BÀI GIẢNG ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH DAO ĐỘNG KỸ THUẬT

CHUƠNG 2 HỆ MỘT BẬC TỰ DO
2.1. Phương trình vi phân chuyển động của hệ
1.Các thành phần của hệ động lực học một bậc tự do
- Khối lượng m, lực quán tính F
q
;
- Tính chất đàn hồi (lò xo độ cứng k-lực đàn hồi F
đ
) ;
-
Hao tổn năng lượng (giảm chấn hệ số cản c- lực cản
dao động F
c
) ;
-
Nguồn kích động động lực học ( tải trọng động lực học
P(t), chuyển vị của giá đỡ).
P( t )
F
q
F
c
F
đ
y
m
m
P( t )
m
P( t )

c
k

2.Phương trình vi phân chuyển động của hệ
F
q
+ F
c
+ F
đ
= P( t ) ; ( 2.1 )
Lực đàn hồi: F
d
= ky( t ); ( 2.2a )
Lực quán tính: F
q
= mÿ( t ); ( 2.2b )
Lực cản nhớt: F
c
= cỳ( t ); ( 2.2c )
mÿ( t ) + cỳ( t ) + ky( t ) = P( t ) ; ( 2.3 )
k - hệ số cứng của lò xo ;
c - hệ số cản dao động ;
m - khối lượng ;
ÿ( t ), ỳ( t ), y( t ) - gia tốc, vận tốc , chuyển vị của m .

).(8)(
2
4.4
)( tpat

ap
tP
ξξ
==
2.2. Xác định các thành phần của sơ đồ tính
( )
;
4
1
'
111
tycDD
dt
d
cF
c

=






=
DD’=BB’.a/4a=y(t)/4;
EE’=BB’.3a/4a=3y(t)/4;
FF’=BB’.2a/3a=2y(t)/3;
GG’=BB’.a/3a=y(t)/3.
F

d1
=k
1
.EE’=3k
1
y(t)/4;
F
d2
=k
2
GG’=k
2
y(t)/3;
( )
.
222
tycBB
dt
d
cF
c

=






′

=
J
A1
=J
H1
+(L/2)
2
m
1
=m
1
(L
2
/12)+m
1
L
2
/4=m
1
L
2
/3=16m
1
a
2
/3.
L=4a; m
1
=mL - chiều dài và khối lượng của thanh AB.
M

q1
= J
A1
.ÿ(t)/4a = 4am
1
ÿ(t)/3
F
q2
= 2m
2
ÿ(t)/3;
M
q1
A
C
B
B’
D
D’
H
E
E’
F
F’
G
G’
P(t)=8paξ(t)
8a/3
y(t)
H’

F
d1
F
q2
F
d2
F
c2
F
c1
C
y
2a
a
a aa a
m
k
1
k
2
B
A
D
E
F G
p(x,t)=p ξ(t)
c
2
c
1

x
m
2
a
x

.
3
2
).(
3
2
.
4
.
4
1
.
3
1
.
4
3
FW
21
212d1
ztPzF
a
z
M

zFzFzFz
qq
ccd
δδ
δ
δδδδδ
+−−
−−−=
.0
3
)(16
)(
916
9
)(
16
)(
9
4
3
21
1
2
21
=













−






++






++






+
z

tap
tz
kk
tz
c
ctz
mm
δ
ξ

( )
).(
3
16
916
9
)(
16
)(
9
4
3
211
2
21
taptz
kk
tz
c
ctz

mm
ξ
=






++






++






+ 
);(*)(*)(*)(* tPtzktzctzm
=++

).(
3
16

)(*;
916
*;
16
*;
9
4
3
*
21
2
121
taptP
kk
kc
c
c
mm
m
ξ
=+=+=+=

2.3. Dao động tự do
.0)()()( =++ tkytyctym

;0)()(
=+
tkytym

.

1
;0)()(
22
δ
ωω
mm
k
tyty ===+

1.Dao động tự do không có lực cản ( c = 0 )
( 2.4 )
( 2.5 )
y(t) = Asinωt + Bcosωt; ỳ(t) = ω(Acosωt – Bsinωt)
( 2.6a )
y(t) = Csin(ωt + λ); ỳ(t) = ωCcos(ωt + λ);
( 2.6b )
A = ỳ(0)/ω ; B = y(0) ;
[ ]
[ ]
;)0(/)0(
2
2
2
yyC +=
ω

.
)0(
)0(
y

y
tg

ω
λ
=
./1;//1/ kygmmk
t
====
δδω
.;
22
A
B
tgBAC =+=
λ
T=2π/ω
t
C
ỳ(0)
y
0
y(t)
0
( 2.6c )
( 2.7 )

a
b
h

Chuyển vị của móng do lực
đơn vị gây ra:
;
1
ab
µ
δ
=
.
1
hm
γ
µ
δ
ω
==
Khối lượng của móng:
Tần số vòng:
Thí dụ 2.1 Xác định tần số dao động thẳng đứng của móng
máy trên nền đàn hồi có hệ số lún của nền μ ( N/m
3
). Móng
có chiều cao h ( m ), mặt đáy hình chữ nhật có các cạnh là
a và b ( m ).Vật liệu làm móng có khối lượng riêng ( kg/m
3
).
γ
m = abh;
γ

2. Dao động tự do có lực cản
.0)()()( =++ tkytyctym

.;2;0)()(2)(
22
m
k
m
c
tytyty ===++
ωαωα

);cossin()(
1111
tBtAety
t
ωω
α
+=
−
a/ Trường hợp lực cản nhỏ ( α < ω ).
s
2
+ 2αs + ω
2
= 0;
s = -α ±iω
1
;
i = √-1 ; ω

1
= √ ω
2
– α
2
= ω√ 1 – ξ
2
; ξ = α/ω - tỷ lệ cản dao động.
)sin()(
111
λω
α
+=
−
tCety
t
[ ]
;)0(
)0()0(
)0()0(
)0(
);0(;
)0()0(
2
2
1
2
1
2
11

1
1
1
11
1
1
y
yy
BAC
yy
y
A
B
tgyB
yy
A
+






+
=+=
+
===
+
=
ω

α
α
ω
λ
ω
α




;
1+
=
n
n
y
y
η

!2
1lnln
1
+++≅⇒==
+
δ
δηηδ
n
n
y
y

;
1
n
nn
u
uu
+
−
=
ψ
Độ tắt lôga δ:
Hệ số hấp thu năng lượng:
⇒===
−
+
+
22
;
2
222
1
1
2
δ
keyky
u
ky
u
nn
n

n
n
.2ln
1
δψ
=








==
+
+
∫
n
n
Tt
t
u
u
u
du
( 2.13 )
δ= ln(y
n
/y

n+1
) = αT
1
= 2πξω/ω
1
= 2πξ/( √1-ξ
2
);
( 2.11b )
δ≈2πξ.
Hệ có lực cản nhỏ ( ξ<<1 ):
( 2.11a )
( 2.12 ) ;
.
2
2
1
2
1
δ
e
y
y
u
u
n
n
n
n
==

+
+

y
n
(t)=e
-αt
C
1
sin(ω
1
t+λ) ; y
n+1
(t)=e
-α(t+T1)
C
1
sin[ω
1
[(t+T
1
)+λ] ;
C
1
e
-ξωt
=C
1
e
-αt

1
ω
π
1
2
ω
π
1
3
ω
π
1
4
ω
π
y
o
y(t)
t
O
y
1
y
2
( )
[ ]
.
1
sin
)sin(

1
1
111
)
1
(
11
1
T
TTt
t
n
n
e
eTtCe
tCe
y
y
α
αα
α
λω
λω
==
++
+
=
−+−
−
+

δ=ln(y
n
/y
n+1
)=αT
1
=ξω.2π/ω
1
=2πξ/(√1-ξ
2
)
( 2.11a )
Độ tắt loga:
Hệ có lực cản nhỏ δ ≈ 2πξ (2.11b)

.
2
1
2
2
1
δ
α
ee
y
y
T
n
n
==









+
.;
2
;
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
δ
e
y
y
u
uky
u
ky

u
n
n
n
nn
n
n
n
====
+
+
+
+
.2ln
1
δψ
=








==
+
+
∫
n

n
Tt
t
u
u
u
du
(2.13)
Hệ số hấp thu năng lượng:
Ψ=(u
n
-u
n+1
)/u
n
. (2.12)
Loại công trình ψ
min
ψ
max
ψ
tb
Cầu thép 0,02 0,30 0,14
Cầu bêtông 0,63
Dầm bêtông 0,35 0,78 0,56
Khung bêtông 0,16 0,33 0,25

m
c
k

y
Thí dụ 2.2a Nghiên cứu dao động tự do của hệ có khối
lượng m=9920kg, lò xo có độ cứng k=2.10
5
N/m, bộ
giảm chấn có hệ số cản dao động c=3162Ns/m.
Tần số dao động tự do ω (c=0):
srad
m
k
/49,4
9920
10.2
5
===
ω
.035,0
49,4
159,0
===
ω
α
ξ
( xác định ω,T,ω
1
,α,ξ,δ,y
i+1
/y
i
)

( 2.7 )
Tỷ lệ cản dao động:
Hệ số
159,0
9920.2
3162
2
===
m
c
α

Độ tắt loga:
.223,00355,0.14,3.22 ===
πξδ
Tỷ số giữa hai biên độ dao động liên tiếp:
.800,0
223,0
1
===
−−
+
ee
y
y
i
i
δ
Chu kỳ:
.40,1

49,4
14,3.2.2
sT
===
ω
π
.0355,011
22
1
ωωξωω
≅−=−=
Tần số dao động tự do có kể lực cản (c≠0):

Một căn nhà một tầng được coi như một vật rắn giữ
bởi các cột đàn hồi như hình vẽ. Để đánh giá các đặc trưng
động lực học của công trình người ta đã làm các thử nghiệm
dao động tự do bằng cách dùng kích thuỷ lực tạo cho phần mái
( vật rắn ) chuyển vị ngang. Kết quả thử nghiệm cho thấy một
lực P tạo ra chyyển vị y
1
. Sau khi đột ngột triệt tiêu lực P để
công trình dao động tự do chuyển vị cực đại trong chu kỳ tiếp
theo chỉ còn y
2
và thời gian của một chu kỳ là T. Tìm khối lượng
quy đổi, độ cứng quy đổi, hệ số cản dao động, tần số và
biên độ dao động sau 6 chu kỳ.
m
c
k

s
P
STT P
(N)
y
1
(cm)
y
2
(cm)
T
(s)

Thí dụ 2.2b Một căn nhà một tầng được coi như một vật rắn giữ
bởi các cột đàn hồi như hình vẽ. Để đánh giá các đặc trưng
động lực học của công trình người ta đã làm các thử nghiệm
dao động tự do bằng cách dùng kích thuỷ lực tạo cho phần mái
( vật rắn ) chuyển vị ngang. Kết quả thử nghiệm cho thấy một
lực P=1000 N tạo ra chyyển vị s = 0,5 cm. Sau khi đột ngột triệt
tiêu lực P để công trình dao động tự do chuyển vị cực đại trong
chu kỳ tiếp theo chỉ còn 0,4 cm và thời gian của một chu kỳ là
1,40 s. Tìm khối lượng quy đổi, độ cứng quy đổi, hệ số cản
dao động, tần số và biên độ dao động sau 6 chu kỳ.
Với hệ không có lực cản T = 2π/ω
ω = 2π/T = 2π/1,40 = 4,49 rad/s;
Độ cứng của lò xo :
k=P/s=1000/0,005=2.10
5
N/m.
ω

2
= k/m m = k/ω
2
;
m = 2.10
5
/4,49
2
= 9920 kg.
1/ Xác định khối lượng quy đổi m.
m
c
k
s
P

2/ Tần số dao động:
f = 1/T = 1/1,40 = 0,714 Hz ;
3/ Độ tắt loga:
δ = ln(y
0
/y
1
) = ln(0,5/0,4) = 0,223.
4/ Tỷ lệ cản dao động:
5/ Hệ số cản dao động:
c = ξc
c
= ξ.2mω = 0,0355.2.9920.4,49 = 3162 Ns/m.
6/ Tần số vòng có tính đến lực cản:

.0355,011
22
1
ωωξωω
≅−=−=
7/ Biên độ sau 6 chu kỳ:
y
6
= ( y
1
/y
0
)
6 .
y
0
;
y
6
= ( 0,4/0,5 )
6
.0,5 = 0,131 cm.
%.55,30355,0
14,3.2
223,0
22
.
======
π
δ

π
α
ω
α
ξ
T

b/ Lực cản tới hạn ( α = ω ) :
Phương trình đặc tính có nghiệm kép.
y(t) = e
-ωt
( C
1
+ C
2
t ).
ω
)0()0();0(
21
yyCyC
+==

22
2,1
ωαα
−±−=s
[ ]
.)(
21
ttt

eCeCety
ωωα
−−
+=
( 2.15 )
Chuyển động là không có
chu kỳ.
Hệ số cản của hệ: α = ω = c
c
/(2m)

O
t
y(t)
y(0)
y(0)
c/ Lực cản lớn ( α > ω ) :
Các nghiệm của phương trình đặc tính:
Nghiệm ( 2.4 ):
Các điều kiện ban đầu
c
c
= 2mω.
[ ] [ ]
).2/()0()).(0();2/()0()).(0(
222221
ωαωωαω
yyCyyC

−−=++=

Chuyển động là không có chu kỳ.
( 2.16 )
( 2.17 )

2.4 Dao động cưỡng bức do tải trọng điều hoà P(t) = P
0
sinpt
( 2.3 )
ptPtkytyctym sin)()()(
0
=++

.sin)()(
0
ptPtkytym =+

).()()( tytyty
∗
+=
( 2.3a )

P
0
và p là biên độ và tần số của lực kích thích.
1. Trường hợp không có lực cản ( c=0)
( 2.3a )
.cossin)( tBtAty
ωω
+=
ptGty sin)( =

∗
( 2.18 )
( 2.18 ) + ( 2.3b )
;sinsinsin
0
2
ptPptkGptGmp =+−
.;
1
1
2
0






=
−
=
ω
β
β
p
k
P
G
.sin
1

1
cossin)(
2
0
pt
k
P
tBtAty
β
ωω
−
++=
( 2.19 )
[ ]
;0;
1
0)0(;0)0(
2
0
=
−
−=⇒==
B
k
P
Ayy
β
β

( )

tpt
k
P
ty
ωβ
β
sinsin
1
1
)(
2
0
−
−
=
( 2.20 )
( 2.21 )
.
1
1
;
2
0
β
−
==
dt
K
k
P

y
( 2.22 )
( 2.3b )
( 2.16 )
G=y
t
.K
đ

2. Trường hợp có lực cản ( c ≠ 0 )
;sin)()()(
0
ptPtkytyctym =++

.sin)()(2)(
0
2
pt
m
P
tytyty
=++
ωα

;)()()( tytyty
∗
+=
( 2.3c )
( )
tBtAety

t
1111
cossin)(
ωω
α
+=
−
( )
.sincossin)(
21
θ
−=+=
∗
ptGptGptGty

( 2.25 )
( 2.25 ) + ( 2.3c )
[ ]
;sinsin2
0
2
12
2
1
pt
m
P
ptGpGpG =+−−
ωα
[ ]

.0cos2
2
21
2
2
=++−
ptGpGpG
ωα
( )
;21
0
2
2
1
k
P
GG =−−
ξββ
( )
⇒=+− .021
1
2
2
ξββ
GG
( 2.24 )
( 2.9a )
;
ω
β

p
=

( ) ( ) ( )
( )
;
21
1
/21
1
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
1
ξββ
β
ωαβ
β
+−
−
=
+−

−
=
k
P
p
k
P
G
( ) ( ) ( )
( )
.
21
2
/21
/2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
ξββ
ξβ
ωαβ
ωα

+−
−
=
+−
−
=
k
P
p
p
k
P
G
( )
( )
( )
( )
[ ]
ptpt
k
P
tBtAety
t
cos2sin1
21
1
cossin)(
2
2
2

2
0
1111
ξββ
ξββ
ωω
α
−−
+−
+
+=
−
( ) ( )
θωω
α
−++=
−
ptGtBtAety
t
sincossin)(
1111
( )
( )
( )
.
1
2
;
21
1

2
2
2
2
0
β
ξβ
θ
ξββ
−
==
+−
= tgyk
k
P
G
td
( )
( )
.;
21
1
2
2
2
0
k
P
y
P

Gk
K
o
td
=
+−
==
ξββ
( 2.26a )
( 2.26b )
( 2.26c )
( 2.27 )

0 1 2 3
β
90
o
180
o
θ
ξ=0,05
ξ=0,2
ξ=0,5
ξ=1,0
β 1
k
d
tăng rất nhanh
β = 1 cộng hưởng
ξ=1

ξ=0,7
ξ=0,5
ξ=0,2
ξ=0
0
1
2
3
β
1
2
3
k
đ(2.27)
(2.26c)

t
R(t)
t
R(t)
( )
( )
t
y
ty
tR =
c = 0
c ≠ 0

Thí dụ 2.4a. Nghiên cứu dao động cưỡng bức ( trong

giai đoạn chuyển động bình ổn ) của hệ có khối lượng
m=12400kg, độ cứng lò xo k=10
7
N/m, hệ số cản c=
114000Ns/m khi hệ chịu tác dung của lực P(t)=P
0
sinp
i
t
biết rằng P
0
=500kN; p
1
=16rad/s; p
2
=25rad/s.
( xác định ω, β, ξ, θ
1
, θ
2
, K
đ1
, K
đ2
, y
01
và y
02
)
Tần số dao động riêng:

;/4,28
12400
10
7
srad
m
k
===
ω
;880,0
4,28
25
;563,0
4,28
16
2
2
1
1
======
ω
β
ω
β
pp
Các tỷ số:
Tỷ lệ cản dao động:
;169,0
4,28.12400.2
114000

2
====
ωω
α
ξ
m
c

Hệ số động lực học:
( )
( )
;
21
1
2
2
2
ξββ
+−
=
d
K
( )
( )
;41,1
563,0.169,0.2563,01
1
2
2
2

1
=
+−
=
d
K
( )
( )
;69,2
880,0.169,0.2880,01
1
2
2
2
2
=
+−
=
d
K
Biên độ dao động cưỡng bức:
;
0
d
K
k
P
G =
.134,069,2.
10

500000
;071,041,1.
10
500000
7
2
0
7
1
0
mymy ====
Góc lệch pha:
( )
;tan
22






−
=
pm
cp
ar
ω
θ
( )
'.4251;15

164,28.12400
16.114000
tan
0
2
0
22
1
=






=
−
=
θθ
ar
(2.27)
(2.26c)

Người ta có thể dùng một máy chất tải điều hoà để
xác định các đặc trưng động lực học như khối lượng m, độ
cứng k, hệ số cản c trên sơ đồ tính toán dao động của hệ một
bậc tự do của một kết cấu thực ngoài hiện trường như sau.
Cho máy hoạt động, đo biên độ và độ lệch pha khi lực kích
thích có biên độ P
0

và có tần số lần lượt là p
a
= 16rad/s
và p
b
= 25rad/s. Các kết quả thu được ghi trong bảng dưới đây.
STT P
0
(kN) p(rad/s) G(cm) θ(đô)



Thí dụ 2.4b Người ta có thể dùng một máy chất tải điều hoà để
xác định các đặc trưng động lực học như khối lượng m, độ
cứng k, hệ số cản c trên sơ đồ tính toán dao động của hệ một
bậc tự do của một kết cấu thực ngoài hiện trường như sau.
Cho máy hoạt động, đo biên độ và độ lệch pha khi lực kích
thích có biên độ P
0
= 500 kN và có tần số lần lượt là p
a
= 16rad/s
và p
b
= 25rad/s. Các kết quả thu được ghi trong bảng dưới đây.
p(rad/s) G (m) θ (độ) sinθ cosθ

16 0,071 15 0,259 0,966
25 0,134 51
o

42’ 0,785 0,620
( 2.26c )
( )
( )
[ ]
( )
.
1
cos
1/21
1
1
2
0
2
2
2
0
β
θ
βξβ
β
−
=
−+
−
=
k
P
k

P
G
;
1
1
cos;
1
2
2
2
θ
θ
β
ξβ
θ
tg
tg
+
=
−
=
(2.26c)