một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thời đại thông tin bùng nổ, học sinh thời nay phải truy nhập vào “Kho
tri thức nhân loại” vô tận trong thời gian ngắn nhất để đạt được hiệu quả cao nhât.
Vì thế ngoài việc trau dồi các kiến thức trong nhà trường, cuộc sống mới buộc thế
hệ trẻ nếu không muốn tụt hậu, phải quan tâm đến nhiều mặt khác như: Ngoại ngữ,
Âm nhạc, Thể thao, Truyền hình, Mạng máy tính thông tin toàn cầu Do thời gian
với mỗi người là hữu hạn cho nên sự lựa chọn kỹ lưỡng những gì cần học và
phương pháp học đã trở thành then chốt có tính quyết định cho sự nghiệp của cả
cuộc đời.
Trên thực tế môn toán là môn học không thể thiếu đối với học sinh THPT.
Trong đó học sinh đã được học rất nhiều dạng toán về phương trình, hệ phương
trình và bất phương trình, cụ thể là: Lớp 10 có phương trình, hệ phương trình và bất
phương trình quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt
đối; lớp 11 có phương trình lượng giác; lớp 12 có phương trình, hệ phương trình và
bất phương trình mũ và logarit. Có rất nhiều phương pháp giải phương trình, hệ
phương trình và bất phương trình, mỗi phương pháp đều có những nét độc đáo
riêng. Trong quá trình giảng dạy của mình, đặc biệt trong quá trình dạy HSG và
dạy ôn thi đại học tôi nhận thấy phương pháp hàm số là một phương pháp rất hay,
độc đáo và ngắn gọn. Phương pháp này phát huy rất tốt tư duy sáng tạo, khả năng
phân tích, phán đoán của học sinh, đồng thời nó đòi hỏi ở người vận dụng kĩ năng
phân tích, lập luận, tính toán chính xác, khoa học. Tuy nhiên, do sự giảm tải kiến
thức toán ở bậc THPT, những bài tập ra trong SGK thông thường học sinh giải
được bằng phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, còn số
lượng bài tập sử dụng phương pháp hàm số để giải rất ít, hạn chế và rất nghèo nàn.
Nhưng trong các kì thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng và thi chọn học sinh giỏi thì có
rất nhiều bài toán giải bằng phương pháp hàm số, cho nên việc trang bị cho học
sinh giải bài toán bằng phương pháp hàm số là rất cần thiết. Qua 13 năm giảng dạy
Toán, trong quá trình dạy ôn thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi luôn tâm
niệm muốn đưa phương pháp sử dụng hàm số vào để giải phương trình, hệ phương

trình, bất phương trình và tôi đã áp dụng phương pháp này với kết cấu mỗi dạng
đều có phần lí thuyết, bài tập mẫu, bài tập tự giải và thấy rất hiệu quả. Vì vậy tôi
lựa chọn đề tài “ Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình,
bất phương trình”
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
1
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN:
I.1. Hàm số đồng biến, nghịch biến:
- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K
f: đồng biến trên
)()(,
212121
xfxfxxKxxK
<⇒<∈∀⇔
f: nghịch biến trên
)()(,
212121
xfxfxxKxxK
>⇒<∈∀⇔
- Tính chất: Cho
)(xf
xác định trên K
Với
212121
)()(; xxxfxfKxx
=⇔=∈∀
- Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số

)(xfy
=
trên K ta dựa vào 2 phương
pháp sau:
* Phương pháp 1: Dùng định nghĩa
+ Lấy
2121
,, xxKxx
≠∈
, lập tỉ số
12
12
)()(
xx
xfxf
A
−
−
=
+ Dựa vào dấu của A để suy ra tính đơn điệu
A>0: f đồng biến
A<0: f nghịch biến
*Phương pháp 2: Dùng đạo hàm:
+ Tính chất 1: f: đồng biến trên



=
∈∀≥
⇔

0)('
,0)(
'
xf
Kxxf
K
+ Tính chất 2: f nghịch biến trên



=
∈∀≤
⇔
0)('
,0)(
'
xf
Kxxf
K
Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của
hàm số khá đơn giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo
hàm thì phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng
định nghĩa để chứng minh là một điều khó.
I. 2. Một số định lý:
Định lí 1: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D
thì số nghiệm của f(x)=k trên D không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi
x=y với mọi x,y thuộc D.
Chứng minh:
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
2

tại hữu hạn điểm của K
tại hữu hạn điểm của K
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

Giả sử phương trình f(x)=k có nghiệm x=a, tức là f(a)=k và f đồng biến trên
D nên
* x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x)=k vô nghiệm
* x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x)=k vô nghiệm
Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số y =
g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của
phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một.
Chứng minh:
Giả sử x=a là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).Ta
giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô
nghiệm khi x>a.
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô
nghiệm khi x<a.
Vậy phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.

Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục
trên D thì
( )
f(x) f(y) x y f(x) f(y) x y< ⇔ < > ⇔ >
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Phương pháp hàm số để giải PT, HPT, BPT là một phương pháp mang tính
hiện đại, cách giải hay, nhanh gọn và độc đáo.
Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dùng
phương pháp này để giải còn rất ít, SGK chỉ giới thiệu các dạng bài tập này mang

tính chất tham khảo, do đó phương pháp này không mang tính chất phổ biến và bắt
buộc. Chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy
móc hoặc chưa biết sử dụng.
Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn
đề cần thiết giúp cho các em có kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải bài tập bằng
phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và
đạt kết quả cao trong các kì thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi.
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
3
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

III. CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
III.1. Phương pháp dạy học sinh giải toán bằng cách sử dụng tính đơn điệu
của hàm số:
Để dạy học sinh giải toán bằng phương pháp hàm số là một phương pháp khó,
Phương pháp này thường dùng để giải các bài tập khó có dạng không mẫu mực. Để
giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi dạy học sinh
tiến hành theo các bước sau đây:
Bước 1: Nhận dạng, biến đổi PT, BPT, HPT về dạng thích hợp.
Bước 2: Thiết lập hàm số.
Bước 3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến).
Bước 4: Dựa vào tính chất đơn điệu của hàm số để kết luận
Bước1: Nhận dạng
Tôi xem đây là bước quan trọng nhất, bởi vì một bài toán nếu biết dùng tính
chất đơn điệu của hàm số để giải thì bài toán xem như đã biết phương pháp giải.
Thông thường những bài toán dùng phương pháp này để giải ta nhận dạng như sau:
Đối với PT, BPT, HPT không thể sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc
sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm ra nghiệm bài toán
Không thuộc vào dạng bài tập đã được học phương pháp giải được trình bày
trong SGK phổ thông

Mối liên hệ của hai vế của một PT, BPT khác biệt nhau mà chúng ta không
thể dùng các phép biến đổi để đưa PT, BPT về dạng quen thuộc đã có phương pháp
giải, chẳng hạn:
- Khi giải phương trình: 3
x
+ 4
x
=5
x
.Việc biến đổi lũy thừa để đưa về cùng cơ
số hay đặt ẩn phụ sẽ không thực hiện được cho nên chúng ta phải nghĩ ngay đế việc
nhẩm nghiệm và sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh nghiệm duy nhất
- Khi giải phương trình: 2
x
= 1-x. Ta thấy VT của PT chứa lũy thừa, VP của
PT chứa đa thức cho nên việc biến đổi thông thường để tìm ra nghiệm của bài toán
là không thực hiện được, chính lẽ đó ta phải nghĩ ngay đến tính đơn điệu của hàm
số để giải
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
4
f: đơn điệu
f(x
o
)=0
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

Bước 2: Thiết lập hàm số:
Thực hiện bước này khá đơn giản, nhưng yêu cầu học sinh phải biết biến đổi PT,
BPT, HPT về dạng thích hợp: f(x)=f(y); f(u(x))= f(v(y)),… thì quy tắc f chính là
hàm số ta cần xác lập

Bước 3: Chứng minh tính chất đơn điệu của hàm số:
Để chứng minh tính đơn điệu của hàm số ta dùng hai phương pháp: Dùng
định nghĩa và dùng đạo hàm
Nếu học sinh đã được học đạo hàm thì việc chứng minh tính đơn điệu của hàm số
khá đơn giản bằng phương pháp 2. Đối với học sinh chưa được học đạo hàm thì
phải sử dụng định nghĩa, đối với các dạng hàm số phức tạp thì việc dùng định nghĩa
để chứng minh là một điều khó.
Bước 4: Kết luận:
- Nếu từ tính chất đơn điệu của hàm số ta suy ra được nghiệm của bài toán
thì bài giải được kết thúc
- Nếu bài toán đã cho được biến đổi thành một bài toán đơn giản hơn thì
chúng ta phải tiếp tục dùng các phương pháp khác để giải cho đến khi tìm được
nghiệm của bài toán thì dừng lại.
III.2. Các bài toán giải bằng phương pháp hàm số:
III.2.1 Các bài toán giải phương trình:
Bài toán: Giải PT : “h(x) = g(x)” (1)
• Để CM (1) có nghiệm duy nhất ta tiến hành như sau:
Bước 1: Biến đổi PT(1) về dạng f(x) = 0 (2), với f(x) = h(x) – g(x).
Bước2: CM: nếu



thì : x = x
o
là nghiệm duy nhất của PT.
• Để biến đổi PT (1) có dạng phức tạp thành PT: U(x)=V(x) có dạng đơn giản, đã
có phương pháp giải, ta tiến hành như sau:
Bước 1: Biến đổi PT (1) về dạng:
( ) ( )
f u x f v x

   
=
   
Bước 2: Chứng minh f là đơn điệu.
Bước 3: Kết luận (1)
⇔
u(x) = v(x)
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
5
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

Chú ý: Khi gặp phương trình F(x) = 0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x) =
g(x), trong đó f và g khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương
trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Thí dụ 1: Giải các phương trình sau:
a.)

xxx
543 =+
b.)
x
x
−= 32
c.)
xx −= 3log
2
Hướng dẫn cách giải:
Cách 1: - Nhẩm nghiệm
- Chứng minh nghiệm duy nhất
Cách 2: - Thiết lập hàm số

- Dùng tính đơn điệu để suy ra nghiệm của phương trình.
Bài giải:
a.) 3
x
+ 4
x
= 5
x
(1)
Cách 1: Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình 3
x
+ 4
x
= 5
x
(1)
(1)
⇔
3 4
1
5 5
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
Vế trái: là hàm số nghịch biến
Vế phải là hàm hằng
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (1)
Cách 2: (1)

⇔
3 4
1
5 5
x x
   
+ =
 ÷  ÷
   
Xét f(x) =
3 4
5 5
x x
   
+
 ÷  ÷
   
⇒ f’(x) =
3
5
x
 
 ÷
 
ln
3
5
+
4
5

x
 
 ÷
 
ln
4
5
< 0
x
∀ ∈
R
⇒ f(x) nghịch biến trên R và f(2)= 1
⇒ x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
Các ví dụ b, c giải tương tự
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
6
⇒ Nếu phương trình có nghiệm thì có nghiệm duy
nhất
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

Thí dụ 2: Giải các phương trình sau : .
3
3
3 3
2 2
3 3
2
2
3
2

1/ 3x+1 x 7x+2 4
2 / 5x 1 2x-1 x 4
3/ x+2 x+1 2x +1 2x
x x 3
4 /log ( ) x 3x+2
2x 4x+5
+ + =
− + + =
+ = +
+ +
= +
+
Hướng dẫn cách giải:
1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn
phụ sẽ gặp nhiều khó khăn. Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT
là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta
có được x=1 là nghiệm duy nhất.
Bài giải : Tập xác định:
7 57
D ;
2
 
−
= +∞
÷

÷
 
Xét hàm số

f (x) 3x+1 x 7x+2
= + +
, ta có f(x) là hàm liên tục trên D và
7
1
3
2 7x+2
f '(x) 0
2 3x+1
2 x+ 7x+2
+
= + >
nên hàm số f(x) luôn đồng biến trên D.
Mặt khác, ta thấy f(1)=4
*Nếu x > 1 suy ra f(x) > f(1) = 4 nên pt vô nghiệm
*Nếu x < 1 suy ra f(x) < f(1) = 4 nên pt vô nghiệm
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Chú ý:
- Hàm số y = ax+b với a > 0 là một hàm đồng biến .Nếu f(x) là hàm đồng
biến thì hàm
n
f (x)
( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến
nên ta dễ dàng nhận ra VT của phương trình là hàm đồng biến.
- Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức
dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương.
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
7
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ
sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của phương trình
là một hàm đồng biến và phương trình có nghiệm x =1. Do đó phương trình này
có nghiệm duy nhất x =1 (Cách giải tương tự như bài 1)
3) Với đường lối như hai bài trên thì khá khó khăn để giải quyết được bài toán này.
Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một
mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x
2
+1=(2x
2
)+1, do vậy nếu đặt
3
2
3
x 1 u;v 2x
+ = =
thì phương trình đã cho trở thành:
3 33 3
u 1 u v 1 v f(u) f(v)
+ + = + + ⇔ =
trong đó
3 3
f(t) t 1 t
= + +
là một hàm liên tục và có
2
3 2
3
t
f '(t) 1 0

(t 1)
= + >
+
nên f(t)
luôn đồng biến. Do đó
2
x 1
f (u) f(v) u v 2x x 1
1
x
2
=


= ⇔ = ⇔ = + ⇔
−

=

Vậy phương trình có nghiệm x =1, x =-1/2.
4) Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy:
(2x
2
+ 4x + 5) – (x
2
+ x + 3) = x
2
+3x + 2, do vậy nếu đặt v = 2x
2
+ 4x + 5,

u = x
2
+ x + 3 khi đó v – u = x
2
+ 3x + 2 và u, v > 0. khi đó phương trình trở thành:

3 3 3
u
log ( ) v u log u u log v v f (u) f(v)
v
= − ⇔ + = + ⇔ =
trong đó f(t) = log
3
t + t với t >0 . Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do
vậy
2 2
x 1
f (u) f(v) u v 2x 4x+5 x x 3
x 2
=−

= ⇔ = ⇔ + = + + ⇔

=−

.
Thí dụ 3. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m thì PT:

2
x 2x 8 m(x 2)

+ − = −
luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
Hướng dẫn cách giải:
- Biến đổi PT về dạng (x-2)(x
3
+6x
2
– 32 – m) = 0
- Thiết lập hàm số f(x) = x
3
+6x
2
– 32
- CM f(x) có nghiệm duy nhất trên khoảng (2; +∞)
Bài giải:
Với m > 0, PT
2
x 2x 8 m(x 2)
+ − = −

2 2
x 2 0
(x 2x 8) m(x 2)(*)
− ≥

⇔

+ − = −

Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc

8
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

Ta có (*)
⇔
(x-2)(x
3
+6x
2
– 32 – m) = 0
⇔
x= 2 hoặc x
3
+6x
2
– 32 – m = 0 (1).
Phương trình (*) luôn có một nghiệm x = 2, ta chứng minh (1) luôn có một nghiệm
với mọi m > 0. Thật vậy, xét hàm f(x) = x
3
+6x
2
– 32 trên (2; +∞), ta có f’(x) = 3x
2
+
12x > 0 với mọi x > 2.
⇒
f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞). Và f(2) = 0. Vậy với
mọi m >0 pt (1) luôn có duy nhất một nghiệm.
Vậy (*) luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
III.2.2 Các bài toán giải hệ phương trình:

Bài toán : Giải hệ
Nếu một trong hai phương trình của hệ đưa về dạng:
f(x) = f(y) (1) hoặc (
( ) ( )
f u x f v y
   
=
   
và f là một hàm đơn điệu thì:
Hệ (I)
⇔
hoặc (I)
⇔

Thí dụ 4: Giải hệ phương trình:
2 2
3 3 (1)
12 (2)
x y
y x
x xy y

− = −


+ + =


Hướng dẫn cách giải:
Học sinh nhận thấy được phương trình (1) có nghiệp x = y

Biển đổi phương trình (1) về dạng 3
x
+ x = 3
y
+ y (3)
Thiết lập hàm số: f(t) = 3
t
+ t
Chứng minh f(t) là hàm đồng biến, (3)
⇔
f(x) = f(y)
⇔
x = y
Bài giải: (I)
⇔
2 2
3 3 + y (3)
12
x y
x
x xy y

+ =


+ + =


Xét hàm số: f(t) = 3
t

+ t ⇒ f’(t) = 3
t
ln3 + 1 >0
∀
t
∈
R
⇒ f(t) là hàm đồng biến, (3)
⇔
f(x) = f(y)
⇔
x = y
Nên (I)
⇔

2 2

12
x y
x xy y
=


+ + =

⇔
x = y = ± 2
Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2)
Thí dụ 5: Giải hệ
2 3 4 4 (1)

2 3 + 4 = 4 (2)
x y
y x

+ + − =


+ −


(I)
Hướng dẫn cách giải:
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
9
F(x,y) = 0
G(x,y)= 0
(I)
x = y
G(x,y)= 0
(II)
u(x) = v(y)
G(x,y)= 0
(III)
(I)
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

- Nhận dạng: Đây là hệ phương trình đối xứng loại 2 nên có 1 nghiệm x = y
- Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng
2 3 4 2 3 4x x y y+ − − = + − −
- Thiết lập hàm số: f(t)=

2 3 4t t+ − −
, t
∈
[-
3
2
;4]
Cách giải: Điều kiện -
3
2
, 4x y≤ ≤
Lấy (1) – (2) và đưa phương trình về dạng
2 3 4 2 3 4x x y y+ − − = + − −
(3)
Xét hàm số: f(t) =
2 3 4t t+ − −
, t
∈
[-
3
2
;4]
0
42
1
32
1
)(
,
>

−
+
+
=⇒
tt
tf

∀
t
∈
[-
3
2
;4]
⇒ f(t) đồng biến trên (-
3
2
;4)
(3)
( ) ( )
yxyfxf
=⇔=⇔
Suy ra:
4432 =−++ xx
( PT vô tỉ dạng cơ bản)
Giải PT được 2 nghiệm : x=3, x=
9
11
(thỏa điều kiện)
Vậy hệ có 2 nghiệm (3; 3),







9
11
;
9
11
Thí dụ 6: Giải hệ PT:
sin x sin y 3x- 3y (1)
x+y= (2)
5
x,y>0 (3)
− =


π





Hướng dẫn cách giải:
Từ phương trình (1) gợi cho ta sử dụng phương pháp hàm số
Từ (2) và (3) ta có 0 < x, y <
5
π

(vì hàm số f(t)=sint -3t là hàm liên tục và nghịch biến trên (0;
5
π
)
Thay x =y vào (2) ta được nghiệm của hệ là: x = y =
10
π
Thí dụ 7:Giải hệ .
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
10
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

3 2
3 2
3 2
x 3x -3+ln(x x 1) y
y 3y-3+ln(y y 1) z
z 3z-3+ln(z z 1) x

+ − + =

+ − + =


+ − + =

Hướng dẫn cách giải: Xét hàm số f(t) = t
3
+ 3t – 3 + ln(t
2

– t + 1) trên R
Khi đó hệ có dạng :
f(x) y
f(y) z
f(z) x
=


=


=

.
ta có:
0
21
41
)
21
2
(
4
21
)
2
(3
1
1
)('

1
12
33)('
222
22
2
>






+−+−
+−
=⇔
+−
−
++= t
t
t
tt
tf
tt
t
ttf
nên f(t) là hàm đồng biến. Ta giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ và x = Max{x,y,z} khi
đó, ta suy ra y = f(x) ≥ f(y) = z => z = f(y) ≥ f(z) = x.
Hay x ≥ y ≥ z ≥ x suy ra x = y = z, thay vào hệ ta được phương trình:
x

3
+ 3x – 3 + ln(x
2
– x + 1) = x. Ta dễ dàng chứng minh được phương trình này có
nghiệm duy nhất x=1
Vậy x = y = z =1 là nghiệm của hệ đã cho.
III.2.3 Các bài toán giải bất phương trình:
Bài toán: Giải BPT: “g(x)> h(x)”
- Biến đổi BĐT về dạng: g(x) – h(x) >0 (1)
- Đặt f(x) = g(x) – h(x)
Từ đó để giải BPT(1) ta CM :
f là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến)
f(a) = 0
(1)
⇔
f(x) > f(a)
⇔
x >a ( hoặc f(x) > f(a)
⇔
x <a)
Thí dụ 8: Giải bất phương trình:
5 4
log (3 ) logx x+ >
(1)
Hướng dẫn cách giải:
- Đặt: t =
4
log x
⇒ x = 4
t

- Đưa BPT về dạng:
1
5
2
5
1
3 >






+






t
t
t
(2)
- Thiết lập hàm
tt
tf







+






=
5
2
5
1
3)(
- Chứng minh f(t) là hàm nghịch biến và f(1) = 1
Bài giải: Điều kiện: x > 0
Đặt t =
4
log x
⇒ x = 4
t
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
11
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

Bất phương trình (1) trở thành:
⇔>+
tt

523

1
5
2
5
1
3 >






+






t
t
t
(2)
Xét hàm
tt
tf







+






=
5
2
5
1
3)(

0
5
2
ln
5
2
5
1
ln
5
1
3)(' <







+






=
tt
tf
⇒ f(t) nghịch biến trên R
(2)
1)1()( <⇒>⇔ tftf

41log
4
<<⇔<⇒ xOx
Thí dụ 9 : Giải các bất phương trình sau:
1)
62
12
5
233 ≤−
−

+− x
x
x
2)
xxxx −+<+++ 43216632
23
1) Hướng dẫn cách giải:
- Tìm điều kiện
- Thiết lập hàm số
=)(xf
x
x
x 2
12
5
233 −
−
+−
- CM f(x) là hàm nghịch biến và f(1) = 6
Bài giải:
ĐK:
2
3
2
1
≤< x
Xét hàm số
=)(xf
x
x

x 2
12
5
233 −
−
+−
Ta dễ dàng chứng minh được f(x) là hàm nghịch biến và
.6)1( =f
Do đó
1)1()( ≥⇔≤ xfxf
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của BPT là:
2
3
1 ≤≤ x
2) Tương tự ta có lời giải
ĐK:
42
≤≤−
x
Xét hàm số
xxxxxf −−+++= 416632)(
23
ta có

0
42
1
16632
)1(3
)('

23
2
>
−
+
+++
++
=
x
xxx
xx
xf
suy ra f(x) là hàm đồng biến, lại có
32)1( =f
nên
1)1()( <⇔< xfxf

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của BPT là
12
<≤−
x
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
12
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

Thí dụ 10: Tìm m để bất phương trình:
3
3
1
3 2x mx

x
−
− + − <
nghiệm đúng ∀x ≥ 1
Hướng dẫn cách giải:
- Biến đổi BPT về dạng
1,3)( ≥∀> xmxf
- CM f(x) là hàm đồng biến trên khoảng
);1( +∞
- Sử dụng tính chất
mxfxmxf
x
3)(min1,3)(
1
>⇔≥∀>
≥
Bài giải
BPT
( )
3 2
3 4
1 1 2
3 2, 1 3 , 1mx x x m x f x x
x
x x
⇔ < − + ∀ ≥ ⇔ < − + = ∀ ≥
.
Ta có
( )
5 2 5 2 2

4 2 2
4 2 4 2
2 2 2 0f x x x
x x x x x
−
 
′
= + − ≥ − = >
 ÷
 

1, ≥∀x
Suy ra
( )
f x
đồng biến trên khoảng (1; + ∞) .
Yêu cầu bài tuán
( ) ( )
( )
1
2
3 , 1 min 1 2 3
3
x
f x m x f x f m m
≥
⇔ > ∀ ≥ ⇔ = = > ⇔ >
III.2.4. Một số bài tập tương tự.
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1)

x
x
x 23
2
3
132 −=
−
−+
2)
xxxx +=+−+− 11422
22
3)
83215
22
++=++ xxx
4)
22
2
)2()2)(1(
−
+−=+−
xx
xeexxx
5)
2))75((loglog)155(log
2
33
2
2
=+−++− xxxx

Bài 2: Giải các bất phương trình sau
1)
xxxxx 235727
2
−<++++
2)
6
2
8
3
6
<
−
+
− xx
3)
( )
2
1
122
2
−≥−
−−
x
xxx
4)
[ ]
1)2(log)3(log)2(
32
+≥−+−− xxxx

5)
xxx
6132 >++
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau
1)





=+
−=−
254
22
22
yx
xy
yx
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
13
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

2)





>
=+

−=−
0,
32
22sin22sin
yx
yx
xyyx
π
3)





+−=−+
−=−
811
tantan
yxy
xyyx
4)










<<
+=+
=
−
4
5
,
)2(3110
sin
sin
46
π
π
yx
yx
y
x
e
yx
5)





=+
=+
)sin3(log)cos31(log
)cos3(log)sin31(log
32

32
xy
yx
Bài 4: Giải và biện luận phương trình

mmxx
mmxxmxx
++=−
+++++
255
224222
22
Bài 5. Xác định m để PT sau có nghiệm
2 2 4 2 2
m( 1 x 1 x 2) 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − −

IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
- Qua 13 năm giảng dạy ở bậc THPT và luyện thi đại học, bồi dưỡng học sinh
giỏi. Tôi đã sử dụng theo cách đã nêu trên để dạy cho học sinh:
Đối với học sinh khối 10, khối 11 chỉ sử dụng những hàm đơn giản như hàm
bậc 2, hàm phân thức hữu tỉ dạng
dcx
bax
y
+
+
=
và những hàm căn thức đơn giản,
hướng dẫn học sinh chứng minh tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp dùng
định nghĩa.

Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ về hàm số
thì phương pháp này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập ra cho học sinh
mang tính phong phú, đa dạng và khó hơn.
- Năm học 2012-2013 tôi đã áp dụng phương pháp hàm số giải PT, HPT, BPT
để dạy cho học sinh lớp 12A
1
, 12A
2
của trường THPT Ngọc Lặc trong các giờ học
tự chọn và dạy bồi dưỡng học sinh giỏi. Kết quả nhận thấy đa số lượng học sinh
khá hứng thú với phương pháp giải toán này đặc biệt là những học sinh khá giỏi và
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
14
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo. Đội tuyển thi chọn học sinh giỏi
cấp tỉnh đã có 3/10 học sinh đạt giải ( Hs Đoàn Quốc Khánh giải Nhì, Hs Lê Duy
Thắng và hs Lê Thị Vân giải khuyến khích).
- Tiến hành cho học sinh ba lớp 12A
1
, 12A
2
,12A
3
(đối chứng) kiểm tra về chủ
đề PT, HPT, BPT trong đó có các bài toán giải PT, HPT, BPT có thể giải được
bằng nhiều phương pháp khác nhau thì học sinh hai lớp 12A
1
, 12A
2

đa số đã chọn
phương pháp hàm số và làm tương đối tốt. Học sinh lớp 12A
3
có một số em đã biết
vận dụng phương pháp này để giải song cách trình bày còn lúng túng, lập luận còn
chưa chặt chẽ.
Kết quả điểm kiểm tra cụ thể như sau:
Lớp Điểm 9-10
(%)
Điểm 7-8
(%)
Điểm 5-6
(%)
Điểm dưới 5
(%)
12A
1
26,6 49 20 4,4
12A
2
23,4 41,1 29,2 6,3
12A
3
4,7 25,5 50,8 19
Căn cứ vào kết quả kiểm tra của hai lớp thực nghiệm trước và sau khi thực
hiện đề tài sáng kiến. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của hai lớp thực nghiệm và
lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình
bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 12 có thêm một phương pháp
mới để giải các PT, HPT, BPT đồng thời giúp các em có cái nhìn khá toàn diện về
bài toán giải PT, HPT, BPT trong phạm vi toán học THPT góp phần đáng kể hỗ trợ

cho các em học sinh trong việc ôn thi vào Đại học, thi học sinh giỏi.
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
15
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

C. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ :
I. Kết luận :
Giải toán bằng “phương pháp hàm số” nói chung và giải PT, HPT, BPT bằng
phương pháp hàm số nói riêng là phương pháp rất hay, độc đáo, đã được sử dụng
rất lâu, nhưng không được phổ biến ở bậc THPT. Qua quá trình giảng dạy, nghiên
cứu tài liệu, đúc rút kinh nghiệm, tôi sử dụng phương pháp này để dạy cho học sinh
và nhận thấy có hiệu quả rõ rệt.
Trên đây, tôi trình bày cách hướng dẫn học sinh giải một số ví dụ áp dụng
phương pháp hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình.
Nhìn chung, đây là một dạng toán hay nhưng cũng tương đối khó khăn trong việc
phát hiện ra dấu hiệu áp dụng và giải đối với nhiều học sinh. Để học sinh làm tốt
các bài toán dạng này giáo viên cần cho HS rèn luyện nhiều, đồng thời cần phân
tích dấu hiệu áp dụng đối với mỗi bài toán để tập cho HS cách nhìn nhận, phân tích
các bài toán khác.
Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ giới thiệu một phần nhỏ trong ứng dụng đưa
phương pháp hàm số để giải toán. Phương pháp hàm số còn được vận dụng để
chứng minh bất đẳng thức; biện luận phương trình,hệ phương trình,bất phương
trình bằng đồ thị; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số; tìm điều kiện của
tham số để PT, HPT, BPT có nghiệm thỏa mãn một điều kiện cho trước Do quỹ
thời gian và kiến thức còn hạn chế nên đề tài trên có thể có khiếm khuyết, tôi rất
mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp để tôi hoàn thiện hơn kiến thức của
mình, nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn.
II. Kiến nghị :
Mặc dù sách giáo khoa đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyển
sinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sách giáo

khoa vận dụng được bằng phương pháp hàm số. Nhằm giúp cho học sinh có kĩ
năng giải toán bằng phương pháp hàm số, có kiến thức vững vàng và đạt kết quả
cao trong các kì thi. Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu phương pháp này cho học
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
16
SKKN “Một phương pháp hay để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”

sinh từ năm lớp 10, 11, 12. Rất mong các thầy cô giáo quan tâm, dựa vào trình độ
của khối lớp để có thể đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang
tính vừa sức, giúp cho các em quen dần với phương pháp này, góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Trịnh Bá phòng
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.
NGƯỜI VIẾT

Lê Mai Hương
Người thực hiện: Lê Mai Hương - THPT Ngọc Lặc
17