đề thi và đáp án bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán trung học cơ sở tham khảo (1)

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 :(3 điểm)
a) Cho biểu thức
2 2 2 2 2 2 4 4 4
A 2a b 2b c 2a c a b c= + +
. Chứng minh rằng nếu
a, b, c
là 3 cạnh của một tam giác thì
A
>0.
b) Chứng minh rằng
5
a a 30

M
(
)a Z
.
Câu 2:(2 điểm)
Giải phơng trình
2 2 2
x 2xy y 3x 2y 1 4 2x x 3x 2 + + + = +
.
Câu 3(1,5 điểm)
Cho
3 3
a b 2+ =
. Chứng minh rằng
a b 2+

.
Câu 4:(1,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một
đờng thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt 2 cạnh bên AD, BC lần lợt tại E và F.
Chứng minh rằng
1 1 2
AB CD EF
+ =
.
Câu 5 (2 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC
sao cho AN=CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân
giác của
AKC

.
Hết
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh SBD:.
Hớng dẫn chấm
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2007-2008
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu Nội dung Điểm
1
a)
2 2 2 2 2 2 4 4 4
A 2a b 2b c 2a c a b c= + +
= 4

2 2
a b
- (
2 2 2 2 2 2 4 4 4
2a b 2b c 2a c a b c ) + + +
=
2
(2ab )
- (
2 2 2 2
a b c )+
=
(2ab +
2 2 2
a b c+
)(
2ab
-
2 2 2
a b c
+
)
=
2 2
(a b) c

+

2 2
c (a b)

=
(a b c)(a b c)(c a b)(c a b)
+ + + + +
Do
a,b, c
là 3 cạnh của 1 tam giác nên
a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b 0
+ + > + > + > + >

A 0
>
b)
5 4 2 2
a a a(a 1) a(a 1)(a 1)
= = +
=
2
a(a 1)(a 1) (a 4) 5

+ +

=
a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2)+ +
5a(a 1)(a 1)+ +
Do tích của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong năm số nguyên liên
tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và do (6;5)=1.
Suy ra

a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2)+ +
30M
và
5a(a 1)(a 1)+
M
30. Vậy
5
a a 30

M
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
2
3

2 2 2
x 2xy y 3x 2y 1 4 2x x 3x 2 + + + = +


2
(x y 1) x 2 (x 1)(x 2) 2x 4 + + + =
(1)
Do
2

(x y 1) x 2 (x 1)(x 2) 0 + + +

x, y

2x 4 0 2(x 2) 0 x 2
Với
x 2
thì
2 2
(x y 1) x 2 (x y 1) x 2 + + = + +
;
(x 1)(x 2) =
2
x 3x 2 +
.
Khi đó từ phơng trình (1)

2
(x y 1) x 2 + +
+
(x 1)(x 2)
=
2(x 2)

2
(x y 1) +
=
(x 2)(2 x 1 1) +
=
2

(x 2)
.

2
(x y 1) +
+
2
(x 2)
=0


x 2 0
=
và
x y 1 0 + =
x 2; y 3 = =
( thoả mãn)
Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình là S=
( )
{ }
2;3
Giả sử
a b 2
+ >
3 3 3 3
(a b) 2 a b 3ab (a b) 8 + > + + + >
2
+
3ab(a b) 8+ >
(do

3 3
a b 2
+ =
)

3ab(a b) 6 ab(a b) 2+ > + >

ab(a b)+
>
3 3
a b
+
(do
3 3
a b 2+ =
)

ab(a b)+
>
2 2
(a b)(a ab b )
+ +
2 2
ab a ab b > +
2 2 2
a 2ab b 0 (a b) 0 + < <
(vô lý ) . Vậy
a b 2
+
0,5

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
4
0,25
Xét
ABDV
có OE//AB
OE OD
AB DB
=
(Hệ quả của định lý Ta lét) (1)
Xét
ABCV
có OF//DC
OF OB
CD BD
=
(Hệ quả của định lý Ta lét) (2)
Xét
ABCV
có OF//AB
OF OC
AB AC
=

(Hệ quả của định lý Ta lét) (3)
Xét
ABDV
có OE//DC
OE AO
DC AC
=
(Hệ quả của định lý Ta lét) (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra :
OE
AB

+
OF
CD
+
OF
AB
+
OE
DC
=
OD
DB
+
OB
BD
+
OC
AC

+
AO
AC

OE
AB
+
OF
AB
+
OF
CD
+
OE
DC
=
OD
DB
+
OB
BD
+
OC
AC
+
AO
AC

EF
AB

+
EF
DC
=
BD
BD
+
AC
AC


EF
AB
+
EF
DC
=2

1
AB
+
1
DC
=
2
EF

O
A
D

B
C
E
F
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Kẻ DI, DJ lần lợt vuông góc với AK, CK.
Ta có
AND
1
S AN.DI
2
=
=
ABCD
1
S
2
( do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1)
CDM
1
S CM.DJ
2
=
=
ABCD

1
S
2
( do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
1
AN.DI
2
=
1
CM.DJ
2

DI=DJ (do AN=CM)
DIK DJK =
(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
IKD JKD =


KD là tia phân giác
AKC
.
0,25
0,5
0,5
0,25
0,5

l
K

A
B
D
C
N
M
J