góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình

Lời cảm ơn
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Phơng pháp
dạy học toán, khoa Toán, trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ và có những ý kiến
đóng góp quý báu trong quá trình su tầm t liệu, soạn thảo đề cơng và hoàn
thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã quan tâm, động
viên và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn.
Đặc biệt, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Chu Trọng
Thanh, ngời đã trực tiếp hớng dẫn, chỉ bảo tận tình trong quá trình làm
luận văn, để tác giả hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ của mình.

Vinh, ngày 20 tháng 12 năm 2007
Tác giả
Chu Hơng Ly
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nớc
và bắt kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành
giáo dục và đào tạo phải đổi mới phơng pháp dạy học một cách mạnh mẽ
nhằm đào tạo những con ngời có đầy đủ phẩm chất của ngời lao động trong
nền sản xuất tự động hóa nh: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có
tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải
pháp tối u khi giải quyết công việc.
Những định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã đợc thể hiện trong
các Nghị quyết hội nghị nh: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH trung ơng
Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo
1
phải hớng vào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có năng
lực giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện
mục tiêu lớn của đất nớc.
Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH

TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra:"Phải đổi mới ph-
ơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nếp t
duy sáng tạo của ngời học. Từng bớc áp dụng những phơng pháp tiên tiến và
phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu".
Điều 24, luật giáo dục (1998) quy định:" Phơng pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, t duy sáng tạo của học
sinh, , bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho
học sinh".
Muốn đạt đợc điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện
trong quá trình dạy học là phát triển t duy thuật giải cho học sinh.
1.2. Hiện nay ở trờng phổ thông đã tiến hành giáo dục tin học. Tin học
đợc dạy tờng minh nh một nội dung và sử dụng máy tính điện tử nh công cụ
dạy học. Do đó vấn đề phát triển phát triển t duy thuật giải trong môn toán
giữ một vị trí quan trọng trong giáo dục tin học. Khẳng định này đợc thể hiện
rõ trong mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất cả mọi học sinh tốt nghiệp
trung học đều nắm đợc những yếu tố cơ bản của tin học với t cách là thành tố
của văn hóa phổ thông". "Góp phần hình thành ở học sinh những loại hình t
duy liên hệ mật thiết với việc sử dụng công nghệ thông tin nh t duy thuật
giải, t duy điều khiển, ", "Góp phần hình thành ở học sinh những phẩm chất
của ngời lao động trong nền sản xuất tự động hóa nh: tính kỷ luật, tính kế
hoạh hóa, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra, ".
1.3. Phát triển t duy thuật giải là mục đích của việc dạy học toán ở tr-
ờng phổ thông vì:
* T duy thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn
luyện các kỹ năng Toán học.
* T duy thuật giải phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí
tuệ (nh: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hóa, khái quát hóa, ) cũng
nh những phẩm chất trí tuệ (nh : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo).

2
* T duy thuật giải giúp học sinh hình dung đợc quá trình tự động hóa
diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con ngời, trong đó có lĩnh vực xử
lý thông tin. Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hóa,
góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trờng và xã hội.
1.4. Phát triển t duy thuật toán trong môn toán có ý nghĩa về nhiều mặt
và môn toán chứa đựng khả năng to lớn về phát triển t duy thuật giải, thế nh-
ng, t duy thuật giải cha đợc chú ý phát triển đúng mức ở nhà trờng phổ thông.
Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó
có thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dơng Vơng Minh: "Phát triển t duy
thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trờng phổ thông"
(1998). Luận án này đã xem xét việc phát triển t duy thuật giải cho học sinh
trong khi dạy các hệ thống số chứ cha đi sâu vào việc phát triển t duy thuật
giải cho học sinh trong khi dạy học nội dung phơng trình.
Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển t
duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung
lợng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển t duy thuật giải cho học
sinh trong khi dạy nội dung lợng giác 11.
1.5. Nội dung phơng trình là nội dung quan trọng và khó ở chơng trình
toán trung học phổ thông với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán, nhiều
quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiềm năng có thể
chuyển về một thuật giải. Đó là điều kiện thuận lợi nhằm phát triển t duy
thuật giải cho học sinh.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Góp phần phát triển t duy
thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số
nội dung phơng trình" làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề ra một số biện pháp phát triển
t duy thuật giải trong quá trình dạy học một số nội dung phơng trình nhằm
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trờng phổ thông.

3. Giả thuyết khoa học
Nếu trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy
học nội dung phơng trình, bất phơng trình nói riêng, giáo viên thực hiện theo
một quy trình dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải thì sẽ góp phần
nâng cao chất lợng dạy học toán ở trờng phổ thông.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
3
Để đạt đợc mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi
khoa học sau:
4.1. T duy thuật giải là gì và vì sao nó cần đợc phát triển ở học sinh
trong môn Toán?
4.2. Tiến hành phát triển t duy thuật giải của học sinh trong môn toán
dựa trên những t tởng chủ đạo nào?
4.3. Có thể xây dựng quy trình dạy học phơng trình theo hớng phát
triển t duy thuật giải đợc không?
4.4. Để phát triển t duy thuật giải cho học sinh cần có những định hớng
s phạm nào?
4.5. Có thể đa ra thuật giải giải một số dạng phơng trình nhằm tập
luyện hoạt động t duy thuật giải cho học sinh đợc không?
4.6. Kết quả thực nghiệm nh thế nào?
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận
* Nghiên cứu các văn kiện Đảng và nhà nớc, của Bộ giáo dục đào tạo
có liên quan đến việc dạy và học Toán ở trờng phổ thông.
* Các sách báo, tạp chí có liên quan đến nội dung đề tài.
* Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề
tài (các luận văn, luận án, chuyên đề )
5.2. Nghiên cứu thực tiễn
* Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học
sinh trong quá trình dạy học nói chung, dạy học nội dung phơng trình nói

riêng.
* Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm
và đối chứng trên cùng một lớp đối tợng.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm t duy thuật
giải và vai trò vị trí của việc phát triển t duy thuật giải trong dạy học toán.
6.2. Xây dựng đợc các quy trình dạy học theo hớng phát triển t duy
thuật giải cho học sinh.
6.3. Xác định đợc một số định hớng s phạm phát triển t duy thuật giải
cho học sinh.
6.4. Khai thác đợc một số dạng phơng trình có thể giúp học sinh xây
dựng đợc thuật giải.
4
6.5. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán
trung học phổ thông.
7. Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo gồm có 3
chơng.
Chơng 1. T duy thuật giải và vấn đề phát triển t duy thuật giải cho học
sinh phổ thông.
1.1. Cơ sở lý luận.
1.2. Khái niệm thuật toán.
1.3. Khái niệm t duy thuật giải.
1.4. Vấn đề phát triển t duy thuật giải trong dạy học Toán.
Chơng 2. Một số định hớng s phạm góp phần phát triển t duy thuật giải
cho học sinh trung học phổ thông khi dạy một số nội dung phơng trình.
2.1. Các nguyên tắc dạy học theo hớng phát triển t duy thuật giải.
2.2. Một số định hớng phát triển t duy thuật giải thông qua dạy học nội
dung phơng trình.
2.3. Hớng dẫn học sinh xây dựng thuật giải cho một số dạng phơng

trình.
www.vnmath.com
Chơng 1
T duy thuật giải và vấn đề phát triển t duy
thuật giải cho học sinh thông qua môn Toán
1.1. Cơ sở lý luận
1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học
5
Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt
động giao lu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học
tập là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đa
thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đa thông tin ra và điều
phối. Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình.
Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học
sinh học tập một cách tự giác, tích cực.
Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động
liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho
học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt
động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến
hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ.
Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định,
đặc biệt là tri thức phơng pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá
trình hoạt động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện đợc ở một mức độ
nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần
phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc
chỉ đạo quá trình dạy học. Trên cơ sở việc phân tích trên về phơng pháp dạy
học theo quan điểm hoạt động. Luận văn đợc nghiên cứu trong khuôn khổ
của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học. Nội
dung của quan điểm này đợc thể hiện một cách tóm tắt qua những t tởng chủ
đạo sau:

* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động t-
ơng thích với nội dung và mục đích dạy học.
* Hớng đích và gợi động cơ cho các hoạt động.
* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phơng pháp, nh phơng
tiện và kết quả của hoạt động.
* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học.
1.1.2. Một số quan điểm khác
Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên
cứu nhng cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến
tạo bởi vì các quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với
quan điểm của lý thuyết hoạt động. Theo lý thuyết tình huống thì học là sự
thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) đối với một môi trờng sản sinh ra
những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng.
6
Một tình huống thờng liên hệ với những quy trình hành động. Một yếu
tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy
trình giải quyết vấn đề của học sinh. Do đó trong quá trình dạy học ta cần
soạn thảo ra tình huống tơng ứng với tri thức cần dạy (tình huống cho tri thức
đó một nghĩa đúng). Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh. Học sinh
tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tơng tác với môi trờng.
Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của ngời học.
Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi
sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo đợc kiến thức, đồng thời
phát triển đợc trí tuệ và nhân cách của mình.
Nh vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống
và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phơng pháp dạy học phát triển t
duy thuật giải cho học sinh.
1.2. Khái niệm thuật toán
Khái niệm t duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán.
Do đó trớc khi đa ra khái niệm t duy thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niệm

thuật toán.
1.2.1. Nghiên cứu khái niệm thuật toán
a. Khái niệm bài toán
Trong tin học, ngời ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn
máy tính thực hiện. Những việc nh đa một dòng chữ ra màn hình, giải phơng
trình bậc hai, quản lý cán bộ của một cơ quan là những ví dụ về bài toán.
Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đa vào
máy thông tin gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output). Do đó để phát biểu
một bài toán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối
quan hệ giữa Input và Output.
Ví dụ 1: Bài toán tìm ớc chung lớn nhất của hai số nguyên dơng.
Input: Hai số nguyên dơng M và N.
Output: ớc chung lớn nhất của M và N.
Ví dụ 2: Bài toán tìm nghiệm của phơng trình bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Input: Các số thực a, b, c. (a

0)
Output: Tất cả các số thực x thỏa mãn: ax
2
+ bx + c = 0
ở đây Output có thể là một hoặc hai số thực hoặc câu trả lời không có
số thực nào nh vậy.
7
Qua các ví dụ trên, ta thấy các bài toán đợc cấu tạo bởi hai thành
phần cơ bản:
Input: Các thông tin đã có.

Output: Các thông tin cần tìm từ Input.
b. Khái niệm thuật toán
Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trớc và Output cần tìm.
Vấn đề là làm thế nào để tìm ra Output.
Việc chỉ ra tờng minh một cách tìm Output của bài toán đợc gọi là một
thuật toán (algorithm) giải bài toán đó. Có nhiều định nghĩa khác nhau về
thuật toán. Dựa vào sự phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật toán nh sau:
Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác đợc
sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy,
từ Input của bài toán, ta nhận đợc Output cần tìm.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên.
+ Xác định bài toán.
+ Input: Số nguyên dơng N và dãy N số nguyên a
1
, a
2
, a
n
.
+ Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số.
* ý tởng: - Khởi tạo giá trị Max = a
1
.
- Lần lợt với i từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng a
i
với
giá trị Max, nếu a
i
> Max thì Max nhận giá trị mới là a
i

.
* Thuật toán: Thuật toán giải bài toán này có thể đợc mô tả theo cách
liệt kê nh sau:
Bớc 1: Nhập N và dãy a
1
, a
2
, ,a
n
.
Bớc 2: Max = a
i
; i: = 2
Bớc 3: Nếu i > N thì đa ra giá trị Max rồi kết thúc.
Bớc 4: + Bớc 4.1. Nếu a
i
> Max thì Max: = a
i
+ Bớc 4.2. Nếu i: = i + 1 rồi quay lại bớc 3.
Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau:
* Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực
hiện các thao tác.
* Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán
kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để đợc thực hiện tiếp theo.
* Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận đợc Output cần
tìm.
Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đã xét:
8
* Tính dừng: Vì giá trị của i mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau N
lần thì i > N, khi đó kết quả của phép so sánh ở bớc 3 xác định việc đa ra giá

trị Max rồi kết thúc.
* Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bớc của thuật toán đợc mặc định
là tuần tự nên sau bớc 1 là bớc 2, sau bớc 2 là bớc 3. Kết quả các bớc so sánh
trong bớc 3 và bớc 4 đều xác định duy nhất bớc tiếp theo cần thực hiện.
* Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy
số và thực hiện Max: = a
i
nếu a
i
> Max nên sau khi so sánh hết N số hạng của
dãy thì Max là giá trị lớn nhất.
Ví dụ: Tính tổng các số nguyên dơng lẻ trong khoảng từ 1 đến n.
- Xác định bài toán:
+ Input: N là số nguyên dơng lẻ.
+ Output: Tổng các số nguyên dơng lẻ từ 1 đến n.
* Thuật toán tính tổng các số nguyên dơng lẻ từ 1 đến N nh sau:
Bớc 1: Hỏi giá trị của N.
Bớc 2: S: = 0
Bớc 3: i = 1.
Bớc 4: Nếu i = N+1 thì sang bớc 8, ngợc lại sang bớc 5.
Bớc 5: Cộng thêm i vào S.
Bớc 6: Cộng thêm 2 vào i.
Bớc 7: Quay lại bớc 4.
Bớc 8: Tổng cần tìm chính là S.
Ta chú ý đến bớc 4. ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i
vợt quá N. Thay vì viết "nếu i lớn hơn N" thì ta viết điều kiện "i = N+1"
không phải lúc nào cũng đạt đợc. Vì ban đầu i là một số lẻ, sau mỗi bớc i lại
đợc tăng thêm 2 đơn vị nên i luôn luôn là số lẻ. Nếu N là số chẵn thì N + 1 là số
lẻ nên sau một số bớc nhất định, i sẽ bằng N + 1. Tuy nhiên, nếu N là số lẻ
thì N + 1 là số chẵn, do i là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bớc đi chăng nữa, i

vẫn khác N + 1. Trong trờng hợp đó, thuật toán trên bị quẩn (hay vi phạm
tính dừng).
Tính "đúng" là một tính chất khá hiển nhiên nhng là tính chất khó đạt
tới nhất. Thật vậy, khi giải quyết một số vấn đề bài toán, ta luôn mong muốn
lời giải của mình sẽ cho kết quả đúng nhng không phải lúc nào cũng đạt đợc.
Mọi học sinh khi làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số
đúng, nhng trên thực tế, trong lớp chỉ có một số học sinh nhất định là có khả
năng đa ra lời giải đúng.
1.2.2. Các đặc trng của thuật toán
9
1. Tính đơn trị
Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn
trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác
trên cùng một đối tợng thì phải cho cùng kết quả.
Ví dụ: Quy trình 4 bớc để giải một bài toán.
Bớc 1. Tìm hiểu nội dung bài toán.
Bớc 2. Tìm đờng lối giải toán.
Bớc 3. Thực hiện chơng trình giải toán.
Bớc 4. Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải.
Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm.
Chẳng hạn bớc 1, bớc 2, bớc 3, bớc 4 không đợc xác định vì ngời ta có thể
hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau.
Từ tính đơn trị, ta cũng thấy đợc tính hình thức hóa của thuật toán. Bất
kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết
quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này. Tính chất này
hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực
hiện thuật giải, làm một số công việc thay thế cho con ngời.
2. Tính hiệu quả
Tính hiệu quả của thuật toán đợc đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn
nh: khối lợng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán đợc thực hiện.

Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa
cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế. Có rất nhiều phơng pháp để
đánh giá tính hiệu quả của thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu
chuẩn đợc dùng rộng rãi.
3. Tính tổng quát
Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng đợc cho mọi tr-
ờng hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng đợc cho một số trờng hợp
riêng lẻ nào đó. Chẳng hạn thuật toán giải phơng trình bậc hai sau đây bằng
Delta đảm bảo đợc tính chất này vì nó luôn luôn giải đợc với mọi giá trị số
thực a, b, c bất kỳ. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo đợc
tính tổng quát. Trong thực tế, có lúc ngời ta chỉ xây dựng thuật toán cho một
dạng đặc trng của bài toán mà thôi.
Ví dụ: Thuật toán giải phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
1. Cho biết giá trị ba hệ số a, b, c.
2. Nếu a = 0 thì:
2.1. Yêu cầu bài toán không đảm bảo.
10
2.2. Kết thúc thuật toán.
3. Nếu a

0 thì:
3.1. Tính giá trị = b
2
- 4ac
3.2. Nếu > 0 thì:
3.2.1. Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x

1
, x
2
.
3.2.2. Giá trị của hai nghiệm tính theo công thức:
a
b
x
2
1

=
,
a
b
x
2
2
+
=
3.2.3. Kết thúc thuật toán.
3.3. Nếu = 0.
3.3.1. Phơng trình có nghiệm kép x
0
3.3.2. Giá trị của nghiệm kép là
a
b
x
2
0

=

3.3.3. Kết thúc thuật toán.
3.4. Nếu < 0 thì:
3.4.1. Phơng trình vô nghiệm.
3.4.2. Kết thúc thuật toán.
1.2.3. Các phơng pháp biểu diễn thuật toán
Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thờng dùng
những ngôn ngữ toán học nh: "ta có", "điều phải chứng minh","giả thiết",
và sử dụng các phép suy luận toán học nh phép kéo theo, phép tơng đơng,
Thuật toán là một phơng pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng
phải tuân theo một số quy tắc nhất định. Để có thể truyền đạt thuật toán cho
ngời khác hay chuyển thuật toán thành chơng trình máy tính, ta phải có ph-
ơng pháp biểu diễn thuật toán. Có 4 phơng pháp biểu diễn thuật toán.
1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.
2. Dùng lu đồ - sơ đồ khối.
3. Dùng ngôn ngữ phỏng trình.
4. Dùng ngôn ngữ lập trình.
1. Ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học.
Trong cách biểu diễn thuật toán theo ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ
toán học, ngời ta sử dụng ngôn ngữ thờng ngày và ngôn ngữ toán học để liệt
kê các bớc của thuật toán. Các thuật toán ở mục 1 đều đợc viết dới dạng ngôn
ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học. Phơng pháp biểu diễn này không yêu cầu
11
ngời viết thuật toán cũng nh ngời đọc thuật toán phải nắm các quy tắc. Tuy
vậy, cách biểu diễn này thờng dài dòng, không thể hiện rõ cấu trúc thuật
toán, đôi lúc gây hiểu nhầm hoặc khó hiểu cho ngời đọc. Ta xét thêm ví dụ
sau:
Ví dụ 1: Thuật toán xét dấu các nghiệm của phơng trình bậc hai:
ax

2
+ bx + c = 0 (với giả thiết abc

0)
Bớc 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bớc 2: Kiểm tra điều kiện ac < 0.
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 3.
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 4.
Bớc 3: Kết luận: Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
Chuyển sang bớc 14.
Bớc 4: Tính = b
2
- 4ac.
Bớc 5: Kiểm tra điều kiện > 0.
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 9.
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 6.
Bớc 6: Kiểm tra điều kiện ab > 0.
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 7.
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 8.
Bớc 7: Kết luận: Phơng trình có 2 nghiệm dơng.
Chuyển sang bớc 14.
Bớc 8: Kết luận: Phơng trình có 2 nghiệm âm.
Chuyển sang bớc 14.
Bớc 9: kiểm tra điều kiện = 0
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 10.
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 13.
Bớc 10. Kiểm tra điều kiện ab > 0.
+ Nếu điều kiện đúng thì chuyển sang bớc 11.
+ Nếu điều kiện sai thì chuyển sang bớc 12.
Bớc 12. Kết luận: Phơng trình có nghiệm kép dơng.

Chuyển sang bớc 14.
Bớc 12. Kết luận: phơng trình có nghiệm kép âm.
Chuyển sang bớc 14.
Bớc 13: Kết luận: phơng trình vô nghiệm.
12
Bớc 14: Kết thúc.
2. Lu đồ - Sơ đồ khối.
Lu đồ hay sơ đồ khối là một công cụ trực quan để diễn đạt các thuật
toán. Biểu diễn thuật toán bằng lu đồ sẽ giúp ngời đọc theo dõi đợc sự phân
cấp các trờng hợp và quá trình xử lý của thuật toán. Phơng pháp lu đồ thờng
đợc dùng trong những thuật toán có tính rắc rối, khó theo dõi đợc quá trình
xử lý.
Để biểu diễn thuật toán theo sơ đồ khối, ta phải phân biệt hai loại thao
tác: thao tác lựa chọn và thao tác hành động.
* Thao tác lựa chọn.
Thao tác lựa chọn đợc biểu diễn bằng một hình thoi, bên trong chứa
biểu thức điều kiện:
* Thao tác xử lý đợc biểu diễn bằng một hình chữ nhật, bên trong chứa
nội dung xử lý.
* Đờng đi.
Trong ngôn ngữ lu đồ, do thể hiện các bớc bằng hình vẽ và có thể đặt
các hình vẽ này ở vị trí bất kỳ nên ta phải có phơng pháp để hiện trình tự thực
hiện các thao tác.

Hai bớc kế tiếp nhau đợc nối bằng một mũi tên chỉ hớng thực hiện.
Từ thao tác chọn lựa có thể có hai hớng đi, một hớng ứng với điều kiện
đúng, một hớng ứng với điều kiện sai.
a =
b
= 0

Tăng i lên
Chọn 1 hộp bất kỳ
13
Tăng i lên 1
B ớc 1
B ớc 3
B ớc 2
* Điểm cuối.
Điểm cuối là điểm khởi đầu và kết thúc của thuật toán, đợc biểu diễn
nh sau:
(Có thể thay chữ bắt đầu bởi Star/Begin) (Có thể thay chữ kết thúc bởi End)
Ngoài ra còn có điểm nối, điểm nối sang trang dùng cho thuật toán có
lu đồ lớn.
Ví dụ: Lu đồ thuật toán giải phơng trình bậc hai.
Đ
Bắt đầu Kết thúc
14
> 0 = 0
S
Có 2 nghiệm phân biệt
B¾t ®Çu
Hái gi¸ trÞ a, b , c
0〉∆
0=∆
Cã 2 nghiÖm
ph©n biÖt ,
Cã nghiÖm kÐp V« nghiÖm
x=-b/2a
KÕt thóc
S

S
§ §
∆ = b
2
- 4ac
a
b
x
2
2,1
∆±
=
15
Lu đồ mô tả thuật toán một cách trực quan nhng lại rất cồng kềnh khi
phải mô tả những thuật toán phức tạp. Một phơng pháp khác để biểu diễn
thuật toán khắc phục nhợc điểm ấy là ngôn ngữ phỏng trình.
3. Ngôn ngữ phỏng trình
Tuy sơ đồ khối thể hiện rõ quá trình xử lý và sự phân cấp các trờng hợp
của thuật toán nhng lại cồng kềnh. Để mô tả thuật toán nhỏ ta phải dùng một
không gian rất lớn. Hơn nữa, lu đồ chỉ phân biệt hai thao tác là rẽ nhánh (lựa
chọn có điều kiện) và xử lý mà trong trực tế, các thuật toán còn có các lặp.
Biểu diễn thuật toán bằng ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn sự
vay mợn các cú pháp của một ngôn ngữ lập trình nào đó (Pascal, Basic, C, C+
+, ) để thể hiện thuật toán. Ngôn ngữ phỏng trình đơn giản, gần gũi với mọi
ngời, dễ học vì nó sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và cha quá sa đà vào những quy
ớc chi tiết. Mặt khác, nó cũng dễ chuyển sang những ngôn ngữ cho máy tính
điện tử vì đã sử dụng một cấu trúc và ký hiệu chuẩn hóa.
Ví dụ: Biểu diễn thuật toán giải phơng trình bậc hai bằng ngôn ngữ
phỏng trình.
Begin.

If Delta > 0 then begin.
x
1
= (-b-sqrt(delta))/(2*a)
x
2
= (-b + sqrt (delta))/(2*a).
inra: phơng trình có 2 nghiệm là x
1
, x
2
.
End.
Else.
If Delta = 0 then.
Inra: phơng trình có nghiệm kép là
a
b
x
*2
=
Else (trờng hợp Delta < 0)
Inra: phơng trình vô nghiệm.
End.
Trên đây, ta đã chỉ ra 3 cách để biểu diễn một thuật toán. Trong trờng
hợp thuật toán viết bằng ngôn ngữ máy tính, ta có một chơng trình.
4. Ngôn ngữ lập trình.
Có nhiều ngôn ngữ lập trình nh Pascal, Basic, C, C++, Sau đây là ví
dụ dùng ngôn ngữ lập trình Pascal để biểu diễn thuật toán giải phơng trình
bậc hai:

16
Ví dụ. Tìm nghiệm thực của phơng trình bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0, (a

0)
Input: Các hệ số a, b, c nhập từ bàn phím.
Outpt: Đa ra màn hình các nghiệm thực hoặc thông báo Phơng trình
vô nghiệm.
Thuật toán: Thuật toán giải phơng trình bậc hai bằng ngôn ngữ lập
trình Pascal.
Program Giai-pt bậc hai;
Uses Crt;
Var a , b, c : real;
, x
1
, x
2
: real;
Begin
Clrscr;
Write (a, b, c: );
Readln (a, b, c) ;
= b * b 4 * a * c ;
if < 0 then Writeln (Phơng trình vô nghiệm)
Else
Begin
x1 = ( - b sqrt (

))/(2 * a);
x1 = ( - b + sqrt (

))/(2 * a);
Witeln ( x
1
=, x
1
: 8:3 , x
2
= , x
2
: 8:3);
End;
Readln
End.
1.2.4. Độ phức tạp của thuật toán
Trong thực tế có nhiều thuật toán, về mặt lý thuyết là kết thúc sau hữu
hạn bớc, tuy nhiên thời gian "hữu hạn" đó vợt quá khả năng làm việc của
chúng ta. Do đó để đánh giá tính hiệu quả của một thuật toán, chúng ta phải
chú ý đến độ phức tạp của các thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán có thể
đo bằng không gian, tức là dung lợng bộ nhớ của máy tính cần thiết để thực
hiện thuật toán; và bằng thời gian, tức là thời gian máy tính làm việc. Trong
luận văn này, khi nói đến độ phức tạp của thuật toán ta luôn hiểu là độ phức
17
tạp thời gian. Độ phức tạp của thuật toán chính là cơ sở để phân loại bài toán
giải đợc hay không giải đợc.
1.3. Khái niệm t duy thuật giải
1.3.1. Khái niệm thuật giải
Trong quá trình nghiên cứu giải quyết các vấn đề - bài toán, ngời ta đã

đa ra nhận xét sau:
+ Có nhiều bài toán cho đến nay vẫn cha tìm ra một cách giải theo
kiểu thuật toán và cũng không biết có tồn tại thuật toán hay không.
+ Có nhiều bài toán đã có thuật toán để giải nhng không chấp nhận đ-
ợc vì thời gian giải theo thuật toán đó quá lớn hoặc các điều kiện cho thuật
toán đó khó đáp ứng.
+ Có những bài toán đợc giải theo những cách giải vi phạm thuật toán
nhng vẫn chấp nhận đợc.
Từ những nhận định trên, ngời ta thấy rằng cần phải có những đổi mới
cho khái niệm thuật toán. Ngời ta đã mở rộng hai tiêu chuẩn của thuật toán:
tính xác định và tính đúng đắn. Việc mở rộng tính xác định đối với thuật toán
đợc thể hiện qua các thuật giải đệ quy và ngẫu nhiên. Tính đúng của thuật
toán không còn bắt buộc đối với một số cách giải bài toán, nhất là cách giải
gần đúng. Trong thực tế, có nhiều trờng hợp ngời ta chấp nhận các cách giải
thờng cho kết quả tốt (nhng không phải lúc nào cũng tốt) nhng ít phức tạp và
hiệu quả. Chẳng hạn, nếu giải một bài toán bằng thuật toán tối u đòi hỏi máy
tính thực hiện trong vòng nhiều năm thì chúng ta có thể chấp nhận một giải
pháp gần tối u mà chỉ cần máy tính chạy trong vài ngày hoặc vài giờ.
Các cách giải chấp nhận đợc nhng không hoàn toàn đáp ứng đầy đủ
các tiêu chuẩn của thuật toán thờng đợc gọi là các thuật giải. Khái niệm mở
rộng này của thuật toán đã mở rộng cho chúng ta trong việc tìm kiếm phơng
pháp để giải quyết các bài toán đợc đặt ra. Ngoài việc mở rộng tính đúng của
thuật toán, thuật giải có tất cả các tính chất khác của thuật toán. Nó cũng có
các hình thức biểu diễn phong phú nh thuật toán. Tuy nhiên, đối với một cơ
cấu nhất định chỉ tơng ứng với một hình thức biểu diễn nhất định. Đặc biệt
trong dạy học cần chú ý lựa chọn phơng tiện biểu diễn phù hợp với trình độ
và kiến thức hiện có của học sinh. Sự hiểu biết về thuật giải, các tính chất và
phơng tiện biểu diễn nó phản ánh trình độ văn hóa thuật giải. Ngôn ngữ lập
trình là bớc phát triển cao của văn hóa thuật giải.
1.3.2. Khái niệm t duy thuật giải

18
T duy toán học là hình thức biểu lộ của t duy biện chứng trong quá
trình con ngời nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức áp dụng
toán học vào các khoa học khác. Nh vậy, t duy toán học là t duy biện chứng.
T duy thuật giải là một loại hình thức t duy toán học. Nó là phơng thức
t duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:
T
1
: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với
một thuật giải.
T
2
: Phân tích một quá trình thành những thao tác đợc thực hiện theo
những trình tự xác định.
T
3
: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tợng riêng lẻ
thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tợng.
T
4
: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
T
5
: Phát hiện thuật giải tối u để giải quyết bài toán.
Trong đó, (T
1
) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T
2
- T
5

) thể hiện
năng lực xây dựng thuật giải.
Khái niệm t duy thuật giải đợc xác định nh trên là hoàn toàn phù hợp
với những kết quả nghiên cứu về hình thành văn hóa thuật giải. Trong [38]
tác giả Monakhôp đã nêu lên những thành phần của văn hóa thuật giải bao
gồm:
- Hiểu bản chất của thuật giải và những tính chất của nó; hiểu bản chất
ngôn ngữ là phơng tiện biểu diễn thuật giải.
- Nắm vững các phơng pháp và các phơng tiện biểu diễn thuật giải.
- Hiểu tính chất thuật giải của các phơng pháp toán học và các ứng
dụng của chúng; nắm vững các thuật giải của giáo trình toán phổ thông.
- Hiểu những cơ sở sơ cấp về lập trình cho máy tính điện tử.
Nh vậy, phát triển t duy thuật giải là một điều kiện cần thiết góp phần
hình thành và phát triển văn hóa thuật giải cho học sinh.
Từ khái niệm về t duy thuật giải ta thấy rằng để phát triển t duy thuật
giải cho học sinh trong dạy học toán, giáo viên phải tổ chức, điều khiển các
hoạt động t duy thuật giải. Thông qua hoạt động đó giúp học sinh nắm vững,
củng cố các quy tắc đồng thời phát triển t duy thuật giải cho học sinh. Sau
đây là một số ví dụ về phát triển t duy thuật giải trong môn toán khi dạy nội
dung phơng trình ở trờng phổ thông.
1.3.3. Một số ví dụ dạy học phát triển t duy thuật giải khi dạy nội
dung phơng trình
Ví dụ 1.
19
ở chơng trình toán lớp 9, ngay sau khi dạy xong quy tắc giải phơng
trình bậc hai: ax
2
+bx +c = 0, (a

0), giáo viên có thể cho học sinh nêu các

bớc giải phơng trình bậc hai nh sau:
Bớc 1: Xác định các hệ số a, b, c.
Bớc 2: Tính biệt thức. = b
2
- 4ac.
Bớc 3: Xét dấu
+ Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
b
2


+ Nếu > 0 thì phơng trình có 2 nghiệm






+
=

=
a
b

x
a
b
x
2
2
2
1

Bớc 4: Trả lời.
Hoạt động này nhằm mục đích tập luyện các hoạt động (T
2
) và (T
4
) của
t duy thuật giải cho học sinh.
Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau.
Bài tập: áp dụng quy tắc giải phơng trình bậc hai, hãy giải các phơng
trình sau:
a. 2x
2
- 3x + 5 = 0
b. - 4x
2
+ 20x - 25 = 0
c.
064
2
3
2

=+ xx
Mục đích của bài tập này là yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động (T
1
).
Do đó cần hớng dẫn các em thực hiện đúng theo trình tự các bớc đã nêu trong
quy tắc. Có thể dùng một phần bảng trình bày quy tắc giải phơng trình, phần
bảng còn lại trình bày lời giải phù hợp với từng quy tắc. Tiến hành nhất quán
nh vậy trong một thời gian nhất định sẽ hình thành ở học sinh quy tắc giải
phơng trình bậc hai, đồng thời phát triển ở các em năng lực thực hiện thuật
giải.
Ví dụ 2.
Khi dạy luyện tập giải phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx ta có
thể đa ra cho học sinh thêm bài tập sau:
20
Bài tập 1.
Giải phơng trình:
1cos2cossin3sin
22
=+
xxxx
Đứng trớc bài toán này học sinh phải biết các công thức nhân đôi và
công thức hạ bậc, từ đó áp dụng các công thức này để biến đổi. Ta có thể h-
ớng dẫn học sinh giải bài toán này theo các bớc sau:
Bớc 1. Tính sin
2
x, cos
2
x theo cos2x.
2
2cos1

sin
2
x
x

=
,
2
2cos1
cos
2
x
x
+
=
và sinxcosx theo sin2x.
sinxcosx=
x2sin
2
1
Bớc 2. Biến đổi đa phơng trình về phơng trình bậc nhất đối với sin 2x
và cos2x dạng: Asin2x + Bcos2x = C
Bớc 3. Giải phơng trình: Asin2x + Bcos2x = C
Bài tập 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số:
2cossin
1cos2sin
++
++
=
xx

xx
y

Với bài toán này, học sinh phải nắm đợc sơ lợc khái niệm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Biết cách tìm điều kiện để hàm số có nghĩa
và cách tìm điều kiện để phơng trình bậc nhất đối với sinx, cosx có nghiệm.
Ta có thể hớng dẫn học sinh giải bài toán trên theo các bớc sau:
Bớc 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bớc 2. Thực hiện phép quy đồng và biến đổi đa biểu thức về dạng
asinx + bcosx = c.
Bớc 3. Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm: a
2
+ b
2


c
2
Bớc 4. Đa ra bất đẳng thức:
Mym

. Từ đó kết luận Maxy, Miny.
Một điều cần lu ý là khi phân tích bài toán để học sinh định hớng ph-
ơng pháp giải, chúng ta cần cố gắng phân tích làm nổi lên những tri thức ph-
ơng pháp tiến hành hoạt động này. Sự phân tích trên đây có ý làm nổi bật tri
thức phơng pháp: quy lạ về quen.
Ví dụ 3.
Dạy học sinh quy tắc giải phơng trình: ax + b = 0.
Để hình thành quy tắc giải phơng trình: ax + b = 0, giáo viên có thể
yêu cầu học sinh giải bài tập sau:

Bài tập 1:
21
a. Giải các phơng trình sau:
5x - 2 = 0; -2x + 3 = 0; 0x + 3 = 0; 0x - 0 = 0
b. Xây dựng và phát biểu quy tắc giải phơng trình tổng quát ax + b = 0
với a, b bất kỳ.
Hớng dẫn: Lọai bài toán này nhằm mục đích chính là cho học sinh tập
luyện hoạt động (T
3
). Mục đích này thể hiện ở câu (b), nhng câu (a) là bớc
chuẩn bị, là cơ sở để giải câu (b).
Học sinh sẽ không khó khăn lắm khi giải câu (a), nhng sẽ gặp lúng
túng khi giải câu (b). Khi đó tùy thuộc diễn biến tình hình học sinh mà đặt ra
những câu hỏi gợi ý nh sau:
+ Về nghiệm của phơng trình: ax + b = 0 có thể chia thành mấy trờng
hợp, đó là những trờng hợp nào?
(Có 3 trờng hợp: có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm và vô nghiệm).
+ Điều kiện nào quyết định đến số nghiệm của phơng trình trong từng
trờng hợp?
(Có nghiệm duy nhất khi a

0, vô số nghiệm khi a = 0 và b = 0, vô
nghiệm khi a = 0, b

0)
+ Hãy nêu các bớc giải phơng trình: ax + b = 0 một cách tỉ mỉ?
Bớc 1: xác định a, b.
Bớc 2. Nếu a

0 thì phơng trình có nghiệm duy nhất

a
b
x
=
Nếu a = 0, b

0 thì phơng trình vô nghiệm.
Nếu a = 0, b = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.
Dạy học khái quát hóa nh trên đã dựa trên cơ sở xét đầy đủ các trờng
hợp riêng (nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm). Một phơng án khác
để dạy hoạt động này là trên cơ sở xuất phát từ một trờng hợp riêng. Trờng
hợp riêng này cần lựa chọn sao cho học sinh dễ mắc sai lầm khi khái quát
hóa từ đó. Lúc học sinh mắc sai lầm, giáo viên giúp học sinh tự sửa chữa sai
lầm là một tình huống s phạm tốt để lĩnh hội và phát triển tri thức. Theo ph-
ơng án đó thì có thể hình thành quy tắc giải phơng trình ax + b = 0 thông qua
bài tập sau:
Bài tập 2:
a. Giải các phơng trình sau:
4x - 3 = 0; - 2x - 3 = 0; 6x + 0 = 0.
22
b. Xây dựng và phát biểu quy tắc giải phơng trình tổng quát: ax + b = 0
(a, b bất kỳ).
Ví dụ 4 (Luyện tập hoạt động T
4
).
Để luyện khả năng mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động,
có thể cho học sinh giải những bài tập có dạng: "Biện luận theo m số nghiệm
của phơng trình:
mxx
=+

23
2
". Ngoài mục đích luyện tập hoạt động
(T
4
), bài toán còn tập luyện hoạt động trực quan cho học sinh. Do đó, học
sinh phải biết dùng ngôn ngữ của mình một cách hợp lý để mô tả quá trình
biện luận số nghiệm của phơng trình trên theo m. Quá trình này có thể mô tả
nh sau:
+ Bớc 1. Ta xem số nghiệm của phơng trình:
mxx
=+
23
2
là số
giao điểm của hai đồ thị:
23
2
+=
xxy
(C)
và y = m (d)
+ Bớc 2. Vẽ đồ thị (C)
* Vẽ đồ thị (C
1
)
23
2
+=
xxy

* Giữ nguyên phần đồ thị (C
n
) của (C
1
) ứng với





2
1
x
x
* Lấy đối xứng qua Ox phần còn lại của (C
1
) đợc (C
m
).
Khi đó đồ thị (C) là hợp của (C
n
) và (C
m
).
+ Bớc 3. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số giao điểm của đờng thẳng (d)
với đồ thị (C).
* Nếu m = 0

(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

phơng trình có 2
nghiệm phân biệt.
* Nếu 0 < m < 1/4

(d) cắt (C) tại 4 điểm

phơng trình có 4
nghiệm phân biệt.
* Nếu m =1/4

(d) cắt (C) tại 3 điểm

phơng trình có 3 nghiệm.
* Nếu m >1/4

(d) cắt (C) tại 2 điểm

phơng trình có 2 nghiệm.
Ví dụ 5:
Khi dạy nội dung phơng trình bất phơng trình quy về bậc hai, đối
với học sinh khá giỏi giáo viên có thể yêu cầu học sinh làm bài tập sau:
Bài tập: Giải các phơng trình sau:
23
a. 2x
4
+ 3x
3
- 16x
2

+ 3x + 2 = 0; b. x
4
- 2x
3
+ x
2
- 2x + 1 = 0;
c. x
4
+ x
3
- 4x
2
+ x + 1 = 0
Đứng trớc bài tập này, học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn bởi vì học
sinh mới chỉ gặp phơng trình bậc 4 trùng phơng. Giáo viên có thể hớng dẫn
học sinh giải bài tập bằng các câu hỏi định hớng sau đối với phơng trình (a).
+ Xét xem x = 0 có là nghiệm của phơng trình không?
+ Hãy chia cả hai vế của phơng trình cho x
2
0. Nêu đặc điểm của ph-
ơng trình mới nhận đợc?
Ta mong đợi học sinh trả lời:
(a)
0
23
1632
2
2
=+++

x
x
xx


016
1
3
1
2
2
2
=






++






+
x
x
x

x

Phơng trình mới có đặc điểm.
2
11
2
2
2







+=






+
x
x
x
x

+ Để giải phơng trình ta làm thế nào?
Ta mong đợi học sinh trả lời. Đặt

2
11
2
2
2
=++=
t
x
x
x
xt
Cuối cùng giáo viên cho học sinh tiếp tục giải phơng trình và các ph-
ơng trình còn lại. khi học sinh giải xong giáo viên có thể nêu câu hỏi nhằm
giúp học sinh giải bài toán tổng quát nh sau:
+ Hãy nêu đặc điểm các hệ số trong mỗi phơng trình?
Ta mong học sinh trả lời: phơng trình (a) các hệ số đối xứng qua hệ
số (-16), phơng trình (b) các hệ số đối xứng qua hệ số (1), phơng trình (c) các
hệ số đối xứng qua hệ số (- 4).
+ Từ đặc điểm đó hãy nêu phơng trình dạng tổng quát?
Ta mong đợi học sinh trả lời:
Phơng trình dạng tổng quát: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ bx + a = 0, với a 0.
+ Từ cách giải các phơng trình (a), (b), (c) hãy nêu thuật giải giải ph-
ơng trình trên?
Ta mong đợi học sinh trả lời:

Bớc 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm.
Bớc 2: Chia cả hai vế của phơng trình cho x
2
0 và biến đổi phơng
trình về dạng.
24
0
11
0
2
2
2
2
=+






++






+=++++
c
x

xb
x
xa
x
a
x
b
cbxax
Bớc 3: Đặt
2
11
2
2
2
=++=
t
x
x
x
xt
Bớc 4: Giải phơng trình: at
2
+ bt - 2a + c = 0, đợc nghiệm t
0
.
Bớc 5: Giải phơng trình:
0
1
t
x

x
=+
Bớc 6: Trả lời.
Thông qua dạy học sinh giải bài tập trên chúng ta đã tập luyện cho học
sinh hoạt động (T
3
), (T
2
) và (T
4
) của t duy thuật giải. Để củng cố các hoạt
động này, giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập sau:
Bài tập 2. Giải các phơng trình sau:
a. x
4
+ 3x
3
- 6x
2
- 3x + 1 = 0; b. 2x
4
+ x
3
+ 11x
2
- x + 2 = 0.
Bài tập 3. Hãy nêu bài toán tổng quát và thuật giải bài toán đó.
Ví dụ 6. (Tập luyện hoạt động T
5
)

Giải phơng trình: sin2x + 2tanx = 3.
Hớng dẫn: Bài toán này yêu cầu học sinh tập luyện hoạt động (T
5
). Tr-
ớc khi các em giải, cần hớng dẫn cho các em thấy trớc cách giải cha hợp lý, đó
là:
Điều kiện:


kx
+
2
phơng trình
3
cos
sin
22sin
=+
x
x
x
25