Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình và mốt số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN KHẮC HIẾU
LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN
HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN KHẮC HIẾU
LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÀM PHÂN
HÌNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN
Thái Nguyên - Năm 2012
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2
i
Mục lục
MỞ ĐẦU 1
1 Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Divisor trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Các hàm Nevanlinna của hàm phân hình . . . . . . 4
1.2 Định lý cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Công thức Jenssen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Định lí cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.4 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Định lí cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Bổ đề Borel và bổ đề về đạo hàm Logarit . . . . . . 15
1.3.2 Định lí cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Một số ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toán
xác định duy nhất hàm phân hình 23
2.1 Định lý Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Định lý 5 điểm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Định lý 4 điểm Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận 34
Tài liệu tham khảo 35
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn luận văn
Lí thuyết Nevanlinna, hay thường được gọi là lí thuyết phân bố giá trị,
được xây dựng đầu tiên bởi R.Nevanlinna vào năm 1925 cho trường hợp
một biến phức. Sau khi bài báo của ông được công bố, lí thuyết này đã được
mở rộng và nghiên cứu sâu sắc bởi nhiều nhà toán học. Đầu tiên lí thuyết
Nevanlinna được tổng quát lên cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều
biến bởi các tác giả A. Bloch, H. Cartan, H. J. Weyles và L. Ahlfors.Sau
đó nó được W. Stoll phát triển lên cho trường hợp ánh xạ phân hình từ
không gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh. Đồng thời, lí thuyết Nevanlinna
còn được xây dựng cho trường hợp hàm bởi công trình của D. Masson, J.
F. Voloch, J. Noguchi và J. Wang. Đây có thể xem như một công cụ hữu
hiệu để nghiên cứu giả thiết ABC và xấp xỉ Diophantine.
Sự phát triển của lí thuyết Nevanlinna đã mang đến một công cụ vô
cùng hữu hiệu để nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau trong hình học giải
tích phức như vấn đề duy nhất hay hữu hạn của ánh xạ phân hình, tính
chuẩn tắc và thác triển của ánh xạ phân hình. Đặc biệt là một số ứng

dụng trong bài toán về xác định duy nhất hàm phân hình. Vì thế, tôi lựa
chọn luận văn này là muốn được tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu về vấn
đề này.
2. Phương pháp nghiên cứu
Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc tế
liên quan đến lý thuyết Nevanlinna. Qua đó, tìm hiểu và nghiên cứu về
vấn đề này.
3. Mục đích của luận văn
Mục đích của luận văn này là học tập và giới thiệu các kết quả nổi bật
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4
2
về lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình và một số ứng dụng trong bài
toán xác định duy nhất hàm phân hình.
4. Nội dung của Luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung chính, kết luận
và tài liệu tham khảo.
Chương 1. Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình.
Chương 2. Một số ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna trong bài toán
xác định duy nhất hàm phân hình.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo
của PGS.TSKH Trần Văn Tấn. Em xin được bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc
đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu,
phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên
đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên
trong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn
nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp
ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.

Thái Nguyên, ngày 19 tháng 08 năm 2012
Tác Giả
Nguyễn Khắc Hiếu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5
3
Chương 1
Lý thuyết Nevanlinna cho hàm
phân hình
1.1 Một số khái niệm cơ bản
1.1.1 Divisor trong mặt phẳng phức
Định nghĩa 1.1. Một divisor D trên miền U ⊂ C là một tổng hình thức
có dạng
D =
∞

ν=1
λ
ν
z
ν
, λ
ν
∈ Z, {z
ν
} rời rạc trong U .
Định nghĩa 1.2. Một hàm f xác định trên tập con mở U ⊂ C với giá trị
phức được gọi là hàm phân hình nếu với mỗi a ∈ U tồn tại lân cận mở liên
thông V ⊂ U chứa a và tồn tại các hàm chỉnh hình g, h trên V, h ≡ 0, sao
cho f =
g

h
trên V .
Giả sử f là hàm phân hình trên U. Khi đó, với mỗi a ∈ U ta có
f(z) = (z − a)
m
.g(z), m ∈ Z, g(z) là hàm chỉnh hình trên U và g(a) = 0.
+) Nếu m > 0 ta nói rằng a là không điểm bậc m của f.
+) Nếu m < 0 ta nói rằng a là cực điểm bậc m của f.
Định nghĩa 1.3. Giả sử f là hàm phân hình trên U, {a
ν
}
∞
ν=1
, {b
ν
}
∞
ν=1
lần
lượt là các không điểm, cực điểm của f trên U, a
ν
có bậc λ
ν
, b
ν
có bậc
−µ
ν
với µ
ν

< 0. Ta định nghĩa các divisor không điểm, divisor cực điểm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6
4
và divisor sinh bởi hàm f lần lượt như sau:
(f)
0
=

λ
ν
>0
λ
ν
a
ν
, (f)
∞
=

µ
ν
<0
−µ
ν
b
ν
, (f) = (f)
0
− (f)
∞

1.1.2 Các hàm Nevanlinna của hàm phân hình
Định nghĩa 1.4. (Hàm đếm). Giả sử D =

µ
ν
z
ν
là một divisor trên C.
Với mỗi số tự nhiên k ( hoặc k = ∞), ta xác định hàm đếm của D chặn
bội đến bậc k như sau:
N
k
(r, D) =

r
1
n
k
(t, D)
t
dt, t > 1
trong đó n
k
(t, D) =

|z
ν
|<t
min{k, µ
ν

}
Ta sử dụng các kí hiệu n(t, D) và N(r, D) thay cho n
+∞
(t, D) và
N
+∞
(r, D)− hàm đếm với bội không bị chặn, và khi đó ta có
N(r, D) =

r
1
n(t, D)
t
dt, n(t, D) =

|z
ν
|<t
µ
ν
.
Định nghĩa 1.5. (Hàm xấp xỉ). Giả sử f ≡ 0 là hàm phân hình trên C,
hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi
m(r, f) =
1
2π

S(r)
log
+

|f(z)|dθ.
Trong đó với mỗi x ∈ R ta có
log
+
(x) =

log x : nếu x > 1
0 : nếux ≤ 1
Định nghĩa 1.6. (Hàm đặc trưng Nevanlinna). Hàm đặc trưng Nevan-
linna T(r, f) của hàm f được xác định bởi:
T (r, f) = N(r, (f)
∞
) + m(r, f).
Từ các định nghĩa trên ta có một số tính chất sau :
i) tính chất của log
+
:
(a) logx = log
+
x − log
+
1
x
≤ log
+
x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7
5
(b) |logx| = log
+

x + log
+
1
x
.
(c) log
+
n

i=1
x
i
≤
n

i=1
log
+
x
i
+ logn.
(d) log
+
n

i=1
x
i
≤
n


i=1
log
+
x
i
.
ii) Tính chất của hàm đặc trưng.
Giả sử f
1
, f
2
, . . . , f
n
là các hàm phân hình. Khi đó:
(a) T (r,
n

i=1
f
i
) ≤
n

i=1
T (r, f
i
) + logn.
(b) T (r,
n


i=1
f
i
) ≤
n

i=1
T (r, f
i
).
(c) N(r, (
n

i=1
f
i
)
∞
) ≤
n

i=1
N(r, (f
i
)
∞
).
(d) N(r, (
n


i=1
f
i
)
0
) ≤
n

i=1
N(r, (f
i
)
0
).
Chứng minh. (a) Ta có
m(r,
n

i=1
f
i
) =
1
2π

S(r)
log
+
|

n

i=1
f
i
|dθ ≤
1
2π
n

i=1

|z|
log
+
|f
i
|dθ + logn
=
n

i=1
m(r, f
i
) + logn. (1.1)
Mặt khác
n

r, (
n


i=1
f
i
)
∞

≤
n

i=1
n(r, (f
i
)
∞
).
Suy ra:
N

r, (
n

i=1
)
∞

≤
n

i=1

N(r, (f
i
)
∞
). (1.2)
Cộng vế với vế của (1.1) và (1.2) ta có kết luận ii.(a)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
6
(b) Ta có:
m(r,
n

i=1
f
i
) =
1
2π

S(r)
log
+
|
n

i=1
f
i
|dθ
≤

1
2π
n

i=1

S(r)
log
+
|f
i
|dθ =
n

i=1
m(r, f
i
).
và
n

r, (
n

i=1
f
i
)
∞


≤
n

i=1
n(r, (f
i
)
∞
).
Suy ra
N

r, (
n

i=1
f
i
)
∞

≤
n

i=1
N(r, (f
i
)
∞
).

Từ đó ta có kết luận ii.(b).
(c), (d) Từ kết quả ii.(a) và ii.(b) ta có kết luận của ii.(c) và ii.(d).
1.2 Định lý cơ bản thứ nhất
1.2.1 Một số kí hiệu
Ta kí hiệu tọa độ phức trên không gian phứ C là z = x + iy, (x, y ∈ R).
Với a ∈ C, r > 0 ta đặt
∆(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r}, ∆(r) = {z ∈ C; |z = r|}
Với ϕ = ϕ(x, y) là hàm khả vi, ϕ = u + iv, ta định nghĩa các toán tử đạo
hàm riêng
∂ϕ
∂x
=
∂u
∂x
+ i
∂v
∂x
,
∂ϕ
∂y
=
∂u
∂y
+ i
∂v
∂y
.
và
∂ϕ
∂z

=
1
2

∂ϕ
∂x
− i
∂ϕ
∂y

,
∂ϕ
∂z
=
1
2

∂ϕ
∂x
+ i
∂ϕ
∂y

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9
7
Ta định nghĩa các toán tử ∂ϕ, ∂ϕ, dϕ, d
c
ϕ như sau:
∂ϕ =

∂ϕ
∂z
dz, ∂ϕ =
∂ϕ
∂z
dz,
dϕ = ∂ϕ + ∂ϕ, d
c
ϕ =
i
4π
(∂ϕ −∂ϕ).
Từ đây ta có:
d
c
ϕ =
i
4π

∂ϕ
∂z
dz −
∂ϕ
∂z
dz

=
1
4π


∂ϕ
∂x
dy −
∂ϕ
∂y
dx

.
dd
c
=
i
4π
(∂ + ∂)(∂ −∂)ϕ
=
i
2π
∂∂ϕ =
i
2π
∂
2
ϕ
∂z∂z
dz ∧ dz.
Trong hệ tọa độ cực z = r.e
iθ
, z = r.e
−iθ
.

Ta có r
2
= z.z = x
2
+ y
2
, r.cosθ = x, r.sinθ = y, cho nên:
∂r
∂x
= cosθ,
∂r
∂y
= sinθ,
∂θ
∂x
= −
sinθ
r
,
∂θ
∂y
= −
cosθ
r
Từ đó ta có:
d
c
ϕ =
1
4π


∂ϕ
∂x
dy −
∂ϕ
∂y
dx

=
1
4π


∂ϕ
∂r
∂r
∂x
+
∂ϕ
∂θ
∂θ
∂x

sinθdr + rcosθdθ

−
−

∂ϕ
∂r

∂r
∂y
+
∂ϕ
∂θ
∂θ
∂y

cosθdr − rsinθdθ


=
1
4π


∂ϕ
∂r
cosθ −
∂ϕ
∂θ
sinθ
r

(sinθ + rcosθdθ)−
− (
∂ϕ
∂r
sinθ +
∂ϕ

∂θ
cosθ
r
)(cosθdr − rsinθdθ)

=
1
4π

r
∂ϕ
∂r
dθ −
1
r
∂ϕ
∂θ
dr

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
8
Khi đó:
dd
c
=
1
4π

∂ϕ

∂r
+ r
∂
2
ϕ
∂r
2
−
1
r
∂
2
ϕ
∂θ

dr ∧ dθ.
1.2.2 Công thức Jenssen
Giả sử ϕ : C → C = R ∪ {−∞; +∞} là một hàm sao cho tập hợp
Z = {z : ϕ(z) ∈ {−∞; +∞}} là rời rạc ( có thể hữu hạn phần tử ). Giả sử
ϕ ∈ C
2
trên C/Z và tại mỗi điểm a
ν
∈ Z có một C
2
− hàm ψ
ν
trên một lân
cận của a
ν

và có các số thực tương ứng λ
ν
để ϕ(z) = λ
ν
log|z −a
ν
|+ ψ
ν
(z)
Khi đó ta có :
∂∂log|z − a
ν
| =
1
2
∂∂log(z − a
ν
)(z − a
ν
)
=
1
2
∂
2
∂z∂z
log(z − a
ν
)(z − a
ν

)dz ∧ dz
=
1
2
∂
∂z

z − a
ν
(z − a
ν
)(z − a
ν
)

=
1
2
∂
∂z
1
(z − a
ν
)
dz ∧ dz = 0
Vậy ta có thể thác triển liên tục (1; 1)− dạng ∂∂ϕ(z) tới các điểm a
ν
∈ Z,
bằng cách đặt ∂∂ϕ(a
ν

) = ∂∂ψ
ν
(a
ν
)
Định lý 1.7. ( Công thức Jensen ) Giả sử ϕ là hàm xác định trên C và
thỏa mãn điều kiện đã nêu ra ở trên. Khi đó nếu ϕ(0) = {−∞; +∞} với
0 ≤ s < r và các trường hợp còn lại với 0 < s < r thì ta có :
2

r
s
dt
t

∆(t)
i
2π
∂∂ϕ +

r
s
dt
t


|a
ν
|<t
λ

ν

=
1
2π

S(r)
ϕ(z)dθ −
1
2π

S(s)
ϕ(z)dθ.
Chứng minh. Ta chứng minh định lí theo bốn trường hợp sau :
(a) Giả sử {a
ν
} = ∅. Khi đó ϕ là hàm thuộc lớp C
2
trên một lân cận của
∆(r) và

r
s
dt
t


|a
ν
|<t

λ
ν

= 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11
9
Với tọa độ cực z = t.e
iθ
, trên mặt cầu S(r), (r > 0), ta có
d
c
log|z| =
1
4π

t
∂
∂t
(logt)dθ −
1
t
∂
∂θ
(logt)dt

=
1
4π
dθ vì dt = 0
Do đó,

1
2π

S(r)
ϕ(z)dθ −
1
2π

S(r)
ϕ(z)dθ = 2

S(r)
ϕ(z)d
c
log|z| −2

S(s)
ϕ(z)d
c
log|z|
= 2

∆(r)/∆(s)
d

ϕ(z)d
c
log|z|

= 2


∆(r)/∆(s)
dϕ ∧ d
c
log|z|+
+ 2

∆(r)/∆(s)
ϕ ∧ dd
c
log|z|
= 2

∆(r)/∆(s)
dϕ ∧ d
c
log|z|
= 2

∆(r)/∆(s)
dlog|z| ∧d
c
ϕ
= 2

∆(r)/∆(s)
dlogt ∧
1
4π


t
∂ϕ
∂t
dθ −
1
t
∂ϕ
∂θ
dt

= 2

[s;r]×[0;2π]
dt
t
∧
1
4π

t
∂ϕ
∂t
dθ −
1
t
∂ϕ
∂θ
dt

= 2


[s;r]×[0;2π]
1
4π
∂ϕ
∂t
∧ dθ
= 2

r
s


2π
0
1
4π
∂ϕ
∂t
dθ

dt
= 2

r
s

1
t


S(t)
1
4π
(t
∂ϕ
∂t
dθ −
1
t
∂ϕ
∂θ
dt)

dt
= 2

r
s

1
t

S(t)
d
c
ϕ

dt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
10

= 2

r
s
dt
t

∆(t)
dd
c
ϕ
= 2

r
s
dt
t

∆(t)
i
2π
∂∂ϕ +

r
s
dt
t


|a

ν
|<t
λ
ν

.
Định lí được chứng minh trong trường hợp này.
(b) Giả sử {a
ν
} = {a} và ϕ(z) = λlog|z − a
ν
|, a ∈ ∆(r)/∆(s). Khi đó,
2

t
s
dt
t

∆(0,t)
i
2π
∂∂ϕ = 0

Vìf = z − a là chỉnh hình nên ∂∂log|f| = 0

và

t
s

dt
t


|a
ν
|<t
λ
ν

=

r
|a|
dt
t
= λlog
r
|a|
Thực vậy, do |a| > s nên hàm log|z − a| là hàm điều hòa trên ∆(s), và
theo định lí giá trị trung bình thì
1
2π

S(r)
λlog|z − a|dθ = λlog|a|. (1.3)
Mặt khác ta có:
1
2π


S(r)
λlog|z − a|dθ =
1
2π

2π
0
λlog|re
iθ
− a|dθ
=
1
2π

2π
0
λlog|r − ae
−iθ
|dθ
=
1
2π

2π
0
λlog|
r
a
− e
iθ

|dθ +
1
2π

2π
0
λlog|a|dθ
=
1
2π

2π
0
λlog|
r
a
− z|dθ + λlog|a|
=
1
2π

S(1)
λlog|
r
a
− z|dθ + λlog|a|
= λlog|
r
a
| + λlog|a|. (1.4)

Từ (1.3) và (1.4) ta được điều cần chứng minh của định lí trong trường
hợp này.
(c) Giả sử {a
ν
} − {a}, a ∈ ∆(s) và ϕ(z) = λlog|z − a|. Tương tự như
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
11
trường hợp (b), ta có:
2

r
s
dt
t

∆(0,t)
i
2π
∂∂ϕ = 0
và

t
s
dt
t


|a
ν
|<t

λ
ν

=

r
s
dt
t
= λlog
r
s
(1.5)
Mặt khác ta cũng có:
1
2π
ϕ(z)dθ −
1
2π

S(s)
ϕ(z)dθ =
λ
2π

S(r))
log|z − a|dθ −
λ
2π


S(s)
log|z − a|dθ
= λlog
r
|a|
− λlog
s
|a|
= λlog
r
s
(1.6)
Từ (1.5) và (1.6) ta có điều phải chứng minh của định lí trong trường hợp
này.
(d) Trường hợp tổng quát
Giả sử {a
ν
; |a
ν
| < R} = {a
1
, a
2
, . . . , a
n
} với R > r
Đặt Ψ(z) = ϕ(z) −
n

i=1

λ
i
log|z − a
i
|, hay ϕ(z) = Ψ(z) +
n

i=1
λ
ν
log|z − a
i
|.
Khi đó ψ(z) là hàm thuộc lớp C
2
trên một lân cận của ∆(r) .
Áp dụng kết quả của các trường hợp (a), (b) và (c) cho các hàm ψ(z) và
λ
i
log|z −a
i
|. Thực hiện cộng vế với vế của các kết quả, ta được điều phải
chứng minh của định lí trong trường hợp này.
Định lý 1.8. Giả sử f là hàm phân hình trên C. Khi đó
N(r, (f)) = N(r, (f)
0
) − N(r, (f)
∞
)
=

1
2π

S(r)
log|f(z)|dθ −
1
2π

S(1)
log|f(z)|dθ ∀r > 1
Chứng minh. Gọi {a
ν
} là tập các không điểm và cực điểm của f(z). Tại
mỗi lân cận của a
ν
ta có f(z) = (z −a
ν
)
λ
ν
g(z) với g(z) là hàm chỉnh hình,
g(a
ν
) = 0. Suy ra
log|f(z)| = λ
ν
log|z − a
ν
| + log|g(z)|, log|g(z)| ∈ C
2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
12
Vậy hàm log|f(z)| thỏa mãn giả thiết của định lí Jensen, và do đó ta có :
1
2π

S(r)
log|f(z)|dθ −
1
2π

S(t)
log|f(z)|dθ
= 2

r
1

∆(0,t)
i
2π
∂∂log|f(z)| +

r
1
dt
t


|a

ν
|<t
λ
ν

= N(r, (f)
0
) − N(r, (f)
∞
).
Định lí được chứng minh.
Định lý 1.9. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên C. Khi đó,
T (r, f) = m(r, (f)
∞
) ≤ max
|z|=r
log
+
|f(z)| ≤
R + r
R −r
T (R, f) với 1 < r < R
Chứng minh. Do f là chỉnh hình nên tập hợp các cực điểm của f là tập
rỗng. Vì vậy N(r, (f)
∞
) = 0, và do đó
T (r, f) = m(r, f) =
1
2π


S(r)
log
+
|f(z)|dθ ≤ max
|z|=r
log
+
|f(z)|
Theo công thức tích phân Poisson, với |z| = r ta có
log|f(z)| =
1
2π

|ξ|=R
log|ξ|
R
2
− |z|
2
|ξ − z|
2
≤
1
2π

|ξ|=R
log
+
|f(ξ)
R

2
− r
2
(R −r)
2
|
dθ
=
R + r
R −r
m(R, f)
=
R + r
R −r
T (R, f).
Định lí được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15
13
1.2.3 Định lí cơ bản thứ nhất
Định lý 1.10. Giả sử f là hàm phân hình trên C và a là một điểm thuộc
C khi đó
T (r,
1
f − a
) = T (r, f) + O(1),
|O(1)| ≤





1
2π

|z|=1
log|f(z) − a|dθ




+ log
+
|a| + log2.
Chứng minh. Áp dụng công thức Jenssen cho hàm ϕ(z) = log |f(z) − a|
ngoài những điểm z sao cho ϕ(z) = ±∞ , ∂∂ϕ(z) ≡ 0 và do đó ta có :
N

r, (f − a)
0

− N

r, (f − a)
∞

=
1
2π

|z|=r
log|f(z) − a|dθ −

1
2π

|z|=1
log|f(z) − a|dθ.
Vì (f −a)
∞
= (f)
∞
nên:
N

r, (f − a)
0

+
1
2π

|z|=r
log
+
1
|f(z) −a|
dθ
= N

r, (f)
∞


+
1
2π

|z|=r
log
+
|f(z) −a|dθ −
1
2π

|z|=1
log|f(z) − a|dθ
Từ bất đẳng thức |log
+
|f(z) −a|−log
+
|f(z)|| ≤ log
+
|a|+log2,ta có điều
phải chứng minh.
Hệ quả 1.11. (Bất đẳng thức Nevanlinna). Giả sử f là một hàm phân
hình trên C và a ∈ C khi đó:
1. N(r, (f − a)
0
) ≤ T(r, f) + O(1).
2. N(r, (f)
∞
) ≤ T(r, f) + O(1).
3. N(r, (f)) ≤ T(r, f) + O(1).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
14
Chứng minh.
1./N(r, (f − a)
0
) = N

r, (
1
f − a
)
∞

= T

r, (
1
f − a
)

− m

r, (
1
f − a
)

≤ T

r, (

1
f − a
)

= T (r, f) + O(1).
2./N(r, (f)
∞
) = T (r, f) −m(r, f) + O(1) ≤ T (r, f) + O(1).
3./N(r, (f)) = N(r, (f)
0
) − N(r, (f)
∞
) ≤ N(r, (f)
0
) ≤ T(r, f) + O(1).
1.2.4 Một số ví dụ
Ví dụ 1:
Xét hàm hữu tỉ f(z) =
P (z)
Q(z)
là hàm phân thức trên C, với P (z) và Q(z)
là các đa thức một biến trên C không có điểm chung và có bậc tương ứng
là p và q.Khi đó ta có kết luận sau:
1/ n(t, (f)
∞
) = q nên N(r, (f)
∞
) =
r


1
n(t, (f)
∞
)
t
dt = qlogr + O(1).
2/ m(r, f) = max{0, p − q}logr + O(1).
3/ T (r, f) = N(r, (f)
∞
) + m(r, f) = max{p, q}logr + O(1).
Ví dụ 2:
Xét P (z) = az
p
+ ··· + a
p
là một đa thức và f(z) = e
P (z)
. Khi đó
f(z) = e
P (z)
= e
az
p
+···+a
p
Như vậy T (r, f) ≤ T (r, az
p
) + ··· + T(r, a
p
) ∼ p.T(az

p
) + log
+
e
a
p
=
p.T (r, e
az
p
) + O(1). Bây giờ ta sẽ tính T (re
az
p
). Đặt g = e
az
p
T (r, g) = m(r, g) + N(r, g).
Do g chỉnh hình nên
T (r, g) =
|a|r
p
πp
suy ra T (r, f) =
|a|
π
r
p
+ O(1).
Ví dụ 3:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17

15
Giả sử rằng f(z) là một hàm phân hình trong |z| < R, và
g(z) =
af + b
cf + d
trong đó a, b, c, d là các hằng số thỏa mãn ad − bc = 0 và nếu f(0) =
0, g(0) = ∞ thì
T (r, f) = T (r, g) + O(1), với 0 < r < R
Thật vậy, ta xét các hàm số sau đây :
f
0
= f; f
1
= f
0
+
d
c
; f
2
= c.f
1
; f
3
=
1
f
2
; f
4

=
(bc − ad)f
3
c
g = f
5
= f
4
+
a
c
Theo các tính chất của các số hạng T (r, f) ta có
T (r, f + c) ≤ T (r, f) + T (r, c) + log2 = T(r, f) + log
+
|c| + log2
Nên T (r, f + c) = T(r, f) + O(1) và T (r, cf) ≤ T(r, f) + T (r, c) =
T (r, f) + log
+
|c| do đó T (r, cf) = T (r, f) + O(1) với f(z) là hàm phân
hình trong |z| < R, c là hằng số. Từ đó chúng ta thu được, nếu c = 0 thì
T (r, f
v+1
) = T (r, f
v
) + O(1), (v = 1, . . . , 4)
Như thế T (r, f) = T (r, f
0
) = T (r, f
1
) + O(1) = T (r, f

2
) + O(1) =
T (r, f
3
) + O(1) = T (r, f
4
) + O(1) = T (r, f
5
) + O(1) = T (r, g) + O(1).
Ta được điều phải chứng minh.
1.3 Định lí cơ bản thứ hai
1.3.1 Bổ đề Borel và bổ đề về đạo hàm Logarit
Ta dùng kí hiệu ||P để nói rằng kết luận P đúng ngoài một tập E ⊂
[0; +∞} có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Bổ đề 1.12. (Bổ đề Borel). Giả sử hàm Φ(r) ≥ 0(r ≥ 1) là đơn điệu
tăng. Khi đó với mỗi δ > 0 ta có :||
d
dr
Φ(r) ≤

Φ(r)

1+δ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
16
Chứng minh. Vì Φ(r) là hàm đơn điệu tăng cho nên đạo hàm
d
dr
Φ(r) tồn
tại hầu khắp nơi. Ta có thể giả sử rằng Φ(r) ≡ 0. Lấy r

1
≥ r
0
sao cho
Φ(r
1
) > 0. Đặt E(δ) = {r ≥ r
1
;
d
dr
Φ(r) > Φ(r)
1+δ
}. Trên E(δ) chúng ta
có
dΦ(r)
Φ(r)
1+δ
b > dr
Do vậy

E(δ)
dr ≤

E(δ)
dΦ(r)
Φ(r)
1+δ
≤


∞
r
1
dΦ(r)
Φ(r)
1+δ
≤
1
δΦ(r
1
)
δ
.
Ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 1.13. (Bổ đề đạo hàm logarit). Giả sử f là hàm phân hình. Khi đó
với mỗi δ > 0 ta có :








m(r,
f

f
) ≤


1 +
(1 + δ)
2
2

log
+
T (r, f) +
δ
2
logr + O(1)
Chứng minh. Trên C xét (1, 1)−dạng Φ =
1
(1 + log
2
|ω|)|ω|
2
1
4π
dω ∧ dθ ,
và


C
Φ =

C
1
(1 + log
2

r)r
1
2π
2
dr ∧ dθ
=

∞
0
1
π(1 + log
2
r)r
dr =
1
π
arctanlogr|
∞
0
= 1
Đặt:
µ(r) =

r
1
dt
t

∆(0,t)
f

∗
Φ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
17
Khi đó ta có:
µ(r) =

r
1
dt
t

∆(0,t)
|f

|
2

1 + log
2
|f|

|f|
2
i
4π
dz ∧ dz
=

ω∈C


r
1
dt
t
n(t, (f − ω)
0
)Φ(ω)
=

ω∈C
N(r, (f − ω)
0
)Φ(ω)
≤

ω∈C
(T (r, f) + O(1))Φ(ω) = T(r, f) + O(1)
(Do áp dụng bất đẳng thức Nevanlinna)
m(r,
f

f
) =
1
2π

S(r)
log
+





f

f




dθ
=
1
4π

S(r)
log
+

|f

|
2

1 + log
2
|f|

|f|

2
(1 + log
2
|f|)

dθ
≤
1
4π

S(r)
log
+
|f

|
2

1 + log
+
|f|

|f|
2
dθ+
+
1
4π

S(r)

log
+

1 + log
2
|f|

dθ
≤
1
4π

S(r)
log
+
|f

|
2

1 + log
2
|f|

|f|
2
dθ+
+
1
4π


S(r)
log
+

1 +

log
+
|f| + log
+
1
|f|

dθ
≤
1
4π

S(r)
log

1 +
1
2π

S(r)
|f

|

2

1 + log
2
|f|

|f|
2

dθ
+
1
2

S(r)
log

1 +

log
+
|f| + log
+
1
|f|

dθ +
1
2
log2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20
18
(Do áp dụng tính chất của hàm lõm log )
≤
1
2
log

1 +
1
r
d
dr

∆(0,r)
|f

|
2

1 + log
2
|f|

|f|
2
1
2π
rdrdθ


+
1
2
log

m(r, f) + m(r,
1
f
) + 1

+
1
2
log2
≤
1
2
log

1 +
π
r
d
dr

∆(0,r)
f
∗
Φ


+ log
+
T (r, f) + O(1)
|| ≤
1
2
log

1 +
π
r


∆(0,r)
f
∗
Φ

1+δ

+ log
+
T (r, f) + O(1)
( Do áp dụng bổ đề Borel)
|| ≤
1
2
log

1 +

π
r


∆(0,r)
f
∗
Φ

1+δ

+ log
+
T (r, f) + O(1)
≤
1
2
log

1 + πr
δ

d
dr

r
1
dt
t


∆(0,t)
f
∗
Φ

(1+δ)
2

+ log
+
T (r, f) + O(1)
|| ≤
1
2
log

1 + πr
δ


r
1
dt
t

∆(0,t)
f
∗
Φ


(1+δ)
2

+ log
+
T (r, f) + O(1)
≤

1 +
(1 + δ)
2
2

log
+
T (r, f) +
δ
2
log
+
r + O(1).
Ta có kết luận của bổ đề.
Chú ý
Nếu T (r, f) = O(logr) khi r → +∞ thì f là hàm phân thức. Khi đó bằng
tính toán trực tiếp ta có ||m(r,
f

f
) = O(1). Vậy với f ≡ constant, ta luôn
có ||m(r,

f

f
) = o(T (r, f)) khi r → +∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
19
1.3.2 Định lí cơ bản thứ hai
Định lý 1.14. (Định lí cơ bản thứ hai),. Giả sử f là một hàm khác hằng
trên C và a
1
, a
2
, . . . , a
q
∈ C là các điểm phân biệt (q ≥ 3). Khi đó
(q − 2)T(r, f) ≤
q

j=1
N
1
(r, (f − a
i
)
0
) + o(T
f
(r)).
Chứng minh. Nếu có a
i

= ∞ ta thay f bởi
1
f − c
,c
i
bởi 0 và a
j
bởi
1
a
j
− c
,(j =
i), với c là số phức c = a
k
,k = 1, 2, , q. Do vậy ta có thể giả sử
a
1
, a
2
, , a
q
∈ C. Với mỗi ω ∈ C và a ∈ C, đặt
||ω − a|| =








|ω − a|

1 + |ω|
2
√
1 + a
2
nếu a ∈ C
1
√
1 + a
2
nếu a = ∞.
Khi đó ||ω −a|| thảo mãn bất đẳng thức về khoảng cách và liên tục (theo
biến ω)với tô pô compact hóa một điểm Ccủa C.
Do đó ψ(ω) =

1≤i
1
< <i
q−2
≤q
q−2

j=1
||ω−a
i
j
|| liên tục theo biến ω và khác không

tại mọi điểm trên C. Do vậy tồn tại hằng số c > 0 sao cho c
−1
≤ ψ(ω) ≤ c.
Với z ∈ C sao cho f(z) = ∞, ta có
ψ(f(z)) =

1≤i
1
< <i
q−2
≤q
q−2

j=1
||f(z) −a
i
j
||
=
q−2

j=1
||f(z) −a
j
||

1≤i
1
<i
2

≤q
1
||f(z) −a
i
1
||||f(z) −a
i
2
||
=
1

1 + |f(z)|
2
q−2
1
f

(z)
q

i=1
|f(z) −a
i
|

1 + |a
i
|
2

×
×


1≤i
1
<i
2
≤q

(1 + |a
i
1
|
2
)(1 + |a
i
2
|
2
)
|a
i
1
− a
i
2
|
×





(f(z) −a
i
1
)

f(z) −a
i
1
−
(f(z) −a
i
2
)

f(z) −a
i
2





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
20
Suy ra



1 + |f(z)|
2

q−2
≤
c
|f

(z)|
q

i=1
|f(z) −a
i
|

1 + |a
i
|
2
×
×


1≤i
1
<i
2
≤q


(1 + |a
i
1
|
2
)(1 + |a
i
2
|
2
)
|a
i
1
− a
i
2
|
×




(f(z) −a
i
1
)

f(z) −a
i

1
−
(f(z) −a
i
2
)

f(z) −a
i
2





Lấy Logarit hai vế rồi lấy tích phân trên S(r), ta được
1
2π

S(r)
log


1 + |f(z)|
2

q−2
dθ
≤
1

2π

S(r)
log
c
|f

(z)|
q

i=1
|f(z) −a
i
|

1 + |a
i
|
2
dθ+
+
1
2π

S(r)
log

1≤i
1
≤i

2
≤q

(1 + |a
i
1
|
2
)(1 + |a
i
2
|
2
)
|a
i
1
− a
i
2
|




(f(z) −a
i
1
)


f(z) −a
i
1
−
(f(z) −a
i
2
)

f(z) −a
i
2




dθ
≤
1
2π

S(r)
log

q
i=1
|f(z) −a
i
|
|f


(z)|
dθ+
+
q

i=1
1
2π

S(r)
log
+




(f(z) −a
i
)

f(z) −a
i




dθ + O(1)
|| ≤
1

2π

S(r)
log

q
i=1
|f(z) −a
i
|
|f

(z)|
dθ + o(T (r, f))(Theo bổ đề đạo hàm logarit).
(1.7)
Mặt khác ta có:
1
2π

S(r)
log


1 + |f(z)|
2

q−2
dθ = (q − 2)
1
2π


S(r)
log
+
|f(z)|dθ + O(1)
= (q − 2)m(r, f) + O(1)
= (q − 2)T (r, f) − (q − 2)N(r, (f)
∞
) + O(1)
(1.8)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23
21
Đặt h(z) :=
q

i=1
|f(z) −a
i
|
f

(z)
, theo định lí 1.8 ta có
1
2π

S(r)
log
q


i=1
|f(z) −a
i
|
f

(z)
dθ = N(r, (h)
0
) − N(r, (h)
∞
) + O(1) (1.9)
Ta dễ dàng nhận thấy, nếu z
0
là một không điểm của h thì z
0
phải là không
điểm của duy nhất một (f −a
i
0
) nào đó với bội m, khi đó z
0
sẽ là không
điểm bội ít nhất là m −1 của f

. Do vậy
(h)
0
(z
0

) ≤ 1 =
q

i=1
(f, a
i
)(z
0
)
Điều này kéo theo
N(r, (h)
0
) ≤
q

i=1
N
1
(r, (f − a
i
)
0
) (1.10)
Mặt khác nếu z
0
là một cực điểm bậc nhiều nhất là m + 1 của f

. Do vậy
z
0

là cực điểm bậc ít nhất là mq −m −1 ≥ (q − 2)m của h. Vậy ta có
(q − 2)(f)
∞
(z
0
) = (q − 2)m ≤ (h)
∞
(z
0
)
Điều này kéo theo
N(r, (h)
∞
) ≥ (q − 2)N(r, (f)
∞
) (1.11)
Từ (1.7) đến (1.11), ta được
||(q − 2)T(r, f) ≤
q

i=1
N
1
(r, (f − a
i
)
0
) + o(T (r, f)).
Định lí được chứng minh.
Sau đây chúng tôi phát biểu Định lý cơ bản thứ hai cho một số trường

hợp khác: Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C. Ký hiệu, R là
tập các hàm phân hình a trên C và bé so với f, có nghĩa T
a
(r) = o(T
f
(r)).
Năm 2004, Yamanoi, mở rộng định lý cơ bản thư hai cho trường hợp các
hàm phân hình bé như sau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24
22
Định lý 1.15. Chof là một hàm phân hình trên C. Ký hiệu a
1
, . . . , a
q
là
q hàm phân biệt thuộc R
f
. Khi đó với mỗi  > 0, ta có
(q − 2 − )T
f
(r) ≤
q

i=1
N
1
(r, (f − a
i
)
0

)
với mọi r ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Năm 1933, Cartan mở rộng định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna sang
trường hợp chiều cao như sau:
Định lý 1.16. Cho f là một ánh xạ không suy biến tuyến tính từ C vào
không gian xạ ảnh CP
n
và H
1
, . . . , H
q
(q  n + 1) là các siêu phẳng trong
CP
n
ở vị trí tổng quát. Khi đó
(q − n − 1)T
f
(r) 
q

j=1
N
n
(r, (f − H
j
)
0
) + o

T

f
(r)

.
với mọi r ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25