nghiên cứu một số sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán đại số - giải tích và quan điểm khắc phục

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ương Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải
hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực
giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục
tiêu lớn của đất nước” (dẫn theo Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên môn Toán năm
2005, tr. 1).
Về phương pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban
Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra:
“Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn
luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những
phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo
điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu …”.
Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh, …; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học
sinh”.
1.2. Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh, có thêm xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy
học giải Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trường phổ thông. Các
bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học
sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt
động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học
Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối
với chất lượng dạy học Toán.
1
Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán ở trường phổ thông
có lúc, có chỗ còn chưa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học
sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những

nguyên nhân quan trọng là giáo viên chưa chú ý một cách đúng mức việc phát
hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học
Toán. Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp
sai lầm.
1.3. Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề
sai lầm trong cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học. Khổng Tử đã nói:
“Sai lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trước đó của mình”.
Albert Einstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: “Nếu tôi mắc sai lầm
thì chỉ một lần cũng là đủ rồi”. Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của
việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn,
G. Polia đã phát biểu: “Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu
sót của mình” [45, tr. 204], còn A. A. Stôliar thì nhấn mạnh rằng: “Không được
tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh” [66, tr. 105].
Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thường của học sinh trung học
đủ để các em nắm được Toán học trong nhà trường phổ thông nếu có sự hướng
dẫn tốt của thầy giáo” [8, tr. 10]. Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm
của học sinh trong giải Toán là cần và có thể khắc phục được.
1.4. Số các công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong
giải Toán còn tương đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới Luận án Tiến sĩ
của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông
trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi
giải Toán" (1996). Luận án này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ
đề kiến thức, chẳng hạn chủ đề phương trình, chủ đề bất phương trình, chủ đề
giới hạn, chủ để hàm số, Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống
2
Nhất có ưu điểm là giúp cho người đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào
thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu. Tuy nhiên, sự hạn chế của nó lại là ở chỗ: số
lượng chủ đề kiến thức là rất nhiều, khó kể hết, còn nếu gộp lại để thành các
chủ đề lớn thì nhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ thể.
Các nhóm tác giả Trần Phương - Lê Hồng Đức trong Sai lầm thường gặp

và các sáng tạo khi giải Toán (2004); Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc -
Nguyễn Cảnh Nam trong Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán (1992); Trần
Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá!
(2002) đều sắp xếp sai lầm của học sinh theo từng chủ đề kiến thức.
Cách sắp xếp sai lầm dựa theo tiêu chí chủ đề kiến thức như các tác giả
nói trên chưa thể giải thích một cách tường minh, dễ hiểu và bao quát hết tất cả
các kiểu sai lầm cho học sinh. Hơn nữa chưa thể đề cập được một số kiểu sai lầm
thường gặp như: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy,
sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng,
Có thể nói, cho đến nay chưa có một công trình nào nghiên cứu sai lầm
của học sinh khi giải Toán nhìn từ góc độ hoạt động toán học, nghĩa là xem xét
các sai lầm theo phương diện chất lượng tiến hành các hoạt động toán học.
Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của
Luận văn là:
“Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải
Toán Đại số - Giải tích và quan điểm khắc phục”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số sai lầm của học sinh Trung học phổ thông trong giải
Toán Đại số và Giải tích mà các công trình nghiên cứu trước đây hoặc chưa đề
cập, hoặc chưa phân tích một cách sâu sắc và đề xuất các quan điểm khắc phục.
3
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu làm sáng tỏ được các dạng sai lầm của học sinh Trung học phổ thông
khi giải Toán Đại số và Giải tích, thì có thể đề xuất được các quan điểm để
phòng tránh và khắc phục các dạng sai lầm này, góp phần nâng cao chất lượng
dạy học Toán ở trường phổ thông.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
4.1. Trong giải Toán Đại số và Giải tích, học sinh thường mắc phải một số
kiểu sai lầm phổ biến nào?

4.2. Nguyên nhân nào dẫn tới các sai lầm đó?
4.3. Để hạn chế, sửa chữa những sai lầm đã chỉ ra, cần thực hiện những
quan điểm nào?
4.4. Kết quả của Thực nghiệm sư phạm là như thế nào?
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp
giảng dạy môn Toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm điểm tựa
đề xuất các quan điểm hạn chế và sửa chữa sai lầm của học sinh.
5.2. Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sư phạm, qua các tài liệu để
nắm bắt thêm những kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải
Toán Đại số và Giải tích.
6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Luận văn đã làm sáng tỏ được nhiều kiểu sai lầm của học sinh Trung
học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích mà các tài liệu khác hoặc chưa
có dịp đề cập, hoặc chỉ đề cập ở mức độ sơ bộ. Đặc biệt, khi đề cập đến các sai
lầm, Luận văn đã chú trọng đến phương diện hoạt động toán học.
6.2. Luận văn đã phân tích được nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó.
4
6.3. Cùng với các công trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đưa ra một bức
tranh toàn cảnh và tương đối đầy đủ về những kiểu sai lầm của học sinh Trung
học phổ thông khi giải Toán.
6.4. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
Trung học phổ thông.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Phương pháp nghiên cứu

6. Đóng góp của Luận văn
Chương 1. Một số vấn đề thực trạng về những sai lầm của học sinh
Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích
1.1. Một số công trình có liên quan
1.2. Sự cần thiết phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi
giải Toán
1.3. Một số kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán
Đại số và Giải tích
1.4. Kết luận Chương 1
Chương 2. Góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học
sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích
2.1. Cơ sở lí luận
2.2. Những quan điểm chủ đạo trong việc phòng tránh, sửa chữa các sai
lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích
2.4. Kết luận Chương 2
5
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.3. Nội dung thực nghiệm
3.4. Đánh giá các kết quả thực nghiệm
Kết luận
Những công trình của tác giả hoặc đồng tác giả đã được công bố
Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ THỰC TRẠNG VỀ NHỮNG SAI LẦM CỦA
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

6

1.1. MỘT SỐ CÔNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN
Những công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải
Toán còn tương đối ít, trong các công trình đó phải kể tới Luận án Tiến sĩ của
của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông
trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi
giải Toán" (1996). Luận án này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ
đề kiến thức, chẳng hạn, chủ đề phương trình, bất phương trình, giới hạn, hàm
số, Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống Nhất có ưu điểm là
giúp cho người đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy,
nghiên cứu. Tuy nhiên, sự hạn chế của nó lại là ở chỗ: số lượng chủ đề kiến thức
là rất nhiều khó mà kể hết, nếu gộp chúng lại để thành chủ đề lớn thì nhiều khi
mắc phải sự chung chung mà không có điều kiện xem xét hết đặc trưng của từng
dạng. Đặt vấn đề xem xét hết các kiểu sai lầm trên mọi chủ đề là việc làm bất
khả thi. Trong Luận án của mình, tác giả Lê Thống Nhất đã đưa ra bốn biện pháp
sư phạm và tám dấu hiệu để nhận biết sai lầm nhưng chưa thực sự đi sâu vào một
kiểu sai lầm nào và chưa phân tích một cách bao quát các nguyên nhân dẫn tới
những sai lầm đó, mà một nguyên nhân không kém phần quan trọng ảnh hưởng
tới chất lượng giải bài tập Toán đó là nguyên nhân do ảnh hưởng về mặt tâm lí.
Nhóm tác giả Trần Phương - Lê Hồng Đức trong Sai lầm thường gặp và các
sáng tạo khi giải Toán (2004) cũng đề cập đến một số sai lầm của học sinh.
Trong công trình này, các tác giả đã đưa ra một số kĩ thuật chọn điểm rơi để
tránh sai lầm khi sử dụng các Bất đẳng thức Côsi và Bunhiacôpski. Ngoài ra phải
kể tới nhóm tác giả Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam trong
công trình Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán (1992), trong công trình này
các tác giả đã đưa ra thuật ngữ "bẫy" và phân tích khá nhiều ví dụ và cho rằng,
mỗi khi học sinh mắc sai lầm là đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài
toán là các tình huống được các tác giả cài đặt mà nếu học sinh không vững kiến
7
thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai lầm. Với cách sắp xếp sai lầm theo từng chủ đề
kiến thức như các tác giả nói trên thì không thể giải thích một cách tường minh,

dễ hiểu hết tất cả các kiểu sai lầm cho học sinh để từ đó họ có ý thức phòng tránh
các sai lầm này, mặt khác chưa đề cập được một số kiểu sai lầm thường gặp như:
sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy, sai lầm liên quan
đến phân chia trường hợp riêng,
Như vậy trên phương diện lí luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề
tài nghiên cứu của chúng tôi cũng đã được nghiên cứu ở một mức độ nào đó.
Tuy nhiên chưa có một công trình nào nghiên cứu các sai lầm nhìn từ góc độ
hoạt động toán học, xem xét các sai lầm theo phương diện chất lượng tiến hành
các hoạt động toán học. Nói một cách khác, các công trình nghiên cứu về sai lầm
của học sinh khi giải Toán thường xem xét theo phương diện chủ đề kiến thức,
còn cách tiếp cận của Luận văn này sẽ theo phương diện khác, đó là phương diện
hoạt động.
1.2. SỰ CẦN THIẾT PHÒNG TRÁNH VÀ SỬA CHỮA NHỮNG SAI
LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI TOÁN
Dạy Toán là dạy hoạt động toán học (A. A. Stôliar, 1969, tr. 12) là một
luận điểm cơ bản đã được mọi người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của
học sinh là hoạt động giải bài tập Toán. Trình độ học Toán của học sinh đến mức
độ nào sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải Toán. Vai trò của bài tập trong
dạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên
cứu về phương pháp dạy học Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ
thống bài tập (chẳng hạn, các công trình: Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu
(1996), Nguyễn Đình Hùng (1997)). Ngoài ra có thể tham khảo ý kiến của P. M.
Ecđơnnhiev trong [67]: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình
dạy học Toán". Tuy nhiên dạy học giải Toán không thể tách rời một cách cô lập
với dạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy học
8
sinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng
có tác dụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và
định lí toán học.
Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải

Toán là cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh còn mắc rất nhiều
kiểu sai lầm. Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận và
thậm chí là những kiểu sai lầm rất tinh vi. Một nguyên nhân không nhỏ là giáo
viên chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các
sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Vì điều này nên ở học sinh
nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.
Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm
cho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn G. Polia cho rằng: "Con
người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình" [45, tr. 204], A. A.
Stôliar phát biểu: "Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai
lầm của học sinh" [66, tr. 105], còn theo J. A. Komenxki thì: "Bất kì một sai lầm
nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay
đến sai lầm đó, và hướng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc phục sai lầm" (dẫn
theo Nguyễn Anh Tuấn 2003). Tâm lí học đã khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình
thường không có bệnh tật gì đều có khả năng đạt được học vấn toán học phổ
thông, cơ bản dù cho chương trình toán đã hiện đại hóa" [17, tr. 49]. Như vậy có
thể khẳng định rằng, các sai lầm của học sinh khi giải Toán là cần và có thể khắc
phục được.
1.3. MỘT SỐ KIỂU SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ
THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
9
Trong mục này để ám chỉ những lời giải có mắc phải sai lầm, chúng tôi
dùng kí hiệu (?) và sử dụng kí hiệu (!) để phân tích sai lầm của học sinh.
Trong mục này, khi xem xét các sai lầm của học sinh chúng tôi không sắp
xếp theo từng dạng toán, nói cách khác là, không tiến hành theo con đường nêu
những sai lầm theo từng chủ đề kiến thức. Những sai lầm của học sinh (khi giải
Toán Đại số và Giải tích) sẽ được đề cập và làm sáng tỏ từ phương diện Hoạt
động toán học.
1.3.1. Sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng
Học sinh thường gặp những khó khăn và sai lầm sau đây khi giải những

bài toán có liên quan đến việc phân chia trường hợp.
1.3.1.1. Không nắm vững bản chất của tham số, không hiểu nghĩa của
cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tìm m”. Khi
giải biện luận phương trình (bất phương trình) có tham số m, nhiều học sinh
quy về tìm m để phương trình (bất phương trình) có nghiệm.
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình
m(x + m) = x + 1
(?): Học sinh chuyển x về một vế và đưa về: (m - 1)x = 1 - m
2
từ đó rút ra
2
1 m
x
m 1
−
=
−
. Để phép chia có nghĩa thì phải có điều kiện m
1≠
. Kết luận: m
1≠
và x = - m - 1.
(!): Thực ra đây không phải bài toán tìm m để phương trình có nghiệm, mà
đây là bài toán giải và biện luận phương trình. Khi giải và biện luận phương
trình, kể cả trường hợp phương trình vô nghiệm thì ta vẫn phải xem xét.
Giả sử có điều kiện m
1≠
thì ta thực hiện được phép chia 1 – m
2
cho m - 1,

nhưng không có nghĩa là, ta thực hiện phép chia trước rồi lại buộc m phải khác 1.
10
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình

x 1 2x m− = −

(?): Có học sinh giải như sau: với
x 1
≥
nghiệm của phương trình là
x m 1= −
; với x < 1 nghiệm của phương trình là
m 1
x
3
+
=
.
(!): Học sinh này dù đã nắm được khái niệm giá trị tuyệt đối nhưng vẫn
chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đã biết nhưng chưa rõ
cụ thể là bao nhiêu, bởi vậy không chắc gì m – 1 đã lớn hoặc bằng 1;
m 1
3
+
đã
bé thua 1.
Ví dụ 3: Giải và biện luận bất phương trình
m(x – m + 3)
≥
m(x - 2) + 6

(?): Bất phương trình
⇔
mx - m
2
+ 3m
≥
mx - 2m +6
⇔
m
2
– 5m + 6
≤
0
⇔
2
≤
m
≤
3
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2
≤
m
≤
3.
(!): Thực ra
2 m 3≤ ≤
chỉ là điều kiện để bất phương trình có nghiệm chứ
không phải là nghiệm của bất phương trình. Khi m nằm ngoài [2; 3] thì bất
phương trình sẽ vô nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp này trong khâu
biện luận.

1.3.1.2. Không ý thức được sự suy biến của tham số, áp dụng thuật giải
một cách máy móc vào những trường hợp không thuộc hệ thống
Ví dụ 4: Giải và biện luận bất phương trình

2 2
x 3x 2a x 2ax 5− + ≤ + +

(?): Có học sinh giải như sau: bất phương trình tương đương với
x
2
– 3x + 2a
≤
x
2
+ 2ax + 5
⇔
x(2a + 3)
≥
2a -5
⇔
x
2a 5
2a 3
−
≥
+
11
(!): Với cách giải như trên cho thấy học sinh chưa nắm vững khái niệm giá
trị tuyệt đối, mặt khác chưa nắm vững điều kiện để thực hiện được các phép biến
đổi tương đương cơ bản trên các bất phương trình.

Ví dụ 5: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau: y =
x
x m−
(?): Học sinh cho rằng đường thẳng x = m là tiệm cận đứng và đường
thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.
(!): Thực ra khi m = 0 thì
x
y 1
x
= =
với tập xác định
x 0≠
. Lúc này đồ thị
của y là đường thẳng y = 1 bỏ đi một điểm. Không thể xem đường thẳng
x m 0
= =
(tức trục tung) là tiệm cận đứng được. Theo nghĩa rộng ta có thể xem
y = 1 là tiệm cận ngang.
1.3.1.3. Nắm không chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép
biến đổi tương đương
Ví dụ 6: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất
lg(x
2
+ 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)
(?): (1)
⇔
lg(x
2
+ 2mx) = lg(x - 1)
⇔

x
2
+ 2mx = x – 1 (2)

⇔
x
2
+ x(2m - 1) + 1 = 0.
Phương trình này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
∆
= 0
⇔
1
m
2
= −
hoặc
3
m
2
=
.
(!): Thực ra phương trình (1) đã cho chỉ tương đương với phương trình
x
2
+ 2mx = x – 1 (2) với điều kiện
2
x 2mx 0
x 1 0


+ >

− >

, hay nói gọn hơn là,
phương trình (1) tương đương với phương trình (2) với điều kiện x > 1.
12
Do đó đáng lẽ phải nói: phương trình x
2
+ x(2m - 1) + 1 = 0 có duy nhất
một nghiệm x > 1, rồi từ đó chuyển về xét hai trường hợp:
0
b
1
2a
∆ =



− >


và
2 1
0
x 1 x
∆ >


> ≥


thì học sinh lại chỉ nói: phương trình x
2
+ x(2m - 1) + 1 = 0 có
nghiệm duy nhất.
Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

2 2 2 2
x m x 3mx 2m x m− + − + > −

(?): Ta nhận thấy do các biểu thức trong các dấu căn đều có chứa hạng tử
x – m, nên rút gọn hai vế được bất phương trình tương đương
1 +
x 2m x m− > +

1.3.1.4. Chưa nắm vững một số khái niệm toán học cơ bản, chẳng hạn
các khái niệm có cấu trúc hội, vì không ý thức được sự tác động của tham số
đối với kết quả bài toán
Ví dụ 8: Hãy biện luận giá trị nhỏ nhất của
E = (x – 2y + 1)
2
+ (2x + ay + 5)
2
theo a
(?): Vì E là tổng các bình phương nên E
≥
0 với mọi x và y, do đó giá trị
nhỏ nhất của E bằng 0.
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hệ
x 2y 1 0

2x ay 5 0
− + =


+ + =

có nghiệm
Ta có: D = a + 4; D
x
= - a – 10; D
y
= - 3.
13
Nếu a
≠
- 4 hệ có nghiệm
a 10
x
a 4
3
y
a 4
+

= −


+



= −

 +
nên giá trị nhỏ nhất của E là 0.
Nếu a = - 4 thì D
x

≠
0 nên hệ phương trình vô nghiệm. Vậy với a = - 4 thì
E không tồn tại giá trị nhỏ nhất.
(!): Với a = - 4 kết luận E không có giá trị nhỏ nhất là sai lầm, vì với
a = - 4 thì E = (x – 2y + 1)
2
+ (2x - 4y + 5)
2
đặt t = x – 2y +1 ta có E = t
2
+ 4(t+
3
2
)

= 5t
2
+ 12t + 9
9
5
≥
với mọi t, dấu bằng xảy ra khi
6

t
5
= −
. Nghĩa là trong
trường hợp a = - 4, E đạt giá trị nhỏ nhất bằng
9
5
tại các điểm x, y bất kì thỏa
mãn điều kiện 5x – 10y – 11 = 0.
1.3.1.5. Không biết chia thành những trường hợp nào, nói cách khác
không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia
Ví dụ 9: Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình

x a x 2a x 3a− − − > −
(1)
(?): Gặp bài toán này, học sinh hầu như không biết nên phân chia tham số
a thành những trường hợp nào. Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a, 3a thì dĩ
nhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phương trình chỉ là x > 3a và biến
đổi
(1
)
⇔
( ) ( )
x a x 2a x 3a 4a x 2 x 2a x 3a
− > − + − ⇔ − > − −

⇔
2 2
3a x 4a
3x 12ax 8a 0

≤ <


− + <

⇔
( ) ( )
3a x 4a
a 6 2 3 a 6 2 3
x
6 6
≤ <


− +
 < <

(!): TH 1: Nếu a = 0, bất phương trình (1) vô nghiệm
14
TH 2: Nếu a > 0, điều kiện của x là x
≥
3a, khi đó bất phương trình
tương đương với 4a - x >
( ) ( )
x 2a x 3a− −
(2), vì a > 0 nên (2)

⇔
2 2
3a x 4a

3x 12ax 8a 0
≤ <


− + <

a(6 2 3)
3a x
6
+
⇔ < <
TH 3: Nếu a < 0, điều kiện của x là x ≥ a, khi đó (1) tương đương với
4a – x >
( ) ( )
2 x 2a x 3a− −
.
Vì a < 0 và x ≥ a nên
4a x 3a (a x) 0− = + − <
, do đó bất phương trình này
vô nghiệm.
Việc phân chia 3 trường hợp a = 0; a < 0; a > 0 căn cứ một phần quan
trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện:
x a≥
;
x 2a≥
;
x 3a
≥
. Phần sau của Luận văn sẽ trở lại vấn đề này.
1.3.1.6. Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường

hợp
Ví dụ 10: Tìm m sao cho phương trình:

2 2
x (2m 1)x m 0− + + =

chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 3
(?): Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu của bài toán tương đương với
phương trình có nghiệm kép lớn hơn 3

1
0
m
4
S
5
3
m
2
2

∆ =
= −


 
⇔ ⇔
 
>
 

>



. Không tồn tại m.
Lại có những học sinh lập luận rằng: phương trình có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn điều kiện một nghiệm lớn hơn 3:
15
x
1
≤ 3 < x
2

af(3) 0
5
m 3 3
S
2
3
2
≤


⇔ ⇔ < ≤ +

>


là điều kiện cần tìm.
(!): Theo kiểu thứ nhất học sinh phiên dịch sai yêu cầu của bài toán, với

cụm từ “chỉ có một nghiệm lớn hơn 3”, học sinh đồng nhất với “có hai nghiệm
bằng nhau lớn hơn 3”. Theo kiểu thứ 2 học sinh đã gộp hai trường hợp
1 2
x 3 x< <
và
1 2
3 x x= <
thành một trường hợp
1 2
x 3 x≤ <
. Tuy nhiên đã viết
điều kiện bỏ sót trường hợp
1 2
S
x 3 x
2
< ≤ <
.
Ngoài các sai lầm trên thì, trong phân chia trường hợp riêng, học sinh còn
mắc nhiều sai lầm khác, chẳng hạn, trong quá trình phân chia có thể bỏ sót các
trường hợp; phân chia trồng chéo; trùng lặp hoặc mắc phải sai lầm trong biến đổi
và tính toán.
1.3.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
Học sinh thường mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau
1.3.2.1. Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa
Theo A. A. Stôliar, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của
ngôn ngữ Toán học, chẳng hạn, không ít học sinh đã cho rằng:
2
a a=
;

( ) ( ) ( )
2 2 2
a b a b a b+ = + = +
; log
c
(a.b) = log
c
a.log
c
b;
m n m.n
a. a a=
;
(-x)
n
= - x
n
(không cần chú ý tới n chẵn, n lẻ),
−
=
1
1
f (x)
f(x)
; cos
4
x =
2
1 cos 2x

2
+
,
Có những hiện tượng học sinh biến đổi đúng những chưa chắc họ đã nắm
được kiến thức một cách thực thụ.
16
Ví dụ 11: Nhiều công thức phát biểu một cách rất “vần” như “lim của một
tổng bằng tổng các lim; lim của tích bằng tích các lim; đạo hàm của một tích
bằng tích các đạo hàm; tích của các hàm số đồng biến là hàm đồng biến”; học
sinh chỉ nắm kiến thức theo kiểu hành văn chứ không hiểu bản chất Toán học.
Ví dụ 12: Dấu “=” có rất nhiều hình thái sử dụng như chỉ sự đồng nhất,
toàn đẳng, chỉ sự thay đổi, chỉ một hành động cần tiến hành, Trong trường hợp
này nói riêng ta nói tới dấu “=” trong nguyên hàm. Vì mang một phong cách rất
“vần” nên học sinh dễ nhớ được
( )
f(x)dx g(x)dx f(x) g(x) dx+ = +
∫ ∫ ∫
, nhưng ít
học sinh hiểu được bản chất của dấu “=” đó. Trong hoàn cảnh này học sinh nắm
cú pháp một cách hình thức nhưng không hiểu được ngữ nghĩa cho nên học sinh
không hiểu vì sao I = 1 + I ?
Chẳng hạn, khi tính
dx
x.ln x
∫
, có học sinh giải như sau:
Kí hiệu I =
dx
x.ln x
∫

. Đặt u =
2
1 dx
du
ln x
x(ln x)
−
⇒ =
; v = lnx
dx
dv
x
⇒ =
.
Theo công thức nguyên hàm từng phần I =
udv uv vdu
= −
∫ ∫
ta có
I =
2
1 1
.ln x ln x. dx
ln x
x(ln x)
 
− −
 ÷
 
∫

, suy ra I = 1+ I (?)
Đã có sự vô lí, bởi lẽ dấu “=” trong hoàn cảnh này chỉ sự bằng nhau giữa
hai tập hợp: I là tập hợp của các hàm, mà I + 1 cũng là tập hợp của các hàm. Hơn
nữa với cách giải trên không đi đến kết quả gì.
Trong thực tế dạy học, ta đã bắt gặp hiện tượng, một bài toán tìm nguyên
hàm nhưng với hai cách giải đúng khác nhau đã cho ra kết quả có vẻ rất khác
nhau, nên đã dẫn đến sự hoài nghi về một trong hai kết quả. Khi hai người chọn
hai kết quả F(x) + C và G(x) + C, tuy G(x) và F(x) mang hình thức khác nhau
17
nhưng giữa chúng có thể chỉ sai khác một hằng số. Điều này rất hay gặp ở các
hàm lượng giác ngược.
Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp một cách hình thức nhưng không
hẳn hiểu được ngữ nghĩa của kí hiệu toán học.
Ví dụ 13: Sau khi biết
( )
k
n
n!
C
k! n k !
=
−
(1), học sinh có thể chứng minh
được công thức
n k k
n n
C C
−
=
(2) bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1). Tuy

nhiên, ít học sinh có thể thấy được (2) một cách trực giác và chứng minh (2)
bằng định nghĩa của
k
n
C
, học sinh không hiểu bản chất là, một tập X (gồm n
phần tử) có bao nhiêu tập con gồm k (
k n
≤
) phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con
gồm
n k−
phần tử .
Ví dụ 14: Khi học xong định lí về giới hạn hàm số, học sinh trả lời nhanh
kết quả tính
2
x 1
x 2x 1
lim
x 2
→
+ +
+
với một cách suy nghĩ hình thức là thay giá trị x = 1
vào
2
x 2x 1
x 2
+ +
+

để cho kết quả. Suy nghĩ kiểu như vậy nên học sinh cho rằng
2
x 1
x 3x 2
lim
x 1
→
− +
−
không tồn tại. Điều đó cho thấy học sinh không hiểu kí hiệu lim.
1.3.2.2. Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để
chỉ đối tượng ấy
Ví dụ 15: Học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là
k
n
C
”, hoặc,
“Chỉnh hợp chập k của n là
k
n
A
”; “mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + D = 0”.
1.3.2.3. Bị ám ảnh bởi các ngôn ngữ thông thường của các từ trong
tiếng Việt.
18
Ví dụ 16: Trong tiếng Việt “đại” là to hơn “tiểu”, học sinh ấn tượng với
điều này, nên nghĩ rằng hàm số y =
2
ax bx c
mx n

+ +
+
có cực đại lớn hơn cực tiểu.
Nhưng thực ra, nếu hàm số có cực trị thì giá trị cực tiểu lại lớn hơn giá trị cực
đại.
1.3.2.4. Áp đặt những tính chất liên quan đến khái niệm này cho khái
niệm khác có những từ gần giống
Ví dụ 17: Học sinh nghĩ: “Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn” do
bắt chước tính chất “Tổng của hai số lẻ là một số chẵn”, hoặc xuất phát từ tính
chất mỗi số nguyên không chẵn thì lẻ, nên nghĩ rằng chẳng có hàm nào vừa
không chẵn, vừa không lẻ.

1.3.2.5. Lạm dụng thuật ngữ và kí hiệu Toán học để thay thế một số từ
của ngôn ngữ tự nhiên
Ví dụ 18: a. Đa thức có hệ số bậc 3 < 0 (đa thức có hệ số bậc ba âm)
b. Giá trị của hàm số f(x) tại x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3)
c.
∃
ngày như
∀
ngày (một ngày như mọi ngày)
1.3.2.6. Ảnh hưởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn
Ví dụ 19: Không chú ý tới dấu của x nên học sinh viết
2
x x=
; học sinh
còn cho rằng
= ±36 6
.
Ở lớp 9 học sinh biết rằng mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai và đọc là căn,

nhưng khi dùng dấu căn thì phải quan niệm rằng đó là căn bậc hai số học, nghĩa
là chỉ giá trị dương trong hai giá trị ấy thôi. Đáng lẽ ra, khi viết dấu căn, giáo
viên đọc một cách đầy đủ rằng căn bậc hai số học của 36 bằng 6. Tuy nhiên theo
thói quen giáo viên thường chỉ nói vắn tắt căn của 16 bằng 4.
1.3.2.7. Đồng nhất ngôn ngữ có nội dung gần giống nhau
19
Ví dụ 20: Lẫn lộn cụm từ “điểm cực trị” ; “cực trị” và “giá trị cực trị”, do
đó dễ sai lầm khi giải Toán chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các cực trị của hàm
số y =
2 3 2
5
9
3
+ − +a x ax x b
là những số dương và
= −
0
5
x
9
là các điểm cực trị.
Học sinh dễ mắc mớ rằng, tại sao các cực trị là những số dương lại còn thêm giả
thiết điểm cực trị mang giá trị âm, phải chăng đề không đúng?
Ngoài những sai lầm trên học sinh còn sử dụng ngôn ngữ một cách tùy
tiện: “đồ thị đồng biến”; “điểm uốn của hàm số”; “tiệm cận của hàm số” ,
không hiểu chính xác các liên từ “khi và chỉ khi”; “nếu và chỉ nếu”; “điều kiện
cần và đủ”; “điều kiện ắt có và đủ” và không thấy được rằng, thay đổi một từ có
thể làm thay đổi hẳn mệnh đề. Khi phiên dịch từ ngôn ngữ Tiếng Việt sang ngôn
ngữ Toán học học sinh thường hay mắc sai lầm. Chẳng hạn, tìm m để hàm số
2 2

x 2mx 3m
y
x 2m
− +
=
−
có hai khoảng đồng biến trên toàn miền xác định của nó thì
học sinh phiên dịch thành hai khoảng đồng biến là
( ) ( )
−∞ ∪ + ∞; 2m 2m;
. Hoặc
ngay cụm từ “miền giá trị” và “tập giá trị” học sinh hiểu là như nhau, nhưng ta
thấy từ “miền” có thể vô hình gợi ý cho học sinh hình dung rằng một đoạn hay
một khoảng hữu hạn hay vô hạn điều này thường xảy ra đối với các hàm sơ cấp.
Nhưng với hàm “phần nguyên của x” :
[ ]
x
, xác định bởi quy tắc là số nguyên
lớn nhất không vựơt quá x và nói rằng miền giá trị của hàm
[ ]
x
là tập hợp số
nguyên Z gọi là tập giá trị, gọi như vậy e có phần lủng củng.
1.3.3. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan
Ví dụ 21: Tìm m để hàm số
2
x 2mx 5
y
x 1
− + −

=
−
có cực đại, cực tiểu nằm
về hai phía của đường thẳng y = 2x
20
(?): Đặt g(x) =
2
x 2mx 5− + −
Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y = 2x tương
đương với hệ
2
g(1) 2m 6 0
x 2mx 5
2x
x 1
= − ≠



− + −
=

 −
vô nghiệm

⇔

≠

⇔ − − < < − +


∆ = + − <

, 2
m 3
1 15 m 1 15
m 2m 14 0
(!): Từ trực quan của hình vẽ học sinh nghĩ rằng cực đại, cực tiểu nằm về
hai phía của một đường thẳng nghĩa là đồ thị
hàm số không cắt đường thẳng
y 2x=
. Nhưng
thực ra đường thẳng y = 2x có thể cắt đồ thị tại
hai điểm phân biệt mà điểm cực đại, điểm cực
tiểu vẫn nằm khác phía so với đường thẳng y =
2x.
Lẽ ra học sinh phải giải như sau: Hàm số
có cực đại và cực tiểu tương đương với m < 3.
Gọi A
( )
1 1
x ; y
, B
( )
2 2
x ; y
là các điểm cực trị
của đồ thị hàm số. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: y = - 2x
+ m, khi đó
1 1

y 2x m= − +
;
2 2
y 2x m= − +
. Để A và B nằm về hai phía của
đường thẳng
y 2x=
cần và đủ là
( ) ( )
1 1 2 2
2x y 2x y 0− − <

⇔
2 2 6 m 2 2 6− − < < − +
là giá trị cần tìm.
21
y
A
B
(∆): y = 2x
x
x
2
x
1
0
1
Hình 1
Ví dụ 22: Cho hàm số
2

x 1
y
x
+
=
. Tìm hai điểm A, B thuộc về hai nhánh
khác nhau của đồ thị sao cho AB có độ dài ngắn nhất.
(!): Thông qua hình vẽ trực quan học sinh dự đoán rằng hai điểm cần tìm
là: điểm cực đại và điểm cực tiểu, khi đó AB =
2 5
; sau đó cố gắng chứng minh
A, B là hai điểm cần tìm. Nhưng thực tế không phải như vậy!
(?): Ta thấy tiệm cận đứng của đồ thị là x = 0. Vì hai điểm nằm về hai phía
của tiệm cận, nên thực chất bài toán quy về tìm 0 < a < b sao cho

( )
2
2 2
2
b 1 a 1
M b a
b a
 
 
+ +
 
= − + −
 ÷
 
 

 
đạt giá trị nhỏ nhất
Dễ thấy M =
( )
2
2 2
2 1
b a 2
ab
a b
 
− − +
 ÷
 

Đặt: c = - a ta có M
2 2
2 1 4
4bc 2 8bc 8
bc bc
b c
 
≥ + + = + +
 ÷
 

=
4
8bc 8 2 32 8 8( 2 1)
bc

 
+ + ≥ + = +
 ÷
 
M đạt giá trị nhỏ nhất khi
1
a
2 2
= −
,
1
b
2 2
=

Kết quả cuối cùng của bài toán cho thấy A, B không phải hai điểm cực trị
như dự đoán ban đầu!
Ví dụ 23: Giải phương trình:
x
1
16
1
log x
16
 
=
 ÷
 

(?): Với x > 0, hàm số y = f(x) =

1
16
log x
có hàm số ngược là: y = g(x) =
x
1
16
 
 ÷
 
nên đồ thị của chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. Mặt khác:
22
m
(∆
m):
y=m
A
2 3
x
X
1
-1
0
B
(P
1)
y
3
hai hàm số không trùng nhau vì f(2) =
1

4
−
; g(2) =
2
1
16
 
 ÷
 
nên giao điểm của hai
đồ thị nằm trên đường thẳng y = x. Do đó việc giải phương trình đã cho được
quy về giải phương trình
x
1
x
16
 
=
 ÷
 
, nghiệm của phương trình x =
1
2
hoặc
1
x
4
=
(!): Nhưng ta thấy rằng với nghiệm x =
1 1

y
2 4
⇒ =
;
1 1
x y
4 2
= ⇒ =
nên các
điểm
 
 ÷
 
1 1
;
2 4
;
 
 ÷
 
1 1
;
4 2
không thuộc đồ thị hàm số y = x.
Sai lầm nguyên nhân do: Khi học về định lí: “Trong hệ tọa độ Đề các
vuông góc 0xy đồ thị của hai hàm số ngược nhau y = f(x) và y = g(x) là đối xứng
nhau qua đường phân giác thứ nhất (y = x)” học sinh căn cứ vào hình vẽ ngộ
nhận rằng: “đồ thị của hai hàm số ngược nhau thì cắt nhau trên đường thẳng
y x=
” thực ra với cách phát biểu này chỉ đúng với các hàm số đồng biến mà

thôi.
Xin dẫn ra mệnh đề đúng “cho hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến; hàm
ngược của nó là y =
1
f (x)
−
. Nếu đồ thị (C): y = f(x) và
,
(C )
: y =
1
f (x)
−
có điểm
chung M(
0 0
x ; y
) thì M nằm trên đường phân giác y = x”.
Ví dụ 24: Cho (P): y =
2
x 2x 3− +
và đường thẳng d: y = 2x + m. Xác
định m để (P) cắt d tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho AB = 2.
(?): Phương trình hoành độ
giao điểm của của (P) và d là
2
x 4x 3 m− + =
(1).
23

Đặt
2
1
y x 4x 3= − +
và gọi đồ thị của nó là (
1
P
);
2
y =
m và đồ thị của nó
là đường thẳng
1
d
cùng phương với 0x và cắt 0y tại (0; m). Khi đó d cắt (P) tại
hai điểm A, B phân biệt mà AB = 2 tương đương với (
1
P
) cắt
1
d
tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho AB = 2. Căn cứ vào đồ thị ta thấy AB = 2 tương đương với m
= 0.
(!): Học sinh đã gặp phải sai lầm khi cho rằng d cắt (P) tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho AB = 2 tương đương với (P
1
) cắt d
1
tại hai điểm phân biệt A, B

sao cho AB = 2, do trực quan học sinh nhầm tưởng hai giao điểm của d với (P)
và hai giao điểm của (P
1
) với d
1
có cùng tọa độ giao điểm, nhưng thực ra chỉ có
cùng hoành độ chứ không có cùng tung độ.
Lẽ ra bài toán phải được giải như sau: Hoành độ giao điểm của của (P) và
d là nghiệm của phương trình
2
x 4x 3 m− + =
(1), phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
⇔
m > - 1. Gọi A(
+
1 1
x ; 2x m
); B(
+
2 2
x ; 2x m
), khi
đó
( ) ( )

2 2
1 2 1 2
x x 4 x x 2− + − =

( )
2
1 2 1 2
4 4
x x 4x x m
5 5
⇔ + − = ⇔ = −
.

1.3.4. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm hoặc điều kiện áp
dụng định lí
1.3.4.1. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học
Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc
không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không
trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái niệm
Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm và
24
Hình 2
hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không có biểu
tượng đúng về khái niệm mới.
Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu có
tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán. Vì vậy có thể nói sự
“mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về
các khái niệm. Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức khái
niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:
+ Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên

nhận dạng và thể hiện khái niệm sai.
+ Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và
vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi
suy luận chứng minh) [57].
Ví dụ 25: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái
niệm góc lượng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lượng giác dẫn tới sai
lầm kế tiếp biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệm
của phương trình, bất phương trình lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặc
khi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu
nghiệm, chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các
họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:
Khi giải phương trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả:

⇔
x = k.
2
Π
; x =
Πk
3
; x =
Πk.

Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây
là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình:
sin ( 2x - 1) = sin (x + 3) là x = 4 + k360
0
hoặc x = 60
0
-

0
2
k360
3
+
.
25