 0 hay x = y.
Vậy f có duy nhất một điểm bất động.
Lấy d = e ở Định lý 2.1.3 ta được hệ quả sau:
Hệ quả 2.1.1. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ, giả sử f : X → X
là một ánh xạ. Nếu tồn tại các số không âm a, b, c, d mà a + b + c + 2d < 1 sao
cho với mọi x, y ∈ X, ta có:

p(f(x), f (y)) ≤ ap(x, y) + bp(x, f(x)) + cp(y, f(y)) + d[p(x, f(y)) + p(y, f(x))]
thì f có duy nhất một điểm bất động.
Lấy b = c = β, d = e = γ ở Định lý 2.1.3 ta được hệ quả sau:
Hệ quả 2.1.2. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ và f : X → X là
một ánh xạ. Nếu tồn tại các số không âm α, β, γ mà α + 2β + 2γ < 1 sao cho với
mọi x, y ∈ X, ta có:
p(f(x), f (y)) ≤ αp(x, y) + β [p(x, f(x)) + p(y, f(y))] + γ[p(x, f(y)) + p(y, f(x))]
thì f có duy nhất một điểm bất động.
Lấy b = c = d = e = 0 ở Định lý 2.1.3 ta được kết quả quen thuộc sau:
15
Hệ quả 2.1.3. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ, và f : X → X là
một ánh xạ. Nếu tồn tại a ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X, ta có:
p(f(x), f (y)) ≤ ap(x, y)
thì f có duy nhất một điểm bất động.
Lấy a = d = e = 0, b = c = α ở Định lý 2.1.3 ta được hệ quả sau
Hệ quả 2.1.4. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ, và f : X → X là
một ánh xạ. Nếu tồn tại α ∈

0,
1
2

sao cho với mọi x, y ∈ X, ta có:
p(f(x), f (y)) ≤ α [p(x, f(x)) + p(y, f(y))]
thì f có duy nhất một điểm bất động.
Ta đặt S là tập hợp gồm các ánh xạ β : R
+
→ [0, 1) sao cho nếu lim
n→∞
β(t

n
) = 1
thì lim
n→∞
t
n
= 0.
Định lý 2.1.4. [6] Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ và f : X → X
là một ánh xạ. Giả sử tồn tại β ∈ S sao cho với mọi x, y ∈ X ta có:
p(f(x), f (y)) ≤ β (M(x, y)) max{p(x, y), p(x, f(x)), p(y, f(y))}, (2.4)
trong đó M(x, y) = max{p(x, y), p(x, f(x)), p(y, f(y)),
1
2
[p(x, f(y)) + p(y, f(x))]}. Khi
đó f có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Lấy x
0
∈ X, đặt x
1
= f(x
0
), . . . , x
n+1
= f(x
n
), . . .
Nếu tồn tại n
0
∈ N sao cho x
n

0
+1
= x
n
0
thì x
n
0
là một điểm bất động của f.
Ta giả sử rằng x
n+1
= x
n
, ∀n ∈ N. Khi đó từ (2.4) ta có:
p(x
n+1
, x
n
) = p(f(x
n
), f(x
n−1
))
≤ β (M(x
n
, x
n−1
)) max{p(x
n
, x

n−1
), p(x
n+1
, x
n
)}
< max{p(x
n
, x
n−1
), p(x
n+1
, x
n
)}. (2.5)
Nếu max{p(x
n
, x
n−1
), p(x
n+1
, x
n
)} = p(x
n+1
, x
n
) thì từ (2.5) ta có p(x
n+1
, x

n
) <
p(x
n+1
, x
n
). Điều này vô lý, do đó max{p(x
n
, x
n−1
), p(x
n+1
, x
n
)} = p(x
n
, x
n−1
). Khi
đó:
p(x
n+1
, x
n
) ≤ β (M(x
n
, x
n−1
)) p(x
n

, x
n−1
) < p(x
n
, x
n−1
), (2.6)
suy ra dãy (p(x
n+1
, x
n
)) là dãy giảm các số thực dương nên dãy này hội tụ. Giả
sử lim
n→∞
p(x
n+1
, x
n
) = l ≥ 0.
Ta có
M(x
n
, x
n−1
) = max{p(x
n
, x
n−1
), p(x
n

, x
n+1
), p(x
n−1
, x
n
),
1
2
[p(x
n
, x
n
)+p(x
n−1
, x
n+1
)]}.
16
Vì
1
2
[p(x
n
, x
n
) + p(x
n−1
, x
n+1

)] ≤
1
2
[p(x
n
, x
n−1
) + p(x
n+1
, x
n
)] < p(x
n
, x
n−1
) nên
M(x
n
, x
n−1
) = p(x
n
, x
n−1
).
Từ (2.6) ta có p(x
n+1
, x
n
) ≤ β(p(x

n
, x
n−1
))p(x
n
, x
n−1
), suy ra
p(x
n+1
, x
n
)
p(x
n
, x
n−1
)
≤ β(p(x
n
, x
n−1
)) < 1.
Cho n → ∞ ta được lim
n→∞
β(p(x
n
, x
n−1
)) = 1. Vì β ∈ S nên lim

n→∞
p(x
n
, x
n−1
) = 0,
do đó lim
n→∞
p(x
n
, x
n
) = 0.
Bây giờ ta chứng minh (x
n
) là dãy Cauchy trong X, tức là chứng minh
lim
m,n→∞
[p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
)] = 0. Giả sử lim sup
m,n→∞
[p(x
m

, x
n
) − p(x
n
, x
n
)] > 0. Ta
có:
p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
)
≤ p(x
m
, x
m+1
) + p(x
m+1
, x
n+1
) + p(x
n+1
, x
n
) − p(x

m+1
, x
m+1
) − p(x
n+1
, x
n+1
)
− p(x
n
, x
n
)
≤ p(x
m+1
, x
m
) + p(x
n+1
, x
n
) + p(x
m+1
, x
n+1
) − p(x
n
, x
n
)

≤ p(x
m+1
, x
m
) + p(x
n+1
, x
n
)
+ β(M(x
m
, x
n
)) max{p(x
m
, x
n
), p(x
m
, x
m+1
), p(x
n
, x
n+1
)} − p(x
n
, x
n
)

≤ p(x
m+1
, x
m
) + p(x
n+1
, x
n
) + β(M(x
m
, x
n
))p(x
m
, x
n
)
+ β(M(x
m
, x
n
)) max{p(x
m+1
, x
m
), p(x
n+1
, x
n
)} − p(x

n
, x
n
)
≤ p(x
m+1
, x
m
) + p(x
n+1
, x
n
) + max{p(x
m+1
, x
m
), p(x
n+1
, x
n
)}
+ β(M(x
m
, x
n
))p(x
m
, x
n
) − β(M(x

m
, x
n
))p(x
n
, x
n
)
≤ 3 max{p(x
m+1
, x
m
), p(x
n+1
, x
n
)} + β(M(x
m
, x
n
)) (p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
)) .
Suy ra p(x

m
, x
n
)−p(x
n
, x
n
) ≤
3
1 − β(M(x
m
, x
n
))
max{p(x
m+1
, x
m
), p(x
n+1
, x
n
)}. Do
đó lim sup
m,n→∞
β(M(x
m
, x
n
)) = 1. Vì β ∈ S nên lim sup

m,n→∞
M(x
m
, x
n
) = 0.
Mặt khác, vì lim sup
m,n→∞
[p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
)] > 0 nên lim sup
m,n→∞
p(x
m
, x
n
) > 0, do đó
lim sup
m,n→∞
M(x
m
, x
n
) > 0. Điều này mâu thuẫn, nên lim sup

m,n→∞
[p(x
m
, x
n
) − p(x
n
, x
n
)] = 0.
Do đó (x
n
) là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng (X, p). Vì X là đủ nên
(x
n
) hội tụ thực sự về x ∈ X, kết hợp với lim
n→∞
p(x
n
, x
n
) = 0 ta có:
p(x, x) = lim
n→∞
p(x
n
, x) = lim
n→∞
p(x
n

, x
n
) = 0.
Tiếp theo ta chứng minh x là một điểm bất động của f. Giả sử p(x, f (x)) > 0,
ta có:
17
p(x, f(x)) ≤ p(x, x
n+1
) + p(x
n+1
, f(x)) − p(x
n+1
, x
n+1
)
≤ p(x, x
n+1
) + p(x
n+1
, f(x))
≤ p(x, x
n+1
) + β(M(x
n
, x)) max{p(x
n
, x), p(x
n
, x
n+1

), p(x, f(x))}
≤ p(x, x
n+1
) + β(M(x
n
, x)) max{p(x
n
, x), p(x
n+1
, x
n
)}
+ β(M(x
n
, x))p(x, f(x))
≤ p(x, x
n+1
) + max{p(x
n
, x), p(x
n+1
, x
n
)} + β(M(x
n
, x))p(x, f(x)).
Suy ra p(x, f(x)) ≤
1
1 − β(M(x
n

, x))
[p(x, x
n+1
) + max{p(x
n
, x), p(x
n
, x
n+1
)}] .
Cho n → ∞ ta được lim
n→∞
β(M(x
n
, x)) = 1. Vì β ∈ S nên lim
n→∞
M(x
n
, x) = 0.
Mặt khác, vì p(x, f(x)) > 0 nên lim
n→∞
M(x
n
, x) > 0. Điều này mâu thuẫn, do đó
p(x, f(x)) = 0 nên x = f(x) hay x là một điểm bất động của f.
Giả sử y là một điểm bất động khác của f. Giả sử p(x, y) > 0. Ta có:
p(x, y) = p(f(x), f(y)) ≤ β(M(x, y)) max{p(x, y), p(x, f(x)), p(y, f(y))} < p(x, y).
Điều này mâu thuẫn nên p(x, y) = 0 hay x = y.
Vậy f có duy nhất một điểm bất động.
Nếu max{p(x, y), p(x, f(x)), p(y, f(y))} = p(x, y) thì từ Định lý 2.1.4 ta có hệ

quả sau:
Hệ quả 2.1.5. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ và f : X → X là
một ánh xạ. Giả sử tồn tại β ∈ S sao cho với mọi x, y ∈ X ta có:
p(f(x), f (y)) ≤ β (M(x, y)) p(x, y),
trong đó M(x, y) = max{p(x, y), p(x, f(x)), p(y, f(y)),
1
2
[p(x, f(y)) + p(y, f(x))]}. Khi
đó f có duy nhất một điểm bất động.
Nếu β(t) ≡ λ, λ ∈ [0, 1) thì từ Định lý 2.1.4 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.1.6. Cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ và f : X → X là
một ánh xạ. Nếu tồn tại λ ∈ [0, 1) sao cho với mọi x, y ∈ X ta có:
p(f(x), f (y)) ≤ λ max{p(x, y), p(x, f(x)), p(y, f(y))}.
Khi đó f có duy nhất một điểm bất động.
Nếu max{p(x, y), p(x, f(x)), p(y, f(y))} = p(x, y) thì từ Hệ quả 2.1.6 ta cũng có
được Hệ quả 2.1.3.
18
2.2 Một số ví dụ
Ví dụ 2.2.1. Xét không gian mêtric riêng đủ (X, p) với X = [0, +∞), và p được
xác định bởi p(x, y) = max{x, y}, ∀x, y ∈ X.
Ta xác định ánh xạ f : X → X như sau: f(x) =
x
3
, ∀x ∈ X.
Chọn a =
1
12
, b =
1
6

, c =
1
8
thì a + 2b + 2 c =
2
3
< 1.
Với mọi x, y ∈ X, không mất tính tổng quát, ta giả sử x ≥ y ≥ 0. Khi đó ta
có:
p(f(x), f (y)) = max

x
3
,
y
3

=
x
3
,
ap(x, y) + b [p(x, f(x)) + p(y, f(y))] + c [p(y, f(x)) + p(x, f (y))]
=
1
12
x +
1
6
(x + y) +
1

8

max

x
3
, y

+ x

=
3
8
x +
1
6
y +
1
8
max

x
3
, y

≥
1
3
x.
Suy ra p(f(x), f(y) ≤ ap(x, y) + b [p(x, f(x)) + p(y, f(y))] + c [p(y, f(x)) + p(x, f(y))],

với mọi x, y ∈ X. Khi đó, các điều kiện của Hệ quả 2.1.2 được thỏa mãn nên f
có duy nhất điểm bất động, và x = 0 là điểm bất động duy nhất của f.
Ví dụ 2.2.2. Xét không gian mêtric riêng đủ (X, p) với X = [0, 1], và p được xác
định bởi p(x, y) = e
max{x,y}
− 1, ∀x, y ∈ X.
Ta xác định ánh xạ f : X → X như sau:
f(x) =



0, nếu x = 1,
x
2
, nếu x = 1.
Chọn β(t) ≡
1
2
, ∀t ≥ 0 thì β ∈ S. Ta sẽ chứng minh p(f(x), f(y)) ≤ β(M(x, y))p(x, y).
Ta xét các trường hợp sau:
(1) Nếu x = y = 1 thì f(x) = f(y) = 0, p(f(x), f(y)) = 0, p(x, y) = e − 1. Khi đó
ta có:
p(f(x), f (y)) = 0 ≤
1
2
(e − 1) = β(M(x, y)).p(x, y).
(2) Nếu 0 ≤ y < x = 1 thì f(x) = 0, f(y) =
y
2
, p(f(x), f(y)) = e

y
2
− 1,
p(x, y) = e − 1. Khi đó ta có:
p(f(x), f (y)) = e
y
2
− 1 ≤
1
2
(e
y
− 1) ≤
1
2
(e − 1) = β(M(x, y))p(x, y).
(3) Nếu 0 ≤ y ≤ x < 1 thì f(x) =
x
2
, f(y) =
y
2
, p(f(x), f(y)) = e
x
2
− 1,
p(x, y) = e
x
− 1. Khi đó ta có:
p(f(x), f (y)) = e

x
2
−1
− 1 ≤
1
2
(e
x
− 1) = β(M(x, y))p(x, y).
19
Vậy p(f(x), f(y)) ≤ β(M(x, y))p(x, y), ∀x, y ∈ X. Các điều kiện của Hệ quả 2.1.5
được thỏa mãn, suy ra f có duy nhất một điểm bất động. Dễ thấy x = 0 là điểm
bất động duy nhất của f.
20
Chương 3
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG
KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG TRÊN TẬP CÓ
THỨ TỰ
3.1 Một số định lý điểm bất động trong không gian mêtric
riêng trên tập có thứ tự
Nếu ta trang bị trên X một quan hệ thứ tự, thì việc sử dụng điều kiện của
các định lý cho các phần tử của X không còn được như ở Chương 1, tuy nhiên
với cách lập luận tương tự ta có thể chứng minh được một số định lý có các điều
kiện tương tự như vậy.
Định lý 3.1.1. Cho (X, ) là một tập thứ tự, giả sử tồn tại p-mêtric p trên X
sao cho (X, p) là một không gian mêtric riêng đủ, f : X → X là một ánh xạ
không giảm. Giả sử tồn tại các số không âm a, b, c, d mà a + b + c + 2d < 1 sao
cho với mọi x, y ∈ X, y  x ta có:
p(f(x), f (y)) ≤ ap(x, y) + bp(x, f(x)) + cp(y, f(y)) + d [p(x, f(y)) + p(y, f(x))] .
(3.1)

Nếu tồn tại x
0
∈ X sao cho x
0
 f(x
0
) và một trong hai điều kiện sau được thỏa
mãn:
(i) f liên tục trên X;
(ii) Nếu (x
n
) là một dãy tăng và hội tụ về x ∈ X thì x
n
 x, ∀n ∈ N;
thì f có một điểm bất động. Hơn nữa, nếu tập các điểm bất động của f được sắp
thứ tự tốt thì f có duy nhất một điểm bất động.
21
Chứng minh. Nếu x
0
= f(x
0
) thì x
0
là một điểm bất động của f , định lý được
chứng minh. Giả sử x
0
= f(x
0
).
Đặt x

1
= f(x
0
), x
2
= f(x
1
), . . . , x
n+1
= f(x
n
), . . .
Nếu ∃n
0
∈ N sao cho x
n
0
= x
n
0
+1
= f(x
n
0
) thì x
n
0
là một điểm bất động của
f, định lý được chứng minh. Giả sử rằng x
n

= x
n+1
, ∀n ∈ N.
Vì x
0
 f(x
0
) = x
1
và f là ánh xạ không giảm nên f(x
0
)  f(x
1
) hay x
1
 x
2
.
Tương tự như vậy ta có:
x
0
 x
1
 . . .  x
n−1
 x
n
 x
n+1
 . . .

Vì x
n−1
 x
n
nên
p(x
n+1
, x
n
) = p(f(x
n
), f(x
n−1
))
≤ ap(x
n
, x
n−1
) + bp(x
n
, x
n+1
) + cp(x
n−1
, x
n
)
+ d [p(x
n
, x

n
) + p(x
n−1
, x
n+1
)]
≤ (a + c)p(x
n
, x
n−1
) + bp(x
n+1
, x
n
) + d [p(x
n+1
, x
n
) + p(x
n
, x
n−1
)]
= (a + c + d)p(x
n
, x
n−1
) + (b + d)p(x
n+1
, x

n
).
Suy ra p(x
n+1
, x
n
) ≤
a + c + d
1 − b − d
p(x
n
, x
n−1
).
Đặt k =
a + c + d
1 − b − d
thì k ∈ [0, 1) và p(x
n+1
, x
n
) ≤ kp(x
n
, x
n−1
).
Lặp lại bước làm như trên ta có p(x
n+1
, x
n

) ≤ k
n
p(x
1
, x
0
). Cho n → ∞ ta được
lim
n→∞
p(x
n+1
, x
n
) = 0, suy ra lim
n→∞
p(x
n
, x
n
) = 0.
Theo Bổ đề 1.2.1 thì (x
n
) là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng (X, p).
Vì X là đủ nên (x
n
) hội tụ thực sự về x ∈ X, kết hợp với lim
n→∞
p(x
n
, x

n
) = 0 ta có
p(x, x) = lim
n→∞
p(x
n
, x) = lim
n→∞
p(x
n
, x
n
) = 0.
Bây giờ ta chứng minh x là một điểm bất động của f.
Trường hợp i)
Vì x
n
→ x và f liên tục nên f (x
n
) → f(x). Khi đó:
p(x, f(x)) = lim
n→∞
p(x
n+1
, f(x
n
))
= lim
n→∞
p(f(x

n
), f(x
n
))
≤ lim
n→∞
[ap(x
n
, x
n
) + (b + c + 2d)p(x
n+1
, x
n
)]
≤ lim
n→∞
(a + b + c + 2d)p(x
n+1
, x
n
) = 0.
Suy ra p(x, f(x)) = 0 nên f(x) = x hay x là một điểm bất động của f.
Trường hợp ii)
22