Về đối ngẫu Lagrange của bài toán tối ưu lồi có ràng buộc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM






NGUYỄN LỆ THUỶ






VỀ ĐỐI NGẪU LAGRANGE
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI CÓ RÀNG BUỘC





LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM





NGUYỄN LỆ THUỶ





VỀ ĐỐI NGẪU LAGRANGE
CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI CÓ RÀNG BUỘC


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC



Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Đỗ Văn Lƣu





THÁI NGUYÊN, 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

i
MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC i
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1. ĐỐI NGẪU MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI VÀ
ÁP DỤNG CHO QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH 4
1.1. HÀM LIÊN HỢP 4
1.1.1.CÁC PHÉP TOÁN VỀ HÀM LỒI 4
1.1.2. HÀM LIÊN HỢP 7
1.2. ĐẶC TRƢNG CỦA TÍNH ĐỐI NGẪU MẠNH 14
1.2.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 14
1.2.2. ĐẶC TRƯNG HÀM TỰA CỦA TẬP CHẤP NHẬN ĐƯỢC 19
1.2.3. ĐẶC TRƯNG CỦA SỰ SAI KHÁC ĐỐI NGẪU 0 ỔN ĐỊNH 21
1.3. QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH LỒI 31

Chƣơng 2. ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ ĐỐI NGẪULAGRANGE 40
2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM 40
2.2. CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ ĐỐI NGẪU MẠNH 43
2.3. ĐẶC TRƯNG CỦA ĐỐI NGẪU MIN – MAX 50
KẾT LUẬN 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO 60


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài.
Lí thuyết đối ngẫu là một bộ phận quan trọng của lí thuyết tối ưu hoá.
Người ta thường nghiên cứu đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe và đối ngẫu
Mond-Weir với các định lí đối ngẫu yếu, mạnh, ngược. Sự sai khác đối ngẫu
0 là một vấn đề quan trọng của lí thuyết đối ngẫu. Trong bài toán quy hoạch
sự sai khác đối ngẫu 0 có nghĩa là giá trị của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu
bằng nhau. Khi giá trị của bài toán đối ngẫu đạt được thì tính chất sai khác đối
ngẫu 0 trở thành tính đối ngẫu mạnh.
Nhiều nghiên cứu về đối ngẫu Lagrange đã đưa ra các điều kiện chính
quy đảm bảo tính chất sai khác đối ngẫu 0 đúng. Jeyakumar [6] đã nghiên cứu
các điều kiện cần và đủ cho đối ngẫu mạnh và đối ngẫu min-max cho bài toán
quy hoạch lồi với ràng buộc nón và ràng buộc tập. Jeyakumar-Li [8] đã thiết
lập các điều kiện cần và đủ cho sự sai khác đối ngẫu 0 ổn định cho bài toán
quy hoạch lồi với ràng buộc nón và áp dụng cho bài toán quy hoạch bán xác
định lồi.
Lí thuyết đối ngẫu Lagrange đã và đang được nhiều tác giả quan tâm
nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài:
''

Về đối ngẫu Lagrange của bài toán
tối ưu lồi có ràng buộc
''
. Đề tài này có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu.
2.Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
2.1.Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các định lí đối ngẫu
Lagrange cho các bài toán tối ưu lồi có ràng buộc nón, bao gồm: Các điều

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2
kiện chính quy đặc trưng cho đối ngẫu Lagrange mạnh và đối ngẫu min-max
của Jeyakumar [6] cho bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón và ràng buộc
tập, và các điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu 0 ổn định của
Jeyakumar-Li [8] cho bài toán tối ưu lồi với ràng buộc nón cùng với các áp
dụng cho bài toán quy hoạch bán xác định lồi.
2.2.Nhiệm vụ nghiên cứu.
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo tiếng Anh của Jeyakumar và Jeyakumar-Li.
- Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn.
3.Phƣơng pháp nghiên cứu.
Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lí thuyết
tối ưu.
4.Bố cục của luận văn.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục
các tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1 ĐỐI NGẪU MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI
VÀ ÁP DỤNG CHO QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH

Trình bày các định lí đối ngẫu Lagrange của Jeyakumar-Li [8] về các
điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu 0 ổn định của bài toán quy
hoạch lồi với ràng buộc nón và các áp dụng cho bài toán quy hoạch bán xác
định lồi.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

3
Chƣơng 2 ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ ĐỐI NGẪU LAGRANGE
Trình bày các định lí đối ngẫu Lagrange của Jeyakumar [6] về các điều
kiện chính quy đặc trưng cho đối ngẫu mạnh và đối ngẫu min-max của bài
toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón và ràng buộc tập.
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới
PGS-TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn
thành bản luận văn này.
Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa
Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái
Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và
giúp đỡ tôi hoàn thành khoá học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Yên Bái,
trường THPT Lê Quý Đôn, gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học Toán K18 đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2012.


Nguyễn Lệ Thuỷ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

4
Chƣơng I
ĐỐI NGẪU MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI VÀ
ÁP DỤNG CHO QUI HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH

Chương I trình bày các định lí đối ngẫu Lagrange của Jeyakumar-Li [8]
(2009), về các điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu 0 ổn định
của bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón, cùng với các áp dụng cho bài
toán quy hoạch bán xác định lồi.
1.1.HÀM LIÊN HỢP
Một số kiến thức giải tích lồi sẽ được trình bày trong mục này là cần thiết
cho nội dung của luận văn.
1.1.1. CÁC PHÉP TOÁN VỀ HÀM LỒI
Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,
 
   , : .D X f D

Nhắc lại:
Trên đồ thị (epigraph) của hàm
f
được định nghĩa như sau:

   
 
   epi , :f x r D f x r
.

Miền hữu hiệu (effective domain) của
f
được xác định như sau:

 
 
   dom :f x D f x
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
Hàm
f
được gọi là lồi trên D nếu
epif
là tập lồi trong
X 
.
Hàm
f
được gọi là lõm trên D nếu -
f
là lồi trên D. Chú ý rằng nếu
f
lồi thì
domf
lồi.
Hàm
f

được gọi là chính thường (proper) nếu

domf
và
   
   , f x x D
.
Định lý 1.1.1[1]
Giả sử
1
, ,
m
ff
là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó, tổng
1

m
ff
là một hàm lồi.
Định lý 1.1.2
Giả sử F là tập lồi trong
X 
và

   
 
inf : ,

f x x F
. (1.1.1)

Khi đó, f là hàm lồi trên X.
Chú ý: Ta qui ước infinum trên tập

(các số thực) bằng

.
Chứng minh
Nếu
 
1
f x r
, thì từ (1.1.1) suy ra:
 
 
1 1 1
, , .r x F

  

Nếu
 
2
f x s
, thì
 
 
2 2 2
, , .s x F

  

Suy ra:

 

 

 
1 2 1 2
1 , 1x x F
    
    
(0<

<1).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

6



 
 
 
 
 
1 2 1 2
1 inf : 1 ,
     
     f x x x x F


 

 
12
11rs
    
     
.



f
là hàm lồi.


Định nghĩa 1.1.1
Giả sử
1
, ,
m
ff
là các hàm chính thường trên X. Tổng chập infimal
(infimal convolution) của
1
, ,
m
ff

được xác định như sau:

   
 
11
1
inf : , ,


    



m
m m i i
i
f x f x f x x X x x
(1.1.2)
và được ký hiệu là
1

m
i
i
f
hay
1.

m
ff

.
Nhận xét 1.1.1
Trường hợp m = 2, (1.1.2) có dạng:

      
 
1 2 1 2
inf .  
y
f f x f x y f y

Định lý 1.1.3
Giả sử
1
, ,
m
ff
là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó,
1

m
i
i
f
là hàm
lồi trên X.
Chứng minh
Đặt
1
epi ,

i i m
F f F F F   
. Khi đó,
F
là tập lồi trong
X 
.
Theo Định nghĩa,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7

 
,

xF
,
n
ii
x

    

sao cho

 
11
( 1, , ), ,
   

       
i i m m
f x i m x x x
.
Do đó, hàm
f
được xác định bởi 1.1.2 là một hàm lồi được xây dựng theo
Định lý 1.1.2 bởi tập
F
.


Nhận xét 1.1.2
Nếu các hàm
1
, ,
m
ff
là các hàm lồi chính thường, thì hàm
f
được xác
định bởi (1.1.2) là một hàm lồi, nhưng có thể không chính thường.
1.1.2. HÀM LIÊN HỢP
Giả sử
X
là không gian lồi địa phương,
*
X
là không gian liên hợp (tôpô)
của

X
,
f
là hàm xác định trên
X
.
Định nghĩa 1.1.2
Phép biến đổi Young-Fenchel, của hàm
f
, hay hàm liên hợp với
,f
được xác
định trên
*
X
như sau

 
 
 
* * *
sup ,


xX
f x x x f x
. (1.1.3)
Chú ý: cận trên trong (1.1.3) chỉ lấy theo
dom .xf

Mệnh đề 1.1.1

*
f
là hàm lồi đóng
*
yếu.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
Chứng minh
Với
x
cố định, hàm
 
 
**
:,g x x x f x
là hàm tuyến tính trên
*
X
.
Do đó,
 
*
gx
lồi đóng
*

yếu.
Trên đồ thị của
 
**
fx
là giao của trên đồ thị các hàm
 
*
gx
, tức là giao của
các tập lồi đóng
*
yếu.
Vì vậy,
*
epif
lồi đóng
*
yếu.


Nhận xét 1.1.3
Từ Định nghĩa 1.1.2 suy ra:

 
 
* * *
,f x f x x x

 

**
,   x X x X
. (1.1.4)
Bất đẳng thức (1.1.4) được gọi là bất đẳng thức Young-Fenchel.
Ví dụ 1.1.1

 
*
0
,

f x x x
,
 
**
00
,x X x X
.



 
* * * *
0
sup ,

  
x
f x x x x

**
0
**
0
, Õu ,
, nÕu .
n x x
xx










Ví dụ 1.1.2
Giả sử
 
 
,

A X f x x A
(hàm chỉ của tập A). Khi đó,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

9

   
* * * *
sup , .
xA
f x x x s x A



Như vậy, liên hợp của hàm chỉ của tập A là hàm tựa của A:

   
* * *

x A s x A

 
**
xX
.
Từ Định nghĩa 1.1.2 suy ra

 
 
 
 
 
*
*

** * * * *
sup ,  
x
f x f x x x f x

Mệnh đề 1.1.2
Với hàm
f
bất kỳ, ta có

**
ff
. (1.1.5)
Chứng minh

 
 
 
*
** * * *
sup ,
x
f x x x f x


 
 
*
**
x

x
=sup , sup ,




x x x x f x


 
 
*
**
x
x
=sup , in f ,



x x f x x x


 
 
*
**
sup , ,

  


x
x x f x x x

 
 fx
.
Định lý 1.1.4 (Fenchel-Moreau)
Giả sử X là không gian lồi địa phương Hausdorff,


:,  fX
.
Khi đó,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10

**
f f f
lồi đóng.
Chứng minh
Chú ý rằng: đối với tập lồi A trong không gian lồi địa phương Hausdorff, thì
do Hệ quả 3.3.2 [1], bao đóng và bao đóng yếu của A trùng nhau.
a) Giả sử
**
ff
. Theo Mệnh đề 1.1.1,
**
f

là hàm lồi đóng yếu. Vậy
**
f
lồi
đóng.
b) Giả sử
f
lồi đóng.
Nếu
 
 fx
, thì hiển nhiên
**
.ff
Do Mệnh đề 1.1.2,
**
.ff

Vì thế ta chỉ cần chứng minh rằng: nếu
f
là hàm lồi chính thường đóng thì
**
.ff

Thật vậy, giả sử
**
0
domxf
sao cho:
   

**
00
f x f x
. Ta có
epif
là tập
lồi đóng khác

và
 
 
**
00
, epix f x f
. Theo Định lý tách thứ hai, tồn tại
 
**
,yX


tách ngặt
 
 
**
00
,x f x
và
epi ,f
tức là:

 
 
 
* * **
00
, epi
sup , ,
yf
y y y x f x

 

  
. (1.1.6)
Khi đó,
0


, bởi vì nếu
0


thì cận trên ở vế trái bằng

.
Mặt khác, theo Định lý 3.4 [1],
*
f
là hàm lồi chính thường. Như vậy,
*

domf 
.
Nếu
0


: lấy
**
1
domyf
, với
0t
, ta có:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

11

 
 
 
* * * * *
11
dom
sup ,
yf
f y ty y ty y f y

   

 
 
**
1
dom dom
sup , sup ,
y f y f
y y f y t y y

  


 
* * *
1
dom
sup ,
yf
f y t y y


. (1.1.7)
Từ (1.1.6) (với
0


), suy ra:




**
0
dom
, sup ,
yf
y x y y
.
Vì vậy, từ (1.1.7) ta nhận được:

 
 
** * * * * *
0 1 0 1
,   f x y ty x f y ty


 
* * * * *
1 0 1 0
dom
, , sup ,
yf
y x f y t y x y y


     



(khi
 t
).

**
0
domxf
mâu thuẫn với
**
0
domxf
ở trên.


trường hợp
0


không xảy ra


0


.
Chia hai vế của (1.1.6) cho

và đặt
1
**



xy
, ta nhận được:

 
 
 
* ** *
00
, epi
, sup ,
yf
x x f x x y



  


 
 
*
dom
sup ,
yf
x y f y



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

12
=
 
**
fx


 
 
* ** * *
00
,  x x f x f x
.
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức Young- Fenchel.
Định lý được chứng minh.


Hệ quả 1.1.1
Giả sử
cof
là hàm chính thường. Khi đó,

**
coff
.
Chứng minh
Ta có

**
epif
là tập lồi đóng. Do
**
ff
, nên

**
epi epiff
.
Do đó,

 
epi co epi epi **.f f f


**
co .f f f  
(1.1.8)
Nếu
12
ff
, thì
**
12
ff
. Vì thế,

*
f

(
cof
)
*
.


**
f
(
cof
)
**
cof
. (1.1.9)
Từ (1.1.8), (1.1.9) suy ra:
**
coff
.



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13
Hệ quả 1.1.2
Giả sử
cof
là hàm chính thường. Khi đó,



*
*
co .ff

Chứng minh
Theo Hệ quả 1.1.1,
**
coff
.



 
**
*
f
*
(co ) .f

Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.1.1,
*
f
là hàm lồi đóng, cho nên theo
Định lý 1.1.4,

 
**
**

.ff

Do đó,


*
*
co .ff



Định lý 1.1.5[1]
a) Giả sử
1
, ,
m
ff
là các hàm xác định trên
X
. Khi đó,

 
*
**
11
,  
mm
f f f f

 
*
**
11
.   
mm
f f f f

b) Giả sử
1
, ,
m
ff
là các hàm lồi chính thường:
0
1
dom
m
i
i
xf



; có thể trừ
ra một hàm, còn lại đều liên tục tại
0
x
. Khi đó,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14

 
*
**
11
.   
mm
f f f f
(1.1.10)
Hơn nữa,
 
*
**
1
dom , dom ,
m i i
x f f x f     

 
1, ,im
sao cho:

* * *
1
,  
m
x x x

 
     
*
* * * * *
1 1 1
.    
m m m
f f x f x f x

1.2 ĐẶC TRƯNG CỦA TÍNH ĐỐI NGẪU MẠNH
1.2.1.MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ
Xét bài toán quy hoạch lồi:

     
 
inf : ,P f x g x S

trong đó
,XY
là các không gian Banach, S là nón lồi đóng trong
,Y


 
:   fX

là một hàm lồi nửa liên tục dưới chính thường và
: g X Y

là ánh xạ lồi theo
,S
tức là

 
 
     
 
 
    
         1 1 0,1 , , .g x y g x g y S x y X

Bài toán đối ngẫu Lagrange của
 
P
được cho bởi :

     
 
*
*
supinf , ,




xX
yS
D f x y g x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15
trong đó

S
là nón đối ngẫu dương
 

    
+*
: , 0 S X v v S
của
S
.
Giá trị tối ưu
 
vD
của bài toán đối ngẫu
 
D
cho một cận dưới của giá trị
tối ưu
 
vP
của bài toán xuất phát
 
P
. Như vậy

   
.v P v D

Đẳng thức giá trị tối ưu là một vấn đề cốt lõi trong lý thuyết đối ngẫu thường
cho thông tin sâu sắc về bài toán xuất phát. Đẳng thức đó cũng cho phép phát
triển các lược đồ số.
Bài toán
 
P
được gọi là có sai khác đối ngẫu 0 (zero duality gap) nếu
   
v P v D
, có nghĩa là:

 
     
 
1
*
*
inf sup inf , .






xX
x g S
yS

f x f x y g x
(1.2.1)
Bài toán
 
P
được gọi là có đối ngẫu mạnh (strong duality) nếu:

 
     
 
1
*
*
inf maxinf , ,






xX
x g S
yS
f x f x y g x
(1.2.2)
trong đó
   
 
1
: : .


   g S x X g x S

Mặt khác trong một số trường hợp người ta mong muốn kiểm tra dạng toàn
cục của đối ngẫu mạnh bằng cách cho (1.2.2) đúng với mỗi cách chọn nhiễu
tuyến tính của hàm mục tiêu. Trong trường hợp đó bài toán
 
P
được gọi là
có đối ngẫu mạnh ổn định (stable strong duality) bằng ngôn ngữ toán học ta
có thể phát biểu:
**
,xX


 
 
 
   
 
1
*
* * *
inf , maxinf , , .





   

xX
x g S
yS
f x x x f x x x y g x
(1.2.3)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

16
trong đó
*
X
là đối ngẫu tôpô của
X
. Hơn nữa, thậm chí với bài toán
 
P

một chiều, (1.2.3) có thể không đúng khi mà đẳng thức sau đúng:
**
,xX


 
 
 
   
 
1
*

* * *
inf , sup inf , , .





   
xX
x g S
yS
f x x x f x x x y g x
(1.2.4)
trong đó sup trong bài toán đối ngẫu không nhất thiết nhận được. Khi (1.2.4)
đúng, bài toán
 
P
được gọi là có sự sai khác đối ngẫu 0 ổn định (stable zero
duality gap).
Ta sẽ chỉ ra rằng một điều kiện đóng bao hàm tổng chập infimal của hàm
liên hợp của
f
và hàm trội lồi của hàm tựa của
 
1
gS
là điều kiện cần và
đủ cho sự sai khác đối ngẫu 0 ổn định.
Trong trường hợp:
 

*
. ,.fx
đạt được cực tiểu trên
 
1
gS
, với mỗi
**
xX
ta dẫn điều kiện đẳng thức dưới vi phân đặc trưng cho sự sai khác đối
ngẫu 0 min- sup ổn định (stable min-sup zero duality gap). Ta có thể phát
biểu dưới ngôn ngữ toán học như sau:
**
,xX


 
 
 
   
 
1
*
* * *
min , supinf , , .






   
xX
x g S
yS
f x x x f x x x y g x
(1.2.5)
Giả sử
X
là không gian Banach,
*
X
là đối ngẫu tôpô của nó. Dạng song
tuyến tính giữa
X
và
*
X
được ký hiệu là
*
,xx
.Ta ký hiệu
 
,

Bx
và
 
,

Bx

tương ứng là các hình cầu mở và đóng trong
X
với tâm
x
, bán kính

. Với một tập
AX
, ta ký hiệu phần trong, phần trong tương đối, bao
đóng, bao lồi, bao affin của
A
được ký hiệu tương ứng là:
int A
,
riA
,
,A

coA
,
affA
. Nếu
A
là tập con của
*
X
thì bao đóng yếu
*
được ký hiệu là:
*

w
.A


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

17
Hàm chỉ:
 
:

  
A
X
được ký hiệu bởi:

 
0, nÕu ,
:
, nÕu .
A
xA
x
xA





 


(1.2.6)
Hàm tựa

A
được định nghĩa bởi
 
*
sup , , .
A
xA
u u x u X




Nếu :

 
 
'
'
liminf


xx
f x f x
, với
xX
thì ta nói

f
là nửa liên tục dưới.
Bao nửa liên tục dưới của
f
được ký hiệu là
clf
được định nghĩa bởi:

   
epi cl cl epi .ff

Dưới vi phân của
f
tại
xX
được định nghĩa bởi:
 
   
 

      






* * *
: , , , nÕu ,
(1.2.7)

, nÕu .
x X x y x f y f x y X x domf
fx
x domf

Tổng quát hơn với bất kỳ
0


,


dưới vi phân của
f
tại
xX
được định
nghĩa bởi:
 
   
 



       







* * *
: , , , nÕu x domf,
(1.2.8)
, nÕu x domf.
x X x y x f y f x y X
fx

Nón pháp tuyến và nón


pháp tuyến của một tập lồi
A
tại
aA
được ký
hiệu là:
 
A
Na
và
 

A
Na
, được xác định bởi:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18

   
 
* * *
: , 0, ,
AA
N a a x X x x a x A

       


   
 
* * *
: , , .
AA
N a a x X x x a x A



       

Với bất kỳ
0


và
domxf
ta có:

 
*

 x f x
 
 
* * *
,

  f x f x x x


 
 
* * *
, , epi .x x x f x f

   
(1.2.9)
Nói riêng, ta có đẳng thức Young sau:

 
*
 x f x
 
 
* * *
, x x f x f x
.
Với bất kỳ hàm lồi nửa liên tục dưới chính thường

12
,ff
ta có:

* * * *
1 2 1 2 1 2
epi epif f f f f f    
. (1.2.10)
Giả sử
12
,ff
là các hàm lồi nửa liên tục dưới trên
X
. Tổng chập infimal của
1
f
và
2
f
, ký hiệu:
12
ff
, được định nghĩa bởi:

      
 
1 2 1 2
inf , .

    

aX
f f x f a f x a x X

Ta biết rằng nếu
12
dom domff  
thì
 
*
**
1 2 1 2
.f f f f
Hơn nữa ta có:

 
 
*
w
*
**
1 2 1 2
epi epif f f f 
và
 
*
w
*
**
1 2 1 2
epi epi epi .f f f f  

(1.2.11)
Bao đóng yếu
*
trong các đẳng thức trên có thể bỏ đi được nếu:

12
intdom dom .ff  
(xem [14]).
Bổ đề sau đây sẽ được sử dụng trong phần này:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19
Bổ đề 1.2.1. [13]
Giả sử
I
là tập chỉ số bất kỳ và
i
f
là hàm lồi nửa liên tục dưới chính
thường trên
X
. Giả sử
0
xX
sao cho
 
0
sup



i
iI
fx
. Khi đó,

*
*
w
*
i
epi supf co epi ,
i
iI
iI
f








trong đó
 
sup :

  
i

iI
fX
được xác định bởi:

   
sup x =sup , .





ii
i I i I
f f x x X

1.2.2. ĐẶC TRƯNG HÀM TỰA CỦA TẬP CHẤP NHẬN ĐƯỢC
Giả sử
Y
là không gian Banach với đối ngẫu tôpô
*
Y
,
SY
là nón lồi
đóng, nón đối ngẫu dương

S
được định nghĩa bởi:

 

* * *
: : , 0,

    S y Y y y y S
.
Ta xét thứ tự bộ phận sinh bởi
S
, ký hiệu
’’

s

’’
được định nghĩa như sau:

1
y

s
2 2 1
  y y y S
.
Giả sử
yY
. Ta ký hiệu {x: g(x) 
s
y} bởi [g 
s
y]. Hơn nữa, giả sử
**

.yY

Ta định nghĩa
*
,: y g X
như sau:

 
   
**
, , , .  y g x y g x x X


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
Ký hiệu
 
1
gS
được xác định bởi:

   
 
1
: : .

   g S x X g x S

Hàm

 
*
:   

hX
mà trên đồ thị của nó trùng với trên đồ thị của hàm
tựa của
 
1
gS
đóng một vai trò quan trọng trong việc đặc trưng tính chất
sai khác đối ngẫu 0 cho các bài toán qui hoạch lồi với tập ràng buộc
 
1
gS
.
Định nghĩa 1.2.1
Giả sử
: g X Y
là ánh xạ
S
- lồi, ta định nghĩa hàm
 
*
:   

hX

bởi:

 
 
 
*
*
* * *
inf , ,




yS
h x y g x

**
.xX

Khi đó từ Định nghĩa ta suy ra

h
là hàm lồi chính thường thuần nhất dương
trên
*
X
. Hơn nữa, với bất kỳ
 
1
**
, , .






gS
y S y g
Vì vậy,

 
 
 
 
1
*
* * * * * *
, , X .




gS
x y g x x

Như vậy
 
.

h
là hàm trội của hàm tựa của
 

1
gS
theo nghĩa:

 
 
 
   
1
*
*
* * * * * * *
inf , , .





  

gS
yS
x y g x h x x X
(1.2.12)

Định lý 1.2.1
Giả sử
: g X Y
là ánh xạ
S

- lồi liên tục với
 
1
gS

  
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21
Khi đó,
 
*
1
*
epi epi .
w
gS
h






Chứng minh
Trước hết ta chú ý rằng từ (1.2.12) suy ra:
 
1

*
epi epi
gS
h





.
Bởi vì
 
1
*
epi
gS



là một tập con
*
w
- đóng của
*
 X
, ta suy ra:

 
*
1

*
epi epi .
w
gS
h





(1.2.13)
Mặt khác, bởi vì:
 
1
*
*
sup ,






gS
yS
yg
, cho nên từ Bổ đề 1.2.1 ta suy ra:

 
 

*
1
*
w
*
**
epi co epi , .
gS
yS
yg








Chú ý rằng:
 
*+
*
*
epi epi ,
yS
h y g





và
epih

là một tập lồi, cho nên ta có:

 
 
*
*
1
*
w
w
*
**
epi co epi , epi .
gS
yS
h y g









Điều này cùng với (1.2.13) kéo theo:
 

*
1
*
epi epi .
w
gS
h







1.2.3. ĐẶC TRƯNG CỦA SỰ SAI KHÁC ĐỐI NGẪU 0 ỔN ĐỊNH
Trong phần này ta sẽ trình bày các đặc trưng đối ngẫu cho sự sai khác đối
ngẫu 0 ổn định cho bài toán quy hoạch lồi.
Giả sử
SY
là nón lồi đóng,
 
:   fX
là hàm lồi nửa liên tục
dưới chính thường,
: g X Y
là một ánh xạ
S
-lồi liên tục và
 
1

gS

  
.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

22
Ta định nghĩa
 
:    XY
bởi công thức:

   
,

  x y f x
[g 
s
y]

 
x

và
 
*
:


  X
bởi công thức:


   
**
* * * *
inf , .


  
yY
x x y

Khi đó,

 
 
 
* * * * *
,
, sup , , ,

     
x X y Y
x y x x y y x y


 


**
,
sup , ,


   
x X y Y
x x y y f x
[ g 
s
y ]
 

x


   
 
   
 
**
,
* * *
sup , ,
sup , , sup , .


   
    
x X q S

x X q S
x x y g x q f x
x x y g x f x y q

Do đó,

 
   
 
* * * +
* * *
*+
sup , , , nÕu ,
,
, nÕu .
xX
x x y g x f x y S
xy
yS


  

  


 

(1.2.14)
Cố định

**
xX
và
* 
yS
. Khi đó ta có:

 
   
 
* * * * *
, sup , ,

    
xX
x y x x y g x f x