Giải tích lồi và áp dụng

1

đại học thái nguyên
trờng đại học s phạm
khoa toán










Giải tích lồi và áp
Giải tích lồi và ápGiải tích lồi và áp
Giải tích lồi và áp dụng
dụng dụng
dụng








Chuyên ngành: Giải tích

luận văn tốt nghiệp đại học















thái nguyên



2

Mục lục
Trang
Mở đầu
4
Chơng1. Các định lý tách tập lồi
5
1. định lý tách tập lồi trong không gian tuyến tính 5
1.1.định nghĩa tập lồi 5

1.2.các tính chất 5
1.3.định lý tách 8
2. định lý tách tập lồi trong không gian tôpô tuến tính 11
2.1.Định lý 1 11
2.2.Định lý 2 15
2.3.Định lý 3 17
Chơng 2.các định lý điểm bất động
18
1.Giới thiệu một số định lý 18
1.1.Nguyên lý ánh xạ co 18
1.2.Định lý(Banach) 18
1.3.Hệ quả 19
1.4.Ví dụ 19
2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn 20
2.1. Một số định lý có liên quan 20
2.2.Định lý (J.Schauder) 24
2.3.Định lý (Peano) 25
3. Các định nghĩa 27
Chơng 3. lý thuyết cực trị
32
1.tích biến phân cổ điển 32
1.1.Các bài toán cực trị trong khoa học và kỹ thuật 32

3

1.2.Mở rộng bài toán biến phân cơ bản 32
1.3.Nghuyên lý Hamilton 36
1.4.Phiếm hàm phụ thuộc những đạo hàm cấp cao 39
1.5.Bài toán đầu mút động 42
1.6.Trờng hợp phiếm hàm phụ thuộc các đạo hàm cấp cao 45

2. Các ví dụ áp dụng 46
3. Bài toán lồi 49
Kết luận
52
Tài liệu tham khảo
53




















4

Mở đầu

1. Mục đích, lý do chọn đề tài
Một trong những mong muốn của những nhà toán học là ứng dụng đợc
môn toán vào thực tiễn đời sống và sản xuất
Chẳng hạn những bài toán trong những vấn đề về quản lý,sắp xếp để đạt
hiệu quả tốt nhất. Gần đây các phơng hớng phát triển các nguyên lý điểm
bất động đã có đợc rất nhiều thành công và phát triển mạnh
Do nhu cầu nghiên cứu những bài toán này mà hình thành môn giả tích
lồi, vì thế em đặc biệt quan tâm tìm hiểu những vấn đề mở rộng hơn nhờ việc
ứng dụng giải tích lồi do đó em đã chọn đề tài Giải tích lồi và áp dụng.
2. Phơng pháp nghiên cứu
Sử dụng đồng thời các phơng pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp để
nêu nên đợc mối liên hệ giữa các khái niệm và các định lý, từ đó hiểu rõ hơn
các ứng dụng của giải tích lồi vào thực tiễn.
3. Phạm vi đề tài
Nội dung đề tài bao gồm: Phần mở đầu, Chơng 1, chơng 2, chơng 3,
kết luận và tài liệu tham khảo.
Chơng 1: Các định lý tách tập lồi
Chơng 2:Các định lý điểm bất động
Chơng 3: Lý thuyết cực trị







5

Chơng 1

Các định lý tách tập lồi

1. Định lý tách tập lồi trong không gian tuyến tính
1.1. Định nghĩa tập lồi
Tập K

X gọi là lồi nếu

x, y

K,





[0,1], điểm

x + (1 -

)y

K
Ví dụ
Trong không gian ba chiều các hình tứ diện, hình lập phơng, hình cầu
đều là tập lồi
Trong không gian tuyến tính định chuẩn mỗi hình cầu tâm a, bán kính r
là tập lồi
Mỗi không gian con của không gian tuyến tính là tâp lồi
Nếu f(x) là phiếm hàm tuyến tính thì tập {x: f(x)

a}, {x: f(x)

a} với a
cố định là tập lồi
1.2. Các tính chất
Bổ đề 1
Giao của họ bất kỳ các tập lồi trong không gian tuyến tính X là tập lồ
Chứng minh
Việc chứng minh đợc suy trực tiếp từ định nghĩa
Bổ đề 2
Nếu x
1
, x
2
, ,x
n
là các điểm của tập lồi K, còn a
1
,a
2
, ,a
n
là các vô
hớng không âm sao cho

=
=
n
i

i
a
1
1 thì

=

n
i
ii
Kxa
1

Chứng minh
n = 2 theo định nghĩa định lý đợc chứng minh

6

Giả sử định lý đúng với n = m ta phải chứng minh định lý đúng với
n = m +1
Đặt b = a
2
+ + a
m+1
và
1
1
2
2

+
+
++=
m
m
x
b
a
x
b
a
y
, theo truy chứng ta
có
K
y

vì a
1
+ b = 1 nên

+
=
+=
1
1
11
m
i
ii

byxaxa

K Đpcm
Bổ đề 3
Cho X là không gian tuyến tính
Nếu K
1
, K
2
lồi trong X thì

K
1
và K
1


K
2
cũng lồi
Chứng minh
Cho x, y



K
1


x =

x
1
y =

y
1
x
1
,y
1


K
1
khi đó nếu 0





1, nhờ tính lồi của K
1
có
ax + (1 a)y =

( ax
1
+ (1-a)y
1

)



K
1

Tơng tự x,y

K
1
+ K
2


x = x
1
+ x
1


y = y
1
+ y
2
x
1
, y
1

K
1

x
2
, y
2


K
2

Nhờ tính lồi của K
1
, K
2
ta có
ax + (1-a)y = a(x
1
+ x
2
) + (1-a)( y
1
+ y
2
)
= ax
1`
+ (1-a)y

1
+ ax
2
+ (1-a)y
2


K
1
+ K
2

Tơng tự K
1
K
2
cũng là lồi
Bổ đề 4
Nếu T là ánh xạ tuyến tính không gian X vào D, còn A là tập lồi trong X
thì TA lồi
Định nghĩa
Cho M là không gian con tuyến tính của X

7

Điểm p gọi là c- điểm trong của M nếu với mỗi x

X,

> 0,

<



p +

x

M
Điểm p gọi là c-điểm biên của M nếu nó không là c- điểm trong của M
và phần bù của M
Định nghĩa phiếm hàm Mincôpski
Cho K là tập lồi của không gian tuyến tính X và cho 0 là c-điểm trong
của K, với mỗi x

X, đặt I(x) = {a: a > 0, a
-1
x

K }

)(
inf)(
xIa
axF

=

Hàm F(x) gọi là phiếm hàm Mincôpski của tập hợp K
Ví dụ
Nếu K là hình cầu đơn vị của không gian Banach X thì F(x) =
x

Bổ đề 5
Nếu K là tập lồi của không gian X, có 0 là c- điểm trong
Cho F(x) là phiếm hàm Mincôpski của K khi đó
a, F(x)

0
b, F(x) < +


c, Nếu a

0 thì F(ax) = aF(x)
d, Nếu x

K thì F(x)

1
e, F(x + y)

F(x) + F(y)
f, Toàn bộ c-điểm trong của tập K đặc trng bởi F(x) < 1, Còn toàn bộ c-
điểm biên của nó bởi F(x) = 1
Chứng minh
a,c,d là rõ ràng

Khẳng định b đợc suy ra từ 0 là c- điểm trong của K
Để chứng minh khẳng định e, chú ý nếu c > F(x) + F(y) thì c = a + b
ở đây a > F(x), b > F(y)

8

Từ tính lồi của tập K suy ra điểm K
b
a
ybbxaa
b
a
yx
c
yx

+
+
=
+
+
=
+

)()(
11

Nh vậy F(x + y)

c

f, Nếu X là c- điểm trong của K thì điểm X +

x = (1 +

x) với

đủ nhỏ,



K


F(x)

( 1 +

)
-1
< 1
Ngợc lại, cho F(x) < 1, Đặt

= 1 F(x) và xét X là không gian thực
Giả sử

(F(y) + F(-y)) <

(1)
Ta có F(x +

y)

F(x) + F(

y) (2)
Nếu



0 thì F(

y) =

F(y) =

F(y)
Nếu

< 0 thì F(

y) = F[(-

)(-y)] = (-

)F(-y) =

F(-y)
Vậy F(

y)

[F(y) + F(-y)] với

tuỳ ý
Từ (2) có F(x +

y) < 1 không phụ thuộc vào dơng hay âm thoả mãn
(1) 1(x +

y) = x +

y

K x là c- điểm trong của phần bù của K
Tơng tự chứng minh bất đẳng thức F(x) > 1 đặc trng cho c-điểm
trong của phần bù của K
Nh vậy F(x) = 1 đặc trng cho c-điểm biên của K
1.3. Định lý tách
1.3.1. Định nghĩa
Cho X là không gian vectơ, M,N

X , phiếm hàm f gọi là tách tập hợp
M và N nếu tồn tại hằng số thực c sao cho Ref(M)

c, Ref(N)

c
1.3.2.Các tính chất

Bổ đề 1
Để phiếm hàm tuyến tính f tách tập M và N của không gian X, điều kiện
cần và đủ là nó tách tập hợp con M N và {0}
Chứng minh
Phiếm hàm tuyến tính tách M và N khi và chỉ khi

9

NyMx
yfxf


)(Reinf)(Resup

Nếu có (1) thì

x

M , y

N có
F(y-x) = f(y) f(x) Ref(y-x) = Re[f(y) f(x)]
= Ref(y) Ref(x)

0

NMz
zf

)(Reinf

Chứng tỏ f tách M-N và {0}
Ngợc lại nếu có (2) thì

x

M,

y

N:
f(y) - f(x) = f(y-x)

Re[f(y)-f(x)] = Ref(y-x)


Ref(y) - Ref(x) = Ref(y-x)

0
Ref(y)

Ref(x)

0,

x

M,

y

N

NyMx
yfxf


)(Reinf)(Resup

Bổ đề 2
Cho f là phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian véctơ X
D là không gian con của X, nếu f(D) không trùng với toàn bộ trờng vô hớng
T thì f(D)=0
Chứng minh
Nếu f(D)

0

f(D)

T

f(D)

T

f(D) = 0
Giả sử tồn tại y

D: f(y)

0 khi đó



= )
)(
(,
)( yf
y
fD
yf
y

Nh vậy mỗi vô hớng thuộc f(D)

T

f(D)
Tất nhiên f(D)

T. Vậy f(D) = T
1.3.3. Định lý(Định lý cơ bản về tách tập lồi)
Cho M và N là các tập lồi không giao nhau của không gian tuyến tính
X, Thêm vào M có c- điểm trong, khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính khác 0, f
tách M và N

10

Chứng minh
Giả sử X là không gian tuyến tính thực, nếu m là c-điểm trong của tập

hợp M thì điểm 0 của không gian X là c-điểm trong của tập M m
Dễ thấy phiếm hàm tách M và N khi và chỉ khi nó tách M m và N m
Nh vậy có thể bổ sung rằng 0 là c-điểm trong của M
Cho p

N nh thế p là c- điểm trong của M N, còn 0 là c- điểm trong
của K = M N P
Vì M và N không giao nhau nên tập hợp M N không chứa điểm 0 và
nh vậy K không chứa điểm p
Kí hiệu F là hàm Mincốpski của tập hợp K khi đó F(p)

1
Nếu đặt f
o
(

p) =

F(p) thì f
o
là phiếm hàm tuyến tính xác định trên
không gian con một chiều của không gian X gồm từ các bội thực của p
Ngoài ra

a

R có : f
o
(ap)

F(ap)
Vì f
o
(ap) = F(ap) khi a

0
Khi a < 0, f
o
(ap) = aF(p) < 0 < F(ap)
Theo định lý Han Bannach f
o
có thể thác triển đến phiếm hàm tuyến tính f
sao cho f(x)

F(x)

x

X
Từ đó suy ra f(K)

1, đồng thời f(p)

1
Nh vậy f tách tập K và p, theo bổ đề 1 thì f tách tập M và N
Nếu không gian X phức, ta chỉ xét phép nhân véctơ với số thực, có thể
coi nó nh một không gian tuyến tính thực
Nhờ chứng minh trên ta có thể xác định trên X hàm thực f sao cho
f(x+y) = f(x) +f(y)
f(

x) =

f(x)
Với

thực sao cho f(M) và f(N) thuộc các khoảng không giao nhau

11

Khi đó G(x) = f(x) - if(ix) là phiếm hàm tuyến tính khác 0 xác định trên
không gian phức X và tách M,N
2. Các định lý tách Tập lồi trong không gian tôpô tuyến tính
2.1. Định lý 1
Trong không gian tôpô tuyến tính
a, Bao đóng và phần trong của tập lồi là tập lồi
b, Điểm trong của một tập hợp là c- điểm trong của tập hợp đó
c, Nếu tập hợp lồi K của không gian tôpô tuyến tính có ít nhất một điểm trong
thì để p là điểm trong của K điều kiện cần và đủ là
p là c-điểm trong của K

p là điểm trong của K
p là c- điểm biên của K

p là điểm biên của K
Ngoài ra phần trong của tập K trù mật khắp nơi trong K
Chứng minh
a, Cho X là không gian tuyến tính, K

X, I = [0, 1], để tập K lồi, điều

kiện cần và đủ là ánh xạ

: [x,y,a]

ax + (1-a)y của tích tôpô XxXxI vào X
chuyển vào K, vì

liên tục và
K
K
K
ì
ì
=
I
K
K
ì
ì

Nên

(
I
K
K
ì
ì
) =

(
K
K
K
ì
ì
)


KIKK ìì )(

nếu K lồi
Vậy nếu K lồi thì
K
lồi.
Bây giờ chứng nếu p là điểm trong của tập hợp K và q


K
thì
ap + (1-a)q khi 0 < a < 1 là điểm trong của K
Thật vậy do p là điểm trong của K nên tồn tại lân cận U của 0,
p + U

K, do q


K
nên trong lân cận a(a-1)
-1

U + q của điểm q có
q
1


K, q
1
nằm trong lân cận của q đó
Hơn nữa vì K lồi nên tập mở U
1
= a(p + U) + (1 a) q
1


K
Vì (1-a)(q-q
1
)

aU nên ap +(1-a)q = ap +(1-a)q
1
+ (1-a)(q-q
1
)

U
1
và nh
thế ap +(1-a)q là điểm trong của K

12

Từ điều vừa chứng minh trực tiếp suy ra phần hai của a và phần sau của c
b, Khẳng định b trực tiếp suy từ định nghĩa của không gian tôpô tuyến tính
Từ b rõ ràng c- điểm trong của tập hợp K là điểm biên của nó
Ta chứng minh nếu tập lồi K có ít nhất một điểm trong p thì c- điểm
trong q
1
của nó là điểm trong,điểm biên q
2
là c- điểm biên
Vì q
1
là c- điểm trong nên r = q
1
+

(q
1
p)

K với

> 0 đủ nhỏ nào
đó, từ chứng minh trên với

> 0 đủ nhỏ đó, điểm q
1
=

+
+
+
1
1
pr
là điểm
trong của K
Cho q
2
là điểm biên, khi đó nó không là c- điểm trong của K, nhng nh chứng
minh trên, khi 0 < a < 1 điểm ap + (1-a)q
2


K, nh vậy q
2
không là c- điểm
trong phần bù của K
Vậy q
2
là c-điểm biên của K
Định nghĩa
Nếu A là tập con của không gian tuyến tính X thì bao lồi của A, kí hiệu
w(A) là không gian của tấtcả các tập lồi chứa A , nếu X là không gian tôpô
tuyến tính bao lồi đóng của A , kí hiệu
)(Aw
là giao của tất cả các tập lồi đóng

chứa A
Rõ ràng w(A) là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính

=
n
i
ii
xa
1
các phần tử của
Ax
i

, Trong đó 0

a
i


1và
1
1
=

=
n
i
i
a
, tổ hợp tuyến tính nh thế gọi là tổ hợp lồi

Nh vậy w(A) là toàn bộ các tổ hợp lồi có thể có của các điểm của tập
hợp A
Bổ đề 1
Nếu A và K là các tập con đóng của nhóm cộng tôpô G , thêm vào K
song compac thì tập A + K đóng

13

Chứng minh
Cho p
K
A
+

với mỗi lân cận U của p, đặt K
U
= { k: k

K, k

U-A},
vì p
K
A
+

nên K
U

. Rõ ràng U
1


U
2


K
U
1


K
U
2

Theo bổ đề không gian tôpô là song compac, điều kiện cần và đủ là mỗi
họ có tâm các tập con đóng của nó có giao khác rỗng ,

k
0


K thuộc tất cả
các
U
K

, vậy nếu N là lân cận tuỳ ý của 0 thì ( N + k
0
)

( N +p A)




Điều này nghĩa là ( N N + k
0
)

( p A )




Nếu M là lân cận tuỳ ý của 0 thì tìm đợc lân cận của 0 sao cho
N N

M, Nh vậy mỗi lân cận của điểm k
0
giao với p A
Vì A đóng nên tập p a cũng đóng
Vậy k
0


p A

p

A + k
0


A + K
Bổ đề 2
Đối với các tập con tuy ý A và B của không gian tuyến tính X có
i,w(

A) =

w(A)
w(A+B) =w(A) + w(B)
nếu X là không gian tôpô tuyến tính thì
ii,
)()(
AwAw
=

iii,
)()(
AwAw

=

iv, nếu có A song compac thì
)()()( BwAwBAw +=+

Chứng minh
Phần đầu của i, suy từ bổ đề : Cho X là không gian tuyến tính.
Nếu K
1
, K
2


X lồi thì

K
1
và K
1
+ K
2
cũng lồi.
Từ đó cũng có w(A+B)

w(A) + w(B) (1)
Hơn nữa, nếu y

B và
)(
1
Awxax
n
i
ii

=

=
thì

=
+=+
n
i
ii
yxayx
1
)(
, nh
thế
)
(
)
(
y
A
w
y
A
w
+
=
+
và nh vậy w(A) + B

w(A+B).

14

Từ đó w(A) + w(B)

w(w(A)+B).
Nh vậy w(A) + w(B)

w(w(A)+B)

w(w(A+B)) = w(A+B)
Kết hợp với (1) suy ra w(A+B) =w(A) + w(B)
Để chứng minh ii, chú ý rằng
)(
Aw
đóng và chứa w(A) suy ra
)()( AwAw
(2)
Theo định lý 1 bao đóng của tập lồi là lồi, nh vậy tập
)(
Aw
lồi và chứa
A, do đó
)()( AwAw
, kết hợp với (2) có
)()( AwAw =

Iii, suy từ i, và ii,
Từ i, và bổ đề 1 suy ra

)()(
BwAw
+
là tập lồi, đóng, nh thế
)()()( BwAwBAw ++
(3)
Hơn nữa tổng x + y là hàm liên tục đối với x và y nên
1111
YXYX
++

với tùy ý X
1
, Y
1


X.
Nh vậy từ i và ii suy ra
)()(
BAwBAw
+=+

=
)()()()( BwAwBwAw ++

Kết hợp với (3) suy ra
)()()( BwAwBAw +=+

Bổ đề 3

Cho A, B là tập hợp của không gian tôpô tuyến tính, nếu bao lồi đóng
của các tập A và B song compac thì
)).()(()( BwAwwBAw =+

Chứng minh
a, Chứng minh
)).()(()( BwAwwBAw +

Với mọi x

)).()((
BwAww

Suy ra

=
=
n
i
ii
xax
1
, với 0

a
i


1,
1

1
=

=
n
i
i
a ,
)(Awx
i

hay
)(Bwx
i

, chẳng hạn
)(Awx
i

vì
)(Aw
lồi nên
)()(
BAwAwx



15

b, Đặt

)(),(
21
BwKAwK
==

ánh xạ

: (a,p,q)

ap + (1-a)q là ánh xạ liên tục trên không gian song
compac
K = [0,1]
ì
K
1
ì
K
2
vào w(K
1

K
2
), vì thế

(K) song compac và nh vậy đóng.
Nhng A

B

K
1


K
2




(K) ngoài ra, nếu

(K) lồi thì
)()()(
21
KKwKBAw


.
Tính lồi của

(K) có thể chứng minh sơ cấp nh sau
Nếu 0

a
1
,a
2
,b

1 thì
b[a
1
p
1
+ (1-a
1
)q
1
] + ( 1-b)[a
2
p
2
+(1-a
2
)q
2
]
=
[ ]






+

+
+

+
2
21
2
1
21
1
21
)1(
)1(
)1(
)1( p
abba
ab
p
abba
ba
abba
+
[ ]






+

+
+

+
2
21
2
1
21
1
21
)1)(1()1(
)1)(1(
)1)(1()1(
)1(
)1)(1()1( q
abab
ab
q
abab
ab
abab

2.2. Định lý 2( Mazurs)
Cho X là không gian mêtric đủ và A

X, A song compac. Khi đó
)(
Aw song compac.
Chứng minh
Vì
)(

Aw
là tập con đóng của không gian đủ X nên cũng đủ. Theo định
lý, để chứng minh
)(
Aw song compac ta chứng minh
)(
Aw hoàn toàn giới nội.
Cho

> 0. Vì A hoàn toàn giới nội nên tồn tại tập con hữu hạn
{z
1
, ,z
n
}

A sao cho A

S({z
1
, ,z
n
},
4

)
Đặt K = w({z
1
, ,z
n

}) ta có
)(
Aw

S(w(A),
4

) nhng nếu y

w(A) thì

=
=
m
i
ii
yay
1
, ở đây Ay
i

, a
i


0, 1
1
=

=

m
i
i
a

16

Cho V là hàm, ánh xạ A vào {1,2, ,n}, nh thế nếu x

A thì
4
)(

<
xV
zx . Khi đó
4
)(
)(
1
)(

<=

=
ii
yVii
m
i
yVi

zyazay và nh vậy
)
2
,()(

KSAw . Hơn nữa






===

==
1,0,:
11
n
i
ii
n
i
ii
aazakkK
ánh xạ

=

n
i

iinn
zazzaa
1
11
), ,;, ,(:

là ánh xạ liên tục của tập song
compac
[0,1]
ì

ì
[0,1]
ì
{z
1
}
ì

ì
{z
n
} lên K. Vì thế K song compac và nh vậy
hoàn toàn giới nội. Điều đó nghĩa là tồn tại tập hữu hạn {k
1
, ,k
m
}

K sao cho

{ }
2
,, ,(
1

m
kkSK ). Nhng khi đó
{
}
),, ,()(
1

m
kkSAw

Bổ đề 4
Nếu phiếm hàm tuyến tính tách hai tập hợp, một từ trong các tập hợp
đó chứa điểm trong thì phiếm hàm đó liên tục
Chứng minh
Cho X là không gian tôpô tuyến tính và A
1
,A
2


X.
Xét phiếm hàm tuyến tính h tách A
1
và A
2

, p là điểm trong của A
1
. Nếu f
và g là phần thực và ảo của h thì g(X) = -f(ix) và nh vậy để chứng minh h liên
tục chỉ cần chứng minh f liên tục .
Vì phiếm hàm tuyến tính h tách A
1
,A
2
nên tồn tại c :
Reh(A
2
)

c; Reh(A
1
)

c

f(x)

c với mọi x

A
1
.
Cho p là điểm trong của A
1
, nghĩa là có một lân cận của p nằm trọn

trong A
1
, chẳng hạn S(p,

)

A
1


x

S(p,

)

x

A
1


f(x)

c nh vậy f(x)
bị chặn bởi số c trong lân cận nói trên của p, f tuyến tính nên liên tục tại p. Vì
phiếm hàm tuyến tính liên tục tại một điểm cũng liên tục tại mọi điểm nên bổ
đề đợc chứng minh

17

2.3. Định lý 3( Tách tập lồi )
Bất kỳ hai tập hợp lồi không giao nhau của không gian tôpô tuyến tính,
một từ chúng chứa điểm trong, có thể tách bởi phiếm hàm tuyến tính liên tục
khác 0 nào đó
Định lý này suy trực tiếp từ định lý tách tập lồi trong không gian tuyến
tính và bổ đề 4.

18

Chơng 2

Các định lý điểm bất động

1. Giới thiệu một số định lý
1.1. Nguyên lý ánh xạ co
ánh xạ A: (X, d)

(X,d) đợc gọi là co nếu





[0,1]:

x,y

X, d(Ax,Ay)



d(x,y)
ánh xạ A đa không gian mêtric (X,d) vào không gian mêtric (Y,d)
đợc gọi là liên tục tại x
0
nếu

> 0,



> 0:

x

X: d(x, x
0
) <




d(A(x), A(x
0
) <


ánh xạ liên tục tại

x
0


X đợc gọi là liên tục trên X
Rõ ràng nếu A liên tục tại x

0
và x
n


x
0
thì Ax
n


Ax
0
. Hiển nhiên mọi
ánh xạ co đều liên tục.
Ta nói x


X
là điểm bất động của ánh xạ A nếu A(x)=x
Kí hiệu x

Fix(A) nếu A(x) = x
1.2. Định lý (Banach)
Mọi ánh xạ co trong không gian mêtric đủ có một điểm bất động duy nhất
Chứng minh
Xuất phát từ x
0

X bất kỳ, k nhng cố định ta xây dựng dãy lặp
x
n+1
= A(x
n
) ( n

0). Sử dụng điều kiện co ta có :
d(x
n
, x
n+m
)

d(x
n
, x
n+1
) + +d( x
n-m+1
,x
n+m
)




n
( 1+

+ +

m-1
)d(x
0
,x
1
)




n
(1-

)
-1
d(x
0
,x
1
)
Điều này chứng tỏ dãy {x
n
} là cơ bản, do đó nó hội tụ x
n


x
*

19

Do A liên tục nên qua giới hạn trong đẳng thức x
n+1
= A(x
n
) ta có x
*
=
A(x
*
) hay x
*

Fix(A)
Giả sử x
*
, y
*


Fix(A) thì 0

d(x
*
,y
*
) = d(A(x

*
),A(y
*
))



d(x
*
,y
*
)
Vì vậy x
*


y
*
Đpcm
1.3. Hệ quả
Giả sử ánh xạ co trên hình cầu đóng
),(
0
rxS
tức là

[0,1]:


x,y


),(
0
rxS
: d(A(x),A(y))



d(x,y)
Hơn nữa d(A(x
0
), x
0
)

(1-

)r
Khi đó Fix(A)

),(
0
rxS

Chứng minh
Đặt
S
: =
),(
0
rxS
vì (
S
, d) là không gian mêtric đủ ( do không gian (X,d)
đầy đủ) nên áp dụng nguyên lý Banach ta chỉ cần kiểm tra A :
S



S

Thật vậy
x
S
: d(A(x), x
0
)

d(A(x),A(x
0
)) + d(A(x
0

), x
0
)




r + (1-

)r = r
1.4. Ví dụ
Xét bài toán Cauchy
x = f(t,x); x(0) = x
0
; 0

t

a (1)
Trong đó f(t,x) là hàm liên tục theo biến t

[o,a] thoả mãn điều kiện
Lipschitz theo biến x ( đều theo t)

L > 0:

t

[o,a] ,

,


R
1
:

f(t,

) f(t,

)



L






Kí hiệu X = C[o,a] là tập các hàm liên tục trên [o,a]. Trên tập nền X ta
xác định hai mêtric
)()(max),());()((max),(
0
0
tytxeyxdtytxyxd

Lt
ataat

=

=



Suy ra (X,d
0
) là không gian mêtric đủ
Để chứng minh (X,d) cũng là không gian đủ trớc hết ta thấy


x,y

X, e
-La
d
0
(x,y)

d(x,y)

d
0
(x,y) (2)

20

Nếu một dãy {x
n
} là d - cơ bản ( tức d(x
n
,x
m
)

0 khi n, m



thì từ (2)
{x
n
} là d
0
- cơ bản
Do (X,d
0
) đầy đủ nên tìm đợc x

X để d
0
(x
n
,x)

0 ( n

)
Từ (2) suy ra d(x
n
,x)

0 nh vậy (X,d) cũng là không gian mêtric đủ
Bài toán (1) tơng đơng với phơng trình tích phân sau
x(t) = x
0
+

t
dssxsf
0
))(,(
(3)
Để tìm nghiệm của phơng trình (3) ta áp dụng nguyên lý ánh xạ co
A(x): = x
0
+

t
dssxsf
0
))(,(
trong không gian (X,d
0
) và (X,d)
a, Vì d

0
(A(x),A(y)) =
at 0
max
e
-Lt




t
dssysfsxsf
0
)](,())(,([




L
at 0
max
e
-Lt


t
dssysx
0
)()(

= L
at 0
max
e
-Lt



t
LsLs
dssysxee
0
)()(


L d(x,y) {
at 0
max
e
-Lt


t
Ls
dse
0
}
= (1 e
-La
)d(x,y)

Suy ra mọi a > 0 ánh xạ A co trong không gian (X,d) theo định lý và bài
toán (3) suy ra bài toán (1) có nghiệm trên [o,a] bất kỳ
2. Điểm bất động của ánh xạ không giãn
Định nghĩa
Cho (X,

), ( Z,d) là các không gian mêtric
ánh xạ A: X

Z gọi là ánh xạ không giãn nếu (

x, y

X) d(Ax, Ay)



(x,y)



21

2.1. Một số định lý có liên quan
Nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ đợc phát triển theo nhiều hớng.
Chẳng hạn nguyên lý Brouwer thiết lập sự tồn tại điểm bất động theo hình cầu
đóng đơn vị đối của ánh xạ liên tục trong không gian R
n
. Bây giờ muốn mở
rộng sang trờng hợp các không gian vô hạn chiều.

Tuy vậy trong nguyên lý Brouwer nếu thay R
n
bởi không gian vô hạn
chiều thì nguyên lý không đúng nữa
Ví dụ
Cho X = l
2
là không gian dãy số phức x = (x
n
) với +<


=
1
2
i
i
x
B là hình cầu đóng đơn vị trong l
2
và f: B

B cho bởi công thức
f(x) = (
, ,,1
21
2
xxx
) ánh xạ f liên tục nhng không có điểm bất động
Thật vậy

Nếu điểm x = (x
1
,x
2
, )

B là điểm bất động của ánh xạ f thì f(x) = x

xxf
=
)(
vì
)(
xf = 1 nên
1
=
x vậy f(x) = (
, ,,011
21
xx=
)
= x = (x
1
,x
2
,x
3
, )
mâu thuẫn với
1

=
x
Sau đây là một nguyên lý mở rộng của nguyên lý Brouwer ra tập lồi
đóng trong không gian Bannach
Chứng minh định lý dựa vào ba bổ đề sau
Bổ đề 1
Nếu {A
n
} các toán tử hoàn toàn liên tục trên tập M trong không gian
Bannach, {A
n
} hội tụ đều trên đó đến toán tử A
0
thì A
0
cũng hoàn toàn liên tục
trên M
Chứng minh
Trớc tiên chứng minh tính liên tục của toán tử A
0
trên M

22

Giả sử {x
n
}

M hội tụ đến x
0

M. Ta có

00000000
xAxAxAxAxAxAxAxA
nnmnmnmm

+

+




Do
{
}
n
A
hội tụ đều trên M đến toán tử A
0
nên

> 0,

n
0

N,

n

n
0

sao cho
mmn
xAxA
0

<
3

,
000
xAxA
m

<
3


Vì A
n
liên tục nên

m
0
,

m

m
-0
,
000
xAxA
m

<
3


Khi đó với mỗi m

m
0
có
000
xAxA
m

<

tức là toán tử A
0
liên hợp
Để chứng minh tính compac của toán tử A
0

ta chứng minh tập A
0
(M)
compac tơng đối.
Với

> 0 cho trớc chọn n
0
sao cho

x

M,

< xAxA
n
0
0

điều đó có thể làm đợc vì dãy toán tử {A
n
} hội tụ đến A
0

Đặt N =
)(
0
MA
n
. Tập N là compac tơng đối và là

- lới đối với tập
A
0
(M), từ đó suy ra A
0
(M) là compac tơng đối
Vậy A
0
là toán tử hoàn toàn liên tục
Bổ đề 2
Mọi toán tử A hoàn toàn liên tục trên tập M là giới hạn đều trên tập đó
của dy {A
k
} các toán tử hữu hạn chiều liên tục ( ánh xạ vào không gian con
hữu hạn chiều của không gian E)
Chứng minh
Vì A là toán tử hoàn toàn liên tục nên A(M) là tập compac tơng đối .
Lấy dãy số dơng {

k
} hội tụ đến 0 và với mỗi k tập

k
lới hữu hạn
M
k
= {
)()(
2

)(
1
, ,,
k
m
kk
k
yyy
, } đối với tập A(M), lới đó tạo thành bởi các điểm
thuộc A(M), xác định trên A(M) toán tử p
k
bằng cách đặt với y

A(M)

23

P
k
(y) =


=
=
k
k
m
i
k
i

m
i
k
i
K
i
y
yy
1
)(
1
)()(
)(
)(
à
à
(1)
Trong đó






<
=
k
k
i
ki

k
i
k
ik
k
i
yyKhi
yyKhiyy
y


à
)(
)()(
)(
0
)(

Đẳng thức (1) có nghĩa đối với y

A(M) tuỳ ý vì
0)(

y
k
i
à
và
0)(
>

y
k
i
à
với ít nhất một i
Toán tử p
k
(y) liên tục trên A(M). Điều này suy từ mọi
)(
)(
y
k
i
à
liên tục
và do đó

=
k
m
i
k
i
y
1
)(
)(
à
cũng là hàm số liên tục của y
Ngoài ra

))((0)(
1
)(
MAyy
k
m
i
k
i
>

=
à
suy ra tính liên tục của thơng


=
=
k
k
m
i
k
i
m
i
k
i
K
i

y
yy
1
)(
1
)()(
)(
)(
à
à
, tức là của toán tử p
k
(y). Hơn nữa
k
m
i
k
i
m
i
k
i
k
i
m
i
k
i
m
i

k
i
k
i
k
k
k
k
k
y
yy
y
yy
yypy

à
à
à
à
==




=
=
=
=
1
)(

1
)()(
1
)(
1
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
k
m
i
k
i
m
i
K
i
k
k
y
y

à
à
=

=
=
1
)(
1
)(
)(
)(

Vì nếu đối với một i nào đó ta có
k
k
i
yy


)(
thì hệ số tơng ứng
0)(
)(
=
y
k
i
à
, Đặt với x

M, A
k
x = p

k
(Ax) ta có dãy các toán tử hữu hạn
chiều {A
k
} sao cho

x

M,
kkk
AxpAxxAAx

<

=

)(
Bổ đề đã đợc chứng minh.
Chú ý: vì các phần tử
)(
)(
MAy
k
i

nên miền giá trị của các toán tử A
k
thuộc
vào bao lồi của tập A(M)

24

Bổ Đề 3
Cho dy {A
n
} các toán tử hoàn toàn liên tục trên tập M, hội tụ đều trên
tập đó đến toán tử A
0
. Thêm vào giả sử K
n
= A
n
(M) ( n = 0,1,2, )
Khi đó K =


=
0n
n
K
là tập compac tơng đối
Chứng minh
Theo bổ đề 1 toán tử A
0
hoàn toàn liên tục . Vì {A
n
} hội tụ đến toán tử
A
0

nên với

> 0 tuỳ ý và y

K
n
tuỳ ý khi n

n
0
(

), tìm đợc u

K
0
sao cho

<

uy

Đặt N =

0
0
n
n
n
K

=

Ta thấy N compac tơng đối. Ta chứng minh N là

- lới đối với K
Giả sử y

K, nếu y



0
0
n
n
n
K
=
thì kết quả rõ ràng
Nếu y

K
n
với n > n
0
thì theo chứng minh trên tồn tại u

K
0
sao cho

<

uy
. Do đó N là

- lới compac tơng đối đối với K và do đó K cũng
là compac tơng đối
2.2. Định lý (J.Schauder)
Nếu toán tử hoàn toàn liên tục A ánh xạ tập lồi đóng, bị chặn S của
không gian Bannach E lên một phần của nó thì A có điểm bất động
Chứng minh
Lấy dãy số dơng

n


0 và theo bổ đề 2 xây dựng dãy các toán tử hữu
hạn chiều liên tục A
n
hội tụ đều trên tập S đến toán tử A
Theo chú ý sau bổ đề 2 và do S lồi nên A
n
x

S với x

S tuỳ ý .
Giả sử E
n

là không gian con hữu hạn chiều chứa A
n
(S). Xét toán tử A
n

trên tập S
n
= S

E
n
của không gian E
n
. Rõ ràng S
n
cũng là tập lồi đóng và
A
n
(S)

S,
A
n
(S)

S
n


A

n
(S
n
)

S
n


25

Vậy toán tử A
n
xét trên không gian hữu hạn chiều E
n
, ánh xạ tập lồi
đóng S
n
của không gian đó vào chính nó, vì thế theo nguyên lý Brouwer,

x
n


S
n
, A
n
x
n

= x
n

Vì S
n


S nên x
n
cũng là điểm bất động của A
n
trong S. Vì

n, x
n


A
n
(S)
nên {x
n
}


~
S
=

=1
)(
n
n
SA

Theo bổ đề 3 có
~
S
là tập compac tơng đối. Vậy từ {x
n
} có thể rút ra
đợc dãy con {x
n
k
} hội tụ đến x
0

Ta chứng minh x
0
là điểm bất động của A. Ta có
0000
xxAxAAxAxAxxAx
kkkkkk
nnnnnn
++


00
xxxAAxAxAx

kkkkk
nnnnn
++=
(1)

Vì x
n
k

x
0
và A liên tục nên (

> 0) (

k

N
*
)

n
k


k


3
0

< xx
k
n
và
3
0

<
k
n
AxAx
vì A
n
k

hội tụ đều trên S đến A nên (

L

N
*
)

n
k


L

3

< xAAx
k
n
(

x

S) đặc biệt với x = x
n
k

S có
3

<
kkk
nnn
xAAx
vậy
n
k


n
0
= max{K,L} từ (1) có

<

00
xAx
vì

> 0 tuỳ ý nên điều đó chỉ có
đợc khi
Ax
0
= x
0

Sau đây là một áp dụng của định lý Schauder vào chứng minh sự tồn tại
nghiệm của phơng trình vi phân cấp 1
2.3. Định lý (Peano)
Cho f(t,x) liên tục đối với hai biến số trong miền
att


0
,
bxx


0

và

là giá trị lớn nhất của
),(

xtf
trong miền đó