Số xoắn của dãy số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Phùng Thị Hương
SỐ XOẮN CỦA DÃY SỐ NGUN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Thái Ngun, Năm 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Phùng Thị Hương
SỐ XOẮN CỦA DÃY SỐ
NGUN
Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. HÀ HUY KHỐI
Thái Ngun, Năm 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Hà Huy Khối.
Qua đây, tác giả xin được gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng
dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Hà Huy Khối, người đã đưa ra đề tài và
tận tình hướng dẫn trong suốt q trình nghiên cứu của tác giả.
Đồng thời tác giả cũng chân thành cám ơn các thầy cơ giáo trong khoa Tốn
- Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, đã tạo mọi điều kiện
cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hồn thành bản luận
văn này.
Tác giả cũng gửi lời cám ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học tốn
K6B, đã động viên và giúp đỡ tác giả trong q trình học tập và làm luận văn.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Tác giả

Phùng Thị Hương
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Giả thuyết số xoắn 4
2 Dãy các số 2 và 3 8
2.1 Đi cực đại Ω(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Các tính chất của dãy xuất phát đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Cách xây dựng với n lớn hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Tính tốn chi tiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Các quy luật khơng thể tránh khỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước 15
3.1 Dãy ngun thủy và dãy mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Ba định lý cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Phép đệ quy cho c(n, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Dãy có số xoắn bằng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5 Giá trị của c(n, k) với k ⩾
√
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Bảng chênh lệch d(n, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Tính tốn c(n, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Độ dài đi của dãy số 2, 3 33
4.1 Hàm phân phối độ dài đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Mơ hình xác xuất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Dãy “suy giảm”: tiền tố làm giảm đi . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Dãy mà số hạng đầu tiên là thiết yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />4.5 Dãy có tiền tố làm tăng đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Dãy Gijswijt 38

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mở đầu
Giả thuyết tốn về số xoắn (curling number) là một bài tốn mở chưa có
lời giải của lý thuyết số. Mặc dầu vậy, đã có nhiều nghiên cứu cho những kết
quả ủng hộ tính đúng đắn của giả thuyết này.
Luận văn nhằm trình bày một số kết quả rất gần đây về số xoắn, cụ thể là
kết quả trong bài báo sau đây:
B. Chaffin, J. P. Linderman, N. J. A. Sloane, Allan R. Wilks. On Curling
Number of Integer Sequences, Journal of Integer Sequences, Vol. 16 (2013), 236;
pp. 1-47.
Bố cục của luận văn như sau:
Chương 1: Giả thuyết số xoắn
Chương 2: Dãy các số 2 và 3
Chương 3: Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước
Chương 4: Độ dài đi của dãy số 2 và 3
Chương 5: Dãy Gijswijt
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1
Giả thuyết số xoắn
Cho một dãy khác rỗng hữu hạn S các số ngun, biểu diễn nó bằng S =
XY
k
, trong đó X và Y là dãy các số ngun và Y
k
là lũy thừa với số mũ lớn
nhất mà là đi (hậu tố) của S: số k này gọi là số xoắn của S, ký hiệu là cn(S).
X có thể là dãy rỗng ε; có thể có một số cách chọn dãy Y khác nhau, mặc dù
dãy Y ngắn nhất để đạt được k là duy nhất (như ta sẽ thấy trong 3.1, là dãy

ngun thủy).
Ví dụ, nếu S = 0122122122 thì ta có thể viết S = XY
2
, trong đó X =
01221221 và Y = 2, hay ta có thể viết S = XY
3
, trong đó X = 0 và Y = 122.
Cách biểu diễn thứ hai sẽ được chọn bởi vì nó có k =3, và vì k =4 khơng thể
xảy ra, do đó số xoắn của dãy S là 3.
Giả thuyết sau được phát biểu bởi nhóm nghiên cứu của van de Bult :
Giả thuyết 1.1. (Giả thuyết số xoắn). Xuất phát từ dãy số ngun ban đầu
tùy ý S, thác triển nó bằng cách ghép thêm liên tiếp số xoắn của dãy ở mỗi
thời điểm, cuối cùng dãy sẽ đạt tới 1.
Nói cách khác, nếu S
0
=S là một dãy khác rỗng hữu hạn các số ngun, và
ta định nghĩa S
m+1
là chuỗi ghép
S
m+1
∶=S
m
cn(S
m
) với m ⩾0, (1.1)
thì khi đó giả thuyết phát biểu rằng với một số giá trị t ⩾0 ta sẽ có cn(S
t
)=1.
Giá trị nhỏ nhất của t này được gọi là độ dài đi của S

0
, ký hiệu là τ (S
0
) (và
ta đặt τ (S
0
)=∞ nếu giả thuyết khơng đúng).
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ví dụ, giả sử xuất phát với S
0
=2323. Bằng cách chọn X =ε, Y =23, có S
0
=
Y
2
, nên cn(S
0
)=2, và do đó ta có S
1
=23232. Bằng cách chọn X =2, Y =32 ta
có cn(S
1
)=2, S
2
=232322. Lấy X = 2323, Y =2 ta có cn(S
2
)=2, S
3
=2323222.
Một lần nữa lấy X = 2323, Y =2 ta có cn(S

3
) = 3, S
4
= 23232223. Rủi thay, ta
khơng thể viết S
4
=XY
k
với k >1, do đó cn(S
4
)=1, S
5
=232322231, và ta đã
đạt tới 1, như dự đốn trong giả thuyết. Với ví dụ này, τ (S
0
)=4. (nếu ta tiếp
tục từ dãy này, nó sẽ hợp thành dãy Gijswijt, như trình bày trong 5.)
Một số chứng minh của nhóm van de Bult có thể được rút gọn lại và kết
quả mạnh hơn nếu giả thuyết được cho là đúng. Tất cả bằng chứng cho thấy
rằng giả thuyết đó đúng, nhưng cho đến nay nó chống lại mọi nỗ lực chứng
minh nó.
Ta sẽ trình bày về một số nghiên cứu sâu rộng cho trường hợp dãy ban đầu
chứa các số 2 và 3 (mặc dù trong trường hợp đặc biệt này giả thuyết vẫn là bài
tốn mở).
Trong mục 2 ta nghiên cứu bao xa để một dãy bắt đầu bằng n số 2 và 3
có thể được khai triển trước khi tiến đến 1. Gọi chiều dài cực đại này là Ω(n).
Tức là, Ω(n) là giá trị cực đại của độ dài đi τ (S
0
) của tất cả các dãy S
0

các
số 2 và 3 có chiều dài n. Ta xác định Ω(n) cho tất cả n ⩽48, và giả sử cho tất
cả n ⩽ 80 (Bảng 2.1 và Hình 2.1). Dữ liệu cho thấy một số tính chất mà các
dãy khởi đầu đẹp đặc biệt sẽ có các tính chất này (Tính chất P2, P3, P4 trong
2.2). Mặc dù ta vẫn chưa tìm ra cấu trúc đại số cho dãy khởi đầu đẹp, Mục
2.3 miêu tả phương pháp mà đơi khi thành cơng trong việc xây dựng dãy xuất
phát với chiều dài lớn hơn. Trong 2.4 miêu tả thuật tốn cho phép ta mở rộng
nghiên cứu với chiều dài 80. Cũng khơng nên ngạc nhiên nếu giả thuyết trong
trường hợp đặc biệt này hóa ra là một hệ quả được biết đến của mơ hình tất
yếu của dãy nhị phân dài - được miêu tả ngắn gọn trong 2.5
Mục 3 được dành cho câu hỏi tổ hợp: số c(n, k) của dãy nhị phân với chiều
dài n và số xoắn k là số gì? Đây dường như là một bài tốn vơ cùng khó, và
chỉ thành cơng trong việc liên hệ c(n, k) với hai đại lượng bổ trợ: số các dãy
ngun thủy p(n, k), và số các dãy ngun thủy và mạnh. Kết quả chính của
mục này là cơng thức cho c(n, k) trong Định lý 3.5 và 3.17. Nhờ đó có thể
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />tính được số xoắn của tất cả dãy nhị phân có chiều dài n ⩽ 104 Số các dãy
nhị phân có số xoắn bằng 1, c(n, 1), là vấn đề vơ cùng thú vị và được trình
bày trong 3.2. Hiệu d(n, k)∶=2c(n −1, k)−c(n, k) cho thấy cấu trúc của bảng
c(n, k) rõ ràng hơn chính các số c(n, k), và là chủ đề của 3.6.
Trong Mục 4, nghiên cứu số t(n, i) cho dãy có chiều dài n và độ dài đi i,
trong đó 0 ⩽i ⩽Ω(n). Bằng nghiên cứu trực tiếp, đã xác định t(n, i) cho n ⩽48
, mặc dù khơng dùng bất kỳ phép truy tốn (ngoại trừ cho t(n, 0), tương tự
như cho c(n, 1)) . Số hạng trong mỗi hàng của bảng t(n, i) xảy ra theo từng
cụm, ít nhất là với n ⩽48. Trong 4.1 và 4.2 nghiên cứu thống kê bảng t(n, i),
mặc dù vẫn còn rất xa để tìm được mơ hình giải thích các cụm. Mục 4.3, 4.4,
4.5 thảo luận một số câu hỏi tổ hợp liên quan đến độ dài đi. Nếu dãy xuất
phát S
0
đủ dài, có vẻ đáng tin cậy rằng tiền tố của S

0
với 2 hay 3 khơng làm
giảm độ dài đi. Nếu một trong các số này làm giảm độ dài đi, ta gọi S
0
là suy giảm (rotten), nếu cả hai tiền tố 2 và 3 làm giảm độ dài đi, chúng ta
gọi nó là suy giảm gấp đơi. Dãy suy giảm chắc chắn tồn tại, nhưng cho tới độ
dài 34 thì khơng tồn tại dãy suy giảm gấp đơi, và giả định hơn nữa là khơng
tồn tại dãy với chiều dài bất kỳ. Nếu giả thuyết này là đúng, nó có thể giải
thích một hiện tượng xác định mà quan sát thấy trong 2.2, và nó kéo theo
rằng Ω(n +1) ⩾Ω(n) với mọi n, điều mà chưa biết ở thời điểm hiện tại.
Trong Mục 5 miêu tả ngắn gọn dãy Gijswijt, là dãy xuất phát cho nghiên
cứu này.
Ghi chú. Bởi vì dãy xuất phát S có thể là dãy các số ngun bất kỳ, dùng từ
“dãy” thích hợp hơn từ “từ” trong một số bảng chữ cái. Tuy nhiên, ta sử dụng
một số thuật ngữ (như “tiền tố”, “hậu tố”) từ lý thuyết ngơn ngữ chính thức.
Dãy được ký hiệu bằng chữ Latin viết hoa. S
k
nghĩa là SS⋯S, trong đó S
được lặp k lần. Độ dài của S được ký hiệu bằng S. ε ký hiệu dãy rỗng.
Tập các dãy được ký hiệu bằng kiểu chữ viết tay (ví dụ C(n, k)) và lực lượng
ký hiệu bằng chữ Latin thường tương ứng (ví dụ c(n, k)). Chữ Hy Lạp và các
chữ Latin thường khác được dùng để ký hiệu số. Ký tự # ký hiệu lực lượng
của một tập.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Số xoắn của S ký hiệu bằng cn(S). Với dãy xuất phát S
0
∶= s
1
s
2

⋯s
n
có
chiều dài n, trong đó s
i
là số ngun bất kỳ, định nghĩa S
m+1
là phép ghép
S
m
cn(S
m
) = s
1
⋯s
n+m+1
với m ⩾ 0. Nếu cn(S
t
) = 1 với t ⩾ 0, thì ta gọi giá
trị t nhỏ nhất là độ dài đi của S
0
, ký hiệu là τ(S
0
), và dãy tương ứng
S
(e)
∶= S
t
= s
1

⋯s
n+t
là mở rộng của S
0
. Nếu khơng tồn tại t như vậy, thì đặt
τ(S
0
)=∞, S
(e)
=S
∞
(và giả thuyết số xoắn sẽ bị sai).
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 2
Dãy các số 2 và 3
2.1. Đi cực đại Ω(n)
Một cách để tiếp cận giả thuyết là khảo sát trường hợp khơng tầm thường
đơn giản nhất, trong đó dãy xuất phát S
0
chỉ chứa 2 và 3, và xem một dãy
như vậy có thể mở rộng bao xa trước khi đạt tới 1. Có lẽ nếu đủ thơng minh,
ta có thể nghĩ ra một dãy mà khơng bao giờ đạt tới 1, điều mà sẽ bác bỏ giả
thuyết. Tất nhiên nó khơng thể đạt tới số lớn hơn 3, hoặc là, điều này xảy ra
lần đầu tiên thì số hạng tiếp theo là 1. Do đó dãy vẫn ln bị chặn bởi 2 và
3. Rủi thay, thậm chí trường hợp dường như đơn giản này đã chống lại những
nỗ lực để giải quyết nó. Cuối mục này ( 2.5) sẽ nhắc đến một chứng minh nhỏ
cho thấy giả thuyết là đúng.
Gọi Ω(n) là đi dài cực đại có thể trước khi 1 xuất hiện, với bất kỳ dãy
xuất phát S
0

chứa n số 2 và 3. Nếu 1 khơng bao giờ xuất hiện, đặt Ω(n)= ∞.
Giả thuyết số xoắn kéo theo Ω(n) <∞ với mọi n.
Bằng những nghiên cứu trực tiếp, đã tìm được Ω(n) với mọi n ⩽ 48. Kết
quả được đưa ra trong Bảng 2.1 và Hình 2.1, cùng với chặn dưới (mà dự đốn
bằng Ω(n)) cho 49 ⩽n ⩽80.
Trước khi bắt đầu tính Ω(n), ta khơng biết nó tăng nhanh như thế nào -
có thể là hàm đa thức, hàm cấp số nhân hay hàm khác của n? Thậm chí bây
giờ vẫn chưa biết, bởi vì dữ liệu ta có là hữu hạn. Nhưng cho tới n = 48, và
có thể tới n =80, Ω(n) là hàm hằng từng khúc của n. Thỉnh thoảng có những
điểm nhảy, ở đó Ω(n) > Ω(n −1), nhưng ở giữa các điểm nhảy Ω(n) khơng
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ω(n) 0 2 2 4 4 8 8 58 59 60 112 112
n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Ω(n) 118 118 118 118 118 118 119 119 119 120 120 120
n 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
Ω(n) 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120
n 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
Ω(n) 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 131
n 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Ω(n) 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131 131
n 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
Ω(n) 131 131 131 131 131 131 131 132 132 132 132 132
n 73 74 75 76 77 78 79 80
Ω(n) 132 132 132 133 173 173 173 173
Bảng 2.1: Chặn dưới của Ω(n), cực đại độ dài đi có thể thu được trước khi 1 xuất
hiện, với bất kỳ dãy xuất phát S
0
gồm n số 2 và 3. Các giá trị ứng với n ⩽48 là chính
xác; các giá trị ứng với n khác được dự đốn là chính xác.

Hình 2.1: Hình vẽ chặn dưới của Ω(n), cực đại độ dài đi có thể thu được trước khi
1 xuất hiện, với bất kỳ dãy xuất phát S
0
gồm n số 2 và 3. Các giá trị ứng với n ⩽ 48
là chính xác; các giá trị ứng với n khác được dự đốn là chính xác.
thay đổi. Tất nhiên hành vi của hằng số từng khúc khơng phải là khơng tương
thích với cấp tăng đa thức hay cấp số nhân, nếu các điểm nhảy đủ gần nhau,
nhưng lên đến n = 80 điều này có vẻ khơng đúng. Có các đoạn dài mà Ω(n)
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />bằng phẳng. Lập luận bằng xác suất trình bày trong 4 gợi ý (một cách khơng
thuyết phục lắm) rằng, tính trung bình, Ω(n) có thể gần như bằng c
1
n, với
hằng số c
1
≈ 1, 34. Lên đến n = 49, Ω(n) khơng bao giờ giảm, mặc dù khơng
thể chứng minh điều này ln ln đúng (xem 4.3).
Các điểm nhảy là tại n = 1, 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 14, 19, 22, 48 và tin rằng ba
điểm nhảy tiếp theo là 68, 76 và 77.
2.2. Các tính chất của dãy xuất phát đẹp
Từ n = 2 tới 48 (và có thể tới n = 80) các dãy xuất phát S
0
mà đạt được
Ω(n) tại các điểm nhảy là duy nhất. Các dãy xuất phát đẹp đặc biệt này được
liệt kê trong Bảng 2.2 và 2.3. Với 2 ⩽ n ⩽ 48 (và có thể 2 ⩽ n ⩽ 48) các dãy S
0
có các tính chất sau:
(P2) S
0
bắt bầu bằng 2.

(P3) S
0
khơng chứa ký tự 33.
(P4) S
0
khơng chứa ký tự khác rỗng dạng V
4
(và cụ thể là khơng chứa 2222).
n Dãy xuất phát
1 2
2 22
4 2323
6 222322
8 2 3 2 2 2 3 2 3
9 2 2 3 2 2 2 3 2 3
10 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
11 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2
14 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3
19 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2
22 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3
48 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3
2 2 2 3 2 2 3 2 3
Bảng 2.2: Dãy xuất phát chứa 2 và 3 mà Ω(n)>Ω(n −1), hồn chỉnh cho 1 ⩽n ⩽48.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />n Dãy xuất phát
68 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2
3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2
76 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2
2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3
77 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3

2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 3
Bảng 2.3: Được dự đốn là hồn chỉnh danh sách dãy xuất phát của n số 2 và 3 mà
Ω(n)>Ω(n −1), trong khoảng 49 ⩽n ⩽80.
Đây là những quan sát thực nghiệm. Tuy nhiên, vì chúng chắc chắn đúng
cho 2
49
−1 cách chọn đầu tiên của S
0
, có thể đưa ra giả thuyết sau:
Giả thuyết 2.1. Nếu một dãy xuất phát S
0
gồm các số 2 và 3 có độ dài n ⩾2
đạt được Ω(n) với Ω(n)>Ω(n −1), thì S
0
là duy nhất và có các tính chất P2,
P3 và P4.
Ít nhất có thể chứng minh một kết quả về các dãy xuất phát đẹp đặc biệt
này. Đặt S
0
=s
1
s
2
⋯s
n
là một dãy bất kỳ các số ngun có mở rộng S
(e)
=S
t
=

s
1
⋯s
n+t
, trong đó cn(S
t
) = 1. Ta gọi S
0
là yếu nếu mỗi S
r
(r = 0, . . . , t −1) có
thể được viết thành XY
s
n+r+1
với X ≠ε. Nói cách khác, S
0
được gọi là yếu nếu
số hạng ban đầu s
1
là khơng cần thiết cho việc tính tốn số xoắn s
n+1
, . . . , s
n+t
.
Điều này kéo theo τ(S
0
)=τ (s
2
⋯s
n

), và thiết lập
Bổ đề 2.2. Nếu một dãy xuất phát S
0
có độ dài n ⩾2 đạt được Ω(n)>Ω(n−1),
thì S
0
khơng yếu.
Còn một quan sát thực nghiệm khác rất đáng ghi lại, liên quan đến dãy
xuất phát giữa các điểm nhảy. Giả sử n
0
, n
1
là hai điểm nhảy liền nhau, sao
cho
Ω(n)=Ω(n −1) với n
0
<n <n
1
,
và Ω(n)> Ω(n −1) tại n = n
0
và n
1
. Khi đó với n ⩽ 48 và dự đốn với n ⩽ 80,
nếu n
0
< n < n
1
, có thể thu được một dãy xuất phát mà đạt được Ω(n) bằng
cách lấy dãy xuất phát có độ dài n

0
và thêm vào đầu dãy một chuỗi “trung
hòa” gồm n −n
0
số 2 và 3 mà khơng được dùng trong tính tốn Ω(n). Mặc dù
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />điều này khơng có vẻ ngạc nhiên, khơng thể chứng minh tiền tố tự nhiên như
thế ln tồn tại. Chủ đề này sẽ được quay lại trong 4.3.
Các khoảng cách lớn giữa các điểm nhảy tại 22 và 48 và giữa 48 và 68 là
đặc biệt đáng chú ý. Cụ thể, có
Ω(n)=120 với 22 ⩽n ⩽47, (2.1)
và dự đốn
Ω(n)=131 với 48 ⩽n ⩽67. (2.2)
Dữ liệu trong Bảng 2.1, 2.2, 2.3 và Hình 2.1 với n trong khoảng từ 49 tới
80 thu được nhờ tìm kiếm bằng máy tính với giả thuyết rằng dãy xuất phát có
tính chất P3 và P4 nhắc đến ở trên, mặc dù khơng có bất cứ giả thuyết nào về
tính duy nhất. Trên thực tế, giả sử có tính chất P3 và P4, dãy xuất phát tốt
nhất tại các điểm nhảy thật ra là duy nhất và bắt đầu bằng 2. Giả sử P3 và
P4 giảm đáng kể số lượng dãy xuất phát phải khảo sát. Ví dụ, một cách đơn
giản loại trừ các dãy mà chứa bốn số 2 liền nhau hay ba số 3 liền nhau giúp
giảm số dãy với độ dài n từ 2
n
thành c
n
2
, trong đó c
2
=1, 839 . Tuy nhiên, chỉ
điều này thì khơng đủ để đạt tới n =80. Thuật tốn được dùng ở đây sẽ được
đề cập chi tiết hơn trong 2.4.

Nên nhấn mạnh rằng trong trường hợp tồn tại các dãy xuất phát có chiều
dài n với 49 ⩽ n ⩽ 80 mà đạt được Ω(n) nhưng khơng thỏa mãn tính chất P3
và P4, thì giả thuyết có các điểm nhảy tại độ dài 68, 76 và 77 có thể sai, và sẽ
tồn tại dãy xuất phát đẹp hơn những dãy xuất phát trong Bảng 2.3.
2.3. Cách xây dựng với n lớn hơn
Việc xây dựng cấu trúc đại số bất kỳ cho các dãy xuất phát đẹp vẫn chưa
thành cơng. Tuy nhiên, một cách xây dựng đơn giản cho phép ta thu được chặn
dưới của Ω(n) với giá trị n lớn hơn. Gọi S
0
là một dãy có độ dài n mà đạt
được Ω(n), đặt S
(e)
là mở rộng của nó có độ dài n +Ω(n). Khi đó trong một
số trường hợp dãy xuất phát S
(e)
S
0
sẽ mở rộng thành S
(e)
S
(e)
S
0
và xa hơn
nữa trước khi đạt tới 1. Ví dụ, lấy S
0
là dãy có độ dài 48 trong Bảng 2.2, dãy
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />S
(e)

S
0
có độ dài 179 + 48 = 227 và mở rộng tới chiều dài tổng cộng 596 trước
khi đạt tới 1, chứng tỏ rằng Ω(227)⩾369.
2.4. Tính tốn chi tiết
Kết quả hồn chỉnh cho n ⩽48 và có thể hồn chỉnh cho n =80. Để mở rộng
nghiên cứu như vậy, các thuật tốn sử dụng được điều chỉnh một cách đặc biệt
cho các trường hợp dãy số 2 và 3. Khơng có một cách dễ dàng nào để tránh các
q trình cơ bản tính tốn mở rộng của S (tính cn(S), nối vào S, và lặp lại
cho tới khi cn(S) = 1), và do đó trọng tâm là tính nhanh cn(S). Trong phần
tới đây giả sử S có độ dài ít nhất 36. Bước đầu tiên là thuật tốn vét cạn: tìm
kiếm số xoắn cn(s
n−35
⋯s
n
) trong bảng. Hai bit là đủ để ghi lại cn, bởi vì chỉ
quan tâm nó là 1, 2, 3, hay ⩾ 4; với hai bit cho mỗi mục, bảng này chiếm 16
gigabytes. Nó cung cấp chặn dưới của cn(S), nó cũng cung cấp chặn dưới của
độ dài của chuỗi con lặp Y mà tối đa hóa cn(S). Ví dụ, nếu cn(s
n−35
⋯s
n
)=1,
thì bất kỳ Y mà tạo ra cn(S)>1 phải dài ít nhất 19 ký tự, hay sẽ có hai bản
sao trong 36 ký tự cuối cùng của S.
Nó cũng đưa ra chặn trên cho độ dài của Y . Vì ta đang tìm kiếm Y mà
tối đa hóa cn(S), ta chỉ quan tâm các chuỗi Y mà có thể được lặp lại nhiều
lần hơn so với giá trị cn(S) tốt nhất hiện tại. Ví dụ, nếu có cn(S)⩾3, thì chỉ
muốn một chuỗi Y được lặp lại 4 lần, và do đó chỉ xem xét độ dài lên đến độ
dài của S chia 4.

Bây giờ xét n ký tự cuối của S như một ứng viên cho Y , với tất cả giá trị
của n giữa chặn dưới và chặn trên. Các dãy được biểu diễn bằng các số nhị
phân 128 bit, và do đó tìm kiếm sự lặp lại của Y có thể thực hiện với thao tác
bit. Một vài thay đổi và phép tuyển (OR) sinh ra 4 bản sao của Y , hay nhiều
như vậy sẽ phù hợp trong 128 bit. Tiếp theo một phép tuyển có loại trừ (XOR)
tìm các ký tự khác so với S, một bit qt vị trí chỉ số của sự khác nhau đầu
tiên, và có thể chia chiều dài của Y để xem Y được lặp lại bao nhiêu lần. (Thật
ra, tất cả phép chia đã được làm xong bằng các bảng tính trước.) Nếu Y làm
tăng giá trị tốt nhất đã biết của cn(S), khi đó chặn trên của chiều dài Y có
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />thể được điều chỉnh giảm. Nếu ta đạt tới 128 bit và vẫn phải tiếp tục, chúng
ta dùng đến một đoạn chương trình giảm chuỗi cơ số. Trong thực hành, đoạn
chương trình giảm chiếm ít hơn 1% thời gian thi hành chương trình.
Để tính tốn giá trị giả thuyết lên đến n = 80, ta loại trừ (hầu hết) các
chuỗi chứa 33 hay từ con V
4
. Tất nhiên khơng thể kiểm tra 2
80
chuỗi để kiểm
tra nếu chúng vi phạm một trong các điều kiện, do đó cần một cách hiệu quả
để tránh phải khảo sát tất cả chúng. Để làm điều này, ta tính một bảng kích
thước 256 ×256 để liệt kê, cho tất cả chuỗi có độ dài 8, tất cả chuỗi dài 8 ký
tự mà có thể dõi theo một cách hợp pháp. Khi ta xây dựng đệ quy S bằng các
khối 8 ký tự, đảm bảo rằng các quy tắc khơng bị vi phạm giữa hai khối ký tự
liên tiếp bất kỳ. Việc này khơng hồn hảo (ví dụ, nó sẽ bỏ quả một chuỗi V
4
nếu V dài 9 ký tự), nhưng nó loại bỏ một cách hiệu quả phần lớn các trường
hợp khơng mong muốn.
2.5. Các quy luật khơng thể tránh khỏi
Một ngun nhân giúp tin rằng giả thuyết số xoắn có thể đúng, ít nhất

trong trường hợp đặc biệt các dãy gồm các số 2 và 3, là tồn tại một số định lý
trong ngơn ngữ lý thuyết chính thức về sự tất yếu của quy tắc trong chuỗi nhị
phân dài. Một ví dụ cổ điển là định lý Shirshov. Khơng may là nó khơng thực
sự làm những điều ta muốn, nhưng nó cho ta hy vọng rằng một chứng minh
cùng những dòng này có thể tồn tại. Định lý Lyndon là một ví dụ khác. Giả
sử có một dãy dài các số 2 và 3 sinh bởi (1.1), và khảo sát phép phân hoạch
chính tắc thành các từ Lyndon. Có rất ít từ Lyndon có thể (ví dụ, 2222 là bị
cấm), nhưng vì kiểu thâm nhập này khơng dẫn đến mâu thuẫn, ta sẽ khơng
nói thêm về nó.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 3
Số dãy nhị phân với số xoắn cho
trước
Trong phần này nghiên cứu số c(n, k) các dãy nhị phân có chiều dài n và
số xoắn là k. Để cho phù hợp với các phần khác, tiếp tục khảo sát dãy các số
2 và 3, mặc dù trong phần này bất kỳ bảng mẫu tự 2 số (ví dụ như {0, 1}) đều
làm tốt như nhau.
3.1. Dãy ngun thủy và dãy mạnh
Một dãy S được gọi là phi ngun thủy (hay tuần hồn) nếu nó bằng T
i
với
T là một dãy và i ⩾2. Ngược lại, S được gọi là ngun thủy .
Bổ đề 3.1. Giả sử S có số xoắn k. Khi đó S có thể được viết lại thành XY
k
,
có thể bằng nhiều cách. Dãy Y ngắn nhất như vậy là ngun thủy và duy nhất,
có số xoắn <k nếu k >1, có số xoắn bằng 1 nếu k =1.
Chứng minh. Xét tất cả cách viết có thể S =XY
k
, và ký hiệu Y là tập tất cả

Y có độ dài tối thiểu. Mọi Y ∈ Y là ngun thủy, vì nếu ngược lại Y =T
i
, i ⩾2
thì S = XT ik, và cn(S) = ik > k, mâu thuẫn với định nghĩa của Y. Để kiểm
tra tính duy nhất, chúng ta thấy rằng S =X
1
Y
k
1
=X
2
Y
k
2
với Y
1
=Y
2
 kéo theo
Y
1
= Y
2
. Nếu k > 1 và Y ∈ Y có số xoắn c ⩾ k > 1, tức là Y = UV
c
, V  ⩾ 1, thì
S = X(U V
c
)
k

= X
′
V
c
với c ⩾ k, V  < Y , mâu thuẫn. Cuối cùng, nếu k = 1,
hiển nhiên Y khơng thể có số xoắn lớn hơn một, hay S cũng vậy.
∎
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Ký hiệu độ dài của dãy Y ngắn nhất là π. Ký hiệu C(n, k, π) (với n ⩾1, 1 ⩽
k ⩽ n, 1 ⩽π ⩽n) là tập tất cả các dãy S có giá trị n, k và π cho trước, c(n, k, π)∶=
#C(n, k, π), C(n, k) ∶=
⌊n/k⌋
⋃
π=1
C(n, k, π) và c(n, k)∶=#C(n, k)=
⌊n/k⌋
∑
π=1
c(n, k, π).
Nếu S có số xoắn bằng 1 thì dãy Y ngắn nhất thỏa mãn S =XY đơn giản
là số cuối cùng của S, do đó π =1 và S ∈ C(n, 1, 1). Tập C(n, 1, π) với π > 1 là
tập rỗng.
Ký hiệu P(n, k) (với 1 ⩽k ⩽n) là tập các dãy S ngun thủy thuộc C(n, k),
và p(n, k)∶=#P(n, k). Chú ý rằng C(n, 1)=P(n, 1), bởi vì số xoắn 1 kéo theo
tính ngun thủy.
Ký hiệu Q(n, k) ∶=
k
⋃
i=1
P(n, i) (với 1 ⩽ k ⩽ n) là tập các dãy ngun thủy có

số xoắn lớn nhất là k, và q(n, k) ∶= #
k
∑
i=1
p(n, i). Đặt q(n, 0) ∶= 0 và q(n, k) ∶=
q(n, n) với k > n. Theo định nghĩa, q(n, n) là tổng số chuỗi nhị phân khơng
tuần hồn có độ dài n, và nó đã được biết đến rằng
q(n, n)=
∑
d∣n
µ
n
d
2
d
, (3.1)
trong đó µ là hàm M¨obius .
Dãy S ∈P(n, k) được gọi là mạnh nếu khơng khơng tồn tại hậu tố của S
k+1
có số xoắn ⩾ k +1. Ví dụ dãy khơng mạnh xuất hiện đầu tiên là tại độ dài 5,
trong đó S =32232 ∈ C(5, 1) khơng mạnh bởi vì
S
2
=3223232232
có hậu tố (232)
2
. Tại độ dài 8 có nhiều ví dụ với k =2, ví dụ như S = 32232232,
mà S
3
có hậu tố (232)

3
. Ký hiệu P
′
(n, k) là tập các dãy S mạnh ∈P(n, k), và
đặt p
′
(n, k)∶=#P
′
(n, k).
Bảng 3.1, 3.2, 3.3 và 3.4 liệt kê giá trị tương ứng của c(n, k), p(n, k), q(n, k)
và p
′
(n, k). Có ít số dãy khơng mạnh hơn so với số dãy mạnh, và các số này
được liệt kê trong Bảng 3.5.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />nk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2
2 2 2
3 4 2 2
4 6 6 2 2
5 12 12 4 2 2
6 20 26 10 4 2 2
7 40 52 20 8 4 2 2
8 74 110 38 18 8 4 2 2
9 148 214 82 36 16 8 4 2 2
10 286 438 164 70 34 16 8 4 2 2
11 572 876 328 140 68 32 16 8 4 2 2
12 1124 1762 660 286 134 66 32 16 8 4 2 2
Bảng 3.1: Bảng các giá trị của c(n, k), số dãy nhị phân có độ dài n và số xoắn k, với
1 ⩽k ⩽n và n ⩽ 12 .

nk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2
2 2 0
3 4 2 0
4 6 4 2 0
5 12 12 4 2 0
6 20 20 8 4 2 0
7 40 52 20 8 4 2 0
8 74 100 36 16 8 4 2 0
9 148 214 76 36 16 8 4 2 0
10 286 414 160 68 32 16 8 4 2 0
11 572 876 328 140 68 32 16 8 4 2 0
12 1124 1722 640 276 132 64 32 16 8 4 2 0
Bảng 3.2: Bảng các giá trị của p(n, k), số dãy nhị phân ngun thủy có độ dài n và số
xoắn k, với 1 ⩽k ⩽n và n ⩽ 12 .
3.2. Ba định lý cơ sở
Định lý Fine - Wilf cổ điển hóa ra lại rất hữu ích cho việc nghiên cứu số
xoắn.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />n/k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2
2 2 2
3 4 6 6
4 6 10 12 12
5 12 24 28 30 30
6 20 40 48 52 54 54
7 40 92 112 120 124 126 126
8 74 174 210 226 234 238 240 240
9 148 362 438 474 490 498 502 504 504
10 286 700 860 928 960 976 984 988 990 990

11 572 1448 1776 1916 1984 2016 2032 2040 2044 2046 2046
12 1124 2846 3486 3762 3894 3958 3990 4006 4014 2018 4020 4020
Bảng 3.3: Bảng các giá trị của q(n, k), số dãy nhị phân có độ dài n và số xoắn nhiều
nhất là k, với 1 ⩽k ⩽ n và n ⩽12.
nk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2
2 2 0
3 4 2 0
4 6 4 2 0
5 10 12 4 2 0
6 20 20 8 4 2 0
7 36 52 20 8 4 2 0
8 72 98 36 16 8 4 2 0
9 142 214 76 36 16 8 4 2 0
10 280 414 160 68 32 16 8 4 2 0
11 560 870 326 140 68 32 16 8 4 2 0
12 1114 1720 640 276 132 64 32 16 8 4 2 0
Bảng 3.4: Bảng các giá trị của p
′
(n, k), số dãy nhị phân ngun thủy mạnh có độ dài
n và số xoắn k, với 1 ⩽k ⩽n và n ⩽12 .
Định lý 3.2. (Fine và Wilf) Nếu các dãy S = X
i
và T = Y
j
có chung hậu tố
U có độ dài
U⩾X+Y −gcd(X, Y ), (3.2)
thì khi đó tồn tại dãy Z và các số ngun g, h, sao cho X = Z
g

, Y = Z
h
,
Z= gcd(X, Y ).
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />nk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0
2 0 0
3 0 0 0
4 0 0 0 0
5 2 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 0
7 4 0 0 0 0 0 0
8 2 2 0 0 0 0 0 0
9 6 0 0 0 0 0 0 0 0
10 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 12 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0
12 10 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Bảng 3.5: Hiệu p(n, k)−p
′
(n, k), số dãy nhị phân ngun thủy mạnh có độ dài n và số
xoắn k, với 1 ⩽k ⩽n và n ⩽ 12 .
Trong hầu hết các ứng dụng tất cả ta cần là U ⩾ X+Y −1, hơn là bất
phương trình (3.2).
Tồn tại một cách định nghĩa tương đương tính mạnh mà dễ kiểm tra hơn.
Định lý 3.3. Nếu S ∈P (n, k) khơng mạnh, kéo theo S
k+1
có một hậu tố thực
sự T
k+1

, với dãy T nào đó, khi đó T
k+1
thật ra là hậu tố thực sự của S
2
.
Chứng minh. Khẳng định trên là tầm thường nếu k =1, do đó ta giả sử k ⩾2.
Từ giả thiết suy ra t ∶= T  < n. Bây giờ S
k+1
và T
k+1
có chung hậu tố với độ
dài (k +1)t. Trong trường hợp (k +1)t ⩾ n +t −1 thì theo Định lý 3.2 ta có
S = Z
g
, T =Z
h
, đối với một số Z, g, h và g > h, kéo theo g ⩾2 và do đó S phải
ngun thủy, mâu thuẫn. Do đó (k +1)t <n +t −1 <2n, theo như u cầu.
∎
Từ đó suy ra S ∈ P(n, k) là mạnh khi và chỉ khi khơng có hậu tố thực sự
của S
2
có số xoắn bằng k +1. Điều này giúp đơn giản hóa việc tính tốn số
p(n, k).
Một nhận xét thơng thường nhưng hữu ích đó là thêm vào dãy một số khơng
làm tăng số xoắn nhiều hơn 1.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định lý 3.4. Nếu S ∈ C(n, k) thì 2S (và tương đương 3S) thuộc C(n +1, k)
hoặc C(n +1, k +1).
Chứng minh. Ví dụ, nếu 2S ∈C(n +1, l) với l ⩾k +2, thì 2S =UV

l
với một số
U, V, l và V
l−1
(ít nhất) là một hậu tố của S, mâu thuẫn với S có số xoắn là k.
∎
3.3. Phép đệ quy cho c(n, k)
Định lý chính đầu tiên của mục này biểu diễn hàng thứ n của bảng c(n, k)
theo hàng thứ (n −1) các hàng trước đó của bảng p(n, k) và p
′
(n, k).
Định lý 3.5. Số c(n, k) có các tính chất sau: c(n, k)=0 với n ⩽k−1, c(n, k) =2
với n =k và k +1, và với n ⩾k +2,
c(n, k)=2c(n −1, k)
+[kn]p
′

n
k
, k −1

+q

n
k
, k −2


−[k +1n]p
′


n
k +1
, k

+q

n
k +1
, k −1

,
(3.3)
trong đó ngoặc Iverson [R] bằng 1 nếu phát biểu R là đúng, bằng 0 nếu ngược
lại.
Chứng minh. Giả sử k ⩾ 1 và n ⩾ k +2. Giả sử S ∈ C(n, k) và ký hiệu T là
S sau khi xóa số hạng tận cùng bên trái. Khảo sát riêng biệt các trường hợp
cn(T )=k và cn(T )<k.
Trong trường hợp đầu tiên, nếu T là dãy bất kỳ trong C(n −1, k) và S là
2T hoặc 3T , thì theo Định lý 3.4, S phải thuộc C(, k) hoặc C(, k +1). Do đó
ta sẽ thu được 2c(n −1, k) dãy trong C(n, k), ngoại trừ ta phải loại trừ trong
số trên các dãy T ∈ C(n −1, k) có tính chất 2T hay 3T = V
k+1
với V là dãy
ngun thủy có độ dài n(k +1). Điều này chỉ có thể xảy ra khi n là bội của
k +1. Các dãy V như vậy là các dãy ngun thủy có độ dài n(k +1) với số
xoắn l ⩽k, và thỏa mãn khơng có hậu tố thực sự nào của V
k+1
có số xoắn lớn
hơn k. Nếu l =k, số dãy V như vậy là (theo định nghĩa) p

′
(n(k +1), k). Mặt
khác, nếu 1 ⩽l ⩽k −1, bất kỳ V ∈P(n(k +1), l) sẽ có tính chất là khơng tồn
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />tại hậu tố thực sự của V
k+1
có số xoắn lớn hơn k (và số dãy hậu tố như vậy là
p(n(k +1), l)). Điều này được rút ra từ định lý Fine - Wilf (Định lý 3.2). Nếu
V
k+1
có một hậu tố thực sự dạng U
k+1
, thì hai dãy bị trùng lặp trong (k +1)u
số hạng cuối, trong đó u = U, và u < v, trong đó v = V  = n(k +1). Bởi vì V
có số xoắn l <k, k bản sao bên phải của U khơng là một hậu tố của V , và do
đó ku > v. Suy ra
(k +1)u ⩾v +u −1, (3.4)
do vậy theo Định lý 3.2, V = Z
g
, U = Z
h
, h < g, g ⩾ 2. Nhưng V
k
= Z
2g
là một
hậu tố của T , nên cn(T )⩾2k >2, mâu thuẫn. (Nhiều ứng dụng khác của định
lý Fine - Wilf được rút ra cũng theo cách như vậy.)
Trong trường hợp thứ hai phải khảo sát dãy S = V
k

trong đó cn(T ) < k.
Bây giờ n phải là bội của k, và V ∈ P(nk, l) với 1 ⩽ l ⩽ k −1 sao cho khơng
có hậu tố thực sự của V
k
có số xoắn k. Nếu l = k −1, số dãy V như vậy (theo
định nghĩa) là p
′
(nk, k −1). Mặt khác, nếu 1 ⩽ l ⩽ k −2, điều kiện khơng tồn
tại hậu tố thực sự của V
k
có số xoắn k được rút ra từ định lý Fine - Wilf bằng
biện luận tương tự như ở trên (ngoại trừ k +1 được thay bằng k), và số dãy V
là p(nk, l). Định lý được chứng minh.
∎
3.4. Dãy có số xoắn bằng 1
Với mục đích nghiên cứu giả thuyết số xoắn cần đặc biệt quan tâm đến ba
cột đầu tiên của bảng c(n, k), bởi vì chúng xác định xác suất một dãy ngẫu
nhiên các số 2 và 3 có số xoắn là 1, 2, 3 hay ⩾4 (xem 4.2). Giá trị của c(n, 1)
là đặc biệt hấp dẫn, vì đây là bài tốn tổ hợp được quan tâm độc lập. 30 số
hạng đầu tiên của c(n, 1) được đưa ra bởi G. P. Srinivasan trong năm 2006,
người đã miêu tả nó như “số dãy nhị phân khơng có phép lặp thơng thường”.
Tuy nhiên, vẫn khơng thể tìm ra cơng thức cho c(n, 1), hay thậm chí một phép
đệ quy để biểu diễn c(n, 1) theo giá trị của c(m, 1) với m < n. Định lý 3.5 chỉ
nói rằng
c(n, 1)=2c(n −1, 1)−[2n]p
′
(n2, 1), (3.5)
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />p
′

(n2, 1) là số dãy nhị phân ngun thủy mạnh có độ dài n2 và số xoắn là 1.
Sử dụng 3.5 cho phép n số hạng của dãy c(⋅, 1) có thể thu được từ n2 số
hạng của dãy p
′
(⋅, 1). Trong thực tế, điều này hạn chế ta trong khoảng 100 số
hạng của dãy c(⋅, 1). Để thu được nhiều số hạng hơn cần thêm một số thuật
ngữ (mà sẽ chỉ được sử dụng trong mục này).
Nếu S có độ dài n, đặt S
[i]
là hậu tố của nó có độ dài i, với 1 ⩽i < n. Khi
đó ta định nghĩa
A(n, i)∶={S ∈C(n, 1)cn(S
[i]
S)=1}, 1 ⩽i <n,
B(n, i)∶={S ∈C(n, 1)cn(SS
[i]
S)=1}, 1 ⩽i <n,
E(n, i, j)∶={S ∈C(n, 1)S
[i]
S ∈B(n +i,j)}, 1 ⩽i <n, 1 ⩽j <n +i,
và đặt a(n, i) = #A(n, i), b(n, i) = #B(n, i), e(n, i, j) = #E(n, i, j). S ⪰ T có
nghĩa là T là một hậu tố của S, và S ≻T có nghĩa là T là một hậu tố thực sự
của S.
Hai định lý bên dưới đưa ra dạng chính tắc của dãy khơng mạnh với số
xoắn bằng 1.
Định lý 3.6. Nếu cn(S)=1 nhưng cn(T S)>1 với dãy T thỏa mãn S ≻T , thì
tồn tại X ≠ε, Y ≠ε sao cho
S =XY X, trong đó cn(X)=1, T ⪰ Y, vX ≻Y. (3.6)
Chứng minh. Vì cn(T S) > 1, T S ⪰ ZZ với Z < S , và do đó S ≻ Z. Ta
viết S =XZ và chú ý rằng T XZ ⪰ ZZ, nên T X ⪰Z. Do đó hoặc X ⪰Z hoặc

Z ≻ X. Biểu thức đầu kéo theo cn(S) > 1, mâu thuẫn. Do vậy Z ≻ X, hay
Z =Y X, và S =XY X.
Bởi vì S ⪰ X, cn(X) = 1 và T X ⪰ Z = Y X, nên T ⪰ Y . Ta cần phải chứng
minh X ≻ Y . Bây giờ S ≻ T ⪰ Y và S ⪰ X, nên hoặc Y ⪰ X hay X ≻ Y . Biểu
thức đầu tiên kéo theo Y =W X với W nào đó, và do vậy S =XY X =XW XX,
mâu thuẫn với cn(S)= 1. Do vậy X ≻Y .
∎
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />