sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình

Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương
trình (PT, BPT, HPT, HBPT) chiếm một lượng khá lớn trong chương trình phổ thông,
một trong các phương pháp giải các bài tập đó là sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Về bản chất thì giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất chặt chẽ.
Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm
số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Chính vì vậy tôi chọn đề tài
sáng kiến kinh nghiệm là: "Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương
trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình".
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
- Trang bị cho học sinh về một phương pháp giải PT, BPT, HPT, HBPT mang lại
hiệu quả rõ nét.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng
cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
- Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT nằm trong chương trình toán phổ thông .
- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Phương pháp chung của dạng bài tập này
- Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất
về tính đơn điệu của hàm số để giải.
- Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về
một vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x)
≤
m; hoặc f(x)
≥
m ).
Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải.

Trưêng THPT Ngọc LÆc
1
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
PHẦN 2: NỘI DUNG
A. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
I. KIẾN THỨC CƠ SỞ:
Tính chất 1:
Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định trên D.
Nếu một trong hai hàm số f(x) hoặc g(x) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là
hàm hằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm
thì
nghiệm đó là duy nhất.
Tính chất 2:
Cho phương trình f(x) = m xác định trên D.
Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m thuộc miền giá trị của
hàm số f(x).
Tính chất 3:
Cho phương trình f(x) = m xác định trên D
Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có không
quá một nghiệm.
Tính chất 4:
Cho bất phương trình: f(x) > m (hay f(x) < m )
i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x
0

∈
D sao có f(x
0
) = m thì

tập nghiệm của bất PT là: T = D
∩
(x
0
; +
∞
) ( T = D
∩
(-
∞
; x
0
)) .
ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x
0

∈
D sao có f(x
0
) = m thì
tập nghiệm của bất PT là: T = D
∩
(-
∞
; x
0
) (T = D
∩
(x
0

; +
∞
) ).
Tính chất 5:
Cho hàm số f(x) xác định trên D
1. f(x)
≥
m ,
∀
x
∈
D
⇔
m
≤

)x(f
min
D
2. f(x)
≤
m ,
∀
x
∈
D
⇔
m
≥

)x(f
max
D
Trưêng THPT Ngọc LÆc
2
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
3. f(x)
≥
m có nghiệm x
∈
D
⇔
m
≤

)x(f
max
D
4. f(x)
≤
m có nghiệm x
∈
D
⇔
m
≥

)x(f
min
D

5. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu tăng trên D và tồn tại u, v
∈
D. Khi đó:

( ) ( )f u f v>

⇒
u > v , f(u) = f(v)
⇒
u = v
6. Nếu f(x) là hàm số đơn điệu giảm trên D và tồn tại u, v
∈
D. Khi đó:

( ) ( )f u f v>

⇒
u < v , f(u) = f(v)
⇒
u = v
II. Phương pháp
1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương trình
Phương pháp :
Dạng 1: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng
( ) ( )f x g x=
(hoặc
( ) ( )f u g u=
)
trong đó
( )u u x=

.
Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng
( ) ( )f x g x=
(hoặc
( ) ( )f u g u=
)
Bước 2: Xét hai hàm số
1 2
( ); ( )= =y f x y g x
trên D
* Tính
'
1
y
, xét dấu
'
1
y
, kết luận tính đơn điệu của hàm số
1
( )y f x=
trên D
* Tính
'
2
y
, xét dấu
'
2
y

,kết luận tính đơn điệu của hàm số
2
( )y g x=
trên D
* Kết luận hai hàm số
( ); ( )y f x y g x= =
đơn điệu ngược nhau, hoặc
một trong hai hàm số là hàm số hằng.
* Tìm
0
x
sao cho
0 0
( ) ( )f x g x=
(hoặc tìm
0
u
sao cho
0 0
( ) ( )f u g u=
)
Bước 3: Kết luận:
* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
0
x x=
(hoặc
0
u u=

rồi giải phương trình

0
u u=
)
* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho
Dạng 2: PT đã cho biến đổi được về dạng
( ) ( )f u f v=
trong đó
( )u u x=
,
( )v v x=
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( )f u f v=
Trưêng THPT Ngọc LÆc
3
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Bước 2: Xét hàm số
( )y f x=
trên D
* Tính
'y
, xét dấu y'
* Kết luận hàm số
( )y f x=
là hàm số đơn điệu trên D.
Bước 3: Kết luận:
* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
u v=
, giải PT :
u v=
* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

2. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải bất phương trình
Phương pháp :
Dạng 1: BPT biến đổi về dạng
( ) ( )f x g x>
(hoặc
( ) ( )f u g u>
) trong đó
( )u u x=
.
Bước 1: Biến đổi BPT đã cho về dạng
( ) ( )f x g x>
(hoặc
( ) ( )f u g u>
)
Bước 2: Xét hai hàm số
1 2
( ); ( )y f x y g x= =
trên D
* Tính
'
1
y
, xét dấu
'
1
y
, kết luận tính đơn điệu của hàm số
1
( )y f x=
trên D

* Tính
'
2
y
,xét dấu
'
2
y
, kết luận tính đơn điệu của hàm số
2
( )y g x=
trên D
* Tìm
0
x
sao cho
0 0
( ) ( )f x g x=
(hoặc tìm
0
u
sao cho
0 0
( ) ( )f u g u=
)
* Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì

0
( ) ( ) ,f x g x x x x D> ⇔ > ∈
(hoặc

0
( ) ( ) ,f u g u u u x D> ⇔ > ∈
)
Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc là hàm hằng) thì

0
( ) ( ) ,f x g x x x x D> ⇔ < ∈
(hoặc
0
( ) ( ) ,f u g u u u x D> ⇔ < ∈
)
Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho
Dạng 2: BPT biến đổi được về dạng
( ) ( )f u f v>
trong đó
( )u u x=
,
( )v v x=
Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng
( ) ( )f u f v>
Bước 2: Xét hàm số
( )y f x=
trên D
* Tính
'y
, xét dấu y'. Kết luận hàm số
( )y f x=
đơn điệu trên D.
Trưêng THPT Ngọc LÆc
4

Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
* Nếu f(x) đơn điệu tăng thì:
( ) ( ) ,f u f v u v x D> ⇔ > ∈
Nếu f(x) đơn điệu giảm thì:
( ) ( ) ,f u f v u v x D> ⇔ < ∈
Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho
III. CÁC VÍ DỤ
1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải pt, bpt, hpt, hbpt
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.
62x6x1x =−++++
b.
2 5 1
1 1
2 5 1
x x
e e
x x
− −
− = −
− −
c. 8log
2
(x
2
- x + 5) = 3(x
2
- x + 5)
d.
21xxx

)1x(22
2
−=+−
−−
Trước hết, ta nhận thấy các phương trình trên không giải được bằng các
phương pháp thông thường hoặc có giải được thì cũng rất khó khăn. Ta sẽ tìm cách
để sử dụng hàm số giải các phương trình này.
Giải:
a.
62x6x1x =−++++
TXĐ:
[
)
2 ; + D = ∞
Xét hàm số:
( ) 1 6 2f x x x x= + + + + −
+ TXĐ :
[
)
2 ; + D = ∞
+ Đạo hàm :
1 1 1
'( ) 0, 2
2 1 2 6 2 2
f x x
x x x
= + + > ∀ >
+ + −
Do đó hàm số
( )f x

đồng biến trên D, vậy phương trình trên nếu có nghiệm thì
nghiệm đó là duy nhất.
Mặt khác ta có: f(3) = 6. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Trưêng THPT Ngọc LÆc
5
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
b.
2 5 1
1 1
2 5 1
x x
e e
x x
− −
− = −
− −
Điều kiện:
2 5 0 5 / 2
1 0 1
x x
x x
− ≠ ≠
 
⇔
 
− ≠ ≠
 
Viết lại phương trình dưới dạng :
2 5 1
1 1

2 5 1
x x
e e
x x
− −
− = −
− −
(1)
Xét hàm số
1
( )
t
f t e
t
= −
với t > 0
+ Đạo hàm :
2
1
0 0
t
f '(t) e , t
t
= + > ∀ >
⇒
Hàm số
f(t)
luôn đồng biến trên khoảng
(0; )+∞
.

Khi đó: phương trình (1)
⇔
( 2 5) ( 1)f x f x− = −
⇔
2 5 1x x− = −
⇔
2 5 1 4
2 5 1 2
x x x
x x x
− = − =
 
⇔
 
− = − + =
 
Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 và x=4.
c. 8log
2
(x
2
- x + 5) = 3(x
2
- x + 5) (1)
Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống như hai câu trên mà ta phải
biến đổi để tìm được hàm số mà ta muốn xét.
TXĐ: D = R
Trên D (1)
⇔

2
2
2
log ( 5) 3
5 8
x x
x x
− +
=
− +
( do
5xx
2
+−
> e > 0 )
Đặt t =
2
5x x− +
với t > e, thì phương trình trên trở thành:
2
log 3
8
t
t
=
(2)
Xét hàm số:
2
log
( )

t
f t
t
=
với t > e
Ta có
2
1 ln
'( )
ln2
t
f t
t
−
=
< 0
∀
t > e
Từ đó, vế trái của phương trình (2) là hàm nghịch biến
∀
t > e; vế phải là hằng số
Trưêng THPT Ngọc LÆc
6
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Do đó phương trình (2) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
Mặt khác
3
(8)
8
f =

⇒
Phương trình (2) có nghiệm duy nhất t = 8
Với t = 8 ta có
2
5 8x x− + =

⇔
x =
2
131+
; x =
2
131−
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x =
2
131+
; x =
2
131−
d.
21xxx
)1x(22
2
−=+−
−−
(1)
Tương tự như câu c) đối với phương trình này ta cũng cần biến đổi để xuất hiện hàm
số cần xét.
TXĐ: D = R
Trên D; (1)

⇔

1x2x22
21xxx
2
+−=+−
−−

⇔

xx21x2
2xx1x
2
−+=−+
−−
Xét hàm số
( ) 2
t
f t t= +
với t
∈
R
t
’( ) 2 .ln2 1 0 f t = + >
∀
t
∈
R
⇒
f(t) là hàm số đồng biến trên R

Mặt khác (1)
⇔
f(x - 1) = f(x
2
- x)
⇔
x - 1 = x
2
- x
⇔
x
2
- 2x + 1 = 0
⇔
x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
a.
3x42x6x >−−−++
b.
2 3 2
4 2 1 ( 1) 6 15 14x x x x x x− − + > − + −
c.
2 3
log 1 log 9 1x x+ + + >

Giải:
a.
3x42x6x >−−−++
TXĐ: D =

[ ]
4;2
Xét hàm số: f(x) =
6 2 4x x x+ + − − −
với x
∈
D
Ta cũng nhận thấy f(x) là hàm số đồng biến trên D (vì f’(x) > 0
∀
x
∈
(2;4))
Trưêng THPT Ngọc LÆc
7
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Lại có: f(3) = 3; do đó, bất phương trình có nghiệm x thì
(3; )x∈ +∞
. Vậy tập nghiệm
là: T =
[ ]
4;2

∩
( 3 ; +
∞
) =
(
]
4;3
b.

2 3 2
4 2 1 ( 1) 6 15 14x x x x x x− − + > − + −
(1)
TXĐ: D = R, BPT (1)
⇔
2 3
2 1 (2 1) 3 ( 2) 3 6x x x x− − + > − + −
 
 

⇔
3
3
2 1 3 2 1 ( 2) 3( 2)x x x x− + − > − + −
(2)
Xét hàm số :
3
( ) 3f x x x= +
là hàm số đồng biến trên R
Khi đó : (2)
⇔
( 2 1) ( 2) 2 1 2f x f x x x− > − ⇔ − > −
⇔
2 1 2 1
2 1 2 1
x x x
x
x x x
− > − > −
 

⇔ ⇔ ∀
 
− < − + <
 
∈
R
Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
∈
R.
c.
2 3
log 1 log 9 1x x+ + + >
(1)
Điều kiện : x>-1, các hàm số
1 2
( ) log 1f x x= +
và
2 3
( ) log 9f x x= +
là các hàm số
đồng biến trên khoảng
( 1; )− +∞
, nên hàm số
2 3
( ) log 1 log 9f x x x= + + +
là hàm
số đồng biến trên khoảng
( 1; )− +∞
.
Mặt khác

(0) 1f =
vậy (1)
( ) (0) 0f x f x⇔ > ⇔ >
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 0.
Bài 3: Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau:
a.
2
2
3 2 3
3 2 3
x x y
y y x

+ + = +


+ + = +


b.
2 2
2 2
3
2
log log 0
3 5 9 0
3
x x
x

x x

− <


− + + >


Giải:
a. Điều kiện
0, 0x y≥ ≥
. Hệ đã cho trở thành:
2
2 2
2
3 2 3
3 3 3 3 3 3 (1)
3 3 2
x x y
x x y y
x y y

+ + = +

⇒ + + + = + + +

+ = + +


Xét hàm số

2
( ) 3 3 3f t t t= + + +
+ TXĐ:
[
)
0;D = +∞
Trưêng THPT Ngọc LÆc
8
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
+ Đạo hàm
2
3
0 0
2
3
t
f '(t) , t
t
t
= + > ∀ >
+
suy ra hàm số đồng biến trên D.
Vậy trên D, phương trình (1) được viết dưới dạng
( ) ( )f x f y x y= ⇔ =
.
Khi đó hệ đã cho trở thành
2
2
3 2 3
3 3 (2)

x x y
x x
x y
x y


+ + = +
 
+ = −
⇔
 
=
=




Giải (2): Ta đoán được x=1 là một nghiệm của (2), mặt khác dễ nhận thấy phương
trình (2) có vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến.
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT (2), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x=y=1.
Nhận xét: Đối với hệ phương trình, hệ bất phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến
đổi làm xuất hiện các phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa về
mối quan hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giải
tiếp.
b.
2 2
2 2
3
2
log log 0 (1)

3 5 9 0 (2)
3
x x
x
x x

− <


− + + >


Giải (1): (1)
2
2
2 2
0
0
0
1 4
0 log 2
1 4
log 2log 0
x
x
x
x
x
x
x x

>
>
>



⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <
  
< <
< <
− <



Giải (2): xét hàm số
3
2
( ) 3 5 9
3
x
f x x x= − + +
trên (1;4)
Có
2
'( ) 6 5f x x x= − +
,
'( ) 0 1; 5f x x x= ⇔ = =

'( ) 0, (1;4)f x x⇒ < ∀ ∈
Mặt khác

7
(4)
3
f =
, vậy
7
( ) (4) 0 ( ) 0, (1;4)
3
f x f f x> = > ⇒ > ∀∈
Vậy nghiệm của hệ là 1 < x < 4.
Nhận xét: Đối với giải hệ phương trình, hệ bất phương trình có 1 ẩn số ta có thể dùng
phương pháp hàm số để giải từng phương trình hay bất phương trình của hệ rồi kết
hợp các tập nghiệm tìm được để đưa ra kết luận về nghiệm cho hệ bất phương trình.
2. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH
Bài 4: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:
Trưêng THPT Ngọc LÆc
9
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
a.
m
2
x
3x4x
2
+=+−

b.
2
6 4 3 2
2 2 (4 ) 3 6

m x x m
m x m
+ +
− = − + −
Giải:
a.
m
2
x
3x4x
2
+=+−
(1)
Nhận xét: Bài tập này ta có thể giải bằng phương pháp thông thường. Tuy nhiên,
nếu giải bằng phương pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp. Ta
sẽ giải bài này bằng cách sử dụng hàm số
Giải: TXĐ: D =
(
] [
)
∞+∪∞− ;31;
Trên D; (1)
⇔

m
2
x
3x4x
2
=−+−

Xét hàm số f(x) =
2
x
3x4x
2
−+−
với x
∈
D
Ta có: f’(x) =
2
1
3x4x
2x
2
−
+−
−
Trên D ta có: f’(x) > 0
⇔

2
1
3x4x
2x
2
−
+−
−
> 0

⇔
x > 3;
f’(x) < 0
⇔
2
1
3x4x
2x
2
−
+−
−
< 0
⇔
x < 1
Từ đó, ta có bảng biến thiên:
x -
∞
1 3 +
∞
f’(x) - +
f(x)
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và
đường thẳng y = m.
Dựa vào bảng biến thiên ta có kết quả biện luận sau:
Trưêng THPT Ngọc LÆc
10
2
1
−

+
+
2
3
−
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
- Nếu m <
2
3
−
, đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = f(x), do đó
phương trình (1) vô nghiệm.
- Nếu
2
3
−

≤
m <
2
1
−
, đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 1 điểm,
do đó phương trình (1) có 1 nghiệm.
- Nếu m
≥

2
1
−

, đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 2 điểm, do
đó phương trình (1) có 2 nghiệm.
b.
2
6 4 3 2
2 2 (4 ) 3 6
m x x m
m x m
+ +
− = − + −
(1)
Viết lại phương trình dưới dạng
2
6 2 4 3
2 6 2 4 3
m x x m
m x x m
+ +
+ + = + +
(2)
Xét hàm số
( ) 2
t
f t t= +
là hàm số đồng biến trên
¡
, vậy (2)
2 2 2
( 6) (4 3 ) 6 4 3 ( 4) 3 6 (3)f m x f x m m x x m m x m⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ − = −
- Nếu

2
4 0 2m m− = ⇔ = ±
+ Với m = 2, (3)
⇔
0.x = 0, nghiệm đúng với
¡x∀ ∈
+ Với m = - 2, (3)
⇔
0.x=-9, phương trình vô nghiệm
- Nếu
2
4 0 2m m− ≠ ⇔ ≠ ±
Phương trình (3) có nghiệm duy nhất
3
2
x
m
=
+
Kết luận:
- Với
2m ≠ ±
: phương trình có nghiệm duy nhất
3
2
x
m
=
+
- Với m = 2: phương trình nghiệm đúng với

x R∀ ∈
- Với m = - 2: phương trình vô nghiệm.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình,
bất phương trình thoả mãn điều kiện cho trước.
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Trưêng THPT Ngọc LÆc
11
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
0x310m5x)4m(2x2
2
=−++++−
(1) (m - tham số)
Giải: (1)
⇔

10m5x)4m(2x2
2
+++−
= x - 3

⇔




−=+++−
≥−
22
)3x(10m5x)4m(2x2
03x

⇔




=+++−
≥
01m5x)1m(2x
3x
2

⇔






=
−
+−
≥
)2(m
5x2
1x2x
3x
2
Phương trình (1) có nghiệm
⇔

phương trình (2) có nghiệm thoả mãn x
≥
3
Ở bài này ta có thể sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để giải. Tuy nhiên ta
sẽ sử dụng hàm số để giải bài này.
Xét phương trình (2) : Đặt f(x) =
5x2
1x2x
2
−
+−
với x
≥
3
Ta có: f’(x) =
2
2
)5x2(
8x10x2
−
+−
f’(x) = 0
⇔




=
=
4x

1x
Ta có bảng biến thiên:
x -
∞
3 4 +
∞
f’(x) - 0 +
f(x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (2) có nghiệm x
≥
3
⇔
m
≥

3
Vậy phương trình (1) có nghiệm
⇔
m
≥
3.
Bài 6: Tìm m để hệ sau có nghiệm:



<++
<−+
)2(01mx3x
)1(01x2x3
3

2
(m - tham số)
Giải: Giải (1):
01x2x3
2
<−+

⇔
x
∈

1
1;
3
 
−
 ÷
 
Xét (2): (2)
⇔
3mx < - x
3
- 1
Trưêng THPT Ngọc LÆc
12
4
+
3
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của hệ; do đó ta có hệ BPT đã cho tương đương

với:
3
1 0
( )
1
3
x
I
x
m
x
− < <



+
> −


hoặc:
3
1
0
3
( )
1
3
x
II
x

m
x

< <



+

< −



Đặt f(x) =
x3
1x
3
+
−
với x
∈
D =
( )






∪−

3
1
;00;1

Khi đó: f’(x) =
2
3
x3
x21−
, f’(x) = 0
⇔

2
3
x3
x21−
= 0
⇔
x =
3
2
1
Ta có bảng biến thiên:
x -
∞
-1 0
3
1

3

2
1
+
∞
f’(x) + +
f(x)
Từ đó ta có: Hệ (I) có nghiệm
⇔
m > 0 ; Hệ (II) có nghiệm
⇔
m <
28
27
−
Vậy hệ đã cho có nghiệm
⇔
0
28
27
m
m
>



< −

Nhận xét: Trong một số bài tập giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta phải tìm điều
kiện của ẩn phụ. Tuy nhiên, việc tìm điều kiện đó gặp không ít khó khăn. Nếu ta sử
dụng hàm số thì việc tìm điều kiện sẽ đơn giản hơn. Ta xét ví dụ sau:

Bài 7: Cho phương trình:
03m24
1xx2xx2
22
=−++
+−−
(1) (m - tham số)
Tìm m để phương trình có nghiệm x






∈
2
3
;0
Giải:
Trưêng THPT Ngọc LÆc
13
+
+
+
+
0
+
-
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Đặt t =

2
xx2
2
−
ở đây, điều kiện cần là t > 0 nhưng nếu chỉ có điền kiện đó thì chưa
đủ và ta chưa giải được bài này. Ta phải tìm điều kiện của t bằng cách xét hàm số.
Xét hàm số y = 2x - x
2
với x






∈
2
3
;0
Ta có: y’(x) = 2 - 2x y’(x) = 0
⇔
x = 1
Ta có bảng biến thiên:
x -
∞
0 1
2
3
+
∞

y’(x) + 0 -
y(x)
Từ đó suy ra tập giá trị của y là y
[ ]
1;0∈
⇒
2
0

≤

2
xx2
2
−

≤
2
1

⇔
1
≤
t
≤
2
Với điều kiện đó của t thì phương trình (1) trở thành:
t
2
+ 2t + m - 3 = 0

⇔
m = -t
2
- 2t + 3 (2)
Phương trình (1) có nghiệm x






∈
2
3
;0

⇔
phương trình (2) có nghiệm 1
≤
t
≤
2
Xét hàm số: g(t) = -t
2
- 2t + 3 với t
[ ]
2;1∈
g’(t) = -2t - 2 g’(t) = 0
⇔
t = -1

Từ đó ta có bảng biến thiên:
x -
∞
1 2 +
∞
y’(x) -
y(x)
Trưêng THPT Ngọc LÆc
14
0
4
3
1
0
-5
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình (2) có nghiệm t
[ ]
2;1∈

⇔
m
[ ]
0;5−∈
Vậy phương trình (1) có nghiệm x







∈
2
3
;0

⇔
m
[ ]
0;5−∈
Bài 8: Cho bất phương trình:
mx -
≤− 3x
m + 1 (1) (m - tham số)
a. Tìm m để bất phương trình có nghiệm.
b. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng
[ ]
7;3x ∈∀
.
Giải:
TXĐ: D =
[
)
∞+;3
Trên D, (1)
⇔
m(x - 1)
≤

3x −

+ 1
⇔
m
≤

1x
13x
−
+−

(vì: x
∈
D nên x - 1 > 0)
Đặt f(x) =
1x
13x
−
+−
với x
∈
D
Khi đó: f’(x) =
2
5 2 3
2 3( 1)
x x
x x
− − −
− −
, f’(x) = 0

⇔
2
5 2 3
2 3( 1)
x x
x x
− − −
− −
= 0

⇔
x = 7 - 2
3
Ta có bảng biến thiên:
x -
∞
3 7 - 2
3
7 +
∞
f’(x) + 0 - -
f(x)
Trưêng THPT Ngọc LÆc
15
1 3
4
+
2
1
2

1
0
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
a. Bất phương trình có nghiệm
⇔
m
≤

)x(f
max
D

⇔
m
≤

1 3
4
+
b. Bất phương trình nghiệm đúng
[ ]
7;3x ∈∀

⇔
m
≤
[ ]
)x(f
min

73;
⇔
m
≤

2
1
Bài 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2 + 2sin2x = m(1 + cosx)
2
(1)
Giải:
Trước hết ta nhận thấy:
∀
m , 1 + cosx
≠
0
(vì nếu 1 + cosx = 0 thì: vế trái PT (1) = 2 vô lý)
Khi đó (1)
⇔
m =
2
)xcos1(
x2sin22
+
+

⇔
m =
2

sin cos
2
1 cos
x x
x
+
 
 ÷
+
 
Đặt t =
2
x
tg
; với
2
x

. ; .
2 2
k k
π π
π π
 
∈ − + +
 ÷
 
,
k ¢∈

Khi đó: sinx =
2
2
1
t
t+
, cosx =
2
2
1
1
t
t
−
+

⇒

sin cos
1 cos
x x
x
+
+
=
2
1 2
2
t t+ −

Theo (1) ta được phương trình: 2m = (1+2t-t
2
)
2
(2)
Khi đó PT (1) có nghiệm
⇔
PT (2) có nghiệm
Xét hàm số: f(t) = (1+2t-t
2
)
2

f’(t) = 4(t - 1)( t
2
- 2t - 1) , f’(t) = 0
⇔






−=
+=
=
21t
21t
1t
Ta có bảng biến thiên:

t -
∞
1 -
2
1 1 +
2
+
∞
f’(t) - + 0 - +
f(t)
+
∞
+
∞
Trưêng THPT Ngọc LÆc
16
0
2
0
0
0
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Từ bảng biến thiên ta suy ra:
phương trình (2) có nghiệm
⇔
2m
≥
0
⇔
m

≥
0
Vậy phương trình (1) có nghiệm
⇔
m
≥
0
4. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đoán và tìm hết tất cả các nghiệm của
phương trình:
Dạng này thường được sử dụng khi ta nhận thấy 2 vế của phương trình là các
hàm đồng biến hoặc nghịch biến, đồng thời ta đã nhẩm được 1 hay 2 nghiệm. Dạng
bài tập này cho phép chúng ta dự đoán và chứng minh phương trình chỉ chó các
nghiệm mà ta đã dự đoán. Ta xét các ví dụ sau:
Bài 10: Giải các phương trình sau:
a. 2
x
+ 3
x
= 3x + 2
b. log
5
(2x + 1) = log
3
(x+1)
Nhận xét:
ở cả hai ví dụ trên ta đều thấy hai vế của phương trình đều là các hàm đồng biến.
Mặt khác ở ví dụ a) ta nhẩm được 2 nghiệm là x = 0; x = 1
ở ví dụ b) ta nhẩm đựoc 2 nghiệm là x = 0; x = 2
Ngoài các nghiệm đó ra ta chưa biết là phương trình có còn nghiệm nào nữa
không. Ta sẽ tìm cách chứng minh phương trình không còn nghiệm nào khác nữa.

Giải:
a. 2
x
+ 3
x
= 3x + 2 (1)
TXĐ: D = R
Trên D (1)
⇔
2
x
+ 3
x
- 3x - 2 = 0
Xét hàm số: f(x) = 2
x
+ 3
x
- 3x - 2 với x
∈
D
Ta có: f’(x) = 2
x
ln2 + 3
x
ln3 - 3
f’’(x) = 2
x
ln
2

x + 3
x
ln
2
x > 0
∀
x
∈
¡
⇒
f’(x) là hàm số đồng biến trên
¡
Mặt khác f’(x) là hàm số liên tục trên
¡

Trưêng THPT Ngọc LÆc
17
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Mà f’(0) = ln2 + ln3 - 3 < 0
f’(1) = 2ln2 + 3ln3 - 3 > 0
⇒
f’(0).f’(1) < 0
⇒

∃
x
0

∈
(0;1) sao cho f’(x

0
) = 0
⇒

∀
x
∈

( )
0
x;∞−
thì f’(x) < 0

∀
x
∈

( )
0
x ;+ ∞
thì f’(x) > 0
Khi đó ta có bảng biến thiên:
x -
∞
x
0
+
∞
f’(x) - 0 +
f(x)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và trục
hoành.
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số nếu cắt trục hoành thì sẽ cắt
nhiều nhất tại 2 điểm. Do đó phương trình (1) sẽ có nhiều nhất 2 nghiệm
Mặt khác ta nhẩm được: f(0) = 0 ; f(1) = 0
Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm x = 0; x = 1.
b. log
5
(2x + 1) = log
3
(x+1)
TXĐ: D =






∞+− ;
2
1
Đặt log
3
(x+1) = t
⇒
x + 1 = 3
t
⇒
2x + 1 = 2(3
t

- 1) + 1 = 2.3
t
- 1
Khi đó ta có phương trình:
log
5
(2.3
t
- 1) = t
⇔
2.3
t
- 1 = 5
t

⇔
2.3
t
- 5
t
- 1 = 0
Xét hàm số: f(t) = 2.3
t
- 5
t
- 1 với t
∈

¡
Ta có: f’(t) = 2.3

t.
ln3 - 5
t
ln5
Trưêng THPT Ngọc LÆc
18
f(x
0
)
+
+
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
f’(t) = 0
⇔
2.3
t.
ln3 - 5
t
ln5 = 0
⇔
t =
)5(loglog
9
5
3
f’(t) > 0
⇔
t <
)5(loglog
9

5
3
; f’(t) < 0
⇔
t >
)5(loglog
9
5
3
Ta có bảng biến thiên:
t -
∞

)5(loglog
9
5
3
+
∞
f’(t) + 0 -
f(t)

Số nghiệm của PT là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(t) và trục hoành.
Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình f(t) = 0 nếu có nghiệm thì có nhiều
nhất là 2 nghiệm.
Mặt khác ta có f(0) = 0; f(1) = 0
Từ đó suy ra phương trình f(t) = 0 có đúng 2 nghiệm t = 0; t = 1
Với t = 0 ta có: x + 1 = 3
0

⇒
x = 0
Với t = 1 ta có: x + 1 = 3
1
⇒
x = 2
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0; x = 2
5. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 11: Giải các phương trình sau:
a.
)3x(log
5
2
+
= x b. 2log
3
(tgx) = log
2
(sinx)
c.
x
1
2
1
22
22
2
x
x21
x

x1
−=−
−=
d. 2
x
=
2
x
3
+ 1
e.
xcos3
2
x
=
Bài 12: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
1m1x1x
2
+≤++−
Trưêng THPT Ngọc LÆc
19
-
-
f()
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
xsinxcosxsin
222
3.m32 =+
Bài 14: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

∈
R:
(
01m2.24)1m
xcosxcos
22
>+++−
Bài 15: Cho phương trình:
m
3x
1x
)3x(4)1x)(3x( =
−
+
−++−
a. Giải phương trình với m = 3
b. Tìm m để phương trình có nghiệm
c. Tìm m để phương trình có nghiệm x
[
)
∞+∈ ;4
d. Tìm m để phương trình có nghiệm x
[ ]
5;4∈
Bài 16: Cho bất phương trình:
04.m6).1m2(9.m
xx2xx2
2x
2
x22

≥++−
−−
−
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả mãn
2
1
x ≥
Bài 17: Cho phương trình:
3m
)8x4(log
)2x.(2)2x(
2
−=−
−
a. Giải phương trình với m = 2
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn:
4xx
2
5
21
≤≤≤
Bài 18: Cho bất phương trình:
3)mx2x(log
2
2
1
−>+−
Tìm m để bất phương trình trên có nghiệm mà mọi nghiệm của bất phương
trình đó đều không thuộc tập xác định của hàm số: y =
2xlog).1x(log

1x
3
x
−+
+
PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
I - KẾT LUẬN:
- Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong các ứng dụng đó là sử dụng trong việc
giải phương trình và bất phương trình.
- Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các
bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ
khác nhau.
- Tuy vậy, do mục tiêu của đề tài mà tác giả chưa đưa ra được hệ thống các bài toán
khó có thể dùng hàm số để giải cũng như chưa thống kê được các bài toán có thể giải
Trưêng THPT Ngọc LÆc
20
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
bằng phương pháp này trong đề ĐH qua các năm. Rất mong nhận được sự góp ý và
bổ sung của Hội đồng khoa học trường THPT Ngọc Lặc, Hội đồng khoa học Sở GD
& ĐT Tỉnh Thanh Hóa.
Xin chân thành cảm ơn !
II - KIẾN NGHỊ:
- Như trên đã trình bày thì PT, HPT, BPT, HBPT có mối liện hệ mật thiết với hàm số.
Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm
số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Đặc biệt, đạo hàm là một công
cụ hữu ích, sắc bén.
- Chính vì lẽ đó, tôi hi vọng đề tài sẽ đóng góp một phần nhỏ bé vào việc giải các
dạng toán đã nêu trên; là tài liệu tham khảo cho các em học sinh trong quá trình học
toán cũng như ôn thi tốt nghiệp và thi vào các trường Đại học, Cao đẳng và Trung
học chuyên nghiệp.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 04 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh
nghiệm tôi viết, không sao chép của người
khác.

Trưêng THPT Ngọc LÆc
21
Sáng kiÕn kinh nghiệm TrÞnh Hữu §ại
Trưêng THPT Ngọc LÆc
22