chuyên đề đạo hàm, tích phân chon lọc dành cho ôn thi cđ-đh

Rèn luyện nghiệp vụ 3
KỸ NĂNG GIẢI VÀ KHAI THÁC
TOÁN VỀ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Phần 1: ĐẠO HÀM, ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ
ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP ĐẠO HÀM HÀM SỐ HỢP
1
Rèn luyện nghiệp vụ 3
VẤN ĐỀ 1:SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Định lí :Giả sử hàm số y =f(x) có đạo hàm trên I(I là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa
đoạn )
1.Nếu f’(x)>0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) đồng biến trên I
2. Nếu f’(x)<0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I
3 Nếu f’(x)=0 với mọi x thuộc I thì hàm số f(x) không đổi trên I
2.Định lí mở rộng :
Giả sử cho hàm số y= f(x) có đạo hàm trên I .Nếu f’(x) ( hoặc f’(x) 0)
và f’( x )= 0 chỉ tại hữu hạn điểm của I thì hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến trên
I)
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x)
1.Tìm tập xác định (hay miền xác định của hàm số).
2
Rèn luyện nghiệp vụ 3
2.Tính đạo hàm f’(x).Tìm các điểm (i=1,2…n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác định
3.Lập bảng xét dấu f’(x)
4.Dựa vào định lí tên để kết luận các khoảng đông biến nghịch biến
Định gía trị của tham số để hàm số y=f(x) đồng biến nghịch biến trên khoảng
cho trước
Cho hàm số y=f(x) phụ thuộc tham sô m ,Ta phải định tất cả giá trị m sao cho hàm

số
*Đồng biến (nghịch biến )trên R f’(x) 0( )
Để giải những bài toán dạng này cần nhớ kiến thức của tam thức bậc 2 vì (f’x
thường là tam thức bậc 2 )
f(x)= a + bx +c ( a# 0)
• f’(x) 0
• f’(x) 0
* Đồng biến (nghịch biến )trên K f’(x) 0( )
* f’ (x) 0 hoặc
3
Rèn luyện nghiệp vụ 3
*f’ (x) 0 hoặc
*f’ (x) 0 hoặc
* f’ (x) 0 hoặc
* f’(x) 0( )
VẤN ĐỀ 2:CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1.Định nghĩa :
Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp ( ) và
a. gọi là điểm cực đại của hàm số f(x)nếu tồn tại một khoảng (a;b)
chứa điểm sao cho (a;b ) và f(x) < f( )
4
Rèn luyện nghiệp vụ 3
b. gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x)nếu tồn tại một khoảng (a;b)
chứa điểm sao cho (a;b ) và f(x) > f( )
Khi đó f( ) được gọi là giá trị cực tiểu cua hàm số f(x),kí hiệu
Chú ý
-Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị
-Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được chung là cực trị
-( f( ) được goi là điểm cực trị của hàm số
2.Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

-Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực trị tại điểm (a;b )
thì f’( = 0
3.Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
ĐL 1:
-Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm và có đạo hàm trên
các khoảng (a, ( b) khi đó
a.BBT
5
Rèn luyện nghiệp vụ 3
X a b

y’ _
y cực tiểu (f
b.BBT
X a b

y’ + _
y cực đại f( )
6
Rèn luyện nghiệp vụ 3
* Quy tắc 1: tìm cực trị của hàm số
1.Tím TXĐ
2.Tính f’(x) .Tìm các điểm tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không xác định
3.Lập BBT
4.Từ BBT suy ra các điểm cực trị
ĐL2:
- hàm số đạt cực đại tại điểm
hàm số đạt cực tiểu tại
điểm
*Quy tắc 2 : tìm cực trị của hàm số

1.Tìm TXĐ
2.Tính f’(x) ,giải phương trình f’(x) =0 kí hiệu (i=1,2…n)là các nhiệm của nó
3.Tính f’’(x) và f’’ )
-Nếu f’’ ) <0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm
-Nếu f’’ ) >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
Chú ý :
1.Hàm số có 3 cực trị y’=0 có 3 nghiệm phân biệt
7
Rèn luyện nghiệp vụ 3
2.Hàm số có 2 cực trị y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
1.Hàm số không có cực trị y’=0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
4.Quy tắc tính giá trị cực trị của hàm số hữu tỉ và hàm bậc 3
a.Quy tắc 1:
Nếu hàm số y= đạt cực trị tại giá trị
Có thể tính bằng công thức
b.Quy tắc 2: cho đa thức y =P(x) nếu R(x) là dư thức trong phép chia y cho y’và
hàm số đạt cực trị tại thì giá tri của ham số y =P(x) là
VẤN ĐỀ 3:GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên đoạn [a,b]
1.Hàm số liên tục trên đoạn [a,b]
2.Tính f’(x) .Tìm các nghiệm , …… (a,b) của phương trình f’(x)=0
3.Tính f(a),f( ,)………… );f(b)
4.Kết luận : (M là số lớn nhất ,m là số
nhỏ nhất trong các số vừa tính
Chú ý
8
Rèn luyện nghiệp vụ 3
- Nếu hàm số f(x) đồng biến trên [a,b] thì :
- Nếu hàm số f(x) nghịch biến trên [a,b] thì :
VẤN ĐỀ 4 :KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA ĐỒ THỊ

HÀM SỐ
Hàm số
1.TXĐ D=R
2.Sự biến thiên
a) Giới hạn: ……………:: …………
* Tính y’=3a +2bx+c .Tìm nghiệm của y’=0
* Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận
• Các khoảng đông biến ( nghịch biến)
• Cực trị
3 .Vẽ đồ thị
Điểm uốn :tính y”=6ax+2b. cho y’’=0 x=
Nếu y’’đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = thì U (- = )) là điểm uốn
của đồ thị
Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục
tọa độ
9
Rèn luyện nghiệp vụ 3
(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tìm giao điểm phức tạp thì bỏ
qua phân này )
Nhận xét
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Hàm số y = a + b +c (a # 0)
1.TXD D=R
2.Sự biến thiên
a) Giới hạn: ……………:: …………
b) Bảng biến thiêng
* Tính y’’=4a +2bx .Tìm nghiệm của y’=0
* Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận

• Các khoảng đồng biến ( nghịch biến)
• Cực trị
3 .Vẽ đồ thị
Điểm uốn :Tương tự như hàm số y =a + b +cx+d
Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục
tọa độ
(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tìm giao điểm phức tạp thì bỏ
qua phần này )
10
Rèn luyện nghiệp vụ 3
Nhận xét
Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Hàm số y = (ac#0)
1.TXĐ D=R
2.Sự biến thiên
a) Giới hạn: ……………: ……………
đường thẳng y = là đường tiệm cận ngang
b) .Sự biến thiên
-Tính y’= Kết luận y’>0 (hoặc y’<0)
-Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận
• Các khoảng đông biến ( nghịch biến)
• Cực trị
3 .Vẽ đồ thị
-Vẽ các đường tiệm cận
-Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với trục
tọa độ
(trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tim giao điểm phức tạp thì bỏ
qua phân này )
Nhận xét

11
Rèn luyện nghiệp vụ 3
Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
Hàm số y= (y = =
1.TXĐ D=R { }
2.Sự biến thiên
a) Giới hạn: ……………: ……………
đường thẳng y = là đường tiệm
cận ngang
b) .Sự biến thiên
-Tính y’= Tìm nghiệm của phương trình y’=0
-Bảng biến thiên (xét dấu y’;chiều biến thiên ;cực trị và giới hạn )
Kết luận
3 .Vẽ đồ thị
• -Vẽ các đường tiệm cận
• -Xác định một số điểm đặc của đồ thị ,chẳng hạn tìm giao điểm của đồ
thị với trục tọa độ
• (trong trường hợp đồ thì không cắt trục tọa độ hoặc tim giao điểm phức
tạp thì bỏ qua phân này )
Nhận xét
• Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
12
Rèn luyện nghiệp vụ 3
VẤN ĐỀ 5: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tìm giao điểm của 2 đường: (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
- Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x)
- Bước 2: Số nghiệm của pt (*) bằng số giao điểm của (C) và (C’)
Điều kiện để 2 đường y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau là:
2. Biện luận theo m số nghiệm của pt: F(x,m) = 0 (*)
• Viết (*) lại dưới dạng f(x) = g(m) ( đây là pt hoành độ giao điểm của

(C): y = f(x) và (d): y = g(m) (// Ox)
• Vẽ (C) và (d) trên cùng hệ tọa độ.
• Số giao điểm của (C) và (d) là số nghiệm của pt (*)
3. Phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)
a. Tiếp tuyến tại điểm M(x
0
;y
0
): y = f’(x
0
)(x – x
0
) + y
0
b. Tiếp tuyến đi qua điểm A(x
0
;y
0
):
• Viết pt đường thẳng (d): y = k(x – x
0
) + y
0
• Do đường thẳng (d) tiếp tuyến của (C) nên
Thay (2) vào (1). Giải pt tìm x.
• Sau đó tìm k. Ứng với mỗi giá trị k có 1 pt tiếp tuyến.
c. Tiếp tuyến biết hệ số góc k trước:
- Giải pt f’(x
0
)=k. Tìm x

1
; x
2
; x
3
; …; x
n
- Tìm y
i
= f(x
i
) (i=1, 2, 3, …)
- Pt tiếp tuyến có dạng y = k(x – x
i
) + y
i
Chú ý: Cho 2 đường thẳng: (d
1
): y = k
1
x + m ; (d
2
): y = k
2
x + n
• Nếu d
1
// d
2
thì k

1
=k
2
• Nếu d
1
d
2
thì k
1
k
2
= -1
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau
13
Rèn luyện nghiệp vụ 3
1).
2).
3).
4).
5).
6).
Bài 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
1).
2)
3).
4).
Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để hàm số
1).
đồng biến trên R.

2). luôn giảm trên từng khoảng xác định.
14
Rèn luyện nghiệp vụ 3
3). giảm trên khoảng
(0;3).
Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau
1).
2). ,
3).
Bài 5: Tìm cực trị của các hàm số sau
1).
2)
3).
4).
Bài 6: Với giá trị nào của m thì hàm số
1). đạt cực
tiểu tại x=1
15
Rèn luyện nghiệp vụ 3
2) có hai điểm
cực trị và sao cho
3). , có ba cực trị tạo thành ba
đỉnh của một tam giác vuông.
4). có cực tiểu
mà không có cực đại.
5). có 2 diểm cực trị A và B sao cho
6). , có ba điểm cực trị
và ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số sau
1).

2).
3).

4).
trên khoảng (1;+
Bài 8: Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, biết rằng chu vi của nó không đổi
bằng 16cm.
Bài 9: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
16
Rèn luyện nghiệp vụ 3
1)
2)
3)
4)
17
Bài 10:
1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C): , biết
tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng .
2)Lập phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A( và tiếp xúc
với (C): .
3).Tìm điểm M thuộc (C): , biết " tiếp
tuyến tại M có hệ số góc lớn nhất", sao đó hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M.
4). Chứng mimh rằng từ điểm A(-4;0) ta có thể vẽ được hai đường thẳng vuông
góc với nhau và tiếp xúc với (C): ,
5). Tìm m để đồ thị hàm số
tiếp xúc với trục hoành.
6).Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì trên (C): cắt hai đường
tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.
PHẦN 2.NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
VẤN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM

1. Nguyên hàm:
ĐN: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), x K.
ĐL: Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên K.
b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G(x) của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số
C sao cho G(x) = F(x) + C, x K.
Từ định lí trên ta thấy nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C R. Vậy, F(x) + C, C
R là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Kí hiệu là
Vậy,
2. Tính chất của nguyên hàm:
a.
b. =
c. (k là hằng số)
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp:
1.
2.
C
x
dxx +
+
=
∫
+
1
1
α
α

α
3.
4. = + C
5.
6. = sin x + C
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
VẤN ĐỀ 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số:
Dùng phương pháp đổi biến số để tính tích phân: I =
Ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Đặt t= u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp ( lưu
ý u(x) là hàm số có mặt trong f(x)), rồi xác định x= (nếu có thể).
- Bước 2: Xác định vi phân dt = u’(x)dx
- Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt
- Bước 4: Khi đó tính I =
Lưu ý:
Gặp ta thường đặt t = g(x) (mẫu thức)
Gặp ta thường đặt t = f(x) (phần mũ)
Gặp f(x) trong dấu ngoặc ( ), ta thường đặt t = f(x) (trong ngoặc)
Gặp hoặc ta thường đặt t = f(x)

Gặp ln x ( có kèm theo ), ta đặt t = ln x
Gặp có kèm theo , ta đặt t =
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Dạng 1: Tính tích phân: I = ( hoặc I =
hoặc
I = ) với P(x) là một đa thức và a R
*
Phương pháp chung
• Bước 1: Đặt :
+ u = P(x) => du = P’(x)dx
+ dv= ( hoặc

=> v = ( hoặc hoặc
• Bước 2: Áp dụng công thức: I = uv -
Dạng 2: (CTNC) Tính tích phân: I = hoặc ( I =
)
với a, b 0
Phương pháp chung
• Bước 1: Đặt :
+ u = => du =
+ dv = => v =
Khi đó: J =
(1)
• Bước 2: Xét J =
Đặt: u = => du =
dv= => v =
Khi đó: J =
(2)
• Bước 3: Thay (2) vào (1) ta tìm được kết quả tích phân I
Dạng 3: Tính tích phân I = , với a \

Phương pháp chung
Bước 1: Đặt:
+ u = ln x => du =
+ dv = => v =
Bước 2: Khi đó: I =
VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN
I.Khái niệm tích phân:
1.1.Diện tích hình thang cong:
- Cho hàm số liên tục và lấy giá trị dương trên đoạn [a.b]. Hình
phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường
thẳng
được gọi là hình thang cong.
- Diện tích hình thang cong nói trên được tính theo công thức:
( là một nguyên hàm của )
1.2.Khái niệm tích phân:
Định nghĩa: Cho là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử
là một nguyên hàm của trên đoạn .
Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác
định trên đoạn ) của hàm số , kí hiệu là .
Ta còn dùng kí hiệu để chỉ số hiệu
Vậy:
Với: - : dấu tích phân
- a là cận dưới, b là cận trên
- là biểu thức dưới dấu tích phân
- là hàm dưới dấu tích phân
- là biến số
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn một chữ khác thay cho .
Chẳng hạn, nếu sử dụng chữ , chữ ,… làm hàm biến số lấy tích phân thì
,… đều là một số và số đó là