mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH



Bùi Thị Thu Hiền





Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số : 60 14 10



LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC


NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ VĂN TIẾN


Thành phố Hồ Chí Minh – 2007




Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Văn
Tiến, người đã tận tình chỉ bảo tôi về mặt nghiên cứu khoa học và hướng
dẫn tôi hoàn thành luận văn này.

Xin trân trọng cảm ơn: GS. Claude Comiti, GS. Annie Bessot, GS.
Alain Birebent, PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, TS. Đoàn Hữu Hải và các quí
thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic toán
khóa 15.
Xin chân thành cảm ơn: TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình
giúp đỡ tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp.
Xin chân thành cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp tr
ong tổ
Toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (TPHCM) đã giúp đỡ và tạo điều
kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp Didactic khóa 15 đã luôn
động viên và chia sẻ những vui buồn và khó khăn trong suốt thời gian học tập
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và những bạn bè thân
thiết đã luôn bên cạnh, ủng hộ và động viên tôi trong suốt thời gian qua.


Bùi Thị Thu Hiền
MỞ ĐẦU


1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Theo truyền thống, tiếp tuyến luôn là chủ đề quan trọng trong chương trình toán ở trường phổ
thông Việt Nam, đặc biệt là trong chương trình hình học sơ cấp ở THCS và chương trình Giải tích ở
THPT. Trong phạm vi Giải tích, việc nghiên cứu khái niệm tiếp tuyến luôn gắn với khái niệm đạo hàm.
Trong luận văn tốt nghiệp đại học của mình, nhan đề: « Tiếp t
uyến và đạo hàm phải chăng là một
cặp ?», hai sinh viên người Pháp N. Chaboud và D. Hedde (2000) cũng đã chỉ ra sự gắn kết của hai
khái niệm này trong lịch sử giảng dạy ở Pháp từ năm 1993 đến năm 1999.
Từ đó, chúng tôi thấy cần thiết đặt ra các câu hỏi khởi đầu sau đây:

Tại sao khái niệm tiếp tuyến luôn gắn liền với khái niệm đạo hàm? Chúng kết hợp với nhau thế nào?
Vai trò, ý nghĩa của mỗi khái niệm trong sự kết hợp đó ?
Có được câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ cho phép chúng tôi – những giá
o viên toán THPT -
hiểu rõ hơn đối tượng kiến thức cần giảng dạy, để từ đó có những vận dụng thích hợp trong quá trình
thực hành nghề nghiệp của mình.


2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu

Lí thuyết nhân chủng học của Didactic toán với các khái niệm mấu chốt như “mối quan hệ thể
chế”, “Mối quan hệ cá nhân” sẽ là công cụ lí thuyết mà chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của mình.
Trong phạm vi lí thuyết này và từ các câu hỏi khởi đầu nêu trên, chúng tôi trình bày hệ thống câu
hỏi nghiên cứu của luận văn như sau :
Q1: Trong lịch sử phát triển của Toán học, mối quan hệ giữa đạo hàm
và tiếp tuyến đã được thiết lập
trong những tình huống nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Có đối tượng nào khác luôn gắn
liền với chúng ? Mỗi đối tượng có vai trò và chức năng gì trong mối quan hệ đó?
Q2: Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông, mối quan hệ thể chế với đạo hàm và tiếp tuyến,
cũng như quan hệ giữa chúng hình thành ra sao ? Với những đặc trưng cơ bản nào so với quan hệ của
chúng trong lịch sử ? Có những r
àng buộc thể chế nào trên chúng?
Q3: Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng thế nào lên mối quan hệ cá nhân học sinh?

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là tìm câu trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra ở mục 2.
Để đạt được điều đó, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau đây :
- Phân tích, tổng hợp một số tài liệu hay công trình đã biết về lịch sử hay khoa học luận để làm rõ
đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, đặc biệt là vai trò, chức năng của mỗi đối tượng

trong sự kết hợp này. Kết quả của chương này là cơ sở tham chiếu cho phân tích mối quan hệ thể chế
tiếp ngay sau đó.
- Phân tích, tổng hợp một số kết quả chính trong l
uận văn của hai sinh viên Pháp là N. Chaboud, D.
Hedde (2000) và phân tích chi tiết một SGK của Pháp nhằm mục tiêu làm tham chiếu cho phân tích CT
và SGK Việt Nam.
- Trên cở sở các nghiên cứu trên, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích CT và SGK toán lớp 9 và SGK
THPT hiện hành ở Vịêt Nam nhằm tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra trong Q2, mục 2.
- Triển khai một thực nghiệm để kiểm chứng về ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế gắn liền với
đạo hàm và tiếp tuyến lên mối qua
n hệ cá nhân tương ứng của học sinh.
Đặc biệt, chúng tôi sẽ đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu sau đây (kết quả rút ra từ phân
tích CT và SGK Việt Nam) :
Giả thuyết :”Ở bậc THPT, học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa
đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối
quan hệ cá nhân của học sinh”.
4. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm 5
phần : Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận chung.
- Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài; mục đích và
phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn.
- Chương 1 dành cho việc trình bày kết quả phân tích và tổng hợp các công tr
ình nghiên cứu về
khoa học luận và lịch sử để làm rõ đặc trưng của mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến trong lịch sử
hình thành và tiến triển của chúng.
- Trong chương 2, chúng tôi phân tích CT và SGK Việt Nam để làm rõ mối quan hệ giữa hai đối
tượng nêu trên. Nhưng trước đó, chúng tôi đã chọn phân tích một số tư liệu của thể chế dạy học của
Pháp để làm tham chiếu cho việc
phân tích SGK Việt Nam.
- Chương 3 giới thiệu một thực nghiệm nghiên cứu ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên mối

quan hệ cá nhân tương ứng của học sinh và kiểm chứng giả thuyết nghiên cứu nêu trong mục 3.
- Trong phần kết luận, chúng tôi tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và nêu một số
hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn.

Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA MỐI QUAN HỆ GIỮA TIẾP
TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM

1.1. Mục tiêu của chương

Mục đích chủ yếu của chương này là phân tích và tổng hợp một số công trình nghiên cứu lịch sử,
khoa học luận về tiếp tuyến và đạo hàm để làm rõ các đặc trưng của mối liên hệ giữa hai khái niệm
này.
Cụ thể, dựa vào các công trình đánh số [1], [2], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20] (xem
phần Tài liệu tham khảo) chúng tôi cố gắng tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau đây:
Đối tượng đạo hàm
và tiếp tuyến xuất hiện trong những tình huống nào của lịch sử toán học?
Chúng quan hệ với nhau như thế nào? Đặc trưng cơ bản của mối quan hệ này? Mỗi đối tượng có vai trò
và chức năng gì trong mối quan hệ đó?

1.2. Đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm

1.2.1. Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII
 Khái niệm tiếp tuyến
Trong [2], tác giả Vũ Đức đã rút ra một số đặc trưng khoa học luận sau đây
của khái niệm tiếp
tuyến trong giai đoạn này của lịch sử.
- Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện và được nghiên cứu trước hết trong phạm vi hình học sơ cấp với
các đặc trưng: tiếp tuyến là một đường thẳng có duy nhất một điểm chung và tiếp xúc với đư
ờng cong.
Tiếp tuyến của đường tròn còn có thêm đặc trưng vuông góc với bán kính của đường tròn tại tiếp điểm.

- Tiếp tuyến được định nghĩa hoàn toàn theo lối mô tả trực giác hình học và sử dụng một số thuật
ngữ khá mơ hồ, không được giải thích như “chạm”, “đi qua phía bên kia”, “rơi” Các định nghĩa mô tả
này không cho phép đưa ra một phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến.
-
Cách xác định tiếp tuyến luôn được trình bày thông qua dựng hình và phụ thuộc nhiều vào hình
vẽ và tính chất của đường cong.
 Nhận xét về mối quan hệ của hai khái niệm
Trong giai đoạn này tiếp tuyến chỉ xuất hiện ở phạm vi hình học sơ cấp
, bài toán xác định tiếp
tuyến được giải quyết dựa vào dựng hình. Khái niệm đạo hàm chưa xuất hiện (dù dưới dạng ngầm ẩn)
và do đó, chưa có mối liên hệ nào giữa hai khái niệm được thiết lập.
1.2.2. Giai đoạn 2: Nửa đầu thế kỉ XVII
Trong thời điểm này, việc phát minh ra hình học giải tích đồng thời và độc lập bởi Descartes
(1596-1650) và Fermat (1601-1665) đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của g
iải tích. Nhiều
phương pháp mới xác định tiếp tuyến ra đời tạo mầm mống cho sự hình thành phép tính vi phân.
 Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Fermat
Phần trình bày này dựa trên tài liệu [13] và [14].
Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất được biết đến từ năm 1629 qua các bức thư
của Fermat. Nhưng đến năm 1642 tác phẩm “Phương pháp khảo sát các số lớn nhất và nhỏ nhất” mới
được xuất bản. Trong tác phẩm này, Fermat đề xuất qui tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
qua bài toán
sau:

Chia đường AC (hình 1.1) bởi điểm B sao cho vật thể, được xây dựng trên hình vuông AB và đường
BC là lớn nhất
(*)

Fichtegôn giải thích phương pháp của Fermat như sau ([14, tr.355]):
Đặt đoạn AC đã cho là B, đoạn AB phải tìm là A.
Đối với thể tích lớn nhất ta được biểu thức A
2
(B-A)
Sau khi thế A+E vào biểu thức trên thay cho A (Fermat dùng chữ E làm kí hiệu chuẩn cho số gia của
lượng đang xét A).Ta cho cả hai biểu thức bằng nhau (trên thực tế là không bằng nhau):
(A+E)
2
(B-A-E) = A
2
(B-A)
Giản ước các vế ta được:
2A(B –A) – A
2
+ E(B–A–E) –2AE = 0
Bỏ những số hạng còn chứa E, kết quả ta có:
2A(B–A) –A
2
= 0 hay 2AB = 3A
2

Biểu thức này, theo cách diễn đạt của Fermat, là đẳng thức “đúng”, trong khi đó các đẳng thức trên chỉ
là “tưởng tượng ra” hay “gần đúng”. Từ đẳng thức cuối cùng ta xác định được A =
2
3
B

Nếu dùng các kí hiệu về hàm số, “qui tắc Fermat” dưới dạng tổng quát sẽ như sau:
Để tìm giá trị A, mà tại đó biểu thức f(A) có giá trị lớn nhất hay bé nhất, Fermat dựa vào nguyên
lý đã biết trước đó: tại thời điểm mà đại lượng đạt giá trị bé nhất hay lớn nhất, lượng đó hầu như dừng
lại trong quá trình biến thiên.
 Fermat viết các biểu thức “gần đúng”:
f (A+E) = f(A) hay f (A+E) - f(A) = 0 với E rất nhỏ
 Đơn giản những số hạng giống nhau ở hai vế, rồi chia cho E ta đư
ợc:
f(A E) f(A)
0
E



 Bỏ đi những số hạng còn chứa E, tức là đặt E = 0 (mà điều này tương đương với việc chuyển
qua giới hạn khi E
 0). Cuối cùng, ta được đẳng thức :

(*)
Giá trị lớn nhất của vật thể được hiểu là thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật có ba cạnh lần lượt là
A, A và B-A.

B
C B
A
A
Hình 1.1
E0
f(A E) f(A)
0

E






. Từ đó xác định được giá trị A cần tìm.
Nhận xét
Trong phương pháp trên có những chỗ bất hợp lí: lúc thì cho E là một số hữu hạn khác 0 (bằng
cách chia hai vế cho E) sau đó lại cho E = 0. Fichtegôn cũng nhận xét: “phương pháp của Fermat
không có cơ sở nào”.
Rõ ràng, Fermat đã gặp khó khăn với phép lấy giới hạn và khái niệm vô cùng bé. Tuy nhiên, trong
phương pháp trên đã hiện diện tư tưởng của giới hạn và khái niệm đạo hàm:
E0
f(A E) f(A)
0
E







(tương đương với các với cách viết hiện nay là
E0
f(A E) f(A)
lim
E




= 0 hay f’(A) = 0)
Theo ngôn ngữ hiện nay, phương pháp trên dựa trên tính chất:
«
Hàm số f(x) có đạo hàm tại a và đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm đó thì f’(a) =0. Về mặt hình học,
tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đạt cực đại hay cực tiểu thì song song với trục hoành »
Tuy nhiên, trong phương pháp trên, Fermat cũng chưa biết rằng f’(a) = 0 chỉ là điều kiện cần chứ
chưa phải là điểu kiện đủ để có cực trị
Còn lời giải có thể mô tả như sau:
Gọi V là thể tích của hình hộp chữ nhật nêu trên, x là độ dài đoạn AB và a là độ dài đoạn AC, ta
có:
232
()Vxax xax và
2
2
'3 2 0
3
a
Vxax x    
(vì x > 0).
Từ đó, ta có bảng biến thiên sau:

x 0 2a/3 a
V(x) 0
V đạt giá trị lớn nhất khi
2
3
a

x 
hay AB =
2
3
AC

Trong cùng tác phẩm trên, Fermat cũng đề nghị phương pháp xác định tiếp tuyến của đường
cong, được mô tả như sau đây (theo [13]).
Xác định tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M.
Gọi M’ là điểm khác M nằm trên đường cong (C).
X, X’ lần lượt là hình chiếu của M, M’ xuống trục
hoành
Giả sử tiếp tuyến tại điểm M mà ta cần xác định cắt
trục hòanh tại T. X’M’ cắt tiếp tuyến MT tại N (Hình
1.2).
Để xác định tiếp tuyến MT, Fermat tìm tiếp ảnh TX.
Do
 TXM và TX’N đồng dạng và thay X’N bằng xấp
xỉ, ta có:
A: XM = E: (X’M’-XM)
E
A
T
X’

X
N
M’
M
Hình 1.2

Theo cách kí hiệu thông thường hiện nay, nếu kí hiệu đường cong (C) bằng công thức y = F(x) thì đẳng
thức trên trở thành:
A : F(x) = E : (F(x+E)-F(x))
 A =
F(x).E
F(x E) F(x)


Chia biểu thức trên cho E ta được:
F(x)
A
F(x E) F(x)
E



Cho E bằng 0, tìm được A
Nhận xét
Cách dựng tiếp tuyến của Fermat thể hiện một quan điểm rất khác về tiếp tuyến so với các quan
điểm trước đó. Trong phương pháp trên, khi điểm M’ dần đến vị trí của M thì cát tuyến M’M
dần đến
vị trí
của tiếp tuyến MT. Như vậy, Fermat đã xem tiếp tuyến của đường cong như là vị trí giới hạn của
cát tuyến.
Có thể thấy cả hai bài toán trên của Fermat cùng thống nhất trong một phương pháp giải, trong đó
đã xuất hiện ngầm ẩn “
khái niệm đạo hàm”.Tuy nhiên, ông không tiến xa hơn được vì khó khăn trong
việc hiểu “
giới hạn” và “vô cùng bé”.
Tóm lại, quan niệm rất mới về tiếp tuyến như là “

vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn tới một
phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến mặc dù phương pháp đó còn nhiều chỗ “bất hợp lí” như
đã phân tích ở trên.
Đạo hàm đã xuất hiện ngầm ẩn và đóng vai trò công cụ cho phép giải quyết bài
toán xác định tiếp tuyến của đường cong.
Mối liên hệ giữa đạo hàm ngầm ẩn và tiếp tuyến cũng được
thiết lập:
« Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm »
(Phương pháp trên tương đương với cách viết hiện nay:
F(x)
A
F'(x)

hay F’(x) =
F(x)
A
)
 Phương pháp xác định tiếp tuyến của Roberval (1602-1675) và Torricelli (1608-1674)
Theo [14], một cách độc lập và gần như đồng thời, cả hai nhà bác học này đã đưa ra phương pháp
tìm tiếp tuyến của đường cong bằng cách dùng “hình bình hành vận tốc” (những nghiên cứu của họ
được công bố lần đầu tiên năm 1644).
Roberval quan niệm:
“Phương chuyển động của điểm vạch nên đường cong là tiếp tuyến của đường cong tại mỗi vị trí điểm
của nó”
Cụ thể nếu đường cong biểu diễn được như là quĩ đạo chuyển động của điểm, chuyển động đó
gồm hai chuyển động đơn giản hơn mà đối với chúng vận tốc (theo giá trị và hướng) được cho một
cách trực tiếp, thì hướng của vận tốc của chuyển động hợp (và cùng với nó cả hướng của tiếp tuyến với
quĩ đạo) đự
ơc xác định theo “qui tắc hình bình hành”, như sau:

Giả sử tại thời điểm ban đầu chất điểm nằm ở O (hình 1.3) và
rơi tự do theo gia tốc g (có nghĩa là với vận tốc gt, t là thời gian) dọc
theo đường thẳng đứng, mà chất điểm đó lại dời chỗ theo chiều
ngang với vận tốc u không đổi. Khi đó, theo kí hiệu trong hình vẽ,
tại thời điểm t ta có :
x =
2
1
gt
2
; y = ut
Từ đó, sau khi khử t ta tìm được
2
2
u
y2x
g

. Như
vậy quĩ đạo
của chất điểm nhận được là một parabol ( mà dựa theo cách chọn u có
thể đồng nhất với parabol tùy ý
2
y2px ). Tỉ số giữa
vận tốc thẳng
đứng và nằm ngang bằng
2
gt gt 2x
uuty


. Do đó- chú ý
đến sự đồng
dạng của các tam giác, ta chứng minh được rằng tiếp tuyến cắt trục parabol về phía sau đỉnh của nó
một đoạn là x.
Nhận xét :
Phương pháp của Roberval và Torricelli không đựơc xem là phương pháp tổng quát vì những khó
khăn trong việc xác định chuyển động thành phần. Quan niệm về tiếp tuyến của Roberval theo
quan
điểm động học
có ý nghĩa về mặt lịch sử vì đề cập đến phương tức thời của chuyển động, là ý tưởng
liên quan đến giới hạn, đánh dấu sự phát triển của giải tích. Cách làm này cho thấy ông đã thấy được
mối liên hệ mật thiết giữa vận tốc (đạo hàm của khoảng cách còn ngầm ẩn) với tiếp tuyến :
Tỉ số giữa
vận tốc thẳng đứng và nằm ngang bằng
2
x
y
.
Theo ngôn ngữ hiện nay thì mối liên hệ đó là : «hệ số góc của tiếp tuyến bằng
dy
dx
» (với Ox là
trục hoành, Oy là trục tung).
 Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow
Phần trình bày này dựa theo [19].
Phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow được trình bày trong « bài giảng về quang học và hình
học »
(1660-1670). Phương pháp này cũng tương tự như phương pháp của Fermat nhưng có những bước
hoàn thiện hơn và có thể diễn tả như sau :
Giả sử ta có đường cong s (hình 1.4). Đường thẳng

nằm ngang AP cắt đường cong tại A, đường thẳng
thẳng đứng PM cắt đường cong tại M.
Giả sử MT là tiếp tuyến cần xác định của đư
ờng
cong tại M, cắt AP tại T.
Xét
cung MN vô cùng nhỏ là phần trùng nhau của
đường thẳng MT và đường cong s
.
Vẽ NQ // MP, NR //AP.
Hình 1.4

t
A
T
Q

P

m
R

M

a

N

c

T
x
x
O
y
p
M
x
Hình 1.3
Đặt MP = m; PT = t; MR = a; NR = e
Để xác định tiếp tuyến MT ta sẽ tính lượng PT = t
Vì M, N cùng nằm trên đường cong nên cùng nghiệm đúng tính chất đặc trưng của đường cong
đó. Từ tính chất này, ta tìm mối liên hệ giữa các đại lượng a, e và m qua một đẳng thức I nào đó. Trong
đẳng thức này, ta sẽ bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e (
các số hạng này được xem như:có
giá trị không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính
)
Dựa vào định lý Thales ta có
ae et
mt am

. Thay vào I, ta sẽ tính được t.
Như vậy tiếp tuyến MT hòan tòan được xác định

Theo Perrin, phương pháp xác định tiếp tuyến của Barrow dựa vào ý tưởng xem tiếp tuyến tại một
điểm của đường cong như là đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ của đường cong tại điểm
đó.

Phương pháp của ông, theo ngôn ngữ hiện đại, trong lân cận của tiếp điểm có thể “xấp xỉ” đường

cong bởi tiếp tuyến tại điểm đó.
Trong phương pháp trên, nguyên lí bỏ qua những số hạng vô cùng bé (a,e) có bậc cao hơn 1 được
nêu ra: “bỏ đi các số hạng có dạng lũy thừa của a và e vì các số hạng này được xem như có giá trị
không đáng kể hay vô cùng bé trong phép tính” (ở Fermat thì nguyên lí này chỉ có thể ngầm hiểu).
Việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến
m
t
được thay bằng tỉ số
a
e
mà e, a là các vô cùng bé đã ngầm
ẩn khái niệm ”vi phân”.
Theo cách làm hiện nay, nếu chọn A làm gốc tọa độ và trục hòanh là AP, trục tung là đường
thẳng qua A và song song với PM thì
a
e
chính là
dy
dx
và
m
t
chính là hệ số góc của tiếp tuyến.
Như vậy, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân (còn ngầm ẩn) đã được thiết lập: “Hệ số
góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân
dy
dx
”.
Tuy nhiên, cũng như Fermat, phương pháp của Barrow cũng chưa có cơ sở lí thuyết rõ ràng.
 Những đặc trưng khoa học luận cơ bản của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai

đoạn này có thể tóm lược như sau :
- Quan niệm rất mới về tiếp tuyến : “vị trí giới hạn của cát tuyến” và “đường thẳng trùng với phần
vô cùng nhỏ của đường cong tại tiếp điểm
” đã dẫn đến phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến.
Tiếp tuyến bắt đầu xuất hiện trong phạm vi giải tích và mở đường cho việc hình thành các ý tưởng liên
quan đến đạo hàm và vi phân.
Đạo hàm và vi phân xuất hiện như công cụ ngầm ẩn để giải bài toán xác
định tiếp tuyến
. Việc xuất hiện đạo hàm và vi phân trong tư tưởng xấp xỉ.
- Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, tiếp tuyến và vi phân cũng xuất hiện ngầm ẩn:
«Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm »
«Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số của hai vi phân
dy
dx
»
Nói cách khác, nhờ việc tìm lời giải cho bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong mà nhiều nhà
toán học trong giai đoạn này đã tiến đến hiểu biết rất gần với khái niệm đạo hàm, vi phân. Tuy nhiên,
việc giải các bài toán tiếp tuyến chưa có cơ sở rõ ràng và được giải quyết vẫn dựa vào hình vẽ.

1.2.3.Giai đoạn 3: Nửa cuối thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII
Phân tích trong phần này dựa vào [14], [15] và .
Sự phát triển của giải tích được tạo ra bởi Newton(1642-1727) và Leibniz (1646-1716) - cả hai hoạt
động độc lập với nhau từ những năm 1660- do việc phát minh ra phép tính vi tích phân.

1.2.3.1.Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp làm chảy (fluxi) của Newton
Phương pháp làm chảy của Newton được trình bày chi tiết trong “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô
hạn(1736)”
 Khái niệm về đạo hàm, vi phân ([14], [15]).
Newton xem một đường được sinh ra bởi chuyển động liên tục của một điểm và đưa ra một số
khái niệm mới.

Các lượng biến thiên
Newton gọi là “thông lượng” (“tức là các lượng chạy”) (fluente) và kí hiệu
bằng các chữ cuối cùng của bảng chữ cái Latinh: u, x, y, z ; chúng được khảo sát như những lượng
tăng (giảm) theo thời gian.
Những
vận tốc, mà theo đó chúng tăng, được gọi là “những đạo hàm” (fluxion) của chúng và
cũng được kí hiệu bằng những chữ đó, nhưng thêm dấu chấm
u,x,y,z

.
Thực ra, Newton chú ý rằng ở đây thời gian được hiểu không phải theo đúng nghĩa đen của nó,
“thời gian” có thể được hiểu là lượng bất kỳ chẳng hạn x, tăng một cách đều cùng với thời gian thực sự
chẳng hạn sao cho
x

=1. Nhưng cần nhớ rằng mọi thông lượng đều phụ thuộc vào “thời gian” này, tức
là vào cùng một biến độc lập phổ dụng.
“Vi phân” cũng được Newton đưa vào với tên gọi là
moment của đại lượng chảy. Moment của đại
lượng chảy x, kí hiệu là
x0

, mà lượng x sẽ tăng (hay giảm) trong khoảng thời gian vô cùng bé 0.
Về sau Newton đã đưa vào đạo hàm của đạo hàm, tức là đạo hàm thứ hai:
u,x,y,z
   
, và cả những
đạo hàm cấp cao.

 Phép lấy đạo hàm của Newton ( [14, tr.360])
Bài toán cơ bản thứ nhất của Newton gắn liền với phép tính vi phân: “
Theo hệ thức đã cho giữa
các thông lượng hãy xác định hệ thức giữa các đạo hàm”
Newton chỉ giải quyết trực tiếp đối với các phương trình đại số. Để ví dụ, ông lấy phương trình: x
3
–
ax
2
+ axy – y
3
=0. Cách làm như sau:
 Trong phương trình trên thay x bằng x + x0

, thay y bằng y + y0


 Đơn giản hệ thức trên và chia từng số hạng cho 0
 Cuối cùng bỏ qua những số hạng mà vẫn còn chứa 0 thì ta được:
3x
2
x

– 2ax x

+ ay x

+ ax y

– 3y

2
y

=0

Newton giải thích việc bỏ qua các số hạng chứa 0 : “vì ta đã giả thiết 0 là lượng vô cùng bé,…
cho nên những số hạng, mà được nhân với nó, có thể xem như không đáng kể so với các đại lượng
khác”.
Theo Fichtegôn, nguyên lí mà Newton phát biểu và cách làm không phải là mới nhưng cái thực sự
mới ở đây là: “
kết quả được khẳng định đối với các thông lượng bất kì, không phải từng bài toán cá
biệt
”.


 Phương pháp tìm tiếp tuyến của Newton( [14, tr.361])
Newton đã áp dụng cách tính các đạo hàm cho một số bài toán quan trọng trong đó có bài toán:
“
Dựng tiếp tuyến với đường cong”
Ở đây chúng tôi trình bày tóm tắt cách giải quyết bài toán tiếp tuyến của Newton :
Trong trường hợp cơ bản, khi cho trực tiếp phương trình giữa các tọa độ Descartes x, y của điểm
biến thiên của đường cong, Newton lý luận như Barrow (đã trình bày ở phần tiếp tuyến), chỉ khác là
các số gia (giảm) vô cùng bé e và a ông đã thay bằng các mốc
x0

, y0


Do đó ( nếu giữ nguyên kí hiệu ở hình 1.4 thì : PM : TP =
y


: x


Còn tỉ số giữa các đạo hàm được xác định từ phương trình của đường cong theo qui tắc trên.
Ngày nay, điều đó có nghĩa là: “
hệ số góc của tiếp tuyến bằng y

: x

”
Như vậy, từ vận tốc Newton đã đưa vào khái niệm đạo hàm rồi dùng khái niệm này giải quyết bài
toán tiếp tuyến.

 Tiếp tuyến và đạo hàm trong phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình ( [17,
tr. 6-8])
Cũng trong cuốn “Phương pháp fluxi và các chuỗi vô hạn(1736)”, Newton đã áp dụng phương
pháp bỏ qua các vô cùng bé để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.
Cho phương trình y
3
– 2y – 5 = 0, dùng một số chẳng hạn là số 2, mà không khác lắm với giá trị
đúng của nghiệm, và đặt 2 + p = y
Thay 2 + p bởi y vào phương trình cho sẵn, chúng ta sẽ có: p
3
+ 6p
2
+ 10p – 1 = 0;
Bỏ đi p
3
+ 6p

2
rất nhỏ ta được 10p – 1 = 0, hay p = 0,1, cái này là một giá trị rất gần với giá trị đúng
của p;
Vì thế việc viết dưới dạng 0,1 + q = p và cũng làm như trên, ta có :
q
3
+ 6,3q
2
+ 11,23q + 0,061 = 0, bỏ đi hai lựơng đầu tiên không đáng kể, còn lại :
11,23q + 0,061 = 0, hay q = - 0,0054 tốt hơn là ta đạt được trước đây, và ta tiếp tục quá trình này đến
khi ưng ý.
………………………………………
Nhận xét :
Ta có thể mô tả bài toán và lời giải theo quan điểm hiện nay như sau :
Cho hàm số f(x) = x
3
– 2x– 5 có đồ thị là (C)
Đồ thị này cắt trục hoành tại điểm khá gần với 2.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là: x
3
– 2x– 5 = 0 (1)
Đặt x = 2 + p thì (1) trở thành p
3
+ 6 p
2
+ 10p – 1 = 0 và f’(2) =10 .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2 là ∆: y = 10(x-2) – 1
Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và trục hoành là:
10(x-2)-1 = 0 hay 10p – 1 = 0 hay p = 0,1
Ta có nghiệm gần đúng là x

1
= 2 + p = 2,1
Và cứ tiếp tục như thế, đặt p = 0,1 + q (nghĩa là x = 2,1+ q) thì (1) trở thành:
q
3
+ 6,3q
2
+ 11,23q + 0,061 = 0
f’(2,1) = 11,23
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x = 2,1 là (∆’): y = 11,23(x-2,1) + 0,061
Phương trình hoành độ giao điểm của ∆’ và trục hoành là: 11,23(x-2,1) + 0,061 = 0 hay 11,23q+ 0,061
= 0 hay q = - 0,0054.
Vậy ta có nghiệm gần đúng là x
2
= 2,1+ q = 2,0964
Và cứ tiếp tục đến khi ưng ý……

Ở đây, theo cách của Newton, ông đã bỏ đi lượng không đáng kể p
3
+ 6p
2
(dựa nguyên lí:” bỏ qua
những số hạng vô cùng bé có bậc cao hơn 1”) để
f(2+p)
 10p – 1 hay f(2+p) f(2) + f’(2)p.
Trong đó, f(2)+f’(2)p là một hàm affine và cũng chính là tiếp tuyến của hàm số y= f(x) tại x = 2 .

Như vậy, theo quan điểm hiện nay, có thể tóm tắt phương pháp của Newton theo như sau :
Xét phương trình f(x) =0 và x
0

là một nghiệm gần đúng của phương trình.
Nếu f là một hàm số có đạo hàm trên khỏang I, đường cong của nó là (C) có một tiếp tuyến tại mỗi
điểm M
0
(x
0
; f(x
0
)). Bắt đầu ở điểm M
0
(x
0
; f(x
0
).
- Dựng tiếp tuyến T
0
của đường cong (C) tại điểm M
0
và tìm hoành độ giao điểm của T
0
và trục
hoành ta được nghiệm gần đúng x
1

- Dựng tiếp tuyến T
1
của đường cong (C) tại điểm M
1
(x

1
,f(x
1
)) và tìm hoành giao điểm của T
1
và
trục hoành ta được nghiệm gần đúng x
2

- và cứ tiếp tục như thế…ta xây dựng được dãy (x
n
) các nghiệm gần đúng của phương trình.
Trong phương pháp giải này ngầm ẩn mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine:
“hàm số f(x) có
đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
điểm có hòanh độ là a”.

1.2.3.2. Từ tiếp tuyến đến phương pháp vi phân của Leibniz
Phân tích trong phần này dựa vào [14] và [13].
Cùng với Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) được xem như người khai sinh ra
phép tính vi phân và giải tích vô cùng bé. Nếu như Newton từ vận tốc, đưa vào khái niệm đạo hàm rồi
dùng khái niệm này giải quyết bài toán tiếp tuyến thì Leibnitz xây
dựng khái niệm tiếp tuyến và tìm tiếp tuyến bằng các “
vi phân”.
Kể từ năm 1673, việc nghiên cứu các vấn đề tổ hợp đã đưa ông tới
các vấn đề vi phân của toán học. Tuy nhiên, các nguyên tắc của phép
tính vi phân chỉ công bố năm 1684 trong hồi kí đầu tiên của ông “
Phương pháp mới về các số lớn nhất và bé nhất, cùng những tiếp
y
D

dx
Y
Y
X
X
A
x
Hình 1.5
tuyến, mà các đại lượng phân số, vô tỉ không phải là trở ngại cho phương pháp đó” được xuất bản.
Leibniz viết:
“Giả sử YY là đường cong tùy ý (hình 1.5). Y là điểm biến thiên trên đó với hoành độ AX = x và
tung độ YX = y, Leibniz kí hiệu dx đơn giản là đoạn thẳng được lấy tùy ý. Nếu YD là tiếp tuyến của
đường cong tại điểm Y, thì đoạn thẳng mà tỉ lệ với dx cũng như là tung độ y tỉ lệ với XD (tiếp ảnh)
được gọi là dy”.
Như vậy, vi phân của hàm số- dy- được xác định bởi đẳng t
hức:
dy y
dx XD

.
Sau đó, Leibniz đã đưa ra các qui tắc tính toán liên quan đến việc lấy vi phân của hằng số, hiệu,
tích, thương, căn số. Từ phương trình của đường cong, bằng các qui tắc đó, Leibniz xác định được tỉ số
dy
dx
, từ đó xác định được tiếp ảnh XD.
Nhận xét :
Như vậy, Leibnit cũng quan niệm
“tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến”và hệ số góc của
tiếp tuyến là tỉ số của các vi phân
dy

dx
”.
Về bản chất thì các phương pháp của Newton và Leibniz là tổng hợp các phương pháp của Fermat
và Barrow, nhưng chặt chẽ hơn và có hệ thống hơn vì có cơ sở lý thuyết là các
khái niệm vi phân và
đạo hàm
. Việc trình bày các qui tắc tính vi phân và đạo hàm đã giúp cho việc xác định tiếp tuyến của
đường cong trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Đến đây, bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong tổng
quát xem như được giải quyết.
Tuy nhiên, cả Newton và Leibniz đều chưa xây dựng được cơ sở vững chắc cho các phép tính của
mình vì cả hai chưa làm rõ được những cơ sở cho việc bỏ qua các đại lượng vô cùng bé và các vấn đề
liên qua
n đến giới hạn.

Tóm tắt những đặc trưng khoa học luận của mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong giai
đoạn này:
- Việc tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong dẫn đến sự nảy sinh
khái niệm đạo hàm và vi phân. Bên cạnh đó khái niệm đạo hàm cũng sớm được xuất hiện như là công
cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong chuyển động cơ học. Sau đó,
đạo hàm và vi phân đóng vai trò
công cụ tường minh cho việc xác định tiếp tuyến của đường cong.
- Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và vi phân, tiếp tuyến và đạo hàm đã xuất hiện tường minh
dưới dạng:
“hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của
y
x


” và “hệ số góc của tiếp tuyến là tỉ số của các vi
phân

dy
dx
”.
- Vấn đề liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm cũng đã dẫn đến việc hình thành tư tưởng xấp
xỉ. Khái niệm xấp xỉ affine xuất hiện ngầm ẩn trong việc tìm nghiệm gần đúng của phương trình bậc 3
của Newton và trong cách tìm tiếp tuyến của Barrow, Newton :“
đường cong xấp xỉ với tiếp tuyến trong
lân cận tiếp điểm
”. Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập: “hàm số
f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm có hòanh độ là a”

1.2.4. Giai đoạn 4: Từ đầu thế kỉ XIXđến nay
Ở thế kỉ XVIII, một số nhà toán học đã cho định nghĩa tổng quát về giới hạn. Sau đó, từ khái
niệm giới hạn, các nhà toán học ở thế kỉ XIX – đặc biệt là Cauchy (1789- 1857) mới lập nên nền tảng
thực sự cho việc xây dựng tiếp theo của toàn bộ giải tích toán học, cho phép tính vi tích phân nói riêng.
Tuy nhiên, trong nền tảng này vẫn còn có lỗ hổng- vẫn chưa có đủ cơ sở chặt chẽ cho chí
nh khái niệm
số thực và việc chứng minh tính liên tục của phạm vi các số thực. Việc khắc phục khiếm khuyết này
được thực hiện trong suốt thế kỉ XIX.
Thuật ngữ “Đạo hàm” do Lagrange đưa ra vào cuối thế kỉ XVIII và đầu thế kỉ XIX. Cauchy là
người đầu tiên đưa ra định nghĩa đạo hàm theo lí thuyết cổ điển của giới hạn và ông cũng đưa vào định
nghĩa vi phân dựa trên khái niệm đạo hàm
.
Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến (từ điển toán học [9] ) :
Cho hàm số f xác định trên khoảng (a,b). Đạo hàm của hàm f tại điểm x
0


(a,b) là giới hạn, nếu có,

của tỉ số


0
0
f(x) f(x )
xx
khi x dần tới x
0
( x

(a,b), x ≠ x
0
)
Đạo hàm tại x
0
được kí hiệu là f’(x
0
) (kí hiệu Newton) hay
0
()
df
x
dx
(kí hiệu của Leibniz)
Còn định nghĩa tiếp tuyến, cho trong từ điển toán học năm 1993 của nhà xuất bản Mir Moscou
như sau :

Cho f là một hàm số xác định trong lân cận U(x
0

) của điểm x
0
và liên tục tại x
0
. Cho M(x
0
,f(x
0
)),
M(x,f(x)) trong đó x
U(x
0
). Tiếp tuyến tại điểm M của đường cong biểu diễn cho hàm số f là vị trí giới
hạn của cát tuyến M
0
M khi x tiến về x
0
, hay nói cách khác là khi M

M
0
.
Nếu f khả vi tại x
0
thì tiếp tuyến có phương trình là : y – f(x
0
) = f’(x
0
) (x – x
0

) ( hệ số góc của tiếp tuyến
bằng f’(x
0
))
Nhận xét:
Trong giai đoạn này, phép tính vi phân đã có cơ sở lí thuyết chặt chẽ. Đạo hàm đóng vai trò công
cụ tường minh
trong việc tìm lời giải bài toán xác định tiếp tuyến.
Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện tường minh. Đặc trưng của mối quan hệ này là:
“hệ số
góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”
Ngoài ra, từ công thức f’(x
0
) =



0
0
xx
0
f(x) f(x )
lim
xx
suy ra được f(x)

f’(x
0
)(x-x
0

) + f(x
0
), trong đó y =
f’(x
0
)(x-x
0
) + f(x
0
) chính là phương trình tiếp tuyến của đường cong có phương trình y = f(x) tại điểm
có hoành độ là x
0
. Như vậy, mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và xấp xỉ affine cũng được thiết lập
tường minh:
“hàm số f(x) có đạo hàm tại a thì có thể xấp xỉ f(x) bằng một hàm affine và đó chính là
tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hòanh độ là a”



1.3. Kết luận

Khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước và rất lâu trong lịch sử rồi mới đến khái niệm đạo hàm và
vi phân. Nhu cầu tìm kiếm phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của đường cong (mà qua đó
khái niệm tiếp tuyến được ngầm định nghĩa) là động lực thúc đẩy cho việc hoàn thiện khái niệm tiếp
tuyến và đồng thời là một trong các nhân tố dẫn đến sự nảy sinh khái niệm đạo hàm và vi phân. Bên
cạnh đó khái niệm đạo hàm
cũng sớm xuất hiện như là công cụ cho việc tìm vận tốc tức thời trong
chuyển động cơ học. Khi khái niệm đạo hàm hình thành và hoàn thiện thì lại tác động ngược lại để
giải quyết các bài toán tiếp tuyến một cách triệt để. Trong mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm
cũng có sự hình thành của khái niệm xấp xỉ affine :

”xấp xỉ hàm số bằng hàm affine, về mặt hình học
là xấp xỉ đường cong bởi tiếp tuyến trong lân cận tiếp điểm”.

1.3.1. Tóm tắt tiến triển của mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến
 Giai đoạn 1: Trước thế kỉ XVII
Trong giai đoạn này, các quan niệm về tiếp tuyến được mô tả bằng trực giác hình học rất mơ hồ nên
chỉ cho phép nghiên cứu tiếp tuyến ở một số hình hình học đơn giản. Tư tưởng về đạo hàm chưa xuất
hiện do đó không có mối liên hệ nào giữa tiếp tuyến và đạo hàm.
 Giai đoạn 2: nửa đầu thế kỉ XVII (giai đoạn ngầm ẩn mối liên hệ)
- Việc phát minh ra hình học giải tích được tạo ra bởi Descarte và Fermat đã dẫn đến sự phát triển vượt
bậc của toán học. Tiếp tuyến đã chuyển vào phạm vi hình học giải tích và bước đầu tiến vào lĩnh vực
giải tích nhờ các quan niệm rất mới của một số nhà toán học tiên phong. Các quan niệm về tiếp tuyến
trong giai đoạn này:
+ Quan niệm của Fermat
(QNF) : Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến.
+ Quan niệm của Torricelli và Roberval (QNT)
: Phương tức thời của chuyển động (quan điểm
động học).

+ Quan niệm của Barrow (QNB):
Tiếp tuyến là đường thẳng gần trùng với đường cong trong lân
cận tiếp điểm.
QNT không giải quyết triệt để bài toán tiếp tuyến do khó khăn trong việc xác định chuyển động thành
phần. QNF, QNB đã mở ra con đường cho giải tích phát triển cụ thể là việc nảy sinh ra các khái niệm
đạo hàm và vi phân.
- Những tư tưởng đầu tiên về đạo hàm xuất hiện trong bài toán tìm GTLN, GTNN và tìm tiếp tuyến
của đường cong bởi nhà toán học Pháp Pierre de Fermat. Trong giai đoạn này, thuật ngữ “
đạo hàm”
xuất hiện đầu tiên trong vật lí bởi Torricelli và Barrow:
“Đạo hàm của khoảng cách là vận tốc”. Tuy

nhiên, đạo hàm không được nghiên cứu sâu hơn trong toán học. Đạo hàm xuất hiện trong toán học chỉ
như một
công cụ ngầm ẩn trong các bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong. Nó lấy cơ chế của
một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa).
- Khái niệm xấp xỉ affine cũng xuất hiện ngầm ẩn trong quan niệm về tiếp tuyến của Barrow: ”
tiếp
tuyến gần trùng với đường cong trong lân cận tiếp điểm
”. Tư tưởng xấp xỉ gắn liền với việc hình thành
khái niệm tiếp tuyến và cũng tạo điều kiện cho việc hình thành phép tính vi phân.
- Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine
Tiếp tuyến dẫn đến việc hình thành các ý tưởng của phép tính đạo hàm và vi phân. Trong giai đoạn này,
đạo hàm và vi phân đóng vai trò
công cụ ngầm ẩn cho việc giải bài toán tiếp tuyến. Đặc trưng của mối
quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm và xấp xỉ affine:
“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”
“Tiếp tuyến xấp xỉ với đường cong trong lân cận tiếp điểm”

 Giai đoạn 3: Từ nửa sau thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII
Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân nảy sinh và phát triển nhờ công lao to lớn của hai nhà toán
học Newton và Leibnit. Nhờ đó bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong cũng được giải quyết triệt để.
- Quan niệm về tiếp tuyến: Cả Newton và Leibnit đều có quan niệm về tiếp tuyến giống với Fermat và
Barrow.
- Quan niệm về đạo hàm:
+ Newton cho định nghĩa đạo hàm (fluxion) trong vật lí : Đạo hàm là vận tốc của lượng chạy
+ Leibnit hiểu về đạo hàm
: Đạo hàm được hiểu là tỉ số của các vi phân
dy
dx
.
Trong giai đoạn này, đạo hàm và vi phân vẫn lấy

cơ chế công cụ và đã bắt đầu là đối tượng nghiên
cứu
. Nói cách khác, đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm paramathématique.
-
Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm:
Việc xác định tiếp tuyến dẫn đến sự xuất hiện khái niệm vi phân
. Đạo hàm và vi phân được dùng như
công cụ tường minh để giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Đặc trưng của mối liên hệ:
“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”
“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng tỉ số hai vi phân
dy
dx
”
 Giai đoạn 4: Từ cuối thế kỉ XIX đến nay
- Quan niệm về tiếp tuyến
Tiếp tuyến của đường cong vẫn dựa trên quan điểm về tiếp tuyến giống Fermat và Barrow.
- Quan niệm về đạo hàm
Giới hạn của tỉ số số gia của hàm số và đối số.
Đến đây,
đạo hàm lấy cơ chế của một khái niệm toán học. Đạo hàm vẫn tiếp tục là công cụ hữu hiệu để
giải bài toán tìm tiếp tuyến của đường cong. Ngòai ra, đạo hàm còn dùng như là
công cụ để định nghĩa
khái niệm tiếp tuyến

- Đặc trưng của sự kết hợp giữa tiếp tuyến và đạo hàm:
“Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm số tại hòanh độ tiếp điểm”

1.3.2. Tóm tắt tiến trình xuất hiện các khái niệm và quan hệ giữa chúng
 Giai đoạn ngầm ẩn (đầu thế kỉ XVII)

















Sơ đồ 1.1. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XVII.

 Giai đoạn tường minh (nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII)

Sơ đồ 1.2. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm nửa cuối thế kỉ XVII đến thế kỉ XVIII.
 Giai đoạn thế kỉ XIX :







Sơ đồ 1.3. Tiến trình xuất hiện tiếp tuyến và đạo hàm đầu thế kỉ XIX
Đạo hàm
Giới hạn tỉ số số gia
Tiếp tuyến
xấp xỉ afin (tường minh)
Tiếp tuyến (GTVCB )
Xấp xỉ affine
(
n
g
ầm ẩn
)

Đạo hàm, vi phân
(
tườn
g
minh)
Bài toán
vật lí

Tiếp tuyến

(
Giải tích vô cùn
g
bé
)

Đạo hàm, vi phân
(ngầm ẩn)
Tiếp tuyến
(
Hình h
ọ
c sơ cấ
p)

Tiếp tuyến

(
Hình h
ọ

c
g
iải tích
)

Xấp xỉ affine
(ngầm ẩn)

Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÁI NIỆM TIẾP TUYẾN VÀ ĐẠO HÀM Ở
CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Mục đích và phương pháp phân tích
-
Đặt cơ sở trên kết quả phân tích ở chương 1, chương này có mục tiêu nghiên cứu mối quan
hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ở cấp độ tri thức cần giảng dạy trong thể chế dạy học toán ở Việt Nam.
Cụ thể hơn, chúng tôi đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau:

+ Khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm kết hợp với nhau trong những tình huống nào? Đặc trưng của
mối quan hệ này? Trong các tình huống đó, mỗi khái niệm lấy nghĩa gì?

+
Vai trò của khái niệm tiếp tuyến đối với khái niệm đạo hàm và ngược lại?
+ Có những ràng buộc nào của thể chế lên mối quan hệ giữa hai khái niệm này? Hệ quả của nó?
- Ở thời điểm chúng tôi tiến hành nghiên cứu, SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau :
+ Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000
+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH
+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban KHTN và ban KHXH
Để nghiên cứu, chúng tôi chọn chương trình và SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (đang được sử
dụng đại trà) kết hợp với việc so sánh, đối ch
iếu với SGK thí điểm bộ 2. Trong bộ sách thí điểm này, sự

khác nhau giữa hai ban không nhiều nên chúng tôi chọn ban KHTN để phân tích.
Ngoài ra, để thấy rõ hơn mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Việt Nam,
chúng tôi chọn phân tích một số SGK của thể chế dạy học ở Pháp.
Phần phân tích sau dựa vào các tài liệu đánh số từ [2] đến [12] và [18] (xem Tài liệu tham khảo).






Phần A
Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong SGK Pháp

Theo phân tích ở chương 1, khái niệm tiếp tuyến xuất hiện trước trong phạm vi hình học sơ cấp
(HHSC) thông qua khái niệm tiếp tuyến với đường tròn, sau đó mới xuất hiện trong giải tích và mở
đường cho việc hình thành khái niệm đạo hàm và vi phân.
Phân tích chương trình và SGK của Pháp cũng cho thấy tiếp tuyến xuất hiện đầu tiên trong phạm
vi HHSC. Sau đó, khái niệm tiếp tuyến với đường cong tổng quát đuợc đưa vào cùng với khái niệm
đạo hàm
. Sau đây chúng tôi sẽ phân tích theo 2 giai đoạn :

2.1. Tiếp tuyến trong phạm vi HHSC

Chúng tôi dựa vào kết quả trong [2]
Khái niệm tiếp tuyến với đường tròn được đưa vào ở lớp 10 với các đặc trưng: là đường thẳng có
”một điểm chung”,” tiếp xúc”,”vuông góc với bán kính qua tiếp điểm”. Việc xác định tiếp tuyến chủ
yếu dựa vào phương pháp dựng hình và phương pháp vectơ tọa độ.

2.2. Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong phạm vi giải tích

2.2.1. Những đặc trưng chủ yếu của tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến
a) Trong khóa luận tốt nghiệp (mémoire professionnel) của mình, hai sinh viên Pháp N.Chaboud và
D. Hedde đã làm rõ bốn tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm thể hiện trong một số SGK thuộc các
ban khác nhau ở Pháp (từ năm 1993 đến năm 1999).
Bảng dưới đây tổng hợp những đặc trưng chính của khái niệm đạo hàm và mối quan hệ của nó với khái
niệm tiếp tuyến trong các tiến trình này[25, tr.3].


Bảng 2.1: Những điểm chính của mỗi tiến trình đưa vào khái niệm tiếp tuyến, đạo hàm


Ghi chú
- ”Số đạo hàm” chính là đạo hàm của hàm số tại một điểm
-
Nghiên cứu địa phương một hàm số là nghiên cứu hàm số đó trong một lân cận khá bé của một
điểm nào đó. Nghiên cứu tổng thể một hàm số là nghiên cứu nó trong một khoảng xác định.
b) Nhận xét
Tiến trình 1 Tiến trình 2 Tiến trình 3 Tiến trình 4
Tiếp tuyến
(khái niệm trực giác)


Số đạo hàm

Hàm số đạo hàm
Giới hạn tại 0 của tỉ số số
gia


Số đạo hàm

Hàm số đạo hàm và tiếp
tuyến
(khái niệm được định nghĩa)
Xấp xỉ afin ( dưới hình
thức khai triển giới hạn
cấp 1) và giới hạn của tỉ
số số gia

Số đạo h
àm

Hàm số đạo hàm và khái
niệm tiếp tuyến ( khái
niệm được định nghĩa)
Hàm số đạo hàm
( khái niệm trực
giác)

Số đạo hàm

Tiếp tuyến
( khái niệm được
định nghĩa)

Khái niệm giới
hạn

Chuyển từ địa phương tới tổng thể
Chuyển từ tổng

thể tới địa
phương
Xấp xỉ affine không
được đề cập hoặc
hầu như không được
xử lí
Xấp xỉ affine được đề cập theo
kiểu ”bổ sung” (thường là cuối
công đoạn)
Xấp xỉ affine là cơ sở
của phần lí thuyết
(cours)
Xấp xỉ affine
được xếp vào một
công đoạn sau
khi nghiên cứu về
giới hạn
- Trong các tiến trình ở trên thì khái niệm tiếp tuyến có thể xuất hiện trước hay sau khi đưa vào khái
niệm số đạo hàm :
Trong tiến trình 1, nó được đưa vào một cách trực giác trước khái niệm số đạo hàm.
Trong các tiến trình 2, 3, 4 tiếp tuyến luôn được định nghĩa sau số đạo hàm.
Như vậy,
tiếp tuyến có khi là phương tiện và động cơ để đưa đến khái niệm đạo hàm, có khi nó lại
được định nghĩa nhờ vào khái niệm đạo hàm
.
- Trừ tiến trình 1, xấp xỉ affine luôn được đề cập (có khi đóng vai trò quan trọng, có khi đóng vai trò
bổ sung) trong các tiến trình đưa vào khái niệm đạo hàm.
2.2.2. Phân tích bộ SGK Déclic Maths - Hachette livre 2002
Để làm sáng tỏ và bổ sung thêm những gì trình bày ở trên chúng tôi chọn phân tích một bộ SGK
của Pháp. Cụ thể ở đây chúng tôi chọn một bộ SGK hiện hành của Pháp là “Déclic Maths - Hachette

livre 2002”
Để thuận tiện cho phân tích, chúng tôi trình bày dưới đây cấu trúc của mỗi chương trong bộ SGK
này .
Cấu trúc của chương
Mỗi chương của bộ sách này gồm 6 phần sau:
 Hoạt động (Activités)
Những hoạt động được đưa vào đa dạng nhằm đề cập đến :
- Một khía cạnh văn hóa
- Nhắc lại những khái niệm cần thiết hay những kĩ thuật cơ bản
- Tiếp cận các khái niệm sẽ được đề cập trong chương.
 Lí thuyết (cours)
Trình bày những kiến thức lí thuyết mới (định nghĩa, định lí, ví dụ, phương pháp )
 Bài tập giải sẵn (Exercises résolus)
Bài tập có trình bày sẵn lời giải và phương pháp để giải chúng được tổng kết ở bảng « kĩ năng »
(savoir-faire) cuối mục này.
 Bài tập có hướng dẫn (Travaux dirigés)
Bao gồm những bài tập mẫu có hướng dẫn giải.
 Tổng hợp (Synthèse)
Điểm lại những điểm cần nhớ và những kĩ năng cần thiết
 Bài tập tự giải (Exercises)
Bài tập được đưa vào theo thứ tự giống tiến trình của cours.
2.2.2.1. Phân tích SGK Déclic Maths - Premierè S (P
1
)
Khái niệm đạo hàm được đề cập lần đầu tiên trong chương III “Số đạo hàm” của “Déclic Maths -
Premierè S”
.

a) Phần hoạt động (activité).
Phần này đưa vào nhiều hoạt động để đem lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm. Chúng tôi chỉ quan tâm
đến các tình huống có mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm hoặc mối liên hệ tiếp tuyến, đạo hàm và
xấp xỉ affine.
 Quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.
Ta xét một tình huống trong hoạt động 4 chương III [P
1
, tr.74] :
“Đường thẳng hay đường cong”
Cho hàm f xác định trên R bởi công thức f(x) = x
2
– 3x
1)
Vẽ parabol (P) có phương trình y = f(x) bằng MTBT, sau đó thực hiện việc phóng
to (Zoom in) tập trung tại điểm A (2;-2) của (P), để đạt được hình vẽ như dưới đây.

Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D đi qua điểm A và có hệ số
góc là 1
2)
a) Chứng minh rằng đường thẳng D có phương trình y = (x – 2) – 2
b)
Biểu diễn đừơng thẳng D lên màn hình của MTBT
c)
Quay trở lại màn hình ban đầu (Zoom out). Đường thẳng D có vị trí nào?
3)
Xác định hàm  sao cho f(2+h) = f(2) + h + h

(h) và chứng minh rằng
h0

lim (h)

 = 0.


 Lời giải dự kiến:
2) a) Đường thẳng D đi qua điểm A (2; -2) và có hệ số góc k = 1 có phương trình là:
y = - 2 + 1( x – 2)
 y = ( x – 2) – 2
b) c) Hình vẽ trên màn hình MTBT sẽ có dạng sau:

Phương trình hòanh độ giao điểm của D và (C ) là :
x
2
– 3x = ( x – 2) – 2  x
2
– 4x + 4 = 0  x = 2
Đường thẳng D cắt đồ thị hàm số tại
một điểm A( 2; -2)
3) f(2+h) = (2+h)
2
– 3(2+h) = h
2
+ h – 2 = f(2) + h + h. h
Đặt

(h) = h thì f(2+h) = f(2)+h+h

(h) và
h0

lim (h)


=
h0
lim h

= 0.
 Nhận xét
A
Với sự hỗ trợ của MTBT, tình huống này đã mang lại hình ảnh rất trực quan về mối quan hệ giữa
tiếp tuyến và xấp xỉ affine.
Trước hết, việc phóng to đường cong trong lân cận của điểm A(2; -2) (“
zoom in” tại điểm A) cho
hình ảnh: “
Đường cong (P) có khuynh hướng thành đường thẳng D”. Điều đó có thể diễn tả là: Nếu xét
một đường cong trong trong lân cận điểm A thì nó gần như là một đường thẳng.
Sau đó, ở câu 2, đường thẳng D ở trên được xác định bằng phương trình và được vẽ cụ thể trên hệ
trục toạ độ. Việc vẽ đồ thị của D và đường cong trên cùng hệ trục tọa độ và câu hỏi
“đường thẳng D có
vị trí nào?”
dường như thể hiện mong đợi của thể chế: thể hiện ngầm ẩn đặc trưng “tiếp xúc” và có
“
một điểm chung” của đường thẳng D với đường cong. Đặc trưng “có một điểm chung” không chỉ dựa
vào trực giác mà còn có thể chứng minh được.
Các đặc trưng trên tương tự như đặc trưng của tiếp tuyến với đường tròn. Tuy nhiên, ở đây, cách
mô tả đường thẳng D rất khác:
D gần trùng với phần đường cong trong lân cận điểm A.
Tình huống này ngầm đem đến cho tiếp tuyến một nghĩa mới “tiếp tuyến là đường thẳng xấp xỉ
với đường cong trong lân cận tiếp điểm”

và tạo ra được sự nối khớp giữa khái niệm tiếp tuyến ở lớp
10 với khái niệm tiếp tuyến sắp đề cập trong phần lí thuyết sau đó.
Cuối cùng, ở câu 3, việc tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm x gần với 2 ( x = 2 +
h, h rất nhỏ) cho kết quả:
“Chúng ta rút ra f(2)+ h là giá trị gần đúng của f(2+h) khi h dần đến 0 hay cũng có f(2) + (x – 2 ) là
giá trị gần đúng của f(x) khi x là điểm trong lân cận của 2”
(P
1
,tr. 74)
Dễ thấy y = f(2) + (x – 2 ) là một hàm affine và cũng chính là phương trình của đường thẳng D đã
được đề cập ở câu trên.
Như vậy, trong tình huống này, ngoài việc đem lại cho tiếp tuyến một nghĩa mới theo quan điểm địa
phương thì “
khái niệm xấp xỉ affine” và mối liên hệ của nó với tiếp tuyến đã xuất hiện ngầm ẩn: Trong
lân cận của điểm A, xấp xỉ hàm số y = f(x) bằng một hàm affine, về mặt hình học là xấp xỉ đồ thị của
hàm f(x) bằng tiếp tuyến của nó
 Quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm
Tình huống liên quan đến tiếp tuyến và đạo hàm xuất hiện lần đầu tiên trong hoạt động 5 chương III
[P
1
, tr.75]:
Vị trí giới hạn của cát tuyến
Hàm f xác định trên R được cho bởi công thức:
f(x) = - x
2
+ 4 và (P) là đừơng cong của nó trong hệ trục tọa độ trực chuẩn
Chúng ta sẽ xác định hệ số góc của cát tuyến của (P) đi qua điểm A có tọa độ (1;3)
1)
Xác định hệ số góc của đừơng thẳng (AB) và (AC).
2)

h là số thực khác không và M là một điểm trên parabol (P) có hoành độ 1+h
a)
Tính hệ số góc m của đường thẳng (AM) với mỗi giá trị 0,5 và -0,1 của h
b)
Dùng GEOPLANW
Vẽ một parabole (P), những điểm A và M, và cho hiển thị hệ số góc m của đường thẳng
(AM)
c)
Dịch chuyển điểm M trên P, dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần
đến điểm A trên parabol P.
3) a) Cho h ≠ 0, chứng minh rằng
f(1 h) f(1)
2h
h

 

b) Khi điểm M tiến gần điểm A, h tiến dần về 0.
Hệ số góc của cát tuyến (AM) sẽ tiến đến giá trị
nào? Minh họa bằng đồ thị kết quả trên.
Về mặt hình học, khi điểm M tiến gần đến điểm A
của (C) có hoành độ là a, cát tuyến (AM) quay
quanh điểm A.

 Lời giải dự kiến:
1) Hệ số góc của (AB) và (AC) là: -1 và -3
2)
a) Đường thẳng (AM) đi qua điểm A(1;3) và M(1+h; f(1+h)) nên có hệ số góc là: m =
f(1 h) f(1)
h



Với h = 0,5 thì m =
f(1,5) f(1)
0,5

= -2,5
Với h = -0,1 thì m =
f(0,9) f(1)
0,1


= -1,9
b) và c ) Khi M tiến đến gần A trên (P) thì (AM) có hình ảnh như sau:

Dự đóan: (AM) cắt (P) tại một điểm và “tiếp xúc” với (P) khi M tiến đến gần A.
3)

a)
f(1 h) f(1)
h

=
22
(1 h) 4 3 h 2h
2h
hh
   


b) Khi h tiến về 0 thì hệ số góc của đường thẳng (AM) tiến về -2


 Nhận xét:
Việc dịch chuyển điểm M trên (P) ở câu 2c nhằm mục đích gì?
Theo chúng tôi, nó cho hình ảnh trực giác: khi điểm M dần đến điểm A trên (P), đường thẳng AM
tiến dần đến vị trí của đường thẳng D
Sau đó, yêu cầu: “
dự đoán vị trí của cát tuyến (AM) khi điểm M tiến dần đến điểm A trên parabol
P
” đem lại cho đường thẳng D đặc trưng rất quen thuộc của tiếp tuyến của đường tròn là:“tiếp xúc” và
“một điểm chung”. Tuy nhiên, tiếp tuyến ở đây cũng không được mô tả như trước mà thông qua hình
A
D
ảnh “giới hạn” của cát tuyến. Như vậy, hoạt động này tạo ra được sự nối khớp giữa khái niệm tiếp
tuyến ở lớp 10 với khái niệm tiếp tuyến sắp định nghĩa:
“vị trí giới hạn của cát tuyến”.
Cuối cùng, ở câu 3, chứng minh được: hệ số góc của đường thẳng (AM) tiến tới -2 khi h tiến về 0
(tương ứng về mặt đồ thị là điểm M tiến về A hay đường thẳng AM tiến đến D).
Sau hoạt động trên, ta có hình ảnh:
D là tiếp tuyến của (P) và hệ số góc của đường thẳng D là
h0
f(a h) f(a)
lim
h



Như vậy, việc đưa vào khái niệm tiếp tuyến và đạo hàm ở đây rất giống tiến trình trong lịch sử:
Với quan niệm về tiếp tuyến “

vị trí giới hạn của cát tuyến” đã dẫn đến sư xuất hiện ngầm ẩn của
khái niệm
đạo hàm. Đạo hàm xuất hiện dưới dạng giới hạn của tỉ số
f(a h) f(a)
h

và đóng vai trò
công cụ ngầm ẩn để tìm hệ số góc của tiếp tuyến.
Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm cũng được thiết lập ngầm ẩn: “hệ số góc của tiếp tuyến
bằng số đạo hàm của hàm số tại hoành độ tiếp điểm” và
đạo hàm mang nghĩa là: độ nghiêng của tiếp
tuyến.

Sau hoạt động trên, khái niệm tiếp tuyến đã được định nghĩa chính thức, [P
1
, tr.75] viết:
Nếu hệ số góc của cát tuyến
f(a h) f(a)
h

đạt
được giới hạn xác định khi h tiến đến 0, thì cát
tuyến (AM) đạt vị trí giới hạn
gọi là tiếp tuyến
tại điểm A
của đường cong (C).
Hệ số góc của tiếp tuyến này là:
h0
f(a h) f(a)
lim

h




Tiếp tuyến với nghĩa
“tiếp xúc” và "một điểm chung” trước đây chính thức được thay bằng nghĩa
mới “
vị trí giới hạn của cát tuyến”. Đạo hàm ngầm ẩn dưới dạng giới hạn của tỉ số số gia và đóng vai
trò
công cụ để định nghĩa tiếp tuyến. Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm ngầm ẩn xuất hiện chính
thức: “
Hệ số góc của tiếp tuyến này là:
h0
f(a h) f(a)
lim
h



” (
h0
f(a h) f(a)
lim
h



chính là số đạo hàm của
hàm số tại a còn ngầm ẩn)

 Kết luận phần hoạt động
- Trong hai tình huống trên, tiếp tuyến xuất hiện với 2 nghĩa mới: “vị trí giới hạn của cát tuyến”
(tường minh) và
“xấp xỉ đường cong trong lân cận tiếp điểm” (ngầm ẩn). Việc làm này đã tạo ra bước
chuyển khái niệm tiếp tuyến vào lĩnh vực giải tích tạo điều kiện cho sự xuất hiện của đạo hàm và xấp xỉ
affine
theo như tiến trình trong lịch sử. Phần họat động cũng mang lại nghĩa cho khái niệm đạo hàm và
xấp xỉ affine sẽ xuất hiện trong phần lí thuyết.
Giai đoạn này có thể xem như là giai đoạn ngầm ẩn của
khái niệm đạo hàm và xấp xỉ affine.