phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh thpt trong dạy học đại số và giải tích

mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nâng cao chất lợng dạy học nói chung, chất lợng dạy học môn
Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nớc ta
hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới
nội dung và phơng pháp dạy học. Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học đã
đợc chỉ rõ trong các văn bản có tính chất pháp quy của Nhà nớc và ngành
Giáo dục nớc ta. Có thể dẫn ra một vài văn bản đã đợc ban hành trong những
năm qua nh sau:
- Luật Giáo dục (1998) quy định: Phơng pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp
với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
- Dự thảo chơng trình (1989) môn Toán nêu rõ: Góp phần phát triển
năng lực trí tuệ, t duy trừu tợng và trí tởng tợng không gian, t duy biện chứng,
t duy hàm; đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy linh hoạt, độc lập,
sáng tạo.
Tuy nhận thức rõ đợc tầm quan trọng và định hớng đổi mới phơng pháp
đã đợc nêu ra ở trên nhng thực tế dạy học hiện nay vẫn còn chịu ảnh hởng
nhiều của quan niệm và phơng pháp dạy học xa cũ. Nhận định về vấn đề này
đã có không ít nhà nghiên cứu đa ra những ý kiến, đặt ra nhiều vấn đề cho
ngành Giáo dục và mỗi giáo viên suy nghĩ, tháo gỡ. Sau đây là một số ý kiến
nh vậy:
- ý kiến của GS. Hoàng Tụy: "Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện
trí nhớ dạy mẹo vặt để giải những bài toán oái ăm, giả tạo; chẳng giúp gì mấy
để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mỏi mệt và chán
chờng".
- ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: Kiến thức, t duy, tính cách con
ngời chính là mục tiêu của giáo dục. Thế nhng, hiện nay trong nhà trờng t duy
và tính cách bị chìm đi trong kiến thức".
1.2. Kiến thức và kỹ năng là hai mặt gắn bó hữu cơ trong mỗi nội dung

dạy học. Không thể nói đến vấn đề rèn luyện kỹ năng thực hiện một loại hoạt
động nào đó nếu không chú ý trang bị kiến thức về lĩnh vực đó một cách vững
chắc. Ngợc lại, việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt động trong mỗi lĩnh
vực có tác dụng củng cố và mở rộng kiến thức, giúp cho ngời học tìm thấy
1
những tác dụng to lớn của kiến thức học đợc trong việc giải quyết các tình
huống trong thực tiễn và trong khoa học.
Chủ đề phơng trình và bất phơng trình có vị trí quan trọng trong chơng
trình môn Toán THPT. Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt
từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về phơng trình và bất phơng trình
còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức
về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình học giải tích. Vì vậy bên
cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề phơng trình, bất phơng
trình một cách đầy đủ theo quy định của chơng trình, việc rèn luyện kỹ năng
giải phơng trình và bất phơng trình cho học sinh có ý nghĩa quan trọng trong
việc nâng cao chất lợng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở trờng THPT.
Kiến thức hàm số có vai trò quan trọng trong toàn bộ chơng trình môn
Toán phổ thông. Điều này đợc khẳng định không chỉ ở nớc ta mà còn đợc đề
cập đến trong nhiều ý kiến của các nhà khoa học nớc ngoài. Ta có thể thấy đợc
điều này qua các ý kiến đợc trích từ [16] sau đây:
- ý kiến của Kơlanh khi khởi xớng phong trào cải cách việc dạy học
Toán ở trờng phổ thông đầu thế kỷ XX đã đề nghị: Đa cái mới vào giáo trình
toán phổ thông, lấy t tởng hàm số và biến hình làm t tởng quan trọng nhất. -
Kiến nghị của Hội nghị Quốc tế về giáo dục quốc dân họp tại Giơnevơ (tháng 7
năm 1956) gửi các vị Bộ trởng Giáo dục các nớc nêu rõ: Nên xây dựng chơng
trình sao cho việc dạy Toán dựa trên các cơ sở hàm số
- ý kiến của GS. Papy tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học họp tại
Matxcơva (tháng 8 năm 1966) đề nghị: Chơng trình toán Trung học (cấp II và
II) phải bao gồm: Tập hợp, Quan hệ, Đồ thị, Nhóm, Không gian vectơ, Các
yếu tố của phép tính vi phân và tích phân.

ở Việt Nam, chơng trình môn Toán trong cải cách giáo dục và các chơng
trình đổi mới trong những năm gần đây đều chú trọng đến kiến thức hàm số.
Trong [24], GS. Nguyễn Bá Kim đã cho rằng "Đảm bảo vị trí trung tâm của khái
niệm hàm số" là một trong "những t tởng cơ bản" của chơng trình môn Toán bậc
THPT. Khi phân tích t tởng cơ bản này tác giả đã nhấn mạnh:
- Nghiên cứu hàm số đợc coi là nhiệm vụ xuyên suốt chơng trình bậc
Phổ thông Trung học;
- Phần lớn chơng trình Đại số và Giải tích dành cho việc trực tiếp
nghiên cứu hàm số và công cụ khảo sát hàm số;
- Cấp số cộng và cấp số nhân đợc nghiên cứu nh những hàm số đối số tự
nhiên;
2
- Lợng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lợng giác còn phần công
thức đợc giảm nhẹ;
Phơng trình và bất phơng trình đợc trình bày liên hệ chặt chẽ với hàm
số.
1.3. Gắn bó chặt chẽ với t tởng hàm số, t tởng biến hình, t tởng về sự t-
ơng ứng đơn trị giữa các tập hợp, các sự vật và hiện tợng là vấn đề t duy hàm.
Những đặc trng về t duy hàm đợc các tác giả Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Ch-
ơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dơng Thuỵ, Nguyễn Văn Thờng chỉ ra trong
[25]. Phát triển t duy hàm có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán, nó vừa là
yêu cầu của việc dạy học môn Toán, vừa là điều kiện để nâng cao chất lợng
dạy học nhiều tuyến kiến thức môn Toán. Việc dạy học các kiến thức môn
Toán đợc trình bày theo t tởng hàm số có tác dụng tốt trong việc phát triển t
duy hàm cho học sinh đồng thời có thể rèn luyện nhiều kỹ năng giải toán và
ứng dụng kiến thức toán cho học sinh trong sự kết hợp phát triển t duy hàm.
1.4. Có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng cao chất lợng
dạy học nội dung Phơng trình, bất phơng trình. Nhiều công trình nghiên cứu
về phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học các chủ đề kiến thức
cụ thể. Dựa trên những kết quả nghiên cứu đó, chúng tôi tập trung xét vấn đề

rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình cho học sinh trong sự phối hợp hữu cơ
với vấn đề phát triển t duy hàm.
Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: Phối hợp rèn luyện kỹ
năng giải toán phơng trình với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT
trong dạy học Đại số và Giải tích ".
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định mối quan hệ tơng hỗ giữa việc rèn luyện kỹ năng giải phơng
trình, bất phơng trình với việc phát triển t duy hàm cho học sinh trong dạy học
Đại số và Giải tích nhằm góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở tr-
ờng THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận về kỹ năng và quan điểm rèn luyện
kỹ năng toán học cho học sinh.
3.2. Hệ thống hoá các kỹ năng giải toán phơng trình, bất phơng trình
cần rèn luyện cho học sinh THPT.
3.3. Hệ thống hoá các thành tố của t duy hàm và quan điểm phát triển t
duy hàm cho học sinh trong dạy học toán.
3
3.4. Đề xuất quan điểm rèn luyện các kỹ năng giải toán phơng trình, bất
phơng trình trong sự phối hợp với việc phát triển t duy hàm cho học sinh
THPT thông qua dạy học Đại số và Giải tích.
3.5. Thực nghiệm s phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả áp dụng.
4. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở dạy học đúng chơng trình quy định, áp dụng các phơng pháp
dạy học và sử dụng các phơng tiện hiện có, nếu trong quá trình dạy học giáo
viên quan tâm phối hợp giữa việc rèn luyện kỹ năng giải toán với việc phát
triển t duy hàm cho học sinh thì chất lợng dạy học môn Toán (thể hiện qua khả
năng giải toán phơng trình, bất phơng trình của học sinh) đợc cải thiện.
5. Phơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các vấn đề về Tâm lý học, Giáo

dục học, Lý luận dạy học, Toán học, Triết học, Thống kê trong giáo dục có
liên quan đến đề tài.
5.2. Nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, Điều tra
5.3. Thực nghiệm s phạm.
6. đóng góp của luận văn
6.1. Hệ thống hoá các vấn đề lý luận liên quan đến đề tài.
6.2. Đề xuất một số quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán ph-
ơng trình với phát triển t duy hàm.
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
có 3 chơng:
Chơng 1: Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học
1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
1.1.2. Đổi mới về phơng pháp dạy học
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
1.3. T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh
1.3.1. T duy hàm
1.3.2. Vấn đề phát triển t duy hàm thông qua dạy học phơng trình
1.4. Kết luận chơng 1
Chơng 2: Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với phát triển
t duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong môn Toán THPT
4
2.1.1. Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi giải toán phơng trình
2.2. Rèn kỹ năng giải toán phơng trình dựa vào các t tởng chủ đạo của t duy
hàm

2.2.1. Rèn kỹ năng vận dụng các dạng phơng trình mẫu
2.2.2. Rèn kỹ năng biến đổi phơng trình
2.2.3. Rèn kỹ năng giải phơng trình thông qua đánh giá giá trị các biểu
thức thành phần
2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
2.2.5. Rèn kỹ năng giải phơng trình thông qua xét sự biến thiên của
hàm số
2.3. Phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua giải toán phơng trình
2.3.1. Tìm miền xác định của tơng ứng hàm thông qua giải toán phơng
trình, bất phơng trình
2.3.2. Tìm giá trị vào, giá trị ra của một tơng ứng thông qua giải toán
phơng trình
2.3.3. Xét tính chất của tơng ứng hàm thông qua giải toán phơng trình,
bất phơng trình
2.3.4. Định hớng sử dụng phơng trình, bất phơng trình trong quá trình
lợi dụng tơng ứng hàm để giải quyết vấn đề.
2.4. Kết luận chơng 2
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
chơng 1
Một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài
1.1. Một số đổi mới về nội dung và phơng pháp dạy học
1.1.1. Một số đổi mới về nội dung
Chơng trình sách giáo khoa (SGK) mới hiện nay đã có những thay đổi
về nội dung và cách trình bày nh:
5
- Đa thêm vào một số nội dung Toán học cho hoàn chỉnh chơng trình

THPT, nh Số phức, Thống kê, Tổ hợp, Xác suất Sắp xếp nội dung chơng trình
theo hệ thống để dễ dạy, dễ học hơn nh phần toạ độ trong mặt phẳng ở chơng
trình lớp 12 đợc đa vào cuối lớp 10 giảm nhẹ phần các đờng cônic. Đồng thời
nhấn mạnh liên hệ giữa các phần khác nhau của chơng trình Toán ở các cấp, các
lớp, giữa các môn học. Chẳng hạn đa phần Đạo hàm xuống lớp 11 để giúp kịp
thời cho dạy và học môn Vật lý ở đầu lớp 12.
- Cách viết SGK nh từ trớc đến nay còn mang tính hàn lâm: Thông báo
kiến thức, trình bày các vấn đề quá lôgíc chặt chẽ; đa ra nhiều các bài toán
khó nên còn thiếu tính s phạm. SGK cha thể hiện đợc phơng pháp dạy học tích
cực. Theo cách viết SGK và cách giảng dạy cũ, SGK chỉ đơn thuần là một tài
liệu khoa học dùng cho giáo viên, nội dung các tiết dạy thờng đợc viết cô
đọng, đầu tiên là nêu định nghĩa của một khái niệm mới, sau đó là các tính
chất và chứng minh, rồi các định lý và chứng minh, cuối cùng là các ví dụ và
các bài toán. Theo định hớng đổi mới, SGK phải trình bày và hớng dẫn nh thế
nào đó để cho nếu không có thầy giáo, học sinh cũng có thể tự học đợc, cố
nhiên là khó khăn và vất vả hơn.
SGK mới nêu nhiều câu hỏi, đề ra nhiều hoạt động tại lớp mà giáo viên
có thể thay đổi cho thích hợp để phát huy tính tích cực học tập của học sinh,
học sinh đợc suy nghĩ và hoạt động nhiều hơn. Nhiều câu hỏi đặt ra nhằm
giúp học sinh nhớ lại một kiến thức nào đó hoặc để gợi ý, hoặc để định hớng
cho những suy nghĩ của họ Các câu hỏi này nói chung là dễ, vì thế không đa
ra câu trả lời trong SGK.
SGK theo tinh thần mới tinh giảm những nội dung phức tạp, giảm bớt
những suy luận quá hình thức, quá trừu tợng, giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ
yếu là giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lý. Một số tính
chất quá hiển nhiên không nêu ra, các định lý chứng minh quá phức tạp thì chỉ
nêu những trờng hợp cụ thể để kiểm chứng mà không cần phải chứng minh.
SGK theo tinh thần mới tăng cờng những nội dung thực tiễn, thiết thực,
những điều gần gũi với cuộc sống của học sinh trong trờng hợp có thể. Chẳng
hạn, trong phần véctơ, có thể đa thêm những ứng dụng trong Vật lý: Tổng hợp

lực, phân tích lực
Ngoài ra, SGK mới còn đa thêm các phần nh: Có thể em cha biết, em có
biết, bài đọc thêm, để nói thêm những chi tiết hay, thú vị gây hứng thú học tập
cho học sinh.
SGK mới đã chỉ ra các hoạt động tại từng thời điểm để thầy, trò xem
xét và giải quyết. Những hoạt động này rất đa dạng, có thể là ôn lại kiến
6
thức cũ, đặt vấn đề cho kiến thức mới, qua các ví dụ cụ thể gợi ý ph ơng
pháp giải quyết vấn đề hay bài toán đặt ra, thực hành áp dụng trực tiếp các
công thức nêu trong lý thuyết. Cách thức thực hiện các hoạt động này
cũng rất đa dạng: Có thể thầy làm hoặc cho học sinh thực hiện, hoặc nêu
thành vấn đề để cả lớp cùng thảo luận tìm cách giải quyết.
Tóm lại so với sách giáo khoa cũ thì sách giáo khoa lần này không phải
thay đổi nhiều về nội dung mà chủ yếu thay đổi cách trình bày để học sinh
học tập một cách tích cực hơn.
Những sự thay đổi trên của sách giáo khoa hiện nay đã tạo điều kiện
để học sinh học tập một cách tích cực hơn, từ đó giáo viên có thể phối hợp
rèn luyện kỹ năng với việc phát triển t duy hàm cho học sinh qua dạy học
Toán nói chung và dạy học chủ đề phơng trình nói riêng.
1.1.2. Đổi mới phơng pháp dạy học
Thực tế dạy học Toán lâu nay cho thấy, chúng ta chỉ coi trọng đến mục
đích truyền thụ tri thức, thờng thì giáo viên đa ra các định lý, tính chất rồi giải
thích cho học sinh thông hiểu chứng minh, vận dụng định lý, tính chất. Phơng
pháp dạy học đợc sử dụng phổ biến trong nhà trờng là phơng pháp thuyết trình
tràn lan, thầy truyền đạt kiến thức áp đặt, dới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi
phát hiện, trò tiếp thu thụ động. Đa số giáo viên chỉ nghĩ đến việc dạy đúng,
dạy đủ, dạy nội dung gì chứ cha nghĩ đến cách dạy nh thế nào? Phần lớn khi
giảng dạy họ coi mọi đối tợng học sinh là nh nhau nên giảng cùng một nội
dung, cùng một phơng pháp và tự cho là hoàn thành nhiệm vụ. Ngoài ra kiểu
đánh giá và thi cử đã ảnh hởng rõ rệt tới phơng pháp giảng dạy, đánh giá và thi

cử nh thế nào thì sẽ có lối dạy tơng ứng đối phó nh thế ấy, dạy và học theo
kiểu "Thi gì - học nấy".
Về thực trạng này, nhà toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định:
Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồi
giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định
lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý để
tính toán, chứng minh.
GS. Hoàng Tụy phát biểu: Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí
nhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đến
việc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và
chán nản ".
Tóm lại, với kiểu dạy học nh vậy tạo thói quen "Thầy giảng - Trò ghi",
thầy truyền thụ kiến thức còn trò thụ động tiếp thu kiến thức, điều thầy nói đ-
ợc coi là tuyệt đối đúng, những gì thầy giảng thờng không có sự tranh luận
7
giữa thầy và trò, không có sự phản hồi, thông tin ngợc từ phía học sinh trong
bài giảng. Kiểu giảng dạy "một chiều" nh vậy làm giảm hiệu suất tiếp thu kiến
thức cũng nh hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh; không kiểm
soát đợc việc học. Do đó việc đổi mới phơng pháp dạy học đợc xác định là
một trong những nội dung chủ yếu trong đổi mới giáo dục ở nớc ta hiện nay.
Quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học bao gồm sự đổi mới trên các
phơng diện: cách dạy, cách học, cách tổ chức và cách kiểm tra đánh giá. Cốt
lõi của đổi mới dạy và học là hớng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động,
chống lại thói quen học tập thụ động. Chuyển từ dạy học lấy giáo viên làm
trung tâm sang dạy học lấy học sinh làm trung tâm, làm cho học sinh suy nghĩ
nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn trong một tiết học. Thay vì lối dạy truyền
thống truyền thụ một chiều, thuyết trình, giảng giải các kiến thức sẵn có, giáo
viên cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, tự học, kỹ năng
vận dụng vào thực tiễn, phù hợp với đặc điểm từng học sinh; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, tạo đợc sự hứng thú học tập cho học sinh, tận dụng đợc

công nghệ mới nhất áp dụng trong dạy và học.
Dạy học theo quan điểm mới giáo viên không chỉ đơn giản cung cấp
kiến thức mà còn phải thiết kế, tổ chức, hớng dẫn học sinh hoạt động để học
sinh tích cực tham gia vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ
đạo. Từ đó tự lực khám phá kiến thức mình cha biết chứ không phải tiếp thu
thụ động những kiến thức sẵn có. Giáo viên cần cài đặt những tình huống thực
tế để học sinh trực tiếp quan sát, làm thí nghiệm, thảo luận, giải quyết theo
cách riêng của bản thân, từ đó học sinh lĩnh hội đợc kiến thức mới.
Nh vậy, chức năng và vai trò của giáo dục ngày nay đã đợc "chuyển
sang vai trò nhà tổ chức giáo dục", phơng pháp dạy học mới đã chú trọng đến
việc phát huy tối đa tính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phơng pháp tự
học, "chuyển quá trình giáo dục sang quá trình tự giáo dục". Xóa bỏ cách học
cũ không kích thích đợc học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh,
chuyển đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi. "Để phát huy tối đa
tính tích cực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình huống có
vấn đề, đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ng-
ợc" (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2006).
Đổi mới phơng pháp dạy học không chỉ đổi mới cách dạy, cách học,
cách tổ chức hoạt động mà còn đổi mới cả cách kiểm tra đánh giá. Nội dung
kiểm tra, đánh giá phải toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng và phơng
pháp có trong chơng trình học, khắc phục tình trạng "học tủ" đối phó với thi
cử, ra đề kiểm tra nặng về tính toán, mẹo vặt nh trớc đây.
8
Việc đổi mới phơng pháp dạy học dựa trên những thành tựu của Tâm lý
học hiện đại, Lý luận dạy học cho rằng, nhân cách của học sinh đợc hình
thành và phát triển thông qua các hoạt động chủ động, có ý thức. Do đó để đạt
đợc mục đích dạy học thì cần phải đặt học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt
động trong quá trình dạy học, thông qua hoạt động tích cực của bản thân mà
nắm đợc kiến thức mới, kỹ năng mới đồng thời nắm đợc phơng pháp "làm ra"
những kiến thức, kỹ năng đó, không theo những khuôn mẫu có sẵn, bộc lộ và

phát huy tiềm năng sáng tạo. Qua hoạt động học sinh không những chiếm lĩnh
đợc kiến thức mới mà còn hình thành và phát triển năng lực.
Tuy nhiên, cần phải nói thêm rằng đổi mới phơng pháp dạy học không có
nghĩa là gạt bỏ, phủ nhận hoàn toàn các phơng pháp truyền thống mà cần
kế thừa, phát triển các mặt tích cực của hệ thống phơng pháp dạy học quen
thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phơng pháp mới, theo quan
điểm đổi mới phù hợp với điều kiện dạy và học ở từng vùng, từng miền ở
nớc ta.
1.2. Kỹ năng và vấn đề rèn luyện kỹ năng toán
học cho học sinh
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
Theo Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học s phạm thì: Kỹ năng là khả năng
vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp) để giải quyết một nhiệm
vụ mới [19, tr.131].
Còn Tâm lý học đại cơng cho rằng: Kỹ năng là năng lực sử dụng các
dữ liệu, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những
nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định[31, tr.149].
Theo từ điển Tiếng Việt khẳng định: "Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế"[44, tr. 426].
Tóm lại, kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức vào giải quyết nhiệm
vụ mới. Trong thực tế dạy học, học sinh thờng gặp khó khăn khi vận dụng kiến
thức (khái niệm, cách thức, phơng pháp ) vào giải quyết các bài tập cụ thể.
Học sinh thờng khó tách ra những chi tiết thứ yếu, không bản chất ra khỏi đối
tợng nhận thức, không phát hiện những thuộc tính, mối quan hệ vốn có giữa
kiến thức và đối tợng. Sở dĩ nh vậy là do kiến thức không chắc chắn, khái
niệm trở nên chết cứng, không gắn liền cơ sở của kỹ năng.
Một sự vật có thể có nhiều thuộc tính bản chất khác nhau, những thuộc
tính bản chất về các mặt phù hợp với những hoạt động, mục đích nhất định.
Do đó cần lựa chọn những thuộc tính phù hợp với mục tiêu đặt ra trớc hành

động, để hành động biến đổi đối tợng đạt mục tiêu (tất nhiên mục tiêu đặt ra
thu đợc thông tin mới). Sự dễ dàng hay khó khăn khi vận dụng kiến thức (hình
9
thành kỹ năng) tùy thuộc vào khả năng nhận dạng kiểu bài toán, phát hiện,
nhìn thấy trong các dữ liệu đã cho của bài toán, có những thuộc tính và những
quan hệ là bản chất để thực hiện giải bài toán đã cho.
Theo các nhà Tâm lý học sự hình thành kỹ năng chịu ảnh hởng của các
yếu tố sau:
Nội dung của bài toán đặt ra, đợc tách ra một cách rõ ràng hay che đậy quan
hệ bản chất của bài toán bởi các dữ liệu xuất phát, làm lệch hớng t duy.
Ví dụ 1: Giải phơng trình:

4 2 4 2
1 1 9 3 1
cos x cos x cos x cos x
16 2 16 2 2
+ + + =
Mới nhìn dễ gây cho học sinh tâm lý hoảng sợ vì nghĩ là phơng trình vô
tỉ lợng giác nhng chịu khó suy nghĩ, xem xét các biểu thức dới dấu căn, xét
thấy các biểu thức dới căn là các bình phơng đúng:
2
4 2
2
4 2
1 1 1
cos x cos x cosx
16 2 4
9 3 3
cos x cos x cosx
16 2 4

+ =
ữ


+ =
ữ

Nh vậy, tính chất vô tỉ trong bài toán chỉ là cái áo ngụy trang, bởi vì
2
A A=
, phơng trình đã cho có dạng:
2 2
1 3 1
cos x cos x
4 4 2
+ + =
. Việc lột
bỏ hình thức bề ngoài của bài toán, phát hiện ra mối quan hệ bản chất ẩn chứa
trong bài toán, giúp học sinh xác định đúng bản chất của bài toán.
Để phát hiện ra mối quan hệ bản chất chứa trong bài toán, học sinh chỉ
nhìn thấy, phân tích những yếu tố riêng biệt của bài toán mà cần thâu tóm toàn
bộ những yếu tố có mặt trong bài toán.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:

( ) ( ) ( )
x x x
26 15 3 2 7 4 3 2 2 2 3 1+ + + =
Cần phải quan sát, phân tích tất cả các số hạng có mặt trong phơng trình,
từ đó mới phát hiện đợc mối quan hệ bản chất có mặt trong bài toán đó là:

10
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
x 2x
x 3x
x
x
7 4 3 2 3
26 15 3 2 3
1
2 3
2 3
+ = +
+ = +
=
+
Khả năng khái quát, mở rộng ảnh hởng không nhỏ đến việc hình thành
kỹ năng. Tâm lý và thói quen tâm lý cũng là một yếu tố ảnh hởng đến sự hình
thành kỹ năng. Khi học sinh hăng say, hứng thú trong học tập sẽ giúp họ dễ
dàng hình thành kỹ năng, còn ngợc lại sẽ cản trở việc học tập. Thói quen tâm
lý là một trở ngại thờng gặp trong học tập. Nguyên nhân chủ yếu hình thành
thói quen tâm lý đó là t duy của con ngời có tính phơng hớng. Một loại kiến
thức hoặc phơng pháp cũ nào đó dùng nhiều lần, ấn tợng sâu làm cho học sinh
không bứt ra khỏi sự ràng buộc của thói quen t duy cũ để mở ra một hớng suy
nghĩ mới.
Ngoài ra, một nguyên nhân nữa hình thành thói quen tâm lý đó là nhận
thức chỉ dừng lại ở bề mặt, không quan sát phân tích đặc điểm của từng bài
toán cụ thể.

Ví dụ 3: Giải phơng trình:
( )
2
1
2 2x 1 x 0
2
+ =
Nếu chỉ quan sát trên bề mặt thông thờng học sinh sẽ chỉ nghĩ đến việc
khai triển rồi đơn giản đa ra phơng trình bậc hai:
( )
2
1
4 2x 4 2 1 x 2 0
2
+ + + =
và tìm nghiệm theo công thức quen
thuộc rất cồng kềnh, phức tạp:
( ) ( )
2
12
1
4 2 1 4 2 1 4.4 2 2
2
x
2.4 2

+ + +
ữ

= =

. . .
Tuy nhiên, nếu chú ý quan sát, phân tích đặc điểm bài toán thấy giữa
các hệ số hình thành tỉ lệ, thực hiện biến đổi đơn giản các hệ số đa phơng trình
về dạng:
( ) ( )
a x b x c 0+ + =
:
11

( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1
2 2x 1 2x 1 0
2
2x 1 0
1
2x 1 2 2x 1 0
1
2
2 2x 1 0
2
=
=



=

=


Nh vậy, thói quen tâm lý là một thứ tiêu cực, làm cho t duy trở nên cứng
nhắc, bảo thủ và cản trở quá trình học tập của học sinh.
1.2.2. Vấn đề rèn luyện kỹ năng toán học cho học sinh
Trong các mục đích riêng của môn Toán ở trờng phổ thông thì việc
truyền thụ kiến thức, rèn luyện kỹ năng là cơ sở vì các mục đích khác muốn
thực hiện đợc phải dựa trên mục đích này. Và kiến thức về một mặt nào đó sẽ
không đợc củng cố, mở rộng, vận dụng vào thực tiễn cũng nh vào các ngành
khoa học khác, nếu không chú trọng việc rèn luyện kỹ năng thực hiện các hoạt
động tơng ứng.
Việc rèn luyện kỹ năng hoạt động nói chung, kỹ năng toán học nói
riêng là một yêu cầu quan trọng, đảm bảo mối liên hệ giữa học với hành, điều
này đã đợc nhiều tác giả đề cập nh:
Suy nghĩ tức là hành động ( J. Piaget)
Cách tốt nhất để tìm hiểu là làm ( Kant)
Học để hành, học và hành phải đi đôi ( Hồ Chí Minh)
Dạy học sẽ không đạt kết quả nếu học sinh chỉ biết học thuộc lòng khái
niệm, định nghĩa, định lý mà không biết vận dụng hay vận dụng không thành
thạo vào việc giải bài tập.
Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng t duy và tính cách cho học sinh
( Nguyễn Cảnh Toàn). Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán,
giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trờng phổ thông, đồng thời rèn
luyện cho học sinh các thao tác t duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dỡng
các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh.
Sự hình thành kỹ năng đó là sự nắm vững một hệ thống phức tạp các
thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài

tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Có thể dạy cho học sinh kỹ năng bằng những con đờng khác nhau nh:
Con đờng thứ nhất: Sau khi cung cấp, truyền thụ cho học sinh vốn tri
thức cần thiết thì yêu cầu học sinh vận dụng tri thức đó để giải các bài toán
liên quan theo mức độ tăng dần.
12
Con đờng thứ hai: Dạy những dấu hiệu đặc trng, từ đó có thể định hớng
một số dạng bài toán và các thao tác cần thiết để giải dạng toán đó.
Con đờng thứ ba: Dạy học sinh các hoạt động tâm lý cần thiết đối với
việc vận dụng tri thức.
Việc hình thành và rèn luyện cho học sinh cần đợc tiến hành trên các
bình diện khác nhau.
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán, thể hiện rõ dới dạng giải
bài tập toán.
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác nh vật lý,
hoá học.
- Kỹ năng vận dụng vào đời sống.
Có thể nói, bài tập toán chính là ''mảnh đất'' để rèn luyện kỹ năng toán.
Do đó, để rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh, giáo viên cần tăng cờng hoạt
động giải toán (đây cũng chính là hoạt động chủ yếu khi dạy toán). Cụ thể hơn
thông qua hoạt động giải toán, rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh cần quan
tâm chú trọng những vấn đề sau:
* Cần hớng cho học sinh biết cách tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho,
yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. Nói cách khác, hớng cho học sinh
biết cách phân tích đặc điểm bài toán.
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình
( ) ( ) ( )
x 1 2x 3 50 3x 12+ + +
(1)
Nếu giải bài toán này theo phơng pháp thông thờng, tức dùng biến đổi t-

ơng đơng, thì sẽ tơng đối phức tạp.
Ta nhận thấy, tổng các bình phơng các căn thức ở vế trái là một số
không đổi:
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 2x 3 50 3x 48+ + + =
Và vế trái của (1) có dạng a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
trong bất đẳng thức
Bunhiakốpxki.
Từ đó, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiakốpxki để giải quyết
bài toán: Nếu ta xem
1 2 3 1 2 3
a 1 x; a 2x 3; a 50 3x; b b b 1= + = = = = =
thì ta có:
( )
( )
2 2 2
1. 1 x 1. 2x 3 1. 50 3x 1 1 1 48
1 x 2x 3 50 3x 12

+ + + + +
+ + +
13
Tức là (1) luôn đúng.
Vậy nghiệm của bất phơng trình đã cho chính là điều kiện cho các căn
thức có nghĩa:
3 50
x
2 3

* Hớng cho học sinh hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài
tập, các đối tợng cùng loại.
* Xác lập đợc mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tơng ứng.
Ngoài ra, còn tạo nhu cầu hớng thú cho học sinh, khắc phục ảnh hởng tiêu cực
của thói quen tâm lý bằng cách rèn luyện ba mặt sau:
+ Nhìn bài toán dới nhiều khía cạch khác nhau, từ đó so sánh các
cách giải với nhau để hiểu sâu sắc, vận dụng hợp lý kiến thức.
+ Quan sát tỉ mỉ và chú ý tìm ra đặc điểm của bài toán
Ví dụ 2: Giải bất phơng trình
( ) ( ) ( )
x 1 2x 3 50 3x 12+ + +
Nếu để ý mối liên hệ:
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1 2x 3 50 3x 48+ + + =
là một
hằng số; làm ta liên hệ tới tích vô hớng. Có thể xem vế trái là tích của hai véc
tơ còn vế phải là tích các độ dài của chúng. Với hớng suy nghĩ này, lời giải bài
toán khá độc đáo.

Điều kiện để bất phơng trình có nghĩa là:
x 1
3 3 50
x x
2 2 3
50
x
3












Đặt:
( )
( )
( ) ( ) ( )
u x 1, 2x 3, 50 3x
v 1, 1, 1
u.v x 1 2x 3 50 3x
u x 1 2x 3 50 3x 48
v 3
u . v 12

+
= + + +
= + + + =
=
=
r
r
r r
r
r
r r
14
Từ góc độ hình học để hiểu bất phơng trình thì vấn đề trở nên rõ ràng.
Bài toán chuyển về chứng minh
u.v u . v
r r r r
. Đây là một bất đẳng thức đúng
với tích vô hớng của hai véc tơ. Vậy nghiệm của bất phơng trình là những giá
trị của x mà bất phơng trình có nghĩa tức là:
3 50
x
2 3

.
Nh vậy, các cách giải hay, độc đáo đều gắn liền với đặc điểm của từng
bài. Do đó cần phải quan sát kỹ và chú ý đầy đủ mới có thể nhìn ra đặc điểm
ẩn sâu trong bài toán.
+ Tích cực suy nghĩ, tìm tòi cách giải ngắn gọn trong khi giải toán. Học
sinh không chỉ gặp những bài toán đơn giản, tuân theo phơng pháp và các bớc
làm rõ ràng mà còn gặp khá nhiều bài phức tạp, không có phơng pháp sẵn.

Đòi hỏi phải suy nghĩ tìm cách giải ngắn gọn, chặt chẽ độc đáo.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
(x
2
5x + 3)(2x
2
+ 5x 1) = (x
2
+ 5x + 3)(2x
2
5x -1)
Khi gặp bài toán này, thông thờng học sinh nhân các số hạng với nhau,
sau đó đơn giản rồi giải, nh vậy sẽ rất phiền phức. Chăm suy nghĩ, chú ý đến
đặc điểm phơng trình, các hệ số có mặt ở hai vế phơng trình, nghĩ tới cách học
cấp phơng trình,dùng phơng pháp xác định hệ số để giải.
Đặt a = x
2
- 5x + 3; b = 2x
2
+ 5x -1.
Phơng trình trở thành: ab = ( a + 10x)(b 10x)
Rút gọn đợc: - 100x
2
+ 10x(b a) = 0
Suy ra : x = 0; b a = 10x
2
x 2
x 4 0
x 2
=

=

=

Hoặc cũng có thể đặt a = x
2
+ 3; b = 2x
2
1.
Không dừng lại ở cách giải này, tiếp tục suy nghĩ, xem xét phân tíchđặc
điểm phơng trình. Phơng trình cho ở dạng tích nên có thể biến đổi thành dạng
tỉ lệ:
2 2
2 2
x 5x 3 2x 5x 1
x 5x 3 2x 5x 1
+
=
+ + +
(2)
Vậy có thể dùng tính chất tỉ lệ thức để giải phơng trình này đợc không?
Với hớng suy nghĩ này, ta có lời giải bài toán khá độc đáo:
áp dụng tính chất tỉ lệ thức:
15
b c a b c d
a d b a c d
+ +

= =

ữ


đợc
2 2 2 2
2x 6 4x 2 x 3 2x 1
10x 10x x x
+ +
= =

Giải đợc:
x 0; x 2; x 2= = =
Tóm lại, song song với việc truyền thụ tri thức toán học thì việc rèn
luyện kỹ năng đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp phần bồi dỡng t duy
toán học cho học sinh.
1.3. T duy hàm và vấn đề phát triển t duy hàm cho
học sinh
1.3.1. T duy hàm
Trớc hết hãy bàn về thuật ngữ t duy hàm, t duy hàm tất nhiên không
phải là thuật ngữ toán học, t duy là một khái niệm Tâm lý còn hàm là một khái
niệm toán học, hàm ở đây không có nghĩa là hàm số mà còn có thể là một sự
tơng ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nào đó.
Cho đến nay vẫn cha có một định nghĩa thống nhất, chính thức về t duy
hàm. Theo Koliagin định nghĩa t duy hàm nh sau: T duy hàm là một loại hình
t duy đặc trng bởi việc nhận thức đợc tiến trình những sự tơng ứng riêng và
chung giữa các đối tợng toán học hay giữa các tính chất của chúng (kể cả kỹ
năng vận dụng chúng) [30].
Còn Trần Thúc Trình và Phạm Đức Quang cho rằng: T duy hàm là các
hoạt động trí tuệ liên quan đến sự tơng ứng giữa các phần tử của một, hai hay
nhiều tập hợp, phản ánh mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của

tập hợp đó, trong sự vận động của chúng.
Nguyễn Bá Kim thì thay vì đa ra định nghĩa t duy hàm, đã đa ra các
hoạt động đặc trng cho nó, ông quan niệm t duy hàm đặc trng bởi các hoạt
động phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tơng ứng.
Nh vậy, t duy hàm là hoạt động trí tuệ liên quan đến sự nghiên cứu
những quy luật của sự vật, trong sự biến đổi sinh động của chúng, trong sự
phụ thuộc lẫn nhau của chúng.
Với cách hiểu này, t duy hàm không chỉ cần đối với nhà khoa học mà
nó cũng rất cần thiết đối với ngời lao động, nó là yếu tố quan trọng trong văn
hoá Toán học giúp ngời lao động tìm ra quy luật trong tự nhiên, xã hội và t
duy. Chẳng hạn nh sản phẩm của t duy hàm thể hiện qua câu ca dao Chuồn
chuồn bay thấp thì ma, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm thể hiện sự tơng
ứng giữa độ cao và thời tiết.
1.3.2. Vấn đề phát triển t duy hàm cho học sinh thông qua dạy học
phơng trình
16
Trong dạy học toán học ở trờng việc phát triển t duy hàm cho học sinh
không có nghĩa là thầy lên lớp một bài giảng về t duy hàm. Nhiệm vụ t duy
hàm không tồn tại độc lập so với nhiệm vụ truyền thụ kiến thức. Muốn phát
triển t duy hàm thầy giáo phải thông qua kiến thức đã quy định, trong và trên
cơ sở đó tìm ra giải pháp phát triển t duy hàm cho học sinh, phát triển t duy
hàm là mục đích kép.
Thực tiễn giáo dục t duy hàm cho học sinh phổ thông gặp nhiều khó
khăn nh : Trình độ học sinh còn hạn chế, không đồng đều, khối lợng kiến thức
nhiều trong khi số tiết dành cho bộ môn Toán lại không nhiều. Những tri thức
về hoạt động t duy hàm không đợc qui định rõ ràng trong chơng trình nên
không đợc giảng dạy một cách tờng minh. Mặt khác, hầu hết giáo viên phổ
thông nắm về t duy hàm cha đầy đủ và cũng cha thấy đợc tầm quan trọng của
nó trong dạy học. Trong dạy học việc xem xét các đối tợng toán học một cách
cô lập, trong trạng thái tĩnh tại, rời rạc. Cha thấy hết những mối liên hệ phụ

thuộc hoặc mối quan hệ nhân quả làm cho học sinh lúng túng trong việc giải
quyết các bài toán. Bên cạnh đó, các tài liệu viết về vấn đề này nói chung còn
hạn chế, khó tiếp cận, gây cho giáo viên và học sinh không ít khó khăn.
Qua phiếu thăm dò, trao đổi với các giáo viên có kinh nghiệm, dạy một
số tiết để thăm dò rút ra những khó khăn của giáo viên, học sinh khi tiếp cận
các bài toán phơng trình, bất phơng trình và hệ phơng trình do thiếu giáo dục
các thành tố t duy hàm:
- Xác lập sự tơng ứng;
- Nhìn nhận sự vật trong trạng thái vận động và biến đổi;
- Đặt sự vật này trong mối liên hệ sự vật kia theo các quan hệ nhân quả,
phụ thuộc.
Các khó khăn chủ yếu là:
1. Học sinh không biết cách phân chia các trờng hợp riêng khi đứng tr-
ớc một bài toán cụ thể;
2. Xuất phát từ cơ sở nào để phân chia các trờng hợp riêng thích hợp
cho việc giải quyết bài toán;
3. Học sinh không biết nhìn nhận các bài toán phơng trình, bất phơng
trình, hệ phơng trình trong mối liên hệ với các bài toán hàm số
Những khó khăn này gây nên do: Khi dạy học phơng trình, bất phơng trình, hệ
phơng trình thầy giáo thiếu quan tâm đến các hoạt động sau:
- Lập sự tơng ứng giữa các đối tợng, quan hệ trong Toán học;
- Hoạt động ăn khớp với những tri thức phơng pháp về t duy hàm;
17
- Hoạt động gợi động cơ.
Một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình:
Cần hình thành cho học sinh thói quen luôn ý thức về diễn biến của tập
nghiệm khi biến đổi phơng trình. Sau khi biến đổi phơng trình thì tập nghiệm
của phơng trình ban đầu và tập nghiệm của phơng trình thu đợc có quan hệ với
nhau nh thế nào? Có những khả năng nào xảy ra?
Có thể phân chia không triệt để các khả năng loại trừ lẫn nhau thì có các khả

năng sau:
Khả năng 1: Hai tập nghiệm trùng nhau
Khả năng 2: Tập nghiệm của phơng trình trớc là tập con của tập nghiệm
của phơng trình sau
Khả năng 3: Tập nghiệm của phơng trình sau là tập con của tập nghiệm
của phơng trình trớc
Khả năng 4: Giao của hai tập nghiệm khác rỗng, nhng không tập
nghiệm nào là bộ phận của tập nghiệm kia.
Có thể dùng biểu đồ Ven để minh họa cho điều này. Căn cứ vào đâu để
nhận biết sự thay đổi của các tập hợp nghiệm?
Thứ nhất là căn cứ vào các phép biến đổi một phơng trình về một phơng
trình đơn giản đã biết cách giải
Loại 1: Phép biến đổi không làm tập xác định của phơng trình thay đổi
Với phép biến đổi này phơng trình mới nhận đợc tơng đơng với phơng
trình đã cho. Khi đó ta kết luận: Tất cả các nghiệm của phơng trình mới thu đ-
ợc là tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho. Mặc dù vậy, ta vẫn hình thành
cho học sinh ý thức và thói quen thử lại nghiệm khi giải phơng trình (dù trong
trờng hợp này không đòi hỏi về mặt lý luận mà chỉ có tác dụng kiểm tra kết
qủa), góp phần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, thói quen tự kiểm tra kết
quả công việc, một trong những đức tính cần thiết của ngời lao động trong thời
đại mới.
Ví dụ 1: Phơng trình:
2 2
2 2
log (x 5) log (2x 1)+ = +

2 2
2
x 5 2x 1
x 2

x 4
x 2
+ = +
=

=

=

Loại 2: Phép biến đổi làm mở rộng tập xác định của phơng trình
Với phép biến đổi này phơng trình mới nhận đợc thờng là hệ quả của
phơng trình đã cho. Khi đó, tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho đều là
18
nghiệm của phơng trình mới nhận đợc, nh vậy phép biến đổi phơng trình
không làm mất nghiệm, tập nghiệm của phơng trình đã cho là tập con của tập
nghiệm của phơng trình thu đợc, nghiệm ngoại lai nếu xuất hiện sẽ rơi vào
phần mở rộng của tập xác định.
Ví dụ 2: Phơng trình:
x 5 x 1 =

2
x 5 x 2x 1 = =

2
x 3x 4 0 =

2
x 3x 4 0 =

x 1
x 4
=



=

(x = -1 là nghiệm ngoại lai, sau phép
thử phải loại bỏ "nghiệm này").
Khi giải phơng trình sử dụng phép biến đổi làm mở rộng tập xác định ta
cần nhấn mạnh sự cần thiết của phép thử khử nghiệm ngoại lai, điều này
không chỉ có mục đích kiểm tra tính toán, rèn luyện tính cẩn thận, chu đáo khi
làm bài mà còn có tính chặt chẽ về mặt lý luận.
Loại 3: Phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định của phơng trình
Với phép biến đổi này, có thể dẫn tới hiện tợng mất nghiệm của phơng
trình đầu, phơng trình đầu là hệ quả của phơng trình cuối cùng thu đợc. Khi
đó, tập nghiệm của phơng trình thu đợc là tập con của phơng trình đầu, phép
biến đổi phơng trình không làm rộng tập nghiệm, nghiệm bị mất ( nếu có ) rơi
vào phần thu hẹp của tập xác định.
Trong trờng hợp này, cần phải thử các giá trị bị mất do thu hẹp tập xác
định vào phơng trình đã cho để khắc phục hiện tợng thiếu nghiệm. Tuy nhiên,
không có quy tắc tổng quát cho mọi trờng hợp mà tuỳ từng bài toán cụ thể mà
ta có cách tìm lại nghiệm đã bị mất.
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
2sin x cos x 1 =
(1)
Đặt
x
t tg (x k )

2
= +
Khi đó (1) trở thành:
2
2 2
2.2t 1 t
1
1 t 1 t

=
+ +
1 1
t x 2arctg( ) 2k
2 2
= = +
Do thu hẹp tập xác định từ
Ă
thành
Ă \
{ }
k +
; do đó nếu không
thử:
x k= +
vào (1), ta sẽ gặp hiện tợng mất nghiệm
x k= +
. Thật vậy:
19
thay
x k= +

vào (1) ta đợc
2sin( k ) cos( k ) 1 1 1 + + = =
(luôn
đúng).
Ví dụ 4: Giải phơng trình:
2
x 9 3x 9 = +
(2)

(x 3)(x 3) 3(x 3) + = +


x 3 3 =
hay
x 6=
Do thu hẹp tập xác định từ R thành
{ }
3\Ă
nên ta cần thử x = 3 vào (2)
để tránh mất nghiệm.
Nh vậy, nếu dùng phép biến đổi đồng nhất làm cho tập xác định của ph-
ơng trình bớt đi một số hữu hạn giá trị hay một số hữu hạn họ giá trị thì cần
phải thử các giá trị đó (họ các giá trị đó) vào phơng trình ban đầu tránh làm
mất nghiệm.
Lu ý: Nếu các giá trị của ẩn số rơi vào trong phần thu hẹp không là
nghiệm của phơng trình đã cho, thì tập nghiệm của phơng trình ban đầu trùng
với tập nghiệm của phơng trình thu đợc. Khi đó, ta nói hai phơng trình này t-
ơng đơng với nhau.
Ví dụ 5: Giải phơng trình:
sin x cos x 1+ =

(3)
Đặt
x
t tg (x k )
2
= +
ta đợc:
2
2 2
2t 1 t
1 t(t 1) 0
1 t 1 t

+ = =
+ +
(4)
Kiểm tra
x k= +
không là nghiệm của (3) nên ta khẳng định (3) và
(4) là hai phơng trình tơng đơng.
Loại 4: Hỗn hợp các phép biến đổi
Đối với loại biến đổi này phơng trình thu đợc vừa có khả năng thêm
nghiệm vừa có khả năng thiếu nghiệm so với phơng trình đã cho. Do vậy cần
vận dụng cả hai cách giải quyết ở loại 2 và loại 3, tức là vừa phải thử xem các
nghiệm của phơng trình thu đợc có phải là nghiệm của phơng trình đã cho
không, vừa phải tìm xem những giá trị nào không phải là nghiệm của phơng
trình thu đợc nhng lại là nghiệm của phơng trình đã cho.
Thứ hai là căn cứ vào các định lý biến đổi phơng trình, ở đây là các
phép biến đổi tơng đơng mà học sinh đã đợc học. Nắm vững các định lý này
không những giúp học sinh định hớng, biến đổi phơng trình thành phơng trình

tơng đơng đơn giản, dễ giải hơn mà còn giúp họ xác lập mối quan hệ giữa các
tập nghiệm của các phơng trình trong quá trình biến đổi. Đây là một trong
những điều quan trọng làm cơ sở để tiến hành thực hiện biến đổi phơng trình.
20
Thứ ba là căn cứ vào một số kiến thức cơ bản, có thể là định nghĩa, định
lý, tính chất mà học sinh đã đợc học dù có thể không liên quan trực tiếp đến
biến đổi phơng trình. Làm cơ sở xác định quá trình biến đổi đó bảo tồn số
nghiệm, thêm nghiệm hay bớt nghiệm.
Ví dụ 6: Phép chuyển từ phơng trình:
k(x) g(x)
f (x) f (x) (f (x) 0)=
sang phơng trình:
k(x) g(x)=
làm mất nghiệm (nếu có) của phơng trình ban
đầu.
Ví dụ 7: Phép chuyển từ phơng trình:
log f (x) log g(x)
k(x) k(x)
=
(5)
sang phơng trình:
f (x) g(x)=
(6)
và phép chuyển ngợc lại từ (6) sang (5).
- Phép chuyển từ (5) sang (6) là phép mũ hoá, có thể làm mở rộng tập
nghiệm
- Phép chuyển từ (6) sang (5) là phép logarít hóa, có thể làm thu hẹp tập
nghiệm.
Tóm lại: Khi dạy học giải phơng trình, ta cần hình thành cho học sinh
lập luận có căn cứ ở từng phép biến đổi, xác định chính xác mối quan hệ giữa

các phơng trình biến đổi kế tiếp, sử dụng các ký hiệu
" "," "," "
đúng,
từ đó biết đợc diễn biến của các tập nghiệm sau từng bớc biến đổi, dẫn đến
xác định đợc tập nghiệm của phơng trình đầu dựa vào tập nghiệm của phơng
trình cuối.
Ngoài ra, theo tác giả Nguyễn Bá Kim khi dạy học giải phơng trình cần
quan tâm giải quyết hợp lý mối liên hệ giữa hai phơng diện ngữ nghĩa và cú
pháp.
1.4. Kết luận chơng 1
Trong chơng này, Luận văn đã sơ lợc trình bày quan điểm đổi mới nội
dung và phơng pháp dạy học. Phân tích, minh họa khái niệm t duy hàm, kỹ
năng cũng nh vấn đề rèn luyện kỹ năng toán cho học sinh phổ thông, nhấn
mạnh một số vấn đề cần lu ý khi dạy học giải phơng trình. Làm cơ sở đề xuất
quan điểm phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình với việc phát
triển t duy hàm, giúp học sinh học tập tích cực hơn.
21
Chơng 2
Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phơng trình
với phát triển t duy hàm cho học sinh THPT
2.1. Phân tích nội dung chủ đề Phơng trình trong
môn toán THPT
2.1.1. Về chủ đề phơng trình, bất phơng trình
Bàn về khái niệm phơng trình, khác với một số sách giáo khoa (SGK)
trớc đây khái niệm phơng trình theo SGK Đại số 10, Chuẩn phát biểu: Phơng
trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng:
( ) ( )=f x g x
(1)
Trong đó
( )f x

và
( )g x
là những biểu thức của x. Ta gọi
( )f x
là vế
trái,
( )g x
là vế phải của phơng trình (1).
Nếu có số thực
0
x
sao cho
0
f(x
0
) ( )= g x
là mệnh đề đúng thì x
0
đợc gọi
là một nghiệm của phơng trình (1). Giải phơng trình (1) là tìm tất cả các
nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm).
Nếu không có nghiệm nào cả thì ta nói phơng trình vô nghiệm (hoặc
nói tập nghiệm của nó là rỗng)
Còn SGK Đại số 10, Nâng cao thì định nghĩa: Cho hai hàm số y = f(x)
và y =g(x) có tập xác định lần lợt là D
f
và D
g
. Đặt
=

f g
D D D
, mệnh đề
chứa biến f(x) = g(x) đ ợc gọi là phơng trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay ẩn)
và D gọi là tập xác định của phơng trình. Số x
0
thuộc D gọi là tập nghiệm của
phơng trình f(x) = g(x) nếu f(x
0
) = g(x
0
) là mệnh đề đúng .
Cả hai cách định nghĩa phơng trình dựa vào hàm mệnh đề đã khắc phục
đợc hạn chế, có thể áp dụng vào mọi trờng hợp cụ thể phù hợp với trình độ
học sinh cũng nh thoả mãn với cả các phơng trình phải tìm nghiệm lẫn cả
những phơng trình biểu thị những quy luật vật lý hay những phơng trình biểu
diễn đờng.
Trớc đây khi cho phơng trình thờng gắn với tập xác định, dù phơng
trình đó có tập xác định là
Ă
cũng phải ghi rõ nhng theo tinh thần SGK mới,
cụ thể SGK 10 Nâng cao đã hớng dẫn học sinh đến việc làm đơn giản là chỉ
cần nêu điều kiện để ẩn số thuộc D, gọi là điều kiện xác định (hay điều kiện)
của phơng trình. Trong trờng hợp f(x) và g(x) là những biểu thức thì điều kiện
của phơng trình không chỉ gồm các điều kiện để hai biểu thức f(x) và g(x) có
22
nghĩa, mà có thể còn gồm cả những điều kiện đợc áp đặt cho ẩn vì lý do nào
đó (nh x nguyên,
x a, x 0 >
).

Với việc đa ra khái niệm phơng trình, bất phơng trình dựa vào hàm
mệnh đề đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc chứng minh đầy đủ, chặt chẽ định
lý về phép biến đổi tơng đơng.
Khi dạy học chủ đề phơng trình, bất phơng trình cần làm rõ sự khác
nhau giữa các định lý về phép biến đổi tơng đơng phơng trình với các định lý
về phép biến đổi tơng đơng bất phơng trình. Nhiều học sinh do không nắm
vững nội dung kiến thức này đã áp dụng lẫn lộn giữa phép biến đổi tơng đơng
cho phơng trình sang bất phơng trình, dẫn đến sai lầm trong suy luận, đa đến
lời giải không đúng.
Ví dụ 1: Giải bất phơng trình:
7x 3 6x 4
x 1 x 1



(1)
Học sinh thực hiện lời giải nh sau:
Điều kiện:
x 1
7x 3 6x 4
(1) (x 1) (x 1)
x 1 x 1



7x 3 6x 4
x 2
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phơng trình là
x 1
>

. Thực tế, học
sinh đã mất cảnh giác khi nhân hai vế của phơng trình (1) với
f (x) x 1=
,
mà không quan tâm tới dấu của f(x) (điều này ảnh hởng trực tiếp đến chiều
của bất phơng trình) dẫn đến kết quả bài toán sai.
Nh vậy, việc nắm vững các định lý biến đổi phơng trình, bất phơng trình
là quan trọng và cần thiết, lần đa ra những bài tập để học sinh vận dụng các
phép biến đổi tơng đơng này thành thạo, làm rõ sự giống và khác nhau giữa
phép biến đổi tơng đơng phơng trình với phép biến đổi tơng đơng bất phơng
trình, tránh sai lầm khi áp dụng. Thật vô nghĩa nếu yêu cầu học sinh thuộc
lòng các định lý về các phép biến đổi tơng đơng hoặc các phép biến đổi tơng
đơng áp dụng cụ thể đối với các dạng phơng trình, bất phơng trình. Chẳng
hạn, các phép biến đổi tơng đơng khi bình phơng hai vế các phơng trình, bất
phơng trình vô tỷ hay chứa dấu giá trị tuyệt đối nh:

f (x) g(x); f (x) g(x); f (x) g(x) ; f (x) g(x) ; f (x) g(x) = > = =
sẽ làm học sinh rối, dễ nhầm lẫn giữa các công thức.
Việc xem xét, nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách
ghép thành từng lớp bài toán giải đợc bằng cùng một phơng pháp là một việc
làm cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết, bài tập sách giáo khoa và
23
một số sách tham khảo khác, có thể liệt kê một số phơng pháp giải phơng
trình, bất phơng trình nh sau:
- Phơng pháp biến đổi tơng đơng
- Phơng pháp đặt ẩn phụ
- Phơng pháp hàm số
- Phơng pháp đồ thị
- Phơng pháp xét điều kiện cần và đủ
- Phơng pháp đánh giá

Đứng trớc bài toán giải phơng trình, bất phơng trình thì việc định hớng
phơng pháp giải đóng vai trò quyết định để thực hiện lời giải. Tuy nhiên, việc
định hớng phơng pháp giải dạng toán này là đa dạng, có những bài toán có thể
giải bằng nhiều phơng pháp khác nhau, vấn đề là lựa chọn phơng pháp nào tối
u nhất để trình bày.
2.1.2. Các kỹ năng cần rèn luyện cho học sinh khi giải toán phơng trình
Có nhiều kiểu phân chia kỹ năng phù hợp với từng mảng kiến thức,
từng nội dung môn học. Nhng tựu trung lại cần rèn cho học sinh các kỹ năng
cơ bản nh: kỹ năng nhắc lại, kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay,
kỹ năng xử sự (theo cách phân loại của De Ketele). Đây là những kỹ năng
không chỉ đợc rèn luyện khi giải toán phơng trình mà còn đợc rèn luyện trong
suốt chơng trình phổ thông, ở tất cả các nội dung và tất cả các môn học. Tất
nhiên sự phân chia này chỉ có tính chất tơng đối, khi dạy học ta thờng rèn
luyện kỹ năng ở dạng phức hợp tức là trên một nội dung kiến thức cụ thể, ta
không chỉ rèn một loại kỹ năng cơ bản đơn lẻ, vì một kỹ năng có thể là hỗn
hợp của nhiều loại kỹ năng cơ bản. Chẳng hạn kỹ năng vẽ đồ thị bao gồm cả
kỹ năng nhận thức, kỹ năng hoạt động chân tay và kỹ năng xử sự. Vì để vẽ đ-
ợc đồ thị ngời ta không những cần phải biết vẽ nh thế nào (kỹ năng nhận thức)
mà còn phải biết những động tác để vẽ đợc đồ thị (kỹ năng hoạt động chân
tay) và cần vẽ đồ thị chính xác, đẹp (kỹ năng xử sự). Đối với chủ đề phơng
trình và bất phơng trình ta cần rèn luyện cho học sinh những kỹ năng thuộc về
nhóm kỹ năng nhận thức và vận dụng. Có thể kể ra một số kỹ năng sau:
- Kỹ năng tính toán: Trớc hết cần phải nói rằng học toán gắn liền với
tính toán, tính chính xác nhanh và ngắn gọn là những yêu cầu cơ bản, đầu tiên
để học tốt môn Toán. Đồng thời kỹ năng này có ý nghĩa vô cùng quan trọng
trong thực tế của đời sống, trong sản xuất kinh doanh, trong kỹ thuật. Khi giải
toán phơng trình tính toán có tính số và tính biểu thức, dặc biệt đối với các bài
toán phơng trình bất phơng trình chứa tham số mức độ yêu cầu cao, vừa khó
vừa trừu tợng, tầng lớp nhiều, chỉ cần tính toán sai một bớc sẽ dẫn đến tất cả
24

đều sai. Do đó cần rèn luyện cho học sinh khả năng tính toán ở nhiều mức độ
khác nhau.
Nguyễn Bá Kim cho rằng cần rèn luyện khả năng tính toán theo những
hớng sau:
+ Đặc biệt chú ý những yêu cầu nào của kỹ năng tính toán cần thiết cả
trong trờng hợp không máy tính lẫn bằng máy tính: tính nhẩm, tính ớc
chừng
+ Về mặt tính viết, không cần thiết phải bỏ công sức cho học sinh tập
luyện tính toán trên những số liệu quá cồng kềnh, phức tạp.
+ Từ bỏ việc tính toán với những phơng tiện đã lỗi thời
Chúng tôi cho rằng rèn luyện khả năng tính toán khi giải toán phơng
trình thể hiện ở các mặt sau:
+ Rèn kỹ năng tính nhẩm và tính nhanh: việc tính nhẩm và tính nhanh
rất phù hợp với những bài có số liệu đơn giản (trực tiếp nhẩm ra đáp số không
cần viết ra giấy) hoặc những bài chứa căn thức biến đổi đa về hằng đẳng thức
(tính nhanh)
Ví dụ 1: Giải phơng trình 2007x
2
2006x - 1 = 0
Nhẩm thấy: a + b + c = 0, không cần giải kết luận phơng trình có 2 nghiệm x
= 1 và x= -
1
2007
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
2 4 8 16
1 1 2 4 8 16
1
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
+ + + + + =
+ + + + +

Không khó khăn khi tìm điều kiện để phơng trình có nghĩa:
x 1
. Nh-
ng nếu biến đổi phơng trình bằng thói quen theo thờng lệ là quy đồng mẫu số
mà không chú ý đến đặc điểm phơng trình thì sẽ gặp phức tạp. Chỉ cần chú ý
đến mẫu số của hai số hạng đầu là dạng hiệu và dạng tổng để lấy mẫu số
chung, ta có kết quả nhanh chóng.

2 2 4 8 16
4 4 8 16
1 2 4 8 16
VT
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
4 4 8 16
1 x 1 x 1 x 1 x
= + + + +
+ + + +
= + + +
+ + +
25